Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции"

Транскрипт

1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая прямая и множества на ней Функция. Область ее определения. Способы задания Элементы теории множеств Множество одно из фундаментальных понятий математики. Синонимы - система совокупность группа семейство Множество можно определить как совокупность объектов объединенных по определенному признаку. Объекты множества называются элементами множества. Множества обозначаются заглавными буквами алфавита A B C прописными буквами a b c обозначаются элементы множества. Запись a A читается как «а принадлежит множеству А» знаком Ø обозначают пустое множество. Задание множества: перечислить его элементы например А={3}; определить правило принадлежности элемента множеству что соответствует записи А= {a правило}. Соотношения между множествами: А=В А В А В. Операции над множествами ) Суммой A + B или объединением A B двух множеств A и B называется множество состоящее из элементов множества A и множества B то есть A B = { x x A или x B}. Пример. А+ Ø=А. ) Произведением AB или пересечением A B двух множеств A и B называется совокупность элементов входящих как в A так и в B т.е. A B = { x x A и x B}. Пример. A Ø=Ø A B =Ø то A и B не пересекаются. 3) Разностью A \ B двух множеств A и B называется множество состоящее из всех элементов множества A не содержащихся во множестве B т.е. A \ B = { x x A и x B}. Пример. А- Ø=А. Множество вещественных чисел Число основное понятие математики используемое для количественной характеристики сравнения и нумерации объектов. Возникнув еще в первобытном обществе из потребности счета понятие числа с развитием науки значительно расширилось. Символами для записи чисел служат цифры Система исчисления десятичная позиционная основание системы исчисления число 0. Например в числе 333 = сотни 3 десятка и 3 единицы. Числовые множества Множество натуральных чисел N: N = {34...}. В нем всегда выполняются операции сложения и умножения в результате которых получается натуральное число. Операции вычитания и деления не всегда выполнимы в этом множестве.

2 Множество целых чисел Z: Z = { } N Z. В нем всегда можно выполнить сложение умножение и вычитание и получить число из этого множества. Но операция деления не всегда выполнима. m Множество рациональных чисел Q: Q = m Z n N N Z Q.В нем всегда n выполняется сложение умножение вычитание и деление и получается число из этого множества. Но в этом множестве не всегда выполнима операция извлечения корня и среди элементов этого множества нет бесконечных непериодических десятичных дробей. То есть нет чисел которые называются иррациональными. Множество вещественных действительных) чисел R: R = { Q I} N Z Q R. В этом множестве выполнимы все операции сложение умножение вычитание деление извлечение корней четной степени из положительных чисел извлечение корней нечетной степени. В результате получим вещественное число. Не выполнима операция извлечения корней четной степени из отрицательных чисел. Множество комплексных чисел С это множество являющееся расширением множества действительных чисел. N Z Q R C. Об этом множестве речь пойдет в следующей лекции. Аксиоматика вещественных чисел. Свойства операций над вещественными числами: Переместительное коммутативное). a + b = b + a a b = b a. a + b) + c = a + b + c) = a + c) + b Сочетательное ассоциативное). a b) c = a b c) = a c) b. Распределительное дистрибутивное). a + b) c = a c + b c. Существование единицы. a = a. Существование обратного элемента. a R a 0 a R aa =.. Аксиомы порядка: между элементами множества вещественных чисел определено отношение то есть для любой упорядоченной пары элементов a b R установлено выполняется соотношение a b или нет. При этом имеют место следующие свойства: Рефлексивность. a R a a Антисимметричность. a b R a b) b a) a = b) Транзитивность. a b c R a b) b c) a c) Линейная упорядоченность. a b R a b) b a) Связь сложения и порядка. a b c R a b) a + c b + c) Связь умножения и порядка a b R 0 a) 0 b) 0 a b). 3. Аксиома непрерывности: каковы бы ни были непустые множества A R B R такие что для любых двух элементов a A b B выполняется неравенство a b существует такое число ξ R что для всех a A b B имеет место соотношение a ξ b. На языке современной алгебры множества удовлетворяющие аксиомам первой и второй группы называются упорядоченными полями. Значит множеством вещественных чисел называется непрерывное упорядоченное поле. Числовая прямая и множества на ней Между множествами А и В установлено соответствие если по какому-либо закону или правилу любому элементу a A соответствует элемент b B. Соответствие называется взаимно однозначным если a Aсоответствует только один элемент из В и наоборот. Между множеством действительных чисел R и множеством точек на прямой установлено взаимно однозначное соответствие.

3 Изображение элементов числовых множеств на числовой оси: Числовые множества: [a b] отрезок a b) интервал a b] : [a b) полуинтервалы - b] [a + ) числовые лучи- + ) множество R. ε - окрестность точки с координатой а: O ε a) = a ε ; a + ε ). Точка a A называется внутренней точкой этого множества если О ε а) А граничной точкой если в любой окрестности а содержатся как точки принадлежащие А так и не принадлежащие А. Функция. Область ее определения. Способы задания Определение функции Постоянной величиной называется величина сохраняющая одно и то же значение. Пример. Отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина равная числу π 34. Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса то она называется параметром. Переменной называется величина которая может принимать различные числовые значения. Определение. Если каждому элементу х множества Х х Х) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y у Y) то говорят что на множестве Х задана функция у = f х). При этом х независимая переменная аргумент) у зависимая переменная функция) f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения существования) функции а множество Y областью значений функции. Если множество Х специально не оговорено то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х то есть множество таких значений х при которых функция у = f х) вообще имеет смысл. Пример. Найти область определения функции у = 0 х. Ответ. х - 0]. Способы задания функций:. Аналитический формулы). Это наиболее часто встречаемый способ задания функции он удобный и привычный для нас способ например y = cos x y = x Этим способом мы указываем правило по которому вычисляем значение функции при произвольном значении аргумента. Формулы это частный случай выражений под которыми понимаем грамматически правильно построенные слова. Выражения имеют вид: 7 + / арифметическое выражение; sin x + ln x - алгебраическое выражение; x - логическое выражение. Слово tg x] выражением не является. Некоторые последовательности букв могут иметь специальный смысл log lnlgsin cos tg ctg sh ch... Фраза «Функция f задана выражением f x) = sin x + ln x» означает что мы указываем правило по которому вычисляем значение функции при произвольном значении аргумента. Аргумент можно обозначать любой буквой кроме конечно 3

4 естественных исключений например f t) = sin t + lnt И это на результате вычисления значения функции не отразится. К выражениям применяют тождественные преобразования те есть преобразования приводящие к выражению задающему туже функцию что и исходное выражение. Такими преобразованиями являются например вынесение общего множителя за скобки применение формул сокращенного умножения формулы тригонометрической и логарифмической единицы и так далее..табличный. Это основной способ при экспериментальном исследовании какой-либо закономерности когда еще нет ни самой функции ни ее свойств ни графика. Как правило таблица состоит из двух строк. В первой перечисляются все значения аргумента во второй им соответствующие значения функции. х x i ух) y x ) i Это так называемые таблицы с одним входом. Есть другой вариант таблиц таблицы с двумя входами. у х x i y f x i y ) Для задания функции двух переменных этот вид таблицы более удобный нежели соответствующая таблица с одним входом x y) x y ) i f x y) f x i y ) Замечание. Как правило таблицей нельзя задавать функцию с бесконечной областью определения. Можно было бы считать исключениями из этого правила некоторые функции например прогрессии. 3. Графический. График функции это геометрическое место точек плоскости с координатами x f x)). Самый наглядный способ задания функции. На нем видны все свойства функции: монотонность непрерывность ограниченность экстремумы и т. д. 4. Словесный описание правилом). Правило вычисления функции можно описать словесно. Например объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений в котором длина больше ширины в раза а высота равна корню квадратному из суммы квадратов двух других измерений. Или когда функция на разных участках задается разными формулами x = { 0 x x x x < 0 Основные свойства функций ) Четность и нечетность. Четная если f -х) = f х) и нечетная если f -х) = - f х). В противном случае функция у = f х) не является ни четной ни нечетной. Примеры. у = х четная у = х 3 нечетная у = х - х 3 не является ни четной ни нечетной. ) Монотонность. Пусть х х Х и х >х. Функция у = f х) возрастает если f х )> f х ) и убывает если f х ) < f х ). 3) Ограниченность. Если существует М>0 что f х) М для любых х. 4) Периодичность. Если f х + Т) = f х) Т 0. 4

5 Явное задание: y = f x) неявное задание F x y) = 0. Например x + y = r неявное y = x явное задание. Функция y = f x) называется взаимно-однозначной если для любых x x x x выполняется f x ) f x ). Пусть y = f x) взаимно-однозначная функция. Тогда x = ϕ y) или y = ϕ x) или y = f x) x обратная функция по отношению к данной. Например показательная функция y = a a > 0 a и логарифмическая y = log a x a > 0 a взаимно обратные функции. Теорема. Если функция y = f x) строго монотонная на множестве X Y множество ее значений тогда: ) y = f x) взаимно однозначная на множестве X следовательно существует обратная f x ) на множестве Y ; ) f x) и f x) возрастают строго) одновременно убывают строго). Действительно. ). Пусть функция y = f x) строго монотонная на множестве X для определенности возрастающая. Это значит что для аргументов x < x выполняется неравенство y = f x ) < f x следовательно выполняется условие взаимной однозначности функции: для любых x x x x выполняется f x ) f x ). Тогда функцию y = f x) можно разрешить относительно переменной х: x = ϕ y). Заменив в этом выражении х на у получим обратную функцию по отношению к исходной: y = f x ). Область определения исходной функции будет областью изменения обратной функции а область изменения исходной функции областью определения обратной функции. Графики взаимно обратных функций будут симметричны относительно прямой y = x ). Рассуждения второй части теоремы проведем от противного. Пусть исходная функция строго возрастает то есть для аргументов x < x выполняется неравенство y = f x ) < f x обратная ей функция не возрастает то есть для аргументов x 3 < x4 выполняется неравенство y = f x3) f x4. Равенство из данного соотношения надо исключить так как f x ) взаимно однозначная функция. Учитывая что y = f x ) f x получим f x ) = y = f x3) > f x4 = f x ) отсюда имеем f x ) > f x ) что противоречит возрастанию исходной функции. Значит функции f x) и f x) строго возрастают и строго убывают одновременно. 5

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ уровня подготовки требованиям данной программы. Это не освобождает поступающего от необходимости знать перечисленные ниже понятия и факты. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

ПРОГРАММА. подготовки к вступительному испытанию по математике. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа

ПРОГРАММА. подготовки к вступительному испытанию по математике. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа ПРОГРАММА подготовки к вступительному испытанию по математике Настоящая программа составлена в соответствии с действующими государственными «Примерными программами вступительных экзаменов (испытаний)».

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тема Количество часов Количество контрольных работ 1 Математический язык. Математическая модель 16 1 2 Линейная функция 15 1 3 Степень с натуральным показателем

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка 2 Пояснительная записка Программа разработана на основе обязательного минимума содержания среднего (полного) общего образования по математике. На испытании по математике поступающий должен показать: а)

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 5 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава первая Арифметика и алгебра..................................... 6 1.1. Числа и действия с ними.............................

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1)

Вопросы к переводному экзамену в 11 класс (часть 1) Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей 1580 (при МГТУ им.

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Тема: Понятие функции

Тема: Понятие функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от

УТВЕРЖДЕНО Приказ Министра образования Республики Беларусь от Программа вступительных испытаний по учебному предмету «Математика» для лиц, имеющих общее среднее образование, для получения среднего специального или высшего образования І ступени, 2015 год УТВЕРЖДЕНО

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Основные математические понятия и факты

МАТЕМАТИКА. Основные математические понятия и факты Программа вступительного испытания по общеобразовательному предмету «Математика», входящего в перечень вступительных испытаний по основной образовательной программе высшего образования. Программа составлена

Подробнее

1. Пояснительная записка. 2. Структура и содержание программы вступительных испытаний по математике

1. Пояснительная записка. 2. Структура и содержание программы вступительных испытаний по математике 1. Пояснительная записка Программа вступительных испытаний по математике включает в себя элементы содержания за курс средней (полной) школы (базовый уровень) и необходимые элементы содержания курс основной

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ СОБЕСЕДОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Тема 1. Арифметические вычисления. Преобразование алгебраических выражений

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ СОБЕСЕДОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Тема 1. Арифметические вычисления. Преобразование алгебраических выражений СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ СОБЕСЕДОВАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Тема 1. Арифметические вычисления. Преобразование алгебраических выражений Действительные числа. Свойства арифметических действий с действительными числами. Сравнение

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В УрФУ В 2012г. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ 1. Числовые множества. Арифметические действия над числами. Натуральные числа (N).

Подробнее

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1.

Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, учебный год. Часть 1. 1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике. 10-й класс, 2014-2015 учебный

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ НА БАЗЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ НА БАЗЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ НА БАЗЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Арифметика, алгебра и начала анализа. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Частное образовательное учреждение высшего образования «Ставропольский университет»

Министерство образования и науки Российской Федерации. Частное образовательное учреждение высшего образования «Ставропольский университет» Министерство образования и науки Российской Федерации Частное образовательное учреждение высшего образования «Ставропольский университет» ПРОГРАММА вступительных испытаний по дисциплине «Математика» Ставрополь,

Подробнее

Общие указания. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа

Общие указания. I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Арифметика, алгебра и начала анализа Общие указания На экзамене по математике поступающий должен показать: четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы; умение точно и сжато

Подробнее

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К СОБЕСЕДОВАНИЮ ПО МАТЕМАТИКЕ ВВЕДЕНИЕ Программа по математике для поступающих в ГО ВПО «ДонНУЭТ имени Михаила Туган-Барановского» отвечает Программе среднего общего образования по математике для поступающих в высшие учебные заведения

Подробнее

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 22»

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 22» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лицей 22» Рабочая программа учебного предмета «Математика (алгебра)» (углубленный уровень) для 9 класса 2016-2017 учебной год Согласно федеральному базисному

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (МОСКОВСКИЙ ПОЛИТЕХ)

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Содержание тем учебного курса 1. Функции и их графики (14 часов, из них 1 час контрольная работа) Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных

Подробнее

1. Требования к уровню подготовки выпускников по учебному предмету «Решение задач по математике»

1. Требования к уровню подготовки выпускников по учебному предмету «Решение задач по математике» 1. Требования к уровню подготовки выпускников по учебному предмету «Решение задач по математике» В результате изучения предмета «Решение задач по математике» обучающийся должен знать/понимать значение

Подробнее

Программы испытаний по математике

Программы испытаний по математике Программы испытаний по математике 1. Основные математические понятия и факты Арифметика, алгебра и начала анализа Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель,

Подробнее

ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Основные понятия

ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Основные понятия ФГОУ ВПО «Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I» Программа вступительного испытания по математике для поступающих на бюджетную форму обучения Основные понятия

Подробнее

1. Выражения и преобразования 1.1 Корень степени n 1.2 Степень с рациональным показателем 1.3 Логарифм

1. Выражения и преобразования 1.1 Корень степени n 1.2 Степень с рациональным показателем 1.3 Логарифм 1. Выражения и преобразования 1.1 Корень степени n Понятие корня степени n Свойства корня степени n: Корень из произведения и произведение корней: упрощать выражение; находить значения Корень из частного

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНКУЛЬТУРЫ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ КУЛЬТУРЫ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ Тюмень

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3

4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 MA ksm-n4a-непрерывные функции 4. ЛЕКЦИЯ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. 3 4.. Непрерывные функции одной переменной. 3 4... Непрерывность функции в точке. 3 4... Точки разрыва, устранимые 9

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Государственный университет морского и речного флота имени адмирала

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ

П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ На экзамене по математике поступающий должен показать: - четкое знание математических

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ, ПРОВОДИМЫХ УНИВЕРСИТЕТОМ САМОСТОЯТЕЛЬНО Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского»

Подробнее

Досрочный экзамен по математике в форме ЕГЭ, 11 класс. 23 апреля 2013 г.

Досрочный экзамен по математике в форме ЕГЭ, 11 класс. 23 апреля 2013 г. Досрочный экзамен по математике в форме ЕГЭ, класс 3 апреля 3 г С Окружность радиуса 6 вписана в прямой угол Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках М и N Известно,

Подробнее

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ

Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ «УТВЕРЖДАЮ» Директор Федерального института педагогических измерений «СОГЛАСОВАНО» Председатель Научнометодического совета ФИПИ по математике Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Кодификатор элементов

Подробнее

Тематический план. 4 Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов. Строгие и нестрогие неравенства.

Тематический план. 4 Рациональные неравенства с одной переменной. Метод интервалов. Строгие и нестрогие неравенства. Тематический план Тема урока Часы Основные понятия Формулируемые знания и умения Повторение 6 1 Действия над 1 многочленами. Формулы сокращенного умножения. Основные методы разложения на множители 2 Формулы

Подробнее

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

( ) 0. Пример. Найти область определения D и множество значений Е функции y =. Лекция 4. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 4 ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие функции Способы задания функции Основные свойства функций Сложная функция 4 Обратная функция Понятие функции Способы задания функции Пусть D

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ ФГБОУ ВПО «ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Персиановский

Подробнее

ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования 9 кл.)

ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования 9 кл.) Утверждаю Ректор университета Председатель Приемной комиссии ВлГУ Морозов В. В. 2010 г. ПРОГРАММА по математике для проведения вступительных экзаменов в ВлГУ в 2010 г. (на базе основного общего образования

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования. «Брестский государственный технический университет» ПРОГРАММА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ. Учреждение образования. «Брестский государственный технический университет» ПРОГРАММА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» ПРОГРАММА собеседования для иностранных абитуриентов по предмету «МАТЕМАТИКА» Разработана:

Подробнее

Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство

Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство Негосударственная образовательная организация среднего профессионального образования некоммерческое партнерство «Тульский колледж технологий, экономики и права» ПРОГРАММА вступительных испытаний по математике

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Лекция 1 Вещественные числа.

Лекция 1 Вещественные числа. Лекция 1 Вещественные числа. 1. Рациональные числа. Простейшими числами являются целые положительные числа 1, 2,..., используемые при счете. Они называются натуральными числами, и люди их знали так много

Подробнее

МАТЕМАТИКА Программа вступительных испытаний по математике в форме тестирования

МАТЕМАТИКА Программа вступительных испытаний по математике в форме тестирования Содержание Программа вступительных испытаний по математике в форме тестирования 4 Методические рекомендации для подготовки к тестированию... 4 Ключевые проблемы и темы, которые необходимо изучить при подготовке

Подробнее

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования

Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования Программа вступительного испытания по математике на базе основного общего образования На экзамене поступающий должен показать: а) чѐткое знание основных математических определений и теорем, предусмотренных

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Выражения и их преобразования Числовые выражения. Алгебраические выражения. Тождественно равные выражения. Формулы сокращенного умножения:

Выражения и их преобразования Числовые выражения. Алгебраические выражения. Тождественно равные выражения. Формулы сокращенного умножения: 7. Структура теста Числа и вычисления 4 задания (13,3 %). Выражения и их преобразования 3 задания (10 %). Уравнения и неравенства 11 заданий (36,7 %). Функции 4 задания (13,3 %). Геометрия 8 заданий (26,7

Подробнее

Рабочая программа. г. Гвардейск год. Наименование учебного предмета математика. Класс 10. Срок реализации программы, учебный год

Рабочая программа. г. Гвардейск год. Наименование учебного предмета математика. Класс 10. Срок реализации программы, учебный год РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ШКОЛА 2 гор. Гвардейска муниципального образования «Гвардейский городской округ» 238210, Калининградская область, тел/факс:

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними

Лекция 1.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Лекция.7. Расширение понятия числа. Комплексные числа, действия над ними Аннотация: В лекции указывается на необходимость обобщения понятия числа от натурального до комплексного. Вводятся алгебраическая,

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ. Тема 1. Арифметические вычисления. Преобразование алгебраических выражений

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ. Тема 1. Арифметические вычисления. Преобразование алгебраических выражений СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Тема. Арифметические вычисления. Преобразование алгебраических выражений Действительные числа. Свойства арифметических действий с действительными числами. Сравнение действительных

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

Программа по математике для поступающих в ИГХТУ

Программа по математике для поступающих в ИГХТУ Программа по математике для поступающих в ИГХТУ Настоящая программа состоит из трѐх разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий. Второй раздел

Подробнее

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Российский государственный педагогический университет им АИ Герцена МАТЕМАТИКА Часть II МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное пособие Под редакцией доктора педагогических наук Хамова

Подробнее

Дата. Ко л- во ча со в. Тема

Дата. Ко л- во ча со в. Тема Календарно- тематический план по математике для 0 класса 20 /20 учебный год 5 часов в неделю алгебра всего 70 часов 4 часа в неделю геометрия 36 часов всего 306 часов Преподаватель Тема I полугодие. Натуральные

Подробнее

Числовые функции и числовые последовательности

Числовые функции и числовые последовательности Числовые функции и числовые последовательности Д. В. Лыткина АЭС, I семестр Д. В. Лыткина (СибГУТИ) математический анализ АЭС, I семестр 1 / 35 Содержание 1 Числовая функция Понятие функции Числовые функции.

Подробнее

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ 1

ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ 1 ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ 1 ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ На экзамене по математике поступающий должен показать: а) четкое знание определений и теорем, предусмотренных программой; б) умение точно и сжато выражать математическую

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты:

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Основные математические понятия и факты: Содержание программы 1. Числа, корни и степени. Числовые последовательности Натуральные числа. Простые

Подробнее

ПРОГРАММА вступительного испытания по математике на направления подготовки высшего образования

ПРОГРАММА вступительного испытания по математике на направления подготовки высшего образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный минерально-сырьевой университет

Подробнее

Программа по математике. ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ РГБОУ СПО «КЧПК им. У. Хабекова» (база основного общего образования)

Программа по математике. ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ РГБОУ СПО «КЧПК им. У. Хабекова» (база основного общего образования) Республиканское государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Карачаево-Черкесский педагогический колледж им. У.Хабекова» Программа по математике ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ

Подробнее

Тема 1. Множества. Числовые множества N, Z, Q, R

Тема 1. Множества. Числовые множества N, Z, Q, R Тема 1. Множества. Числовые множества N, Z, Q, R 1. Множества. Операции над множествами. 2. Множество натуральных чисел N. 3. Множество целых чисел Z. Делимость целых чисел. Признаки делимости. 4. Рациональные

Подробнее

МАТЕМАТИКА (письменно)

МАТЕМАТИКА (письменно) Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педагогический институт имени В.Г. Короленко» УТВЕРЖДАЮ И.о. ректора ГГПИ Я.А. Чиговская-Назарова 12 ноября 2015 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО

Подробнее

Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования, утверждённой приказом директора МБОУ СОШ 5 приказ от

Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования, утверждённой приказом директора МБОУ СОШ 5 приказ от Приложение к основной образовательной программе среднего общего образования, утверждённой приказом директора МБОУ СОШ 5 приказ от 01.06.2016 203 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Предмет: алгебра и начала анализа Класс:

Подробнее

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ

I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФАКТЫ Общие указания На экзамене по математике поступающий должен показать: четкое знание математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы; умение точно и сжато

Подробнее

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Пусть X и Y Некоторые числовые множества Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ (тестирование) ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ (тестирование) ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ (тестирование) ПО МАТЕМАТИКЕ Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры прикладной математики и эконометрики 12 ноября 2015 года (протокол 4). 1. Пояснительная

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwthetspru Гущин Д Д СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ B7: ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды

Подробнее

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА

ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ДЕПАРТАМЕНТ СМОЛЕНСКОЙ ОБЛАСТИ ПО ОБРАЗОВАНИЮ И НАУКЕ СОГБОУ СПО «ЕЛЬНИНСКИЙ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ТЕХНИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» (на базе

Подробнее

Общие положения. I. Основные математические понятия. Числа и вычисления. Выражения и их преобразования

Общие положения. I. Основные математические понятия. Числа и вычисления. Выражения и их преобразования Общие положения Содержание программы сгруппировaнo вокруг стержневых линий школьного курса математики: «Числовые вычисления», «Выражения и их преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Геометрические

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 1. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТРАНЫЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ГРАФИКИ.

ЗАНЯТИЕ 1. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТРАНЫЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ГРАФИКИ. ЗАНЯТИЕ. ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТРАНЫЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА. ГРАФИКИ. Понятие функции Пусть даны два непустых множества Х и Y. Соответствие f. Которое каждому

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ Программа дополнительного образования «Программа подготовки в ВУЗ» Автономная некоммерческая организация дополнительного образования Учебный Центр при МГТУ им. Н. Э. Баумана «Ориентир» «УТВЕРЖДАЮ» Директор АНО ДО Учебный Центр при МГТУ им. Н.Э.Баумана «Ориентир» ПАНФИЛОВА

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АНГАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ учебной работе Н.В. Истомина 2016 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО

Подробнее

ПРОГРАММЫ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММЫ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОГРАММЫ ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 1. Выражения и преобразования. Корень степени n Понятие корня степени n Свойства корня степени n Корень из произведения и произведение корней: упрощать

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике на базе основного общего образования

Программа вступительных испытаний по математике на базе основного общего образования Программа вступительных испытаний по математике на базе основного общего образования Номер Номер Содержание раздела темы 1 2 3 1 Арифметика 1.1 Натуральные числа 1.1.1 Десятичная система счисления. Римская

Подробнее

; a a b Избавление от иррациональности в дробях

; a a b Избавление от иррациональности в дробях Вопросы для абитуриентов Числа. Натуральные.. Целые. 3. Рациональные. 4. Действительные. 5. Простые и составные числа. 6. Разложение составного числа на простые множители 7. НОК 8. НОД 9. Арифметические

Подробнее

Аннотация рабочих программ по алгебре (10-11 классы)

Аннотация рабочих программ по алгебре (10-11 классы) Аннотация рабочих программ по алгебре (10-11 классы) Составители: Григорьева Н.А., Семенова Н.Л. Рабочая программа учебного курса алгебры и начал анализа для 11 класса составлена в соответствии с федеральным

Подробнее

1. Общие требования. в) уверенное владение математическими знаниями и навыками, предусмотренными программой, умение применять их при решении задач.

1. Общие требования. в) уверенное владение математическими знаниями и навыками, предусмотренными программой, умение применять их при решении задач. 3 Принята на заседании приемной комиссии ВолгГТУ протокол 30 от 22.09.2014 Программа вступительного испытания по математике в Волгоградский государственный технический университет Программа сформирована

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ (собеседования) ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ (собеседования) ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ (собеседования) ПО МАТЕМАТИКЕ Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры прикладной математики и эконометрики 12 ноября 2015 года (протокол 4). 1.

Подробнее

Оглавление. Введение Руководство по использованию диска От издательства Часть I. Алгебра... 17

Оглавление. Введение Руководство по использованию диска От издательства Часть I. Алгебра... 17 Введение.................................... 10 Руководство по использованию диска................ 10 От издательства............................... 16 Часть I. Алгебра.............................. 17

Подробнее

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике

ПРОГРАММА. вступительных экзаменов в форме собеседования. по математике Министерство образования и науки Донецкой Народной Республики ГОУВПО «Донецкий национальный технический университет» ПРОГРАММА вступительных экзаменов в форме собеседования по математике для поступления

Подробнее

1.1 Определение и основные свойства функций

1.1 Определение и основные свойства функций 1 Функции и графики 1.1 Определение и основные свойства функций Определение 1.1 Будем говорить, что задана однозначная функция y = f() в данной области изменения переменной X = {}, если каждому значению

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» (ОУ ВО «СПБ ИВЭСЭП»)

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» (ОУ ВО «СПБ ИВЭСЭП») ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ, ЭКОНОМИКИ И ПРАВА» (ОУ ВО «СПБ ИВЭСЭП») ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ по дисциплине _МАТЕМАТИКА_

Подробнее

«Утверждаю» Зав. кафедрой высшей и прикладной математики Геворкян П.С г. МАТЕМАТИКА

«Утверждаю» Зав. кафедрой высшей и прикладной математики Геворкян П.С г. МАТЕМАТИКА «Утверждаю» Зав. кафедрой высшей и прикладной математики Геворкян П.С. 0 г. МАТЕМАТИКА Программа вступительных испытаний Для абитуриентов ОУП ВПО «АТиСО», поступающих в бизнес-колледж «экономики и менджмента»

Подробнее