МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ"

Транскрипт

1 МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие касательной к кривой, соприкасающейся и нормальной плоскости, репера Френе, главной нормали и бинормали формулу для нахождения длины дуги, угла между кривыми на поверхности, площади поверхности понятия кривизны и кручения кривой, формулы Френе, натуральные уравнения кривой уметь доказывать непрерывность и гомеоморфность отображений выполнять действия над вектор-функциями одного аргумента определять, является ли кривая гладкой, плоской строить параметризацию кривых находить уравнения касательной, нормали, главной нормали и бинормали кривой, уравнения соприкасающейся и нормальной плоскости кривой находить точки и углы пересечения кривых вычислять кривизну и кручение кривой по формулам Френе Практическое занятие 4 Тема Способы задания элементарной кривой Вектор функция одного переменного Длина кривой Касательная План занятия Способы задания элементарной кривой Вектор функция одного переменного Касательная прямая и нормальная плоскость кривой Угол между кривыми Длина кривой Натуральная параметризация Основные термины Элементарная кривая, дуга кривой, параметризация кривой, координатные функции параметризации, явное задание кривой, регулярная параметризация, гладкая кривая, вектор функция одного переменного, векторная параметризация кривой, предел вектор функции, непрерывность вектор функции, операции над вектор функциями, производная вектор функции, дифференцируемость и интегрируемость вектор функции, определенный интеграл от вектор функции, формула Ньютона Лейбница для вектор функций, векторное уравнение кривой, касательный вектор и касательная к гладкой кривой в точке, единичный вектор касательной, угол между кривыми, нормальная плоскость кривой, длина кривой, спрямляемая кривая, натуральная естественная) параметризация кривой, Общую структурно-логическую схему раздела можно представить следующим образом Явное задание Способы задания кривой Элементарная кривая Векторная параметризация Регулярная параметризация Гладкая кривая Вектор-функция одного скалярного аргумента Длина кривой Касательный вектор, касательная Натуральная параметризация 8 Угол между кривыми Нормальная плоскость

2 Способы задания элементарной кривой Вектор функция одного переменного Основные факты Множество С на плоскости или в пространстве) называется элементарной кривой, если оно является образом отрезка при некотором непрерывном взаимно однозначном отображении этого отрезка в плоскость или в пространство Образы концов отрезка называются концами элементарной кривой, а образ любого отрезка, содержащегося в исходном отрезке, называется дугой Всякая дуга элементарной кривой сама является элементарной кривой Взаимно однозначное и непрерывное отображение F[,b] R, при котором элементарная кривая С является образом отрезка [,b], называется параметризацией кривой С Положение любой точки на кривой С определяется значением [,b] Переменная называется параметром кривой С Если в пространстве задана система координат Охуz, то координаты х, у, z каждой точки являются функциями параметра х f ) y f z f Непрерывные числовые функции f, f, f, заданные на отрезке [,b], называются координатными функциями параметризации F Уравнения ) называются параметрическими уравнениями кривой Всякая плоская элементарная кривая допускает явное задание уfх) Пространственная элементарная кривая допускает явное задание у f х), если z g х) х она обладает параметризацией вида y f z g Параметризация F называется регулярной, если функции f, f, f непрерывно дифференцируемы и при каждом значении параметра [,b] хотя бы одна из производных f, f, f не обращается в нуль Если каждому числу [,b] поставлен в соответствие вектор v трехмерного евклидова пространства, то говорят, что на отрезке [,b] определена вектор функция v Координаты вектора v являются числовыми функциями от параметра v v, v,v ) Эти функции называются координатными функциями вектор функции v Кривая, обладающая регулярной параметризацией, называется гладкой Если F[,b] R некоторая параметризация кривой С, то ей соответствует вектор функция v, определенная по формуле v OF 9

3 Вектор функция v называется векторной параметризацией кривой С рис ) Если радиус вектор OF Рис обозначить через r, то равенство r v называется векторным уравнением кривой С Понятие предела, непрерывности, производной, интеграла вектор функции вводятся по аналогии с соответствующими понятиями для числовых функций, известными из курса математического анализа Для вектор функций определены те же алгебраические операции, что и для обычных векторов сложение, вычитание, умножение на числовую функцию, скалярное, векторное и смешанное произведение Вводятся они поточечно Правила дифференцирования вектор функций ) v + w ) v + w, v w ) v w, f v ) f v +f v, v w ) v w + v w, v w ) v w + v w, u, v, w ) u, v, w )+ u, v, w )+ u, v, w ), где u, v, w вектор функции f числовая функция Формула Ньютона Лейбница b ) v d v b) v ) Задача Примеры решения типовых задач Найти смешанное произведение вектор функций f, g, h а) f,, ), g sin, cos, g, h ln, ln, ln ) Воспользуемся формулой смешанного произведения векторов f, g, h ) sin ln + ) ln g cos ln g ln ) ln cos + ln sin + Задача а) f Найти первую и вторую производные вектор функции f +, sin ), e ) б) f ln +rcg b, где и b постоянные векторы трехмерного евклидова пространства а) Так как координаты производной вектор функции f равны производным ее соответствующих координат

4 f f + 4, 5, 9 cos ), e ) cos ) sin ), e 9 5 д) Так как и b постоянные векторы, то f ln ) +rcg b + b + f b + ) 4 +4 e Задачи для самостоятельного решения Найти сумму, скалярное и векторное произведения вектор-функций f и g а) f ln, cos,sin, g,sin,cos б) f,,, g,, ) в) f cos, sin,, g cos,sin, ) + г) f sin, e, ), g sin, e, ) ) д) f e + e b, g e + e b, где и b - векторы пространства E е) f g + cgb, g cg + gb, где и b - векторы пространства E Найти смешанное произведение вектор-функций f, g, h f а),, ), g sin,cos, g, h ln,ln,ln ) f б),,, g sin,cos, ), h,cos,sin + + в) f b c, g b, h b c,, b, c E Найти производные r и r вектор-функции r + б) r +,sin, e ) а) r,sin ), e + в) r, +, g г) r e,lncos,sin e )) + д) r ln + rcgb, где и b - постоянные векторы пространства E е) r cos + ) + sin b + g c, где, b и c - постоянные векторы пространства E 4Найти производную s r сложной вектор-функции r s)), если )

5 а) r,, ), s) s s б) r sin,cos, g, s) e в) r e, e, e ), s) ln s 5 Найти частные производные r, r, r, r, r u v от вектор-функции r u, uv uv а) r u, e,ln u +, u + v ) u, sin u +,cos u, g u б) r + ) в) r u, rcg u,rcsin v,rccos u + v )) u u v г) r u, e + ln uv ) b, где и b постоянные векторы пространства E 6 Найти производную r сложной вектор-функции а) u, u + v, u v, u, u, v + r u б) r u, ln u,ln,ln u +, u e, v e v в) r u, cosu cosv,sin u,sincos ), u, v 7 Найти производные r и r s сложной вектор-функции r u, s), v, s)), если u а) r u, u + v, uv,, u s, v s + v s б) r u, u v, uv,, u s, v, >, s > uv u u v v в) r u, e, e, e, u ln s, v ln 8 Найти производную от скалярного произведения вектор-функций m и n а),,, n,, + ) m sin,cos sin,cos, n cos,, g m ln,ln,lne, n,, cg б) ) m в) ) 9 Найти производную от векторного произведения вектор-функций m и n v а) m,,, n,, + б) m cos, g, cg, n cg,, cos в) m ln + e b, n e + ln b, где и b постоянные векторы пространства E Касательная прямая и нормальная плоскость кривой Угол между кривыми

6 Основные факты Пусть С гладкая элементарная кривая, f вектор функция, задающая ее регулярную параметризацию, а Р f ) некоторая точка этой кривой Тогда вектор f ) называется касательным вектором кривой С в точке Р рис ) Рис Рис Прямая, проходящая через точку Р в направлении касательного вектора называется касательной прямой в точке Р При этом точка Р называется точкой касания Направление касательной в точке не зависит от выбора параметризации 4) r τ) f )+τ f ) параметрическое уравнение касательной 5) уfх ) уравнение касательной к кривой, заданной явно Теорема геометрическое свойство касательной)при стремлении точки Q кривой С к точке Р этой кривой предел отношения расстояния δ от точки Q до касательной в точке Р к расстоянию d \от Q до Р равен нулю lim δ Q P d Касательная является единственной прямой, обладающей этим свойством рис ) Если две кривые С и С проходят через одну точку Р, то углом между данными кривыми называется угол между их касательными в этой точке Плоскость, содержащая точку Р кривой С и ортогональная касательной прямой, называется нормальной плоскостью кривой С в точке рис 4) Рис 4 Примеры решения типовых задач Задача Найти уравнения касательной и нормали кривой, определяемой вектор функцией f, ), в точке с параметром f, ) f ), ) направляющий вектор касательной f ),) точка касания Тогда каноническое уравнение искомой касательной имеет вид

7 х y, или 6х у 5 Нормаль кривой имеет направляющий вектор, перпендикулярный касательной n 6, ) Поэтому уравнение нормали имеет вид х y, или х+6у 7 6 Задача 4 Найти координаты точек параболы ух +х, в которых касательная параллельна прямой х у+ Данную параболу можно задать параметризацией f, + ) f, +) направляющий вектор касательной Из условия параллельности прямой и вектора следует +) Отсюда Значит, искомая точка имеет координаты, ) Задача 5 Даны уравнения кривых уsin x, ycos x, х [, π ] Найти координаты их точки пересечения и угол между ними Координаты точки пересечения кривых являются решениями системы уравнений y sin x π Из системы следует, g x, х, следовательно, кривые пересекаются в y cos x 4 точке 4 π, ) Первая кривая задается параметризацией f, sin, а вторая параметризацией g, cos Найдем направления касательных данных кривых f, cos, g, sin f, ), g, ) `Угол между кривыми равен углу между их касательными в точке пересечения cos ϕ + +, ϕrccos Задача 6 Кривая задана как линия пересечения поверхностей Ф хуz и Ф х +у Найти уравнения касательной кривой в точке М,, ) Найдем параметризацию кривой в точке М Пусть у, тогда х, 4

8 z f Тогда параметризация кривой в окрестности точки М имеет вид,, ) Найдем f f,, Точке М соответствует параметр f ),,) направляющий вектор касательной Задача 7 ) x + Тогда параметрические уравнения касательной имеют вид y + z Кривая задана параметризацией f,, ) Существует ли точка этой кривой, в которой касательная перпендикулярна плоскости x+у+z+? Направляющий вектор касательной к данной кривой в произвольной точке имеет вид f,, ) Этот вектор коллинеарен нормальному вектору данной плоскости, тогда Из равенства получим, 4 Эти значения не удовлетворяют соотношению Поэтому искомой точки не существует Задачи для самостоятельного решения Дана вектор-функция r, определяющая параметризацию кривой Найти уравнение касательной и нормали кривой в точке с параметром i а), ), r,,,,, 4 б) r ) 5 π π,, π,, ch, bsh,,, в) sin, bcos r 4 r г) ) д) sin, cos ), π r Дано уравнение линии Найти уравнение касательных и нормалей в указанных точках а) y x +, M,4) б) x y +, M b M b, ),, b 5

9 x y в), M,) b Найти координаты точек параболы y x + x, в которых касательная параллельна прямой x y + Найти точку, в которой касательная параболы y x + образует с осью Ох угол, равный 4 π? 4 Дана вектор-функция r, ), определяющая параметризацию кривой Найти координаты точек этой кривой, в которых касательные проходят через точку M, ) 5 Дана вектор-функция r, ), определяющая параметризацию кривой Найти такие ее точки, в которых касательные параллельны прямой x + y x y x y 6 Доказать, что касательные к эллипсу +, гиперболе и параболе b b y px в точке M x, y ), принадлежащей соответствующей кривой, имеют вид xx yy xx yy +,, y y p x + x ) b b 7 Дано, что все нормали кривой проходят через одну точку Доказать, что кривая является либо окружностью, либо частью окружности 8 Даны уравнения кривых Найти координаты их точек пересечения и углы, под которыми они пересекаются π а) y sin x, y cos x, x, б) y x, x y π в) y g x, y cg x, x, ) г) y x x, y x x д) x + y 4, x + y + x 4 е) x y, xy 9 Дана параметризация r кривой Найти уравнения касательных в точках кривой, соответствующих параметрам i а) r e,ln, ) 4,,, +,, б) ) r + в) r, +,,, 4 г) r e, e, e ),,, π π 5π,,, 4 6 rcsin,rccos, +,,, д) cos,sin, g r е) r ) 6

10 Кривая задана как линия пересечения поверхностей P и P Найти уравнения касательной кривой в точке М а) P xy z, P x + y, M,, ) б) P xy z, P x y, M,4, 8) в) P x + y 4, P y + z 4,,,) M Дана параметризация кривой r,, ) Существует ли точка этой кривой, в которой касательная перпендикулярна плоскости x + y + z +? Дана параметризация кривой r,, 7 Найти уравнения таких ее касательных, которые параллельны плоскости x y + z Кривая, параметризация которой определена вектор-функцией r cos, sin, b, называется винтовой линией Доказать, что она расположена на цилиндре, а ее касательная в каждой точке составляет постоянный угол с образующей цилиндра Найти этот угол 4 Доказать, что касательная кривой, принадлежащей пересечению поверхностей P x y и P xy z, образуют постоянный угол с вектором p,, ) Найти этот угол 5 Выяснить, пересекаются ли кривые, заданные своими параметризациями r и g Если пересекаются, то найти координаты их общей точки и угол между ними а) r,,, g,, б) r +,,8), g,, ) в) r,ch,sh, g +, +, Длина кривой Натуральная параметризация Основные факты Пусть элементарная кривая С задана векторной параметризацией f [,b] R Длиной кривой С называется предел, к которому стремится длина вписанных в нее ломаных при неограниченном возрастании числа звеньев ломаной и неограниченном убывании их длин Кривая С называется спрямляемой, если ее длина конечна Теорема Всякая элементарная гладкая кривая С спрямляема ее длина может быть найдена по формуле b 6) S f d, где f произвольная регулярная параметризация кривой С 6 ) S Если f f, f, f ), то длину кривой можно вычислить по формуле b f + f + f d Если плоская кривая задана явно уравнением уfх), то формула для вычисления длины кривой примет вид 7

11 b 6 ) S + f dх Если в качестве параметра кривой выступает длина дуги s [,S], то такая параметризация называется натуральной, или естественной Естественную параметризацию кривой принято обозначать g s) Касательный вектор в естественной параметризации, те вектор g s), имеет единичную длину Такой вектор называется единичным вектором касательной и обозначается Примеры решения типовых задач Задача 8 Найти длину кривой между точками М и М, если кривая определена параметризацией f е cos, е sin, е ), точке М соответствует параметр, а точке М параметр π Найдем f f е cos е sin, е sin +е cos, е ) е cos sin, sin +cos, ) Тогда f f ) е cos sin + sin + cos + е Воспользуемся формулой 6) π S е d е π ) Задача 9 Найти длину дуги одного витка кривой x sin y cos, где а>,,+ ) z 4cos между двумя ее соседними точками пересечения с плоскостью Охz Данная кривая пересекает плоскость Охz, если у Отсюда следует, что cos и π значения параметра между соседними точками пересечения с плоскостью Охz х cos, у sin, z sin Тогда по формуле 6 ) имеем π S sin d 4 аcos π 8 Задача Найти натуральную параметризацию кривой, определенной вектор функцией 8

12 f,, Пусть Найдем f f,,) Тогда f f ) Так как, то f + По формуле 6) имеем s + ) d + Выразим через s + s, отсюда ± + s Учитывая, что, имеем + s Заменив параметр на параметр s в параметрическом представлении f кривой, получим натуральную параметризацию g s) g s) + s ), + s ), + s ) Задачи для самостоятельного решения 6 Найти длину кривой между точками M и M, если кривая а) определена параметризацией r e cos, e sin, e ), точке M соответствует параметр, а M параметр π б) определена параметризацией r cos, sin, b винтовая линия), точке M соответствует параметр, а точке M параметр π M π в) определена параметризацией r sin, cos,4cos, M и M - две последовательные точки ее пересечения с плоскостью Oxy г) принадлежит пересечению поверхностей M являются точками пересечения кривой и плоскостей x yи xy y и y 9 r ch, sh,, точкам, точки и M д) определена параметризацией ) M и M соответствуют параметры и 7 Вычислить длину замкнутой кривой, определенной параметризацией r cos,sin,cos 8 Найти натуральную параметризацию кривой, определенной вектор-функцией r а) r,, б) r, +, в) r cos, sin, b г) r e cos, e sin, e ) 9

13 4 д) r e +,e, e + 9 Доказать, что параметризация кривой натуральной r cos, sin, sin является Вопросы для самоподготовки Дайте определение элементарной кривой Какие существуют способы задания кривой? В каком случае параметризация кривой называется регулярной? Какая кривая называется гладкой? Дайте определение вектор функции одной переменной Как с помощью вектор функции задать кривую? 4 Дайте определение предела, непрерывности, производной и интеграла вектор функции одной переменной Перечислите основные алгебраические операции над вектор функциями и правила дифференцирования 5 Дайте определение касательного вектора и касательной к кривой в точке Каким геометрическим свойством обладает касательная? Напишите уравнение касательной 6 Дайте определение длины кривой В каком случае кривая называется спрямляемой? По какой формуле вычисляется длина кривой, заданной регулярной параметризацией заданной явно? 7 Какая параметризация кривой называется естественной, или натуральной? Дайте определение единичного вектора касательной

Структурно логическая схема. b -бинормальный в-р Кривизна ния кривой. Френе

Структурно логическая схема. b -бинормальный в-р Кривизна ния кривой. Френе Практическое занятие 5 Тема: Репер Френе Кривизна и кручение кривой Формулы Френе План занятия Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Сопровождающий трехгранник кривой 4 Формулы Френе Натуральные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности План лекции. Понятие элементарной поверхности и способы ее

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ)

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ) ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ (КРИВЫЕ) 1 Исследовать и построить кривые: а) = y= 1+ 1+ б) sin+ cos cos = y= в) sin sin 9 + = y= 1 Прямая OL вращается вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ω Точка М движется по

Подробнее

2 Сопровождающий трёхгранник кривой

2 Сопровождающий трёхгранник кривой Сопровождающий трёхгранник кривой Тема 4 Касательная и нормальная плоскости Ранее мы показали, что при данном значении параметра, произвольная функция (), если она существует и не равна нулю, параллельна

Подробнее

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков

Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ 1.1. Плоскость и пространство. Векторы. Далее R n обозначает арифметическое евклидово пространство

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

3 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ И НОРМАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ

3 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ И НОРМАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ 1 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЙ ПРЯМЙ И НРМАЛЬНЙ ПЛСКСТИ К ПРСТРАНСТВЕННЙ КРИВЙ Из аналитической геометрии известно, что всякому уравнению с тремя неизвестными Fz (,, ) ( или в явной форме z f(, ) ) соответствует

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения План лекции Вторая квадратичная форма поверхности Нормальная кривизна поверхности Теорема Менье 3 Главные кривизны поверхности Формула

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Лекция К1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Лекция К1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ Лекция К1. 1 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1. Способы задания движения точки в заданной системе отсчета 2. Скорость и ускорение точки 3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.Г.ШУХОВА ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) проверочная 2. (дата проведения проверочной:??

проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) проверочная 2. (дата проведения проверочной:?? проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) Определения: векторное пространство, арифметическое пространство, линейно зависимая система векторов, линейно независимая

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВД Лугавова ЛВ Лугавова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального

Подробнее

ГЛАВА 7 ВЕКТОРНЫЕ И КОПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА 1 ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА. ГОДОГРАФ

ГЛАВА 7 ВЕКТОРНЫЕ И КОПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА 1 ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА. ГОДОГРАФ 16 ГЛАВА 7 ВЕКТРНЫЕ И КПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНГ АРГУМЕНТА 1 ВЕКТРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНГ АРГУМЕНТА ГДГРАФ В математике и ее приложениях часто приходится иметь дело не только с числовыми функциями, но

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра высшей математики и математического моделирования А.М. НИГМЕДЗЯНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЧАСТЬ : ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет Московский Государственный Университет имени МВ Ломоносова Биологический факультет УТВЕРЖДАЮ " " 00 г Рабочая программа дисциплины Высшая математика Направление подготовки Биология Профили подготовки Форма

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия Глава 3 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная 1,,, n,, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных 1,,, n соответствует единственное

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ I. Аналитическая геометрия на плоскости

СОДЕРЖАНИЕ I. Аналитическая геометрия на плоскости СОДЕРЖАНИЕ I. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Понятие о предмете аналитической геометрии 2. Координаты 3. Прямоугольная система координат 4. Прямоугольные координаты 5. Координатные углы 6. Косоугольная

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования.

Производная функции. Ее геометрический и физический смысл. Техника дифференцирования. Производная функции Ее геометрический и физический смысл Техника дифференцирования Основные определения Пусть f ( ) определена на (, ) a, b некоторая фиксированная точка, приращение аргумента в точке,

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

Домашний контрольный тест по теме «Производная»

Домашний контрольный тест по теме «Производная» Домашний контрольный тест по теме «Производная» А. Производная элементарной функции А. Вычислите y 7, если y. A) B) C) - D) - E) А. Найдите f, если f A),5 B) - C) - D) E) 5 5 5 5 А. f, f? A) B) C) D) E)

Подробнее

(1.1) имеет вид (1.2)

(1.1) имеет вид (1.2) УДК 54.75 Н.М. Онищук ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В области G R изучается геометрия гладкого векторного поля без особых точек имеющего поверхности вдоль которых векторы поля параллельны. Исследуются

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет прикладной математики и информатики

Подробнее

«Строительство» 1 семестр

«Строительство» 1 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление 270800 «Строительство» Дисциплина - «Математика-1». Содержание Содержание... 1 Лекции... 1 Практические занятия... 4 Практические занятия

Подробнее

1 Евклидовы пространства

1 Евклидовы пространства 1 Евклидовы пространства 1.1 Скалярное произведение Определение. Пусть X векторное пространство (над R). Скалярное произведение в X это функция, : X X R, обладающая свойствами: (1) Симметричность: x, y

Подробнее

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1 Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных α β Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

1. Кривые второго порядка

1. Кривые второго порядка ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ Понятие кривой на (или линии) плоскости является обобщением понятия графика функции, а кривые в пространстве это объекты, обобщающие кривые на плоскости. Например, множество точек на плоскости

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика».

Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 1 семестр. Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика». «Управление в технических системах» семестр Очная форма обучения Бакалавры I курс, семестр Направление «Управление в технических системах» Дисциплина - «Математика» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Содержание. Балльно - рейтинговая система

Содержание. Балльно - рейтинговая система 78 «Строительство» семестр Очная форма обучения Специалисты I курс, семестр Направление 78 «Строительство» Дисциплина - «Математика-» Содержание Содержание Балльно - рейтинговая система Контрольная работа

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее