значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,"

Транскрипт

1 I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент времени t может изменяться от точки к точке поэтому ее значения будут определяться значениями четырех переменных t где координаты точки Определение Если каждой паре ( ) значений двух независимых одна от другой переменных величин и из некоторой области их изменения D соответствует определенное значение величины то мы говорим что есть функция двух независимых переменных и определенная в области D Символически функция двух переменных обозначается ( ) ; ( ) Функция двух переменных и может быть задана аналитическим табличным графическим и другими способами Определение Совокупность пар ( ) значений и при которых определена функция ( ) называется областью определения или областью существования этой функции Линию которая ограничивает данную область называют границей области Область определения функции ( ) есть некоторая совокупность точек на плоскости В частности областью определения функции ( ) может быть и вся плоскость Точки области не принадлежащие границе области называются внутренними точками области Область которая состоит только из внутренних точек называется открытой или незамкнутой Если же к открытой области присоединяются и точки границы то область называется замкнутой Область называется ограниченной если существует такая константа C что расстояние произвольной точки области от начала координат O меньше чем C те O < C Определение функции двух переменных можно обобщить на случай трех и более переменных Определение 3 Если каждой совокупности значений переменных соответствует определенное значение переменной ω то будем называть ω функцией независимых переменных и писать ω F ( ) Аналогично как и для функции двух переменных можно говорить об области определения функции трех четырех и более переменных Так для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел ( а так как каждая тройка чисел задает некоторую точку ( в системе координат O то область определения функции трех переменных есть некоторая совокупность точек

2 пространства Область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простой геометрической интерпретации График функции двух переменных Рассмотрим функцию ( ) определенную в области D на плоскости O (эта область может быть в частности и всей плоскостью) и систему прямоугольных декартовых координат O (рис) В каждой точке ( ) восстановим перпендикуляр к плоскости O на котором отложим отрезок равный ( ) P D Рис Рис Тогда мы получаем в пространстве точку P с координатами ( ( ( ) ) (Рис ) Определение Множество точек P координаты которых удовлетворяют уравнению ( ) называется графиком функции двух переменных Из курса аналитической геометрии известно что уравнение ( ) определяет в пространстве некоторую поверхность Таким образом график функции двух переменных есть поверхность которая проектируется на плоскость O в область определения функции Каждый перпендикуляр к плоскости O пересекает поверхность ( ) не более чем в одной точке Например график функции есть параболоид вращения Замечание Функцию трех и более переменных отобразить с помощью графика в пространстве невозможно 3 Частное и полное приращения функции двух переменных Пусть ( ) определения Возьмем произвольную точку ( ) D функция двух переменных а D область ее и придадим приращение а значение оставим неизменным Тогда функция ( ) получает приращение ( ) ( ) ( )

3 которое называется частным приращением функции ( ) переменной в точке ( ) по Аналогично считая неизменной и придавая приращение по переменной в точке ( ) : получаем частное приращение функции ( ) ( ) ( ) ( ) Полным приращением функции ( ) в точке ( ) называется разность ( ) ( ) ( ) Геометрически частные и полное приращения функции можно изобразить отрезками A B A B A 3B (рис 3) 3 A B A B A B 3 A 3 Рис 3 4 Предел функции двух и нескольких переменных и понятие сходящейся последовательности точек плоскости Определение Множество ( ( ) ) всех точек плоскости координаты и которых удовлетворяют неравенству Введем понятия δ-окрестности данной точки ( ) ( ) ( ) < δ или короче r( ) < δ называется δ- окрестностью точки ( ) обозначается O δ ( ) и Другими словами δ-окрестность точки это все точки которые находятся внутри круга с центром Определение Проколотой окрестностью точки радиуса δ называется множество точек которые удовлетворяют неравенству < < ; ( ) δ r 3

4 de O ( ) { < ( ) < δ} δ r Рассмотрим последовательность точек ( ) ( ) ( ) плоскости O которую обозначают ( ) Для задания последовательности ( ) числовые последовательности ( ) и ( ) определяется двумя координатами необходимо задать две так как точка на плоскости называется ε существует номер r Определение 3 Последовательность точек ( ) сходящейся к точке ( ) если для каждого > такой N () ε > такой что для > N( ε) имеет место неравенство ( ) < ε При этом точка называется пределом последовательности ( ) последовательности ( ) lim Предел обозначают или при Понятие сходящейся последовательности точек плоскости является обобщением понятия сходящейся числовой последовательности Приведем понятие предела функции двух переменных на языке последовательностей (по Гейне) Определение 4 Число A называется пределом функции ( ) в точке ( ) если для каждой сходящейся к ( ) последовательности точек ( ) ( O δ ( )) соответствующая последовательность ( ) ( ) ( ) значений функции сходится к A Обозначают это следующим образом lim или lim ( ) A A de Символически: lim ( ) A ( ) ( ): lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim Аналогично как и для функции одной переменной можно дать эквивалентное определение предела на языке «ε δ» (по Коши) Определение 5 Число A называется пределом функции ( ) при это значит в точке ( ) если для каждого ε > существует δ () ε > такое что для произвольной точки ( ) O ( ) δ имеет место неравенство ( ) A < ε Символически: de ( ) ε > δ( ε) > : O ( ) ( ) O ( A) A lim δ Как и в случае функции одной переменной можно показать что определение предела функции двух переменных на языке последовательностей эквивалентно определению предела функции по Коши ε 4

5 Определение предела функции переменных при > тождественно определению предела функции двух переменных если в пространстве измерений ввести понятие δ-окрестности точки Определение 6 В -мерном пространстве δ-окрестностью точки ( ) называется множество всех точек ( ) расстояние каждого из которых от точки меньше чем δ те ( ) ( ) ( ) < δ Очевидно что в пространстве трех измерений O ( 3) δ- окрестностью точки ( ) является множество всех внутренних точек шара с центром в точке и радиусом δ На функции нескольких переменных можно перенести основные теоремы о пределах для функции одной переменной Пример Найти пределы: si( ) а) lim ; б) lim Решение а) Так как функция не определена в предельной точке то раскрываем неопределенность так как и для функции одной переменной: si( ) si( ) lim lim lim si α учитывая что lim α α б) lim lim не существует так как отношение не имеет к точке ( ) Например если вдоль прямой k то k те зависит от углового коэффициента прямой по которой движется точка ( ) Понятие предела функций двух переменных легко обобщается на функции трех и более переменных определенного предела при произвольном стремлении точки ( ) 5 Непрерывность функции нескольких переменных Определение Пусть на некотором множестве D определена функция ( ) ( ) точка ( ) D и каждая δ-окрестность точки содержит точки множества D Функция ( ) ( ) называется непрерывной в точке ( ) если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке те 5

6 lim ( ) ( ) или lim ( ) ( ) при этом точка ( ) стремится к точке ( ) (5) произвольным образом оставаясь в области определения функции Согласно с определением предела функции в терминах последовательностей данное определение непрерывности функции в точке эквивалентно тому что для каждой последовательности ( ) ( ) D такой что lim последовательность ( ( )) сходится и ( ) ( ) или lim ( ) ( ) lim Если обозначить то равенство (5) можно переписать так: lim ( ) ( ) (5 ) или ( ) ( ) lim (5 ) Обозначим r ( ) ( ) При и r и наоборот если r то и Замечая далее что выражение находящееся в скобках в формуле (5 ) является полным приращением функции ( ) Равенство (5 ) можно записать в виде lim (5) r Таким образом имеем Определение Функция ( ) называется непрерывной в точке ( ) если ее полное приращение в этой точке есть бесконечно малая при функция те lim lim ( ( ) ( )) или lim Это условие очевидно эквивалентно условию lim ( ) ( ) определения Сформулируем определение непрерывности функции используя определение предела функции в терминах «ε δ» Определение 3 Функция ( ) называется непрерывной в точке если для каждого ε > существует δ ( ε) > такое что всех точке D которые удовлетворяют условию r ( ) < δ имеет место неравенство ( ) ( ) < ε Символически: ε > δ( ε) > D r ( ) < δ : ( ) ( ) < ε Из определения следует что для непрерывности функции ( ) ( ) в точке ( ) необходимо и достаточно выполнение следующих условий: r из 6

7 Функция ( ) ( ) должна быть определена в точке ( ) некоторой окрестности этой точки lim Существует ( ) 3 lim ( ) ( ) Если в точке ( ) и N нарушается хотя бы одно из трех выше названных условий то эта точка называется точкой разрыва функции ( ) Это может произойти в следующих случаях: ) ( ) определена во всех точках некоторой окрестности точки N ( ) за исключением самой точки N ( ); ) функция ( ) определена во всех точках окрестности точки N ( ) но не существует предел lim ( ) ; определена во всех точках окрестности точки lim Для функции ( ) двух независимых переменных точки разрыва могут быть изолированными образовывать линию или поверхность разрыва Пример Найти точки разрыва функций: а) ( ) ( ) ; б) ; в) u 4 9 Решение а) Данная функция определена на R всюду кроме точки ( ) которая является точкой разрыва функции б) Функция определена для произвольных таких что ± Таким образом прямые ± есть линии разрыва функции в) Функция u определена для произвольных 4 9 таких что Эллипсоид и есть поверхность разрыва функции Определение 4 Функция u ( P) называется непрерывной на множестве D если она непрерывная в каждой точке этого множества Аналогично как и для функции одной переменной используя данные определения непрерывности и соответствующие теоремы о пределах можно доказать что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям 3) функция ( ) N ( ) и существует предел lim ( ) но ( ) ( ) 7

8 Функции нескольких переменных непрерывные на замкнутых ограниченных множествах имеют свойства аналогичные свойствам функции одной переменной непрерывной на отрезке Приведем основные свойства непрерывных функций двух переменных (без доказательства) Теорема Если функция ( ) ( ) непрерывна в замкнутой ограниченной области то она ограниченная в этой области те существует число C такое что для всех точек области имеет место неравенство ( ) C Теорема Если функция ( ) ( ) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D то она достигает в этой области по крайней мере один раз своего наибольшего значения и наименьшего значения m Теорема 3 Если функция ( ) непрерывна в области то она принимает все промежуточные значения между двумя произвольными своими значениями это значит если A < C < B где A и B определенные значения функции ( ) в данной области то в этой области существует точка такая что ( ) C Отсюда в частности следует что если и точки данной области и ( ) < а ( ) > то в области существует точка такая что ( ) В конце отметим что понятие непрерывности и перечисленные свойства функций двух переменных легко обобщаются на функции трех и более переменных 6 Частные производные функции нескольких переменных и их геометрический смысл по называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента если произвольным образом стремится к нулю: ( ) ( ) lim Частная производная функции ( ) по переменной в произвольной точке ( ) обозначается ( ) ( ) ( ) ( ) Таким образом по определению: Определение Частной производной функции ( ) переменной в точке ( ) Определение Частной производной функции ( ) переменной в точке ( ) по называется предел отношения частного 8

9 приращения функции к соответствующему приращению аргумента если произвольным образом стремится к нулю: ( ) ( ) lim Частная производная функции ( ) по переменной в произвольной точке ( ) обозначается ( ) ( ) ( ) ( ) Таким образом по определению de ( ) ( ) lim lim Частные приращения и частные производные функции переменных в точке при > определяются и обозначаются аналогично Например для функции трех переменных u ( частная производная по переменной в точке ( ) u ( ) ( ) lim lim Таким образом частная производная функции нескольких переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии что все остальные переменные являются постоянными Поэтому все правила и формулы дифференцирования которые справедливы для производных функций одной переменной имеют место и для частных производных Однако необходимо помнить что при нахождении частной производной по какой-нибудь переменной во всех этих формулах и правилах все остальные переменные являются постоянными Пример 3 Найти частные производные функции arctg Решение Частную производную находим как производную данной функции по считая неименной Тогда Аналогично 9

10 Отметим что частные производные функции ( ) мы определили в такой точке в окрестности которой функция определена те во внутренней точке области определения функции Если ( ) граничная точка области определения функции то ( ) может быть не определена так как точки ( ) ( ) могут не принадлежать области определения функции ни при каких ( ) Это например имеет место для точки на рис 4 Рис 4 В этом случае если существует частная производная во внутренних lim то на основании определения точках области и существует ( ) считают ( ) lim ( ) Аналогично определяется ( ) Выясним геометрический смысл частной производной функции σ На P Пусть плоскость σ В результате (на рис 5 это кривая AP B ) которую можно рассматривать как график функции одной переменной ( ) в плоскости ( ) График функции ( ) есть некоторая поверхность ( ) поверхности ( σ ) ей соответствует точка ( ) пересекает график данной функции те поверхность ( ) пересечения получаем кривую ( )

11 P B ( σ ) N α Рис 5 Тогда на основании геометрического смысла производной функции одной переменной значение частной производной функции ( ) в точке ( ) равно тангенсу угла α который образован положительным направлением оси O и касательной проведенной в точке P ( ) к линии пересечения поверхности ( ) и плоскости (см рис 5) 7 Частные производные высших порядков Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же переменных Эти функции в свою очередь могут иметь частные производные которые называются вторыми частными производными (или частными производными второго порядка) исходной функции Так например функция ( ) двух переменных имеет четыре частные производные второго порядка которые определяются следующим образом: ( ) ( ) ( )

12 ( ) Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка Функция имеет восемь частных производных третьего порядка Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого пятого и других высших порядков: частной производной -го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной ( ) -ого порядка той же функции Частная производная второго или более высокого порядка взятая по нескольких разных переменных называется смешанной частной производной Пример 4 Найти смешанные частные производные второго порядка 3 4 Решение Находим частные производные первого порядка: Затем находим частные производные второго порядка: 4 3 ( 3 ) ( 4 ) Заметим здесь что смешанные частные производные и которые отличаются между собой только порядком последовательного дифференцирования одной и той же функции оказались тождественно равными Этот результат не является случайным Относительно смешанных частных производных имеет место теорема которую мы приводим без доказательства Теорема Две смешанные частные производные одной и той же функции которые отличаются только порядком дифференцирования равны между собой при условии их непрерывности имеем В частности для функции двух переменных ( ) 8 Полный дифференциал функции

13 называется дифференцируемой в если ее полное приращение можно представить в виде A B ω( ) (8) где и произвольные приращения аргументов и в некоторой окрестности точки ( ) ; A и B константы (те величины не зависящие от и ω бесконечно малая более высокого порядка малости Определение Функция ( ) точке ( ) ); ( ) чем расстояние r ( ) ( ) между точками ( ) ω ( ) ( ) (это значит что lim ) r r Таким образом если функция ( ) и дифференцируема в данной точке то на основании формулы (8) ее полное приращение в этой точке состоит из главной части приращения A B линейной относительно и и нелинейной части ω ( ) более высокого порядка малости чем главная часть приращения Определение Главная часть приращения функции ( ) линейная относительно приращений ее аргументов и называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом d или d ( ) те d A B (8) В выражении для дифференциала A B величины A и B не зависят от и но зависят от точки ( ) в которой рассматривается этот дифференциал Другими словами A и B есть функции и Вид этих функций устанавливает следующая теорема Теорема (необходимые условия дифференцируемости) Если функция ( ) в точке ( ) дифференцируема (те имеет дифференциал A B ) то она имеет в точке ( ) первые частные производные и при этом A B Доказательство Так как по условию теоремы функция ( ) дифференцируема в точке ( ) то ее полное приращение в этой точке выражается по формуле (8) которая имеет место для произвольных достаточно малых и Возьмем а Но тогда приращение функции становится частным приращением и формула (8) примет вид A ω Разделяя обе части этого равенства на и переходя к пределу при получаем 3

14 r ω lim A lim Покажем что ω lim В самом деле так как то ( ) ( ) Следовательно ω ω ω lim ± lim ± lim r r Таким образом и поэтому частная производная в точке ( ) существует и равна A Аналогично можно показать что частная производная в точке ( ) существует и равна B Заменяя теперь в формулах (8) и (8) A и B частными производными и получаем ω( ) (83) Можно показать что обратная теорема вообще говоря неверна те из существования частных производных не следует существование полного дифференциала Однако если допустить что частные производные не только существуют но и непрерывны то функция будет дифференцируемой Другими словами имеет место следующая теорема Теорема (достаточные условия дифференцируемости) Если функция ( ) имеет частные производные в некоторой окрестности точки ( ) и эти производные непрерывны в самой точке ( ) то функция ( ) дифференцируема в этой точке Доказательство Придадим переменным и настолько малые приращения и чтобы точка ( ) не вышла за границы указанной окрестности точки Представим полное приращение функции в следующем виде: ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) Выражение ( ) ( ) можно рассматривать как приращение функции ( ) одной переменной (второй аргумент имеет постоянное значение равное ) 4

15 Так как по условию теоремы эта функция имеет производную ( ) то на основании теоремы Лагранжа имеем ( ) ( ) ( ) θ < θ < Рассуждая аналогично для выражения ( ) ( ) имеем ( ) ( ) ( ) θ < θ < Производные и непрерывны в точке ( ) поэтому lim ( ) ( ) θ ( θ ) ( ) lim Из последних равенств согласно с определением предела следует что ( ) ( ) ( ) θ α θ β ( ) ( ) ( ) где α ( ) и ( ) β бесконечно малые функции при Подставляя полученные выражения в формулу для находим α β (85) ( ) ( ) ( ) ( ) а это и означает что функция ( ) дифференцируема в точке Следствие Из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции Теорема имеет важное значение для проверки дифференцируемости функций так как непосредственную проверку дифференцируемости функции с помощью определения часто трудно осуществить в то время как проверка «непрерывности» частных производных производится более легко Как и в случае функции одной переменной для приращения независимых переменных и имеют место равенства d d Тогда выражение для дифференциала функции двух переменных примет вид d d d или d ( ) d ( )d Все вышесказанное легко распространяется на функции трех и большего количества переменных Так например для дифференцируемой функции трех переменных u ( полное приращение u выражается формулой u ω( ω при условии что lim r r r ( ) ( ) ( ) а ее полный дифференциал имеет вид 5

16 du d d d Пример 5 Найти полный дифференциал функции 3 e Решение Замечая что частные производные 3 e 3 3 e непрерывны при всех значениях находим 3 d d d e ( d 3 d) 9 Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях Полный дифференциал функции нескольких переменных можно использовать для приближенных вычислений Пусть дана дифференцируемая функция ( ) Ее полное приращение выражается формулой ω ( ) ( ) ( ) ω ( ) стремится к нулю быстрее чем r ( ) ( ) Поэтому при малых r те при малых и слагаемые ω ( ) можно отбросить и писать ( ) ( ) это значит приращение функции приближенно можно заменить ее полным дифференциалом Так как для функции ( ) ( ) ( ) то подставляя сюда вместо его приближенное значение получаем ( ) ( ) ( ) ( ) откуда ( ) ( ) ( ) ( ) Последней формулой можно пользоваться для приближенных вычислений значений функции двух переменных в точке ( ) близкой к точке ( ) если известны значения функции и ее частных производных в самой точке ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) (9) Аналогичные формулы имеют место для функции переменных при > Например при 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Пример 6 Вычислить приближенно arctg ( 4) 6

17 Решение Используем формулу (9) Здесь ( ) arctg 4 ( ) Тогда π arctg(4) arctg ! 4 Пусть ( u v) Дифференцирование сложной функции функция двух переменных каждая из которых в свою очередь есть функция независимых переменных и : u u( ) v v( ) Тогда ( u( ) v( ) ) F( ) сложная функция двух независимых переменных и а переменные u и v промежуточные аргументы Теорема Если функция ( u v) дифференцируемая в точке P ( u v ) а функции u u( ) v v( ) дифференцируемые в точке ( ) D( ) то сложная функция ( u v) где u u( ) v v( ) дифференцируема в точке ( ) D( ) а ее частные производные находятся по формулах: v () v v v или используя более короткую запись u u v v u u v v Доказательство Докажем первую из формул () В точке P ( ) переменной придадим приращение сохраняя значение неизменным Тогда функции u и v получают частные приращения u v а функция полное приращение (так как u v приращения по обеим промежуточным аргументам) Функция ( u v) дифференцируема в точке ( ) uv поэтому ее приращение в этой точке можно представить в виде u v ( u v) u ( u v) α β v v Разделим обе части этого равенства на : u v α( u v) u ( u v) β v v Если то u и v на основании непрерывности функций u ( ) и v ( ) Но тогда α ( u v) и β ( u v) также стремятся к нулю Переходя к пределу при получаем 7

18 lim u lim v v lim u v lim α( u v) lim ( ) β u v и следовательно v v Аналогично можно доказать что v v Рассмотрим функцию трех переменных ω ( u v t) каждая из которых в свою очередь есть функция независимых переменных : u u( v v( t t( Тогда функция ω ( u( v( t( ) F( является сложной функцией трех независимых переменных а переменные u v t называются промежуточными Частные производные этой функции находятся по формулах ω ω u u ω v v ω t t ω ω u ω v ω t u ω ω u u ω v v ω t t Рассмотрим частные случаи задания сложной функции ω ( u v t) Пусть ω ( u v t) u u( ) v v( ) t t( ) Тогда ω ( u( ) v( ) t( ) ) F( ) является сложной функцией только двух ω ω аргументов и следовательно имеем две частные производные Пусть ( u) ( ) u u( ) Очевидно что ( ( ) u( ) ) F( ) является функцией одной переменной и можно d ставить вопрос о нахождении d Эта производная находится по первой из формул (): d d Так как ( ) u u( ) функции только одной переменной то их частные производные превращаются в обыкновенные производные Кроме того поэтому имеем d () d v t 8

19 d Производная сложной функции ( ( ) u( ) ) найденная по d формуле () называется полной производной Между частной и d полной d существенная разница Полная производная производными которые входят в формулу () есть d d это обыкновенная производная от как функция а есть частная производная от по переменной которая непосредственно входит в выражение функции это значит при условии что другие переменные и u которые зависят от при дифференцировании остаются неизменными Для функции трех переменных u F( () t имеем где () t ( t) du () dt dt dt dt Полученные результаты легко обобщаются на случай сложной функции произвольного количества аргументов Пример 7 Найти частные производные сложной функции двух переменных u v где u v Решение Имеем v v uv vu v Используя формулы () получаем: d v u u v vu uv v ( ) d v ( ) ( 3 ) d v u u v vu uv v d v 3 ( ) ( ) ( ) 3 Пример 8 Найти полную производную сложной функции 3 l ( e e ) где t t e e d Решение Имеем t d 3t e e e e dt dt Используя формулу () получаем 9

20 d d Учитывая что d t d e e dt dt e e 3 t t находим e t 3t e e 3 t ( e 3te ) 3 t t e e t t 3 t 3 3t 3 t t t t t e e e e e Инвариантность формы полного дифференциала Как известно для дифференциала функции одной переменной ( ) имеет место инвариантность его формы Это означает что выражение для дифференциала d ( )d остается правильным независимо от того является независимой переменной или функцией некоторой переменной ϕ() t Найдем теперь полный дифференциал сложной функции ( u( ) v( ) ) в точке ( ) Подставим выражения определенные равенствами () в формулу полного дифференциала сложной функции двух переменных d d d () Получаем v v d d d v v или v v d d d d d v v v Так как d d du d d dv то d du dv () v Сравнивая формулы () и () замечаем что форма записей полного дифференциала функции двух переменных не зависит от того являются u и v независимыми переменными или функциями других независимых переменных отсюда и следует инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных Производная от функции заданной неявно Начнем рассмотрение этого вопроса с функции одной переменной заданной неявно Теорема Пусть некоторая функция ( ) задана неявно уравнением F () ( )

21 где F ( ) F ( ) F ( ) D которая содержит точку ( ) уравнению () кроме того в этой точке ( ) непрерывные функции в некоторой области координаты которой удовлетворяют F Тогда функция от имеет производную F ( ) () F ( ) Доказательство Пусть некоторому значению соответствует определенное значение функции При этом F ( ) Придадим независимой переменной приращение тогда функция получит приращение те значению аргумента соответствует значение функции На основании уравнения F ( ) будем иметь F ( ) Следовательно F ( ) F( ) Так как левая часть последнего равенства есть полное приращение функции двух переменных то его можно на основании (85) записать так: F F F( ) F( ) α( ) β( ) где α ( ) и β ( ) стремятся к нулю при стремлении к нулю и Так как левая часть последнего равенства равна нулю можно записать: F F α( ) β( ) Разделив обе части последнего равенства на выразим : F α( ) F β( ) Переходя к пределу при в последнем равенстве и учитывая что F при этом α ( ) и β ( ) также стремятся к нулю и что в результате получаем F d d F d Мы доказали и существование производной от функции заданной d неявно и нашли формулу для ее вычисления Рассмотрим теперь уравнение вида

22 ( F (3) Если каждой паре чисел из некоторой области соответствует одно или несколько значений которые удовлетворяют уравнению (3) то это уравнение неявно определяет одно или несколько значений однозначных функций от и Например уравнение R неявно определяет две непрерывные функции от и которые можно выразить явно разрешая уравнение относительно ; в этом случае мы получаем R и R Найдем частные производные и неявной функции от и определенной уравнением (3) Если мы находим то считаем неизменным Поэтому здесь можно использовать формулу () если только считать независимой переменной а функцией Следовательно F F Таким же образом находим F F F При этом считаем что Аналогичным образом определяются неявные функции произвольного количества переменных и находятся их частные производные Замечание Все рассуждения этого параграфа проводились при допущении что уравнение F ( ) определяет некоторую функцию одной переменной ϕ( ) ; уравнение F ( определяет некоторую функцию двух переменных ( ) Приведем без доказательства теорему которая определяет каким условиям должна удовлетворять функция F ( ) чтобы уравнение F ( ) определяло бы функцию ϕ( ) Теорема Пусть функция F ( ) непрерывна в окрестности точки ( ) и имеет там непрерывные частные производные причем F ( ) и пусть F ( ) Тогда существует окрестность которая содержит точку ( ) в которой уравнение F ( ) определяет однозначную функцию ϕ ( )

23 Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции которая определяется уравнением F ( Замечание Все рассуждения этого параграфа проводились при допущении что уравнение F ( ) определяет некоторую функцию двух переменных ( ) Приведем без доказательства теорему которая определяет каким условиям должна удовлетворять функция F ( ) чтобы уравнение F ( ) определяло бы функцию ϕ( ) Теорема Пусть функция F ( ) непрерывна в окрестности точки ( ) и имеет там непрерывные частные производные причем F ( ) и пусть F ( ) Тогда существует окрестность которая содержит точку ( ) в которой уравнение F ( ) определяет однозначную функцию ϕ( ) Аналогичная теорема имеет место и для условий существования неявной функции которая определяется уравнением F ( Замечание При выводе правил дифференцирования неявных функций мы пользовались условиями которые определяют существование неявных функций Пример 9 Найти производную функции заданной неявно уравнением si( ) e F Решение Имеем F( ) si( ) e cos( ) e F F cos( ) e cos( ) e Тогда получаем F d e cos( ) ( e cos( ) ) d F cos( ) e ( cos( ) e ) Пример Найти частные производные неявной функции 4 F Решение Имеем F ( 4 4 F F 4 Следовательно F F 4 ( 4) F F 3

24 3 Скалярное поле 3 Скалярное поле и его геометрическое изображение Определение Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство) каждой точке которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины u Например неоднородное тело каждой точке которой соответствует определенное значение плотности можно рассматривать как скалярное поле Другими примерами скалярных полей являются поле распределения электрического потенциала и тп Во всех случаях будем считать что скалярная величина u не зависит от времени а зависит только от положения точки в пространстве это значит рассматривается как функция точки : u ( ) Эта функция называется функцией поля Если в пространстве выбрана система координат O то скалярная величина u является функцией координат те u ( ) ( Наоборот каждая функция трех переменных u ( задает некоторое скалярное поле Геометрическим изображением скалярного поля являются поверхности уровня Определение Поверхностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) скалярного поля называется множество всех точек пространства в которых функция поля u ( имеет одно и то же значение C Уравнение поверхности уровня имеет вид: F ( C Придавая C разные значения получаем семейство поверхностей уровня Например если поле задано функцией u то поверхностями уровня являются сферы C с центром в начале координат Если скалярное поле есть поле распределения температуры в некоторой части пространства то поверхностями уровня будут изотермические поверхности те поверхности на каждой из которых температура неизменная Наряду со скалярными полями в пространстве рассматриваются также плоские скалярные поля Плоское скалярное поле определяется как часть плоскости (или вся плоскость) каждой точке ( ) которой соответствует численное значение скалярной величины Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных: ( ) Плоские скалярные поля геометрически изображается с помощью тн линий уровня Линии уровня определяются как множество точек плоскости в которых функция плоского скалярного поля имеет одно и то же значение Для функции ( ) плоского скалярного поля уравнение линии уровня имеет вид 4

25 ( ) C где C константа Например для плоского скалярного поля заданного функцией линиями уровня являются равнобочные гиперболы C (рис 6) Рис 6 При C получаем или ( ) ( ) Это означает что асимптоты гипербол и (биссектрисы координатных углов) также являются линиями уровня данного поля 3 Производная по направлению Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля u ( Рассмотрим точку ( этого поля и произвольный единичный вектор cosα i cosβ j cos γ k который выходит из точки N а α β γ углы вектора с осями координат Для характеристики скорости изменения функции в точке ( по направлению вектора введем понятие производной по направлению Для этого проведем через точку луч так чтобы одно из направлений на нем совпадало с направлением вектора Пусть ( какаянибудь другая точка этого луча Разность значений функции u скалярного поля в точках и назовем приращением этой функции по направлению и обозначим через u Тогда u ( ( Обозначим через расстояние между точками и : 5

26 u Определение Предел отношения при ( ) если он существует называется производной функции u ( в точке ( по направлению вектора и обозначается это значит u lim Заметим что если производная функции u в точке ( по данному направлению положительная то функция u по этому направлению возрастает если же < то функция u по направлению убывает Можно говорить что производная дает скорость изменения функции u по этому направлению Получим формулу для вычисления производной по направлению Заметим что приращения координат точки связаны с длиной отрезка и направляющими косинусами вектора следующими соотношениями (рис 7): cosα cosβ cos γ γ α β Рис 7 Так как функция u по условию дифференцируемая то ее приращение направлении можно представить в виде u ω u в точке ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) причем ω стремится к нулю быстрее чем ( ) ( ) ( ) ω lim r r r те 6

27 Тогда имеем ( ) ( ) ( ) u cosα cosβ cos γ ω Разделяя обе части этого равенства на и переходя к пределу при получаем u ω lim lim( ( ) α ( ) β ( ) γ) cos cos cos lim Но ( ( ( и направляющие косинусы не ω ω зависят от и так как lim lim то окончательно имеем r r ( ) α ( ) β ( ) cos cos cos γ (3) Из формулы (3) следует что производная по направлению является линейной комбинацией частных производных причем направляющие косинусы являются как бы весовыми множителями которые показывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной Из формулы (3) очевидно что если вектор совпадает с одним из ортов i j k то производная u по направлению совпадает с соответствующей частной производной этой функции Например если i то cos α cos β cos γ и следовательно ( Если скалярное поле плоское то функция поля как уже было сказано зависит от двух переменных: ( ) Вектор в этом случае находится в плоскости O ( cos γ ) и cosα i cosβ j или cosα i si α j так как cos β si α (рис 8) Формула (3) для производной по направлению в случае плоского скалярного поля имеет следующий вид: ( ) α ( ) cos si α (3) α Рис 8 7

28 Пример Найти производную функции u в точке ( ) по направлению от точки до точки ( 4 3) Решение Находим вектор ( ) ( ) ( ) i 4 j 3 k i j k и соответствующий ему единичный вектор i j k i j k ( ) Таким образом вектор имеем следующие направляющие косинусы: cos α cos β cos γ Найдем частные производные функции u ( ) ( ) ( ) и их значения в точке ( ) : ( 4 ( ) 4 Подставляя в формулу (3) найденные значения частных производных и направляющих косинусов получаем искомую производную: ( ) Пример Найти производную от функции l ( ) в точке ( ) которая принадлежит параболе по направлению касательной к этой параболе Решение Находим частные производные от функции ( ) l( ) ( ) ( ) и их значения в точке : Для того чтобы найти cos α и si α которые входят в формулу (3) найдем угловой коэффициент касательной в точке : 8

29 k tgα Таким образом tg α откуда получаем два значения α : α 45 и α 5 которые соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям касательной При α 45 имеем cosα cos 45 si α si 45 Следовательно по формуле (3) получаем 3 4 При α 5 аналогично имеем Градиент скалярного поля При изучении скалярных полей наравне с функцией поля u ( рассматривается некоторый вектор который тесно связан с этой функцией градиент скалярного поля Определение Градиентом в точке ( скалярного поля заданного дифференцируемой функцией u ( называется вектор координаты которого равны соответствующим частным производным : ( ) ( ) ( ) в точке ( ) ( i ( j ( k Градиент функции u ( ( grad ( ) обозначается одним из символов grad Следовательно по определению grad ( ( i ( j ( k или короче grad u i j k (33) Таким образом каждой точке ( скалярного поля заданного дифференцируемой функцией u ( соответствует не только значение этой функции но и совершенно определенный вектор grad ( ) Между градиентом функции u ( в данной точке и производной по направлению в той же точке существует связь которая выражается следующей теоремой 9

30 Теорема Проекция вектора grad u на единичный вектор cosα i cosβ j cos γ k равна производной функции u в направлении : p grad u u (34) Доказательство Пусть u u( Из векторной алгебры известно что проекция какого-нибудь вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов Но grad u ( i ( j ( k Поэтому p grad u ( grad u ) ( α ( β ( γ cos cos cos что и требовалось доказать Учитывая что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля u ( по этому направлению формулу (34) можно прочитать и так: проекция grad u на единичный вектор равна скорости изменения поля u ( по направлению вектора Обозначим через ϕ угол между единичным вектором и grad u Тогда p grad u grad u cosϕ Поэтому на основании формулы (34) имеем grad u cosϕ Очевидно когда направления векторов и grad u совпадают ( ϕ ) то производная по направлению имеет наибольшее значение равное grad u cos grad u Таким образом мы приходим к следующему выводу: grad u есть вектор который показывает направление наибольшего возрастания поля в данной точке а его модуль равен скорости этого возрастания Отсюда следует что grad u функции скалярного поля u ( определяется самим полем и не зависит от системы координат в которой рассматривается функция поля Выясним взаимное размещение grad u grad ( в данной точке ( ) и поверхности уровня которая проходит через эту точку Пусть уравнение поверхности имеет вид C или ( C (35) ( ) 3

31 Рассмотрим кривую L которая лежит на поверхности (35) и проходит через точку (рис 9) Допустим что эта кривая задана уравнениями ( t) ( t) ( t) t T где () t () t () t дифференцируемые функции параметра t причем ( ) ( ) ( ) t t t grad 9 ( ) r ( t ) L Рис 9 Каждая точка кривой имеет координаты ( t) () t () t которые удовлетворяют уравнению (35) поверхности уровня так как кривая L полностью лежит на этой поверхности Таким образом должно выполняться тождество ( ( t) ( t) ( t) ) C Дифференцируя обе части этого тождества по t получаем (на основании формулы для производной сложной функции) F F F () t () t () t В частности при t t имеем F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t F t F t Левая часть последнего равенства есть скалярное произведение вектора grad u F i F j F и вектора ( ) ( ) ( ) ( ) k ( t ) ( t ) i ( t ) j ( t ) k r который направлен по касательной к кривой L Таким образом ( grad u( ) ( )) r t (36) Допустим что grad u( ) Тогда из равенства (36) следует что grad u( ) перпендикулярен к вектору r ( t ) который направлен по касательной к кривой L в точке Так как эта кривая была выбрана произвольно то мы приходим к следующему заключении Если скалярное 3

32 то все касательные приведенные в точке к линиям лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку расположены в одной плоскости перпендикулярной к вектору grad ( ) при условии что этот вектор не равен нулю В случае плоского скалярного поля заданного дифференцируемой функцией двух переменных ( ) градиент определяется формулой grad i поле задано дифференцируемой функцией u ( ( ) ( ) ( ) j Его связь с произвольной по направлению выражается равенством p grad или grad cosϕ где ϕ угол между единичным вектором и grad Можно показать что если поле задано дифференцируемой функцией ( ) то вектор grad ( ) перпендикулярен к касательной которая проведена к линии уровня в точке ( ) Пример 3 Найти градиент функции u 3 4 в точке ( ) Решение Обозначим ( 3 4 Тогда ( ( ( Пользуясь формулой (33) получаем grad u( ) ( ) i ( ) j ( ) k i 6 j k Пример 4 Найти наибольшую скорость возрастания функции 3 5 в точке ( ) Решение Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента этой функции Находим В точке ( ) grad 4i j Следовательно наибольшая скорость возрастания функции в данной точке равна grad Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть поверхность задана уравнением F ( (37) левая часть которого есть дифференцируемая в некоторой области функция 3

33 определяет скалярное поле для которого данная поверхность (37) является одной из поверхностей уровня (это значит где u c ) Пусть в точке ( ) ( ) grad F не равен нулю Тогда на основании параграфа 33 все касательные проведенные в точке к линиям лежащим на поверхности (37) и проходящим через точку расположены в одной плоскости которая перпендикулярна к вектору grad F( ) Эта плоскость называется касательной к поверхности (рис ) Эта функция u ( F ( ) в точке ( ) grad F ( ) касательная плоскость F ( Рис Найдем уравнение этой плоскости Искомая плоскость очевидно поэтому ее уравнение имеет вид A ( ) ( ) ( ) B C Так как вектор grad F F i F j F проходит через точку ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k по условию перпендикулярен касательной плоскости то его можно считать нормальным вектором этой плоскости это значит положить A F B F C F ( ) ( ) ( ) Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности (37) имеет вид F F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Пусть поверхность (37) имеет в некоторой ее точке касательную плоскость Прямая проходящая через точку ( ) перпендикулярная этой касательной плоскости называется нормалью к поверхности (37) в точке ( ) Вектор grad F( ) очевидно направлен вдоль нормали и поэтому его можно взять в качестве направляющего вектора прямой Таким образом каноническое уравнение нормали имеет следующий вид: (39) F F F ( ) ( ) ( ) 33

34 Рассмотрим теперь случай когда поверхность задана уравнением ( ) (3) Этот случай можно свести к предыдущему записывая уравнение в виде ( ) F F F F ( и и считая ( ) ( ) Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) следовательно grad F ( ) ( ) ( ) ( ) F i F j F k ( ) ( ) i j k Поэтому уравнение касательной плоскости в точке ( ) запишется в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) или (3) ( ) ( ) ( ) ( ) а уравнение нормали к поверхности в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Пример 5 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к однополостному гиперболоиду 5 в точке ( ) Решение Так как F ( 5 F ( ) F то grad F( ) F ( ) i F ( ) j F ( ) k 4 i 4 j k F ( ) ( ) 4 ( ) Поэтому уравнение касательной плоскости к данной поверхности запишется в виде 4 ( ) 4( ) ( ) или 5 а уравнение нормали в виде или 4 4 Пример 6 Найти уравнение касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду Решение Считая ( ) получаем ( ) ( ) ( ) ( ) в точке ( 3) Тогда пользуясь формулами (3) и (3) запишем уравнение касательной плоскости 3 ( ) ( ) или 3 34

35 и нормали 3 35 Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных или Пусть функция ( ) имеет в точке ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) дифференциал d (33) Рассмотрим в этой точке уравнение касательной плоскости (34) ( ) ( ) ( ) ( ) Очевидно что правая часть этого равенства совпадает с правой частью выражения (33) для дифференциала d Следовательно и левые части этих равенств также равны Но в равенстве (33) левая часть есть дифференциал функции ( ) в точке ( ) а в равенстве (34) левая часть есть соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости проведенной к поверхности ( ) Мы приходим к следующему выводу который выясняет геометрический смысл дифференциала функции двух переменных Дифференциал функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости к поверхности заданной уравнением этой функции (рис ) ( P P ( ) N d ( ) 35

36 Рис 4 Дифференциалы высших порядков В параграфе 8 было введено понятие дифференцируемой в точке функции ( ) и получена формула d ( ) d ( )d Будем называть d дифференциалом первого порядка Пусть функции ( ) и ( ) дифференцируемы в точке Будем рассматривать d и d в выражении для d представляет собой функцию только переменных и дифференцируемую в точке и ее дифференциал имеет вид: d( d d( ( ) ( ) ) d d (4) d d d d d ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Дифференциал ( d дифференциалом второго порядка функции ( ) ( ) d d от дифференциала d в точке называется в точке и обозначается d В свою очередь дифференциал d( d от d называется дифференциалом третьего порядка функции ( ) и обозначается d 3 и тд Дифференциал d( d от дифференциала d называется дифференциалом -ого порядка функции ( ) и обозначается d Таким образом для дифференциала -ого порядка функции ( ) имеет место формула d d( d С помощью формулы (4) найдем выражение для дифференциала второго порядка: d d d d d d d d d d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( d) d d Если и непрерывны то слагаемые d d и d d равны так что d ( d) d d ( d) Аналогично 3 d ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 3 d 3 d d 3 d d 3 d ( ) ( ( ) )( ) ( )( ( k ) ) ( ) k k d d d d k k ( d) ( d) k! ( ) ( ) d 36

37 Формула для d напоминает разложения двучлена в -ой степени по формуле Ньютона Поэтому выражение для d символически можно записать в виде более удобном для запоминания: d d d ( ) (4) Пример 7 Найти d для функции arctg Решение Имеем ( ) ( ) d ( ) ( d) ( ) d d ( d) ( ) 5 Формула Тейлора для функции двух переменных Аналогично функции одной переменной функцию двух переменных можно представить в виде суммы многочлена -ой степени и некоторого остаточного члена Докажем следующую теорему Теорема Пусть функция ( ) непрерывна вместе со всеми частными производными до ( ) -ого порядка включительно в некоторой окрестности точки ( ) Пусть точка ( ) принадлежит этой окрестности Тогда приращение ( ) ( ) этой функции в точке можно представить в следующем виде: d ( ) ( ) d ( ) d ( θ θ ) d (5)!! ( )! Формула (5) называется формулой Тейлора для функции ( ) Доказательство Для доказательства введем вспомогательную функцию F( t) ( t t ) которая является сложной функцией независимой переменной t t [ ] и имеет ( ) -ую производную по t на отрезке [] Дифференцируя функцию F ( t) по t получаем F t t t t t () ( ) ( ) ( t t ) F t t t () ( )( ) ( t t ) ( t t )( ) ( t t ) По индукции найдем 37

38 38 ( ) () ( ) t t t F ; ( ) () ( ) t t t F С другой стороны используя для функции ( ) t F как функции одной переменной t формулу Маклорена и считая t получаем () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!!! ) ( θ F F F F F F < θ < (5) Но () ( ) ( ) F ( ) ( ) ( ) F ( ) ( ) ( ) d F ( ) ( ) ( ) d F ( ) ( ) ( ) ( ) d F ( ) ( ) ( ) ( ) d F θ θ θ θ Учитывая эти равенства из формулы (5) имеем () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )!!! < θ < θ θ d d d d F F те получена формула (5) Формула Тейлора для функции двух переменных напоминает формулу Тейлора для функции одной переменной Но на самом деле если раскрыть выражения для дифференциалов функции ( ) в формуле (5) то получаем формулу более громоздкую и сложную чем для функции одной переменной Формула Тейлора для функций большего количества переменных имеет аналогичный вид Замечание При из (5) получается формула Лагранжа (или формула конечных приращений) для функции двух переменных ( ) ( ) ( ) d θ θ θ θ θ θ < θ <

39 из которой в частности следует что если то полное приращение функции тождественно равно нулю и функция ( ) является постоянной 6 Экстремум функции двух переменных 6 Определение экстремума Необходимые условия экстремума Пусть функция ( ) определена в некоторой окрестности точки имеет в точке локальный максимум если существует такая окрестность точки что для всех точек ( ) этой окрестности отличных от выполняется неравенство ( ) < ( ) Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума Из определения следует что если функция ( ) имеет экстремум в точке то полное приращение ( ) ( ) этой функции в точке удовлетворяет в некоторой окрестности точки одному из следующих условий: (в случае локального максимума) (в случае локального минимума) И наоборот если в некоторой окрестности точки выполняется одно из этих неравенств то функция имеет экстремум в точке Теорема (необходимые условия экстремума) Если функция ( ) имеет в точке ( ) экстремум и имеет в точке частные производные первого порядка то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю это значит ( ) ( ) (6) Доказательство Докажем например равенство нулю частной производной ( ) Для этого рассмотрим в окрестности точки только те точки для которых Получена функция ( ) одной переменной которая имеет в точке экстремум и в точке производную ( ) Следовательно в этой точке выполняется необходимое условие экстремума функции одной переменной: ( ) что и требовалось доказать Аналогично рассматривая функцию ( ) одной переменной находим ( ) Условие (6) не является достаточным условием экстремума Например частные производные функции равны нулю в точке O ( ) однако эта функция не имеет экстремума в точке O так как ( ) O не сохраняется знак: если то Определение Говорят что функция ( ) и ни в какой окрестности точки ( ) 39

40 < а если то > График функции есть гиперболический параболоид Заметим что функция может иметь экстремум также в тех точках где не существует в конечном виде хотя бы одна из частных производных Например функция очевидно имеет минимум в точке O ( ) но не имеет конечных частных производных в этой точке Точки в которых первые частные производные ( ) и ( ) функции ( ) равны нулю или не существуют называются критическими или стационарными точками этой функции 6 Достаточные условия экстремума и некоторой ее имеет непрерывные частные производные второго порядка Положим ( ) ( ) ( ) ( ) Тогда: а) если > то в точке функция имеет экстремум причем при ( ) < локальный максимум при ( ) > локальный минимум; б) если < в точке нет экстремума Доказательство а) Пусть > Введем следующие обозначения: ( ) A ( ) B ( ) C По условию ( ) ( ) A > (или A < ) По формуле Тейлора (5) взятой для полное приращение функции ( ) в точке можно записать в виде ( A ( ) B C ( ) ) (6)! где A ( ) θ θ B ( ) θ θ C ( ) θ θ < θ < Из непрерывности частных производных второго порядка в точке следует: lim A ( ) A > (или A < ) Теорема Пусть в критической точке ( ) окрестности функция ( ) а также lim ( A C B ) ( ) ( ) ( ( )) > Поэтому для достаточно малых и имеем A > (или A < ) A C B > 4

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП

Функции нескольких переменных. 1. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП Функции нескольких переменных 11. Определение функции нескольких переменных. Предел и непрерывность ФНП 1. Определение функции нескольких переменных ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X = { 1 n i X i R } U R. Функция

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP,

Введем понятие расстояния между точками этого пространства (метрику пространства R n ). Определение 2 Расстоянием ρ( PP, ) ρ PP, 5 Глава ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Пространство R n Понятие функции нескольких переменных Определение Множество всех упорядоченных наборов (,,, n ), где,,, n - действительные числа называется n-мерным

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П.

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения. Э. Е. Поповский П. П. Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

3. Дифференцирование функций

3. Дифференцирование функций lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f ' d, где f ' и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется

некотором множестве Х, если каждому значению переменной величины х Х соответствует определённое значение переменной величины y. При этом х называется МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 9 ФУНКЦИЯ -ОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ГРАФИКИ. ОПР Величина называется переменной, если в рамках данной задачи она принимает различные числовые значения. ОПР Величина С называется

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Производная функции. Производная функции Понятие производной является одним из основных математических понятий Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и других наук, в особенности при

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный университет ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза УДК 5755 Никитина ОГ Функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление:

Подробнее

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Функции многих переменных Конспект лекций и практикум для

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных. Московский Государственный Технический Университет имени НЭ Баумана Дубограй ИВ Скуднева ОВ Левина А И Функции нескольких переменных методические указания для подготовки к аттестации Москва Издательство

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк : СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Тема 1. Предел и непрерывность функции

Тема 1. Предел и непрерывность функции Уметь: Тема 1. Предел и непрерывность функции Вычислять пределы функций и числовых последовательностей, используя различные приемы, в том числе, замечательные пределы, проводить сравнение бесконечно малых

Подробнее

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения

1. Производная ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. 1. Основные определения ДИФФЕРЕНЦИЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная. Основные определения Определение. Производной функции y = f (x) в точке x 0 называется предел отношения приращения этой функции y в точке

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2).

lim f x f x используя обозначения приращений. 0 (2). Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Непрерывность функции Пусть функция y = f(x) определена в точке x и в некоторой окрестности этой точки Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x, если существует

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ

Лекция 10. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ Лекция 1 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 Понятие векторной функции Годограф Предел и непрерывность векторной функции Производная и дифференциал векторной функции 4 Геометрический и физический смысл производной векторфункции

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования РФ Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) ЛН Романова ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Курс лекций Омск Издательство СибАДИ ЛН РОМАНОВА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество

1. Построить область определения следующих функций. то область определения функции является множество 1. Построить область определения следующих функций. a) Так как функции определена при то область определения функции является множество - полуплоскость. b) Так как область определения функции является

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию учебного года, для I курса экономического факультета дневного Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

Подробнее

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности

1. Последовательность функций, точечный предел Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности Оглавление Глава Евклидово пространство Понятие m- мерного евклидова пространства Множества точек m мерного евклидова пространства 4 m Последовательности точек пространства R 5 4 Предел функции m переменных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N19. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность.

ЛЕКЦИЯ N19. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность. ЛЕКЦИЯ N9. Функции нескольких переменных. Предел. Непрерывность..Основные определения и обозначения.....понятие функции нескольких переменных.... 3.Предел функции нескольких переменных.... 3 4.Непрерывность

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков.

ЛЕКЦИЯ N21. Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков. ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия

Глава 3. Функция нескольких переменных. 1. Основные понятия Глава 3 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Пусть имеется n+1 переменная 1,,, n,, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных 1,,, n соответствует единственное

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми.

равны нулю. При формальных операциях с нулями обращаемся с ними как с бесконечно малыми. Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4.

1 1 c) n n. 1 1 b) n. lim. lim. lim. lim. 1. Найти общий член последовательности 0,,,,. 2. Найти. a) 28 7 b) 7 c) 7 d) Найти. 4. Найти общий член последовательности,,,, ) Найти b) lim ( ) c) 9 7 7 ) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ( )!! lim ( )! ) b) c) Найти 6 si lim si d) ) b) c) d) d) ( ) Найти lim [ (l( ) l )] ) b) c) e d) l 6 Найти

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы 1 Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных α β Каф. ВМ Функции многих переменных 3. Производные и дифференциалы

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр,

Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, Вопросы и задачи к экзамену по математическому анализу I семестр, - Тема Числовые множества и последовательности Определения Сформулируйте определение: ограниченного множества вещественных чисел ограниченного

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Верхние и нижние грани числовых множеств. Поле действительных чисел. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Определители. Свойства определителей, методы

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2

КРАТКИЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Часть 2 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» НВ ПОНОМАРЕВА, ТА ТАРАСОВА КРАТКИЙ

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2

Вариант 18. Область определения данной функции определяется неравенством 1. 2 или x 2 / 3. Из правого неравенства x 2 или x 2 Вариант Найти область определения функции : arccos Область определения данной функции определяется неравенством Освободимся от знака модуля: Если то Из левого неравенства находим или / Из правого неравенства

Подробнее