10. Линейные операторы

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "10. Линейные операторы"

Транскрипт

1 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций одного или нескольких векторных аргументов Мы ограничимся пока простейшими типами таких функций, а именно, линейными функциями векторного аргумента Векторные линейные функции, называются иначе линейными операторами и играют важную роль в линейной алгебре, геометрии, механике и других разделах теоретической физики Выражение линейный оператор, в литературе по математике часто заменяется на выражение линейное отображение или как её частный случай - линейное преобразование 0 Линейные преобразования Определение 0 Будем говорить, что в векторном пространстве L задано линейное преобразование (линейный оператор) A, если каждому вектору x L поставлен в соответствие определённый вектор Ax L u = Ax (0) Итак, линейное преобразование A - это операция переводящая линейное пространство L само в себя A : L L Вектор u = Ax называется образом вектора x, а вектор x называется прообразом вектора u Преобразование A будет линейным преобразованием, если для любых векторов x, y L и любых α K будут выполнены условия: A ( x + y) = Ax + Ay, A( x ) = αax α

2 Применительно к плоскости, первое условие, определяющее линейную вектор-функцию, означает, что диагональ параллелограмма, построенного на векторах x и y при линейном преобразовании A переходит в диагональ параллелограмма (рис 0), построенного на векторах A x и A y 36 y Ay A A x + Ay x x + y Второе условие означает, что если длину вектора x увеличили в α раз, то и длина вектора u = Ax увеличится (рис 0) в α раз αx x Таким образом мы видим, что при линейном преобразовании коллинеарные векторы переходят в коллинеарные Ax векторы, а компланарные - в компланарные Рис 0 A( αx) Примеры линейных преобразований Рис 0 Ax Преобразование, ставящее в соответствие вектору x L сам этот вектор x = Ax является линейным преобразованием В этом случае тождественное преобразование A = E - есть Преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору x L вектор λ x ( λ R), является линейным преобразованием, тк A x + y = Ax + Ay = λx + λy = λ x + y ; ( ) ( ) A( α x ) = λ( αx ) = α( λx ) = αax

3 Геометрически, преобразование Ax = λx представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векторов пространства L с одинаковым коэффициентом - гомотетию При λ < 0 растяжение всех векторов сопровождается их заменой на противоположные 3 Преобразование Ax = x + a, a θ, a L, не является линейным, тк A ( x + y) = ( x + y) + a, с другой стороны Ax + Ay = x + a + y + a = x + y + a и ( x y) Ax Ay A Пусть в двумерном пространстве L задан базис e, e Преобразование A, которое вектору e x = x + x e ставит в соответствие вектор u = Ax = x e + λx представляет собой (рис 03) геометрическое растяжение (сжатие) плоскости L в направлении, параллельном e Покажем линейность этого преобразования A e λx O e x ( x + y) = ( x + y ) e + λ( x + y ) e = x e + y e + λx e + λy e = = ( x e + λx e ) + ( y e + λy e ) = Ax + Ay A( x ) = ( αx ) e + λ( αx ) e = α( x e + λx e ) = αax α 5 Преобразование, которое ставит в соответствие каждому вектору x L вектор u = Ax, получающийся из x его поворотом на угол ϕ, будет линейным преобразованием Его называют x e u = Ax x 37 Рис 03

4 x e O e x x + kx e 38 (см 45) преобразованием поворота 6 Преобразование, ставящее в соответствие вектору вектор e x = x + x e ( x + kx ) e x e u = Ax = + является линейным преобразованием сдвига При этом преобразовании (рис 04) конец вектора x перемещается по прямой параллельной оси Ox на величину kx Квадрат, построенный на векторах e и e при таком преобразовании переходит (рис 05) в параллелограмм со сторонами e и e + k e 0 Матрица линейного преобразования, тогда произвольный вектор Пусть в L задан базис e, e,, e x l может быть представлен как i e + x e + + x e = x ei (0) x = x Рассмотрим теперь в L линейное преобразование (линейный оператор) A, сопоставляющий произвольному вектору x L вектор где ke Ae x O Рис 05 u = Ax Рис 04 e = Ae u = Ax, i e + u e + + u e = u ei (03) u = u Наша задача заключается в установлении зависимости координат вектора u от координат вектора x при преобразовании A

5 В силу линейности преобразования A имеем ( x e + x e + + x e ) = x Ae + x Ae + x Ae A x = A +, (04) где = ae + a e + + a e, Ae = ae + ae + + a e, Ae, A e = a e + a e + + a e или в сокращённой записи с использованием правила Эйнштейна или i j i j Ae = a e, i, j = (05) Подставляя (05) в (04) получим: Ax = a x e + a x e + + a x e + a x e + a x e + + a x e ax e + ax e + + a x e = ( a x + a x + + a x ) e + ( a x + a x + + a x ) e + = + ( a x + a x + + a x ) e = (06) В сокращённой записи это будет выглядеть так i k Ax = a k x ei, i, k = (07) Сравнивая (07) с (03) имеем u = a x + a x + + a x, = a x + a x + + a x, (08) u, u = a x + a x + + a i k x i k u = a x, i, k =, (09) 39

6 или 40 u a u a = u a a a a a x a x (00) a x Равенства (08)-(00) дают возможность определить координаты вектора u, связанного с данным вектором x линейным преобразованием A Очевидно, что координаты вектора u выражаются через координаты вектора x линейно и однородно Запишем коэффициенты a a A = a a a a j a в (00) в виде матрицы i a a a (0) и назовём её матрицей линейного преобразования (линейного оператора) A в базисе e, e,, e Полученный результат говорит о том, что если в пространстве L задан базис e, e,, e, то всякому линейному преобразованию A этого пространства соответствует определённая невырожденная квадратная матрица A порядка Обратно, если задана невырожденная квадратная матрица порядка, то при заданном базисе e, e,, e ей будет соответствовать определённое линейное преобразование A и мы можем установить взаимно однозначное соответствие между невырожденными матрицами порядка и линейными преобразованиями пространства L в себя Примеры Тождественное преобразование L

7 Если в L задан базис e, e,, e, тогда u = A x = x можно записать как u = x + 0 x x = x, = 0 x + x x = x, u, + x x u = 0 x + 0 x + = Очевидно, что тождественное преобразование u = A x = x в базисе e, e,, e задано единичной матрицей E порядка Преобразование u = A x = λx в базисе e, e,, e можно записать как Здесь u = λ x + 0 x x = x, = 0 x + λ x x = x, u, 0 x + 0 x + +λ x x u = = λ λ 0 A = = λe 0 0 λ 4 3 Преобразование u = A x = x e + λx e в L можно записать в базисе e, e так откуда и = Ax = x e + λx e = u e u e, u + u u = x + 0 x, = 0 x +λ x 0 A = 0 λ

8 4 Пусть преобразование A есть поворот в плоскости xoy на угол ϕ, совершаемый против часовой стрелки вокруг оси Oz Тогда из (45) п 45 и рис 45 следует, что и Ae = e cos ϕ + e si ϕ, Ae = e si ϕ + cos ϕ e cos ϕ si ϕ A = si ϕ cos ϕ 5 Для преобразования сдвига = можем записать Откуда ( x + kx ) e + x e = u e u e u Ax = + u u = x + k x, = 0 x + x k A = Линейные отображения Определение и примеры Пусть L и L - два линейных вещественных пространства Под отображением A пространства L в пространство L будем понимать закон, по которому каждому вектору x L поставлен в соответствие единственный вектор x L A : L L Вектор x = A x L есть образ вектора x L, а вектор x L есть прообраз x = A x L Определение 0 Отображение A : L L называется линейным,

9 если для любых векторов равенства 43 x, y L и любого числа α K выполнены ( x y) = Ax Ay ( x ) = αax A + +, A α (0) x + y, а A x L, A y L и Здесь надо иметь в виду, что ( ) L ( A x + Ay) L, далее ( α x ) L, а αa x L Знак сложить в первой формуле и знак умножить во второй - носят символический характер, так как выполняются в разных пространствах Если L и L совпадают, мы имеем операцию A : L L линейного преобразования Примеры линейных отображений Отображение, сопоставляющее любому вектору x L нулевой вектор θ L есть линейное отображение A : L L = { θ} - нулевое отображение Выберем в L базис e, e,, e Сопоставляя каждому вектору x L его первую компоненту ξ в разложении x по базису e, e,, e мы получим отображение L в линейное пространство вещественных чисел R : A : L R 3 Если в L задан базис e, e,, e, то любому вектору x L можно сопоставить его координатный столбец где T ( ξ ξ ξ ) R, ξ = R арифметическое пространство столбцов высоты Из определения 0 вытекает, что при линейном отображении линейная комбинация векторов в L переходит в линейную комбинацию их образов в L

10 44 При этом нулевой вектор θ L : или θ L переходит в нулевой вектор ( 0 x ) = Ax = θ Aθ = A 0 θ = θ Из этого следует, что при линейном отображении A : L L линейно зависимые векторы в L переходят в линейно зависимые векторы в L Обратное неверно, см пример Предложение 0 При линейном отображении A : L L линейное подпространство L L переходит в линейное подпространство A ( L ) L, причём ( ) di L di A L Для нулевого подпространства это очевидно Пусть di L = k > 0 и пусть e, e,, ek базис в L Тогда для любого вектора x L имеем k x = ξ e + ξ e + + ξ e и тогда x ( k ) ( ) ( ) k A = A ξ e + ξ e + + ξ e = ξ A e + ξ A e + + ξ A ( e ) A ( L ) k k (03) Это означает, произвольный элемент множества A ( L ) образов всех векторов из L есть линейная комбинация векторов A ( e ) A( e ),, ( ), A e k, (04) и, наоборот, каждая линейная комбинация (04) есть образ вектора из L Итак, множество ( ) L A - есть линейная оболочка (04), и, таким образом, есть подпространство, размерность которого (см предложение 93) не более k k

11 Определение 03 Множество образов всех векторов из L является подпространством A ( L ) L Оно называется множеством значений отображения и обозначается как I A Определение 04 Размерность множества значений отображения A : L L называется рангом отображения и di I A = Rg A Если ранг отображения A : L L равен, тогда A ( L ) = L и каждый вектор из L является образом некоторого вектора из L Такое отображение называется сюръективным отображением Определение 05 Множество векторов из L, отображающихся в нулевой вектор θ L при отображении A : L L, называется ядром отображения A : L L и обозначается Ker A Предложение 0 Ядро Ker A есть линейное подпространство в L Во первых - ядро не пустое множество, так как содержит хотя бы один нулевой вектор Во вторых, если то Пусть теперь ядро A x = θ и A y = θ, ( αx + βy) = αax + βay = θ A 45 Ker A ненулевое, те di KerA Тогда любой вектор y A( L ) имеет бесконечно много прообразов, так как если y = Ax и x0 θ KerA, то и A ( x + x 0 ) = Ax + Ax 0 = y + θ = y Верно и обратное, если какой-либо вектор y L имеет хотя бы два различных прообраза в L, то ядро Ker A содержит ненулевой вектор, так как если A x = Ax = y при x x, тогда и ( x x ) = Az = θ A z = x x ненулевой вектор в ядре, те в L

12 Отображение, при котором разные векторы из L имеют разные образы в L называется инъективным отображением Предложение 03 Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро Ker A - нулевое подпространство Если отображение A : L L инъективно, то линейно независимые векторы переходят в линейно независимые Пусть образы векторов Тогда x,,, x x k линейно зависимы: α A x + αax + + α k Ax k = θ ( α x + α x + + α ) = θ A k x k и для инъективного отображения получаем α x + α x + + αk x k = θ, и, следовательно, x, x,, x k линейно зависимы Координатная запись отображений Рассмотрим линейное отображение A : L L и пусть e, e,, e базис в L Образ произвольного вектора x L x = ξ e + ξ e + + ξ e раскладывается в линейную комбинацию ( ) + ξ A( e ) + + ξ A( e ) Ax = ξ A e (05) Это говорит о том, что A x может быть определено по координатам вектора x, если известны образы векторов A ( e i ), лежащие в L Выберем в L базис f, f,, f мы можем разложить по базису f : Каждый из векторов A( e i ) ( e ) af + a f + + a f ( e ) a f + af + + a f A =, A =,

13 или, ( e ) = af + af + a f A + (06) ( e ) i k i a f k A =, i =, k = (07) Если компоненты вектора A x L обозначить через η, η,,, то равенство (05) можно переписать так: η k k i η fk = ai ξ fk, i =, k = (08) В силу единственности разложения вектора по базису, получим k k i η = ai ξ, i =, k = (09) или в матричной форме η = A ξ, (00) или η a η a = η a a a a 47 a ξ a ξ (0) a ξ Определение 06 Матрицей линейного отображения A : L L в паре базисов e и f называется матрица A, столбцы которой, в их естественном порядке, есть координатные столбцы векто- A, i = в базисе f ров ( ) e i Предложение 04 Ранг матрицы A линейного отображения A : L L равен рангу этого отображения Пусть Rg A = di I A jr - номера базисных столбцов матрицы A j,, линейного отображения k r : L L A Тогда векторы ( e jk ) = линейно независимы и каждый из векторов ( ) e i A, A, i =

14 48 по ним раскладывается Это говорит о том, что мы можем разложить образ любого вектора A x только по векторам A ( e jk ), k = r Таким образом, эти векторы образуют базис в I A, и их число равно рангу отображения A Из этого предложения видно, что ранг матрицы A линейного отображения один и тот же, какую бы пару базисов мы ни взяли Предложение 05 Сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемого пространства Согласно (00) ядро отображения определяется однородной системой линейных уравнений Aξ = θ с неизвестными Ранг матрицы системы равен рангу отображения r Фундаментальная система решений этой системы состоит из d = r решений, которые являются координатными столбцами векторов, составляющих базис в ядре В частности, равенство r = необходимо и достаточно, чтобы отображение имело нулевое ядро, те было инъективным Отображение является взаимно однозначным, если каждый вектор y L является образом одного и только одного вектора из L, иными словами, является как инъективным, так и сюръективным Для сюръективного отображения r = Предложение 06 Линейное отображение A : L L взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размерности пространств совпадают и равны рангу отображения: = = RgA Пример Линейное отображение -мерного арифметического пространства в -мерное задано в стандартных базисах e и f этих пространств матрицей A Вычислить полный прообраз a элемента b, если:

15 A = b = и 0 Решение Вид матрицы A говорит нам о том, что A : L4 L и нам 3 дан образ b L элемента 3 a L4, так как b = Aa Нетрудно прове- рить, что Rg A = Столбцы матрицы A есть линейная оболочка пространства L по которой элемент 3 b раскладывается с коэффициентами разложения элемента a в пространстве L 4 T Пусть 3 4 a ( ξ ξ ξ ξ ) L4 =, тогда ξ 3 ξ ξ ξ 3 4 = 0 и мы имеем систему линейных уравнений с 4-я неизвестными, расширенная матрица которой легко приводится к виду или ξ = ξ + ξ, ξ = ξ ξ 3 4 Положив ξ = ξ = 0, получим частное решение данной системы уравнений a ( 0 0) T 0 = Так как ранг данной системы уравнений равен, фундаментальная система решений будет со- 49

16 стоять из двух векторов = ( 4 6 ) T и f ( 7 0 ) T f 0 = Прообраз a есть полное решение данной системы, те a = c c 0 05 Изоморфизм линейных пространств Определение 07 Взаимно однозначное линейное отображение называется изоморфизмом Если существует изоморфизм A : L L, то пространства L и L называются изоморфными Например, задание базиса e, e,, e в L устанавливает изоморфизм L на -мерное арифметическое пространство R, сопоставляющий каждому вектору из L его координатный столбец высоты из R Это, так называемый, координатный изоморфизм Теорема 0 Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны Пусть L и L - два пространства размерности Если в каждом из них задать базис, то любая невырожденная квадратная матрица порядка в силу (00) определяет линейное отображение, которое согласно предложению 06 будет изоморфизмом Значение понятия изоморфизма заключается в следующем Линейные пространства могут состоять из чего угодно - природа элементов при изучении их свойств, связанных с линейными операциями, роли не играет Если пространства изоморфны, то все их свойства совершенно одинаковы и мы можем не различать изоморфные пространства и рассматривать для каждой размер-

17 ности только одно линейное пространство Пример Линейное преобразование линейного пространства L задано матрицей 9 5 A = 5 5 Найти его ядро и множество значений Выяснить, является ли данное преобразование изоморфизмом Решение Ядро преобразования определяется однородной системой линейных уравнений ной матрицы: 5 A ξ = θ, или после упрощения задан- 3ξ + 5ξ = 0 Фундаментальное решение этой системы есть вектор f 5 3 = c, который и задаёт Ker A преобразования A Ясно, что di Ker A = Множество значений преобразования A есть линейная оболочка векторов, составляющих столбцы матрицы A и нам остаётся составить систему уравнений этой оболочки или ξ 9 5 ξ 0 0 ξ 3ξ 5ξ 5ξ 3ξ = 0 Фундаментальное решение этой системы есть вектор 3 g = c 5, который и задаёт I A Так как di Ker A 0, данное преобразование не является изоморфизмом

18 06 Изменение матрицы линейного отображения при замене базиса 5 Рассмотрим линейное отображение A : L L Если в линейных пространствах L и L выбраны базисы e и f, то линейное отображение A в данной паре базисов, в соответствии с определением 06, определяется матрицей A Выберем в L и L другие базисы e и f : e = es и f = fp Матрица линейного отображения A в паре базисов e и f будет определятся матрицей A и наша задача будет заключаться в установлении связи между матрицами Пусть x - произвольный вектор из L и его образ A y = A x L A и Пусть координатные столбцы вектора x в базисах e и e будут соответственно о и о, а координатные столбцы вектора y в базисах f и f - η и η Согласно (96) мы можем записать, что ξ = S ξ, η = P η Подставляя эти выражения в (00) получим: η = A ξ = ASξ или η = P η = ASξ Матрица перехода P, как матрица перехода от одного базиса к другому, имеет обратную матрицу P, поэтому η = P Pη = P ASξ Так как в соответствии с (96) η = A ξ, тогда, в силу единственности матрицы линейного отображения для данной пары базисов, получим: A = P AS (0)

19 07 Канонический вид матрицы линейного отображения 53 Мы установили, что при линейном отображении A : L L вид его матрицы (но не ранг) зависит от выбора пары базисов e и f в пространствах L и L Возникает естественный вопрос, как выбрать базисы e и f в пространствах L и L, чтобы матрица A преобразования A : L L имела бы максимально простой вид? Ответ на этот вопрос даёт теорема 0 Теорема 0 Для любого линейного отображения A : L L ранга r можно так выбрать базисы в L и L, что оно будет иметь матрицу E r 0 A =, (03) 0 0 где Er - единичная матрица порядка r Поместим векторы базиса e,, e r+, er+ пространства L в Ker A, размерность которого как раз и есть r, а векторы базиса e, e,, e r можем выбрать произвольно При таком выборе при любом базисе f в L последние r столбцов матрицы A будут нулевыми Так как Rg A = r, первые r столбцов будут линейно независимыми, в силу чего линейно независимыми будут и образы A ( e ) A( e ),, ( ), A e r в L Примем их за первые r базисных векторов странства L, а остальные векторы f, f,, fr про- r+, fr+ f этого базиса вы- f,,

20 берем произвольно В этом случае первые r столбцов A будут первыми r столбцами максимально возможной единичной матрицы порядка, те матрица A примет вид (03) 08 Сумма отображений Рассмотрим два линейных отображения A : L L и B : L L, отображающих пространство L в пространство L Определение 08 Линейное отображение C, определённое равенством ( A + B) x = Ax Bx C x +, (04) для любых элементов x L, назовём суммой отображений A и B, и обозначим как C = A + B Линейность отображения C легко проверить Пусть элемент тогда C x = α x + α x L, ( α x + α x ) = A( α x + α x ) + B( α x + α )= x = αax + α Ax + αbx + α Bx ( Ax + Bx ) + α ( Ax + Bx ) = α Cx + α C = α x Выберем в пространствах L и L базисы e и f, тогда, в соответствии с определением 06, мы можем записать координатные столбцы векторов A x и B x через матрицы отображений как A ξ и B ξ, а C x будет иметь координатный столбец ( A + B) ξ = Cξ A ξ + Bξ = Итак, матрица линейного отображения C в паре базисов e и f равна сумме матриц A и B Легко проверить, что для произвольных линейных отобра- = 54

21 A, B, C и нулевого оператора O будут выполне- жений (операторов) ны равенства: 55 A + B = B + A, ( A B) + C = A + ( B + C) +, A + O = A, ( A) O A + =, в которых легко увидеть первые четыре аксиомы линейного пространства 09 Умножение линейного отображения на число Пусть A - линейное отображение A : L L и λ - число из поля K Определение 09 Линейное отображение B, определённое равенством ( λa) x = λax Bx, (05) для любых элементов x L, назовём произведением линейного оператора A на число λ Если выбрать в рассматриваемых пространствах пару базисов e и f, то (05) можно представить как произведение матрицы линейного отображения на координатный столбец и на число λ, те ( λa) ξ = Bξ λa ξ =, где матрица линейного отображения B в паре базисов e и f равна произведению матрицы A на число λ Очевидно, что в этом случае будут выполнены равенства: A = A, λ ( λa) = ( λλ )A, ( + λ ) A = λa + λ A λ ( A + B) = λa + λb, λ, в которых мы сразу видим оставшиеся четыре аксиомы линейно-

22 56 го пространства Окончательно мы можем сказать, что совокупность всех линейных отображений (операторов) A : L L, действующих из ли- нейного пространства L в линейное пространство L, образует новое линейное пространство изоморфное линейному простран- ству матриц вида A 00 Произведение отображений Рассмотрим три линейных пространства L, L, L l и пусть A : L L, B : L L Определение 00 Отображение C : L L, действующее из линейного пространства формулой L в пространство ( BA) x B( Ax) L l в соответствии с C x =, (06) для любых элементов x L, назовём произведением отображений A и B, и обозначим как C = BA Заметим, что сначала на вектор x L действует отображение A, а затем на вектор A x L действует отображение B Построенное таким образом отображение C является линейным отображением, так как C ( α x + α x ) = B( A( α x + α x ) = B( α Ax + α A )= x BAx + αbax = αcx + αcx = α Пусть теперь в пространствах L, L, L l выбраны базисы e, f и g соответственно Положим, что в паре базисов e, f отображение A имеет матрицу A, а в паре базисов f, g отобра-

23 жение B имеет матрицу B l Предложение 07 Отображение C = BA в паре базисов e, g имеет матрицу C l = Bl A Пусть ξ координатный столбец вектора Координатные столбцы B x обозначим соответственно как η и ζ, тогда а A L и ( A ) Ll x η = A ξ, 57 x L в базисе e ζ = B η = BAξ Заметим, что ранг отображения равен рангу его матрицы, а потому на основании теоремы 6 сформулируем Предложение 08 Ранг произведения отображений не превосходит рангов этих отображений Заметим, что свойства умножения отображений следуют из свойств умножения представляющих их матриц, а с учётом пунктов 08 и 09 можно сказать, что все свойства отображений содержатся в свойствах представляющих их матриц в силу изоморфизма линейных пространств образованных отображениями и представляющими их матрицами Пусть нам дано линейное отображение A : L L Линейное отображение B : L L назовём обратным по отношению к линейному отображению A и обозначим как A, если BA = E и AB = E, где E и E - тождественные преобразования пространств L и L Иначе говоря, для любых векторов x L и y L должны быть выполнены условия

24 B ( Ax ) = x, ( By ) = y A (07) Предложение 09 Линейное отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно есть изоморфизм Пусть A - изоморфизм Тогда матрица представляющая в паре базисов e и f отображение A является невырожденной квадратной матрицей имеющей обратную матрицу A Отображение B : L L, определяемое матрицей A в паре базисов f и e, удовлетворяет условиям (07) и является обратным для A : L L В данном случае мы имеем преобразование пространства самого в себя и, очевидно, что размерности пространств L и L совпадают, а ранг матрицы преобразования равен размерности пространства L Пусть A - не изоморфизм В этом случае либо r <, либо r < Если r <, тогда пространство L отображается не на всё пространство L и в L найдётся вектор y L, не принадлежа- A Если существует обратное отображение A, мы придём к противоречию: щий ( L) ( A y) A( L) y = A 58 Если r <, то в L найдётся вектор z θ принадлежащий ядру преобразования, те z KerA Если существует обратное отображение A, мы снова приходим к противоречию: ( Az) = A θ = θ z = A


11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической логики ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

9. Линейные пространства

9. Линейные пространства 9 Линейные пространства 3 Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений:

всевозможные решения заданной системы линейных однородных уравнений: . ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Ранее мы охарактеризовали подпространство конечномерного пространства как линейную оболочку. Но возможны и другие истолкования подпространства. Пусть, e, e2, K, en какой-либо

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.

. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости.. Результат изобразить на комплексной плоскости. Тема. Комплексные числа и многочлены. Вычислить ( ) 0 + i. Вычислить ( ) 6 i i. Вычислить i + 70 00 i. Вычислить i 5. Вычислить 6. Вычислить 7i 7. Решить уравнение z + i 0 8. Решить уравнение z + 6 0 9.

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

V и λ R ) выполняются равенства

V и λ R ) выполняются равенства Линейные преобразования Определение линейного преобразования Пусть V линейное пространство Если указано правило по которому каждому вектору x из V ставится в соответствие единственный вектор y из V то

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

По дисциплине «Линейная алгебра»

По дисциплине «Линейная алгебра» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНО УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет вычислительной

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

10'. ОКТАВЫ, ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ

10'. ОКТАВЫ, ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ '. ОКТАВЫ ЧИСЛА КЭЛИ И НЕДЕЗАРГОВЫ ПЛОСКОСТИ Поскольку все дезарговы плоскости являются плоскостями параллельных переносов то плоскости Мултона недезарговы. Влечет ли свойство плоскости быть плоскостью

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АФАНАСЬЕВА О.В. ПОТАПЕНКО

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 2-е, испр. и доп.

Подробнее

Линейная алгебра 3 Линейные операторы

Линейная алгебра 3 Линейные операторы Линейная алгебра 3 Линейные операторы 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Линейный оператор (ЛО) это гомоморфизм ЛП, т.е. отображение A : V W,гдеV, W ЛП над одним и тем же ЧП, удовлетворяющее следующему условию: A(αx

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины А. В. БУЗЛАНОВ, С. Ф. КАМОРНИКОВ, В. С. МОНАХОВ АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.3 Аннотация Ортонормированный базис, его свойства и примеры. Процесс ортогонализации Грама

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Линейные операторы. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

) - с координатами O M в O x

) - с координатами O M в O x Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Евклидовы и унитарные пространства 1. Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ Евклидовы и унитарные пространства Пусть в линейном пространстве заданы две операции скалярного умножения ( xy, ) и ( xy, ) Показать, что для любых чисел λ 0, µ 0, одновременно не равных

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Тема : Действия над линейными отображениями

Тема : Действия над линейными отображениями Тема : Действия над линейными отображениями А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие

ВНЕШНИЕ ФОРМЫ. О. В. Якунина. Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О. В. Якунина ВНЕШНИЕ

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Линейные пространства

Линейные пространства Линейные пространства Лекция 1-2 по дисциплине «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» поток гр. ПМ(б), ПО(б) Лекция 1-2 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ Определение 1. Множество R называется линейным или

Подробнее

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ

ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ЛЕКЦИЯ 14 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУ- ЛИ КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ ТЕОРЕМА О СОГЛАСОВАННЫХ БАЗИ- САХ ТЕОРЕМА О СТРОЕНИИ ЖОРДАНОВА ФОРМА 1 ЦИКЛИЧЕСКИЕ И СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ Пусть M некоторый R-модуль. Для любого

Подробнее