РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных"

Транскрипт

1 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций (от лат. approimo приближаюсь) называется задача замены одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Другими словами, аппроксимация функции это замена исходной функции Y() другой функцией f() достаточно близкой к Y() на некотором интервале и имеющей либо более простую и удобную форму представления, либо отвечающую необходимым требованиям. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов. Чаще всего необходимость такой замены возникает в случаях, когда исходная функция Y() задана таблицей значений i, y i (дискретно), а ее необходимо знать в любой точке интервала. В этом случае табличная функция заменяется аналитической функцией f(), по которой можно вычислить значение y для любых значений. Аппроксимация таблично заданных функций рассматривается в двух постановках.. Функция y() определена небольшим количеством дискретных значений (точек), значения которых можно считать лишенными погрешностей. Тогда приближающую функцию f() подбирают так, чтобы она точно прошла через все заданные точки i, y i, i=0,,,n. Такое приближение называют интерполяцией (от латинского interpolatio изменение, переделка), приближающую функцию f() интерполирующей, точки, через которые проходят исходная функция y() и интерполирующая f() узлами интерполяции либо опорными точками. Интерполяция является частным случаем аппроксимации, при котором интерполирующая функция f() обязательно проходит через узлы интерполяции i, y i и при этом принимает «разумные» значения для аргументов, лежащих между опорными точками. Критерий разумности меняется от задачи к задаче и ему,

2 возможно, никогда не будет дано точного определения. Пример интерполяции табличных данных приведен на рисунке 4.. 0, y0,, y, - узлы интерполяции точки определяющие табличные данные Рисунок 4. - Интерполяция табличных данных 2. Табличная функция y() задана большим количеством точек, значения которых получены опытным путем и, из-за погрешностей эксперимента, определены с погрешностью. В такой ситуации требовать точного прохождения функции f() через точки заданные с ошибками нецелесообразно, поэтому функцию f() подбирают достаточно простого вида, которая проходит достаточно близко к заданным точкам, но не обязательно через них. Позволяя значениям f( i ) отличаться от y i, можно очень хорошо отразить характер изменения данных и даже поправить некоторые из содержащихся в них ошибок. Такое приближение называют сглаживанием, функцию f() сглаживающей. На рисунке 4.2 приведен пример построения на интервале от 0 до 4 сглаживающей функции f() Рисунок Сглаживание табличных данных. f() сглаживающая функция 2

3 Задача определения значения функции вне диапазона опорных точек называется экстрополяцией данных. В отечественной литературе очень часто задачу сглаживания исходных данных называют аппроксимацией исходных данных. В дальнейшем, термином аппроксимация будем обозначать задачу сглаживания данных, а интерполяцией называть разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных. Алгоритмы приближения данных требующих сглаживания рассматриваются в разделе 5 настоящего пособия..2 Постановка задачи интерполяция табличной функции Пусть исходная функция y() определена небольшим количеством дискретных значений i, y i, i=0,,,n, точно определяющих функцию y(). Цели интерполяции разнообразны, но почти всегда необходим быстрый алгоритм позволяющий вычислять значения функции f() для аргумента, не содержащегося в таблице данных ( i, y i ). Компактная таблица данных и небольшая подпрограмма интерполирования могут заменить очень длинную таблицу значений функции. Иногда требуется находить значения первой (f '()) и второй (f''()) производных в промежуточных точках..3 Кусочно-линейная интерполяция Простейшим видом интерполяции является линейная интерполяция, в основе которой лежит приближение функции y() на участке между соседними точками (, y ) и ( +, y + ) прямой линией. Уравнение прямой можно представить в виде или в виде y ( y y ) ( ) = + y + = ( y y ) + ( ) 3 ( y y ) ( ) ( ) + + (4.)

4 Таким образом, зная два табличных значения y и y +, соответствующих и +, с помощью указанных формул можно найти значение функции y при любом значении в интервале [, + ]. Получаемая интерполирующая функция состоит из отдельных отрезков, соединенных в узлах интерполяции. Такая функция называется кусочно-гладкой и относится к классу составных функций. Преимуществами составных функций является то, что каждый ее участок имеет сравнительно простую форму и, следовательно, определяется простой аналитической зависимостью. В частности кусочно-линейная интерполяция осуществляется составной функцией, каждое звено которой представляется уравнением прямой, коэффициенты которой определяются двумя соседними точками исходной функции. Пример 4. В таблице 4. даны значения функции y() в трех точках. Требуется определить значения функции в точках х=0,5 и х=2, используя кусочно-линейную интерполяцию. Таблица 4. - Исходные данные для примера X i 0 3 Y i 2 0 Подставим значение =0.5 и =2 в формулу (4.). Получим: y(0.5)=y 0 +(0.5-0 )(y - y 0 )/( - 0 ) = +(0.5-0)(2-)/(-0)=.5 y(2.0)=y +(2.0- )(y 2 y )/( 2 - ) = +(2-)(0-2)/(3-)=6.0 Обратите внимание, что если значение аргумента =2 подставить в первую формулу (т.е. в уравнение прямой соединяющей первые две точки функции y()), то получится результат y(2)=3 не соответствующий здравому смыслу..4 Интерполяция полиномом Обычно полагают, что, используя большое число соседних точек и приближая исходную функцию более сложной линией, можно уточнить полученный результат. Для этой цели в инженерной практике широко используют полиномы. 4

5 Полиномом степени n можно записать в виде P() = a 0 + a + a a n n (4.2) В дальнейшем будем рассматривать вещественные полиномы, т.е. полиномы коэффициенты a 0 ; a ; a 2 ;... ; a n которых являются вещественными числами. Внимание инженеров привлекают многие свойства полинома P(). Так P() является функцией всюду непрерывной и всюду дифференцируемой, легко вычисляется при любом значении. Производная полинома и его неопределенный интеграл также являются полиномами с теми же свойствами, что и у исходного полинома. Все производные степени большей, чем n, где n степень полинома, равны нулю. Напомним некоторые свойства полиномов. Полином степени n можно разложить единственным образом в произведение из n линейных множителей. P() = a n ( - α ) ( - α 2 ) ( - α n ) Если принимает значение одного из чисел α, α 2,,α n, то p() будет иметь нулевое значение; числа α, α 2,,α n называются корнями полинома P(), или решением полиномиального уравнения P()=0. Корни вещественного полинома обладают следующими свойствами: - корни могут повторяться (например, если α = α 2 ); - корни могут быть как вещественными, так и комплексными; - комплексные корни встречаются сопряженными парами; - если полином P() имеет нечетную степень, то он должен иметь, по меньшей мере, один вещественный корень. Для определения n+ коэффициента a i (i=0,,, n ) полинома степени n, проходящего через все n+ заданные в таблице точки ( i ;y i ), где i=0,,, n, необходимо записать интерполяционные условия прохождения полинома через данные точки P n ( i ) = y i,при i=0,,,n. В результате получим систему из (n+)-го линейного уравнений относительно коэффициентов полинома: a 0 + a 0 + a 2 2 n a n 0 = y 0 5

6 a 0 + a + a a n n = y (4.3).... a 0 + a n + a 2 n a n n n = y n Из решения системы 4.3, например методом Гаусса, определяются численные значения коэффициентов полинома интерполирующего точки ( i ; y i ), где i=0,,, n. По формуле (4.2) легко можно вычислить значение интерполирующего полинома Р(х) для любого промежуточного аргумента. Пример 4.2 Для таблично заданной функции представленной в таблице 4., определить значения интерполирующего полинома в точках х=0.5 и х=2. Исходная функция задана тремя точками, которые позволят записать три интерполяционных условия прохождения полинома P() через данные точки. Из трех условий можно определить три коэффициента полинома P(), поэтому этот полином будет второй степени. Запишем интерполяционные условия прохождения полинома второй степени, через три заданные точки a 0 + a 0+ a = a 0 + a + a 2 2 = 2 a 0 + a 3+ a = 0 Очевидно, что решением данной системы будет: a 0 =, a =0, a 2 =. Отсюда полином имеет вид P()= + 2. Определим значение полинома при аргументах =0.5 и =2 P(0.5)= =.25 P(2.0)= +2 2 =5 Обратите внимание, что полученные значения отличаются от результатов кусочно-линейной интерполяции, вычисленных в примере...5 Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполяционный многочлен для этого метода имеет вид 6

7 , где P n () = y 0 b 0 () + y b () + + y n b n () y i ординаты интерполируемой функции определенной n+ табличным значением ( i ; y i ); b i () многочлен степени n, коэффициенты которых можно найти с помощью n+ уравнений P n ( i ) = y i, где i=0,,, n В результате получим систему уравнений y 0 b 0 ( 0 ) + y b ( 0 ) + + y n b n ( 0 ) = y 0... y 0 b 0 ( n ) + y b ( n ) + + y n b n ( n ) = y n Если значение b j ( i ) выбраны так, что b ( ) j i, при = 0, при i = j, i j, то записанные выше уравнения будут выполняться. Это условие означает, что любой многочлен b j () равен нулю при каждом i, кроме j. Следовательно, в общем случае многочлен b j () имеет вид ( см. свойства полиномов) b j ()= с j (- 0 ) (- )... (- j- ) (- j+ )... (- n ) Так как b j ( j )=, то коэффициент с j определится выражением с j = (- 0 ) (- )... (- j- ) (- j+ )... (- n ) Для искомого многочлена получаем Введя обозначения L j ()= (- 0 ) (- )... (- j- ) (- j+ )... (- n ), можем записать полученный многочлен в более компактном виде p ( ) = n n y j = L ( ) j 0 L j ( j) 7 j (4.4)

8 Это выражение называется формулой интерполяции Лагранжа. Пример 4.3 Решить задачу, рассмотренную в предыдущем примере, используя формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Запишем интерполяционную формулу Лагранжа для трех точек p ( ) = y ( )( ) ( )( ) ( )( ) y + y 0 ( )( ) ( )( ) 2 ( )( ) Для наших данных ( )( 3) ( 0)( 3) ( 0)( ) p ( ) = (0 )(0 3) ( 0)( 3) (3 0)(3 ) 0 = ( )( 3) ( 3) + ( ) 3 6 Отсюда P(0.5)=(0.5-)(0.5-3)/3 0.5 (0.5-3) (0.5-)/6=.25 P(2)=(2-)(2-3)/3 2 (2-3)+0 2 (2-)/6=5 Естественно, что полученный результат совпадает с результатом предыдущего примера. Однако, благодаря формуле Лагранжа не было необходимости составлять, а затем решать систему линейных уравнений относительно коэффициентов полинома. Нетрудно заметить, что выполнив предыдущие преобразования в общем виде мы получили бы ту же формулу полинома, что и в предыдущем примере. Составим программу, реализующую вычисления интерполяционной формулы Лагранжа. = Sub Lagrang(X( ), Y( ), N, Xt, Yt) ' подпрограмма вычисления многочлена Лагранжа ' Входные данные: ' X(N),Y(N) значения табличной функции ' N - число точек в табличной функции ' Xt значение аргумента, при котором вычисляется ' многочлен Лагранжа 8

9 ' Выходные данные: ' Yt Значение интерполяционного многочлена Лагранжа ' в точке Xt Dim P As Single ' описания переменной для вычисления произведения Dim i As Integer, j As Integer ' описание рабочих переменных Yt = 0 ' обнуляем переменную в которой вычисляется значение многочлена For i = To N ' цикл для накапливания N слагаемых P = ' начальное значение переменной для вычисления очередного сомножителя For j = To N ' цикл для вычисления сомножителя If i <> j Then P = P * (Xt - X(j)) / (X(i) - X(j)) Net j ' конец цикла j Yt = Yt + Y(i) * P ' добавляем к многочлену очередное слагаемое Net i ' конец цикла i End Sub ' возврат в основную программу Sub primer2() ' пример использования подпрограммы Lagrang ' программа для вычисления значений предыдущего примера Dim X( To 3) ' определяем размерности массивов Dim Y( To 3) ' с координатами точек X() = 0: X(2) = : X(3) = 3 ' задаем значение координат X Y() = : Y(2) = 2: Y(3) = 0 ' задаем значение координат Y Call Lagrang(X, Y, 3, 0.5, y) MsgBo "Для Х=0.5 значение полинома равно" & Str(y) Call Lagrang(X, Y, 3, 2, y) MsgBo " Для Х=2.0 значение полинома равно " & Str(y) End Sub Результат выполнения программы Для Х=0.5 значение полинома равно =.25 Для Х=2.0 значение полинома равно = 5 9

10 .6 Приближение функций сплайнами При наличии (n+) точек приближаемой функции, степень интерполяционного полинома будет равна n. Это значит, что данный полином может иметь n вещественных корней, а, следовательно, и (n-) максимумом и минимумов. Это приводит к появлению на полиноме нежелательных осцилляций, тенденция к которым усиливается с ростом степени полинома, т.е. с увеличением числа интерполируемых точек. Поэтому в инженерных приложениях полиномы степени выше 6- ой практически не используются. В некоторых приложениях используют специальные полиномы, в формулу которых включают дополнительные компоненты подавляющие нежелательные осцилляции. Другой способ устранения осцилляций это построение составной кривой, в которой полиномы низкой степени последовательно применяются для интерполяции групп точек. Полученная в результате кусочно-полиномиальная функция будет непрерывной, но в общем случае может иметь разрывы производных в точках соединения последовательных отрезков кривых, как, например, в каждом узле при кусочно-линейной интерполяции. Однако для большинства приложений требуется определенная гладкость получаемых кривых, поэтому такие функции использовать нельзя. Указанный недостаток кусочно-полиномиальной функции можно преодолеть, если при ее построении учитывать требуемую гладкость в узлах стыковки. Рассмотри последовательность точек ( 0, y 0 ), (, y ), ( n, y n ), c 0 < < < n. Наша цель провести через эти точки составную кривую φ(),имеющую следующие свойства: - на каждом интервале i- < < i, i=0,,,n, функция φ() является кубическим полиномом; - φ() и ее первые и вторые производные непрерывны в узлах интерполяции. Полученная гладкая кусочно-кубическая кривая называется кубическим сплайном. Физическим аналогом кубического сплайна являются гибкие рейки, используемые плазовщиками при ручной про- 0

11 работке плаза кузова автомобиля, фюзеляжа самолета или корпуса корабля. Для некоторых приложений требуются еще более гладкие функции, обладающие в узлах непрерывной третьей и четвертой производной в каждом узле. В этих случаях используют сплайны более высокого порядка, например пятой. Простейший сплайн, сплайн первой степени, представляет собой кусочно-линейную функцию рассмотренную выше.

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных

ЛЕКЦИЯ 3. Методы обработки экспериментальных данных ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором

Подробнее

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y

Краткие теоретические сведения Пусть значения некоторой функции f (x) заданы в виде таблицы: x y 3 Интерполирование функций полиномом Лагранжа Цель: формирование навыков интерполирования таблично заданных функций полиномом Лагранжа; оценка погрешности полинома Лагранжа Краткие теоретические сведения

Подробнее

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции

3.1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ задано множество несовпадающих точек. (интерполяционных узлов), в которых известны значения функции ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В настоящем разделе рассмотрены задачи приближения функций с помощью многочленов Лагранжа и Ньютона с использованием сплайн интерполяции

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций.

5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5 Методы приближения функций. Интерполяция табличных функций. 5.1 Постановка задачи приближения функций. Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x некоторой функцией

Подробнее

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда

Рассмотрим в качестве функциональной зависимости многочлен., тогда Лекция 5. Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично

Подробнее

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации

Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации Тема. Численные методы решения задачи аппроксимации Будем считать, что является функцией аргумента. Это означает, что любому значению из области определения поставлено в соответствие значение. На практике

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x,

x i Определение. Задача нахождения значения интерполяционной функции F x в точке не совпадающей ни с одной абсциссой интерполяционных узлов x, ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Дано: точки наблюдения y (их количество + ) a b ; ; y y y y y Найти функцию : F F : y Определение Точки y называются узлами интерполяции Графическая интерпретация

Подробнее

Таким образом, точка А является точкой глобального максимума, а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D.

Таким образом, точка А является точкой глобального максимума, а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D. 66 Таким образом точка А является точкой глобального максимума а точка М- точкой глобального минимума данной функции в замкнутой области D 5 Эмпирические формулы Определение параметров эмпирических формул

Подробнее

3. Интерполяция данных

3. Интерполяция данных 3. Интерполяция данных 1 3. Интерполяция данных Практически всегда выборки случайных чисел (полученные в результате эксперимента или сгенерированные в рамках методов Монте-Карло) хранятся на компьютерах

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

Лабораторная работа по VBA ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

Лабораторная работа по VBA ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ Лабораторная работа по VBA ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ Цель работы: составить программу для интерполирования функции y(x), заданной таблицей значений, используя интерполяционный полином Лагранжа. В математике

Подробнее

8 Методы численного интегрирования.

8 Методы численного интегрирования. интеграла. 8 Методы численного интегрирования. В данной главе будут рассмотрены методы вычисления определенного Методы численного интегрирования находят широкое применение при автоматизации решения научных

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА

Кафедра Электроэнергетика, электроснабжение и силовая электроника. Составители: Флаксман Е.А., Гребенщиков В.И. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

Аналитические методы геометрического моделирования

Аналитические методы геометрического моделирования Доля ПГ Харьковский Национальный Университет механико математический факультет г Аналитические методы геометрического моделирования Глава Уравнения кусочно-гладких непрерывных функций Оглавление Уравнение

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

6 Общая схема исследования функции

6 Общая схема исследования функции 5 6 Общая схема исследования функции Исследование дважды дифференцируемой функции будем проводить по следующей схеме. Находим область определения функции D( f.. Определяем точки разрыва функции.. Находим

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Обработка данных. Цели обработки данных. Виды эксперимента. Аппроксимация. Интерполяция. Локальная и глобальная интерполяции

Обработка данных. Цели обработки данных. Виды эксперимента. Аппроксимация. Интерполяция. Локальная и глобальная интерполяции Обработка данных. Цели обработки данных. Виды эксперимента. Аппроксимация. Интерполяция. Локальная и глобальная интерполяции На настоящий момент, единственное, известное человеку, «устройство для обработки

Подробнее

Аппроксимация таблично заданных функций

Аппроксимация таблично заданных функций Аппроксимация таблично заданных функций Таблично заданные функции. Зависимость разрядного напряжения газового промежутка с однородным полем от расстояния между электродами Расстояние между шарами, см Диаметр

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1,

} из отрезка [a,b] (эти точки называются узлами интерполяции), т.е. должны выполняться условия: g(x k )=y k, k=1,2,...,n+1, Интерполяция функций интерполяционными полиномами В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения

Подробнее

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по

Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по 46 Практическое занятие 6 Численное интегрирование Продолжительность работы- 2 часа Цель работы: закрепление знаний о численном интегрировании по обобщенным формулам средних прямоугольников, трапеций,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ.

Решение. По условию: Вычисляем: По формуле Лагранжа абсолютная погрешность вычисляется по формуле: Относительная погрешность: Ответ. www.reshuzdch.ru Задание.5. Найти произведение приближенных чисел и указать его погрешности (Δ и δ), если считать в исходных данных все значащие цифры верными.,8,55, Решение. По условию:,8, b, 55, c,,,,

Подробнее

Базовые (опорные точки) набор точек, на основе которых выполняется построение кривой

Базовые (опорные точки) набор точек, на основе которых выполняется построение кривой Построение кривых Определения: Базовые (опорные точки) набор точек, на основе которых выполняется построение кривой Интерполяция построение кривой, точно проходящей через набор базовых точек Аппроксимация

Подробнее

3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона

3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона Варианты задания 3. Интерполирование по равностоящим узлам. Конечные разности. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона 3.1. Постановка задачи интерполирования Пусть на промежутке [a, b] задана таблица

Подробнее

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями

Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями Митюков В.В. Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации институт, программист ОВТИ, v.tukov@gal.co Универсальное моделирование дискретно заданных множеств непрерывными зависимостями КЛЮЧЕВЫЕ

Подробнее

7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 0 7 АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Первоначально данные исследований представляют в виде таблиц. Однако табличные данные не имеют наглядности и не могут быть использованы

Подробнее

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ. Математические модели и численные методы ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ Математические модели и численные методы Математические модели содержат соотношения, составленные на основе теоретического анализа изучаемых процессов или полученные

Подробнее

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход.

Если существует предел y этой последовательности, она и будет решением исходной задачи, так как будет законен предельный переход. Метод Ритца Выделяют два основных типа методов решения вариационных задач. К первому типу относятся методы, сводящие исходную задачу к решению дифференциальных уравнений. Эти методы очень хорошо развиты

Подробнее

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции

Квадратурные формулы прямоугольников. Пусть требуется найти значение интеграла I Римана. I f ( x )dx для некоторой заданной на отрезке [ a,b ] функции Численное интегрирование Квадратурные формулы прямоугольников Пусть требуется найти значение интеграла I Римана I d для некоторой заданной на отрезке, функции а Хорошо известно, что для функций, допускающих

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Квадратурные и кубатурные формулы

Квадратурные и кубатурные формулы ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» Квадратурные и кубатурные формулы Методические

Подробнее

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений

Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Математический анализ Численные методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений Новопоселенких

Подробнее

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 1 «Сплайновые представления»

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 1 «Сплайновые представления» Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 1 «Сплайновые представления» к.ф.-м.н., доц. каф. ФН-11, Захаров Андрей Алексеевич, ауд.: 930а(УЛК) моб.: 8-910-461-70-04, email: azaharov@bmstu.ru

Подробнее

Курсовая работа Решение математических задач с применением языка программирования Visual Basic

Курсовая работа Решение математических задач с применением языка программирования Visual Basic Курсовая работа Решение математических задач с применением языка программирования Visual Basic В соответствии с вариантом выполнить задания и подготовить отчет. Отчет по 1,, 3 заданию должен содержать:

Подробнее

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из

Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из Лекция 2. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи: Найти коэффициент погрешности прибора σ при проведении геодезических измерений из уравнения: δ cos σ υ σ 2 + η = 0 Значения δ = 0,186, υ = 4,18,

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий

М е т о д и ч е ские указания для п р о в едения семинарских занятий МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Решение уравнений и систем уравнений Действия с многочленами (полиномами) Многочлен (полином) это выражение вида

Решение уравнений и систем уравнений Действия с многочленами (полиномами) Многочлен (полином) это выражение вида Решение уравнений и систем уравнений Действия с многочленами (полиномами) Многочлен (полином) это выражение вида n n a a... an an f. Многочлен храниться в MATLAB в виде вектора, элементами которого являются

Подробнее

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г.

А. П. Иванов. Методические указания. Тема 5: Интерполирование функций. факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. А. П. Иванов Методические указания Тема 5: Интерполирование функций факультет ПМ ПУ СПбГУ 2007 г. Оглавление 1. Алгебраическое интерполирование. Полином Лагранжа............. 2 1.1. Погрешность метода.

Подробнее

Лекция 6 Преобразование математических моделей систем. Передаточные функции. Модели в виде сигнальных графов

Лекция 6 Преобразование математических моделей систем. Передаточные функции. Модели в виде сигнальных графов Лекция 6 Преобразование математических моделей систем. Передаточные функции. Модели в виде сигнальных графов Чтобы изучить свойства сложных физических систем и научиться управлять ими, необходимо иметь

Подробнее

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ АБЕРРАЦИЙ Левит БИ Рамм АГ Родионов СА О восстановлении функции волновой аберрации по ее значениям или значениям поперечных аберраций О ВОССТАНОВЛЕНИИ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОЙ АБЕРРАЦИИ ПО ЕЕ ЗНАЧЕНИЯМ ИЛИ ЗНАЧЕНИЯМ ПОПЕРЕЧНЫХ

Подробнее

Задания для самостоятельной работы.

Задания для самостоятельной работы. Задания для самостоятельной работы. Перечень тем по дисциплине «Прикладная математика».. Решение нелинейного уравнения методом бисекции.. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.. Решение

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Численное интегрирование

Численное интегрирование Численное интегрирование - - Численное интегрирование. Постановка задачи Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. Требуется вычислить определенный интеграл I d.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ПОЛИНОМАМИ В СРЕДЕ ЭТ MS EXCEL И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MATHCAD Алешин А. О., Растеряев Н.В. Донской государственный технический университет (ДГТУ) Ростов-на-Дону,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k

x 1 x 2 x 3 x k y 1 y 2 y 3 y k ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ Е. С. Тверская МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва Методы аппроксимации функции. Постановка задачи приближения функции. Задачи, приводящие к задаче приближения функций. Функция

Подробнее

Отчёт по лабораторной работе 2 По курсу Численные методы

Отчёт по лабораторной работе 2 По курсу Численные методы Отчёт по лабораторной работе 2 По курсу Численные методы Выполнил: Лапупин А.В. 2094/2 Проверил: Соловьев К.В. 2004 г. 1 2. Исследование интерполирования функций. 2.1. Провести сравнение качества построения

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Постановка задачи. Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии, экономике и других областях составляют уравнения

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей

Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Задания на практические занятия по дисциплине «Вычислительная математика» Практическое занятие по теме Теория погрешностей Контрольные вопросы Дайте определение вычислительного эксперимента Нарисуйте схему

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ ВИДмитриев, ИВДмитриева, ЖГ Ингтем ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СПЛАЙН-ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ Ведение Задачи аппроксимации неточно заданной функции возникают во многих практических проблемах При математическом

Подробнее

Численные методы вычисления определенного интеграла

Численные методы вычисления определенного интеграла Глава 1 Численные методы вычисления определенного интеграла Цель работы изучение численных методов интегрирования и их практическое применение для приближенного вычисления однократных интегралов. Продолжительность

Подробнее

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов)

ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) ГЛАВА: Введение в численные методы. Лекция 3: Численное интегрирование (15 слайдов) Слайд 1: Методы численного интегрирования. Требуется вычислить определенный интеграл: Методы решения такой задачи: 1.

Подробнее

Сплайн интерполяция. к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич (926)

Сплайн интерполяция. к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич    (926) Сплайн интерполяция к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич e-mail: utkin@icad.org.ru, pavel_utk@mail.ru (926) 2766560 Данная лекция доступна по адресу http://mipt.ru/education/chair/computational_mathematics/study/materials/compmath/lectures/

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви

Область определения данной функции определяется неравенством x 3x 2. 0 являются числа x =, x 4. Так как ветви Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

ISSN X. Èçâ. ÍÀÍ ÐÀ è ÃÈÓÀ. Ñåð. ÒÍ Ò. LXV, ¹ 1. Э.М. АЙКАЗЯН, М.З. ПОГОСЯН, Ю.М. СTАКЯН

ISSN X. Èçâ. ÍÀÍ ÐÀ è ÃÈÓÀ. Ñåð. ÒÍ Ò. LXV, ¹ 1. Э.М. АЙКАЗЯН, М.З. ПОГОСЯН, Ю.М. СTАКЯН ISSN 000-0X. Èçâ. ÍÀÍ ÐÀ è ÃÈÓÀ. Ñåð. ÒÍ. 0. Ò. LXV, ¹. УДК.7:-087.8 АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРAВЛЕНИЯ Э.М. АЙКАЗЯН, М.З. ПОГОСЯН, Ю.М. СTАКЯН ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К КУСОЧНО-ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра прикладной математики М.В. Лукина МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЁННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Подробнее

( ) ( ) ( ) I = f x dx= F b F a. (1)

( ) ( ) ( ) I = f x dx= F b F a. (1) - 65 - Глава. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Формула Ньютона-Лейбница и численное интегрирование. Из курса математического анализа Вы знакомы с вычислением определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Подробнее

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 1 «Сплайновые представления»

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 1 «Сплайновые представления» Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 1 «Сплайновые представления» к.ф.-м.н., доц. каф. ФН-11, Захаров Андрей Алексеевич, ауд.: 930а(УЛК) моб.: 8-910-461-70-04, email: azaharov@bmstu.ru

Подробнее

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра информационной безопасности ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА Методические указания к выполнению

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине «Информационные технологии» на тему «Обработка данных в Mathcad» ПГУ ПЗ

Курсовая работа по дисциплине «Информационные технологии» на тему «Обработка данных в Mathcad» ПГУ ПЗ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Автоматика и телемеханика» Курсовая работа по дисциплине «Информационные технологии» на тему «Обработка

Подробнее

О формулах суммирования и интерполяции

О формулах суммирования и интерполяции О формулах суммирования и интерполяции А В Устинов УДК 51117 1 Введение Известно, что числа Бернулли B n и полиномы Бернулли B n x) возникают в самых разных вопросах теории чисел и приближенного анализа

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

2 Численные методы решения уравнений.

2 Численные методы решения уравнений. 2 Численные методы решения уравнений. 2.1 Классификация уравнений, их систем и методов решения. Уравнения и системы уравнений делятся на: 1) алгебраические: уравнение называется алгебраическим, если над

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

Подробнее

7. Алгоритмы Рунге-Кутты

7. Алгоритмы Рунге-Кутты 7. Алгоритмы Рунге-Кутты 1 7. Алгоритмы Рунге-Кутты Наиболее эффективным и часто использующемся методом решения ОДУ остается метод Рунге-Кутты. Большинство расчетов задач Коши для ОДУ, которые не являются

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Юго-Западный государственный университет»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Юго-Западный государственный университет» МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Юго-Западный государственный университет» Кафедра «Управление качеством, метрологии и сертификации»

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

- фактическое значение результирующего показателя;

- фактическое значение результирующего показателя; УДК 004.9: 6.: 6.7 А.С. ЗЕЛЕНСКИЙ. д-р техн. наук проф. В.С. ЛЫСЕНКО канд. эконом. наук доц. КЕИ ГВУЗ «Криворожский национальный университет» ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ГОРНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

Подробнее

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ. ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ. ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ УДК 4.9 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ. ВОЗМОЖНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ Шавкун Г.В., студент электротехнического факультета Кучер Т.В., ассистент каф. ВМиП Донецкий национальный технический

Подробнее

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть

БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец ) 1 ПО КУРСУ «Численные методы», Обязательная часть БИЛЕТ КОЛЛОКВИУМА (образец 10.04.2016 ) 1 1. (2 балла) Абсолютная и относительная погрешности. Чему равна абсолютная и относительная погрешности записанного в память компьютера числа π (ответ обосновать).

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее