ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ"

Транскрипт

1 ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ ЦИКЛЫ В РЯДУ ОСТАТКОВ ОТ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ Ученица: Безменова Саша Класс: 8 Руководитель: Сгибнев А. И.

2 Последовательность Фибоначчи это последовательность, в которой каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Ясно, что такая последовательность полностью определяется первыми двумя членами. Будем обозначать Ф(a;b) последовательность Фибоначчи, задающуюся первыми двумя членами a и b. Рассмотрим остатки от деления членов последовательности Ф(0;) на : 0,,,0,,,0,,, (будем называть последовательность остатков от деления чисел последовательности Фибоначчи просто последовательностью остатков). Приведем ещё пример: та же последовательность Фибоначчи, делитель k=5. Последовательность остатков: 0,,,,,0,,,,4,0,4,4,,,0,,,4,, 0,,,,,0,,,,4,0,4,4,,,0,,,4,, 0,, Видно, что в первом случае участок 0,,, а во втором случае участок 0,,,,,0,,,,4,0,4,4,,,0,,,4, всё время повторяются. Возникает вопрос будут ли они повторяться бесконечно? Будут ли также периодичны последовательности остатков от деления чисел произвольной последовательности Ф(a;b) на произвольное натуральное число k, большее? Теорема. Последовательность остатков от деления чисел произвольной последовательности Фибоначчи на произвольное натуральное число k всегда периодична. Доказательство. Так же, как и каждый член последовательности Фибоначчи, каждый следующий остаток можно получить из двух предыдущих. Следовательно, если какая-то пара остатков повторится, то последовательность остатков зациклится. Поскольку при делении на k возможно лишь k различных остатков, то возможно не более k различных пар остатков. Это число конечно, следовательно, какая-нибудь пара остатков обязательно повторится и последовательность зациклится. Следующая теорема показывает, что период в последовательности остатков начинается с первого члена. Вообще говоря, для произвольной периодической последовательности это не так. Например, рассмотрим периодичную десятичную дробь. В ней периодичность может начаться как с первого, так и с любого другого члена, например 0,4(). Для последовательности Ф(0;) и k= или k=5 периодичность в последовательности остатков также началась с первого члена. А верно ли это для других последовательностей Фибоначчи и других k? Теорема. Первый период в последовательности остатков всегда начинается с первого члена. Доказательство. Последовательность Фибоначчи (а, следовательно, и последовательность остатков) можно восстанавливать по двум членам не только вперёд, но и назад. Обозначим a - -й член последовательности Фибоначчи, а - остаток от деления этого числа на k. Тогда a a a = + = + (здесь и далее все сложения и вычитания для остатков понимаются по модулю k). Предположим, что первый период в последовательности остатков начался не с первого члена. Тогда, восстанавливая последовательность остатков назад по первым двум членам первого периода и +, получим, что - равно последнему члену периода (так как после последнего члена периода стоят первые два члена периода), - равно предпоследнему и т. д. Таким образом, и будут равны каким-то двум соседним членам периода, и, следовательно, с них и будет начинаться первый период.

3 Возникает вопрос какова длина периода для данных последовательности Ф(a;b) и k? Периодом максимальной длины будет период, в котором есть все возможные пары остатков. Первые две пары образуют участок длиной. Добавляя две пары, мы увеличиваем длину на, а добавляя одну пару на. Следовательно, если k делится на, то максимальная длина периода будет равна L= k : + = k +, а если k не делится на, то максимальная длина периода будет равна L= (k -): + = k +. Поэтому если мы попытаемся найти длину периода перебором (поиском пары остатков, равной первой паре), в худшем случае на это потребуется k + операций. Попытаемся оптимизировать поиск. Рассмотрим последовательность Ф(0;). Поскольку первое число последовательности остатков 0, оно встретится в нём ещё - в начале каждого цикла и в некоторых случаях где-то в середине цикла. Но первый 0, перед которым стоит это начало следующего цикла, так как +0= и (mod k) для любого k. Выпишем последовательность остатков в следующем виде (каждая строка участок последовательности остатков от 0 до остатка, предшествующего следующему 0): 0,,,,, 0,,,,, 0, 0,, m,, m,,, m,, m Лемма. и k взаимно просты. Доказательство. Поскольку a - =a + -a, то (a, a + )=( a -, a )=( a 0, a )=(0,)=. Пусть длина первой строки. Тогда a mod k ( ) a+ k ( a, a+ ) = (, k ) = Поскольку и k взаимно просты, найдётся такое m, что m. Первая степень, равная это конец цикла. Лемма. Все строки имеют одинаковую длину. Доказательство. Заметим, что j-й член (+)-й строки равен j-му члену -й строки, умноженному на. Следовательно, если какая-то строка (длинной l) короче соседней, то (l +)-й элемент этой соседней строки равен 0 =0, т. её длина также равна l. Итак, чтобы найти конец периода, нам достаточно найти второй 0, а затем перебирать степени идущего перед ним числа, пока не получится число, сравнимое с единицей по модулю k. Иными словами, надо пройти в таблице первую строку, а затем последний столбец. Если строк X, то этот алгоритм быстрее обычного перебора почти в X раз. Рассмотрим последовательность Ф(0;), где. I-й член последовательности Ф(0;) b равен a, где a -й член последовательности Ф(0,). Следовательно, если a =0, то и b =0. I. (, k)=. Лемма. Если (, k)=, то сравнения a (mod k) и b (mod k) равносильны.

4 Доказательство. ) Пусть a =. Тогда a = pk + Выражаем b b = a = pk + b через a : ) Пусть b (mod k). Тогда b = qk + = a Поскольку (, k ) = и qk + q a = k + = a, то q Таким образом, в последовательности остатков от деления чисел последовательности Ф(0;) встречается на том и только на том месте, где в последовательности остатков от деления чисел последовательности Ф(0;) встречается, а 0 на том и только на том месте, где встречается 0. Следовательно, длина периода для последовательности Ф(0; ) будет такая же, как и для последовательности Ф(0;) при делении на тот же делитель, и мы можем найти её по описанному выше алгоритму. II. (, k)>. Пусть (, k). Рассмотрим последовательность Ф(0;/(, k)) (все члены будут делиться на (, k), потому что каждый член делится на ) и делитель k/(, k). Длину его цикла мы можем найти из предыдущего результата, так как числа /(, k) и k/(, k) взаимно просты Докажем, что она будет равна искомой. Заметим, что при увеличении делимого и делителя в s раз остаток также увеличивается в s раз. Если же делимое и делитель делятся нацело на s, то и остаток также делится, причём остаток «делённой» последовательности равен остатку исходной, делённому на s. Тем самым циклы исходной и «делённой» последовательности имеют одинаковую длину. Рассмотрим последовательности Ф(;0) и Ф(,), где. Видно, что эти последовательности представляют собой последовательность Ф(0;), «сдвинутую» в первом случае на влево, а во втором на вправо. Следовательно, и длина цикла будет как у последовательности (0;), а поиск длины для неё уже оптимизирован. Рассмотрим последовательность Ф(;m). Каждый член этой последовательности (и последовательности остатков) представляет собой сумму соответствующих членов последовательностей Ф(;0) и Ф(0;m) (последовательностей их остатков). Пусть длина периода для последовательности Ф(;0) равна L ;0, а для последовательности Ф(0;m) - L 0;m. Тогда с [L ;0,L 0;m ]-того члена последовательности остатков для последовательности Ф(;m) начнётся какой-то период, хотя этот период вообще говоря не является минимальным.

5 Вернёмся к алгоритму вычисления длины периода для последовательности Ф(0:). Была написана программа, которая вычисляла длину периода для последовательности Ф(0;) при k от до 0000 простым перебором и по описанному выше алгоритму, считала число операций при вычислении тем и другим способом, а также вычисляла, сколько раз встречался 0 в периоде (или, что то же самое, сколько было бы строчек в при записи последовательности остатков описанным выше способом или какое значение принимает минимальное m, такое что m ). Результаты:. Оказалось, что m принимало значения,, 4.. Оказалось, что во всех 9999 случаях второй способ даёт меньше действий. Из них в 8989 случаях меньше более чем в раза На основании первого наблюдения была сформулирована следующая Теорема. Если m минимальное число, такое что m, где остаток от деления члена последовательности Ф(0;), стоящего перед вторым членом той же последовательности, сравнимым с нулём по модулю k, то m может быть равным только, или 4. Доказательство. Выпишем остатки: 0,,,,,0, Пусть длина строки (от 0 до ) =. Теперь восстановим последовательность остатков назад по паре,0 (при этом заметим, что на каждом шаге получаем, умноженное на соответствующий член последовательности Ф(0;) 0= (-a ), = a, -= (-a ), и т. д.): ± a+, a, ± a,...,,,,0,... Следовательно ± a. Также из первого ряда видно, что a. Если =, то m=. Если, то рассмотрим два случая: ) a и ). a a a ) Если, то =, т. m = a a ) Если ( k ) ( k ) mod Предположим, что mod 4 mod противоречие ( k ) ( т. m ) ) ( т. m = 4) mod ( ( k ) ( т. m = ) = ( ) ( ) Возможно, на основании этого факта в дальнейшем можно будет получить формулу для вычисления длины периода. Я благодарна моему научному руководителю А. И. Сгибневу, а также Д.Э. Шнолю и А.С. Воронцову за обсуждения темы и помощь в оформлении результатов.

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ. Москва

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ. Москва НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ ЕРОШИН АЛЕКСЕЙ Москва Руководитель: кф-мн КАНЕЛЬ-БЕЛОВ АЯ Основной результат работы состоит в доказательстве того, что в десятичном разложении числа i = a i, где

Подробнее

Целые, рациональные и вещественные числа

Целые, рациональные и вещественные числа Глава 2 Целые, рациональные и вещественные числа 2.. Целые числа Числа, 2, 3,... называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается N, т.е. N = {,2,3,...}. Числа..., 3, 2,,0,,2,3,...

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

Содержание. 1. Введение Аннотация Проблема Цель работы Гипотеза Предмет исследования...

Содержание. 1. Введение Аннотация Проблема Цель работы Гипотеза Предмет исследования... 1 2 Содержание. 1. Введение. 4-6 1.1. Аннотация...4 1.2. Проблема 4 1.3. Цель работы 5 1.4. Гипотеза..5 1.5. Предмет исследования... 5 1.6. Объект исследования. 5 1.7. Новизна... 5-6 1.8. Методы исследования...6

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Решение задач по теории чисел

Решение задач по теории чисел Решение задач по теории чисел 1 Сравнения первой степени с одним неизвестным ax b (mod m) Пример 1. Решите сравнение О.В. Митина 1287x 447 (mod 516). (1) Решение: 1) Заменим коэффициенты сравнения (1)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 13 ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ПО МОДУЛЮ. Случай простого модуля

ЛЕКЦИЯ 13 ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ПО МОДУЛЮ. Случай простого модуля ЛЕКЦИЯ 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ПО МОДУЛЮ Случай простого модуля Рассмотрим сравнение х a mod р, () где число р простое и целое число а не делится на p Вычисление решения x данного уравнения является

Подробнее

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b.

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b. Занятие 6 Если не оговорено противное, в этой теме слово «число» означает целое число. Целое число a делится на целое число b, если существует целое число k, т. ч. a = bk. Также в этом случае говорят,

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года)

Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года) Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года) 1 УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Осмысленная фраза на русском языке записана

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

ИЗБРАННЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ИЗБРАННЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И. СЮСЮКАЛОВ, Е.А. СЮСЮКАЛОВА ИЗБРАННЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ Часть 2 Рязань

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

B5 (повышенный уровень, время 10 мин)

B5 (повышенный уровень, время 10 мин) B5 (повышенный уровень, время 0 мин) Тема: Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя. Что нужно знать: каких-либо особых знаний из курса информатики не требуется, задача решаема на уровне 6-7 класса

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр.

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр. Корянов АГ, Прокофьев АА Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С6) СОДЕРЖАНИЕ стр Делимость целых чисел Деление без остатка Свойства делимости целых

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

1 Алгоритм Евклида и его сложность

1 Алгоритм Евклида и его сложность 1 Алгоритм Евклида и его сложность Определение 1. Общим делителем чисел a и b называется такое число c, что c a и c b. Определение 2. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется такой их общий делитель,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Натуральное число p, больше единицы называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на себя. Теорема (Эвклид). Множество простых чисел бесконечно. Обозначим через π(x)

Подробнее

Problem A. Шахматный турнир

Problem A. Шахматный турнир Problem A. Шахматный турнир Так как после каждой партии выбывает один шахматист, а изначально шахматистов N, то для того, чтобы определить победителя, надо провести N 1 партий. Задача впервые была предложена

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения- Теоретический материал. Множество вычетов по модулю, свойства сравнений. Пусть натуральное число, большее. Через Z обозначаем множество всех классов

Подробнее

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса.

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дистанционное обучение проводит учитель гимназии Акаёмова Ольга Тимофеевна. Цель обучения расширение и углубление знаний учеников по математике.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

= 4

= 4 Коррекционная карточка 6 класс: Действия с рациональными числами (с помощью координатной прямой) 1. Построить координатную прямую, указав начало координат и единичный отрезок. Отметить на координатной

Подробнее

Лабораторная работа 8. Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида

Лабораторная работа 8. Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида Лабораторная работа 8 Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида Цель работы используя алгоритм Эвклида создать программу, которая для чисел a и b определяет наибольший

Подробнее

1 Показатели. Первообразные корни.

1 Показатели. Первообразные корни. 1 Показатели. Первообразные корни. 1.1 Понятие показателя. Простейшие свойства. Определение. Будем говорить, что число a, (a, n) = 1 принадлежит показателю N по модулю n, если - минимальное число, такое

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней.

ЛЕКЦИЯ 6 СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ. Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней. ЛЕКЦИЯ 6 СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ Пусть дан модуль n и некоторое число a, взаимно простое с модулем n. Рассмотрим последовательность степеней a, a 2,, a t, Найдем наименьшее число k, при котором a k 1 mod n. Определение.

Подробнее

1 Числовые последовательности

1 Числовые последовательности Глава 0 Последовательности Числовые последовательности Числовую последовательность часто называют функцией натурального аргумента Действительно, задание -ого члена последовательности аналогично заданию

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы

Подробнее

Тема "Системы счисления" Основание системы счисления

Тема Системы счисления Основание системы счисления Тема "Системы счисления" Системы счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. В мире наиболее распространены

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n.

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n. Стр. 1 из 18 Двоичная арифметика Числа которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить

Подробнее

Методическое руководство к лабораторной работе «Алгоритм Евклида» (Глава 3, 7 класс)

Методическое руководство к лабораторной работе «Алгоритм Евклида» (Глава 3, 7 класс) Методическое руководство к лабораторной работе «Алгоритм Евклида» (Глава 3, 7 класс) Цель работы создать в Excel «машину» для автоматического вычисления НОД двух чисел по алгоритму Евклида. При этом продолжается

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ

ЛЕКЦИЯ 7 ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ ЛЕКЦИЯ 7 ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ Определение. Класс [a], где (a, n) = 1, называется первообразным корнем по модулю n, если показатель числа a по модулю n равен φ(n) значению функции Эйлера для модуля n. Известно,

Подробнее

1 Квадратичные сравнения.

1 Квадратичные сравнения. 1 Квадратичные сравнения. Замечание. Вопрос о разрешимости квадратичных сравнений был рассмотрен в Лекции. Там также были приведены некоторые утверждения и понятия используемые в этой лекции, такие как

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. Уральский государственный педагогический университет. А.П. Ильиных ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Министерство образования Российской Федерации. Уральский государственный педагогический университет. А.П. Ильиных ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет А.П. Ильиных ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Учебное пособие Екатеринбург 2003 УДК 511 И 45 РЕЦЕНЗЕНТ: член - корреспондент

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

q и пишут a b. Число b называют делителем

q и пишут a b. Число b называют делителем ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. Определение. Говорят, что целое число a нацело делится на целое число b, если a b q и пишут a b. Число b называют делителем существует такое целое число q, что числа a. виде Определение.

Подробнее

Потопахин Виталий Валерьевич

Потопахин Виталий Валерьевич Потопахин Виталий Валерьевич Двоичная арифметика Дорогие читатели. В данной статье излагается материал по информатике. Вам необходимо внимательно изучить этот материал, решить задачи, предложенные для

Подробнее

Делимость целых чисел в задачах

Делимость целых чисел в задачах Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

Тема: Системы счисления

Тема: Системы счисления Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

Подробнее

Раздел 1. Математические основы криптографии

Раздел 1. Математические основы криптографии Раздел 1. Математические основы криптографии 1 Определение поля Конечным полем GF q (или полем Галуа) называют конечное произвольное множество элементов с заданными между ними операциями сложения, умножения

Подробнее

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята!

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята! Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными Добрый день, ребята! На прошлом уроке мы повторили темы, изученные в 6 классе. Вспомнили, как выполнять действия с обыкновенными и

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

6-2 (базовый уровень, время 4 мин)

6-2 (базовый уровень, время 4 мин) К. Поляков, 009-06 6- (базовый уровень, время 4 мин) Тема: Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя. Что нужно знать: исполнитель это человек, группа людей, животное, машина или другой объект,

Подробнее

,

, Занятие 5 Ориентированный граф (или, орграф) G = (V, A) состоит из некоторого непустого множества V вершин и множества A соединяющих эти вершины ориентированных ребер (или, дуг или, стрелок). Мы пишем

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие 2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО Переходя от сравнений первой степени к сравнениям более высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот случай, когда модуль простое число В этом случае

Подробнее

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии

XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии XIX Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии Задачи для 11 класса Решение задачи 1 Сначала заметим, что если N = pq, где p и q простые числа, то количество натуральных чисел, меньших

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

B8 (повышенный уровень, время 2 мин)

B8 (повышенный уровень, время 2 мин) К. Поляков, 009-011 B8 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, г. Донецк, Украина

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, г. Донецк, Украина ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2009 Вычислительные методы в дискретной математике 4(6) УДК 518.6+681.3 «ЛЕНТОЧНАЯ» ТЕОРЕМА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В. В. Скобелев Институт прикладной математики и механики НАН

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО "НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" А.И.Кузьмичёв, М.П.Тропин ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И.Кузьмичёв, М.П.Тропин ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО "НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" АИКузьмичёв, МПТропин ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Задачник-практикум для студентов 3-го курса Новосибирск 2009 УДК

Подробнее

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса)

Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Делимость чисел и простые числа. (Спецкурс для 7-8 класса) Предисловие для учителей Перед вами курс по делимости чисел и простым числам, предназначенный школьникам 7-8 классов. Большинство заданий взято

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Десятичная запись 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8., 8., 8. класс, Математика (учебник Макарычев) 07-08 уч.год Тема модуля «Делимость чисел. Действительные числа, квадратный корень» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь

Подробнее

Введение. a, b, c Z a b c =a b a c Нет делителей нуля -- a,b Z: a 0, b 0 a b 0

Введение. a, b, c Z a b c =a b a c Нет делителей нуля -- a,b Z: a 0, b 0 a b 0 Введение В начальной школе все мы знакомимся с множеством натуральных, а затем и целых чисел. Там же мы изучаем две базовые операции сложение и умножение, а также обратную операцию к сложению вычитание,

Подробнее

приращений 30, т.е. 11, 13(11+2), 17(13+4), 19(17+2), 23(19+4), 29(23+6), 31(29+2), 37(31+6), 41(37+4), 43(41=2), 47(43=4), 49(47=2), 53(49=4) и т. д.

приращений 30, т.е. 11, 13(11+2), 17(13+4), 19(17+2), 23(19+4), 29(23+6), 31(29+2), 37(31+6), 41(37+4), 43(41=2), 47(43=4), 49(47=2), 53(49=4) и т. д. Ритмика простых чисел. Один из способов поиска простых чисел Распопов В.З., ВНИИЭФ, г. Саров Анализируя последовательный возрастающий ряд целых чисел можно заметить, что начиная с простого числа 11 все

Подробнее

А. Шень Игры и стратегии с точки зрения математики, МЦНМО. Простые игры и классификация позиций

А. Шень Игры и стратегии с точки зрения математики, МЦНМО. Простые игры и классификация позиций А. Шень Игры и стратегии с точки зрения математики, МЦНМО Простые игры и классификация позиций На столе лежит 12 спичек. Играющие по очереди могут взять от одной до трёх спичек. Кто не может сделать ход

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3 класс, Математика (учебник Макарычев) 2017-2018 уч.год Тема модуля 2 «Целые Делимость чисел» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать Уметь Знать определение пересечения и

Подробнее

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ

ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ 2008 г 3 Труды ФОРА ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРОСТЫХ И СОСТАВНЫХ ЧИСЕЛ Кубанский государственный университет, г. Краснодар Работа посвящена доказательству малой теоремы Ферма. В ней предлагается простой

Подробнее

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие

Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие Тема 1-10: Корни многочленов. Неприводимые многочлены над полями C, R и Q. Разложение рациональных дробей на простейшие А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных

Подробнее

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей.

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей. Тест по теме «НОД и НОК» Фамилия, Имя. Натуральные числа называются взаимно простыми, если: а) у них более двух делителей; б) их НОД равен ; в) у них один делитель.. Наибольшим общим делителем чисел а

Подробнее

Введение в системы счисления

Введение в системы счисления Введение в системы счисления А.А. Вылиток Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных

Подробнее

Незнакомые алгоритмы поиска простых чисел среди нечётных

Незнакомые алгоритмы поиска простых чисел среди нечётных Незнакомые алгоритмы поиска простых чисел среди нечётных О.А. Черепанов В классической теории чисел есть две теоремы с именем Пьера Ферма Большая x n + y n = z n и Малая a 1(mod р). Но если о первой знают

Подробнее

B1 (базовый уровень, время 4 мин)

B1 (базовый уровень, время 4 мин) К. Поляков, 009-04 B (базовый уровень, время 4 мин) Тема: Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя. Что нужно знать: каких-либо особых знаний из курса информатики не требуется, задача решаема

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

Система счисления способ описания чисел с помощью знаков определенного алфавита по известным правилам.

Система счисления способ описания чисел с помощью знаков определенного алфавита по известным правилам. Системы счисления Система счисления способ описания чисел с помощью знаков определенного алфавита по известным правилам. Позиционные системы счисления В позиционной системе счисления значение цифры зависит

Подробнее

Дополнительная подготовка школьников по дисциплине «Информатика и информационные технологии»

Дополнительная подготовка школьников по дисциплине «Информатика и информационные технологии» Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет» Дополнительная подготовка школьников по дисциплине

Подробнее

Алгебраические уравнения

Алгебраические уравнения Алгебраические уравнения где Определение. Алгебраическим называется уравнение вида 0, P () 0,,, некоторые действительные числа. 0 0 При этом переменная величина называется неизвестным, а числа 0,,, коэффициентами

Подробнее

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс.

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. 1. Определение натуральных, целых, рациональных чисел. 2. Признаки делимости на 10, на 5, на 2. 3. Признаки делимости на 9, на 3. 4. Основное свойство

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби. m или ( m ) < n. или ( m) n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Обыкновенные дроби Определение Дроби вида, называются обыкновенными дробями Обыкновенные дроби, правильные и неправильные Определение Дробь, правильной, если < при, где Z, N Z, N Z,

Подробнее

Математика 7 класс Задачи на делимость

Математика 7 класс Задачи на делимость МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика класс Задачи на делимость Новосибирск Определение и свойства

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

Тема 1. Развитие понятия о числе 3. Арифметические действия над обыкновенными дробями

Тема 1. Развитие понятия о числе 3. Арифметические действия над обыкновенными дробями Тема. Развитие понятия о числе. Арифметические действия над обыкновенными дробями. Сложение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем называют дробь, имеющую тот же знаменатель, а числитель равен сумме

Подробнее

Последовательность и рекуррентное соотношение

Последовательность и рекуррентное соотношение 1 Последовательность и рекуррентное соотношение Лекции ВВШеломовского Последовательности и рекуррентные соотношения достаточно часто встречаются на экзаменах и олимпиадах Простейшая последовательность

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 1 / 67 Часть I Конечные поля (поля Галуа). I ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). I 2 / 67 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

Натуральные числа можно складывать и умножать. При этом вновь получается натуральное число, то есть для любых

Натуральные числа можно складывать и умножать. При этом вновь получается натуральное число, то есть для любых НАТУРАЛЬНЫЕ И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА Определения Формы записи Определение Числа,,3,K называются натуральными числами Множество натуральных чисел обозначается буквой N Таким образом, по определению def {,,3,K } N

Подробнее

Н.И. Червяков, И.Н. Лавриненко, С.В. Лавриненко, О.С. Мезенцева

Н.И. Червяков, И.Н. Лавриненко, С.В. Лавриненко, О.С. Мезенцева УДК 68. Н.И. Червяков, И.Н. Лавриненко, С.В. Лавриненко, О.С. Мезенцева МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ ОКРУГЛЕНИЯ, МАСШТАБИРОВАНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В МОДУЛЯРНОЙ АРИФМЕТИКЕ (Ставропольский военный институт связи ракетных

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция. Функции натурального аргумента (последовательности). Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е.

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е. Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

Подробнее

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель Глава Целые, рациональные и действительные числа. Деление с остатком. Каждое из чисел ±23, ±4 разделите с остатком на каждое из чисел ±5. 2. Найдите все положительные делители числа 42. 3. Сейчас 3 часов.

Подробнее