1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1"

Транскрипт

1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия А-6 Свойства последовательностей А-7 Метод математической индукции А- Задание числовых последовательностей Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности заданной рекуррентно ) а 5 ) 0; ) ) 8; 5) а 6) 0; 7) а 8) ; ( ) 9) ; ( ) Формула общего члена ( ) 0) а ) а Напишите первые десять членов последовательности ) ) ) ( ) ) () 5) 5 6) [ ] 7) ) а а 5 ) 0; ; ) ; ; 5) ; ; 6) ; 5; 7) а 0 а 8) 0; ; [ ] обозначение целой части числа 5

2 Словесный способ Напишите первые десять членов последовательности ) Последовательность натуральных чисел кратных пяти ) Последовательность натуральных чисел дающих в остатке при делении на 5 ) Последовательность приближенных значений числа π с точностью до 0 по недостатку ) Последовательность степеней числа с натуральными показателями 5) Последовательность натуральных чисел являющихся произведениями двух различных простых чисел 6) Последовательность чисел обратных простым числам А- Арифметическая прогрессия Определение арифметической прогрессии Выпишите первые 0 членов арифметической прогрессии Для каждой из них напишите формулу общего члена ) ; d ) 00; d ) ; d 0 5) ; d 0 ) ; d 5 6) 0; d π Докажите что последовательности заданные указанными формулами являются арифметическими прогрессиями Найдите разности этих прогрессий ) ) ) Задание арифметической прогрессии ) 5 5) 6) 0 5 Составьте формулу общего члена арифметической прогрессии о которой известно следующее: ) 5 5; 0 5 ) 9 0; 9 5 ) 5 0; 6 9 ) 9 0; 7 09 Найдите первый член и разность прогрессии о которой известно следующее: ) ) 0 0 ) )

3 5) ) ) Найдите и d 8) 9 в 0 раз больше первого члена Отрезки арифметической прогрессии ) Между числами и 9 вставьте шесть чисел которые с данными числами составили бы арифметическую прогрессию ) Между числами 0 и вставьте чисел так чтобы вместе с крайними они составляли бы арифметическую прогрессию ) Между числами и b содержится m чисел образующих вместе с данными числами арифметическую прогрессию Найдите ее разность ) Составьте формулу общего члена арифметической прогрессии начинающуюся с зная что сумма первых пяти членов составляет четвертую часть суммы следующих пяти членов 5) Найдите первый положительный член прогрессии у которой 0 и d 6) Первый член прогрессии равен разность равна прогрессии ближайший к числу 00 Найдите член этой Проверьте является ли число членом арифметической прогрессии у которой: ) d 7 ) 5 7 ) d 8 5 ) 5 6 А- Геометрическая прогрессия Определение геометрической прогрессии Вычислите первые шесть членов прогрессии Составьте формулу общего члена ) ; q ) ; q ) ; q 5) ; q 6) ; q 6 ) 0; q 0 7) 5; q

4 Докажите что последовательности заданные указанными формулами являются геометрическими прогрессиями Укажите знаменатель прогрессии и первый член ) ) 5 ) (0) Задание геометрической прогрессии ) 5) 0 6) 5 Вставьте между данными числами пропущенные члены так чтобы получилась геометрическая прогрессия ) 9 ) 5 8 ) ) 9 7 5) ) 7 6 7) Найдите первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель ) 5 00 ) 6 58 ) 5 60 Отрезки геометрической прогрессии ) Между числами и вставьте одно число так чтобы оно вместе с данными числами составляло бы геометрическую прогрессию ) Между числами и 6 вставьте три числа так чтобы они вместе с данными числами составляли бы геометрическую прогрессию ) Между числами и b (0 < < b) геометрической прогрессии содержится ее членов Каков знаменатель этой прогрессии? ) Первый член прогрессии равен знаменатель q 5 Найдите член этой 5 прогрессии ближайший к числу (седьмому члену ряда Фибоначчи) 5) Между двумя членами и b геометрической прогрессии со знаменателем q находится семь других ее членов Определите с тремя знаками после запятой насколько близко отношение членов b и а к числу (отношение частот для нот образующих восходящую квинту)

5 А- Суммирование Сумма членов арифметической прогрессии Найдите первых членов арифметической прогрессии о которой известно следующее: ) ; d ; 0 ) 00; d ; 5 ) 0; 0 6; 0 ) 7 5 ; 0 5) d ; 0; 0 0 6) d ; 7; 7 0 Арифметическая прогрессия задана формулой общего члена 75 Найдите сумму всех ее положительных членов ) s Найдите и ) s 0 s 5 75 s 05 Найдите d и ) s Найдите d ) s Найдите d Параметры арифметической прогрессии обозначены следующим стандартным образом: ее -ый член d разность s сумма первых ее членов Определите недостающие данные по указанным в таблице значениям параметров (заполните таблицу) п/п d s

6 5 В таблицу внесены параметры арифметических прогрессий Два параметра в каждой строке вычислены неверно Найдите ошибки и исправьте их п/п d s Сумма членов геометрической прогрессии Первый член геометрической прогрессии равен знаменатель q Найдите сумму ее первых десяти положительных членов Параметры геометрической прогрессии обозначены следующим стандартным образом: ее -ый член q знаменатель s сумма первых ее членов Определите недостающие данные по указанным в таблице значениям параметров (заполните таблицу) п/п q s ( )

7 Найдите первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель ) s ) s m ) s m Вычислите сумму ) 0 ) 00 8 ) ) (в последнем числе 0 девяток) Суммирование рядов А Использование формул суммы прогрессий Вычислите сумму ) ) 0 0 ) 5 8 ) 5) ( членов) 6) ( членов) В Степенные суммы ( k ) k Пусть s k k Известны формулы ( ) ( ) s ; ( ) ( )( ) s ; 6 () ( ) s ; ( ) ( )( )( ) s 0 Вычислите следующие суммы: 7) k ( k ) k 8) k ( k ) k 7

8 9) k ( k k ) 0) k ( k )( k ) k ) ( k k )( k ) k ( k )( k )( k ) ) k С Метод разностей Типичный пример ( ) ) 7 ( )( ) )!!! (подсказка: k k! (k )! k!) 5) 5 6) k k! k 7) (сначала проверьте тождество k ( k )( k ) ) k k k 8) k k k (подсказка: k ) k 8 k k Зная сумму членов последовательности q q q найдите следующие суммы ) ) x x x x ) b b b где арифметическая прогрессия с разностью d а b b геометрическая прогрессия со знаменателем q 8

9 А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ) ) ) 8 6 ) 5 9 5) ) 9 6 7) 8 8) 9) ( ) ( ) ( ) 0) 6 Обратите периодическую дробь в обыкновенную ) 066 ) 05 ) ) Найдите сумму всех дробей вида при всех m и больших или равных двум Для m этого расположите эти числа в виде бесконечной прямоугольной таблицы Найдите суммы чисел стоящих по строкам которые известны по формулам для сумм прогрессий Затем сложите все найденные суммы А-6 Свойства последовательностей Среди следующих последовательностей выберите возрастающие убывающие и те которые не являются монотонными ) ) ) ) 5) 6)!!! 9

10 Какие из следующих последовательностей являются ограниченными? ) ( ) ) 5 ( ) ) 6! )! 5) 6) ) ) 9 8 9)! 6 8 Каждая из следующих последовательностей задается многочленом от некоторой степени k Определите эту степень вычисляя последовательности разностей и зная что при этом степень уменьшается на единицу ) ) 7 ) ) ) ) А-7 Метод математической индукции Докажите формулу методом математической индукции ( ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) 7 ) q q q 5) ( ) 6)! ( )( ) q q! ( )( ) ( )! ( )! 6 Докажите утверждение методом математической индукции ) ( ) целое число ) целое число 6 ) 5 делится на 6 ) делится на 5) делится на 9 0

11 Докажите неравенство ) < ( ) ) > ( 5) )! ( ) ) > 5 ( ) Докажите утверждения: ) Выпуклый -угольник имеет ( ) диагоналей ) Количество вершин выпуклого -гранника каждая грань которого является треугольником равно ) Для каждого > 7 существует многогранник имеющий ребер 5 Проверка формул методом математической индукции ) ( ) ( ) ( ) ) x x x x ( ) x ( x ) ) ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) 5) k k 6) ( )( )( ) 0

12 Соответствия С- Угадывание формулы общего члена С- Составление рекуррентного соотношения С- Преобразование последовательности С- Прогрессии в геометрии С- Угадывание формулы общего члена Предложите формулу общего члена для следующих последовательностей ) 5 ) 7 5 ) ) ) ) ) 5 6 8) ) ) Предложите формулу общего члена для каждой из последовательностей ) ; 8; ; 6; 0; 7) ; ; ; ; ; ; ; ; ) ; 5; 8; ; ; 8) ; ; ; ; 5 ; 6 ; ) ; ; 8; 9; 9) ; 7; ; 7; 5; ) ; ; ; ; 0) ; 0; 6; 8; ; 5) ; ; ; ; 6) 0; ; 0; ; 0; ; 0; ; С- Составление рекуррентного соотношения Предложите рекуррентную формулу для задания следующих последовательностей ) ) ) ) 6 0 5) ) ) )

13 Предложите рекуррентное соотношение для задания последовательности ) ) ) 8 8) 7 8 ) ) ) 6 0 0) ) ) С- Преобразование последовательности Преобразования арифметической прогрессии Дана арифметическая прогрессия а а с разностью d 0 Будут ли арифметическими прогрессиями следующие последовательности? Если ответ положителен найдите разность новой прогрессии ) а 5 7) b b где b k ) 5 8 b k k b k k и т д ) b b где b c 8) b b где b ) b b где b k 9) b b где b 5) b b где b k 6) b b где b 0) Будет ли последовательность геометрической прогрессией? Преобразования геометрической прогрессии Дана геометрическая прогрессия а а со знаменателем q 0 Будут ли геометрическими прогрессиями следующие последовательности? Если ответ положителен найдите знаменатель новой прогрессии ) b b b 6 ) b b b 7 b 0 7) b b где b 8) b b где b k l ) b b b ) b b b 5) b b где b 6) b b где b 9) b b где b 0) Будет ли арифметической прогрессией последовательность lg lg lg?

14 С- Прогрессии в геометрии В треугольнике соединяют середины сторон и получают новый треугольник с которым поступают аналогично Так получают последовательность треугольников Параметры этих треугольников встречающиеся в следующих вопросах имеют те же номера что и сами треугольники (например р k периметр треугольника k и т п) а) Какие последовательности образуют следующие величины? периметры р р построенных треугольников; площади S S треугольников; суммы α α их углов; радиусы R R описанных окружностей б) Вычислите суммы р р р и S S S В квадрате соединяют середины сторон и получают новый квадрат с которым поступают аналогично Обозначим последовательность построенных квадратов через K K а через L i обозначим часть квадрата K i получающуюся после вырезания из него следующего квадрата K i (K i L i K i ) а) Какие последовательности образуют следующие величины? Стороны а а квадратов; их площади S S ; площади T T фигур L L ; объемы V V кубов с гранями равными квадратам K K б) Вычислите суммы S S S T T T V V V В круг радиуса R вписан квадрат в квадрат вписан круг в этот круг вписан второй квадрат и т д до бесконечности а) Какие последовательности образуют радиусы R R построенных кругов их площади S S стороны а а квадратов и площади Т Т квадратов б) Вычислите суммы R R и Т Т

15 На стороне угла в 5 взята точка на расстоянии от вершины Из этой точки опущен перпендикуляр на вторую сторону из основания этого перпендикуляра новый перпендикуляр на первую сторону и т д Вычислите сумму длин всех перпендикуляров 5 Задача аналогичная предыдущей но для угла в 0 6 Ядра укладывают в виде правильной -угольной пирамиды имеющей k слоев Какую последовательность образуют числа ядер в одном слое (при и )? Вычислите общее число ядер при следующих данных: а) k 0; б) k ; в) в нижнем слое 0 ядер; г) пирамида усечена в нижнем слое 05 ядер в верхнем 6; д) пирамида усечена имеет 9 слоев и в верхнем слое 9 ядер 5

16 Приложения П- Вычисление квадратного корня П- Метод половинного деления П- Метод касательных Ньютона П- Вычисление квадратного корня Для приближенного вычисления различных величин обычно используется метод последовательных приближений Он состоит в том что для нахождения неизвестного точного значения величины x строится последовательность приближенных значений этой величины x x x причем так что абсолютная погрешность приближения то есть число x x «стремится к нулю» т е можно добиться того что она станет как угодно малой Для приближенного вычисления квадратного корня из ( > 0) можно взять произвольное начальное значение x > 0 и построить последовательность задаваемую рекуррентным соотношением x x x ) Подставьте в рекуррентную формулу вместо x и x неизвестное число x и решите полученное уравнение Ответ x показывает что если мы «перейдем к пределу» т е заменим при больших номерах число x на x то мы действительно получим ) Возьмите а 9 x и устно убедитесь что при всех число x одно и то же и равно 9 ) Возьмите а 0 x и подсчитайте 0 с шестью верными знаками после запятой Для проверки верности цифр воспользуйтесь калькулятором ) Обозначим через y относительную погрешность т е число а) Выразите x через y б) Подставьте в рекуррентную формулу вместо x и x найденные выражения через x y и y и докажите рекуррентную формулу y y ( y ) в) Проверьте что y > 0 (при ) y г) Докажите что y < (при ) Из последнего неравенства вытекает что относительная погрешность вычисления на каждом шаге уменьшается вдвое 6

17 П- Метод половинного деления Метод половинного деления применяется для приближенного вычисления корня уравнения Пусть мы решаем уравнение f(x) 0 и знаем что на конечном промежутке [; b] этот корень единственный причем функция f на концах промежутка принимает значения разных знаков Делим отрезок [; b] пополам вычисляем значение функции f в его середине и из двух отрезков b ; и b ; b выбираем тот на концах которого значения функции f снова будут разных знаков Продолжая это деление пополам мы можем поместить корень внутрь отрезка сколь угодно малой длины Постройте график функции y x 5 x на отрезке [0; ] нанеся несколько точек Убедитесь что на этом отрезке уравнение x 5 x 0 должно иметь один корень Вычислите значения y при x 05; 075; 0875; 085; 0785 Продолжите вычисления пока не получите значения корня с точностью до 0 5 П- Метод касательных Ньютона Ньютон предложил метод приближенного нахождения корня уравнения который «работает» быстрее метода половинного деления Для уравнения x 5 x 0 и промежутка [0; ] этот метод выглядит следующим образом ) Рассмотрите последовательность с первым членом x с помощью рекуррентной формулы Ньютона Вычислите x и x y x x где y значение функции y x 5 x при x x 5x ) Продолжите вычисления до тех пор пока y не станет меньше чем 0 5 Замечание Метод Ньютона называют методом касательных потому что новая точка P (x ; y ) строится из предыдущей P (x ; y ) с помощью проведения касательных 7

18 Исследования и доказательства И- Арифметическая прогрессия И- Геометрическая прогрессия И- Рекуррентное соотношение И- Арифметическая прогрессия Три числа образуют арифметическую прогрессию ) Пусть числа b c составляют арифметическую прогрессию Докажите тождества а) ( b c ) 6( b) ( b c) б) 8bc (b c) в) ( b c) (b c) b (c ) c ( b) 9 ) Числа b c образуют арифметическую прогрессию Докажите что числа c b также образуют арифметическую прогрессию b c ) k l m члены арифметической прогрессии с номерами k l m соответственно Докажите тождество (l m) k (m k) l (k l) m 0 ) Даны три многочлена f x x f x f x x Докажите что их квадраты образуют арифметическую прогрессию 5) Могут ли числа 5 быть членами одной арифметической прогрессии? Совпадения ) В некоторой арифметической прогрессии а 0 0 а 0 0 Найдите а 5 ) Пусть при некоторых p и q имеем p q и q p Найдите ) Даны две арифметические прогрессии: а а и b b Известно что для некоторых номеров l m и p q r верны равенства l p m q r и b p l b q m b r Докажите что произведение разностей этих прогрессий равно Суммы арифметических прогрессий Пусть S сумма членов некоторой арифметической прогрессии ) Докажите что S m S S m 0 ) Пусть S m S m Докажите что S m (m ) S ) Докажите что m m S m m 8

19 ) Докажите что для всякой арифметической прогрессии верно тождество ( ) 5) Пусть f(x) x bx Докажите что существует такая арифметическая прогрессия для которой сумма членов s равна значению функции f при x : s f() Суммирование методом разностей ) Докажите равенство ) Докажите что для всякой арифметической прогрессии с положительными членами верно тождество ) Проверьте что первое равенство является частным случаем второго равенства И- Геометрическая прогрессия Числа образуют геометрическую прогрессию Пусть числа b c и d образуют геометрическую прогрессию Докажите тождества ) ( b c )(b c d ) (b bc cd) ) ( d) (b c) (c ) (d b) ) Пусть числа b c образуют геометрическую прогрессию Докажите тождество b c b c b c ) Существует ли прямоугольный треугольник длины сторон которого образуют геометрическую прогрессию? 5) Могут ли числа 5 быть членами одной геометрической прогрессии? 6) В геометрической прогрессии m x m y Докажите что m xy Суммы геометрических прогрессий ) Докажите тождество ( ) s ) Пусть а а геометрическая прогрессия Докажите что отношение сумм а а и а а равно знаменателю этой прогрессии ) Пусть t t суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий с первыми членами и знаменателями q q q соответственно Докажите что t t t q q q 9

20 ) Пусть s k сумма k членов геометрической прогрессии Докажите что s (s s ) (s s ) 5) Пусть а а геометрическая прогрессия с положительными членами s s а) Докажите что t t б) Докажите что в) Докажите что s t s t И- Рекуррентное соотношение Решение рекуррентного соотношения ) Последовательность задана первым членом а и рекуррентным соотношением Вычислите общий член последовательности ) ; l Докажите формулу (l ) l ) Докажите что последовательность с первым членом а и рекуррентным соотношением q l является «сдвинутой» геометрической прогрессией с тем же знаменателем q т е ее общий член можно вычислить по формуле b q c где b l q c l q Последовательность средних арифметических Последовательность начинается с чисел ; и задана рекуррентным соотношением т е каждый ее член начиная с третьего равен среднему арифметическому двух предыдущих ) Выпишите восемь первых членов последовательности ) Предложите формулу связывающую числитель и знаменатель дроби ( ) ) Докажите что 0

21 Числа Фибоначчи Напомним что числа Фибоначчи это числа последовательности ϕ ϕ где ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Цель работы: найти явную формулу для чисел Фибоначчи Численный эксперимент ) Выпишите первые десять членов последовательностей задающихся одним и тем же рекуррентным соотношением но различающихся первыми членами: а) ϕ ϕ ; б) а а ; в) b b 5 ) Выпишите последовательности разностей для построенных рядов чисел и удостоверьтесь что они являются теми же последовательностями но со сдвинутыми номерами ) Найдите такие числа x и y что x b y ϕ x b y ϕ ) Проверьте что при найденных x и y верны равенства ϕ x b y при 0 5) Докажите формулу связывающую последовательности (ϕ ) ( ) и (b ) в общем виде Обобщенные числа Фибоначчи Назовем обобщенным рядом Фибоначчи любую последовательность x x члены которой связаны рекуррентным соотношением Фибоначчи: x x x Каждый обобщенный ряд Фибоначчи однозначно задается своими первыми двумя членами x и x Обычные числа Фибоначчи получаются при x x Множество всех обобщенных рядов Фибоначчи обозначим через Φ ) Пусть последовательности x x и y y являются обобщенными рядами Фибоначчи (т е принадлежат множеству Φ) Докажите что последовательность сумм z x y также является обобщенным рядом Фибоначчи ) Докажите что если (x x ) Φ то для любого постоянного числа с последовательность y cx также принадлежит множеству Φ Результат предыдущих двух задач можно сформулировать так: обобщенные ряды Фибоначчи можно складывать между собой и умножать на постоянные числа ) Найдите обобщенный ряд Фибоначчи который был бы геометрической прогрессией с первым членом x

22 Указание Обозначьте знаменатель искомой прогрессии через q запишите формулу общего члена прогрессии и подставьте ее в рекуррентную формулу Фибоначчи После сокращения вы получите квадратное уравнение для нахождения q Найдите его корни ) Пусть q и q найденные в предыдущей задаче числа такие что прогрессии ( q q ) и ( q q ) являются обобщенными рядами Фибоначчи Составьте систему x y для выражения первых двух членов обычного ряда Фибоначчи через qx q y первые члены прогрессий и решите ее 5) Докажите что числа x и y найденные в предыдущей задаче «обслуживают» не только первые два но любой член ряда Фибоначчи то есть что для любого верна формула ϕ xq yq 6) Найдите формулы общего члена для последовательностей ( ) и (b ) которые рассматривались в численном эксперименте Линейные рекуррентные соотношения ) Найдите знаменатели геометрических прогрессий удовлетворяющих рекуррентному соотношению 5 6 ) Выпишите несколько первых членов последовательности удовлетворяющей рекуррентному соотношению 5 6 с начальными членами 0 ) Составьте и решите линейную систему выражающую первые два члена последовательности предыдущей задачи с первыми двумя членами геометрических прогрессий из задачи ) ) Найдите формулу общего члена изучаемой прогрессии Рассматриваемый нами метод нахождения общего члена последовательности заданной рекуррентным соотношением может быть обобщен для любого соотношения вида p q Предложите путь этого обобщения

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ;

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ; НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа Математическое отделение МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 0-й класс, задание ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАНИЯ Приступая

Подробнее

Глава 10 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Модуль 1 «Числовые последовательности» Основные цели обучения: знакомство с новым математическим понятием «числовые

Глава 10 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Модуль 1 «Числовые последовательности» Основные цели обучения: знакомство с новым математическим понятием «числовые Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Модуль «Числовые последовательности» Основные цели обучения: знакомство с новым математическим понятием «числовые последовательности» и знакомство с конкретными числовыми последовательностями,

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2.

201. Арифметическая прогрессия. Примеры решения задач. ТЕСТ Арифметическая и геометрическая прогрессии. ТЕСТ 2. Арифметическая прогрессия Примеры решения задач ТЕСТ Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно и не превосходит по величине ) ) 8 ) 9 ) 8 Найти сумму всех двузначных натуральных чисел,

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4 Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

Выражения и их преобразования Числовые выражения. Алгебраические выражения. Тождественно равные выражения. Формулы сокращенного умножения:

Выражения и их преобразования Числовые выражения. Алгебраические выражения. Тождественно равные выражения. Формулы сокращенного умножения: 7. Структура теста Числа и вычисления 4 задания (13,3 %). Выражения и их преобразования 3 задания (10 %). Уравнения и неравенства 11 заданий (36,7 %). Функции 4 задания (13,3 %). Геометрия 8 заданий (26,7

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Глава 1. Рациональные дроби и их свойства 23. Рациональные выражения. Самостоятельная работа

Глава 1. Рациональные дроби и их свойства 23. Рациональные выражения. Самостоятельная работа Календарно-тематическое планирование составлено на основе рабочей программы по курсу математики, утвержденное приказом от 016 г. 8 класс. Алгебра (3 ч. в неделю, всего 100 ч.) п/п Раздел, тема Кол-во часов

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 9., 9. класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Последовательности Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей:

Подробнее

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее среднее образование, для получения среднего специального или высшего образования І ступени, 2015 год УТВЕРЖДЕНО

Подробнее

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 150 имени Героя Советского Союза В.И.Чудайкина» городского округа Самара

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 150 имени Героя Советского Союза В.И.Чудайкина» городского округа Самара муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Школа 150 имени Героя Советского Союза В.И.Чудайкина» городского округа Самара Программа рассмотрена на заседании ШМО учителей точных наук Протокол

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Дата. Ко л- во ча со в. Тема

Дата. Ко л- во ча со в. Тема Календарно- тематический план по математике для 0 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю алгебра всего 70 часов 4 часа в неделю геометрия 36 часов всего 306 часов Преподаватель Тема I полугодие. Натуральные

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Рабочая программа по математике составлена на основе следующих нормативных документов и методических рекомендаций: 1.Федеральнфй государственный образовательный стандарт основного

Подробнее

Мурманская область, Кольский район, с. Минькино

Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Приложение к рабочей программе по математике Мурманская область, Кольский район, с. Минькино Государственное областное бюджетное общеобразовательное учреждение «Минькинская коррекционная школа-интернат»

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка 2 Пояснительная записка Программа разработана на основе обязательного минимума содержания среднего (полного) общего образования по математике. На испытании по математике поступающий должен показать: а)

Подробнее

Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс Целью изучения курса математики в 5 классе является

Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс Целью изучения курса математики в 5 классе является Аннотация к рабочей программе по математике 5 класс Рабочая программа по математике составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования. Данная рабочая

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Общие указания На экзамене по математике поступающий должен показать: четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы; умение точно и сжато

Подробнее

1 Числовые последовательности

1 Числовые последовательности Глава 0 Последовательности Числовые последовательности Числовую последовательность часто называют функцией натурального аргумента Действительно, задание -ого члена последовательности аналогично заданию

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

1. Вопросы программы

1. Вопросы программы 1. Вопросы программы Арифметика, алгебра и начала анали за 1. Натуральные числа и нуль. Сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. 2. Делимость натуральных чисел. Делители и кратные натурального

Подробнее

x 2x y 2y 0 1) 0,5 2) 2; 4 3) 0,5; 1,5 4) 0; 0,5 5. Решить уравнение: x 3x 2 0 1) 1 2) 1; 1 3 3) нет решений 4) -1

x 2x y 2y 0 1) 0,5 2) 2; 4 3) 0,5; 1,5 4) 0; 0,5 5. Решить уравнение: x 3x 2 0 1) 1 2) 1; 1 3 3) нет решений 4) -1 00 ТЕСТ Решите уравнение: 0 Решите уравнение: 0 Решите уравнение: ) ) 0, ) ) - ) 0, ) - ) 8 ) 0, ) - ) ) 0, ) Решите уравнение: ) - ) ) ; ) -; 8 Решите уравнение: 8 Решите уравнение: ) ) 0 ) ) 0 ) ( )

Подробнее

Вариант 1. Первая часть А Б В Г А Б В Г А Б В Г. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выра жение А Б В Г

Вариант 1. Первая часть А Б В Г А Б В Г А Б В Г. Найдите допустимые значения переменной, входящей в выра жение А Б В Г Вариант Найдите от числа. 9 Укажите число, которое делится нацело на 9. 9 9 9 Представьте выражение ( a ) в виде степени с основанием a. a 0 a a a x + Найдите допустимые значения переменной, входящей в

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Домашняя работа по алгебре за 10 класс Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов ША и др, М: «Просвещение», 00 г учебно-практическое пособие Содержание Глава I Действительные числа Глава II

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ Необходимые сведения из теории Арифметическая прогрессия Числовая последовательность a, a d,, a d,, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему,

Подробнее

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году

ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году ПРОГРАММА ГОСУДАРСТВЕННОЙ ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ ПО ПРОГРАММАМ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ в 2018 году В экзаменационной работе проверяется следующий учебный материал: 1. Математика, 5 6 классы;

Подробнее

Примеры и комментарии

Примеры и комментарии 72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

Календарно-тематическое планирование 4 класс

Календарно-тематическое планирование 4 класс Календарно-тематическое планирование 4 класс п/ п 1. Наименование разделов Тема урока Кол-во часов Повторение изученного в 3 классе Повторение изученного в 3 классе Характеристика основной деятельности

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

Программа по математике для поступающих в ИГХТУ

Программа по математике для поступающих в ИГХТУ Программа по математике для поступающих в ИГХТУ Настоящая программа состоит из трѐх разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий. Второй раздел

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В АКАДЕМИЧЕСКУЮ ГИМНАЗИЮ СПбГУ НА ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО И СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В АКАДЕМИЧЕСКУЮ ГИМНАЗИЮ СПбГУ НА ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО И СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ В АКАДЕМИЧЕСКУЮ ГИМНАЗИЮ СПбГУ НА ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО И СРЕДНЕГО (ПОЛНОГО) ОБРАЗОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Вступительные испытания по математике письменно проводятся

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ к вступительным экзаменам для поступающих на базе основного общего образования. 1. Арифметика

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ к вступительным экзаменам для поступающих на базе основного общего образования. 1. Арифметика ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ к вступительным экзаменам для поступающих на базе основного общего образования 1. Арифметика 1.1 Натуральные числа 1.1.1 Десятичная система счисления. Римская нумерация. 1.1.2 Арифметические

Подробнее

ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 5 класс Глава 1. Натуральные числа.

ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 5 класс Глава 1. Натуральные числа. ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 5 класс Глава 1. Натуральные числа. Содержание материала 1. Натуральные числа и шкалы 15 ч при 5 ч в нед. 18 ч при 6 ч в нед. 2. Сложение и вычитание натуральных чисел

Подробнее

Вебинар с преподават елем. Теоретическ ие и практически е занятия через портал «Уникум» 1. Структура курса. Электрон ный тест

Вебинар с преподават елем. Теоретическ ие и практически е занятия через портал «Уникум» 1. Структура курса. Электрон ный тест Название темы Всего часов самост оятель ной работы Теоретическ ие и практически е занятия через портал «Уникум». Структура курса. Особенности ГИА по математике. Десятичная система счисления. Римская нумерация

Подробнее

Глава3 Рациональные дроби 1

Глава3 Рациональные дроби 1 Глава3 Рациональные дроби Тестовые задания и диктанты Т-0 Составление рационального выражения Т-0 Допустимые значения Т-03 Равенство дробей Т-04 Умножение и деление рациональных дробей Т-05 Приведение

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования На экзамене поступающий должен показать: а) чѐткое знание основных математических определений и теорем, предусмотренных

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского»

Подробнее

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ уровня подготовки требованиям данной программы. Это не освобождает поступающего от необходимости знать перечисленные ниже понятия и факты. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра

Подробнее

Урок 3-4: «Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия» Ваша задача решить все примеры, т.е. всего будет 18. Ответы жду до 26 ноября на

Урок 3-4: «Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия» Ваша задача решить все примеры, т.е. всего будет 18. Ответы жду до 26 ноября на Урок 3-4: «Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия» Ваша задача решить все примеры, т.е. всего будет 18. Ответы жду до 26 ноября на почту. Желаю удачи!!! Основные понятия и определения. Арифметической

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНКУЛЬТУРЫ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ КУЛЬТУРЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ Тюмень

Подробнее

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г.

Домашняя работа по алгебре за 10 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001г. Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 0- класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 00г. www.balls.ru Содержание Глава I. Действительные числа.. Глава II. Степенная

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс

Л.Д. Лаппо, А.В. Морозов Домашняя работа по алгебре за 10 класс ЛД Лаппо, АВ Морозов Домашняя работа по алгебре за 0 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа: Учеб для 0- кл общеобразоват учреждений / ША Алимов и др -е изд М: Просвещение, 00» Глава I Действительные

Подробнее

ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования 9 кл.)

ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования 9 кл.) Утверждаю Ректор университета Председатель Приемной комиссии ВлГУ Морозов В. В. 2010 г. ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования

Подробнее

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ по математике 8 класс урока Тема урока 1 Повторение. Действия с обыкновенными и десятичными дробями. Колво часов Элементы содержания Тема 1. Рациональные дроби и их

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Основная и средняя (полная) школа

Основная и средняя (полная) школа Кодификатор элементов содержания, проверяемых заданиями диагностической работы для проведения мониторинга образовательных достижений обучающихся образовательных учреждений по МАТЕМАТИКЕ Основная и средняя

Подробнее

Математика 5-класс Всего 204 часа (по 6 ч. в неделю)

Математика 5-класс Всего 204 часа (по 6 ч. в неделю) Математика 5-класс Всего 204 часа (по 6 ч. в неделю) урока Наименование темы Колво часов По плану Глава І. Натуральные числа и нуль 48 ч 1 1,2 Запись натуральных чисел. 2 1.09.16 Сроки По факту Коррек

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 6 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-60 Вычисление квадратного корня Т-60 Свойства квадратных корней Т-60 Удобная запись корня Т-60 Корень из квадрата Т-60 Внесение множителя под знак корня Т-606 Освобождение

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

Д/З: 24,28,30,65-69,72, , ,168,172, , ,235,239,240(а,б), ,296(а,в),295, ,336, , ,400

Д/З: 24,28,30,65-69,72, , ,168,172, , ,235,239,240(а,б), ,296(а,в),295, ,336, , ,400 5 класс 1 четверть 1. Натуральные числа и шкалы - Понятия натурального числа, цифры, десятичной записи числа, классов и разрядов. - Таблицу классов и разрядов. Обозначение разрядов. - Общепринятые сокращения

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики ГОУВПО «Донецкий национальный технический университет» ПРОГРАММА вступительных экзаменов в форме собеседования по математике для поступления

Подробнее

8 К Л А С С. 4. У Маши есть 45 гирек, веса которых все натуральные числа от 1 до 45.

8 К Л А С С. 4. У Маши есть 45 гирек, веса которых все натуральные числа от 1 до 45. ОЛИМПИАДА «ПУТЬ К ОЛИМПУ», 8 К Л А С С 1. К чётному числу n прибавили его наибольший делитель, отличный от n. Может ли полученная сумма равняться 018?. Собранный мёд заполняет несколько 50-литровых бидонов.

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тема Количество часов Количество контрольных работ 1 Математический язык. Математическая модель 16 1 2 Линейная функция 15 1 3 Степень с натуральным показателем

Подробнее

Математика Вариант для 5 класса 1. Реши задачу: В летний лагерь приехало 600 детей. Их расселили в 40 маленьких палатках, по 3 человека в каждой, и в

Математика Вариант для 5 класса 1. Реши задачу: В летний лагерь приехало 600 детей. Их расселили в 40 маленьких палатках, по 3 человека в каждой, и в Математика Вариант для 5 класса. Реши задачу: В летний лагерь приехало 600 детей. Их расселили в 40 маленьких палатках, по 3 человека в каждой, и в нескольких больших палатках, по 6 человек в каждой. Сколько

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ДНР ГОУВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ФОРМЕ СОБЕСЕДОВАНИЯ для поступления на обучение

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ На экзамене по математике поступающий должен показать: - четкое знание математических

Подробнее

Киселёв А.П. Кочетковы 9 класс Выготский М.И. Сканави.Теория. Арифметическая и геометрическая прогрессии. В следующих задачах (тема VII) предполагается N {1,, 3,...} если

Подробнее

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений

Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Алгебра Численные методы решения алгебраических уравнений и систем уравнений Булычев Сергей, МОУ «Лицей

Подробнее

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ

I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от 23.12.2011 813 Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее базовое образование, для получения

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ НА БАЗЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ НА БАЗЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ НА БАЗЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Арифметика, алгебра и начала анализа. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования. «Брестский государственный технический университет» ПРОГРАММА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования. «Брестский государственный технический университет» ПРОГРАММА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» ПРОГРАММА собеседования для иностранных абитуриентов по предмету «МАТЕМАТИКА» Разработана:

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЛИЦ, ИМЕЮЩИХ ОБЩЕЕ БАЗОВОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО УЧЕБНОМУ ПРЕДМЕТУ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ЛИЦ, ИМЕЮЩИХ ОБЩЕЕ БАЗОВОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ УТВЕРЖДЕНО Приказ Министерства образования Республики Беларусь 10.11.2006 670 ( в редакции приказа Министерства образования Республики Беларусь 08.02.2008 г. 81) ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО УЧЕБНОМУ

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Общие указания. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа

Общие указания. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа Общие указания На экзамене по математике поступающий должен показать: четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы; умение точно и сжато

Подробнее

2 Многочлены. Глава. Тестовые задания. Сложение многочленов

2 Многочлены. Глава. Тестовые задания. Сложение многочленов Глава Многочлены 37 Тестовые задания Т-3 Сложение многочленов Т-4 Умножение многочленов Т-5 Многочлены с одной буквой Т-6 Квадрат суммы и разности Т-7 Куб суммы и разности Т-8 Разность квадратов Т-9 Сумма

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

Последовательность и рекуррентное соотношение

Последовательность и рекуррентное соотношение 1 Последовательность и рекуррентное соотношение Лекции ВВШеломовского Последовательности и рекуррентные соотношения достаточно часто встречаются на экзаменах и олимпиадах Простейшая последовательность

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике на базе основного общего образования

Программа вступительных испытаний по математике на базе основного общего образования Программа вступительных испытаний по математике на базе основного общего образования Номер Номер Содержание раздела темы 1 2 3 1 Арифметика 1.1 Натуральные числа 1.1.1 Десятичная система счисления. Римская

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ)

Подробнее