ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ"

Транскрипт

1 ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ ЦИКЛЫ В РЯДУ ОСТАТКОВ ОТ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ Ученица: Безменова Саша Класс: 8 Руководитель: Сгибнев А. И.

2 Последовательность Фибоначчи это последовательность, в которой каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Ясно, что такая последовательность полностью определяется первыми двумя членами. Будем обозначать Ф(a;b) последовательность Фибоначчи, задающуюся первыми двумя членами a и b. Рассмотрим остатки от деления членов последовательности Ф(0;) на : 0,,,0,,,0,,, (будем называть последовательность остатков от деления чисел последовательности Фибоначчи просто последовательностью остатков). Приведем ещё пример: та же последовательность Фибоначчи, делитель k=5. Последовательность остатков: 0,,,,,0,,,,4,0,4,4,,,0,,,4,, 0,,,,,0,,,,4,0,4,4,,,0,,,4,, 0,, Видно, что в первом случае участок 0,,, а во втором случае участок 0,,,,,0,,,,4,0,4,4,,,0,,,4, всё время повторяются. Возникает вопрос будут ли они повторяться бесконечно? Будут ли также периодичны последовательности остатков от деления чисел произвольной последовательности Ф(a;b) на произвольное натуральное число k, большее? Теорема. Последовательность остатков от деления чисел произвольной последовательности Фибоначчи на произвольное натуральное число k всегда периодична. Доказательство. Так же, как и каждый член последовательности Фибоначчи, каждый следующий остаток можно получить из двух предыдущих. Следовательно, если какая-то пара остатков повторится, то последовательность остатков зациклится. Поскольку при делении на k возможно лишь k различных остатков, то возможно не более k различных пар остатков. Это число конечно, следовательно, какая-нибудь пара остатков обязательно повторится и последовательность зациклится. Следующая теорема показывает, что период в последовательности остатков начинается с первого члена. Вообще говоря, для произвольной периодической последовательности это не так. Например, рассмотрим периодичную десятичную дробь. В ней периодичность может начаться как с первого, так и с любого другого члена, например 0,4(). Для последовательности Ф(0;) и k= или k=5 периодичность в последовательности остатков также началась с первого члена. А верно ли это для других последовательностей Фибоначчи и других k? Теорема. Первый период в последовательности остатков всегда начинается с первого члена. Доказательство. Последовательность Фибоначчи (а, следовательно, и последовательность остатков) можно восстанавливать по двум членам не только вперёд, но и назад. Обозначим a - -й член последовательности Фибоначчи, а - остаток от деления этого числа на k. Тогда a a a = + = + (здесь и далее все сложения и вычитания для остатков понимаются по модулю k). Предположим, что первый период в последовательности остатков начался не с первого члена. Тогда, восстанавливая последовательность остатков назад по первым двум членам первого периода и +, получим, что - равно последнему члену периода (так как после последнего члена периода стоят первые два члена периода), - равно предпоследнему и т. д. Таким образом, и будут равны каким-то двум соседним членам периода, и, следовательно, с них и будет начинаться первый период.

3 Возникает вопрос какова длина периода для данных последовательности Ф(a;b) и k? Периодом максимальной длины будет период, в котором есть все возможные пары остатков. Первые две пары образуют участок длиной. Добавляя две пары, мы увеличиваем длину на, а добавляя одну пару на. Следовательно, если k делится на, то максимальная длина периода будет равна L= k : + = k +, а если k не делится на, то максимальная длина периода будет равна L= (k -): + = k +. Поэтому если мы попытаемся найти длину периода перебором (поиском пары остатков, равной первой паре), в худшем случае на это потребуется k + операций. Попытаемся оптимизировать поиск. Рассмотрим последовательность Ф(0;). Поскольку первое число последовательности остатков 0, оно встретится в нём ещё - в начале каждого цикла и в некоторых случаях где-то в середине цикла. Но первый 0, перед которым стоит это начало следующего цикла, так как +0= и (mod k) для любого k. Выпишем последовательность остатков в следующем виде (каждая строка участок последовательности остатков от 0 до остатка, предшествующего следующему 0): 0,,,,, 0,,,,, 0, 0,, m,, m,,, m,, m Лемма. и k взаимно просты. Доказательство. Поскольку a - =a + -a, то (a, a + )=( a -, a )=( a 0, a )=(0,)=. Пусть длина первой строки. Тогда a mod k ( ) a+ k ( a, a+ ) = (, k ) = Поскольку и k взаимно просты, найдётся такое m, что m. Первая степень, равная это конец цикла. Лемма. Все строки имеют одинаковую длину. Доказательство. Заметим, что j-й член (+)-й строки равен j-му члену -й строки, умноженному на. Следовательно, если какая-то строка (длинной l) короче соседней, то (l +)-й элемент этой соседней строки равен 0 =0, т. её длина также равна l. Итак, чтобы найти конец периода, нам достаточно найти второй 0, а затем перебирать степени идущего перед ним числа, пока не получится число, сравнимое с единицей по модулю k. Иными словами, надо пройти в таблице первую строку, а затем последний столбец. Если строк X, то этот алгоритм быстрее обычного перебора почти в X раз. Рассмотрим последовательность Ф(0;), где. I-й член последовательности Ф(0;) b равен a, где a -й член последовательности Ф(0,). Следовательно, если a =0, то и b =0. I. (, k)=. Лемма. Если (, k)=, то сравнения a (mod k) и b (mod k) равносильны.

4 Доказательство. ) Пусть a =. Тогда a = pk + Выражаем b b = a = pk + b через a : ) Пусть b (mod k). Тогда b = qk + = a Поскольку (, k ) = и qk + q a = k + = a, то q Таким образом, в последовательности остатков от деления чисел последовательности Ф(0;) встречается на том и только на том месте, где в последовательности остатков от деления чисел последовательности Ф(0;) встречается, а 0 на том и только на том месте, где встречается 0. Следовательно, длина периода для последовательности Ф(0; ) будет такая же, как и для последовательности Ф(0;) при делении на тот же делитель, и мы можем найти её по описанному выше алгоритму. II. (, k)>. Пусть (, k). Рассмотрим последовательность Ф(0;/(, k)) (все члены будут делиться на (, k), потому что каждый член делится на ) и делитель k/(, k). Длину его цикла мы можем найти из предыдущего результата, так как числа /(, k) и k/(, k) взаимно просты Докажем, что она будет равна искомой. Заметим, что при увеличении делимого и делителя в s раз остаток также увеличивается в s раз. Если же делимое и делитель делятся нацело на s, то и остаток также делится, причём остаток «делённой» последовательности равен остатку исходной, делённому на s. Тем самым циклы исходной и «делённой» последовательности имеют одинаковую длину. Рассмотрим последовательности Ф(;0) и Ф(,), где. Видно, что эти последовательности представляют собой последовательность Ф(0;), «сдвинутую» в первом случае на влево, а во втором на вправо. Следовательно, и длина цикла будет как у последовательности (0;), а поиск длины для неё уже оптимизирован. Рассмотрим последовательность Ф(;m). Каждый член этой последовательности (и последовательности остатков) представляет собой сумму соответствующих членов последовательностей Ф(;0) и Ф(0;m) (последовательностей их остатков). Пусть длина периода для последовательности Ф(;0) равна L ;0, а для последовательности Ф(0;m) - L 0;m. Тогда с [L ;0,L 0;m ]-того члена последовательности остатков для последовательности Ф(;m) начнётся какой-то период, хотя этот период вообще говоря не является минимальным.

5 Вернёмся к алгоритму вычисления длины периода для последовательности Ф(0:). Была написана программа, которая вычисляла длину периода для последовательности Ф(0;) при k от до 0000 простым перебором и по описанному выше алгоритму, считала число операций при вычислении тем и другим способом, а также вычисляла, сколько раз встречался 0 в периоде (или, что то же самое, сколько было бы строчек в при записи последовательности остатков описанным выше способом или какое значение принимает минимальное m, такое что m ). Результаты:. Оказалось, что m принимало значения,, 4.. Оказалось, что во всех 9999 случаях второй способ даёт меньше действий. Из них в 8989 случаях меньше более чем в раза На основании первого наблюдения была сформулирована следующая Теорема. Если m минимальное число, такое что m, где остаток от деления члена последовательности Ф(0;), стоящего перед вторым членом той же последовательности, сравнимым с нулём по модулю k, то m может быть равным только, или 4. Доказательство. Выпишем остатки: 0,,,,,0, Пусть длина строки (от 0 до ) =. Теперь восстановим последовательность остатков назад по паре,0 (при этом заметим, что на каждом шаге получаем, умноженное на соответствующий член последовательности Ф(0;) 0= (-a ), = a, -= (-a ), и т. д.): ± a+, a, ± a,...,,,,0,... Следовательно ± a. Также из первого ряда видно, что a. Если =, то m=. Если, то рассмотрим два случая: ) a и ). a a a ) Если, то =, т. m = a a ) Если ( k ) ( k ) mod Предположим, что mod 4 mod противоречие ( k ) ( т. m ) ) ( т. m = 4) mod ( ( k ) ( т. m = ) = ( ) ( ) Возможно, на основании этого факта в дальнейшем можно будет получить формулу для вычисления длины периода. Я благодарна моему научному руководителю А. И. Сгибневу, а также Д.Э. Шнолю и А.С. Воронцову за обсуждения темы и помощь в оформлении результатов.


Занятие 7. Лемма 1. Для любых чисел a, b, q. 1. если a 0 или b 0, то существует d, т. ч. d = (a, b), причем (a, b) > 0;

Занятие 7. Лемма 1. Для любых чисел a, b, q. 1. если a 0 или b 0, то существует d, т. ч. d = (a, b), причем (a, b) > 0; Занятие 7 Число d называется наибольшим общим делителем (НОД) чисел a и b, если (1) d a и d b, а также (2) для всех x из x a и x b следует x d. В этом случае пишем d = (a, b). Лемма 1. Для любых чисел

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Конспект лекций ( 0 )(mod ) ( 0 )(mod ) Натуральные числа N,,,,,, - множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

Содержание. 1. Введение Аннотация Проблема Цель работы Гипотеза Предмет исследования...

Содержание. 1. Введение Аннотация Проблема Цель работы Гипотеза Предмет исследования... 1 2 Содержание. 1. Введение. 4-6 1.1. Аннотация...4 1.2. Проблема 4 1.3. Цель работы 5 1.4. Гипотеза..5 1.5. Предмет исследования... 5 1.6. Объект исследования. 5 1.7. Новизна... 5-6 1.8. Методы исследования...6

Подробнее

Решение задач по теории чисел

Решение задач по теории чисел Решение задач по теории чисел 1 Сравнения первой степени с одним неизвестным ax b (mod m) Пример 1. Решите сравнение О.В. Митина 1287x 447 (mod 516). (1) Решение: 1) Заменим коэффициенты сравнения (1)

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ. Москва

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ. Москва НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ ЕРОШИН АЛЕКСЕЙ Москва Руководитель: кф-мн КАНЕЛЬ-БЕЛОВ АЯ Основной результат работы состоит в доказательстве того, что в десятичном разложении числа i = a i, где

Подробнее

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций по математике 10 КЛАСС

Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных организаций по математике 10 КЛАСС 10 КЛАСС 1. Действительные числа удовлетворяют соотношениям: Найдите все возможные тройки чисел, где Решение. Заметим, что Обозначим и Вычитая друг из друга эти равенства, получим Предположим, что все

Подробнее

B5 (повышенный уровень, время 10 мин)

B5 (повышенный уровень, время 10 мин) B5 (повышенный уровень, время 0 мин) Тема: Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя. Что нужно знать: каких-либо особых знаний из курса информатики не требуется, задача решаема на уровне 6-7 класса

Подробнее

1 Теория чисел. 1.1 Простые числа. 1.2 Основная теорема арифметики. С.Л. Бабичев, math.babichev.org

1 Теория чисел. 1.1 Простые числа. 1.2 Основная теорема арифметики. С.Л. Бабичев, math.babichev.org С.Л. Бабичев, bsl8484@gmail.com, math.babichev.org 1 Теория чисел. А что значит «Теория чисел»? Разве математика не имеет дело с числами? Обычно под этим термином понимается не рействия со всеми возможными

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

= 4

= 4 Коррекционная карточка 6 класс: Действия с рациональными числами (с помощью координатной прямой) 1. Построить координатную прямую, указав начало координат и единичный отрезок. Отметить на координатной

Подробнее

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b.

Занятие 6. a = bq + r и 0 r < b. Занятие 6 Если не оговорено противное, в этой теме слово «число» означает целое число. Целое число a делится на целое число b, если существует целое число k, т. ч. a = bk. Также в этом случае говорят,

Подробнее

Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года)

Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года) Подготовительные задачи Межрегиональной олимпиады школьников по математике и криптографии (по материалам 2008 и 2009 года) 1 УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Осмысленная фраза на русском языке записана

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 13 ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ПО МОДУЛЮ. Случай простого модуля

ЛЕКЦИЯ 13 ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ПО МОДУЛЮ. Случай простого модуля ЛЕКЦИЯ 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ ПО МОДУЛЮ Случай простого модуля Рассмотрим сравнение х a mod р, () где число р простое и целое число а не делится на p Вычисление решения x данного уравнения является

Подробнее

1 Алгоритм Евклида и его сложность

1 Алгоритм Евклида и его сложность 1 Алгоритм Евклида и его сложность Определение 1. Общим делителем чисел a и b называется такое число c, что c a и c b. Определение 2. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется такой их общий делитель,

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА. Экспериментальный учебник. Часть 1 МОСКВА 2016 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 8 Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2016 СОДЕРЖАНИЕ 1. Делимость. 2. Чёт нечет 3. Множества. 4. Забавные задачи. 5. Комбинаторика

Подробнее

ИЗБРАННЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ИЗБРАННЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А.И. СЮСЮКАЛОВ, Е.А. СЮСЮКАЛОВА ИЗБРАННЫЕ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ Часть 2 Рязань

Подробнее

Целые, рациональные и вещественные числа

Целые, рациональные и вещественные числа Глава 2 Целые, рациональные и вещественные числа 2.. Целые числа Числа, 2, 3,... называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается N, т.е. N = {,2,3,...}. Числа..., 3, 2,,0,,2,3,...

Подробнее

Теория чисел. Евгений Капун. 14 ноября 2012 г.

Теория чисел. Евгений Капун. 14 ноября 2012 г. Теория чисел Евгений Капун 14 ноября 2012 г. Простые числа В некоторых задачах требуется сгенерировать все простые числа, не большие заданного. Простейший метод сделать это: перебирать все числа, для каждого

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера 1. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз

Подробнее

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский

ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский О сравнении Определение 1. Целые числа, дающие одинаковые остатки при их делении на один тот же делитель, называются сравнимыми по модулю, а этот делитель

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

q и пишут a b. Число b называют делителем

q и пишут a b. Число b называют делителем ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. Определение. Говорят, что целое число a нацело делится на целое число b, если a b q и пишут a b. Число b называют делителем существует такое целое число q, что числа a. виде Определение.

Подробнее

6-2 (базовый уровень, время 4 мин)

6-2 (базовый уровень, время 4 мин) К. Поляков, 009-06 6- (базовый уровень, время 4 мин) Тема: Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя. Что нужно знать: исполнитель это человек, группа людей, животное, машина или другой объект,

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Десятичная запись 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч345 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.

Подробнее

1 Показатели. Первообразные корни.

1 Показатели. Первообразные корни. 1 Показатели. Первообразные корни. 1.1 Понятие показателя. Простейшие свойства. Определение. Будем говорить, что число a, (a, n) = 1 принадлежит показателю N по модулю n, если - минимальное число, такое

Подробнее

Тема: Системы счисления

Тема: Системы счисления Коротко о главном Тема: Системы счисления Системы счисления - это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Разнообразные системы счисления, который существовали раньше

Подробнее

Азы теории чисел. Занятие 1. Арифметика остатков

Азы теории чисел. Занятие 1. Арифметика остатков Азы теории чисел Занятие 1. Арифметика остатков Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777 23 февраля 1855), немецкий математик, астроном и физик. Ещё в детстве проявил яркие способности к математике и иностранным

Подробнее

Делимость целых чисел в задачах

Делимость целых чисел в задачах Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

16 (повышенный уровень, время 2 мин)

16 (повышенный уровень, время 2 мин) 16 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем, 15, из системы

Подробнее

,

, Занятие 5 Ориентированный граф (или, орграф) G = (V, A) состоит из некоторого непустого множества V вершин и множества A соединяющих эти вершины ориентированных ребер (или, дуг или, стрелок). Мы пишем

Подробнее

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса.

Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дополнительные материалы по курсу математики 6-го класса. Дистанционное обучение проводит учитель гимназии Акаёмова Ольга Тимофеевна. Цель обучения расширение и углубление знаний учеников по математике.

Подробнее

Задача 11. Деление с остатком

Задача 11. Деление с остатком XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Задача 11. Деление с остатком Лицей БГУ - 1 Автор: Пчелинцев Илья Научный руководитель: Шабан Светлана Аннотация Полностью решены пункты 1-3, 5 исходной постановки

Подробнее

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем

Многочлены Многочленом с одной переменной старшим коэффициентом значением многочлена корнем Многочлены Многочленом с одной переменной х степени n называют выражение вида, где - любые числа, называемые коэффициентами многочлена, причем называют старшим коэффициентом многочлена Если вместо переменной

Подробнее

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы

Подробнее

Тема "Системы счисления" Основание системы счисления

Тема Системы счисления Основание системы счисления Тема "Системы счисления" Системы счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. В мире наиболее распространены

Подробнее

ДОРОГИЕ ШЕСТИКЛАССНИКИ!

ДОРОГИЕ ШЕСТИКЛАССНИКИ! ДОРОГИЕ ШЕСТИКЛАССНИКИ! Рабочая тетрадь «Делимость чисел. Рациональные числа» включает в себя три раздела. В первый раздел вошли задания тренировочного характера по таким темам: признаки делимости целых

Подробнее

Нахождение чисел. . Решив эту систему и отбросив отрицательные. корни, получаем х=8; у=3.

Нахождение чисел. . Решив эту систему и отбросив отрицательные. корни, получаем х=8; у=3. Нахождение чисел Пример 1. Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно числам 1, 3, 7. Среднее арифметической дробей равно. Найдите эти дроби. Решение. По условию

Подробнее

Антонов А. Ю. 09.IX.2017 Лекция 2

Антонов А. Ю. 09.IX.2017 Лекция 2 Антонов А. Ю. 09.IX.2017 Лекция 2 Рассмотрим случайную величину, равномерно распределенную в интервале[0, 1): 1, если x [0,1); 0, если x (,0); p γ (x) = F γ (x) = x, если x [0,1); 0, если x [0,1). 1, если

Подробнее

Занятие 9. Напомним, что множество f A B называется относительно некоторых фиксированных множеств A и B:

Занятие 9. Напомним, что множество f A B называется относительно некоторых фиксированных множеств A и B: Занятие 9 Напомним, что множество f A B называется относительно некоторых фиксированных множеств A и B: функциональным, если для всех a A и b, b B из (a, b) f и (a, b ) f следует b = b ; тотальным, если

Подробнее

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то

, f (x) многочлен с целыми коэффициентами, то Тема. Основы элементарной теории чисел и приложения- Теоретический материал. Множество вычетов по модулю, свойства сравнений. Пусть натуральное число, большее. Через Z обозначаем множество всех классов

Подробнее

Методическое руководство к лабораторной работе «Алгоритм Евклида» (Глава 3, 7 класс)

Методическое руководство к лабораторной работе «Алгоритм Евклида» (Глава 3, 7 класс) Методическое руководство к лабораторной работе «Алгоритм Евклида» (Глава 3, 7 класс) Цель работы создать в Excel «машину» для автоматического вычисления НОД двух чисел по алгоритму Евклида. При этом продолжается

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр.

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С6) ЗАДАЧИ НА ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА (от учебных задач до олимпиадных) стр. Корянов АГ, Прокофьев АА Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С6) СОДЕРЖАНИЕ стр Делимость целых чисел Деление без остатка Свойства делимости целых

Подробнее

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,...

Доказательство теоремы существования. Расположим на числовой оси числа..., -2b, -b, 0, b, 2b,... Глава Целые числа Теория делимости Целыми называются числа, -3, -, -, 0,,, 3,, те натуральные числа,, 3, 4,, а также нуль и отрицательные числа -, -, -3, -4, Множество всех целых чисел обозначается через

Подробнее

Вопросы образовательного минимума по математике, 6 класс, учебный год

Вопросы образовательного минимума по математике, 6 класс, учебный год Вопросы образовательного минимума по математике, 6 класс, 2018-2019 учебный год 2 Что такое кратное натурального числа 3 Сформулировать признак делимости на 2 4 Сформулировать признак делимости на 3 5

Подробнее

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей.

вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел. Найти произведение оставшихся множителей. Тест по теме «НОД и НОК» Фамилия, Имя. Натуральные числа называются взаимно простыми, если: а) у них более двух делителей; б) их НОД равен ; в) у них один делитель.. Наибольшим общим делителем чисел а

Подробнее

B1 (базовый уровень, время 4 мин)

B1 (базовый уровень, время 4 мин) К. Поляков, 009-04 B (базовый уровень, время 4 мин) Тема: Поиск алгоритма минимальной длины для исполнителя. Что нужно знать: каких-либо особых знаний из курса информатики не требуется, задача решаема

Подробнее

2- периметр прямоугольника;

2- периметр прямоугольника; Основные правила за курс математики 5-6 классов. Свойства сложения и вычитания: a + b = b + a переместительное; a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c = (a + c) + b = a + c + b сочетательное; (a + b)c =

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. задание 6

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. задание 6 Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. задание 6 На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом. 1) Строится двоичная запись числа N. 2) К этой записи

Подробнее

1 Числовые последовательности

1 Числовые последовательности Глава 0 Последовательности Числовые последовательности Числовую последовательность часто называют функцией натурального аргумента Действительно, задание -ого члена последовательности аналогично заданию

Подробнее

Тестовые задания и диктанты

Тестовые задания и диктанты Глава4 Уравнения 1 Тестовые задания и диктанты Т-01 Решение линейного уравнения Т-02 Решение уравнений разложением на множители Т-03 Рациональные уравнения, сводящиеся к линейным Т-04 Замена неизвестного

Подробнее

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие

3 Формула включения-исключения. Взаимно однозначное соответствие 2.22. Вынесите за скобки общий множитель (n натуральное число): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Каждому числу поставили в соответствие

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ЛЕКЦИЯ 15 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА Натуральное число p, больше единицы называется простым, если оно делится нацело только на 1 и на себя. Теорема (Эвклид). Множество простых чисел бесконечно. Обозначим через π(x)

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Десятичная запись И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Десятичная запись 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................

Подробнее

B8 (повышенный уровень, время 2 мин)

B8 (повышенный уровень, время 2 мин) К. Поляков, 009-011 B8 (повышенный уровень, время мин) Тема: Кодирование чисел. Системы счисления. Что нужно знать: принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления чтобы перевести число, скажем,

Подробнее

В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 8.3, 8.4.2 класс, Математика (учебник Макарычев) 2018-2019 уч.год Тема модуля «Целые числа. Делимость чисел. Степень с целым показателем» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. ТЕМА Знать

Подробнее

приращений 30, т.е. 11, 13(11+2), 17(13+4), 19(17+2), 23(19+4), 29(23+6), 31(29+2), 37(31+6), 41(37+4), 43(41=2), 47(43=4), 49(47=2), 53(49=4) и т. д.

приращений 30, т.е. 11, 13(11+2), 17(13+4), 19(17+2), 23(19+4), 29(23+6), 31(29+2), 37(31+6), 41(37+4), 43(41=2), 47(43=4), 49(47=2), 53(49=4) и т. д. Ритмика простых чисел. Один из способов поиска простых чисел Распопов В.З., ВНИИЭФ, г. Саров Анализируя последовательный возрастающий ряд целых чисел можно заметить, что начиная с простого числа 11 все

Подробнее

ММ 1 этап 5-6 класс Удивительные числа и делимость

ММ 1 этап 5-6 класс Удивительные числа и делимость ММ этап 5-6 класс Удивительные числа и делимость ЗАДАНИЯ И РЕШЕНИЯ Задача. В первом столбце таблицы даны числа. С каждым числом нужно проделать операции согласно блок-схеме и результат записать в соседней

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО

ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО ЛЕКЦИЯ 10 СРАВНЕНИЯ СТЕПЕНЕЙ ВЫШЕ ПЕРВОГО Переходя от сравнений первой степени к сравнениям более высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот случай, когда модуль простое число В этом случае

Подробнее

Problem A. Шахматный турнир

Problem A. Шахматный турнир Problem A. Шахматный турнир Так как после каждой партии выбывает один шахматист, а изначально шахматистов N, то для того, чтобы определить победителя, надо провести N 1 партий. Задача впервые была предложена

Подробнее

1 Квадратичные сравнения.

1 Квадратичные сравнения. 1 Квадратичные сравнения. Замечание. Вопрос о разрешимости квадратичных сравнений был рассмотрен в Лекции. Там также были приведены некоторые утверждения и понятия используемые в этой лекции, такие как

Подробнее

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ 1. Разложение на множители a) ( x 1)( y+ ) 9. б) x(y 98). в) x + y= xy. г) x + 4xy 7y. д) 19x yz 995, решить в простых числах. Делимость чисел а) y = 5x + 6. б) в) г) д) x + 1=

Подробнее

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс.

Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. Вопросы к смотру знаний по математике. 5-6 класс. 1. Определение натуральных, целых, рациональных чисел. 2. Признаки делимости на 10, на 5, на 2. 3. Признаки делимости на 9, на 3. 4. Основное свойство

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Обозначим z x. . Докажем, что m 1 и n 1 взаимно просты. Действительно, если d их общий делитель, то d делит m 1 + n 1 = z и m 1 n 1 = x. Противоречие.

Обозначим z x. . Докажем, что m 1 и n 1 взаимно просты. Действительно, если d их общий делитель, то d делит m 1 + n 1 = z и m 1 n 1 = x. Противоречие. ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Пифагоровы тройки это тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство (*) x 2 + y 2 = z 2. Например, (3, 4, 5) является

Подробнее

Раздел 1. Математические основы криптографии

Раздел 1. Математические основы криптографии Раздел 1. Математические основы криптографии 1 Определение поля Конечным полем GF q (или полем Галуа) называют конечное произвольное множество элементов с заданными между ними операциями сложения, умножения

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ОСНОВЫ АЛГОРИТМИЗАЦИИ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Лабораторная работа 8. Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида

Лабораторная работа 8. Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида Лабораторная работа 8 Вычисление наибольшего общего делителя для двух чисел при помощи алгоритма Евклида Цель работы используя алгоритм Эвклида создать программу, которая для чисел a и b определяет наибольший

Подробнее

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята!

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята! Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными Добрый день, ребята! На прошлом уроке мы повторили темы, изученные в 6 классе. Вспомнили, как выполнять действия с обыкновенными и

Подробнее

Методические указания к лабораторным работам

Методические указания к лабораторным работам Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Справочный материал «Математика 5 класс»

Справочный материал «Математика 5 класс» Справочный материал «Математика 5 класс» Натуральные числа Числа, которыми пользуются при счёте, называют натуральными. Обозначают их латинской буквой Ν. Число 0 не является натуральным! Способ записи

Подробнее

А. Шень Игры и стратегии с точки зрения математики, МЦНМО. Простые игры и классификация позиций

А. Шень Игры и стратегии с точки зрения математики, МЦНМО. Простые игры и классификация позиций А. Шень Игры и стратегии с точки зрения математики, МЦНМО Простые игры и классификация позиций На столе лежит 12 спичек. Играющие по очереди могут взять от одной до трёх спичек. Кто не может сделать ход

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n.

Двоичная арифметика. . Это первая форма, а третья форма записи будет выглядеть так: Тогда число можно записать в следующем виде: a n. Стр. 1 из 18 Двоичная арифметика Числа которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Последовательности. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения. Общие решения линейных рекуррентных однородных и неоднородных уравнений. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. Уральский государственный педагогический университет. А.П. Ильиных ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Министерство образования Российской Федерации. Уральский государственный педагогический университет. А.П. Ильиных ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. Министерство образования Российской Федерации Уральский государственный педагогический университет А.П. Ильиных ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Учебное пособие Екатеринбург 2003 УДК 511 И 45 РЕЦЕНЗЕНТ: член - корреспондент

Подробнее

Математика 7 класс Задачи на делимость

Математика 7 класс Задачи на делимость МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика класс Задачи на делимость Новосибирск Определение и свойства

Подробнее

Гипотеза о периодичности в задаче Иосифа Флавия о считалочке

Гипотеза о периодичности в задаче Иосифа Флавия о считалочке Гипотеза о периодичности в задаче Иосифа Флавия о считалочке 1 декабря 2007 г. Содержание 1 Введение 1 2 Таблица остатков 2 3 Таблица считалочки 3 4 Гипотеза о равнораспределении 4 5 Гипотеза о периодичности

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель

Глава 1. Целые, рациональные и действительные числа. 1.1 Деление с остатком. 1.2 Наибольший общий делитель Глава Целые, рациональные и действительные числа. Деление с остатком. Каждое из чисел ±23, ±4 разделите с остатком на каждое из чисел ±5. 2. Найдите все положительные делители числа 42. 3. Сейчас 3 часов.

Подробнее

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е.

Лекция 1. Алгебраическое доказательство. Пусть это не так, т.е. Лекция Почему мы не можем обойтись целыми и рациональными числами? Потому что в самых естественных ситуациях нам встречаются числа, не являющиеся ни целыми, ни рациональными. Рассмотрим единичный квадрат.

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. НОД и НОК

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. НОД и НОК И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание НОД и НОК 1 Всероссийская олимпиада школьников по математике................ 1 2 Московская математическая олимпиада........................ 4

Подробнее