Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов"

Транскрипт

1 Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки от плоскости 6. Задачи для самостоятельного решения 7. Проверочные работы 1. Введение Преподаватель: Белов А.И. В курсе геометрии 1-11 классов большое внимание уделяется декартовым координатам, векторам и их применению при решении задач. Уравнения простейших геометрических объектов прямой и плоскости, дают более наглядную картину численного восприятия пространства. Учащимся, занимающимся в классах с углублённым изучением информатики, в физико-математических классах, изучение данной темы даёт возможность непосредственно использовать свои знания по данной теме при разработке и применении программ трёхмерной графики. С некоторыми оговорками некоторые из следующих материалов можно использовать и в 8-9 классах в при изучении темы «Уравнение прямой на плоскости».. Уравнение прямой Для вывода уравнения прямой в пространстве удобней всего воспользоваться условием коллинеарности векторов. Рассмотрим прямую l в пространстве, при этом M x ; y z - известная точка, лежащая на этой прямой, и пусть вектор пусть точка ( ; ) q = ( q1 ; q; q ) - известный вектор, коллинеарный прямой. направляющим вектором прямой. Рассмотрим точку A ( x y; z) l Данный вектор называется ; - произвольную точку пространства. Для того, чтобы выполнялось условие A l, необходимо и достаточно, чтобы MA q. Найдём MA = ( x x y y ; z У коллинеарных векторов ; z x x y y z z координаты пропорциональны, значит, = =. Полученное q1 q q уравнение является каноническим уравнением прямой l. Преобразуем полученное уравнение следующим образом. x x y y z z Пусть = = = t. q q q 1 = x + q1t, Тогда y = y + qt, где t R. Полученная система называется параметрическим z = z + qt., уравнением прямой l. Задавая различные значения параметра t, получим различные точки на прямой l. Так, например, при t =, получим точку M. Таким образом, параметр t выполняет роль внутренней координаты на прямой. Задача 1

2 Написать уравнение прямой, проходящей через точки A( 1; 1; B( ;;1 Направляющим вектором прямой будет AB = ( 1;4;1 Отсюда уравнение прямой x y + 1 z имеет вид = =. Уравнение в параметрическом виде имеет вид = 1+ t, y = + 4t, t R. z = t, Задача Написать уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC, если A ( ;; B( ;4;5 C( 1; ; M середина BC, значит, M ; ;. Таким образом, M ( ;1; Направляющим вектором искомой прямой будет вектор AM = ( ; ; Отсюда x + 1 y z уравнение прямой имеет вид = =, а в параметрическом виде = t, y = t +, t R. z = t, Задача Написать уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника ABC, если A( ;1;4 B( ;; 1 C( 1;;1 Высота AH BC, H BC. Пусть H ( x; y; z x 1 BC = ( ;1; ), уравнение прямой BC имеет вид 1 z = y =, причём координаты точки H удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, AH BC, значит, их скалярное произведение равно. Так как AH = ( x ; y ; z 4), то x + y + ( z 4) =. Отсюда, координаты точки H удовлетворяют системе x z = y =, x + y + z 9 =, = t + 1, y = t +, z = t + 1, ( t + 1) + t + + ( t + 1) 9 =.

3 Решив последнее уравнение, найдём t =. Отсюда, точка H ; ;. Значит, вектор AH = ; ;, и, следовательно, уравнение прямой AH имеет вид 11 7 x y z = =, y z x = = Уравнение плоскости Для вывода уравнения плоскости воспользуемся условием перпендикулярности векторов. Рассмотрим плоскость α. Пусть точка M ( x ; y z ) известная точка, ; принадлежащая данной плоскости, и пусть вектор n = ( A; B; C) известный вектор, перпендикулярный плоскости α. Такой вектор называется нормальным вектором (нормалью) плоскости. Точка M ( x; y; z) произвольная точка пространства. Для того, чтобы выполнялось условие M α, необходимо и достаточно, чтобы вектора n и M M были перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение этих векторов должно быть равно. M M = ( x x y y ; z ; z M M n = A Ax + By + Cz ( x x ) + B( y y ) + C( z z + ( Ax By Cz ) =. Обозначим D = Ax By Cz. Отсюда Ax + By + Cz + D =. Полученное уравнение является уравнением плоскости α. Задача 4 Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB, A ; ;4 ; B ;5; Найдём координаты точки O середины отрезка AB. O ( 1;;1 AB = ( ;6; 6) нормальный вектор искомой плоскости. Отсюда искомое уравнение имеет вид ( x ) + 6( y ) 6( z ) =. Итак, x + y z + = искомое уравнение. перпендикулярно к нему, если ( ) ( Задача 5 Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, x y + 1 z перпендикулярно прямой = =. 4 Направляющий вектор данной прямой будет нормалью к искомой плоскости, следовательно, n = ( ; ;4 Тогда уравнение плоскости имеет вид x y + 4z =.

4 Задача 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A ( 1; ; B( ;;1 C( ;; AB = 1;4;1 ; AC = ;4; Так как координаты найденных векторов не являются ( ) ( пропорциональными, то AB и AC неколллинеарны, а значит, точки A, B, C не лежат на одной прямой. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести единственную плоскость. Нормальный вектор этой плоскости должен быть перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, а по критерию перпендикулярности прямой и плоскости для этого необходимо и достаточно перпендикулярности каким-либо двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Пусть нормаль n = ( A; B; C Тогда n AB = ; n AC =. Найдём координаты нормали из системы A + 4B + C =, A + 4B + C =, A C =, C = A. Пусть A = 1. Тогда C = ; B =. Таким образом n = ( 1; ; ), а уравнение искомой плоскости имеет вид 1 x y z =, ( ) ( ) ( ) x y + z =. 4. задач с помощью уравнений прямой и плоскости Задача 7 Найти пересечение плоскостей α : x + y z = и β : x + y + z 6 =. Плоскости α и β пересекаются по прямой l, так как нормаль плоскости α неколллинеарна нормали плоскости β. Точки прямой пересечения должны удовлетворять системе уравнений x + y z =, x + y + z 6 =. 5z + 5 =, z = 1, x + y 4 =, y = 4 x. Тогда при x = получим y = 4, а при x = получим =. и ( ;;1 ) y Значит, точки A ( ;4;1 ) B принадлежат линии пересечения плоскостей. Вектор AB = ( ; 4; ) направляющий вектор искомой прямой. Тогда уравнение линии пересечения имеет x y 4 z вид = =. В данном случае деление на означает лишь то, что прямая 4

5 параллельна плоскости Oxy. Уравнение прямой в параметрическом виде имеет вид = t, y = t + 4, t R. z = 1, Задача 8 x y + z Найти пересечение прямой l : = = и плоскости α : x + y + z + 6 =. q = ; ; и нормальный вектор данной Направляющий вектор данной прямой ( ) плоскости = ( ;1;1 ) n не являются перпендикулярными (так как их скалярное произведение не равно Значит, данная прямая и плоскость пересекаются в точке A, координаты которой удовлетворяют системе уравнений x + y + z + 6 =, x y + z = =, = t + 1, y = t, z = t, ( t + 1) t + t + 6 =, 6t + 6 =, t =, x =, y =, z =. Таким образом, искомая точка имеет координаты A ( ; ; 5. Расстояние и отклонение точки от плоскости Пусть точка M ( x; y; z ) известная точка пространства и пусть дана плоскость α : Ax + By + Cz + D =. Пусть N - проекция точки M на плоскость α. Тогда N = a α, где a - прямая, проходящая через точку M перпендикулярно плоскости α. Нормальный вектор плоскости α совпадает с направляющим вектором прямой a, значит, уравнение этой прямой имеет вид x x y y z z = =. Координаты точки N удовлетворяют системе уравнений A B C x x y y z z = =, A B C Ax + By + Cz + D =, = x + At, y = y + Bt, z = z + Ct, A( At + x ) + B( Bt + y ) + C( Ct + z ) + D =,

6 Ax + By + Cz + D Отсюда t =. A + B + C Расстояние от точки M до плоскости α - это длина вектора MN = ( At; Bt; Ct Отсюда получим Ax + By + Cz + D Ax + By + Cz + D MN = ( A + B + C ) =. A B C + + A + B + C Итак, формула расстояния от точки M до плоскости α Ax + By + Cz + D ρ ( M, α ) =. A + B + C Модуль в числителе этого выражения говорит о том, что на данном расстоянии от плоскости α на прямой, проходящей через точку M, находятся две точки сама точка M и симметричная ей относительно плоскости α. Таким образом, знак выражения внутри модуля в числителе дроби показывает, с какой стороны от плоскости α расположена точка. Ax + By + Cz + D Выражение δ ( M, α ) = называется отклонением точки от A + B + C плоскости и обладает следующим смыслом δ ( M, α ) = если M α, δ ( M, α ) > если M лежит по ту же сторону от α, куда направлен нормальный вектор ( A ; B; C) плоскости α, δ M, α < если M лежит по другую сторону от α. ( ) Задача 9 Найти расстояние от точки A ( 1;; ) до плоскости α : x + y z + 1 =. Используя полученную формулу, получим ρ( A, α ) = = = = ( ) Задача 1 Пересекает ли плоскость α : x 4y + z + 5 = отрезок AB, если A ( 1;1;1 B( ; ; )? Пересекает ли плоскость прямая AB? δ ( A, α ) = = > δ ( B, α ) = = > Таким образом, отклонения обеих точек от плоскости одного знака, следовательно, они лежат по одну сторону от α, а значит, отрезок AB не пересекает плоскость α. Но отклонения данных точек не равны между собой, значит, они находятся на разном расстоянии от плоскости, то есть отрезок AB не параллелен плоскости α. Следовательно, прямая AB пересекает плоскость α. 6. Задачи для самостоятельного решения Уравнение прямой

7 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A и B, если А) A ( ;1; B( ;;1 ) Б) A ( ;1;1 B( 1;1; ). Лежит ли точка P на прямой AB, если A ( ;; B( 4; ;1 P( ; ; )?. Известно, что A ( 1;; B( 1;;1 C( ; ;5 Написать уравнения прямых CD, BD, AD, если ABCD параллелограмм. 4. Написать уравнения медиан треугольника ABC, если A ( 1;; B( ;1; C( ;; 4 5. Написать уравнение высот треугольника, A 1;1;1 ; B ; 1; ; C ;5;1 x y + z При каком значении параметра a прямая = = пересекает ось a аппликат? x y + z 7. Найти расстояние между прямой = = и осью абсцисс. 1 x + 4 y z 8. Найти уравнение общего перпендикуляра прямых a : = = и 4 x + 4 y 5 z b : = =. 1 ABC если ( ) ( ) ( Уравнение плоскости 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 1;; ), перпендикулярно отрезку AB, если B ( ;1;5. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB, перпендикулярно AB, если А) A ( 1;4; ) ; B( ;; ) Б) A ( ;1;5 B( ;1;1 ). Плоскость α задана уравнением 6 x + 7 y 4z + 7 =. Найти уравнения плоскостей, симметричных α А) относительно оси абсцисс Б) относительно оси ординат В) относительно оси аппликат Г) относительно плоскости Oxz Д) относительно плоскости Oxy Е) относительно плоскости Oyz Ж) относительно начала координат 4. Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку A ( 1;; ) и перпендикулярных каждой из координатных осей. 5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C, если А) A ( 1;1;1 B( ;; C( ;;5) Б) A( ; 1; B( ; ; C( ;;6) 6. Составить уравнение плоскости, симметрично плоскости α : x 5y z = относительно точки A ( 1;;4 7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A ( ;; ) и B ( ;4; ), параллельно оси аппликат. Уравнения прямой и плоскости

8 1. Найти пересечение плоскостей α и β, если α : x + y 5z + 1 = ; А) β : x + y z + 4 = α : 5x y z = ; Б) β : x + y + z 4 =. Спроектировать точку A ( 6;; 4) на плоскость α : x + y z =. x + 1 y z. Найти пересечение прямой a : = = и плоскости 4 1 α : x y + z 4 =. 4. Выяснить взаимное расположение плоскостей α : x + y 4z + = ; β : x + y + z + 1 = ; γ : 5x + 7y z =. x y + 5 z 4 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую a : = =, параллельно прямой x = y = z. x y z + 1 x y + 1 z 6. Провести плоскость через прямые a : = = и b : = =. 4 4 Найти расстояние между a и b. x 7. Спроектировать точку A ( 8;1; ) на прямую a : = y = z Написать уравнение прямой, параллельной плоскости α : x + 4y z + 1 =, проходящей через точку A ( ;1;1 Расстояние и отклонение точки от плоскости 1. Определить расположение точки P ( 1; ;1 ) относительно плоскостей α : x + y + 4z + 5 = и β : x + y + 4z =.. Пересекает ли плоскость α : x y + 5z = отрезок AB, если A ( ; ;) ; B( ;4;1 )? Пересекает ли плоскость прямая AB? Если пересекает найти точку пересечения.. Составить уравнение плоскостей, проходящих на расстоянии 5 от плоскости α : x + y z 4 =. 4. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от плоскостей α : x + y z = и β : 5x y + z + =. 5. Найти расстояние между плоскостями α : x y z = и β : x y z 5 =. 6. Определить, лежит ли точка P ( 1;1;1 ) внутри острого или внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями α : x y z + 7 = и β : x + 4y =. x y + z Найти уравнение проекции прямой l : = = на плоскость 1 α : x + y + z =. 8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A ( 1;1; ), параллельно линии пересечения плоскостей α : x y + 5z + 5 = β : x + y z 7 =. Найти расстояние между этими прямыми. 7. Проверочные работы

9 Самостоятельная работа 1 1. Написать уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC, если A ( 1;; B( ;4; 5 C( 5;;1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину BC, перпендикулярно к нему, если A, B, C точки из задачи 1.. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной плоскости из задачи Вариант 1. Написать уравнение прямой, содержащей медиану BK треугольника ABC, если A ( 1;; B( ;4; 5 C( 5;;1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AC, перпендикулярно к нему, если A, B, C точки из задачи 1.. Написать уравнение прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной плоскости из задачи Самостоятельная работа x y z Найти точку пересечения прямой = = и плоскости 1 4 x + y z =.. Провести через точку пересечения прямой и плоскости из задачи 1 прямую, перпендикулярную данной плоскости. Вариант x + 1 y z Найти точку пересечения прямой = = и плоскости 4 x + y + z 4 =.. Провести через точку пересечения прямой и плоскости из задачи 1 прямую, перпендикулярную данной плоскости. Самостоятельная работа Написать уравнение прямых, содержащей медиану AM и высоту AH треугольника ABC, если A ( ; ; B( 1;4;5 C( 4;; Найти длину высоты и медианы. Вариант Написать уравнение прямых, содержащей медиану BL и высоту BK треугольника ABC, если A ( ; ; B( 1;4;5 C( 4;; Найти длину высоты и медианы. Самостоятельная работа 4 A ( 1; 4;1 B( ;;5 C( 5;4;1 Написать уравнение медианы AM треугольника ABC. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB перпендикулярно к нему. Найти угол между проведёнными прямой и плоскостью. Вариант A ; ; ; B 6;1;4 ; C 4; 7;6 ( ) ( ) (

10 Написать уравнение медианы AM треугольника ABC. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB перпендикулярно к нему. Найти угол между проведёнными прямой и плоскостью. Самостоятельная работа 5 1. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x + y 4z + 5 = и β : x y + z =.. Найти расстояние от точек A ( 1; ;) и B ( ;;1 ) до плоскости α : x + y z + 5 =. Пересекает ли плоскость α отрезок AB? Пересекает ли плоскость α прямая AB? Вариант 1. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x y + 5z = и β : x + y + z + 4 =.. Найти расстояние от точек A ( ;1; ) и B ( 1; 4;1 ) до плоскости α : x y + z =. Пересекает ли плоскость α отрезок AB? Пересекает ли плоскость α прямая AB? Самостоятельная работа 6 Провести плоскость, проходящую через точки ( 5;;1 B( ;1; C( 4;;1 расстояние от этой плоскости до точек ( ;;1 N( 1; ; отрезок MN? Вариант A Найти M Пересекает ли плоскость Провести плоскость, проходящую через точки ( ;1;4 B( ;1; C( ; ; расстояние от этой плоскости до точек ( ;;1 N( 1; ; отрезок MN? A Найти M Пересекает ли плоскость Контрольная работа 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB, перпендикулярно AB, если A( ;; 1 B( ;;4. Выяснить расположение треугольника ABC относительно плоскости α : x + y z + 1 =, если A ( ;;1 B( ;;1 C( ;;1. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x + y 4z + 5 = и β : x y + z =. x 1 4. Провести плоскость через прямые : + y a = = z x + y z + 1 и b : = =. Найти расстояние между ними. Вариант 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB, перпендикулярно AB, если A ( 1;; B( 4; ;. Выяснить расположение треугольника ABC относительно плоскости α : x + y + z 5 =, если A( 1;; B( ; 1;1 C( ;1;4. Написать уравнение пересечения плоскостей α : x y + 5z = и β : x + y + z + 4 =.

11 x + y Провести плоскость через прямые a : = = Найти расстояние между ними. z 4 x y + z и b : = =. 4

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов

Прямые и плоскости. С.К. Соболев, В.Я Томашпольский. Методические указания к решению задач по аналитической геометрии. Для всех факультетов СК Соболев, ВЯ Томашпольский Прямые и плоскости Методические указания к решению задач по аналитической геометрии Для всех факультетов МГТУ им НЭ Баумана Москва 0 УДК: 5+54 Рецензент: Покровский Илья Леонидович

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.

ЛЕКЦИЯ N14. Плоскость. 1.Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку. ЛЕКЦИЯ N4. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость.....Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку.....общее уравнение плоскости.... 4.Угол между плоскостями. Условия

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения А. В. Мезенцев П. П. Скачков Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические рекомендации

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

В. В. Головизин. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II. Ижевск 2011

В. В. Головизин. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II. Ижевск 2011 В В Головизин Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II 3 7 9 3 7 9 3 3 9 7 7 7 9 3 9 9 7 3 Ижевск 0 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Лекция 4 ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Определение 1. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться, но

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 9 Тема: Плоскости План. Способы задания и уравнения плоскости.. Общее уравнение плоскости.. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Особенности расположения плоскости в АСК. 4.

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я. по дисциплине «Высшая математика» 2 8 7 4 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра «Вычислительная математика» Г Е О М Е Т Р И Я по дисциплине «Высшая математика» МОСКВА - 2008 М ОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ Й

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

Планиметрические задачи Векторный метод решения. Атанасян Сергей Левонович д.п.н, профессор, заведующий кафедрой геометрии

Планиметрические задачи Векторный метод решения. Атанасян Сергей Левонович д.п.н, профессор, заведующий кафедрой геометрии Планиметрические задачи Векторный метод решения Атанасян Сергей Левонович д.п.н, профессор, заведующий кафедрой геометрии Планиметрические задачи Векторный метод решения задач Планиметрические задачи Векторный

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 2011 ВВЕДЕНИЕ Выработка умений решать задачи на нахождение координат точек и векторов, расстояний между точками и углов между векторами относится к основным

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее