Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ 3.1. Двойные интегралы"

Транскрипт

1 Глава III ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, РЯДЫ Двойные интегралы ЛИТЕРАТУРА: [], гл; [], глii; [9], гл XII, 6 Для решения задач по этой теме необходимо, прежде всего, разобраться в правилах перехода от двойного интеграла по правильной области к двукратному повторному интегралу: если правильная область, ограниченная в направлении оси Oу линиями: ϕ, ϕ, a b, ϕ, ϕ b ϕ b ϕ то f, dd a d ϕ f, d a ϕ f, d d Обратите внимание на переход в двойном интеграле к полярным координатам Изучите геометрические и механические приложения двойного интеграла Вопросы для самопроверки В чем состоит геометрический смысл двойного интеграла? Каковы свойства двойного интеграла? Какая область называется правильной? Как свести двойной интеграл по правильной области к двукратному повторному? Каковы правила перехода в двойном интеграле к полярным координатам? 6 Как вычисляется объем тела с помощью двойного интеграла? Как вычисляется площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?

2 8 Как вычисляется масса и центр тяжести плоской пластины при заданной поверхностной плотности? Функции комплексного переменного ЛИТЕРАТУРА: [], глvi; [], гл VIII; [9], гл XIV,, гл XVIII, - Перед решением задач по этой теме необходимо усвоить понятие комплексного числа Следует знать, что представляет собой мнимая единица, как найти действительную и мнимую части комплексного числа, как изображается комплексное число на плоскости, что такое сопряженное комплексное число Нужно уметь: находить модуль и аргумент комплексного числа, переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую и показательную формы, складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень и извлекать корни из комплексных чисел, представленных в различных формах При изучении функции комплексного переменного следует обратить внимание на особенности областей определения и значений функции Нужно уметь выделить действительную и мнимую части функции комплексного переменного, найти предел функции, рассмотреть основные элементарные функции комплексного переменного Необходимо изучить понятие производной, необходимые и достаточные условия дифференцируемости условия Эйлера Даламбера функции комплексного переменного, понятие аналитической функции и дифференциала аналитической функции Вопросы для самопроверки Что называется комплексным числом? Что такое мнимая единица? Какие комплексные числа называются сопряженными? Что представляет собой комплексная плоскость? Как можно задать комплексное число на плоскости? 8

3 6 Что такое модуль и аргумент комплексного числа? По каким формулам они вычисляются? Какая форма записи комплексного числа называется алгебраической? тригонометрической? показательной? 8 Как выполняются действия сложение, вычитание, умножение, деление над комплексными числами в алгебраической форме? 9 Как выполняются действия умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня над комплексными числами в тригонометрической форме? Дайте определение функции комплексного переменного Что представляют собой действительная и мнимая части функции комплексного переменного? Что называется пределом функции комплексного переменного в точке? Что называется производной функции комплексного переменного в точке? В чем состоят необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного? Какая функция комплексного переменного называется аналитической? Ряды ЛИТЕРАТУРА: [], гл, ; [], гл ; [], гл IV, V, VI; [9], гл XIV До решения задач этой темы изучите основные признаки сходимости для числовых рядов необходимый признак сходимости, признаки сравнения рядов, признак Даламбера, признаки Коши, признак Лейбница Далее рассмотрите понятия абсолютной и условной сходимости числовых рядов Разберите метод отыскания радиуса сходимости степенного ряда, основанный на признаке Даламбера 9

4 В приложениях степенных рядов к приближенному вычислению определенного интеграла вам потребуются следующие разложения элементарных функций в степенные ряды: e K K;!! s!! K K;! < < ; cos K K; < < ;!!! l K K; < < Обратите внимание на то, что приближенное вычисление определенного интеграла нередко приводит к представлению его в виде суммы сходящегося знакочередующегося ряда с невозрастающими по абсолютной величине членами При вычислении такого интеграла с требуемой точностью нужно просуммировать столько членов соответствующего ряда, чтобы абсолютная величина первого отброшенного члена не превосходила заданной точности При изучении рядов Фурье обратите внимание на способы разложения в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [, l] Если эту функцию продолжить на отрезок [-l, ] четным образом, то полученное при этом разложение в ряд Фурье будет содержать лишь косинусы кратных дуг и будет представлять данную функцию на заданном отрезке [, l] При разложении функции, заданной на отрезке [, l], в ряд только по синусам кратных дуг необходимо продолжить функцию нечетным образом Вопросы для самопроверки Какой ряд называется сходящимся расходящимся? Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда Сформулируйте признаки сравнения знакоположительных рядов В чем состоит признак Даламбера? Для каких рядов применяется признак Лейбница? В чем его сущность?

5 ряда функции? 6 Как найти радиус сходимости степенного ряда? Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного 8 Как вычисляются коэффициенты ряда Маклорена для заданной 9 Напишите разложения в ряд Маклорена функций α arctg, arcs, e, s, cos, Как используются степенные ряды в приближённых вычислениях? СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ Если область интегрирования представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми a и b и кривыми ϕ и ϕ, причём функции ϕ и ϕ непрерывны и таковы, что ϕ ϕ для всех [ a; b] такая область называется правильной в направлении оси O: любая прямая, параллельная оси O, пересекает границу области не более чем в двух точках, то двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах вычисляется по формуле f ; dd d b a ϕ ϕ f ; d Если же область ограничена прямыми c и d c < d, кривыми ψ и ψ, причём ψ ψ для всех [ c; d], те область cost, то двойной интеграл в декартовых прямоугольных координатах вычисляется по формуле f ; dd d c d ψ ψ f ; d Если функции ϕ u; v и ψ u; v имеют в некоторой области * плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

6 d d I u; v du d dv, d du dv а функция f ; непрерывна в области, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле: f ; dd f u; v; ψ u; v * ϕ I u; v dudv Геометрические и физические приложения двойного интеграла: а V f, dd - объем цилиндрического тела, координаты точек σ которого удовлетворяют условиям ; σ, z f,; б S dd - площадь плоской области σ; σ ' ' в S f f dd - площадь поверхности, заданной σ уравнением zf, и имеющей проекцией на плоскость область σ; г m ρ, dd - масса пластинки, где ρ, плотность пластинки в точке ;; σ M M д координаты центра масс пластинки: c, c, где m масса m m пластинки, M ρ, dd и M ρ, dd - статические моменты σ пластинки относительно осей, ; σ σ е J ρ, dd - момент инерции пластинки относительно оси ; J ρ, dd - момент инерции пластики относительно оси ; σ J ρ, dd - момент инерции пластинки относительно начала координат σ Алгебраическая форма комплексного числа z, где х и у действительные числа, a так называемая мнимая единица, -

7 6 z rcosϕ s ϕ - тригонометрическая форма комплексного числа, где r - модуль и ϕ - аргумент комплексного числа Модуль r z однозначно определяется по формуле r z 8 Аргумент ϕ определяется по формуле ϕ arctg arg z arctg arctg для внутренних точек I и IV четвертей; для внутренних точек II четверти; для внутренних точек III четверти числа 9 Показательная или экспоненциальная форма ϕ z re комплексного Сумма двух комплексных чисел z z Произведение комплексных чисел z z z, z z r cos ϕ s ϕ r cosϕ s ϕ r r [cos ϕ ϕ s ϕ ϕ] Формула Муавра z [ rcosϕ sϕ ] r cos ϕ s ϕ z Частное двух комплексных чисел cosϕ sϕ cosϕ sϕ z r r z s z cos ϕ ϕ ϕ ϕ r r Извлечение корня из комплексного числа r ϕ k ϕ k cosϕ sϕ r cos s Функция комплексного переменного z f u ; v ; f u v u v 6 Условия Эйлера Даламбера,, где k,,,, Формулы вычисления производной функции комплексного переменного

8 u v f z, u u f z, v v f z, v u f z 8 a a a a a - числовой ряд, если a, a, a,,a, бесконечная числовая последовательность, где a f общий член ряда S a, S a a, S a a a,, S a a a a, последовательность частичных сумм Ряд a называется сходящимся, если lm S, S где S число сумма ряда ряда 9 Необходимое условие сходимости ряда: если ряд a сходится, то lma Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов: если для a a, a > существует lm ρ, то a а при ρ< ряд сходится, б при ρ> ряд расходится Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов: если для ряда a a a a a, где a > выполняются условия: a > a > a > > a > и lma, то ряд сходится Радиус сходимости степенного ряда a a равен R lm a КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА В ЗАДАЧАХ требуется вычислить двойной интеграл, если область ограничена линиями

9 ; ; d d, : d d, : ; ; ; d d, : ; d d, : ; ; ; d d d d, : ; 6, : ; ; d d, : 8 ; d d, : a d d ; 9, : d d, : a ; ; d d, : d d, : ; ; х у d d, : х d d, : s ; ; ; d d, : 6 d d, : ; ; ; d d, : 8 d d, : ; ; 9 cos d d, : ; e d d, : ; Решение типовой задачи Задача Вычислить двойной интеграл dd, если область ограничена линиями,,

10 Решение Построим область Первая линия - парабола с вершиной в точке ; Вторая линия ось Ох Третья линия прямая Решая совместно данные уравнения, найдем координаты точек пересечения первой и третьей линий: ; ; и ; Аналогично найдем координаты точки пересечения первой и второй линий: ; ; координаты точки пересечения второй и третьей линий: ; На рис 8 изображена область интегрирования Она правильная в направлении оси O, так как любая прямая, параллельная данной оси, проходящая через внутренние точки области, пересекает границу только в двух точках Для данной области Снизу область ограничена линией осью O, слева параболой, справа - прямой Поэтому для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой: dd d 6 d Вычисляем внутренний интеграл, считая постоянным:

11 d Далее, подставив полученное выражение во внешний интеграл, вычисляем его: 6 d, В ЗАДАЧАХ требуется изменить порядок интегрирования в повторном интеграле и изобразить область интегрирования на чертеже d, f d d f d,, d f d у у dх, f d d f d, 6 9 х х d, f d у у dх, f dу 8, d f d 9 d, f d d, f d х, d f d d f d, d, f d

12 d f, d d f, d e l d f, d e l d f, d 6 d f, d d f, d d f, d 8 d f, d 9 d f, d d f, d d Решение типовой задачи Задача Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле f ; d Решение По пределам интегрирования повторного интеграла восстановим область интегрирования Границы искомой области задаются следующими уравнениями: ; ; ; Таким образом, область представляет собой треугольник ОАВ с вершинами О ;, А ; ; В ; рис 9 Вид области показывает, что при другом порядке интегрирования следует разбить область на две области треугольник OCB и треугольник CAB С учетом границ этих областей получим: d f ; d d f ; d d f ; d 8

13 В ЗАДАЧАХ 6 необходимо с помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями ; ; 6 9 ; 9 6 ; 6 ; ; 8 9; 9 9 ; 9 9 ; 9 ; 6; 6 ; ; 9 ; 6 9 ; 9 ; 8 ; 9

14 9 9; ; Решение типовой задачи Задача Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 9 и Решение Площадь плоской фигуры, занимающей область плоскости O, вычисляют по формуле S dd В рассматриваемом случае первая линия представляет собой эллипс, вторая прямую линию Исходя из уравнений, построим линии и выделим область рис Как следует из рисунка, фигура ограничена кривыми: Поэтому и при S dd d d d d

15 costdt t s t t costdt d st, d t s t dt t cos tdt cos ед площади Таким образом, S ед площади В ЗАДАЧАХ 6 8 требуется записать в алгебраической форме следующие комплексные числа

16 Решение типовой задачи Задача Записать в алгебраической форме комплексное число 6 Решение При вычислении воспользуемся известными из школьного курса математики формулами сокращенного умножения: В вычислениях было учтено, что ; ; и проведено умножение числителя и знаменателя дроби на число, сопряженное со знаменателем Таким образом, z 6 6 В ЗАДАЧАХ 8- необходимо комплексные числа, записанные в алгебраической форме, изобразить векторами на комплексной плоскости, найти их модуль и аргумент и представить в тригонометрической и показательной формах

17 8 z 8 z 8 z 8 z 8 z 86 z 8 z 88 z 89 z 9 z 9 z 9 z 9 z 9 z 9 z 96 z 9 z 98 z 99 z z Решение типовой задачи Задача Комплексное число z изобразить вектором на комплексной плоскости, найти модуль и аргумент и представить в тригонометрической и показательной формах Решение Комплексное число z Отсюда следует, что действительная часть числа, мнимая часть равна Точка М, изображающая комплексное число, лежит во второй четверти комплексной плоскости Её координаты ; Соединим вектором начало координат с точкой М рис Найдём модуль и аргумент комплексного числа: z r ; ϕ arg z arctg

18 Значит, s e z cos В ЗАДАЧАХ - следует найти все значения корней из комплексного числа

19 z Решение типовой задачи Задача Найти все значения корней из комплексного числа Решение Корни из комплексного числа z вычисляются по формуле r ϕ k ϕ k cosϕ sϕ r cos s В предыдущем типовом примере было найдено Следовательно,, где k,,,, z cos s ; r ; ϕ / k / cos s k Отсюда получаем три значения корня 6 cos s z,,где k,, 6 cos s z, cos s z На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равностоящие друг от друга точки z, z, z, расположенные на окружности радиуса 6 В ЗАДАЧАХ - требуется проверить, является ли заданная функция z w f аналитической, и если да, то найти значение производной в заданной точке z w z, z w z, z w z z, z z w ze, z

20 z w e, z 6 w z z, z 6 w, z 8 w z z 9 w z e, z, z z w z z, z z w e, z w z z, z z w z z, z w e, z w z z, z w z z, z 6 w z, z z 8 w z, z 9 w z z z, z w z z, z z Решение типовой задачи Задача Проверить, является ли функция w e z аналитической, и если да, то найти значение производной в заданной точке Решение z Представим заданную функцию в виде w u ; v ; действительную и мнимую части функции w e z u e и определим e e e cos s ; e cos ; v ; e s Найдём частные производные этих функций, которые непрерывны на плоскости O : ; u v e e u s ; e cos ; v cos ; e s 6

21 u v Условия Эйлера Даламбера, u v выполняются при всех значениях и, следовательно, функция e z w является дифференцируемой и аналитической на всей комплексной плоскости z, z e e z w ; w e e В ЗАДАЧАХ -: следует а исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знаконоположительный ряд; б исследовать на сходимость с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд; в найти радиус сходимости степенного ряда и исследовать на сходимость ряд на концах интервала сходимости а ; б ; в а ; б ; в а ; б ; в а ; б ; в а ; б ; в 6 а ; б ; в а ; б ; в 8 а ; б ; в 9 а ; б ; в

22 8 а ; б ; в а ; б ; в а ; б ; в а ; б ; в а ; б ; в а ; б ; в 6 а ; б ; в а ; б ; в 8 а ; б ; в 9 а ; б ; в 8 а 8 ; б ; в Решение типовых задач Задача Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд Решение Общий член ряда а

23 Тогда а В соответствии с признаком Даламбера вычислим предел: a d lm lm lm lm a Так как d<, то ряд сходится Задача С помощью признака Лейбница исследовать сходимость знакочередующегося ряда: Решение Рассмотрим абсолютные величины членов исходного ряда: При этом u и u > или u >u Таким образом, члены исследуемого ряда монотонно убывают по абсолютной величине Кроме того lm Следовательно, выполнены оба условия признака Лейбница, а значит, исследуемый ряд сходится Задача Найти радиус сходимости степенного ряда: Определить характер сходимости ряда на концах интервала сходимости Решение Общий член ряда u Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера Найдём предел 9

24 u d lm lm u lm lm При <, те при < <, исходный ряд сходится абсолютно Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала сходимости, те в точках ; При заданный принимает вид: Это числовой знакочередующийся ряд Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится условно, те точка принадлежит области сходимости заданного степенного ряда При исходный ряд принимает вид: Это числовой знакоположительный расходящийся ряд сравните его с гармоническим рядом Следовательно, точка х не принадлежит области сходимости заданного степенного ряда Таким образом, область сходимости исходного степенного ряда < Вне этого интервала ряд расходится В ЗАДАЧАХ -6 необходимо вычислить определенный интеграл с точностью до, путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда s d e d

25 9 s e d d l d 6 e d s d 8 cos d 9 e d 8 s d s d s d e s d d l d 6 s d 9 cos d 8 e d 9 e d 6 l d Решение типовой задачи Задача Вычислить с точностью до, интеграл e d, путем предварительного разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования этого ряда

26 Решение В разложении функции e в степенной ряд!!! e заменим на х Тогда получим:!!! e Умножая этот ряд почленно на, будем иметь:!!! e 8 6 Следовательно, 8 6!! d!!! d e 9 6 Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница Третий член этого ряда по абсолютной величине меньше,, поэтому для обеспечения требуемой точности достаточно просуммировать первые два члена ряда Итак,, d e 6 В ЗАДАЧАХ 6-8 требуется разложить заданную функцию f в ряд Фурье по косинусам на отрезке [, ] 6 fх 6 fх

27 6 fхх 6 fх 6 fх х 66 fх х 6 fхх 68 fх х 69 fх х fх х fхх fх fх х fх х fх х 6 fхх fх х 8 fх 9 fх8 х 8 fхх 8 Решение типовой задачи Задача Разложить функцию f отрезке [, ] Решение в ряд Фурье по косинусам на Так как по условию ряд должен содержать только косинусы кратных дуг, то следует продолжить заданную функцию на отрезок [-, ] четным образом Для определения коэффициентов ряда Фурье применяем формулы: a f d, a f cos d,,, Отсюда a a d cos d cosd,

28 u, du d, dv cos d, v s s s d cos cos cos cos, если - четное,, если - нечетное Таким образом, искомое разложение имеет вид: cos cos cos КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ III семестр Двойной интеграл определение и свойства двойного интеграла Вычисление двойного интеграла простейшие случаи и изменение порядка интегрирования в двойном интеграле Привести примеры Вычисление двойного интеграла общий случай Вычисление двойного интеграла в полярных координатах Привести пример Замена переменных в двойном интеграле Привести пример 6 Применение двойных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, объёмов тел, массы плоских фигур Привести пример Комплексные числа Геометрическое изображение комплексных чисел Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

29 8 Действия над комплексными числами в алгебраической форме Привести примеры 9 Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах Привести примеры Возведение в целую положительную степень и извлечение корня -й степени из комплексного числа Привести примеры Области и линии на комплексной плоскости Понятие функции комплексного переменного Предел и непрерывность функции комплексного переменного Производная функции комплексного переменного Условие Коши- Римана Понятие аналитической функции Сопряженные гармонические функции Числовой ряд и его сумма Сходимость числовых рядов Свойства сходящихся рядов Ряд геометрической прогрессии 6 Необходимый признак сходимости числового ряда Гармонический ряд Достаточные условия сходимости рядов с положительными членами Признак сравнения Предельный признак сравнения Привести примеры 8 Признак сходимости Даламбера Радикальный признак Коши Привести примеры 9 Интегральный признак сходимости Коши Привести пример Знакочередующиеся ряды Признак Лейбница Привести пример Знакопеременные ряды Абсолютная и условная сходимость рядов Привести пример Функциональные ряды Степенные ряды Теорема Н Абеля Интервал сходимости Радиус сходимости Привести пример Теоремы о сходимости степенных рядов Свойства степенных рядов

30 Разложение функций в степенные ряды Ряд Маклорена для некоторых элементарных функций 6 Ряды с комплексными членами Формулы Эйлера Ряд Тейлора Ряды Тейлора элементарных функций 8 Периодические функции Периодические процессы Понятие о гармоническом анализе 9 Тригонометрический ряд Ряд Фурье Сходимость ряда Фурье Ряд Фурье для функции f с периодом Коэффициенты Фурье Достаточные условия разложения периодической функции f с периодом в ряд Фурье теорема Дирихле Приближенные числа Форма записи приближенных чисел Правило округления Абсолютная и относительная погрешности приближенных чисел Виды погрешностей Привести примеры Абсолютная и относительная погрешности при сложении и вычитании, умножении и делении приближенных чисел, возведении в степень и извлечении корня из приближенных чисел Привести примеры Погрешности вычисления значений функций Привести примеры Приближенное решение уравнений метод хорд, метод касательных, комбинированный метод хорд и касательных Приближенное решение уравнений метод итераций, метод проб 6 Обработка экспериментальных данных Нахождение приближающей функции в виде элементарных функций примеры уравнений Интерполирование функций Интерполяционные формулы Ньютона 8 Интерполирование функций Интерполяционная формула Лагранжа 9 Метод наименьших квадратов Численное дифференцирование Приближенное вычисление определенных интегралов Привести Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных 6

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 15 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

Подробнее

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых

17.5. Первый замечательный предел Второй замечательный предел 18. Эквивалентные бесконечно малые функции Сравнение бесконечно малых Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В.

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В. Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания и контрольные задания Рязань 5 УДК

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие к девятому изданию...9 Предисловие к пятому изданию Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к девятому изданию.....9 Предисловие к пятому изданию... 11 Г Л А В А I ЧИСЛО, ПЕРЕМЕННАЯ, ФУНКЦИЯ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси...

Подробнее

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности.

~ 1 ~ Ряды. Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. ~ ~ Ряды Числовой ряд и его сумма. Определение: Числовым рядом называется сумма членов бесконечной числовой последовательности. Определение: Общим членом ряда называется такое его слагаемое, для которого

Подробнее

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного

Фонд оценочных средств по теории функций комплексного переменного Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Основные понятия теории рядов Критерий Коши сходимости числового ряда Необходимый признак сходимости числовых рядов Достаточные признаки

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Н.В. Комиссарова МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» НВ Комиссарова МАТЕМАТИКА Часть 6 РЯДЫ Методические указания для студентов -го и -го курсов

Подробнее

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие

Пензенский государственный педагогический университет имени В.Г.Белинского. О.Г.Никитина РЯДЫ. Учебное пособие Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского РЯДЫ ОГНикитина Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского совета Пензенского государственного педагогического

Подробнее

Теория рядов 1. Теория рядов

Теория рядов 1. Теория рядов Теория рядов 1 Теория рядов ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Решение задачи представленной в математических терминах например в виде комбинации различных функций их производных и интегралов нужно уметь довести до числа

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности «Математика» (2 семестр) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математического анализа МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Методические указания

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1.я7

УДК 51(075.8) ББК 22.1.я7 УДК 5(758) ББК я7 Рецензенты: кандидат физико-математических наук доцент кафедры информатики и прикладной математики ТвГТУ Пиджакова ЛМ; кандидат физико-математических наук доцент кафедры математических

Подробнее

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен

Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям); Преподаватель: Шарапова Н.А. Студент должен Министерство труда, занятости и трудовых ресурсов Новосибирской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Новосибирской области «Новосибирский радиотехнический колледж»

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

( ) ( ) K ( ) u x u x u x

( ) ( ) K ( ) u x u x u x Лекция. Функциональные ряды. Определение функционального ряда Ряд, членами которого являются функции от x, называется функциональным: u = u ( x ) + u + K+ u + K = Придавая x определенное значение x, мы

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

Математический анализ Конспект лекций

Математический анализ Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Математический анализ Конспект лекций для направления

Подробнее

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание

РЯДЫ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. В.А. Волков. Учебное электронное текстовое издание Министерство образования и науки Российской Федерации ВА Волков РЯДЫ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Учебное электронное текстовое издание Для студентов специальностей 4865 Электроника и автоматика физических установок;

Подробнее

Математика для направления торговое дело

Математика для направления торговое дело Математика для направления 8..6 торговое дело Контрольные вопросы по курсу Математика семестр. п мерные векторы. п мерное векторное пространство.. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц..

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Подробнее

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость.

Комплексные числа. Операции над комплексными числами. Комплексная плоскость. Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I семестр 2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I Элементы линейной алгебры I семестр 1. Определители. Свойства определителей. 2. Матрицы. Виды

Подробнее

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр)

Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) Вопросы для экзамена 1-й курс (1-й семестр) 1. Определения основных операций над множествами. 2. Законы дистрибутивности для операций над множествами. 3. Произведение множеств, простейшие свойства произведений

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Математический анализ Ряды

Математический анализ Ряды Тема 6. Пределы последовательностей и функций, их свойства и приложения Математический анализ Ряды Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть 3 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Кафедра «Математика»

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Е.И. Федорако Минск 7 7 Кафедра

Подробнее

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда

Степенные ряды. числовой ряд; функциональный ряд. u n x функции по классам функций u n x. u n числа по изменению знаков членов ряда u ; u числа, числовой ряд; u числа по изменению знаков членов ряда знакопостоянные знакоположительные знакопеременные знакочередующиеся k= u степенные u ; u функции, функциональный ряд u функции по классам

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Тематика контрольных (самостоятельных) работ

Тематика контрольных (самостоятельных) работ Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (государственный технический университет)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (государственный технический университет) МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ государственный технический университет) Н И САВОСТЬЯНОВА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению расчетно-графической работы по математическому анализу Рекомендовано учебно-методической

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика

Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки физика Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

Подробнее

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции.

Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные,

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Биологический факультет Московский Государственный Университет имени МВ Ломоносова Биологический факультет УТВЕРЖДАЮ " " 00 г Рабочая программа дисциплины Высшая математика Направление подготовки Биология Профили подготовки Форма

Подробнее

Функциональные ряды. Лекции 7-8

Функциональные ряды. Лекции 7-8 Функциональные ряды Лекции 7-8 1 Область сходимости 1 Ряд вида u ( ) u ( ) u ( ) u ( ), 1 2 u ( ) где функции определены на некотором промежутке, называется функциональным рядом. Множество всех точек,

Подробнее

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

О. В. Афонасенков, Т. А. Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ, РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ О В Афонасенков Т А Матвеева ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дисциплины ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды.

ЛЕКЦИЯ N26. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. ЛЕКЦИЯ N6. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды..знакочередующиеся ряды.....знакопеременные ряды.....признаки Даламбера

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра-

7. Общие понятия. U n (x),n N, определены в области D. Выра- Глава Функциональные ряды 7 Общие понятия U (), N, определены в области D Выра- Определение 7 Пусть функции жение () U() U() U(), D U (5) называется функциональным рядом Каждому значению D соответствует

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Министерство образования Республики Беларусь. Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ (ЗАЧЕТУ) ПО РАЗДЕЛУ «РЯДЫ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ

Подробнее

I. Цель и задачи курса

I. Цель и задачи курса Аннотация дисциплины «Математический анализ» Направления подготовки: 01.03.02 «Прикладная математика и информатика» Профиль подготовки: Системное программирование и компьютерные технологии" Квалификация

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ

Программа экзамена по математике. Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Подробнее

Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С.

Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С. Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С. ПЛЮСНИНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методическое пособие для студентов

Подробнее

понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины (ПК-15).

понимание концепций и абстракций, способность использовать на практике базовые математические дисциплины (ПК-15). 2 1. Цели и задачи дисциплины Дисциплина «Кратные интегралы и ряды» призвана расширить имеющиеся у студентов знания в области математического анализа. Эти знания необходимы как при проведении теоретических

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А

П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П Р О Г Р А М М А ( С О Д Е Р Ж А Н И Е ) ( В О П Р О С Ы ) Э К З А М Е Н А П О В Ы С Ш Е Й М А Т Е М А Т И К Е З А 4 С Е М Е С Т Р Д Л Я С Т У Д Е Н Т О В Г Ф 2 1-4, 7-8. Май 2011 г. Лектор Лисеев И.А.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ. В.Н. Алексеев, Д.А. Приказчиков, В.В. Ридель РЯДЫ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ВН Алексеев, ДА Приказчиков, ВВ Ридель РЯДЫ Утверждено редакционно-издательским советом РОАТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 9 5 УДК 575(75)

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

53 Тел.: (473)

53 Тел.: (473) Данилова ОЮ Синегубов СВ МАТЕМАТИКА РЯДЫ Учебное пособие Издано в авторской редакции по решению методического совета института Воронежский институт МВД России Все права на размножение и распространение

Подробнее

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Основные понятия 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексным числом называется выражение вида i, где и действительные числа, i мнимая единица, удовлетворяющая условию i 1 Число называется действительной частью комплексного

Подробнее

2. Сформулировать и доказать теоремы о почленном дифференцировании и почленном интегрировании

2. Сформулировать и доказать теоремы о почленном дифференцировании и почленном интегрировании Билет 1 1. Дать определение и вывести свойства двойного интеграла. Геометрический смысл двойного интеграла. Формулировка теорема существование. Билет 2 1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики

Подробнее

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА Шифр, наименование дисциплины (модуля)

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА Шифр, наименование дисциплины (модуля) АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА Шифр, наименование дисциплины (модуля) С2.Б.1 Математика Направление 23.05.01Наземные транспортно-технологические средства подготовки Наименование ОПОП

Подробнее

Решение типового варианта. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Решение типового варианта. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы типового варианта Кратные криволинейные и поверхностные интегралы Задание Изобразите фигуру площадь которой выражается повторными интегралами Найдите эту площадь непосредственно по рисунку и с помощью

Подробнее

Указывается трудоемкость в зачетных единицах.

Указывается трудоемкость в зачетных единицах. Аннотация рабочей программы дисциплины Б2. Б1 «Математический анализ» Направление подготовки 010500.62 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем, бакалавр 1. Цели и задачи дисциплины

Подробнее

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение

Пусть задана последовательность чисел a 1, a 2,..., a n,... Числовым рядом называется выражение џ. Понятие числового ряда. Пусть задана последовательность чисел a, a 2,..., a,.... Числовым рядом называется выражение a = a + a 2 +... + a +... (.) Числа a, a 2,..., a,... называются членами ряда, a

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Математический анализ

Кафедра высшей математики ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИКА. Модуль Математический анализ Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и человека «Дубна» (университет «Дубна») Кафедра

Подробнее

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр

20-е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр -е занятие. Степенные ряды. Ряды Тейлора Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти радиус сходимости степенного ряда, используя признак Даламбера: ( 89 ( ) n n (n!) ) p (n + )! n= Ряд Тейлора f(x)

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

3. Используемые методы обучения

3. Используемые методы обучения 3.2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ Семестр I Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Практическое занятие 1 1. Цель: Рассмотреть задачи на вычисление определителей второго

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O

Комплексные числа. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости O Комплексные числа I Комплексные числа в алгебраической форме Определение Комплексным числом называется выражение вида где и действительные числа число называется мнимой единицей: Числа и называются соответственно

Подробнее

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ

СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ СТРУКТУРА АПИМ И ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ ООП: 120103.65 Космическая геодезия Дисциплина: Математика Время выполнения теста: 80 минут Количество заданий: 45 ТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА АПИМ N ДЕ Наименование

Подробнее

Дисциплина Математика

Дисциплина Математика Дисциплина Математика 1. Цель и задачи дисциплины Место дисциплины в структуре основной профессиональной образовательной программы Дисциплина «Математика» относится к вариативной части Блока 1 (Б1.В.04)

Подробнее