Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика: Статистическая термодинамика Лекция 13 ЛЕКЦИЯ 13

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика: Статистическая термодинамика Лекция 13 ЛЕКЦИЯ 13"

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ 13 Столкновения молекул. Длина свободного пробега. Время свободного пробега. Случайные блуждания. Диффузия. Уравнение непрерывности и закон Фика. Уравнение диффузии. Столкновения молекул До сих пор мы с вами изучали системы, находящиеся в термодинамическом равновесии. И хотя само равновесие устанавливается в результате взаимодействия между частицами, нам часто не нужно было знать детальный механизм этого взаимодействия для вывода многих важных результатов статистической физики. Примером может служить распределение Гиббса, которое в применении к идеальному газу приводит к распределению Максвелла молекул газа по скоростям. Так, представим себе ящик, в который мы поместили молекулы газа, которые не взаимодействуют друг с другом и сталкиваются со стенками ящика абсолютно упругим образом. Тогда распределение молекул газа по модулю скорости будет все время оставаться неизменным, таким, какое мы создали в начале, поместив молекулы в ящик и придав каждой из них какуюто скорость. Максвелловское распределение может установиться, либо если столкновения молекул газа со стенками неупругие, т. е. молекулы могут при столкновении обмениваться энергией с атомами стенки, либо если молекулы газа сталкиваются друг с другом (пусть даже абсолютно упругим образом), перераспределяя свою кинетическую энергию (при сохранении суммарной кинетической энергии и импульса). Таким образом, время перехода неравновесной системы к равновесию зависит от специфического характера взаимодействия между частицами. А мы с вами уже видели на примере уравнения состояния неидеального газа, как усложняется задача, если такое взаимодействие надо принимать во внимание. И тем не менее мы попытаемся понять сегодня какую роль играет взаимодействие молекул и как его описывать на примере достаточно разреженного газа. Как мы уже говорили в лекции 8, если газ достаточно разрежен, то эффекты взаимодействия сводятся к парным столкновениям молекул газа. Поэтому давайте сегодня рассмотрим эти столкновения более подробно. И для начала, составим себе представление о характерных длинах и временах, входящих в задачу. Первое, раз речь идет о взаимодействии, это размеры взаимодейству- 1

2 ющих частиц. Обычно эта величина порядка 4 Å, если речь идет об отдельных атомах (например, диаметр атома He равен. Å, а диаметр атома Ar равен 3.6 Å). Оценим теперь среднее расстояние между молекулами газа. Так, если концентрация молекул равна n, то радиус сферы r, в которой в среднем находится одна молекула, оценивается из условия V n = 4π 3 r3 n 1 (1) (объем сферы, помноженный на концентрацию молекул приблизительно равен единице). Считая, что каждая молекула находится примерно в центре своей сферы рис. 1, получаем, что среднее расстояние r между молекулами определяется по формуле: 1 r r Рис. 1: Среднее расстояние между двумя молекулами 1 и : r = r. ( ) 3 1/3 r = r = 1.4 n 1/3. () 4πn Концентрацию n оценим для газа при нормальных условиях из уравнения состояния идеального газа P = nkt. Пусть давление газа равно атмосферному: P = дин/см, а температура T = 300 K. Тогда концентрация молекул равна n = P kt = = см 3. (3) Соответственно, среднее расстояние между молекулами r 1.4 n 1/3 = ( /3 ) см 40 Å. (4) Таким образом, качественно картина выглядит следующим образом рис., т. е. размеры молекул порядка 4 Å, а среднее расстояние между ними порядка 40 Å, т. е. в 10 0 раз больше.

3 Рис. : Размеры молекул и среднее расстояние между ними в газе при нормальных условиях. Cтрелки показывают направления скорости. Длина свободного пробега Нас сейчас будет интересовать вопрос о том, как часто та или иная молекула (или атом) в среднем сталкивается с другими молекулами. Для простоты сначала будем говорить об атомах и считать, что они имеет сферическую форму. Тогда понятно, что два атома диаметром d столкнутся друг с другом, если расстояние между их центрами будет меньше чем d рис. 3. Поэтому, при движении какого-то выделенного атома, он d Рис. 3: Столкновение двух атомов. столкнется со всяким атомом, центр которого попадет внутрь цилиндра радиуса d рис. 4. Средняя длина свободного пробега l это средний путь, который атом пролетает без столкновений с другими атомами. Он определяется из условия, что в среднем в цилиндре радиуса d и высоты l будет находится 3

4 один атом: V n = πd ln = 1, = l = 1 πd n = 1 σn, (5) где σ = πd сечение рассеяния. Если взять в качестве диаметра l d Рис. 4: Столкновение двух атомов диаметром d. Длина свободного пробега l. атома значение d = Å, а для концентрации n = см 3 (см. формулу (3)), то для средней длины свободного пробега l получим оценку l = 1 πd n = см = 3000 Å, (6) что примерно на два порядка больше среднего расстояния между атомами. Для оценки среднего времени между столкновениями (времени свободного пробега) τ нам нужно знать характерную скорость атомов v, поскольку Среднюю скорость можно оценить из условия: mv τ = l v. (7) 3 kt. (8) Так, если молекула газа кислород, с массой m O = г г, то ее характерная скорость при комнатной температуре (T = 300 K): v 3kT m = см/сек = 500 м/сек. (9)

5 В результате, среднее время между столкновениями время свободного пробега τ = l v = сек. (10) Проблема случайных блужданий. Диффузия Выше мы оценили тепловую скорость молекул кислорода при комнатной температуре и получили значение v 500 м/сек. Однако это вовсе не значит, что молекула пролетает 500 м за 1 сек. Это означало бы, что из одного конца комнаты она добиралась бы до другого конца, отстоящего на расстояние L = 3 м, за 6 тысячных долей секунды. В действительности возможность продвижения молекулы в пространстве сильно ограничена из-за столкновений с другими молекулами, которые все время сбивают ее с правильного курса. Поэтому, из-за столкновений, на преодоления расстояния в 3 м (по прямой) молекуле требуется около /3 суток, т. е. около 16 часов! За это время молекула испытает порядка Рис. 5: Диффузионная траектория молекулы. (сто тысяч миллиардов) столкновений с другими молекулами. Примерная траектория молекулы после 00 столкновений показана на рис. 5. Ясно, что это очень нелегкий путь для молекулы, желающей добратся от одной стенки до другой. Как оценить это время? Давайте сначала для простоты рассмотрим следующую задачу о случайных блужданиях частицы. Предположим, 5

6 что блуждание происходит по прямой, а точнее по одномерной решетке с периодом a рис. 6. В начальный момент времени, t = 0, частица -3a -a -a 0 a a 3a Рис. 6: Одномерные случайные блуждания по решетке. находится в начале координат, x = 0. Затем каждый раз через время τ она совершает прыжок на соседний узел с вероятностью 1/ вправо или влево. Спрашивается, как далеко в среднем частица уйдет от начала координат за время t = Nτ, совершив при этом N прыжков. Ее координату x после N прыжков можно представить в виде суммы: x = N x i, (11) i=1 где каждое слагаемое этой суммы x i случайная величина, равная ±a. Вычислим среднее значение квадрата случайной величины x, т. е. x 1. Запишем x = N x i i=1 = x 1 + x x N + x 1 x + x 1 x (1) Среднее значение каждого из квадратичных слагаемых равно квадрату постоянной решетки: x 1 = x =... = x N = a. (13) Среднее значение произведений типа x i x j = x i x j = 0, для i j, (14) поскольку разбивается на произведение средних различных x i = 0 ввиду статистической независимости отдельных прыжков. В результате среднее значение квадрата смещения частицы из начала координат равно x = N x i = Na. (15) i=1 Характерное среднее квадратичное смещение x определяется квадратным корнем из этой величины x = x = a N. (16) 1 Среднее значение x = 0 и поэтому не дает необходимой информации о случайных блужданиях. 6

7 Если учесть, что за время t частица сделает N = t/τ прыжков, то формулу (16) можно переписать в виде x = a t τ = a τ t = Dt, где D a τ. (17) Полученные выше результаты легко обобщить на двухмерный и трехмерный случай. Например, в двухмерном случае блужданий на квадратной решетке рис. 7, радиус вектор смещения частицы из начала координат можно представить в виде r = N r i, (18) i=1 a -a -a 0 где отдельные слагаемые в этой формуле отдельные прыжки частиa Рис. 7: Диффузия на квадратной решетке. цы по узлам квадратной решетки. Каждый прыжок с вероятностью 1/4 происходит либо вверх, либо вниз, вправо или влево на соседний узел. Таким образом, длина каждого прыжка одинакова и равна постоянной решетки a. Поэтому, аналогично предыдущему случаю, имеем Средние значения r = N r i = N i=1 i=1 r i = Na. (19) r i r j = r i r j = 0, для i j (0) в силу статистической независимости отдельных прыжков (среднее от произведения разбивается на произведение средних) и того, что среднее значение вектора смещения r i = 0 при каждом прыжке. Таким образом, так же как и одномерном случае, характерное среднее квадратичное 7

8 смещение определяется выражением r r = a N. (1) Ясно, что точно такой же результат будет справедлив и при блуждании по трехмерной решетке. Во всех этих случаях для среднего квадратичного смещения частицы в пространстве L за время t справедлива формула L = Dt, где D = a τ. () Величину D называют коэффициентом диффузии. Он равен отношению квадрата длины одного прыжка a к характерному времени τ между прыжками. В случае с молекулами газа для порядковых оценок длины диффузии L в качестве длины прыжка нужно взять длину свободного пробега l, а в качестве времени между прыжками время свободного пробега τ. В результате для времени диффузии молекулы газа на расстояние L имеем t = L D = L τ l = L τ v τ = L v L l. (3) Отсюда видно, что время диффузии t на расстояние L l гораздо больше времени "прямого пролета"l/v. Отношение этих времен равно большому числу L/l отношению длины диффузии к длине свободного пробега молекулы. Давайте оценим величину t. Пусть L = 3 м, v = 500 м/сек, и l = 3000 Å. Тогда L/v = сек, а L/l = 107. В результате t = L v L l = сек 107 = сек = 10 3 мин 17 часов /3 суток. (4) Для оценок в качестве коэффициента диффузии мы взяли величину D = l τ = (vτ) τ = vl. (5) Размерность коэффициента диффузии (в системе СГС) равна [D] = см сек. (6) А его численное значение для нашего газа составляет величину D = vl = 1.5 см /сек. (7) 8

9 Более точные расчеты показывают, что в формуле для коэффициента диффузии имеется еще численный коэффициент 1/3: D = 1 v l. (8) 3 Однако для его нахождения надо все-таки дать четкое определение коэффициента диффузии. Уравнение непрерывности и закон Фика Так, если речь идет об отдельно взятой молекуле, то нам нужно расчитать плотность вероятности P (r, t) обнаружить ее в точке с координатами r в момент времени t, если в начальный момент времени t = 0 эта молекула находилась в начале координат, в точке r = 0. Если же молекул много, то речь идет о плотности молекул n(r, t), зависящей от координат и времени. Именно для последней величины мы и получим уравнение. Она связана с вероятностью P (r, t) соотношением: n(r, t) = N P (r, t), где N полное число молекул. Поскольку молекулы газа движутся в пространстве таким образом, что никуда не исчезают и ни откуда не рождаются, то должен существовать закон сохранения числа частиц, выраженный, как мы уже видели при выводе теоремы Лиувилля, уравнением непрерывности: n t + div j = 0, (9) где n = n(r, t) концентрация, а вектор j = j(r, t) это плотность потока числа частиц (число частиц, пересекающих в единицу времени единичную площадку, расположенную перпендикулярно вектору j). Это уравнение, записанное в интегральной форме, t V n dv = V div j dv = S j ds, (30) и выражает вышеупомянутый закон сохранения: скорость уменьшения числа частиц в объеме V равно суммарному потоку вектора j через поверхность S, ограничивающую этот объем. Если частицы распределены в пространстве равномерно и никаких макроскопических движений нет, то плотность потока j = 0. Однако, если распределение концентрации n(r, t) неоднородно в пространстве, 9

10 т. е. n(r, t) зависит от r, то появляется так называемый диффузионный поток, который при малой степени неоднородности пропорционален пространственным производным функции n(r, t) (по координате r). Его можно рассматривать как первый неисчезающий член разложения функции n(r, t) в ряд Тейлора. Этот поток можно представить в виде: j = D grad n = D n(r, t), (31) где D некоторый коэффициент пропорциональности. Знак (-) в этой формуле говорит, что диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации частиц. Частицы переходят из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией. Формулу (31) иногда еще называют законом Фика. Поскольку размерности j и n равны соответственно 1 [j] = см сек, [n] = 1 см3, (3) размерность коэффициента D получается следующей [D] = [j] [grad n] = см сек 1 см 3 см 1 = см сек, (33) что совпадает с размерностью коэффициента диффузии, введенного нами ранее (см. формулу (6)). Оказывается, что это он и есть. Действительно, рассмотрим в газе некоторую плоскость z = const рис. 8, и пусть концентрация молекул зависит только от координаты z: Z z + l z z - l Рис. 8: К выводу коэффициента диффузии. n = n(z). Тогда среднее число молекул, пересекающих единицу площади в единицу времени снизу вверх, равно 1 v n(z l), (34) 6 10

11 а сверху вниз 1 v n(z + l). (35) 6 Коэффициент 1/6 отражает тот факт, что лишь 1/6 часть всех молекул в среднем летит в заданном направлении (вперед-назад, вверх-вниз, влево-вправо). Сдвиг ±l в аргументе функции n(z) означает, что молекула летит практически без столкновений лишь участок пути длиной l равной длине свободного пробега. Поэтому результирующая плотность потока определяется выражением j z = 1 6 v n(z l) 1 v n(z + l). (36) 6 Учитывая, что длина свободного пробега молекул l обычно мала по сравнению с пространственными масштабами, на которых заметным образом меняется функция n(z), мы можем разложить функцию n(z ± l) в ряд Тейлора n(z ± l) = n(z) ± l n z. (37) Подставляя ее в (36), получим закон Фика j z = 1 3 v l n } {{ } z D n = D z, где D = 1 v l (38) 3 есть коэффициент диффузии. Поскольку v T, а l 1/σn, то коэффициент диффузии T D n T 3/ P, (39) где мы воспользовались уравнением состояния идеального газа P = nt. Численно, при комнатной температуре и атмосферном давлении коэффициент диффузии равен Уравнение диффузии D 1 3 v l м сек см 0.5 см сек. (40) Если закон Фика (31) j = D grad n (41) 11

12 подставить в уравнение непрерывности (9), то получим следующее уравнение для концентрации n(r, t): n t + div j = 0 = n t = D div (grad n). (4) Дивергенция градиента от скалярной функции n может быть приведена к виду div (grad n) = ( n) = ( ) n n, (43) где скалярное произведение двух операторов равно = ( x i + y j + z k ) ( x i + y j + z k ) = = x + y + z (44) и называется лапласианом или оператором Лапласа. В результате уравнение (4) приобретает вид n t = D n, или n t = D n x + n y + n z. (45) Это уравнение называется уравнением диффузии. Заметим, что это есть уравнение в частных производных. Уравнение диффузии (45) остается инвариантным при следующем масштабном преобразовании координат и времени r = βr, t = β t, (46) где β некоторый произвольный коэффициент. В этом легко убедиться, если записать t = 1 β t и x = 1 β x и т. д.. (47) В результате коэффициент 1/β сокращается и в штрихованных переменных уравнение (45) выглядит точно так же как и в нештрихованных. Кроме того, будучи линейным, уравнение диффузии (45) очевидно не изменится, если функцию n домножить на произвольную константу: n = An. Все это позволяет искать решение уравнения (45) в автомодельном виде n(r, t) = At α f r t, (48) 1

13 в простейшем случае изотропного пространства. Показатель степени α зависит от размерности пространства d и определяется условием нормировки. Оно гласит, что интеграл от n(r, t) по всему "объему"d-мерного пространства должен быть равен полному числу частиц N: n(r, t) d d r = N. (49) Поскольку последнее от времени не зависит и d d r d(r d ), показатель степени α в (48) должен равняться d/: α = d. (50) Действительно, в этом случае под знаком дифференциала мы имеем инвариантную к изменению масштаба (46) комбинацию d d r t α d ( r t )d. (51) Так, например, в одномерном случае, d = 1 и условие нормировки имеет вид dx A t f α x = N. (5) t Чтобы A и N не зависели от времени, необходимо положить α = 1/. Тогда, выполняя замену переменных y = x/ t, получим A dyf(y ) = N = A = В одномерном случае уравнение диффузии имеет вид: N. (53) dyf(y ) n t = n D x. (54) Подставим сюда функцию n(x, t) в виде: Поскольку n t n(x, t) = A t f = A Ax t3/f t f, 5/ x t. (55) n x = Ax t f, 3/ n = A x t 3/f + 4Ax t f, (56) 5/ 13

14 то для функции f(y), где на этот раз y = x /t, получаем уравнение A Ax t3/f t f = D 5/ A t 3/f + 4Ax t 5/ f. (57) Видно, что этому уравнению можно удовлетворить при одном и том же условии f = 4Df, (58) f = 4Df. (59) Благодаря условию (58), первый член в левой части уравнения (57) сокращает первый член в правой части этого же уравнения, а благодаря второму условию (59), которое идентично первому условию (58), второй член в левой части уравнения (57) сокращает второй член в правой части того же уравнения. Из условия (58) (или (59)) получаем функцию f(y) с точностью до произвольного коэффициента (который определяется условием нормировки) ( f(y) = exp y 4D ). (60) В итоге, концентрация n(x, t), нормированная на полное число атомов N, равна n(x, t) = N exp x, (61) 4πDt 4Dt так что dx n(x, t) = N. (6) Решение (61) описывает ситуацию, когда в начальный момент времени t = 0 все атомы находились в точке x = 0. Тогда, с течением времени, плотность частиц расплывается, распределение становится все шире и шире рис. 9. В момент времени t, характерная ширина распределения x, на которой плотность частиц n(x, t) уменьшается в e раз, по сравнению со значением в точке x = 0, согласно формуле (61) равна x = Dt. (63) С точностью до численного множителя, это совпадает с характерной длиной случайных блужданий (). Обычно за длину диффузии L принимают выражение без дополнительных численных множителей L = Dt, (64) 14

15 n(x,t) t=0 t < t 0 < 1 t 1 t x x Рис. 9: Эволюция со временем распределения n(x, t) в соответствии с формулой (61). как это имеет место в формуле (). На этой длине концентрация n уменьшается всего в 1.3 раза по сравнению со своим значением в нуле. Ясно, однако, что выбор тех или иных численных множителей это вопрос соглашения, не более. В заключение к этой лекции хотелось бы добавить следующее. Хотя к понятию диффузии и к уравнению диффузии мы пришли, рассматривая столкновения молекул в газе, оно оказывается справедливым и для других фаз вещества жидкого и твердого. Остается верной как оценка () для коэффициента диффузии D, так и само уравнение диффузии (45). Поскольку D vl, а скорость теплового движения атомов v одинакова (при одной и той же температуре) для газов, жидкостей и твердых тел, то различие в коэффициентах диффузии в этих трех агрегатных состояниях вещества в основном обусловлено различием в длинах свободного пробега l. Поскольку в газе l 1/n и газ самая разреженная субстанция, из перечисленных трех, то и диффузия в газах происходит быстрее всего. В жидкостях коэффициент диффузии обычно на один, два порядка меньше чем в газе. И еще меньше он оказывается в твердых телах. Там, однако, для оценки коэффициента диффузии лучше использовать формулу D a /τ, где a длина прыжка, а τ время между прыжками. Обычно a порядка межатомного расстояния, а время τ может меняться в широких пределах и сильно зависит от температуры T. 15

Лекция 3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Постоянная Больцмана. Температура и давление как статистические величины.

Лекция 3. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Постоянная Больцмана. Температура и давление как статистические величины. Лекция 3 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Постоянная Больцмана. Температура и давление как статистические величины. Одной из особенностей физики является использование абстракций

Подробнее

27. Длина свободного пробега молекулы в газе. Диффузия в газах

27. Длина свободного пробега молекулы в газе. Диффузия в газах 27. Длина свободного пробега молекулы в газе. Диффузия в газах В течение большей части времени молекулы газов находятся сравнительно далеко друг от друга и движутся как свободные частицы, практически не

Подробнее

Лекция 2 Идеальный газ

Лекция 2 Идеальный газ Лекция 2 Идеальный газ 1. Давление газа. 2. Абсолютная температура 3. Молекулярно кинетический и термодинамический смысл температуры. 4. Температура и давление, как статистические величины. 5. Измерение

Подробнее

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ

3.3. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ГАЗАХ Средняя длина свободного пробега молекулы n, где d эффективное сечение молекулы, d эффективный диаметр молекулы, n концентрация молекул Среднее число соударений, испытываемое молекулой

Подробнее

О законе Дарси в условиях сохранения энтальпии

О законе Дарси в условиях сохранения энтальпии 26 октября 01;03 О законе Дарси в условиях сохранения энтальпии С.О. Гладков Московский педагогический университет Поступило в Редакцию 17 апреля 2002 г. С помощью кинетического подхода найдена связь между

Подробнее

1.3. Теорема Гаусса.

1.3. Теорема Гаусса. 1 1.3. Теорема Гаусса. 1.3.1. Поток вектора через поверхность. Поток вектора через поверхность одно из важнейших понятий любого векторного поля, в частности электрического d d. Рассмотрим маленькую площадку

Подробнее

Основное уравнение кинетической теории газов

Основное уравнение кинетической теории газов Основное уравнение кинетической теории газов До сих пор мы рассматривали термодинамические параметры (давление, температуру, теплоемкость, ), а также первое начало термодинамики и его следствия безотносительно

Подробнее

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R)

1 = = 0. (1) R + 1 = C, (2) 1(R) . Электростатика. Электростатика Урок 7 Разделение переменных в сферической и цилиндрической системах координат Оператор Лапласа в сферической системе координат записывается в виде = 2 = 2 ) + sin θ )

Подробнее

3.2. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА

3.2. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА Системой рассматриваемой в классической молекулярно-кинетической теории газов является разреженный газ состоящий из N молекул

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОНОВ. ЭЛЕКТРОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ В МЕТАЛЛАХ. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕПЛО- И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ

ЛЕКЦИЯ 8 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОНОВ. ЭЛЕКТРОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ В МЕТАЛЛАХ. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕПЛО- И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ЛЕКЦИЯ 8 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОНОВ. ЭЛЕКТРОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ В МЕТАЛЛАХ. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕПЛО- И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ Рассмотрим, чем отличается электронная жидкость от электронного газа.

Подробнее

r12 q r rik r i r 3 r i.

r12 q r rik r i r 3 r i. 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 1 Закон Кулона Сила, действующая со стороны заряда 1 на заряд 2 равна F 12 = C 1 2 12, 12 2 12 где величина C множитель, зависящий от системы единиц. В системе

Подробнее

Статистическое определение энтропии. Флуктуации термодинамических величин

Статистическое определение энтропии. Флуктуации термодинамических величин http://lectoriy.mipt.ru из 6 ЛЕКЦИЯ 9 Статистическое определение энтропии. Флуктуации термодинамических величин ds dt = 0 при S = S max, ds dt 0 G = G G, S = K ln G = S + S, v = const, S = SE. 9.. Статистическое

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Распределения Больцмана и Максвелла

Распределения Больцмана и Максвелла Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский государственный университет Методические указания по курсу общей физики Распределения Больцмана и Максвелла Ростов-на-Дону

Подробнее

5.1 Задача двух тел в квантовой механике. + U(r 1 r 2 ). (5.1) 2m 1. 2m 2. В координатном представлении гамильтониан имеет вид:

5.1 Задача двух тел в квантовой механике. + U(r 1 r 2 ). (5.1) 2m 1. 2m 2. В координатном представлении гамильтониан имеет вид: Глава 5 Центральное поле 5.1 Задача двух тел в квантовой механике Задача двух тел имеет важное значение как в классической, так и в квантовой механике. Естественно, в квантовой механике задача также сводится

Подробнее

Л Е К Ц И Я 14 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД. Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод. Рассмотрим функционал

Л Е К Ц И Я 14 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД. Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод. Рассмотрим функционал Л Е К Ц И Я 4 ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД Еще один мощный метод нахождения низших энергетических уровней - вариационный метод Рассмотрим функционал J(ψ,ψ ) = ψ $ H ψ = dx ψ (x) H $ ψ(x), где x весь набор переменных

Подробнее

10.4 Элементы теории вероятностей

10.4 Элементы теории вероятностей 10.4 Элементы теории вероятностей При статистическом описании свойств термодинамических систем используются понятия теории вероятностей. Рассмотрим некоторые положения этой теории. Случайными называются

Подробнее

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

5.2. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА 5 УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА Основным динамическим уравнением квантовой механики описывающим эволюцию состояния микрочастицы во времени является уравнение Шрѐдингера: () Ĥ оператор Гамильтона в общем случае

Подробнее

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Лекция 3: Квантовая механика и одномерное движение

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Лекция 3: Квантовая механика и одномерное движение КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Лекция 3: Квантовая механика и одномерное движение А.Г. Семенов I. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ На предыдущей лекции нами было получено уравнение Шредингера для частицы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15 АТОМ ВОДОРОДА

ЛЕКЦИЯ 15 АТОМ ВОДОРОДА ЛЕКЦИЯ 15 АТОМ ВОДОРОДА В квантовой механике существуют две важные модели, с помощью которых удается решить многие практические задачи: Осциллятор; Атом водорода. Отличие в рассмотрении этих моделей состоит

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 10 ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ

ЛЕКЦИЯ 10 ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ ЛЕКЦИЯ 0 ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ Рассмотрим теорию ферми-жидкости как теорию ферми-газа при низких температурах. Как известно, N V = p3 F 3π ħ 3. (0.) Рис. 0. В дальнейшем будем считать для простоты вычислений,

Подробнее

1.5 Поток вектора напряженности электрического поля

1.5 Поток вектора напряженности электрического поля 1.5 Поток вектора напряженности электрического поля Ранее отмечалось, что величина вектора напряженности электрического поля равна количеству силовых линий, пронизывающих перпендикулярную к ним единичную

Подробнее

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным:

Л Е К Ц И Я 4. и получаем ортонормированный базис из его собственных векторов χ x : причем для определенности считаем спектр чисто дискретным: Л Е К Ц И Я 4 А ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ На прошлой лекции мы построили некую конкретную схему квантовой механики, взяв в качестве основного оператор координаты $ X. Делалось это так. Ставим задачу

Подробнее

1. Электростатика Урок 5 Уравнение Пуассона и Лапласа Решение

1. Электростатика Урок 5 Уравнение Пуассона и Лапласа Решение 1. Электростатика 1 1. Электростатика Урок 5 Уравнение Пуассона и Лапласа Уравнение для потенциала с источниками зарядами) уравнение Пуассона и уравнение без источников уравнение Лапласа Уравнение Пуассона

Подробнее

является первым, оценочным приближением для гомогенных реакторов больших размеров ряд результатов интегральные и качественные

является первым, оценочным приближением для гомогенных реакторов больших размеров ряд результатов интегральные и качественные Метод многих групп До настоящего времени для решения задач физики ядерных реакторов мы использовали одногогрупповой метод. Мы полагали что в реакторе присутствуют нейтроны только одной энергии то есть

Подробнее

5. Моделирование случайных процессов

5. Моделирование случайных процессов 5. Моделирование случайных процессов 5.1. Случайные процессы и величины В главе 3 было показано, что координаты и скорости физических объектов, движущихся под действием заданных сил, однозначно определяются

Подробнее

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов

Предварительные сведения из математики. Скалярное произведение векторов Предварительные сведения из математики Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, которое равно произведению их модулей на косинус угла между ними. a b = a

Подробнее

1.2. Коэффициент поверхностного натяжения. Работа, которую нужно затратить в изотермическом квазистатическом процессе для

1.2. Коэффициент поверхностного натяжения. Работа, которую нужно затратить в изотермическом квазистатическом процессе для Лекция 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ 1. Поверхностное натяжение 1.1. Поверхностная энергия. До сих пор мы не учитывали существования границы раздела различных сред*. Однако ее наличие может оказаться весьма

Подробнее

5. Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле. Тензор электромагнитного поля

5. Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле. Тензор электромагнитного поля 5 Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле Тензор электромагнитного поля 51 Необходимость получения уравнения движения в ковариантной форме Уравнение движения заряженной

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8. Внутреннее трение (вязкость газов). Теплопроводность газов.

ЛЕКЦИЯ 8. Внутреннее трение (вязкость газов). Теплопроводность газов. ЛЕКЦИЯ 8 Внутреннее трение (вязкость газов). Теплопроводность газов. Вязкость газов (это же касается и жидкостей) это свойство, благодаря которому выравниваются скорости движения разных слоев газа (жидкости).

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии Закон сохранения энергии Работа и кинетическая энергия Работа силы Определения Работа силы F на малом перемещении r определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения: A F r Расписывая

Подробнее

Тема 1.2. Механика твёрдого тела. 1. Момент инерции. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

Тема 1.2. Механика твёрдого тела. 1. Момент инерции. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу Тема 1.. Механика твёрдого тела План. 1. Момент инерции.. Кинетическая энергия вращения 3. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела. 4. Момент импульса и закон его сохранения.

Подробнее

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей

Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчету полей Теорема Гаусса Применение теоремы Гаусса к расчету полей Основные формулы Электростатическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора Совокупность этих векторов образует

Подробнее

Глава 4. Элементы статистической физики. 20. Фазовое пространство.

Глава 4. Элементы статистической физики. 20. Фазовое пространство. Глава 4. Элементы статистической физики 20. Фазовое пространство. Задача статистической физики заключается в том, чтобы установить законы поведения макроскопических систем, исходя из представления о молекулярном

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 22 ЛЕКЦИЯ 22 1 ЛЕКЦИЯ 22 Электростатическая энергия зарядов. Плотность энергии электрического поля. Энергия равномерно заряженного шара. Мультипольное разложение. Электрический диполь. Потенциал и электрическое поле

Подробнее

Л Е К Ц И Я 8 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Л Е К Ц И Я 8 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Л Е К Ц И Я 8 ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР Классический осциллятор. Пусть частица совершает одномерное движение. Разложим ее потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности x 0 до второго порядка: V(x) V(0)

Подробнее

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5)

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ЛЕКЦИЯ 4, (раздел 1) (лек 7 «КЛФ, ч1») Кинематика вращательного движения 1 Поступательное и вращательное движение В предыдущих лекциях мы познакомились с механикой материальной

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ

ЛЕКЦИЯ 5 НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ЛЕКЦИЯ 5 НЕИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ. СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ В этой и последующих лекциях будут рассматриваться неидеальные газы, у которых есть аномальные свойства: сверхтекучесть и сверхпроводимость. Представители

Подробнее

Библиографический список 1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1- Изд. Лань, 2006, 128, 129, 132.

Библиографический список 1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1- Изд. Лань, 2006, 128, 129, 132. Лабораторная работа 1.84 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА А.А. Задерновский, В.Б. Студенов, Ю.И. Туснов Цель работы: изучение закономерностей хаотического

Подробнее

положение частицы в начальный момент времени было 0 N находиться в точке (1) Квадрат смещения частицы за N шагов равен 2 N ).

положение частицы в начальный момент времени было 0 N находиться в точке (1) Квадрат смещения частицы за N шагов равен 2 N ). Лекция 1. СЕДИМЕНТАЦИЯ И ДИФФУЗИЯ В ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМАХ Законы диффузии Рассмотрим движение броуновской частицы. Примем, что за некоторый интервал времени частица смещается на расстояние в случайно выбранном

Подробнее

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии

Лекция 7. Работа. Теорема об изменении кинетической энергии Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

Подробнее

Тема 1.3. Элементы механики жидкостей

Тема 1.3. Элементы механики жидкостей Тема.3 Элементы механики жидкостей. Давление жидкости и газа Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или весьма слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся

Подробнее

Методические указания. Решению задач по курсу общей физики

Методические указания. Решению задач по курсу общей физики Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Методические указания М.Ю. Константинов Решению задач по курсу общей физики Раздел: «Принцип суперпозиции в квантовой механике» Под

Подробнее

Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия

Броуновское движение. Столкновение частиц. Диффузия http://lectoriymiptru 1 из 7 ЛЕКЦИЯ 11 Броуновское движение Столкновение частиц Диффузия 111 Уравнение движения частицы в среде m r = F 1 B r уравнение Ланжевена Спроецируем его на ось x: m ẍ = F x 1 ẋ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Цель работы: опытным путем определить линейный коэффициент теплового расширения. Оборудование: образец, нагреватель,

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. Кафедра физики. Любутина Л.Г.

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. Кафедра физики. Любутина Л.Г. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА Кафедра физики Любутина Л.Г. 185к «ДИФФУЗИЯ В ГАЗАХ» (КОМПЬЮТЕРНЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ) Лабораторная работа 185к

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 9 ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 9 ПЛАЗМЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ На прошлых лекциях рассматривались элементарные возбуждения в системах, которые находятся в термодинамическом равновесии. Например, когда изучались сверхтекучесть и сверхпроводимость,

Подробнее

Уравнение Лапласа в круговых областях. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид. u = 2 u

Уравнение Лапласа в круговых областях. Оператор Лапласа в полярных координатах имеет следующий вид. u = 2 u Уравнение Лапласа в круговых областях. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в круговых областях (внутренность круга, внешность круга, кольцо). Для решения этой задачи перейдем в полярные координаты { x

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

ЛЕКЦИЯ 6 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЛЕКЦИЯ 6 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ Рис. 6.1 На рис. 6.1 показано столкновение двух частиц. Здесь A снаряд, В мишень, С результирующая

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.4* ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ ПАРОВ ВОДЫ И СПИРТА В ВОЗДУХЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.4* ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ ПАРОВ ВОДЫ И СПИРТА В ВОЗДУХЕ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5.4* ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ДИФФУЗИИ ПАРОВ ВОДЫ И СПИРТА В ВОЗДУХЕ Цель работы: экспериментальное определение коэффициента диффузии паров воды и спирта в воздухе. Литература: [4]

Подробнее

3) Уравнения Лагранжа II рода. Условия применимости. Голономные и идеальные связи.

3) Уравнения Лагранжа II рода. Условия применимости. Голономные и идеальные связи. 1) Цилиндрические координаты ) Сферические координаты. Орты (рисунок). Выражения для радиус вектора, скорости точки. Связь сферических и декартовых координат. x = r * s in (θ) * c os (φ) y = r * s in (θ)

Подробнее

5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР

5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 5. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА И ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР Решение уравнения Шредингера для частицы в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме (рис.4) шириной дает для энергии лишь дискретные значения n n

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Кинетические характеристики движения молекул

Кинетические характеристики движения молекул Кинетические характеристики движения молекул Переход идеального газа из неравновесных состояний в равновесное происходит благодаря так называемым явлениям переноса )диффузии, 2) теплопроводности и 3) внутреннему

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 23 ЛЕКЦИЯ 23

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Специальная теория относительности Лекция 23 ЛЕКЦИЯ 23 1 ЛЕКЦИЯ 23 Сила Лоренца. Релятивистская форма уравнений движения. Тензор электромагнитного поля. Преобразования Лоренца для электрического и магнитного поля. Инварианты поля. Сила Лоренца Сила, действующая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

6. Неслоистые течения. 6.1 Плоское течение вблизи критической точки

6. Неслоистые течения. 6.1 Плоское течение вблизи критической точки Лекция 7 6. Неслоистые течения 6.1 Плоское течение вблизи критической точки Рассмотрим тело, расположенное в набегающем на него потоке (рис..9). Для определенности будем считать течение плоским, т.е. тело,

Подробнее

Процессы образования новой фазы. Теория зародышеобразования

Процессы образования новой фазы. Теория зародышеобразования Процессы образования новой фазы Теория зародышеобразования 1. Явление зародышеобразования Термодинамические основы диффузионного зарождения новой фазы при различных превращениях (газ жидкость, газ кристалл,

Подробнее

СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ Ударом МТ (частиц, тел)

СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ Ударом МТ (частиц, тел) СТОЛКНОВЕНИЕ ЧАСТИЦ Ударом МТ (частиц, тел) будем называть такое механическое взаимодействие, при котором при непосредственном контакте за бесконечно малое время частицы обмениваются энергией и импульсом

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики.

1.1. Элементы кинематики Механическое движение. Предмет механики. 11 Элементы кинематики 111 Механическое движение Предмет механики 11 Представление о свойствах пространства и времени в классической механике 113 Кинематическое описание движения 114 Скорость и ускорение

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА Министерство образования и науки РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Утверждаю зав. кафедрой общей и экспериментальной физики В. П. Демкин 2015 г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ

Подробнее

Однородные разностные схемы. Консервативность.

Однородные разностные схемы. Консервативность. Однородные разностные схемы. Консервативность. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем

Подробнее

10 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ЗАКОН ОМА

10 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ЗАКОН ОМА 10 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ЗАКОН ОМА Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц в пространстве. В связи с этим свободные заряды принято называть также

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА

ЛЕКЦИЯ 11 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЛЕКЦИЯ 11 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 1. Симметрия гамильтониана и законы сохранения Гамильтониан системы определяет ее поведение и свойства и может зависеть от ряда параметров.

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА Министерство образования и науки Российской Федерации Саратовский государственный технический университет ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ВОЗДУХА Методические указания к выполнению

Подробнее

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени:

, соединяющий начальное положение точки с конечным. Скорость точки равна производной от радиуса-вектора по времени: Механика Механическим движением называется изменение положения тела по отношению к другим телам Как видно из определения механическое движение относительно Для описания движения необходимо определить систему

Подробнее

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ. М.Г. Шеляпина

ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ. М.Г. Шеляпина 4 ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ М.Г. Шеляпина 1 ОПТИЧЕСКИЕ ФОНОНЫ В кристаллах, состоящих из атомов разного сорта (или если есть несколько атомов в одной элементарной ячейку) наряду с акустическими

Подробнее

К определению вероятности эффекта Мессбауэра.

К определению вероятности эффекта Мессбауэра. В.Н.Глазков МФТИ, 5 Оглавление К определению вероятности эффекта Мессбауэра... Колебания атомов в кристалле... Основы дебаевской модели. Фононы... Подсчёт числа колебаний... Излучение электромагнитных

Подробнее

Лекция 1.02 Кинематика точки

Лекция 1.02 Кинематика точки Лекция 0 Кинематика точки Кинематика точки Векторный метод определения движения точки Далее всегда будем предполагать что существует неподвижная система отсчета - декартова система координат выбор которой

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

Факультатив. Частные решения волнового уравнения.

Факультатив. Частные решения волнового уравнения. Факультатив. Частные решения волнового уравнения. Общее решение волнового уравнения можно представить, как суперпозицию его частных решений. Основной метод поиска частных решений дифференциальных уравнений

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение.

ЛЕКЦИЯ 3. Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение. 1 ЛЕКЦИЯ 3 Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение. Равномерное движение точки по окружности При равноускоренном движении частица движется

Подробнее

ИЗУЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА

ИЗУЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет ИЗУЧЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ СТОКСА Методические указания для выполнения лабораторной работы Томск 2014 Рассмотрено и утверждено

Подробнее

Факультатив. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки. Апертура. Относительное отверстие.

Факультатив. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки. Апертура. Относительное отверстие. Факультатив Апертурная диафрагма Входной и выходной зрачки Апертура Относительное отверстие Эти понятия применимы к оптической системе, состоящей из одной или нескольких линз Рассмотрим точечный предмет,

Подробнее

Пробеги тяжелых ионов низких и средних энергий в аморфном веществе

Пробеги тяжелых ионов низких и средних энергий в аморфном веществе 1;5;1;11 Пробеги тяжелых ионов низких и средних энергий в аморфном веществе Е.Г. Шейкин Научно-исследовательское предприятие гиперзвуковых систем, 19666 Санкт-Петербург, Россия (Поступило в Редакцию 28

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В высшей степени наивно думать, что все физические распределения соответствуют идеальным. Несмотря на то что при некоторых условиях идеальные распределения встречаются в физике, реальная жизнь, к несчастью,

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ЛЕКЦИЯ 1. Основные понятия молекулярной физики Молекулярно-кинетическая теория идеального газа

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ЛЕКЦИЯ 1. Основные понятия молекулярной физики Молекулярно-кинетическая теория идеального газа МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА ЛЕКЦИЯ 1 Основные понятия молекулярной физики Молекулярно-кинетическая теория идеального газа Основные понятия молекулярной физики. Статистический и термодинамический методы исследования

Подробнее

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ

2. СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ . СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО ПРЯМОЙ Рассмотрим простейшую математическую модель случайного блуждания. Пусть точечная частица может совершать только один тип движений: в дискретные моменты времени t 0, t 1,...

Подробнее

Применим теорему Гаусса для пунктирного цилиндра соосного обоим проводникам: = 4π Q.

Применим теорему Гаусса для пунктирного цилиндра соосного обоим проводникам: = 4π Q. Экзамен Емкости простейших конденсаторов 3 Цилиндрический конденсатор Цилиндрический конденсатор это два соосных проводящих цилиндра Длина цилиндров гораздо больше радиусов l0 >> > Применим теорему Гаусса

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

22. Распределение Максвелла молекул по импульсам В предыдущей лекции на примере идеального газа мы показали, что знание объема Ω доступной

22. Распределение Максвелла молекул по импульсам В предыдущей лекции на примере идеального газа мы показали, что знание объема Ω доступной . Распределение Максвелла молекул по импульсам В предыдущей лекции на примере идеального газа мы показали, что знание объема Ω доступной рассматриваемой физической системе области фазового пространства

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 24 ЛЕКЦИЯ 24

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 24 ЛЕКЦИЯ 24 1 ЛЕКЦИЯ 24 Электростатика диэлектриков. Индуцированные дипольные моменты атомов и молекул. Поляризуемость. Собственные дипольные моменты молекул. Вектор поляризации P. Диэлектрическая восприимчивость.

Подробнее

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Потенциал. Связь напряженности и потенциала Основные теоретические сведения Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом Напряженность электрического поля величина, численно равная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ

ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ ЛЕКЦИЯ 8 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ СИЛ Рассмотрим ещё одну важную динамическую величину кинетическую

Подробнее

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В квантовой механике существует небольшое число задач, которые имеют физический смысл и могут быть решены точно. Физический смысл имеют следующие основные задачи: Задача о движении

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее