Формулы по теории вероятностей

Транскрипт

1 Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение вероятности. m PA ( ) =, где m - число благоприятствующих событию A исходов, - число всех элементарных равновозможных исходов. 3. Вероятность суммы событий Теорема сложения вероятностей несовместных событий: PA ( + B) = PA ( ) + PB ( ) Теорема сложения вероятностей совместных событий: PA ( + B) = PA ( ) + PB ( ) PAB ( ) 4. Вероятность произведения событий Теорема умножения вероятностей независимых событий: PAB ( ) = PA ( ) PB ( ) Теорема умножения вероятностей зависимых событий: PAB ( ) = PA ( ) PB ( A),, PAB ( ) = PB ( ) PAB ( ). PAB ( ) - условная вероятность события A при условии, что произошло событие B, PB ( A ) - условная вероятность события B при условии, что произошло событие A. 5. Формула полной вероятности PA ( ) = PH ( ) PAH ( ), где H, H,..., H - полная группа гипотез, то есть = H H =, j, H =Ω, Ω - достоверное событие. j = 6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез PH ( m) PA ( Hm) PH ( m A) =, m=,...,, где H, H,..., H - полная группа гипотез. PH ( ) PA ( H) =

2 7. Формула Бернулли! P( ) = C ( ) = ( )!! ( ) - вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании. 8. Наивероятнейшее число наступления события. Наивероятнейшее число 0 появления события при независимых испытаниях: ( ) < +, - вероятность появления события при одном испытании Локальная формула Лапласа P ( ) ϕ - вероятность появления события ровно раз при независимых q q испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании, q=. 0. Интегральная формула Лапласа (, ) m m P m m Φ Φ - вероятность появления события не менее q q и не более раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании, q=.. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности : m P ε ε Φ ( ). II. Случайные величины. Ряд распределения дискретной случайной величины.. Сумма вероятностей всегда равна. = = 3. Функция распределения (интегральная функция распределения) Функция распределения случайной величины X определяется по формуле F = P X <. Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до. Если

3 задана плотность распределения f ( ), то функция распределения выражается как F = f t dt. 4. Плотность распределения (дифференциальная функция распределения) Плотность распределения случайной величины X определяется по формуле f = F'. Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки: f ( ) d= (площадь под кривой равна ). 5. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал Может быть вычислена двумя способами: P α < X < β = F β F α ) через функцию распределения ( ) ) через плотность распределения ( α β) ( ) P < X < = f d 6. Математическое ожидание случайной величины ) Для дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения: ( ) M X = = ) Для непрерывной случайной величины X, заданной плотностью распределения : M X = f d. β α 7. Дисперсия случайной величины По определению дисперсия это второй центральный момент: ( ) ( ) ( ) ( ) D X = M X M X = M X M X. ) Для дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения: D( X) = ( M ( X) ) = ( M ( X) ) = = = = = ) Для непрерывной случайной величины X, заданной плотностью распределения : D( X) = f ( ) ( M ( X) ) d= f ( ) d ( M ( X) ) = f ( ) d f ( ) d. 8. Среднее квадратическое отклонение случайной величины σ = D( X) 9. Начальный момент r го порядка случайной величины 3

4 r ( ) ν r = M X. В частности, первый начальный момент это математическое ожидание: ν = M X = M X 0. Центральный момент r го порядка случайной величины r r = M ( X M ( X) ) В частности, второй центральный момент это дисперсия: = M X M ( X) = D X.. Асимметрия 3 A s = 3 σ Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.. Эксцесс 4 E = 3 σ 4 Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий. III. Распределения случайных величин. Биномиальное распределение (дискретное) X - количество «успехов» в последовательности из независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна. q=. Закон распределения X имеет вид: q q C q Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли: ( ) ( ) Характеристики: M ( X) =, D( X ) = q, σ = q P X = = C = C q. Примеры многоугольников распределения для = 5 и различных вероятностей: 4

5 . Пуассоновское распределение (дискретное) Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. При условии 0,, λ = cost закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений. Ряд распределения: e λ λe λ.. λ λ e!.. Вероятности вычисляются по формуле Пуассона: ( ) Числовые характеристики: M ( X) = λ, D( X) λ λ P X = = e.! = λ, σ = λ Разные многоугольники распределения при λ = ; 4;0. 5

6 3. Показательное распределение (непрерывное) Экспоненциальное или показательное распределение абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события. Плотность распределения: 0, < 0 ( ) = λ λ e, 0 Где λ > 0. Числовые характеристики: M ( X) =, D( X) =, σ = λ λ λ Плотность распределения при различных значениях > 0 λ. 4. Равномерное распределение (непрерывное) Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [-0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, 6

7 при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению. Плотность распределения: 0 a ( ) = a b b a 0 > b a+ b Числовые характеристики: M ( X) =, D( X) График плотности вероятностей: ( b a) b a =, σ = 3 5. Нормальное распределение или распределение Гаусса (непрерывное) Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение отсюда и произошло одно из его названий. Плотность распределения: ( a) f ( ) = e σ π σ M X = a, D( X) = σ, σ = σ Числовые характеристики: ( ) Пример плотности распределения: 7

8 Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a = 0 и σ = называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной. t Функция Лапласа ( ) / Φ = e dt π. 0 Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный α; β интервал ( ) β a α a P ( α < X < β ) = Φ Φ σ σ Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины X на величину δ от математического ожидания (по модулю). δ P( X a < δ ) = Φ σ. IV. Другие формулы 6. Неравенство Чебышева P( X M ( X) < ε ) D X ε 7. Неравенство Маркова PX ( ε ) > MX ε ( ) 8. Математическое ожидание функции одной случайной величины [ ) ] = M ϕ( ϕ( ) = 8

9 9. Корреляционный момент системы случайных величин X и Y ( ( ) ( ) ) ( ) XY = M X M X Y M Y = M X Y M X M Y 30. Коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y XY rxy = σ σ X Y 3. Пуассоновский поток событий ( λ t) e t ( ) =! λ t 009, Utemov VV, RGGU 9