Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx"

Транскрипт

1 Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи уравнений и неравенств... 4 Пересечение двух линий Параметрическое представление линии... 5 Уравнение линии в полярных координатах... 5 Лекция. Прямая на плоскости... 7 Каноническое уравнение прямой на плоскости... 7 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору... 7 Общее уравнение прямой на плоскости... 8 Уравнение наклонной прямой с угловым коэффициентом y = kx+ b... 8 Уравнение прямой в отрезках... 9 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки... 9 x, y... Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору Угол α между прямыми y = kx + b, y = kx + b... Признаки коллинеарности и перпендикулярности прямых... Нормальное уравнение прямой... Расстояние точки ( x, y ) до прямой, заданной общим уравнением A x+ B y+ C = Лекция 3. Плоскость в пространстве... 3 Каноническое уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору... 3 Общее уравнение плоскости a x+ b y+ c z+ d =... 4 Уравнение плоскости в отрезках... 5 Уравнение плоскости, проходящей через три точки... 6 Нормальное уравнение плоскости... 6 Расстояние от точки ( x, y, z ) до плоскости, заданной общим уравнением... 6 Угол между плоскостями... 6 Лекция 4. Прямая в пространстве... 7 Канонические уравнения прямой в пространстве... 7 Параметрические уравнения прямой... 7 Уравнения прямой, проходящей через две точки:... 8 Угол между прямыми в пространстве... 8 Угол между прямой и плоскостью находим по формуле... 9 Расстояние точки до прямой... 9 Список рекомендуемой литературы... 9 Список дополнительной литературы... Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость Составитель: В.П.Белкин. Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий Геометрические образы уравнений и неравенств Геометрическим образом уравнения F( x, y) = называется множество всех точек ( x, y ) плоскости, координаты которых при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

2 Как правило, образ уравнения является линией, но могут быть и исключения. Например, уравнение x y определяет только одну точку ;. Другое уравнение x + y = + = ( ) соответствует пустому образу. График функции y f x - это геометрический образ уравнения = ( ) y f ( x) = Из школы наиболее известны геометрические образы: прямая, например x+ y =; парабола, например, y = x ; окружность x + y = R. Таким образом, линия представляет собой геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению Fxy (, ) =. Уравнение Fxy (, ) = называется уравнением линии в заданной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты xy, каждой точки линии, и не удовлетворяют координаты xy, ни одной точки, не лежащей на этой линии. Переменные x и y в уравнении линии называются текущими координатами точек линии. Пример. Проверить, что точка ( ;4) принадлежит параболе y = x Решение. Подставим в уравнение координаты x =, y = 4 этой точки: y параболе. = x 4=, получилось тождество. Следовательно проверяемая точка лежит на Геометрический образ неравенства F( x, y) или (, ) F x y для уравнения. Как правило, образ неравенства является областью. Граница этого области определяется уравнением F x, y =, которое получается заменой знака неравенства на знак «равно» ( ) определяется аналогично как Например, неравенство x + y определяет на плоскости круг радиуса R = с центром в точке ( ;) R= Поясним сказанное. Граница неизвестного геометрического образа определяется уравнением x + y =, т.е. является окружностью, которая разбивает плоскость на две части. Одна часть определяется неравенством x + y, а другая x + y. Это значит, что искомый образ внутренность круга или его внешность. Направление вектора, перпендикулярного границе образа, на чертеже показывает на нужную часть плоскости. Чтобы из этих двух частей правильно указать нужную часть, подставим координаты контрольной точки (;) в данное неравенство x + y +, получилось тождество. Поэтому все точки образа данного неравенства лежат в той части плоскости, где находится проверяемая контрольная точка. Пример. Построить геометрический образ неравенства x+ y > Решение. Граница области x+ y = - прямая, которую построим по двум точкам A ( ; ), B ( ;)

3 3 B A Проведем границу пунктирной линией, что означает граница не принадлежит образу неравенства со строгим знаком «>» ; в неравенство получаем ложное При подстановке координат контрольной точки ( ) неравенство x+ y > + >. Поэтому вектором показываем верхнюю полуплоскость, которой не принадлежит контрольная точка. x + y > Пример. Построить геометрический образ системы y = x Решение. Геометрический образ этой системе получается как пересечение двух геометрических образов x+ y ( верхняя полуплоскость без границы ), y = x ( прямаябиссектриса -ой четверти). D B C A Геометрический образ системы это полупрямая CD, у которой удалена граничная точка C. ( этот факт указывается стрелкой или не заштрихованным кружком) Пример. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек A( ; 3) и B(3;). Решение: Выполним чертеж. Построим геометрически множество точек, равноудаленных от двух данных точек D B C A Проверим, что требуемое геометрическое места точек это срединный перпендикуляр CD отрезку AB. Пусть xy (;) - произвольная точка данного геометрического места. Тогда A = B из равенства прямоугольных треугольников AC и BC. Найдем уравнение прямой CD. к По условию A получаем: = B. С другой стороны, по формуле расстояния между двумя точками

4 A = ( x + ) + ( y + 3) ; B = ( x ) + ( y 3). Приравняв эти выражения, получим уравнение данного геометрического места: ( x + ) + ( y + 3) = ( x ) + ( y 3). Возводя в квадрат обе части уравнения, раскрывая скобки в подкоренных выражениях и приводя подобные члены, получим уравнение x + y =. Таким образом, координаты любой точки данного геометрического места удовлетворяют уравнению x + y =. 4 Определение геометрического образа при помощи уравнений и неравенств С развитием компьютерных технологий возникает необходимость перехода от наглядного образа к его аналитическому заданию при помощи математических средств ( как правило, уравнений и неравенств) Фактически это обратная задача к рассмотренной ранее прямой задаче «по уравнению построить образ». Пример. Охарактеризовать неравенствами приведенный геометрический образ треугольник A B. B A (x,y) Решение. Уравнение границы A таково x =. Любая точка (, ) x y из треугольника AB находится правей этой границы и поэтому имеет неотрицательную абсциссу, т.е. верно для точки ( x, y ) неравенство x. Уравнение границы AB, y =. Так как очка ( x, y ) лежит ниже это границы, то верно y. Уравнение границы B, y = x. Это уравнение прямой, проходящей через две точки, B ( ;). Проверяем неравенство y x при помощи контрольной точки ( ; ), которая принадлежит треугольнику A B : y x верно. Поэтому координаты точки (, ) x y, лежащей в той же полуплоскости, что контрольная точка, удовлетворяют этому неравенству. Вывод. Треугольник A B является пересечением трех полуплоскостей, определяемых неравенствами x, y, y x. Поэтому он определяется как геометрический образ системы неравенств x y y x Пересечение двух линий. Задача о нахождении точек пересечения двух линий L и L, заданных уравнениями f( xy, ) = и f (, xy ) =, состоит в нахождении координат точек, удовлетворяющих f(, xy) = каждому из этих уравнений. Поэтому следует решить систему уравнений. f(, x y) = Если эта система не имеет решений, то линии и L не пересекаются. L

5 Пример. Найти точки пересечения прямой y = x и окружности x + y = 5. x+ y = 6 Решение. Решаем систему уравнений. y = x Решение. Исключаем y с помощью второго уравнения. Получаем x+ y = 6 x+ x = 6, x =. Отсюда y = x = = 4 Ответ. Две прямые пересекаются в единственной точке ( ;4 ) 5 Параметрическое представление линии. Для аналитического представления линии можно задавать координаты x = x(), t y = y() t точек этой линии при помощи параметра t, где аргумент t функции xt (), yt () изменяется в некоторой области изменения. x = xt () Итак, линия задана параметрически, если. С механической точки зрения такая y = yt () x, y, если t - время, а x = x(), t линия определяется как траектория движущейся точки ( ) y = y() t - законы изменения абсциссы и ординаты текущей точки ( x, y ). Исключая из двух параметрических уравнений параметр t, получаем уравнение к F x, y =. уравнению вида ( ) Пример. Найдем параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат. Пусть xy (, ) - любая точка этой окружности, а ϕ - угол между радиусом-вектором и осью x, отсчитываемый против часовой стрелки. ϕ x R Тогда x = R cosϕ, y = Rsinϕ. Получены параметрические уравнения окружности Исключаем параметра ϕ из этих уравнений и получаем уравнение линии в декартовой системе координат: x + y = ( Rcosϕ ) + ( Rsinϕ) x + y = R Уравнение линии в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты: выберем на плоскости точку (полюс) и выходящий из нее луч x ; укажем единицу масштаба. Полярными координатами точки называются два числа: r (полярный радиус) равное расстоянию точки от полюса и ϕ (полярный угол) угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч x до совмещения с лучом. r= ϕ x

6 6 Точку обозначают символом ( r, ϕ ) и обычно считают, что r <+, ϕ< π или π < ϕ π Обычно полярную систему координат совмещают с декартовой прямоугольной системы координат. Для этого в качестве полюса берется начало координат, а ось абсцисс в качестве полярной оси r ϕ по Декартовы координатами ( x, y ) выражаются полярные координаты (, ) формулам: x = r cosϕ, y = r sinϕ ϕ x y Эти формулы получаем из прямоугольного треугольника. Формулы перехода x = r cosϕ, y r sin = ϕ позволяют получить уравнение линии ( ) F x, y = в полярной системе координат. Пример. Найти уравнение параболы y = x в полярной системе координат. Решение. Подставим в это уравнение декартовы координаты, выраженные через полярные координаты x = r cosϕ, y = r sinϕ. Получаем: y = r sin ( r cos ) x ϕ= ϕ, r sinϕ= r cos ϕ, sinϕ = r cos ϕ sinϕ Ответ. r = cos ϕ Пример. Построить линию r = cosϕ. Найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат. Решение. Составим таблицу значений полярного радиуса r, будем давать значения полярному углу ϕ от до 8 с шагом π =, 5. Далее при изменении ϕ от 8 до 36 8 значения r будут повторяться. Кривая будет симметрична относительно полярной оси. ϕ, ,5 9, ,5 8 r,85,4,77 -,77 -,4 -,85 - ϕ,5 5 47,5 7 9, ,5 36 r -,85 -,4 -,77,77,4,85 С помощью таблицы строим точки кривой в полярной системе координат. Затем эти точки соединяем плавной кривой. r Связь декартовых и полярных координат точки ( x, y ) выражается формулами

7 7 y x = r cosϕ, y = rsinϕ, а также tgϕ =, r = x + y x Определим тип кривой. Для этого переходим от ее уравнения в полярной системе координат к уравнению в декартовой системе координат. Получим r = cosϕ r = rcosϕ. Подставим r = x + y. Отсюда x + y = x. Выделим полный квадрат ( x ) + y =. Окончательно получаем уравнение окружности с центром (; ) и радиусом R =. Лекция. Прямая на плоскости Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через точку (, ) x x y y вектору s = ( m, n) имеет вид: =. m n s (x,y) x y параллельно заданному ненулевому Ненулевой вектор s, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой. x, y - произвольная точка данной прямой. Находим Выведем это уравнение. Пусть ( ) векторы = ( x x y y ), Применим признак коллинеарности для векторов, s. Получаем: x x y y s = m n Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору Даны точка ( x, y ) и ненулевой вектор n = ( a, b). Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору n имеет вид a x x + b y y =. Вектор n, перпендикулярный прямой, называется нормалью ( ) ( ) прямой. 9 n ( x; y) ( x; y) Вывод уравнения. Пусть ( x, y ) - произвольная точка данной прямой. Находим вектор = ( ), который перпендикулярен вектору n = ( a, b). Применим признак x x y y, перпендикулярности этих векторов: n n = Вычисляем скалярное произведение n a ( x x ) b ( y y ) = +

8 Итак, координаты произвольной точки ( x, y ) удовлетворяют уравнению ( ) + ( ) =. a x x b y y 8 Общее уравнение прямой на плоскости Преобразуем полученное ранее уравнение a x x + b y y = a x a x b y b y ( ) ( ) + =, a x b y ( a x b y ) + + = Обозначим константу c = a x b y и получим общее уравнение прямой ax+ by+ c =. Уравнение вида ax+ by+ c = называется линейным, т.е. переменные x, y входят в уравнение в первых степенях. Любая прямая на плоскости определяется линейным уравнением. A n 9 B Анализ общего уравнения ax+ by+ c =.. Коэффициенты ab, этого уравнения это координат нормали прямой.. Переменные x, y называются текущими координатами произвольной точки прямой. 3. c = ax+ by =, прямая проходит через начало координат c c 4. a = by+ c=, y =. Обозначим константу y = и запишем уравнение y = y. b b Это прямая параллельна оси абсцисс и проходит через точку y на оси ординат. y y = y c c 5. b = ax+ c=, x =. Обозначим константу x =. Получаем уравнение x = x. a a Это прямая параллельна оси ординат и проходит через точку x на оси абсцисс. x = x x Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (,) перпендикулярно оси. Решение. Так как искомая прямая перпендикулярна оси, то ее уравнение x = x, где x = - абсцисса точки A (,). Ответ. x = Уравнение наклонной прямой с угловым коэффициентом y = kx+ b Это уравнение получается из общего уравнения, если выразить Геометрический смысл коэффициентов этого уравнения: k = tgα - тангенс угла наклона прямой к оси ; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси. y через x.

9 9 b α Пример. Определить коэффициенты k и b для прямой 6х + y =. Найти угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Решение. Разрешим уравнение относительно y : y = 6х + или y = 3х. Откуда находим k = 3, b =. Применим геометрический смысл углового коэффициента, k = tgα. Отсюда угол наклона прямой равен α= arctgk = arctg3 7,5 x y Уравнение прямой в отрезках + = p q x y Уравнение вида + = называется уравнением прямой в отрезках на осях. p q q p Коэффициенты p, q равны отрезкам, отсекаемым прямой на осях координат. Доказательство. Уравнение линейное, поэтому на плоскости оно определяет прямую. Точка пересечения прямой с осью абсцисс имеет нулевую ординату. Находим абсциссу этой точки. Подставим в уравнение прямой значение y =. Получаем x y x + = + = ; x = p. p q p q Пример. Построить прямую x+ 3y = 6. Вычислить площадь треугольника, отсекаемого этой прямой от координатного угла Приводим уравнение прямой к уравнению в отрезках. Делим обе части уравнения на 6. x+ 3y x+ 3y = 6 =, x 3 y x y + =, + = Отсюда находим отрезки на осях p = 3, q =. Площадь треугольника равна 3 S = pq=3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A( x, y ) и (, ) Это уравнение имеет вид x x x x y y =. y y B x y.

10 Докажем это утверждение. Проведем на чертеже прямую AB. Укажем произвольную точку ( x, y ) на этой прямой. B A Находим векторы: AB B A x x, y y и A A = = ( ) = = ( x x, y y ). Применим признак коллинеарности векторов AB и A : AB A x x y y = x x y y Выведенное уравнение справедливо даже в случае, например, x x =, т.е. прямая параллельна оси, и ее уравнение принимает вид x x =, а координата y при этом является произвольной. y y В частности, угловой коэффициент этой прямой k =. x x B y A y α C x x BC y y Этот факт можно получить из уравнения или по чертежу, так как k = tgα= = AC x x Уравнение пучка прямых в точке ( x, y ) Это уравнение имеет вид y y = k ( x x ) ; ). Меняя значение углового коэффициента k в промежутке ( + можно получить любую прямую, проходящую через точку, кроме вертикальной прямой x = x. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку ( x, y ), параллельно вектору s = ( m, n) x x y y Эти уравнения получаются из канонического уравнение прямой =. m n x x y y Обозначим дроби как значение параметра =, а затем выразим текущие m n x = x + m t координаты x, y через этот параметр. Получаем систему двух уравнений y = y + n t Угол между прямыми α k k Формула tgα= + k k y = kx+ b, y = kx + b

11 k α k ϕ ϕ Доказательство. Обозначим ϕ, ϕ - углы наклона прямых к оси абсцисс. Тогда верно равенство α=ϕ ϕ. Находим tgϕ tgϕ tgα= tg( ϕ ϕ ) = + tg ϕ tg ϕ Согласно геометрическому смыслу углового коэффициента можно записать равенства,. Поэтому k k k = tgϕ k = tgϕ tgα= + k k Признаки коллинеарности и перпендикулярности прямых ) признак коллинеарности прямых, k = k; ) признак перпендикулярности (ортогональности) прямых, k k =. В случае перпендикулярности прямых угол α= 9 и tgα не существует. Правая часть k k формулы tgα= не существует, если производится деление на нуль, т.е. для + k k перпендикулярных прямых верно равенство + k k =, что равносильно k k =., параллельно Пример. Составить уравнения прямых, проходящих через точку ( ; ) прямой L : x+ 3 y 3=. Решение. Приведем уравнение прямой x+ 3y 3= 3 x+ y = ; y = x+ 3 Угловой коэффициент прямой y = k x+ bравен k = 3 Уравнение пучка прямых в точке ( x; y ) имеет вид y y = k ( x x). Случай. Угловые коэффициенты параллельных прямых совпадают, поэтому принимаем knap = k = 3 4 Отсюда y y = knap ( x x) y+ = ( x ) ; y = x Случай. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой равен k nep = = 3 k y y = knep ( x x) y+ = ( x ) ; y = x

12 L Нормальное уравнение прямой. Это уравнение имеет вид ax + by p =,где a + b = и p. n (x,y) Выясним геометрический смысл коэффициента p. Нормальный вектор n = ( a, b) является ортом, так как a Пусть (, ) + b =. x y - произвольная точка прямой. Тогда проекция вектора = ( x, y) на вектор n = ( a, b) равна Πp = ax + by. Следовательно, уравнение можно переписать так: n ax + by p = Πp n = p Пример. Найти расстояние начала координат до прямой 3x 4y+ =. Решение. Приводим уравнение A x+ B y+ C = к нормальному виду. Сначала поменяем знак у свободного коэффициента, а затем разделим обе части уравнения на нормирующий множитель A + B : 3x 4y+ = 3x+ 4y =, Требуемое расстояние равно p = 5 3x+ 4y =, ( ) 3 4 x+ y = Расстояние точки ( x, y ) до прямой, заданной общим уравнением A x+ B y+ C = Это расстояние h измеряется по перпендикуляру, опущенному из точки (, ) прямую и выражается по формуле h = A x + B y + C A + B x y на

13 9 h 3 Пример. Определить расстояние от точки ( ; ) до прямой 3 x+ 4 y 4= Решение. Выполним чертеж. Построим прямую по уравнению в отрезках: x y x y 3 x+ 4 y 4= 3 x+ 4 y 4, + =. Теория: + =, a = 8, b = a b h Расстояние h от точки ( x ; y ) до прямой A x+ B y+ C = h = A x + B y + C A + B 3 x + 4 y 4 = = 3 + 4( ) 4 5 = 5 =4,4 Лекция 3. Плоскость в пространстве Каноническое уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору Даны точка ( x, y, z ) и ненулевой вектор n = ( a, b, c). Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору n имеет вид a x x + b y y + c z z =. Вектор n, перпендикулярный плоскости, называется ( ) ( ) ( ) нормалью плоскости. n 9 (x,y,z) Вывод уравнения. Пусть ( x, y, z ) - произвольная точка данной плоскости. Находим вектор = (,, ), который перпендикулярен вектору n = ( a, b, c). Применим x x y y z z признак перпендикулярности этих векторов: n n =

14 Вычисляем скалярное произведение ( ) ( ) ( Итак, координаты произвольной точки ( x, y, z ) удовлетворяют уравнению ( ) + ( ) + ( ) =. a x x b y y c z z n = a x x + b y y + c z z ) 4 Общее уравнение плоскости a x+ b y+ c z+ d = Общее уравнение плоскости получается из канонического уравнения. Раскроем скобки a ( x x ) + b ( y y ) + c ( z z ) = a x a x + b y b y + c z c z = Сгруппируем постоянные слагаемые и их сумму обозначим d = ( a x b y c z ) a x+ b y+ c z+ ( a x b y c z ) =, a x+ b y+ c z+ d = Анализ общего уравнения плоскости Поясним расположение плоскости в пространстве в зависимости от того, если некоторые коэффициенты общего уравнения равны нулю.. Коэффициенты abc,, при текущих переменных x, yz, - это проекции нормального вектора плоскости.. Свободный коэффициент d =. Это равносильно тому, что плоскость проходит через начало координат. 3. a = b y+ c z+ d = - плоскость параллельна оси абсцисс или проходит через нее. Это означает, что плоскость перпендикулярна плоскости Z. 4. b = a x+ c z+ d = - плоскость параллельна оси ординат (перпендикулярна плоскости Z ). 5. c = a x+ b y+ d = - плоскость параллельна оси ординат (перпендикулярна плоскости ). d d 6. a =, b = c z+ d =, z =. Обозначим константу z =. Уравнение плоскости примет вид плоскости c c. Эта плоскость параллельна плоскости (или совпадает) координатной z = z и проходит через точку z на оси аппликат. Нетрудно указать расположение в пространстве плоскостей x = x, y = y. Вывод. Если в уравнении отсутствует переменная - плоскость параллельна (или проходит) той оси, имя которой отсутствует в уравнении плоскости. z Пример. Построить плоскости: ) y + + = ) y =. Решение. Плоскость - неограниченная фигура. Поэтому для создания ее образа следует построить какую-то характерную ее часть, например, в виде треугольника или параллелограмма. z. В уравнении y + + = отсутствует переменная x, поэтому плоскость параллельна оси z. Построим прямую y + + = в плоскости Z как прямую, заданную уравнением в y z отрезках + =. Затем эту прямую параллельно перенесем вдоль оси

15 Z Возникает параллелограмм - как часть построенной плоскости.. В уравнении y = отсутствуют переменные x, z.поэтому плоскость параллельна осям, Z,т.е плоскость параллельна координатной плоскости Z и проходит через точку y = на оси ординат. Z Уравнение плоскости в отрезках x y p + z q + r = Значения p, qr, - это отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях. Плоскость изображаем как плоскость треугольника с вершинами на координатных осях. Z r q p x y z Пример. Построить плоскость + =. 3 x y z x y z Решение. Это уравнение плоскости в отрезках + + = + + =, в котором 3 p q r p =, q = 3, r =. Построим отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, а затем построим треугольник ABC, плоскость которого и есть требуемая плоскость.

16 A Z 3 B 6 C - Уравнение плоскости, проходящей через три точки ( x, y, z ), (,, ) ( x, y, z ) Это уравнение записывается с помощью определителя: x x y y z z x x y y z z x x y y z z =. x y z, Вывод уравнения. Если определитель раскрыть по первой строке, то увидим, что это линейное уравнение, т.е. оно определяет в пространстве плоскость. Подстановкой координат трех точек,, в это уравнение можно убедиться, что плоскость проходит через эти точки. Нормальное уравнение плоскости a x+ b y+ c z p=, p, a + b + c = Константа p выражает расстояние начала координат до плоскости, а нормаль этой плоскости n = ( a, b, c) является единичным вектором. Пример. Найти расстояние начала координат до прямой x+ y+ z =. Решение. Приводим общее уравнение A x+ B y+ C z+ D = к нормальному виду. Разделим обе части уравнения на нормирующий множитель A + B + C : x+ y+ z x+ y+ z = =, x+ y+ z 4= Искомое расстояние равно p = 4 Расстояние от точки ( x, y, z ) до плоскости, заданной общим уравнением A x+ B y+ C z+ D = Это расстояние h измеряется по перпендикуляру, опущенному из точки (,, ) плоскость и выражается по формуле h = A x + B y + C y + D A + B + C x y z на Угол между плоскостями Угол ϕ между плоскостями определяется как линейный угол ϕ = ABC двугранного угла, образованного двумя полуплоскостями с общим ребром. Линейный угол возникает в сечении двугранного угла при помощи плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла. Его можно построить, если из точки, взятой на ребре восставить перпендикуляры в полуплоскостях. Угол ϕ между плоскостями равен углу между их нормалями и находится по формуле n n cosϕ= n n.

17 7 n A ϕ n ϕ B C Условие параллельности плоскостей равносильно коллинеарности их нормалей n = ( a, b, c), n = ( a, b, c ): a b c n n = =. a b c Условие перпендикулярности ( ортогональности) двух плоскостей, n n =. Лекция 4. Прямая в пространстве x x y y z z Канонические уравнения прямой в пространстве = = m n p Прямая проходит через точку ( x, y, z ), параллельно ненулевому вектору s ( m, n, p) который называется направляющим вектором прямой. Переменные x, yz, - текущие координаты произвольной точки ( x, y, z ) прямой. (x,y,z) =, s Для вывода этих уравнений запишем проекции вектора ( x x y y z z ) применим условие коллинеарности векторов: x x y y z z s = = m n p Параметрические уравнения прямой Направляющий вектор s ( m; n; p x = m t+ x y = n t + y z = p t + z =,, и, параметр t ( ; + ) = ), точка прямой (,, ) x y z. Эти уравнения получаются из канонических уравнений прямой. Обозначим x x y y z z = = = t. Выразим параметр текущие координаты через t : m n p x x m y y n z z p = t = = t t x = m t+ x y = n t + y z = p t + z

18 Уравнения прямой, проходящей через две точки ( x, y, z ) и (,, ) x x y y z z = = x x y y z z В качестве направляющего вектора прямой принимаем вектор s = x y z : 8 s ax+ by+ cz+ d = Уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей: ax + by + cz + d = Пример. Найти параметрические уравнения прямой, заданной системой линейных уравнений x y+ z 6= 3x y+ z 7= Решение. Объявим переменную z свободной, т.е. она может принимать любые значения. Переменные x, y выразим через параметр z. x y+ z 6= Преобразуем x y = 6 z 3x y+ z 7= 3x y = 7 z Вычитаем почленно уравнения: 3x y x y = 7 z 6 z ; x = z ( ) ( ) ( ) ( ) Подставим в первое уравнение x y 6 z z y = 6 z, y = 4+ z = ( ) x = z Получили уравнение прямой в проекциях y = 4 + z Выразим переменную z через x, y. Получаем канонические уравнения прямой: x = z x y = 4 = z y 4 = z Угол между прямыми в пространстве Угол ϕ между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами S, S S S и его можно найти по формуле cosϕ= S S ϕ S S Условие параллельности прямых равносильно коллинеарности их направляющих векторов S m, n, p S = m, n, p : = ( ), ( ) m n p S S = =. m n p

19 Условие перпендикулярности двух прямых, S S =. 9 n S Угол между прямой и плоскостью находим по формуле sinϕ= n S Пусть n - нормаль плоскости, S - направляющий вектор прямой. B Угол ϕ n 9 ϕ S A ϕ C между прямой и плоскостью по определению равен углу между прямой AB и ее проекцией AC на плоскость. Поэтому угол между векторами n и S равен n S Находим косинус угла между этими векторами cos( 9 ϕ ) = n S n S После преобразования получаем формулу sinϕ= n S n n x y n Признак перпендикулярности прямой и плоскости, n S, или = = s s s Расстояние точки до прямой x y z 9 ϕ. Пусть n - нормаль плоскости, S - направляющий вектор прямой, - некоторая точка прямой. Выполним чертеж. h 9 z ϕ B S Расстояние точки до прямой равно Вывод формулы: h = sinϕ= S h = S S sinϕ S = S S Список рекомендуемой литературы.письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В ч. Ч. / Д.Т. Письменный. М. : Айрис-пресс, с.. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии- М: Наука, Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин и др. - М.: изд-во Банки и биржи, ЮНИТИ, с.

20 Список дополнительной литературы. Головина Л.Л. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев. М. : Высш. шк., с. 3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра.-м.наука, Солодовников А.С, Торопова Г.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии,987, ВШ 5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.м.:наука, Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В ч. Ч. / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М. : Высш. шк., с. 7. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. М. : Высш. шк.,. 34 с.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности

Тема. Кривые и поверхности второго порядка... 2 Лекция 1. Кривые второго порядка Каноническое уравнение окружности Тема. Кривые и поверхности второго порядка... Лекция 1. Кривые второго порядка... 1. Каноническое уравнение окружности.... Каноническое уравнение эллипса... 3 3. Каноническое уравнение гиперболы... 6 4.

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

1 «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси

1 «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси «Дорогу осилит идущий!» Д.Голсуорси Введение... Лекция. Векторы на прямой, плоскости и в пространстве... Система координат на плоскости и в пространстве... Основные понятия...3 Взаиморасположение векторов...

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочного факультета Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

В. В. Головизин. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II. Ижевск 2011

В. В. Головизин. Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II. Ижевск 2011 В В Головизин Практические занятия по курсу «Алгебра и геометрия» Часть II 3 7 9 3 7 9 3 3 9 7 7 7 9 3 9 9 7 3 Ижевск 0 Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» С.В.

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр

11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр 11-е занятие. Прямые на плоскости Линейная алгебра, прикл. матем., 1-й семестр Каноническое и параметрическое уравнения прямой A1 Даны точка M 0 (x 0 ; y 0 ) и ненулевой вектор a = (p; q). Составить уравнение

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум Владивосток Издательство

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. Геометрия комплексных чисел

1. Геометрия комплексных чисел . Геометрия комплексных чисел В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

При изучении темы рекомендуется литература [1-3] и интернет ресурс

При изучении темы рекомендуется литература [1-3] и интернет ресурс Введение Векторное исчисление это математическая дисциплина, изучающая свойства векторов, во всех их проявлениях и разделяется на векторную алгебру и векторный анализ. Условно это можно понимать так. Векторная

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

1. АЛГЕБРА 1. РАЗДЕЛ «ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ»

1. АЛГЕБРА 1. РАЗДЕЛ «ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ» Перечень умений, характеризующих достижение планируемых результатов освоения основной образовательной программы по учебному предмету «Математика» в 7 классе КОД Проверяемые умения БЛОК 1. АЛГЕБРА 1. РАЗДЕЛ

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера

Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решения задач заочного тура третьей олимпиады Эйлера Решите уравнение ( x+ )( x ) + ( x ) x + = x О т в е т: { + ; 5} Решение Найдем область определения уравнения (ОДЗ): x ; x> Далее воспользовавшись свойствами

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1

Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств. (x a)2 + ( y a) 2 = a2 a 1 Пример. Найдите наибольшее значение параметра a, при котором система неравенств (x + + 2a)2 + ( y + 1 + a) 2 a2 a 1, x + 2y 2 имеет единственное решение. Первое, на что можно обратить внимание в условии

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. РАЗЗАКОВА ТОКМОКСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра «Фундаментальные дисциплины» АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее