1. Числовые последовательности

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. Числовые последовательности"

Транскрипт

1 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью. Обычно числовые последовательности записывают в виде a 1, a,...,a n,..., и a n называется общим членом последовательности. Пример 1. Вот несколько примеров, показывающих, каким образом можно задавать последовательности. 1) Общий член можно задать явной формулой, например: a n = n (последовательность всех чётных чисел положительных чисел), a n = n 1 (нечётные числа) и т.п. ) Другой способ определения это описание очередного члена через предыдущие (такой способ называется рекуррентным). Например, определение арифметической прогрессии является рекуррентным: a 1 = a, a n+1 = a n + d. Аналогично определяется геометрическая прогрессия: b 1 = b, b n+1 = qb n. Вот более сложный пример: a 1 = 1, a = 1, a n+ = a n +a n+1. Полученная таким образом последовательность называется последовательностью (или рядом) Фибоначчи, а её члены числами Фибоначчи. 3) Иногда описание последовательности, будучи вполне строгим, в принципе не позволяет получить формулу для общего члена. Такова например последовательность цифр в десятичном представлении числа π или последовательность всех простых чисел. Определение. Пусть a 1, a,...,a n,... последовательность. 1) Число A называется её пределом (A = a n) 1, если для любого числа ε > 0 найдётся n такой номер N = N(ε), что для любого натурального числа n > N выполняется неравенство a n A < ε. ) Говорят, что последовательность стремится к бесконечности ( a n = ), если для n любого числа M найдётся такой номер N = N(M), что для любого натурального числа n > N выполняется неравенство a n > M. 3) Последовательность стремится к плюс бесконечности ( a n = + ), если для любого n числа M найдётся такой номер N = N(M), что для любого натурального числа n > N выполняется неравенство a n > M. 4) Последовательность стремится к минус бесконечности ( a n = ), если для любого n числа M найдётся такой номер N = N(M), что для любого натурального числа n > N выполняется неравенство a n < M. В последних трёх случаях последовательность называется бесконечно большой величиной. Если же имеет место равенство n a n = 0, то последовательность называется бесконечно малой. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, а также свойства пределов последовательностей аналогичны соответствующим свойствам функций (см. ниже 4, 5 и 6). Пример. Предел последовательность с общим членом a n = n 1 равен. Это доказывается n +1 следующим образом. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Исходя из определения нам нужно 1 Говорят также, что последовательность сходится (или стремится) к A. 1

2 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ найти такой N = N(ε), начиная с которого для любых n будет выполняться неравенство n 1 n < ε, (1) или ε < 3 < ε. () n Поскольку n натуральное (а значит, положительное) число, левая часть неравенства () выполняется всегда, а из правой следует, что 3 n > ε. Значит, если положить N(ε) = то при всех n N(ε) неравенство (1) выполнится. [ ] 3 + 1, ε Квадратные скобки в последней формуле обозначают целую часть. Определение 3. Целой частью вещественного числа r R называется наибольшее целое, не превосходящее это число: [r] = ma{l Z l r}. Пример 3. Рассмотрим последовательности a n = n, b n = n, c n = ( 1) n n. Тогда a n = +, b n =, c n =, n n n т.е. все эти последовательности определяют бесконечно большие величины. Наоборот, последовательности a n = 1 n, b n = 1 n, c n = ( 1)n n являются бесконечно малыми. Пример 4. Последовательность 1, 1, 1, 1,...,( 1) n,... не имеет предела. Чтобы установить этот факт, нужно доказать следующее утверждение: a R ε > 0 N N n > N : a n a ε. (3) Замечание 1. Доказательство утверждения (3) обычно бывает кропотливым, а иногда и трудным. Более простое доказательство основывается на следующем свойстве пределов. Пусть {a n } последовательность и ϕ: N N возрастающее отображение, т.е. ϕ(n) < ϕ(n + 1). Тогда последовательность b n = a ϕ(n) называется подпоследовательностью последовательности {a n }. Например, если a n = ( 1) n n и ϕ(n) = n, то b n = a n = ( 1) n (n ) = 4n подпоследовательность последовательности {a n }. Предложение 1. Путь {a n } последовательность и n a n = a. Тогда у любой её подпоследовательности b n также существует предел, причём n b n = a.

3 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 3 Теперь легко доказать, что последовательность из примера 4 не имеет предела. Действительно, рассмотрим две подпоследовательности b n = a n 1 = 1, c n = a n = 1. Поскольку n b n = 1, а n b n = 1, последовательность {a n } предела иметь не может.. Функции Определение 4. Пусть D R подмножество множества действительных чисел. Отображение f : D R называется функцией вещественного аргумента. При этом множество D называется областью определения функции f, а множество V = {y R y = } областью допустимых значений. Графиком функции y = называется множество {(,y) y = } R. Пусть y = и z = ϕ(y) две функции и область допустимых значений функции f содержится в области определения функции ϕ. Тогда функция z = ϕ() называется суперпозицией функций f и ϕ, или сложной функцией. Функция = ϕ(y) называется обратной к функции f, если ϕ() = и f(ϕ(y)) = y при всех допустимых значениях и y. 3. Некоторые классы функций Определение 5. Функция y = называется возрастающей (убывающей), если из < следует, что f( ) ( f( )). (4) Возрастающие и убывающие функции называются также монотонными. Если в (4) неравенства строгие, то функция называется строго возрастающей (строго убывающей), или строго монотонной. Определение 6. Пусть область определения функции y = такова, что вместе с каждой точкой в ней содержится и точка. Функция называется чётной, если f( ) =, и нечётной, если f( ) =. Заметим, что любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки 0, можно представить в виде суммы чётной и нечётной, полагая = 1 ( + f( )) + 1 ( f( )). Следующие функции по традиции называются элементарными: 1) Целая рациональная функция (или полиномиальная функция, или многочлен) y = a 0 + a a n n. ) Дробная рациональная функция y = a 0+a 1 + +a n n b 0 +b 1 + +b n. n 3) Степенная функция y = µ. 4) Показательная функция y = a, a > 0. 5) Логарифмическая функция y = log a, a > 0, a 1. 6) Тригонометрические функции y = sin, y = cos, y = tg, y = ctg, y = sec и y = csc. 7) Обратные тригонометрические функции y = arcsin, y = arccos, y = arctg и y = arcctg. К элементарным относят также функции, получаемые из перечисленных с помощью арифметических операций и суперпозиции.

4 4 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ Пример 5 (гиперболические функции). Функции sh = e e, ch = e + e не входят в указанный список, но выражаются через перечисленные. Они называются, соответственно, гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. 4. Пределы функций Определение 7. Пусть a R и функция y = определена во всех точках интервала (b,c) a, кроме, возможно, самой точки a. Тогда число A называется: 1) пределом функции f при, стремящемся к a, если для любого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что для любой точки (b,c), удовлетворяющей неравенству 0 < a < δ, выполняется неравенство A < ε (в этом случае используется обозначение A = ); ) пределом функции f при, стремящемся к a справа, если для любого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что для любой точки (a,c), удовлетворяющей неравенству 0 < a < δ, выполняется неравенство A < ε (в этом случае используется обозначение A = + ) ; 3) пределом функции f при, стремящемся к a слева, если для любого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что для любой точки (b,a), удовлетворяющей неравенству 0 < a < δ, выполняется неравенство A < ε (в этом случае используется обозначение A = )3. Определение 8. Пусть c R и функция y = определена во всех точках бесконечного интервала (b, + ). Число A называется пределом функции f при, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа ε > 0 найдётся такое X > 0, что выполняется неравенство A < ε при всех > X (в этом случае используется обозначение A = + ). Аналогичным образом определяется предел при, стремящемся к минус бесконечности (в этом случае используется обозначение A = ). Замечание. Все эти очень похожие друг на друга определения можно объединить в одно, если ввести понятие окрестности. Именно, для точки a R её окрестностью 4 является множество а окрестностью «точки» множество U ε (a) = { R a < ε}, U ε ( ) = { R a > ε}. Тогда все определения пределов вида = b, где a и b могут быть либо «настоящими» точками, либо бесконечностью, сводятся к следующему. Определение 9. Величина b называется пределом функции y = при стремлении к величине a, если для любой окрестности U ε (a) найдётся такая окрестность U δ (b), что U δ (b) U ε (a). Если ввести левые и правые окрестности, то с их помощью можно определить пределы при a+ и т.п. В этом случае достаточно, чтобы функция была определена на интервале (a,c). 3 В этом случае достаточно, чтобы функция была определена на интервале (b, a). 4 Такие окрестности называют проколотыми.

5 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 5 Определение 10. Если = 0 ( = 0 или = 0), то функция + называется бесконечно малой в точке a (соответственно, в плюс или минус бесконечности). Лемма 1 (первая лемма о бесконечно малых). Сумма любого конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой величиной. Лемма (вторая лемма о бесконечно малых). Произведение ограниченной функции на бесконечно малую является бесконечно малой. 5. Бесконечно большие величины Определение 11. Функция y = называется бесконечно большой в точке a, если она определена во всех точках некоторого интервала (b,c) a, кроме, возможно, самой точки a, и для любого числа M найдётся такое число δ > 0, что > M (5) для всех, удовлетворяющих неравенству 0 < a < δ. В этом случае пишут =. Если неравенство (5) заменить на > M, то пишут = +, если же его заменить на < M, то этот факт записывается в виде =. Аналогичным образом определяются бесконечно большие функции в плюс и минус бесконечности, а также функции, бесконечные справа или слева в точке a. Предложение (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми). Если функция y = является бесконечно большой в точке a (в плюс бесконечности, в минус бесконечности), то функция 1 является бесконечно малой, и наоборот. Предложение 3 (свойства бесконечно больших величин). Бесконечно большие величины обладают следующими свойствами: 1) если = и g() = A <, то ( + g()) = ; ) если = + и g() = +, то ( + g()) = + ; 3) если = и g() = A 0, то ( g()) = ; 4) если = A 0, g() = 0 и g() 0, то g() = ; 5) если = A и g() =, то g() = Основные теоремы о пределах Теорема 1 (необходимое и достаточное условие существования предела). Функция y = имеет конечный предел в точке a, тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся такое δ > 0, что для всех и, удовлетворяющих неравенствам выполнено неравенство f( ) < ε. 0 < a < δ, 0 < a < δ, Аналогичные условия можно сформулировать для существования конечного предела в плюс и минус бесконечности. Предложение 4. Если функция имеет предел в точке a и a 1, a,...,a n,... такая последовательность, что a n = a, то n = f(a n). n Теорема (теорема о двух милиционерах). Пусть заданы три функции и известно, что:

6 6 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1) g() h() и ) = h() = A. Тогда существует g() и он также равен A. Теорема 3 (существование предела монотонной функции). Пусть функция y = возрастает на интервале (a,b) (в частности, возможен случай b = + ). Тогда, если эта функция ограничена сверху, то существует конечный предел. В противном случае этот предел равен +. + Аналогичное утверждение справедливо для убывающих функций. Пример 6 (второй замечательный предел). Имеют место равенства и (1 + ) 1 = e. (6) 0+ + (1 + 1 ) = e (7) Предложение 5. Если = A и A > p (A < q), то для достаточно близких (но не равных a), к a значениях и сама функция удовлетворяет неравенству > p ( < q). Следствие 1. Если функция y = имеет конечный положительный (отрицательный) предел в точке a, то и сама функция положительна (отрицательна) во всех достаточно близких к a точках, кроме, возможно, самой точки a. Следствие. Если функция y = имеет конечный предел в точке a, то она ограничена в достаточно близких к a точках, то есть существуют такие числа m и M, что m M для всех, удовлетворяющих неравенству 0 < a < δ. Предложение 6. Пусть функции y = и y = g() имеют конечные пределы в точке a. Тогда из неравенства g() следует неравенство g(). Аналогичное утверждение справедливо для противоположных неравенств. Предложение 7. Пусть функции y = и y = g() имеют конечные пределы в точке a. Тогда имеют место равенства и ( ± g()) = ± g() (8) ( g()) = g(). (9) Если при этом g() 0, то справедливо также равенство g() = (10) g().

7 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 7 7. Неопределённости и эквивалентность Определение 1. Различают следующие типы неопределённостей: 1) неопределённостью типа [ 0 0 g() = 0; ) неопределённостью типа [ g() = ; ] в точке a называется отношение вида g(), где = ] в точке a называется отношение вида g(), где = 3) неопределённостью типа 0 в точке a называется произведение вида g(), где = 0, а g() = ; 4) неопределённостью типа в точке a называется разность вида g(), где = g() = +. Вычисление пределов выражений g(), g() и g() в указанных выше случаях называется раскрытием неопределённости. Аналогичным образом определяются неопределённости в плюс бесконечности и минус бесконечности. Пример 7. Отношение sin является неопределённостью типа [ 0 0] в точке 0. Она раскрывается следующим образом sin 0 = 1. (11) Это так называемый первый замечательный предел. Пример 8. Отношение a, a > 1, α > 0, является неопределённостью типа [ ] в плюс бесконечности. Имеет место равенство α a = +. (1) α + Поэтому говорят, что показательная функция растёт быстрее в бесконечности, чем любая степенная. Пример 9. Отношение log a, a > 1, α > 0, является неопределённостью типа [ ] в плюс α бесконечности. Имеет место равенство log a + = 0. (13) α Поэтому говорят, что логарифмическая функция растёт медленнее в бесконечности, чем любая степенная. Замечание 3. Если рассматривать выражения вида g(), то возникают также неопределённости типа 1, 0 0 и 0. Однако они сводятся к уже известным преобразованием g() = e g() ln. (14) Определение 13. Две бесконечно малые в точке a (в плюс бесконечности, в минус бесконечности) величины и g() называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1. Эквивалентность обозначается через a g(). (15) Если понятно, в какой точке рассматривается эквивалентность, то пишут просто g(). Пример 10. Следующие функции эквивалентны в нуле: sin, (16) 1 cos, (17) tg, (18)

8 8 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ arcsin, (19) arctg, (0) e 1, (1) a 1 ln a, () ln(1 + ), (3) log a (1 + ) ln a, (4) (1 + ) α 1 α. (5) Определение 14. Говорят, что функция y = имеет порядок малости k, k > 0, если имеет место эквивалентность a α( a) k, α 0. (6) В этом случае пишут = O(( a) k ). (7) Если = 0, то пишут ( a) k = o(( a) k ) (8) и говорят, что порядок её малости меньше k. 8. Непрерывность Определение 15. Функция y =, определённая в интервале (b, c), называется непрерывной в точке a (b,c), если = f(a). (9) Функция называется непрерывной справа (слева), если = f(a) ( = f(a)). Если + условие (9) не выполняется, то говорят, что функция имеет разрыв в точке a. Предложение 8. Функция y = непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда непрерывна в этой точке и справа, и слева. Предложение 9. Пусть = a и y = f(a). Функция y = непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда y = 0. 0 Теорема 4 (непрерывность монотонных функций). Пусть функция y = определена и монотонна в интервале (b, c). Тогда она непрерывна, если множество её значений содержится в некотором интервале и заполняет его сплошь. Теорема 5 (непрерывность сложной функции). Пусть функция y = определена в интервале (b, c) и непрерывна в некоторой точке a (b, c). Тогда, если функция z = ϕ(y) определена на некотором интервале, содержащем точку a = f(a) и непрерывна в точке a, то функция ϕ(f(y)) также непрерывна в точке a. Теорема 6 (арифметические операции над непрерывными функциями). Если функции y = и y = g() определены в общем интервале и непрерывны в некоторой точке a этого интервала, то в этой же точке непрерывны и функции (последнее справедливо, если g(a) 0). ± g(), g(), g() Следствие 3 (непрерывность элементарных функций). Следующие функции непрерывны: 1) y = a 0 + a 1 + a + + a n n на (,+ ); ) y = a 0+a 1 +a + +a n n b 0 +b 1 +b + +b n во всех точках, где знаменатель не обращается в нуль; n

9 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 9 3) y = a, a > 0, на (,+ ); 4) y = log a, a > 0, a 1, на (0,+ ); 5) y = µ на [0,+ ) при µ > 0 и на (0,+ ) при µ < 0; 6) y = sin и y = cos на (,+ ); 7) y = tg и y = sec всюду, кроме = (k + 1) π, k Z; 8) y = ctg и y = csc всюду, кроме = kπ, k Z; 9) y = arcsin и y = arccos на [ 1,1]; 10) y = arctg и y = arcctg на (,+ ); 9. Классификация точек разрыва Определение 16. Если функция y = определена в некоторой точке a и существует предел f(a) (или ), то говорят, что функция терпит в точке a разрыв первого + рода. Если же предела не существует или он равен бесконечности, то это разрыв второго рода. 10. Функции, непрерывные на отрезке Определение 17. Функция y =, определённая на отрезке [a, b], называется непрерывной на этом отрезке, если она непрерывна справа в точке a, непрерывна слева в точке b и непрерывна в любой внутренней точке этого отрезка. Теорема 7 (первая теорема Больцано Коши). Пусть функция y = непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то есть f(a) f(b) < 0. Тогда между a и b найдётся точка c, в которой эта функция обращается в нуль: f(c) = 0, a < c < b. Теорема 8 (вторая теорема Больцано Коши). Пусть функция y = непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения: f(a) = A, f(b) = B, A B. Тогда, каково бы ни было число C, лежащее между A и B, найдётся такая точка c [a,b], что f(c) = C. Следствие 4. Если функция непрерывна на отрезке, то множество её значений также заполняет некоторый отрезок. Замечание 4 (метод половинного деления). Первая теорема Больцано Коши означает, что любое уравнение = 0 имеет хотя бы один корень отрезке [a,b], если функция, непрерывная на [a,b] и принимающая значения противоположных знаков на его концах. Если известно, что этот корень единственный 5, то, воспользовавшись той же теоремой, можно приближённо вычислить этот корень с любой, наперёд заданной точностью. Именно, предположим для определённости, что f(a) < 0, а f(b) > 0. Пусть c = a+b середина отрезка. Тогда можно считать, что искомый корень 0 приблизительно равен c. При этом 0 c ε 1 = b a, т.е. ε 1 точность оценки значения корня. 5 В этом случае (a,b) называется интервалом отделимости корня.

10 10 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ Возможны три случая: (1) f(c) = 0, () f(c) < 0, () f(c) > 0. В первом из них c точное значение корня, т.е. задача решена. Во втором случае, в силу теоремы 7, корень лежит в интервале (c,b), а в третьем в интервале (a,c). Значит, мы можем повторить процедуру и вычислить корень с точностью ε = ε 1. Таким образом, за n шагов мы либо узнаем корень точно, либо вычислим его с точностью ε n = b a. Значит, что бы вычислить n приближённое значение корня с заданной точностью ε, достаточно проделать [ ] b a n = log + 1 ε шагов, где, как и раньше, квадратные скобки обозначают целую часть числа. Теорема 9 (существование обратной функции). Пусть функция y = непрерывна и строго возрастает (убывает) на некотором отрезке. Тогда на соответствующем отрезке её значений существует однозначная обратная к ней функция = g(y), которая также непрерывна является строго возрастающей (убывающей). Теорема 10 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция y = непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда её значения на этом отрезке ограничены сверху и снизу, то есть такие числа m и M, что m M для любой точки [a, b]. Теорема 11 (вторая теорема Вейерштрасса). Любая функция, непрерывная на отрезке [a, b], достигает своего максимального и минимального значений.

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей

Вопросы к экзамену по курсу 1-2 модулей На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к экзамену по курсу 1- модулей 1. Расскажите о числах: натуральных, целых, рациональных и иррациональных. Расскажите о числовой прямой

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ. Построим отрицание для этого определения: f (x) неограничена сверху на 0 ;1 РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Найти область определения D и множество значений Е функции y Р е ш е н и е Функция y определена если те если Поэтому областью определения функции является множество f ; D R Поскольку

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( )

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу ( ) Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу (2013 2014) 29 августа 2013 г. Тема I. Вещественные числа 1. Определения 1.1. Сформулируйте правило сравнения вещественных чисел. Сформулируйте определение:

Подробнее

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013

Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 Вопросы и задания к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции» Первый поток. Осень 2013 1 Определения Сформулируйте определение: 2 ноября 2013 г. 1. ограниченного

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Â. Ë. Ôàéíøìèäò. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã. «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã» Â. Ë. Ôàéíøìèäò Рекомендовано Научно-методическим cоветом по математике вузов Северо-Запада РФ в качестве учебника для студентов инженерных специальностей технических вузов Ñàíêò-Ïåòåðáóðã «ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã»

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции одной переменной Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Математический анализ-1

Математический анализ-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Бакинский филиал ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Э. М. Галеев Математический анализ-1 Баку - 2015 Учебное пособие Галеев Э.М. Математический анализ-1.

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества.

ЛЕКЦИЯ N1. 1.Частично упорядоченные множества. ЛЕКЦИЯ N1 Числовые множества Числовые последовательности Пределы, свойства Теорема Больцано-Вейерштрасса Функции Способы задания Элементарные функции Предел функции в точке 1Частично упорядоченные множества

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр. ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ" (физический факультет, дневное отделение) 1-й семестр ЧАСТЬ 1 (1-й коллоквиум) Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

13. Экспонента и логарифм

13. Экспонента и логарифм 13. Экспонента и логарифм Для завершения доказательства предложения 12.8 нам остается дать одно определение и доказать одно предложение. Определение 13.1. Ряд a i называется абсолютно сходящимся, если

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

4. Непрерывность функции 1. Основные определения

4. Непрерывность функции 1. Основные определения 4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x если справедливо равенство f ( x). (1)

Подробнее

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

VI. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Федеральное агентство по образованию РФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий VI МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения.

Замечание. Понятие множества, как и другие основополагающие понятия математики, вводится без определения. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция 3 Множества Операции с множествами Отображения множеств Множество действительных чисел Числовые множества Функция Область ее определения Сложные и обратные функции График функции

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ПРЕДЕЛЫ» I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ. Числовые последовательности. Предел последовательности. Свойства пределов последовательности.. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Министерство образования и науки Российской Федерации Курганский государственный университет Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Р. М. ГАВРИЛОВА, Г. С. КОСТЕЦКАЯ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ У ч е б н о е п о

Подробнее

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену

Филиал в г. Домодедово. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (часть 1) Михин М.Н. Методические указания по подготовке к итоговой контрольной работе и экзамену МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

3. Бесконечно большие последовательности

3. Бесконечно большие последовательности 3. Бесконечно большие последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { n } называется бесконечно большой, если M> NN такое, что n >M, n>n. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Глава 2. Пределы функций одной переменной.

Глава 2. Пределы функций одной переменной. Глава Пределы функций одной переменной Предел переменной величины Определение Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если для каждого наперед заданного числа ε > можно указать такое

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли

2. Предел функции. изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли . Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» О.В. Скворцова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Предел. Непрерывность. Производная. Интеграл Утверждено Редакционно-издательским

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

«5» Шаг 1 (l R) «5» Шаг 2 (l = + ) «3» Теорема 35 (Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях)

«5» Шаг 1 (l R) «5» Шаг 2 (l = + ) «3» Теорема 35 (Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях) БИЛЕТ 1 «3» Определение верхней границы «3» Теорема 36 (Кантора о равномерной непрерывности) «3» Теорема 49 (о главных частях элементарных функций) БИЛЕТ 2 «3» Определение наибольшего элемента «3» Теорема

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, г. Тема 1. Числовые множества и последовательности Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - г Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1)

1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения ( , сем.1) 1. Математический анализ, первый семестр Список вопросов к экзамену 1.1. Определения (2006-2007, сем.1 1. Сформулируйте определение ограниченного множества вещественных чисел. 2. Сформулируйте определение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е Б Боронина Эта книга написана для студентов технических вузов желающих подготовиться к экзамену по математическому анализу Содержание данной книги полностью соответствует

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Тема: Числовые последовательности

Тема: Числовые последовательности Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей) Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г.

Подробнее

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу Министерство образования Российской федерации Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра дискретного анализа Методические указания по подготовке к экзамену по математическому анализу

Подробнее

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания

lim ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические указания Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

Предел. Непрерывность.

Предел. Непрерывность. Функция. 1 1. Какие числа образуют множество действительных чисел? 2. Что называется числовой осью? 3. Что называется интервалом? 4. Определить понятие окрестности точки. 5. Что называется абсолютной величиной?

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52

Бесконечно малые величины. Бесконечно большие величины. Математический анализ (лекция 5) / 52 Бесконечно большие величины Математический анализ (лекция 5) 16.03.2013 2 / 52 Определение Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x x 0 (x ), если lim α(x) = 0 ( x x0 ) lim α(x) = 0 x.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. Контрольная работа для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее