Тема 2: Матрицы и действия над ними

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Тема 2: Матрицы и действия над ними"

Транскрипт

1 Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

2 В этой теме определяются основные виды матриц и вводятся операции над матрицами, а также указываются свойства этих операций.

3 Понятие матрицы Определение Напомним, что матрицей размеров m k над множеством R называется прямоугольная таблица из чисел, имеющая m строк и k столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются ее элементами. Принято записывать матрицы размеров m k в следующем виде: a 11 a a 1k A = a 21 a a 2k. (1) a m1 a m2... a mk

4 Обозначения и примеры Обозначать матрицы будем преимущественно заглавными латинскими буквами. Примеры матриц: X = 1 2 π , Y = 1 2 π 3 5, Z = π Кратко будем записывать матрицу (1) в виде A = (a ij ) m k.

5 Определение Матрицы A = (a ij ) m k и B = (b ij ) n l называются равными, если их размеры совпадают (т.е. m = n, k = l) и элементы, стоящие на соответствующих местах, также совпадают: a ij = b ij при всех i, j, пробегающих независимо друг от друга значения i = 1,..., m и j = 1,..., k. Множество всех матриц размеров m k c элементами из R будем обозначать через R m k. Если в определенной матрице зафиксировать какие-либо строки и столбцы и рассмотреть матрицу, образованную элементами, стоящими на пересечении выделенных строк и столбцов, то полученная матрица называется подматрицей исходной матрицы. Например, на сл.4 матрицы Y и Z являются подматрицами матрицы X. Матрица A = (a ij ) m k называется строкой [соответственно столбцом], если m = 1 [соответственно k = 1]. Строки и столбцы будем обозначать малыми буквами.

6 Типы матриц Если матрица A имеет размеры m m, то ее называют квадратной матрицей порядка m и обозначают так: A = (a ij ) m. Множество всех квадратных матриц порядка n над полем F будем обозначать через F n n. Как отмечалось в т.1, элементы a 11, a 22,..., a mm образуют главную диагональ квадратной матрицы A. Элементы a m1, a m 1 2,..., a 1m образуют ee побочную диагональ. Мы говорим, что элемент a ij стоит ниже [соотв. выше] главной диагонали квадратной матрицы A = (a ij ) m, если i > j [соотв. i < j]. Квадратная матрица называется верхнетреугольной [соотв. нижнетреугольной], если все ее элементы, стоящие ниже [соотв. выше] главной диагонали, равны 0. Квадратная матрица называется треугольной, если она верхнетреугольная или нижнетреугольная. Квадратная матрица называется диагональной, если она верхнетреугольная и нижнетреугольная, т.е. все элементы вне главной диагонали равны 0. Квадратная матрица называется скалярной, если она диагональна и все элементы на главной диагонали одинаковы. Скалярная матрица порядка n с элементами 1 на главной диагонали, как уже говорилось в т.1, называется единичной матрицей порядка n и обозначается через E n.

7 Линейные операции. Сложение матриц Рассмотрим линейные операции над матрицами: сложение матриц и умножение матрицы на скаляр. Напомним, что для краткости скалярами называются элементы поля. Сложение определено только для матриц одинаковых размеров. Пусть A = (a ij ) и B = (b ij ) матрицы из F m k. Суммой матриц A и B называется матрица, обозначаемая через C = A + B и имеющая вид C = (c ij ) m k, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B: c ij = a ij + b ij, i = 1,..., m; j = 1,..., k. Например, сумма ( ) + ( ) не определена. = ;

8 Умножение матрицы на скаляр Произведением матрицы A = (a ij ) m k и скаляра t называется матрица таких же размеров, как матрица A, обозначаемая через D = ta и имеющая вид D = (d ij ) m k, каждый элемент которой получается умножением соответствующего элемента матрицы A на скаляр t: d ij = ta ij, i = 1,..., m; j = 1,..., k. Например, =

9 Свойства линейных операций Для сложения матриц и умножения матрицы на число выполняются следующие проверяемые очевидным образом свойства. 1. Для любых матриц A, B одинаковых размеров справедливо равенство A + B = B + A. 2. Для любых матриц A, B C одинаковых размеров справедливо равенство (A + B) + C = A + (B + C). 3. Существует матрица O = O m k размеров m k такая, что для любой матрицы A таких же размеров справедливо равенство A + O = A. 4. Для любой матрицы A m k существует матрица B тех же размеров такая, что справедливо равенство A + B = O m k. 5. Для любых матриц A, B одинаковых размеров и любого числа t справедливо равенство t(a + B) = ta + tb. 6. Для любой матрицы A и любых чисел s, t справедливо равенство (s + t)a = sa + ta. 7. Для любой матрицы A и любых чисел s, t справедливо равенство s(ta) = (st)a = t(sa). 8. Для любой матрицы A справедливо равенство 1A = A.

10 Обоснование свойств линейных операций Свойства 1 и 2 следуют из соответствующих свойств сложения чисел. В свойстве 3 в качестве O m k следует взять матрицу размеров m k с нулевыми элементами; такая матрица называется нулевой. В свойстве 4 в качестве B можно взять матрицу с элементами, противоположными элементам матрицы A; такая матрица называется противоположной матрице A. Свойства 5 8 обеспечиваются соответствующими свойствами операций над числами.

11 Использование линейных операций над матрицами Заметим, что скалярная матрица порядка n с элементом a на главной диагонали может быть представлена как ae n, где E n единичная матрица порядка n. Пусть A 1,..., A s матрицы размеров m k, t 1,..., t s некоторые числа. Матрица t 1A t sa s называется линейной комбинацией матриц A 1,..., A s с коэффициентами t 1,..., t s. Если матрица B равна линейной комбинации матриц A 1,..., A s с некоторыми коэффициентами, то говорят, что B линейно выражается через указанные матрицы. Обозначим через E (i,j) m k матрицу размеров m k, у которой все элементы равны нулю, за исключением элемента на пересечении i-й строки и j-го столбца, который равен единице. Такие матрицы называются матричными единицами размеров m k. Для матрицы A = (a ij ) m k справедливо очевидное равенство (в котором используется краткое обозначение s r=1 xr для суммы x xs) A m k = m k i=1 j=1 a ij E (i,j) m k. (2) Это равенство показывает, что любая матрица размеров m k линейно выражается через матричные единицы размеров m k.

12 Умножение матриц Определим теперь умножение матриц. Говорят, что размеры матриц A = (a ij ) m k и B = (b ij ) n l согласованы, если k = n, т.е. число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В этом определении существен порядок матриц A, B: размеры A и B могут быть согласованы, а размеры B и A не согласованы. Произведение матриц AB определено только тогда, когда размеры матриц A и B согласованы, и по определению AB = (c ij ) m l, где c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ik b kj для всех i = 1,..., m; j = 1,..., l. Используя краткое обозначение для суммы, элемент c ij можно записать в виде c ij = k a ir b rj. (3) r=1 Формула (3) дает выражение для произведения строки (a i1, a i2,..., a ik ) на b 1j столбец b 2j.... b kj

13 Примеры вычисления произведения матриц = ( ) ( ) не определено; 4 ( ) ( 3 ( ) = ( ) ( ) ( = ( ) 1 2 ( = ( ) = ) ; ) ; ) ; ;

14 Отсутствие коммутативности Мы видим, что умножение матриц некоммутативно, т.е. не для всех матриц справедливо равенство AB = BA. Кроме того, одно из этих произведений может быть определено, а другое не определено.

15 Свойства умножения матриц Укажем свойства умножения матриц. 1. Для любых матриц A = (a ij ) m k, B = (b ij ) k l, C = (c ij ) l n справедливо равенство (AB)C = A(BC). Для доказательства необходимо воспользоваться следующим свойством суммирования: u s=1 v t=1 xst = v t=1 u s=1 xst. Пусть AB = D = (d ij ) m l, BC = F = (f ij ) k n, (AB)C = G = (g ij ) m n и A(BC) = H = (h ij ) m n. Возьмем в матрице G произвольный элемент g ij и преобразуем его: g ij = k l d ir c rj = r=1 s=1 r=1 ( l k ) a is b sr c rj = r=1 l a is b sr c rj = s=1 l r=1 s=1 ( k l ) a is b sr c rj = r=1 s=1 Таким образом, требуемое равенство доказано. k a is b sr c rj = k a is f sj = h ij. s=1

16 Дальнейшие свойства умножения 2. Для любых матриц A = (a ij ) m k, B = (b ij ) k l, C = (c ij ) k l справедливо равенство A(B + C) = AB + AC. 3. Для любых матриц A = (a ij ) m k, B = (b ij ) m k, C = (c ij ) k l справедливо равенство (A + B)C = AC + BC. 4. Для любых матриц A = (a ij ) m k, B = (b ij ) k l и любого числа t справедливы равенства (ta)b = t(ab) = A(tB). 5. Для любой матрицы A = (a ij ) m k и единичных матриц E k, E m справедливы равенства AE k = E ma = A. Эти свойства получаются из определения произведения матриц рассуждениями, аналогичными применявшимся при доказательстве свойства 1.

17 Матричная запись системы линейных уравнений Получим матричную запись системы линейных уравнений в общем виде. a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1; a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2; (4) a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = b k. Рассмотрим матрицу A = (a ij ) k n, состоящую из коэффициентов при неизвестных в этой системе (напомним, что она называется основной x 1 матрицей этой системы), столбец x =... неизвестных и столбец x n b 1 b =... свободных членов. Тогда система (4) записывается в b k матричном виде так: Ax = b. (5) Матрица (A b), полученная приписыванием к основной матрице системы линейных уравнений столбца ее свободных членов, была названа в т.1 расширенной матрицей системы.

18 Значение многочлена от матрицы Рассмотрим квадратные матрицы порядка n. Их можно складывать и умножать, в частности возводить в степень с натуральным показателем. Пусть A квадратная матрица порядка n и f (x) = a 0x r + a 1x r a r 1x + a r есть многочлен степени r. Значение многочлена от матрицы определяется так: f (A) = a 0A r + a 1A r a r 1A + a r E n. ( ) 1 2 Вот пример. Пусть f (x) = x 2 3x + 4, A =. Тогда f (A) = 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A 2 3A + 4E 2 = + =

19 Матричные многочлены Можно рассматривать и матричные многочлены вида F (x) = A 0x r + A 1x r A r 1x + A r, где A 0, A 1,..., A r фиксированные квадратные матрицы порядка n. Значение такого многочлена от квадратной матрицы B порядка n вычисляется по формуле F (B) = A 0B r + A 1B r A r 1B + A r. Рассмотрим ( пример. ) Пусть ( ) ( F (x) = x 2 x ( ) ( ) 2 ( ) ( F (C) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ) ( 1 2, C = 1 2 ) + ( ). Тогда ) =

20 Транспонирование матриц Пусть A = (a ij ) m k. Транспонированной к матрице A называется матрица, полученная из A заменой строк на столбцы. Она обозначается через A и получается по формуле A = (a ji ) k m, если A = (a ij ) m k. (6) Рассмотрим примеры = ) = ( ;

21 Свойства транспонирования Из определения операций над матрицами легко вывести следующие свойства, показывающие, как транспонирование взаимодействует с этими операциями. 1. Для любых матриц A, B одинаковых размеров справедливо равенство (A + B) = A + B. 2. Для любой матрицы A и любого комплексного числа t справедливо равенство (ta) = ta. 3. Для любых матриц A, B согласованных размеров справедливо равенство (AB) = B A. 4. Для любой матрицы A справедливо равенство (A ) = A. Матрица называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной. Легко понять, что симметрическая матрица является квадратной и ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, совпадают. Очевидно, что сумма двух симметрических матриц одного порядка и произведение симметрической матрицы на число являются симметрическими матрицами. Квадратная матрица A = (a ij ) порядка n называется кососимметрической, если a ij = a ji для всех i, j = 1, 2,..., n.

22 Матричные уравнения Матричным уравнением мы будем называть уравнение одного из видов AX = B или XC = D, (7) где A, B, C, D известные матрицы; X неизвестная матрица. Разумеется, матрицы A и X в первом уравнении, X и C во втором должны быть согласованных размеров, а число строк в матрицах A и B, равно как и число столбцов в матрицах C и D, должно быть одинаковым. С помощью транспонирования обеих частей уравнения C = D, получаем, что указанное уравнение равносильно следующему уравнению: C X = D. Таким образом, достаточно научиться решать матричные уравнения вида AX = B. Такие уравнения сводятся к нескольким системам линейных уравнений (число систем равно числу столбцов матрицы B) с одинаковой основной матрицей. Это легко усмотреть из матричной записи системы линейных уравнений. Удобно решать все системы одновременно с помощью метода Гаусса Жордана. Если по крайней мере одна система оказывается несовместной, то матричное уравнение не имеет решения. Если все системы совместны и по крайней мере одна из них неопределенная, то матричное уравнение имеет бесконечно много решений. Если все системы определенные, то матричное уравнение имеет единственное решение.

23 Пример уравнения, имеющего множество решений 1. Решить матричное уравнение AX = B, где ( ) ( A =, B = Неизвестная матрица X имеет размеры 3 2, т.е. может быть записана с неопределенными элементами в виде x 11 x 12 X = x 21 x 22. x 31 x 32 Для отыскания неизвестных элементов имеем две системы линейных уравнений (для каждого из столбцов матрицы X ) с одинаковой основной матрицей (A) и разными столбцами свободных членов (они образуют матрицу B). Для решения преобразуем расширенную матрицу, полученную приписыванием к матрице A матрицы B: ( ). 2 1 ) ( ) 3 3 ( ). 1 1

24 Окончание примера Запишем { по последней{ матрице две системы линейных уравнений: x11 x 21 = 1; x12 x 22 = 2; и Из них находим выражения x 21 + x 31 = 1 x 22 + x 32 = 1. элементов x 11, x 31 матрицы X через x 21, а элементы x 12, x 32 выражаем через x 22: x 11 = x 21 1, x 31 = x , x 12 = x 22 2, x 32 = x Значения элементов x 21, x 22 можно выбирать произвольно. Таким образом, рассматриваемое матричное уравнение имеет бесконечно много x 21 1 x 22 2 решений: X = x 21 x 22 при всех x 21, x 22 R. x x

25 Пример уравнения, не имеющего решений 2. Решить матричное уравнение AX = B, где ( ) ( A =, B = Неизвестная матрица X имеет размеры 2 2. Преобразуем матрицу ( ) ( ). 1 3 ). Мы видим, что системы для каждого из столбцов матрицы X несовместны, т.е. матричное уравнение не имеет решения.

26 Пример уравнения, имеющего единственное решение 3. Решить матричное уравнение AX = B, где ( ) ( A =, B = ). Неизвестная матрица X имеет размеры 2 2. Преобразуем матрицу ( ) ( ) ( ). Мы видим, ( что матричное ) уравнение имеет единственное решение 5 2 X =. 3 1

27 Условие единственности решения Легко проверить, что если при решении матричного уравнения AX = B с квадратной матрицей A порядка n матрица (A B) элементарными преобразованиями строк приводится к виду (E n C) с единичной матрицей слева, то матричное уравнение имеет единственное решение X = C.

28 Обратимая матрица Определение Матрица A называется обратимой, если существует такая матрица B, и такое натуральное число n, что AB = BA = E n. (8) Из определения произведения матриц легко следует, что если матрица A является обратимой, то она и матрица B должны быть квадратными матрицами порядка n.

29 Понятие обратной матрицы Лемма Для обратимой матрицы A существует единственная матрица B со свойствами (8). Доказательство. Допустим, что матрицы B 1 и B 2 таковы, что AB 1 = B 1A = E n и AB 2 = B 2A = E n. Тогда, используя свойства 5 и 1 умножения матриц, а также последние равенства, имеем B 1 = B 1E n = B 1(AB 2) = (B 1A)B 2 = E nb 2 = B 2, т.е. B 1 = B 2, что и требуется доказать. Для обратимой матрицы A eдинственная матрица B, удовлетворяющая равенствам (8), называется обратной и обозначается через A 1.

30 Свойства обратимых матриц 1. Если матрица A обратима и t ненулевое число, то матрица ta обратима и (ta) 1 = 1 t A Если матрицы A и B обратимы, то матрица AB обратима и (AB) 1 = B 1 A 1. Эти свойства непосредственно выводятся из определения обратимой матрицы и свойств умножения матриц. 3. Если матрица A порядка n обратима, а B, C произвольные матрицы размеров n k, то из AB = AC следует B = C. Для доказательства умножим равенство AB = AC слева на A 1, получим A 1 (AB) = A 1 (AC), откуда (A 1 A)B = (A 1 A)C и E nb = E nc. Таким образом, B = C, что и требуется. Аналогично доказывается следующее свойство. 4. Если матрица A порядка n обратима, а B, C произвольные матрицы размеров m n, то из BA = CA следует B = C. 5. Матрица A порядка n обратима тогда и только тогда, когда когда обратима транспонированная к ней матрица A, и при этом (A 1 ) = (A ) 1. Это свойство легко выводится из свойств операции транспонирования.

31 Примеры необратимых матриц Не всякая квадратная матрица является обратимой. Очевидный пример нулевая матрица порядка n при любом натуральном n. Если матрица A является обратимой, то матричное уравнение AX = E n имеет решение (ниже будет установлено, ( что единственное), ) которое является матрицей 1 2 A 1. Поэтому матрица 3 6 ( 1 2 матричное уравнение 3 6 ( ) ) X = ( не является обратимой, так как ( ) 1 0 не имеет решений: 0 1 ).

32 Первый способ нахождения обратной матрицы Таким образом, для нахождения обратной матрицы можно решить матричное уравнение AX = E n. Получается первый способ нахождения обратной матрицы. Чтобы выяснить, является ли квадратная матрица A обратимой и в случае положительного ответа найти обратную к ней матрицу, следует приписать справа к матрице A единичную матрицу такого же порядка и, используя элементарные преобразования строк полученной матрицы, попытаться привести матрицу, стоящую на месте матрицы A, к единичной. Если это удается, то матрица A является обратимой, и на месте единичной матрицы получается обратная к A матрица. В противном случае матрица A не является обратимой.

33 Пример Применим этот алгоритм для нахождения обратной матрицы к матрице A = Имеем: Следовательно, A 1 = /3 1 4/ /3 1 2/ /3 1 4/ /3 1 2/3..

34 Применение алгоритма Если применить указанный алгоритм к любой матрице, то после приведения левой матрицы к ступенчатому виду может возникнуть одна из двух ситуаций: на главной диагонали левой подматрицы все элементы ненулевые (и тогда исходная матрица является обратимой, можно найти обратную матрицу); одна или несколько последних строк левой подматрицы нулевые (и тогда исходная матрица не является обратимой, преобразования следует прекратить).

35 Матричные уравнения с обратимыми матрицами Предложение Если квадратная матрица A порядка n обратима и матрица B имеет n строк [столбцов], то матричное уравнение AX = B [XA = B] имеет единственное решение X = A 1 B [X = BA 1 ]. Доказательство. Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Имеем A(A 1 B) = (AA 1 )B = E nb = B, т.е. матрица A 1 B есть решение уравнения AX = B. Пусть C произвольное решение этого уравнения. Тогда AC = B. Умножая обе части этого равенства слева на A 1, получаем A 1 (AC) = A 1 B, откуда (A 1 A)C = A 1 B и C = A 1 B, что и требуется доказать.

36 Решение систем линейных уравнений С помощью обратных матриц можно решать системы линейных уравнений, основная матрица которых обратимая. В самом деле, пусть AX = B такая система. Применяя предложение сл.35, получаем, что наша система имеет единственное решение, которое выражается формулой X = A 1 B. Решим указанным способом систему линейных уравнений x 1 + 2x 2 + x 3 = 2, 2x 2 + 3x 3 = 5 2x 1 + x 2 x 3 = 7. (9) Здесь A = , а B =

37 Окончание примера Матрица A 1 была вычислена выше. Используя формулу X = A 1 B, имеем 5/3 1 4/3 2 1 X = A 1 B = = 2. 4/3 1 2/3 7 3 Следовательно, система (9) имеет единственное решение: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3.

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Лекция 11: Обратная матрица

Лекция 11: Обратная матрица Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение обратной матрицы Определение Пусть A произвольная матрица. Матрица B называется

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства

Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства Тема 2-3: Базис и размерность линейного пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Лекция 5: Определители

Лекция 5: Определители Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии уже говорилось об определителях

Подробнее

Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы и системы линейных уравнений Глава 7 Матрицы и системы линейных уравнений 7 Матричные операции Пусть K произвольное кольцо Таблица a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, a m a m2 a mn в которой a ij K i =,2,,m; j =,2,,n, называется матрицей

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Тема 1-5: Системы линейных уравнений

Тема 1-5: Системы линейных уравнений Тема 1-5: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Тема: Линейное пространство R n

Тема: Линейное пространство R n Тема: Линейное пространство R n А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Лекция I. I.1. Введение

Лекция I. I.1. Введение Лекция I I.. Введение Здравствуйте ребята! Я хочу поздравить вас с первым шагом к получению высшего образования. Хотя в нашей стране к нему сейчас довольно сложное отношение, для каждого из вас это новый

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Тема 2-15: Ортогональность

Тема 2-15: Ортогональность Тема 2-15: Ортогональность А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

УДК ББК Г27

УДК ББК Г27 УДК 512.64+514.12 ББК 22.143+22.151.5 Г27 Геворк я н П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 208 с. ISBN 978-5-9221-0860-7. Данная книга вместе с двумя

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения

Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения Тема 2-8: Образ и ядро линейного отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ АКАДЕМИЯ НАУК МОЛДОВЫ И В БЕЛОУСОВ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ матрицы и определители Кишинев: 2007 CZU 512643(0758) Б 43 Данное учебное пособие является частью курса лекций, которые

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

Содержание: Введение. Определение матриц. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Элементарные преобразования матриц.

Содержание: Введение. Определение матриц. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Элементарные преобразования матриц. Раздел ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (ЛА) Курс предназначен для студентов изучающих «ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» Этот раздел во многих курсах высшей математики для студентов технических и экономических специальностей

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений

Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений Блочные матрицы и их использование для решения систем линейных алгебраических уравнений. Определение блочных матриц Для решения систем линейных алгебраических уравнений синтезированного алгоритма МНК-уравнивания

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Лекция 4: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Матрицы и действия над ними Определение матрицы

Матрицы и действия над ними Определение матрицы Матрицы и действия над ними ы Матрицей размера называется прямоугольная таблица элементов некоторого множества (например чисел или функций) имеющая строк и столбцов Элементы из которых составлена а называются

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица

1. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица Матрицы и определители.. Матрицы и операции над ними. Основные понятия и определения Определение. Матрицей (точнее, числовой матрицей) размера m n называется прямоугольная таблица K A K m K m K K K n состоящая

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений

Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Лекция 6: Крамеровские системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической

Подробнее

Тема 2-7: Линейные отображения

Тема 2-7: Линейные отображения Тема 2-7: Линейные отображения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.И. Некипелова ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений 28. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Размерность

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора

Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора Тема 2-13: Корневое разложение для линейного оператора А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Рис Ввод матриц на рабочий лист

Рис Ввод матриц на рабочий лист МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

Подробнее

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие

Н.Д.Выск, К.Ю. Осипенко. Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие НДВыск, КЮ Осипенко Линейная алгебра и аналитическая геометрия учебное пособие МАТИ-РГТУ им КЭ Циолковского Кафедра «Высшая математика» 0 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ХИМИИ А. А. МИХАЛЕВ, И. Х. САБИТОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Допущено Учебно-методическим объединением по классическому университетскому

Подробнее