СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКЛОНЕНИЙ РАЗМЕРОВ К ПАРАМЕТРАМ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКЛОНЕНИЙ РАЗМЕРОВ К ПАРАМЕТРАМ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ"

Транскрипт

1 УДК 21 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКЛОНЕНИЙ РАЗМЕРОВ К ПАРАМЕТРАМ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 21 А. И. Барботько 1, А. А. Барботько 2 1 канд. техн. наук, профессор ВАК, профессор кафедры безопасности жизнедеятельности в техносфере Курский государственный университет 2 канд. мед. наук, ассистент кафедры гистологии Курский государственный медицинский институт Статья посвящена проблемам оценки вероятностных отклонений размеров в принятом массиве данных и развитию основ автоматизации умственного труда специалистов управления. Рассматриваются вопросы подбора ВАК,теоретической модели нормального распределения, числа интервалов, их протяженности, определения вероятности попадания размеров в заданные интервалы. Даются технологические рекомендации реализации статистических методов преобразования экспериментальных данных с использованием колоколообразных кривых. Ключевые слова: функция нормального распределения; основные параметры функции; среднеарифметическое выборки отклонений, среднеквадратическая ошибка; виды отклонений: размерное и безразмерное; колоколообразные графики нормального распределения при изменении двух параметров распределения; общая площадь под кривой распределения; базовые точки на кривой распределения. Методология решения задачи преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения строится на основе сопоставления данных экспериментальных исследований с моделью нормального распределения и последующим использованием математической функции этой модели для определения вероятности попадания заданного значения в соответствующий интервал изменения исследуемой величины. Встречаются и обратные задачи, когда сначала проводится прогнозирование частот нормального распределения по принятым интервалам,а затем полученное прогнозное решение сравнивается с реальными характеристиками полученного в эксперименте распределения. В исследовании представлено: 1) сравнение теоретических кривых распределения отклонений размеров; 2) подбор вида теоретической модели нормального распределения отклонений размеров: а) определение параметров С и σ модели нормального распределения по известным данным экспериментального исследования; б) определение вероятности попадания размеров в интервалы, кратные σ. 3) технологическое планирование этапов исследования: а) определение σ и X; б) уточнение принимаемых решений по опорным соотношениям;

2 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 4) таблица статистики общего преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения отклонений размеров. 5) выводы и технологические рекомендации. Сначала обратимся к особенностям степенной функции математической модели нормального распределения, приобретающего при графическом построении вид колоколообразной кривой, и проведем сравнение кривых распределения. 1. Сравнение теоретических кривых распределения отклонений размеров Положение характерных точек на кривой нормального распределения описывается в общем случае степенной функцией следующего вида: φ (!) = 1 σ! 2π!! e!! или φ (!) =!!. (1)!! В этой формуле: σ! функциональное средне квадратическое отклонение размерной переменной случайной величины относительно параметра X, σ! = х!!!!!!!, мм, (2) t безразмерная шкала вектора x i. t =!!!!, (3)! х i размерная переменная случайная величина, середина статистического интервала, X среднее значение (математическое ожидание) величины x i, среднее арифметическое значение для объема выборки n, S = σ! приближенное среднеквадратическое отклонение случайной величины от X, мм. Таким образом, модель (1) содержит два основных управляющих параметра: X среднее значение (математическое ожидание) величины x i для объема выборки n и σ! функциональное средне квадратическое отклонение размерной переменной случайной величины относительно параметра X. Причем влияние σ! значительнее, сложнее параметра X. Этот параметр присутствует в формуле (1) дважды. Рассмотрим пример. Пусть дан массив из 15 отклонений от размеров диаметра вала при токарной обработке: например, массив,14, мм. Тогда среднее арифметическое массива (середина) X =,7 мм. Проведем преобразование оси абсцисс, на которой будем отражать текущие значения х i. Приняв текущее значение x i равным X σ!, получим: t! =!!!!!! = 1.!! Соответственно, для x! = X 2 σ! и x! = X 3 σ! имеем t 25 = 2 и t 3 = 3. Таким образом, векторная протяженность х i на оси абсцисс может быть представлена некоторыми интервальными комплексами (например, комплексами t) или другими мерными отрезками. За точку отсчета отрезков может быть принято значение X или начало оси х i. В таблице 1 проведем сравнение значений частот распределенияφ для трех видов моделей нормального распределения: 1) σ =,1, 2) σ =,2, 3) σ=,28. Auditorium. Электронный научный журнал Курского государственного университета (11)

3 Барботько А. И., Батботько А. А. Статистические методы преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения Таблица 1 Системология нормального распределения (по формуле 1) для шести интервалов σ или трех t (от до+ 3 ) Границы интервала 𝜎 =,1, 𝜎 =, 𝑍! t 𝑋! 𝑍! = 𝑋 3𝜎! 𝑋 2𝜎! 2,54 3 𝑋 𝜎! 1 4 𝑋 5 𝑍! 𝜎 𝜑! Р% 𝑍! = 7 8 5,4 5,4 5,4,242 24,2 29,,398 39,8 𝑋 + 𝜎! 1,242 𝑋 + 2𝜎! 2 7 𝑋 + 3𝜎! 3 𝑍! 𝜎 𝜎 =,2, 𝜎 =,12 𝜑! 𝜎 =,28, 𝜎 =,18 𝜑! Р% Р% ,7 2,7 2,7 1,9 1,9 29, 12,1 14,8 14,8 8, 1,5 9,4 9,4 19,9 34,4 34,7 14,2 24,7 24,2 93, 93, 12,1 4,8 4,8 8, 33,3,54 5,4 99, 99 2,7 49,5 49,5 1, , 49,5 35 Таким образом, в приведенных трех видах нормального распределения при 𝜎 =,1; 𝜎 =,2; 𝜎 =,28 : 1) площади под кривыми равны между собой: 99*,1 ;49,5*,2;35,2*,28; 2) параметры распределения определяются с ориентацией на границы интервалов σ и t; 3) с увеличением σ в 2,8 раза (с,1 до,28) теоретическая сумма частот уменьшается тоже в 2,8 раза (с 99 до 35,2); 4) значения σ и 𝑋 =,7 мм приняты из условия однократного повторения 15 размеров. Графики кривых нормального распределения при 𝜎 =,1 и 𝜎 =,2 представлены на рисунке 1. Рис. 1. Графики нормального распределения: на основе табличной функции в шести интервалах σ S и t ( σ S =,1,семь ординат по шкале t : 3, 2, 1,, +1, +2, +3 ); на основе табличной функции в шести интервалах σ S и t ( σ S =,2, семь ординат по шкале t : 3, 2, 1,, +1, +2, +3)

4 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ 2. Подбор вида теоретической модели нормального распределения отклонений размеров При изучении отклонений размера в ходе какой-либо технологической операции наблюдается в том числе и многократное его повторение. Это вызывает сложности описания распределения отклонений размера. Для управления этим процессом на статистическом уровне весь массив данных разделяют на ряд последовательных интервалов К с ценой интервала C. При этом оценивают: 1) частоту попаданий отклонений в каждый из интервалов и 2) схожесть этого ломаного графика с характерной для этого случая кривой нормального распределения. Положение характерных точек на кривой нормального распределения в этом случае может быть описано степенной функцией (1) с учетом общего массива отклонений размеров, то есть NC, где N это сумма всех отклонений размера в исследуемом массиве. Обозначим частоты такой экспериментальной модели нормального распределения в отличие от теоретической через f 1. Их можно найти из следующего соотношения, приняв за функцию распределения математическую модель нормального распределения (1): φ! =!! =! (!!!!)!!!!!! e!!!!, (4) где φ частоты теоретической модели, С размах, размер интервала опытного массива, С= dσ; С = (1 5)Ц [Солонин 1972], Ц цена шкалы измерительного прибора, NC площадь под кривой экспериментальной зависимости изменения частот параметра х. N суммарное значение экспериментальных частот распределения Определение параметров исследования С и σ модели нормального распределения по известным данным экспериментального исследования Пусть на статистическом этапе для массива результатов экспериментов,14, при количестве частот распределения (экспериментов) N=1 определено количество интервалов, равное 7, с С=,2 [Солонин 1972: 5] и построен график (рис 2, линия 1) ломаных линий изменения частот по интервалам протяженностью С. Для построения математически отображаемого (и поэтому монотонного) графика нормального распределения предварительно необходимо установить значения X и σ s. Пусть для нашего случая X =,72 и σ = s =,28. То есть среднее арифметическое значение отклонений не равно простой середине ряда:,14,, а дисперсия σ немного больше принятого значения С=,2, т.е. σ С, σ = 1,4С. Результаты сравнительных расчетов статистических частот и частот нормального распределения по формуле (4) представленные в таблице 2. Auditorium. Электронный научный журнал Курского государственного университета (11)

5 Барботько А. И., Батботько А. А. Статистические методы преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения Таблица 2 Частоты распределения экспериментального исследования (X=,72 и σ=s=,28, количество экспериментальных частот N=1, протяженность интервалов C=,2) Системология статистических измерений Системология нормального распределения для интервалов X! Интервалы X! f X!ср t m! Z! Z! = Z! f f = ncz от до!! σ n P! * ,14,12,13 3 2,7,5 1,7 3,4,34,34,12,1,11 1 1,35,1 5,8 11,5,115,149,1,8,9 22,4,33 11,7 23,5,235,384,8,,7 25,72,4 14,3 28,55,285,59,,4,5 19,785,29 1,7 21,45,214,883,4,2,3 13 1,5,13 4, 9,2,9,973,2,,1 2 2,2,4 1,3 2,,3 1, * В таблице значения частот даны для середины каждого из 7 интервалов. Значения t рассчитывались по формуле (3). По результатам таблицы 2 построены четыре вида графиков, приведенных на рисунке 2.

6 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ Рис. 2. Графики распределений 1. График 1 отражает распределение 1 экспериментальных размеров по 7 интервалам C=,2 (семь точек на графике, семь ординат в середине каждого из интервалов по шкале х). Общая площадь под статистической кривой равна R! =!"".14 = 1.2 = 2 = NC.! 2. Опорный график 2 нормального распределения (например, для случая X =,72 ) на основе табличной функции. Отражает теоретическое распределение частот в интервалах σ S =,28 ( семь ординат по шкале t : 3, 2, 1,, +1, +2, +3). Общая протяженность интервалов,28 =,18. Табличные значения частот для семи параметров t равны:,44/,28;,54/,28;,242/,28;,3989/,28;,242/,28;,54/,284;,44/,28. На графике 2 эти частоты показаны для точек а, б, в, г, д, е, ж. Соответственно,,15; 1,9; 8,; 14,2; 8,; 1,9;,15. В таблице 2 этих значений нет. Сумма частот N 2 =35,5. Произведение N 2 *,28 =1. 3. Опорный график 3 нормального распределения на основе табличной функции для 7 экспериментальных интервалов со значением C=,2 (семь ординат на середине каждого из интервалов по шкале х). Размеры частот для середины интервалов в этом случае отражены в графеz!. Их суммаn 3 равна 5. Площадь под кривой, равная N 3 C, как и для кривой 2, равна График 4 приведенного нормального распределения в 7 интервалах со значением С=.2 на основе табличной функции (в таблице 2 это графа Z Т ) получен методом умножения ординат графика 3 на NC, при этом NC=1*,2 =2. Значения частот приведены в графе φ!. Сумма частот N 4 равна 1. График 4 становится графиком 3 при NC=5*,2=1. Подобный же график 4 можно получить, опираясь на график 2. Построение необходимо проводить на интервалах, протяженностью каждого равной σ S =,28. В этом случае частоты в точках а, б, в, г, д, е, ж будут равны соответственно,3; 3,8; 17,2; 28,4; 17,2; 3,8;,3 (в таблице 2 эти данные не приведены). Сумма частот N 2 =71. Произведение N 2 *,28 =71*,28=2. Таким образом, на рисунке 2 представлены 4 вида отображения графической информации, представляющей интерес для технологического управления операциями: 1) эксперимнтальной зависимости частот распределения отклонений размеров от продолжительности интервалов изменения размеров при заданном значении суммы частот распределения N (на рис. 2 кривая 1: N=1; С=,2; NC=2 ); 2) основной математической (1) зависимости частот распределения отклонений размеров от продолжительности интервалов изменения размеров в виде среднеквадратического отклонения в условиях нормального распределения для заданных значений X и S. (С= S. сумма, Z! равна единице, сумма, Z! =!! равна N или сумме частотn 2, произведение частот N 2 на S равно единице); 3) опорной математической (4) зависимости частот распределения отклонений размеров от продолжительности интервалов изменения размеров с учетом общей площади под сравнимаемой статистической кривой (N С ) в условиях нормального распределения (Z! =!!!, f = ncz!, при этом С<S; N С при N=5 ;1 и С=,1;,2 равно,5; 1, или 1, ;2.).Эти случаи на рисунке 2 представлены кривыми 3 и 4. Полученные в таблице 2 данные позволяют проводить определение вероятности (как показателя надежности) попадания заданной величины отклонения в тот или иной интервал для случаев нормального распределения. Вероятность определяется как величина частости попадания в заданный интервал. Например, используя данные таблицы 2 (графа 1), имеем:! Auditorium. Электронный научный журнал Курского государственного университета (11)

7 Барботько А. И., Батботько А. А. Статистические методы преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения Вероятность попадания в диапазон отклонений между серединами двух соседних интервалов,13,11 для условий исследуемого процесса составляет от 3,4% до1 4,9%, или 11,5%. Вероятность (как показатель надежности) попадания размеров в зону трех интервалов, в центре которой находится X=,72 (т.е. от,9 до,5), составляет от 38,4% до 88,3%. Очевидно, попадание в центр интервала составит 5%, что несколько превышает известные данные в,5, то есть 5%. Это требует дополнительной проверки и использования других методов исследования, так как в ряде источников указывается, что вероятность попадания размеров в зону X точно соответствует значению,5 (5%) Определение вероятности попадания отклонений размеров в интервалы, кратные σ Верхние и нижние предельные отклонения на машиностроительный размер (допуска на размер ) зачастую проставляются в долях среднеквадратической величины σ. Поэтому весьма актуальной является задача определения вероятности попадания для случаев нормального распределения размеров в интервалы размеров, кратные σ. Приведем пример. Воспользуемся исходными данными, приведенными в [Барботько 214]. Исследуется массив 25 размеров от 17,89 до 18,5, который распределен на 8 интервалов; σ =,4, С=,2. N=25. Расчеты теоретических частот по формуле (4) для уровней от нуля до σ, 2 σ и 3 σ дают следующие результаты: 5 (частота для X); 3 (частота для σ);,75 (частота для 2σ) и,55 (частота для 3 σ). В итоге сумма частот, по которым строится кривая нормального распределения, равна N=12,4 и площади под экспериментальной кривой и кривой нормального распределения равны между собой. А именно: NC=25*,2 и NC=12,4*,4. При расчете частостей попадания размеров в каждый из интервалов σ получаем следующие результаты:,4,,54,,249,,4,,249,,54,,4. Или в процентах:,1 5 24,9 4 24,9 5,1. Определим с нарастанием вероятности попадания в суммарные интервалы:,1 5, ,9 1. Таким образом, вероятность попадания погрешностей размеров в интервал от 3 σ до 2σ равна для случая нормального распределения 5%. А вероятность попадания в интервал от X до + σ равна 24,9 %. Вероятность попадания в интервал от нуля до X + σ равна 94,9 %. 3.Технологическое планирование этапов исследования Отметим некоторые особенности планирования и математической обработки данных экспериментальных исследований по статистике отклонений размеров. Известно, что если в ходе исследования функциональные погрешности отсутствуют или имеют пренебрежительно малое значение, то поле рассеивания действительных размеров изделий определяется случайными погрешностями, суммарная величина которых равна σ Определение σ и X Важнейшим этапом исследования является определение величины σ. Для поиска этого параметра в общем массиве размеров и их отклонений выделяют минимальное и максимальное значения размеров. Потом разделяют числовой ряд х i на равнозначные интервалы протяженностью С каждый, отражают их последовательно на оси абсцисс, начиная с минимального значения массива размеров. Находят параметр X и отражают как отдельное числовое значение на оси х i. Если значение X принимается за начало отсчета, за нулевую точку, то на оси абсцисс можно

8 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ построить две шкалы, используя интервалы σ или t. При этом если интервалы σ или t расположены до 𝑋, то такие значения интервалов σ или t являются отрицательными; если после 𝑋, то такие значения интервалов σ или t являются положительными Уточнение принимаемых решений по опорным соотношениям 1. Для коррекции правильности выбора протяженности интервальных отрезков используют выведенное нами соотношение (𝜎 𝑆) к𝐶. (5) Подобные данные имеются, например, в работе «Математическая статистика в технологии машиностроения» [Солонин 1972: 14]: 𝑓! = 𝑁 = 5; 𝑐 =.1 ; начало ряда 𝑥! = ; 𝑐 =.1 ; к=9; окончание ряда 𝑥! = ; 𝑎 = ; 𝑆 =.17.,17 > 9.1,,12 >,9. 2. Проверка равенства площадей под статистическим графиком и кривой нормального распределения. Проверяют равенство произведений: NC и Nnσ, где Nn сумма частот по шести интервалам σ. 3. Расчет границ по каждому разряду проводят, записывая границы как значения от Хmin до Хmin+С (первый разряд); от Xmin+С до Xmin+2С (второй разряд) и т.д. При этом в каждый разряд включают размеры, меняющиеся в пределах от наименьшего значения разряда включительно до наибольшего значения разряда, оставляя его для включения в следующий разряд.! 4. Увеличение значений 𝜎 сопровождается снижением значений 𝑍! =!! (см. табл. 1). Как показано выше, увеличение 𝜎 с,1 до,28 приводит к уменьшению частоты 𝑍!!"# c 39,8 до 14,2, ее суммарной частоты со 1 до 35,2. 4. Таблица статистики общего преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения отклонений размеров Пример определения частот распределения и вероятности попадания исследуемой величины в заданный интервал размеров при нормальном распределении приведен в обобщенной таблице 3. Таблица 3 Таблица общего преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения (для условий 𝑋 = 19,855 и 𝜎 = 𝑠 =,17. С=,1, N=5) Системология статистических измерений Системология нормального распределения для интервалов 𝑥! (𝜎 =.17) Интервалы 𝑥! от до 𝑥ср /σ 3 3σ σ σ σ 𝑓! 𝑡! 𝑍! 𝑍! = 𝑍! 𝑆 𝑓! = 𝑛𝑐 𝑍! 𝑓! Окр. 𝑃= 𝑓! n 𝑃 % , , , ,1 5,9,15* 1 2* 2 7,5* 1 12/12* 1 7,5*,5*.2,*.4.12,25*.2.24/,4*.2,25*,12.5 2, , , Auditorium. Электронный научный журнал Курского государственного университета (11)

9 Барботько А. И., Батботько А. А. Статистические методы преобразования экспериментального распределения отклонений размеров к параметрам нормального распределения ,4 98 2σ ,59 2*,* σ 3.,4,25,12,15*,5* 1,5 По результатам, приведенным в таблице, отметим, что в графе 1 таблицы 3 даны частости (т.е. вероятности) для середины девяти интервалов статистики отклонения размеров и шести интервалов нормального распределения. Вероятности определялись по формуле P =!! где N=5 для статистики эксперимента и N= 3,3 для шести n интервалов функции нормального распределения). При преобразовании таблицы, при необходимости уменьшения количества интервалов статистики отклонений размеров, прежде чем увеличивать цену одного интервала С, необходимо провести проверку гипотезы случайности выборки по методу последовательных разностей [Солонин 1972; Барботько 214]. Подобную проверку можно проводить и на начальной стадии исследования. После проверки гипотезы нормальности распределения, а также сходимости экспериментального распределения с математической моделью нормального распределения, например, по методу Колмогорова можно приступить к оценке вероятности попадания отдельных результатов в заданный интервал. 5. Выводы. Технологические рекомендации В заключение отметим, что приведенный в данном исследовании метод опосредованного математического моделирования распределений экспериментальных данных является наиболее удобным. В нем для целей математического описания привлекают степенную зависимость нормального распределения (графически отображаемую колоколообразной кривой) с последующим доказательством ее вероятного совпадения в определенных условиях с данными эксперимента. Представленная структура выделения зон вероятности с помощью модели нормального распределения (1) и (4) позволяет успешно использовать эту методику для решения вероятностных задач надежности технических и техногенных систем. Опыт исследования статистики отклонений размеров опирается на четыре вида графических функций, графических построений: 1 экспериментальной кривой (ломанной линии) с параметрами частот по интервалам; 2 монотонной кривой нормального распределения (1) с параметрами частот по интервалам, кратным среднеквадратическому отклонению; 3 монотонной кривой нормального распределения, строящейся по формуле (4) по серединам выбранных интервалов С экспериментальной кривой при изменении значений частот по интервалам при сохранении общей их суммы N; 4 монотонной кривой нормального распределения, строящейся по формуле (4) по границам интервалов, кратных σ, с учетом площади экспериментального распределения при изменении значения частот по интервалам и общей их суммы. Опыт построений позволяет рекомендовать для технологического управления следующие технологические принципы. Знакомство с массивом экспериментальных данных выборки отклонений размеров начинают с разделения массива данных на определенное количество последовательных интервалов К, установления протяженности каждого из них С, параметров нормального распределения Х и σ S. При этом исходят из трех видов интервалов: С, t и σ S и соотношения КС < (σ S).

10 ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ Общая площадь под кривыми распределения зависит от количества интервалов,их протяженности и общего количества экспериментов. Общая площадь под кривой распределения по зависимости (1) равна 1. Построение кривых по зависимости (4) по интервалам протяженностью С проводят по точкам, принимаемым на середине интервалов. Построение кривых по зависимости (4) по интервалам протяженностью σ проводят по точкам, принимаемым на границе интервалов. Принимаемые при построении значения Х и S необходимо проверять по полученным итогам частот распределений. Представленный метод анализа позволяет технологу, аналитику, проводящему исследование, для выполнения графических построений ограничиться лишь четырьмя точками на кривой распределения, характерными для t=, 1, 2, 3, с четырьмя значениями функции:,4;,24;,5;. Эти значения легко запомнить, и проведение построений не потребует выбора каких-либо дополнительных табличных данных, компьютерных преобразований или расчетов. Библиографический список Барботько А.И. Статистические алгоритмы обработки результатов экспериментальных исследований в машиностроении. Старый Оскол: ТНТ, с. Солонин И.С. Математическая статистика в технологии машиностроения. М.: Машиностроение, с. Auditorium. Электронный научный журнал Курского государственного университета (11)

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения»

Математическая статистика. Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Математическая статистика Тема: «Статистическое оценивание параметров распределения» Введение Математическая статистика наука, занимающаяся методами обработки экспериментальных данных, полученных в результате

Подробнее

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения

Лекция 15. Выборочный метод в математической статистике. Основные понятия и определения МДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 5 ыборочный метод в математической статистике Основные понятия и определения Математическая статистика позволяет получать обоснованные

Подробнее

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов

7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ. Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов 7. КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Линейная регрессия Метод наименьших квадратов ( ) Линейная корреляция ( ) ( ) 1 Практическое занятие 7 КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Для решения практических

Подробнее

Методические указания

Методические указания Поволжский государственный технологический университет Кафедра РТиМБС Методические указания к выполнению лабораторной работы 1 по дисциплине «Автоматизация обработки экспериментальных данных» Определение

Подробнее

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей

Лекция Сглаживание экспериментальных зависимостей. 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей Лекция 5 6. Сглаживание экспериментальных зависимостей 6.. Метод наименьших квадратов 6... Теоретическое обоснование метода наименьших квадратов 7. Проверка статистических гипотез 7..Критерий согласия

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме

Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Нижегородский Государственный Технический университет имени Р.Е. Алексеева Кафедра ФТОС Статистическая обработка результатов измерений в лабораторном практикуме Попов Е.А., Успенская Г.И. Нижний Новгород

Подробнее

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики

Часть 2 ЭЛеМенТы МАТеМАТиЧесКОй статистики Часть 2 Элементы математической статистики Глава I. Выборочный метод 1. Задачи математической статистики. Статистический материал Пусть требуется определить функцию распределения F(x) некоторой непрерывной

Подробнее

1 Первичная обработка статистических данных

1 Первичная обработка статистических данных Первичная обработка статистических данных Абстрактная и конкретная выборки Основные числовые характеристики выборки Вариационные ряды выборки Гистограмма частот 5 Эмпирическая функция распределения Пусть

Подробнее

Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями

Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями Работа 3 Стандартная обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с методикой выполнения прямых измерений с многократными наблюдениями. Получение в этом

Подробнее

Обработка и анализ результатов моделирования

Обработка и анализ результатов моделирования Практическая работа Обработка и анализ результатов моделирования Задача. Проверить гипотезу о согласии эмпирического распределения с теоретическим распределением с помощью критериев Пирсона и Колмогорова-

Подробнее

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380

Для удобства вычислений генеральной средней и среднего квадратического отклонения составляем таблицу. σ = 874,02 874,020 29,200 = 21,380 Задание. По выборочным данным оценить генеральную среднюю, генеральную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Построить полигон относительных частот. Эти же данные разбить на 5 интервалов. По интервальному

Подробнее

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ Введение Неотъемлемой частью экспериментальных исследований, в том числе и проводимых в физическом практикуме, являются измерения физических величин. Измерения

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Тема Основные понятия математической статистики

Тема Основные понятия математической статистики Лекция 6 Тема Основные понятия математической статистики Содержание темы Задача математической статистики Научные предпосылки математической статистики Основные понятия математической статистики Основные

Подробнее

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования

В.И. Гнатюк, 2014 Глава 4 Параграф Оценка адекватности моделирования В.И. Гнатюк, 4 Глава 4 Параграф 4 4.4. Оценка адекватности моделирования Оценка адекватности динамической адаптивной модели электропотребления техноценоза [9,] включает две основные процедуры. Первая заключается

Подробнее

Определение области разброса фазовых координат механической системы /453448

Определение области разброса фазовых координат механической системы /453448 Определение области разброса фазовых координат механической системы 77-48/453448 Инженерный вестник # 0, октябрь 0 Беляев А. В., Тушев О. Н. УДК 69.7.07 Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана belaev@bstu.ru Излагается

Подробнее

Лабораторная работа 2.

Лабораторная работа 2. Компьютерные методы моделирования строительства скважин. Лабораторная работа. ПРОВЕРКА СООТВЕТСТВИЯ ВЫБОРКИ НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Цель работы: овладение студентом способами построения эмпирической

Подробнее

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины

ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Выборка гиперслучайной величины ГЛАВА 5 ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ Формализовано понятие гиперслучайной выборки и определены ее свойства предложена методология формирования оценок характеристик гиперслучайной величины и исследована

Подробнее

6.7. Статистические испытания

6.7. Статистические испытания Лекция.33. Статистические испытания. Доверительный интервал. Доверительная вероятность. Выборки. Гистограмма и эмпирическая 6.7. Статистические испытания Рассмотрим следующую общую задачу. Имеется случайная

Подробнее

Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона. Постановка задачи

Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона. Постановка задачи Голубев ВО Литвинова ТЕ Реализация алгоритма построения статистической модели объекта по методу Брандона Постановка задачи Статистические модели создают на основании имеющихся экспериментальных данных

Подробнее

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика»

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» Задача 1. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 6 (МПМ, 2 курс, 3 семестр) Тема «Математическая статистика» В результате тестирования группа из 24 человек набрала баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 1, 0, 4, 0, 0,

Подробнее

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.

= (3) 2 1. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА Лабораторная работа 8 Цель работы: 1. Подтверждение случайного, статистического характера процессов радиоактивного распада ядер.. Ознакомление

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы

Лекция 17 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ. Определение статистической гипотезы Лекция 7 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие статистических гипотез и правила их проверки; провести проверку гипотез о равенстве средних значений и дисперсий нормально распределенной

Подробнее

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора

Домашнее задание 2. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора Домашнее задание. Обработка результатов наблюдений двухмерного случайного вектора.1. Содержание и порядок выполнения работы Дана парная выборка (x i ; y i ) объема 50 из двумерного нормально распределенного

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. Лекция 14 ЧАСТЬ 8 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Лекция 4 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятие генеральной и выборочной совокупности и сформулировать три типичные задачи

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМА 10. ОЦЕНКА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Точечные оценки. Понятие статистики и достаточной статистики. Отыскание оценок методом моментов, неравенство Рао-Крамера. Эффективность

Подробнее

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В лабораторном практикуме вы постоянно будете иметь дело с измерениями физических величин. Необходимо уметь правильно обрабатывать

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ» СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА ИЗНАШИВАНИЕ Методические

Подробнее

Краткая теория погрешностей

Краткая теория погрешностей I. Измерение физических величин. Краткая теория погрешностей измерения прямые измерения, которые представляют собой косвенные измерения, которые представляют собой сравнение значения физической вычисление

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ФИЗИКЕ «ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ

Подробнее

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИСПЫТАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИСПЫТАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ Структурная надежность. Теория и практика Русин А.Ю. Абдулхамед М. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ ИСПЫТАНИЯ ОБОРУДОВАНИЯ НА НАДЕЖНОСТЬ Повышения экономической эффективности системы испытания оборудования на надежность

Подробнее

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента

Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Теория ошибок и обработка результатов эксперимента Содержание 1. Классификация и типы ошибок. 2. Прямые и косвенные измерения. 3. Случайные измерения и ошибки. 3.1. Понятие вероятности случайной величины.

Подробнее

Надёжность изделий и систем. ракетно-космической техники

Надёжность изделий и систем. ракетно-космической техники МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА

Подробнее

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ Уфа: УГАТУ, 202 Т. 6, 8 (53. С. 67 72 В. Е. Гвоздев, М. А. Абдрафиков СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ОЦЕНОК ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ УДК 68.5 Статья посвящена вопросам доверительного

Подробнее

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды

Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Лекция 7 Тема Свойства выборочных характеристик. Интервальные ряды Содержание темы Свойства средней арифметической Свойства выборочной дисперсии Интервальный ряд и его характеристики Основные категории

Подробнее

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров

1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие о статистической оценке параметров . СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. Понятие о статистической оценке параметров Методы математической статистики используются при анализе явлений, обладающих свойством статистической устойчивости.

Подробнее

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0)

Модели постепенных отказов. Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Модели постепенных отказов Начальное значение выходного параметра равно нулю (A=X(0)=0) Рассматриваемая модель (рис47) также будет соответствовать случаю, когда начальное рассеивание значений выходного

Подробнее

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского Кафедра общей физики Лаборатория молекулярной физики Лабораторная работа 5 Изучение статистических закономерностей на доске Гальтона

Подробнее

Погрешности измерений

Погрешности измерений - - Погрешности измерений Никакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряя какую-либо величину, мы всегда получаем результат с некоторой погрешностью (ошибкой). Другими словами, измеренное значение

Подробнее

2010 г. А.В. Левенец, канд. техн. наук, В.В. Нильга, Чье Ен Ун, д-р техн. наук (Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск)

2010 г. А.В. Левенец, канд. техн. наук, В.В. Нильга, Чье Ен Ун, д-р техн. наук (Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск) Измерительная техника 2010. 3(25) УДК 004.67 2010 г. А.В. Левенец, канд. техн. наук, В.В. Нильга, Чье Ен Ун, д-р техн. наук (Тихоокеанский государственный университет, Хабаровск) АЛГОРИТМ СТРУКТУРНОГО

Подробнее

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно: 1 Лекция 11. Дискретные случайные величины Случайной величиной Х называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение х i. Выпадение некоторого значения случайной величины Х

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ

МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

6.6. Понятие о случайной функции

6.6. Понятие о случайной функции 66 Понятие о случайной функции Вспомним определение случайной величины Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее - какое

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ НА ТРАНСПОРТЕ

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ НА ТРАНСПОРТЕ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Липецкий государственный технический университет» Кафедра управления автотранспортом

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей

Оглавление. Предисловие Введение. Теория вероятностей. комбинаторными методами. теории вероятностей. Глава 1. Основные понятия теории вероятностей Оглавление Предисловие Введение Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Опыт и событие Операция умножения событий Операция сложения событий Операция вычитания событий Операция

Подробнее

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ЧАСТЬ 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ЧАСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Предметом математической статистики является изучение случайных событий и случайных величин по результатам наблюдений. Статистической совокупностью называется совокупность

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лабораторная работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ С ЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ Дискретные случайные величины Слова "случайная величина" в обыденном смысле употребляют

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок.

Лекция 9. Тема Введение в теорию оценок. Лекция 9 Тема Введение в теорию оценок. Содержание темы Предмет, цель и метод задачи оценивания Точечные выборочные оценки, свойства оценок Теоремы об оценках Интервальные оценки и интеграл Лапласа Основные

Подробнее

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1

Таким образом, искомый закон распределения: Проверка: 0, , , ,504 = 1 Другие ИДЗ Рябушко можно найти на странице http://mathpro.ru/dz_ryabushko_besplatno.html ИДЗ-8. Найти закон распределения указанной случайной величины X и ее функцию распределения F (X ). Вычислить математическое

Подробнее

Обработка результатов эксперимента

Обработка результатов эксперимента 1 Обработка результатов эксперимента Определения Измерение нахождение значения физической величины опытным путём с помощью специально для этого предназначенных технических средств Измерение состоит из

Подробнее

Показательное распределение.

Показательное распределение. Показательное распределение. 1) Распределение с.в. X подчинено показательному закону с параметром 5. Записать вычислить M X DX. f x Показательное распределение с параметром имеет плотность вероятности:

Подробнее

Статистическая обработка результатов измерений

Статистическая обработка результатов измерений Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский Государственный Технологический Университет им. К. Э. Циолковского. Кафедра «Высшая математика» Статистическая обработка результатов измерений

Подробнее

Тема 50 «Табличное и графическое представление данных».

Тема 50 «Табличное и графическое представление данных». Тема 50 «Табличное и графическое представление данных». Когда сведений очень много, их нужно упорядочивать. Таблица самый простой способ упорядочить данные. С некоторыми таблицами вы уже имели дело. Это

Подробнее

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ОТКАЗАМИ

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ОТКАЗАМИ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ МЕЖДУ ОТКАЗАМИ Иваново 011 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановская

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет

Министерство образования Российской Федерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Министерство образования Российской едерации Томский Государственный архитектурно-строительный университет Первичная обработка выборочных данных Методические указания и варианты заданий. Томск 00 Данная

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В САПР

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В САПР ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

Подробнее

Retinskaya.jimdo.com

Retinskaya.jimdo.com ЛЕКЦИЯ 1 Классификация экспериментальных исследований Определение и свойства функции распределения. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал Квантиль распределения Выборочная функция

Подробнее

12. Интервальные оценки параметров распределения

12. Интервальные оценки параметров распределения МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 7 Интервальные оценки параметров распределения Для выборок малого объема точечные оценки могут значительно отличаться от оцениваемых

Подробнее

АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ

АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Металловедение, термическая

Подробнее

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия.

Вариационный ряд делится тремя квартилями Q 1, Q 2, Q 3 на 4 равные части. Q 2 медиана. Показатели рассеивания. Выборочная дисперсия. Квантили Выборочная квантиль x p порядка p (0 < p < 1) определяется как элемент вариационного ряда выборки x (1),, x () с номером [p]+1, где [a] целая часть числа а В статистической практике используется

Подробнее

Идентификация законов распределения случайных величин

Идентификация законов распределения случайных величин Лабораторное занятие Идентификация законов распределения случайных величин Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина, распределение которой P неизвестно полностью или

Подробнее

, (3.4.3) ( x) lim lim

, (3.4.3) ( x) lim lim 3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр

ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет. 1 курс 1 семестр ЯГМА Кафедра медицинской физики Лечебный факультет 1 курс 1 семестр «Элементы математической статистики» Составил: Дигурова И.И. 2004 г. 1. Математическая статистика. Ее виды, особенности, задачи. Математическая

Подробнее

Работа 5 Обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями при наличии грубых погрешностей

Работа 5 Обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями при наличии грубых погрешностей 1 Работа 5 Обработка результатов прямых измерений с многократными наблюдениями при наличии грубых погрешностей 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с методикой выполнения прямых измерений с многократными наблюдениями

Подробнее

Часть 2. Элементы математической статистики

Часть 2. Элементы математической статистики Часть 2. Элементы математической статистики Замечательно, что науке, начинавшейся с рассмотрения азартных игр, суждено было стать важнейшим объектом человеческого знания. Лаплас Вероятность это важнейшее

Подробнее

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы

3. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Основные понятия статистической проверки гипотезы 3 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 3 Основные понятия статистической проверки гипотезы Статистическая проверка гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров распределений В экономике, технике, естествознании,

Подробнее

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ

8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 8. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО ДИСЦИПЛИНЕ 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Виды случайных событий. Классическое и статистическое определение вероятности

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6. «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей»

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6. «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей» ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6 «Обработка результатов равноточных измерений, свободных от систематических погрешностей» Занятие посвящено решению задач по расчѐту погрешностей равноточных измерений Погрешности

Подробнее

# 12, декабрь 2013 Крушняк Н. Т. УДК ВВЕДЕНИЕ

# 12, декабрь 2013 Крушняк Н. Т. УДК ВВЕДЕНИЕ К вопросу об оценке равноточности и однородности нескольких групп измерений при их нормальном распределении в лабораторной работе по дисциплине «Прикладная метрология» 77-48/65689 #, декабрь 03 Крушняк

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Математическая статистика. Математическая статистика. Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных результатах наблюдений. Первая задача математической статистики

Подробнее

Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Элементы математической статистики Математическая статистика является частью общей прикладной математической дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», однако задачи, решаемые ею, носят

Подробнее

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины.

Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Лекция 3. Основные характеристики и законы распределения случайных величин Цель : Напомнить основные понятия теории надежности, характеризующие случайные величины. Время: часа. Вопросы: 1. Характеристики

Подробнее

Приложение 1. Задачи медицинской статистики Определение 1. Математическая статистика раздел математики, опирающийся на теорию вероятностей и ставящий

Приложение 1. Задачи медицинской статистики Определение 1. Математическая статистика раздел математики, опирающийся на теорию вероятностей и ставящий Приложение. Задачи медицинской статистики Определение. Математическая статистика раздел математики, опирающийся на теорию вероятностей и ставящий своей задачей создавать методы сбора и обработки статистических

Подробнее

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях.

Найдем вероятность события А - интересующие студента данные не содержатся только в двух пособиях. Задача. Студент выполняет работу по статистике, пользуясь пятью пособиями. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем, четвертом и пятом пособиях, соответственно

Подробнее

Работа 1.2 Определение линейных размеров и объемов тел. Обработка результатов измерений

Работа 1.2 Определение линейных размеров и объемов тел. Обработка результатов измерений Работа 1. Определение линейных размеров и объемов тел. Обработка результатов измерений Оборудование: штангенциркуль, микрометр, исследуемые тела. Введение Погрешности любого измерения складываются из ошибок,

Подробнее

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема

Генеральная совокупность и выборка. Центральная предельная теорема Генеральная совокупность и выборка Точечные оценки и их свойства Центральная предельная теорема Выборочное среднее, выборочная дисперсия Генеральная совокупность Генеральная совокупность множество всех

Подробнее

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Приложение ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПЫТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Основные понятия. Все экспериментальные исследования, проводимые в лаборатории сопротивления материалов, сопровождаются измерением

Подробнее

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И.

Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И. Ресурсы ФЦИОР (http://fcior.edu.ru) к учебникам «Алгебра» Башмакова М.И. Портал обеспечивает каталогизацию электронных образовательных ресурсов и предоставление свободного доступа к ним учеников и учителей.

Подробнее

Работа 6 Обработка и представление результатов прямых измерений при наличии группы равно рассеянных многократных наблюдений.

Работа 6 Обработка и представление результатов прямых измерений при наличии группы равно рассеянных многократных наблюдений. 1 Работа 6 Обработка и представление результатов прямых измерений при наличии группы равно рассеянных многократных наблюдений. 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомление с методикой обработки и представления результатов

Подробнее

Выборочные оценки параметров распределения

Выборочные оценки параметров распределения Выборочные оценки параметров распределения 1 Выборочные оценки параметров распределения Резюмируя, важно подчеркнуть, что, с точки зрения экспериментатора, функции распределения и статистические характеристики

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения

Работа 1. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Работа. Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения Целью данной комплексной работы является практическое ознакомление с алгоритмами моделирования случайных чисел с заданным законом

Подробнее

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии.

Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии. Пусть имеется нормально распределенная случайная величина N,, определенная на множестве объектов

Подробнее

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ Погрешность результата измерения (сокращенно погрешность измерений) представляется отклонением результата измерения от истинного значения величины Основные источники погрешности результата

Подробнее

Тематический план. 4 Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов. Строгие и нестрогие неравенства.

Тематический план. 4 Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов. Строгие и нестрогие неравенства. Тематический план Тема урока Часы Основные понятия Формулируемые знания и умения Повторение 6 1 Действия над 1 многочленами. Формулы сокращенного умножения. Основные методы разложения на множители 2 Формулы

Подробнее

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

Лекция 24. Регрессионный анализ. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. О.Ю.Пелевин МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ О.Ю.Пелевин МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов физического

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Е. С. Вентцель

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Е. С. Вентцель Е. С. Вентцель ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Одиннадцатое издание, стереотипное

Подробнее

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА

Тестовые задания по математике для студентов 1 2 курсов СГГА Тестовые задания по математике для студентов курсов СГГА Пояснение к выполнению тестового задания. Прочитайте внимательно текст задания.. Если в ответах указан символ «Ο» то нужно выбрать единственный

Подробнее

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация)

Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Аппроксимация по МНК Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов (аппроксимация) Одна из главных задач математической статистики нахождение закона распределения случайной

Подробнее