ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей Составители: ЮАФадеев ЕВСалтанова Утверждены на заседании кафедры Протокол от 98 г Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 7 Протокол 7 от 98 г Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ Кемерово 9

2 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу π Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения Например, площадь круга S π D, здесь D - диаметр круга является переменной величиной Множество X всех значений, которые может принимать данная переменная величина, называется областью определения Пусть задана переменная величина, имеющая областью определения некоторое множество X Если каждому значению переменной из множества X ставится в соответствие по известному закону некоторое число y, то говорят, что на множестве X задана функция y f () Переменная называется аргументом или независимой переменной, y - зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия Число y, которое соответствует данному значению, называется частным значением функции в точке Совокупность всех частных значений образует множество Y, которое называют областью значения функции ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Пусть функция y f () определена на некотором промежутке X и - предельная точка для множества X Из множества X выберем последовательность точек, отличных от :,,, K, n,k, () сходящуюся к Значения функции в точках этой последовательности образуют числовую последовательность f ( ), f ( ), f ( ), K, f ( n ),K, () которая может оказаться сходящейся или расходящейся Тк выбор последовательности точек () ничем не обусловлен, кроме того, что

3 бы она сходилась к точке, то ее можно составить различными способами Следовательно, и последовательностей () можно составить сколь угодно Если все последовательности () имеют предел равный числу А, то функция y f () имеет в точке предел, равный А Если хотя бы одна из последовательностей () имеет предел отличный от А или не имеет предела, то в точке функция y f () предела не имеет Окрестностью точки называется любой интервал с центром в точке Пусть функция f () задана в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки Определение (по Коши) Число А называется пределом функции f () в точке (или при ) если для любого сколь угодно малого числа ε > найдется такое положительное число δ > (зависящее от ε, δ δ (ε ) ), что для всех, не равных ( ) и удовлетворяющих условию < δ, выполняется неравенство f ( ) A < ε Обозначение: f ( ) A Геометрический смысл предела функции в точке (рис ) Неравенство f ( ) A < ε равносильно двойному неравенству A ε < f ( ) < A ε, соответствующему расположению части графика в полосе шириной ε Аналогично неравенство < δ равносильно двойному неравенству δ < < δ, соответствующему попаданию точек в δ -окрестность точки

4 y A ε f ( ) A A ε ε δ Рис δ Число A есть предел функции f () при, если для любого ε > найдется такая δ -окрестность точки, что для всех из этой окрестности, соответствующие ординаты графика функции f () будут заключены в полосе A ε < y < A ε, какой бы узкой эта полоса ни была Замечание Определение предела не требует существования функции в самой точке, тк рассматривает значения в некоторой окрестности точки Те рассматривая f ( ), предполагаем, что стремится к, но не достигает значения ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ Пусть множество X, на котором задана функция f (), для любого δ > имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка [ δ, δ ] Определение Число А называется пределом функции f () при, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > найдется такое положительное число S > (зависящее от ε, S S(ε ) ), что для всех, удовлетворяющих условию > S, справедливо неравенство f ( ) A < ε Обозначение: f ( ) A

5 Геометрический смысл (рис ) предела функции в бесконечности Неравенство Рис f ( ) A < ε равносильно двойному неравенству A ε < f ( ) < A ε, соответствующему расположению части графика в полосе шириной ε Число A есть предел функции f () при, если для любого ε > найдется такое число S >, что для всех таких, что > S, соответствующие ординаты графика функции f () будут заключены в полосе A ε < y < A ε, какой бы узкой эта полоса ни была ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ СТРЕМЛЕНИИ К БЕСКОНЕЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ЗНАКА Для введения предела функции при стремлении к бесконечности определенного знака, необходимо, чтобы функция f () была задана на таком множестве X, которое для любого δ > имело хотя бы один элемент, лежащий правее δ (соответственно левее δ ) Определение Число А называется пределом функции f () при (соответственно ), если для любого положительного числа ε > найдется такое положительное число δ > (зависящее от ε, δ δ (ε ) ), что для всех значений аргумента, удовлетворяющих условию > δ ( соответственно < δ ), выполняется неравенство f ( ) A < ε

6 Обозначение: f ( ) A (соответственно f ( ) A) 6 ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ Для введения одностороннего (те правого или левого) предела функции в точке потребуем, чтобы множество X, на котором задана функция f (), для любого δ > имело хотя бы один элемент, принадлежащий интервалу (, δ ) (соответственно интервалу ( δ, )) Те в определении предела функции потребовать, чтобы стремилось к не любым способом, а только справа (оставаясь, все время больше ) или только слева (оставаясь, все время меньше ) Определение Число А называется пределом справа (соответственно пределом слева) функции f () в точке, если для любого положительного числа ε > найдется такое число δ > (зависящее от ε, δ δ (ε ) ), что для всех значений аргумента, удовлетворяющих условию < < δ (соответственно условию δ < < ), выполняется равенство f ( ) A < ε Пределы справа и слева называются односторонними пределами Обозначение: f ( ) A (соответственно f ( ) A) Если функция имеет в какой-либо точке односторонние пределы, причем f ( ) f ( ), то их значение будет равно f ( ), те f ( ) f ( ) f ( )

7 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ Пусть две функции f () и g () заданы на одном и том же множестве X и имеют в точке (или на ) пределы f ( ) A, ( ) g( ) B ( ) I Предел постоянной равен самой постоянной С С () 7 ( ) II Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций f ( ) ± g( ) f ( ) ± g( ) A ± () [ ] B ( ) ( ) ( ) III Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций, те f ( ) g( ) f ( ) g( ) A () [ ] B ( ) ( ) ( ) IV В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, те k f ( ) k f ( ) k (6) [ ] A ( ) ( ) V Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии g( ) B ) те ( ) f ( ) f ( ) A ( ) ( ) g( ) g( ) (7) B ( ) БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ Определение Функция α () называется бесконечно малой, если ее предел существует и равен нулю, те

8 если 8 α ( ) ( ) Определение Функция α () называется бесконечно большой, α ( ) ( ) Для бесконечно больших в точке справа (соответственно слева) функций вводят обозначения: A( ) (соответственно A( ) ) или A( ) (соответственно A( ) ) СВЯЗЬ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКО- НЕЧНО БОЛЬШИМИ ВЕЛИЧИНАМИ Если функция α () есть бесконечно малая величина при ( ), то функция f ( ) α( ) является бесконечно большой при ( ) И, обратно, если функция f () бесконечно большая при ( ), то функция α ( ) есть величина беско- f ( ) нечно малая при ( ) ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ Первым замечательным пределом называется sin (8) Критерии для распознавания первого замечательного предела выражение представляет собой неопределенность вида, sin аргумента, аргумент

9 аргумент sin k Следствие k (8 * ) Пример Среди приведенных ниже пределов выбрать первый замечательный предел sin( ) sin( ) sin( ) ; ; ; sin( π ) π π Пределы,, и являются первыми замечательными, тк все три условия, перечисленные в критерии распознавания первого замечательного предела, выполнены Во втором примере не выполнены sin( ) первое и третье условия, поэтому не является первым замечательным пределом Вторым замечательным пределом (числом e) называется предел или 9 e (9) ( ) e () Критерии для распознавания второго замечательного предела а) должна быть неопределенность вида, б) бесконечно малая, в) ( б м ) б м, в показателе степени стоит величина, обратная той бесконечно малой, которая прибавляется к числу Следствия из второго замечательного предела ln( ) () а ln a () e μ ( ) () μ ()

10 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Функция f () называется непрерывной в точке, если она удовлетворяет следующим трем условиям: ) определена в точке (те существует f ( )); ) имеет конечный предел при ; ) этот предел равен значению функции в точке, те f ( ) f ( ) () Непрерывность функции играет важную роль при нахождении предела, тк если функция определена на промежутке X и непрерывна в точке X, то непрерывность функции позволяет заменить задачу вычисления предела в точке задачей вычисления значения функции в этой точке Соотношение () можно записать в виде: f ( ) f ( ) ( * ) Те для непрерывной функции можно переставить знак функции и знак предела ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ При решении задач используются эквивалентные преобразования, справедливые при : sin ~ ; (6) cos ~ ; (7) tg ~ ; (8) arcsin ~ ; (9) arctg ~ ; () ln( ) ~ ; () n ~ ; () a ~ ln a ; () n

11 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ Теорема (Правило Лопиталя) Пусть две функции f () и g () определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки Пусть, далее, f ( ) g( ) и производная g () отлична от нуля всюду в указанной окрестности точки Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел f ( ), g ( ) f ( ) то существует и предел, причем справедлива формула g( ) f ( ) f ( ) () g( ) g ( ) Замечание Если производные f () и g () удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f () и g (), то правило Лопиталя можно применить повторно: f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g ( ) g ( ) Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, раскрыта уже или нет неопределенность, иначе можно получить неверный результат Замечание Правило Лопиталя справедливо, когда аргумент стремится к бесконечному пределу или : f ( ) f ( ) ( ) g( ) ( ) g ( ) Замечание Пусть две функции f () и g () определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки, за исключением, быть может, самой точки Пусть, далее,

12 f ( ) g( ), тогда отношение двух функций f ( ) g( ) пред- ставляет собой при неопределенность вида, для раскрытие которой можно использовать правило Лопиталя () Правило Лопиталя применяют для раскрытия неопределенностей вида [ ], которая возникает, если требуется найти f ( ) g( ) при условии f ( ), g( ) В результате [ ] преобразования f ( ) f ( ) g( ) (или g( ) g( ) f ( ) g( ) ) получа- f ( ) ется неопределенность (или ) Неопределенность [ ] возникает, если требуется найти f ( ) g( ) при условии f ( ) и g( ) Используя [ ] преобразование f ( ) g( ) f ( ) g( ), получим неопределен- f ( ) g( ) ность вида Если имеется неопределенность вида [ ] или [ ], которую раскрывают по правилу Лопиталя, при вычис- g ( ) лении предела функции [ f ( ) ] ставляет собой неопределенность вида [ ] соотношение: ( ) f ( ), то логарифм этой функции пред-, при этом используется g ( ) e g ( )ln f ( ) ( ) ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПРЕДЕЛОВ () Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения

13 функции, необходимо использовать понятие непрерывности функции в точке (), те нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение Пример Найти ( ) 7 Решение На основании непрерывности функции f ( ) в точке 7 искомый предел равен значению функции в этой точке, те ( ) Пример Найти Решение Числитель дроби равен и является функцией, предел которой отличен от нуля ( ) Знаменатель дроби при является бесконечно малой величиной (бм) Из связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует, что при является бесконечно большой величиной, следовательно, искомый предел равен [ используем ()] м б Пример Найти Решение Числитель дроби равен и является функцией, предел которой отличен от нуля ( ) Знаменатель дроби при является бесконечно большой величиной (бб) Из связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами следует, что при является бесконечно малой величиной, следовательно, искомый предел равен нулю [ используем ()] б б 6 Пример Найти

14 Решение Применяя теоремы о пределах функций, получим 6 ( 6) используем (7) используем () ( ) [ ] [ ] 6 используем 6 (6) и () принадлежит области определения элементарных 6 6 функций используем непрерывнсть функции () Приведенные в решении выкладки будем использовать при решении следующих примеров как заранее известные факты РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ Часто подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, такие случаи называются неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов,, [ ], [ ], [ ], [ ], [ ] Устранить неопределенности можно с помощью алгебраических преобразований f ( ) тип Необходимо вычислить с неопределенностью ϕ( ) вида, где f () и ϕ () - сложные степенные или показательные функции В случае степенных функций необходимо вынести за скобку в числителе и в знаменателе дроби с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби После сокращения дроби неопределенность устраняется

15 Пример Найти 7 Решение Применяя теоремы о пределах, получим 7 A Числитель и знаменатель дроби бесконечно большие функции, поэтому имеем неопределенность вида Для раскрытия неопределенности, вынесем за скобку в числителе и знаменателе с наибольшим показателем степени -, получим 7 7 A 7 7 при бесконечно малые и, и тем,что и () (7) мся воспользуе Пример 6 Найти Решение При показательная функция a y, при > a стремится к Быстрее возрастает та функция, у которой основание больше, в данном случае быстрее возрастает, поэтому за скобки выносим : A,

16 6 тк при показательные функции a y, при < a и < a стремятся к нулю, то Пример 7 Найти 8 Решение Применяем теоремы о пределах, получим 8 A Числитель и знаменатель дроби бесконечно большие функции, поэтому имеем неопределенность вида Чтобы выяснить, какова наибольшая степень среди слагаемых дроби, сначала выносят с наибольшим показателем степени в выражениях под знаком радикала: 8 8 A Наибольшая степень первая, выносим за скобки, получим: A, тк,, - бесконечно малые величины при тип Необходимо вычислить ) ( ) ( f ϕ с неопределенностью вида Для раскрытия неопределенности необходимо разложить на

17 множители и числитель и знаменатель дроби или умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения (см приложение П-П) Неопределенность устраняется после сокращения дроби 8 Пример 8 Найти Решение Применяя теорему (7) и (), имеем 8 ( 8) 7 ( ) Для раскрытия неопределенности вида разложим числитель и знаменатель на множители: числитель по формуле (П), знаме- натель (П), получим 8 ( )( ) A ( )( ) В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при, поэтому можно применить теоремы о пределах (7,, 6) и непрерывности функции (): ( ) A ( ) Пример 9 Найти Решение Применяя теоремы о пределах, имеем ( ) A ( ) Для раскрытия неопределенности вида разложим квадратные трехчлены числителя и знаменателя на множители по формуле (6П), получим

18 8 ( )( ) A ( )( ) cos Пример Найти sin Решение Пределы числителя и знаменателя при равны нулю, те имеем неопределенность вида Если выражение, предел которого необходимо найти, содержит сумму или разность триго- нометрических функций, то для раскрытия неопределенности нужно тождественно преобразовать их в произведение по формулам тригонометрии используем cos cos используем формулу sin cos формулуп sin cos cos ( cos )( cos ) cos В полученной дроби знаменатель не стремится к нулю при, поэтому можно применить теорему о пределе частного (7) и непрерывности функции (): cos ( cos ) cos 6 6 Пример Найти Решение Применим теоремы о пределах, получим 6 6 ( 6 6) A ( ) 7

19 Имеем неопределенность вида Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, со- пряженное числителю ( 6 6)( 6 6) формулу (П) применяем A ( )( 6 6) в числителе в выражении ( 6) 6 ( ) выносим ( )( 6 6) общий множитель : ( ) 6 6 A ( )( 6 6) ( )( 6 6) числитель и знаменатель сокращаем ( )( на 9 6 6) ( )( 6 6) 6 тип Необходимо вычислить предел функции с неопределенностью вида [ ] Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко -му типу после приведения дробей к общему знаменателю Если функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется или приводится к -му типу путем умножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного выражения Пример Найти Решение Имеем неопределенность вида [ ] Для раскрытия неопределенности приведем дроби к общему знаменателю:

20 A Имеем предел -го типа, необходимо разложить на множители знаменатель дроби, используя формулу (П), получим: ) )( ( A Пример Найти ( ) Решение Применим теоремы о пределах (), получим ( ) [ ] Имеем неопределенность вида [ ] Для раскрытия неопределенности умножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела на сопряженное выражение: ) (, приводящее к разности квадратов, получим: ( )( ) ( ) A ) ( Имеем предел -го типа, решаем аналогично примеру 7: сначала вынесем под знаком радикала, получим: A В знаменателе дроби выносим за скобки, получим: A, тк - бесконечно малая величина при

21 тип К этому типу относят функции, сводящиеся к первому sin замечательному пределу (8): sin Пример Найти sin Решение Имеем неопределенность вида, для раскрытия которой числитель и знаменатель дроби разделим на и воспользуемся первым замечательным пределом (8 * ), получим: sin sin A sin sin tg Пример Найти Решение Имеем неопределенность вида, для раскрытия которой воспользуемся первым замечательным пределом (8), получим: tg sin sin cos cos cos тип К этому типу относят пределы функции с неопределенностью вида [ ], для раскрытия которой выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна ) Неопределенность устраняется при помощи выделения второго замечательного предела (9) и () Пример 6 Найти х Решение Имеем неопределенность вида, тк

22 х х Для раскрытия неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом (9) e A Пример 7 Найти ( ) Решение Имеем неопределенность вида Воспользуемся вторым замечательным пределом (), для этого введем ) ( α, которая является бесконечно малой величиной при Умножим показатель степени на ) ( ) ( α α, это действие не нарушает знака равенства: ( ) ( ) ( ) 6 ) ( ) ( ) ( e Пример 8 Найти Решение Имеем неопределенность вида [ ] Выделим целую часть дроби ) ( α является бесконечно малой величиной при Умножим показатель степени на ) ( ) ( α α, получим:

23 A 6 6 используем e e, * 6 тк ( α ( ) ) α ( ) e Найдем Имеем неопределенность вида - это предел -го типа В знаменателе вынесем за скобки : Итак, e 6 6 e e Пример 9 Найти Решение Имеем неопределенность вида, для раскрытия которой воспользуемся следствием из второго замечательного предела () e e e ( ) () 6 Пример Найти ln( ) ln

24 Решение Имеем неопределенность вида, преобразуем ее в неопределенность вида [ ], пользуясь свойствами логарифмов (8П и 9П), получим: ln( ) ln A ln ln ln Учитывая непрерывность логарифмической функции (*), символы и ln можно переставить, получим A ln ln ln e ln e cos Пример Найти ( ) Решение ( cos ) - не существует, тк < cos < ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОСТОРОННИХ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ Пример Найти односторонние пределы функции y в точке Решение В точке заданная функция не определена, тк числитель при обращается в нуль Вычислим односторонние пределы: Тк рассматривается предел при, то > и знаменатель, те является положительной (по знаку) бесконечно малой величиной б м >

25 Тк рассматривается предел при, то < и знаменатель, те является отрицательной (по знаку) беско- нечно малой величиной б м < ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ tg Пример Найти Решение При используем (8) tg ~, имеем tg Пример Найти Решение При используем () и (П), имеем ln ln log ln ln ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ) Пример Найти Решение Применяем теоремы о пределах, получим ( ) ( )

26 При имеем неопределенность вида, для раскрытия которой используем правило Лопиталя (): 6 ( ) ( ) Пример 6 Найти Решение Применяем теоремы о пределах, получим A При имеем неопределенность вида, для раскрытия которой используем замечание и правило Лопиталя: ( ) A ( ) 6 При имеем неопределенность вида, применяем правило Лопиталя повторно ( ) A Пример 7 Найти ( ) Решение Имеем неопределенность вида [ ], применяем последовательно (П), (9П) и (*): Найдем A e ln e ln e ln

27 7 тогда ( ln ) ln ( ) A e ln e, ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ I Используя свойства пределов функций, найдите пределы: ( ) ( ) ( )

28 6 9 8 ( ) II Найдите пределы, используя первый и второй замечательные пределы: sin tg sin sin ctg tg sin sin sin 6 7 sin sin 8 arcsin9 9 ln ln( ) ln( ) e 6 III Найдите односторонние пределы функции y в точке IV Найдите пределы, используя эквивалентные бесконечно малые: tg ln( ) 6 arcsin 6 e sin ln( ) ln( ) 6 cos tg

29 9 V Найдите пределы, используя правило Лопиталя: sin e ( ln ) 6 e 7 ln ln( ) ( ) 8 ln( ) 9 arcsin sin e e ОТВЕТЫ I 7;,; ; ; ; 6 ; 7 -; 8 ; 9 при ; - при ; 9; ; 8 ; 9-; II ; ; -; ; -; 6-6; 7 ; 8 ; ; ; ; 6 ; ; ; ; 6,; 7 ; указание: замена переменной arcsin y ; 8 ; 9 e ; e ;,; ; 6 III ; IV ; ; ; ln ; ; 6 V ; ; ; ; ; 6 -,; 7 ; 8 ; 9 ; ПРИЛОЖЕНИЕ e ; e ; a b ( a b)( a b) (П) ( a b e ; ± b) a ± ab (П)

30 a b ( a b)( a ab b ) (П) a b ( a b)( a ab b ) (П) ( a ± b ± b) a ± a b ab (П) b ± b ac a b c a( )( ), где, (6П) a log ( y) log log y (7П) a a a loga loga loga y (8П) y n log nlog (9П) a a ln log a (П) ln a СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Ильин ВА, Куркина АВ Высшая математика М: Проспект, 7 6с Высшая математика для экономистов Под ред Кремера НШ М: Юнити, 7 с Мышкис АД Лекции по высшей математике М: Лань, с Натансон ИП Краткий курс высшей математики М: Лань, 7 76 с

31 Составители Юрий Александрович Фадеев Елена Владимировна Солтанова ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей Отпечатано в филиале ГУ КузГТУ в г Прокопьевске 6, г Прокопьевск, ул Ноградская, 9 а Подписано в печать 9 г Отпечатано на ризографе Формат 6 8 /6 Объем,9 п л Тираж экз Заказ

32

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и

Пределы. 6.1 Определение предела последовательности и Студент должен знать: определение предела функции; свойства пределов; понятие бесконечно малых функций; понятие ограниченных и бесконечно больших функций; определение непрерывности функции в точке; сравнение

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Федеральное агентство по образованию. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Методы вычисления пределов Методические указания к решению задач Санкт-Петербург Издательство

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

Ответы к заданию

Ответы к заданию Ответы к заданию.. понятия одного аргумента.. Основные элементарные.. элементарных функций.4. предела f в точке. х Х Если каждому элементу х из множества Х поставлен в соответствие определенный элемент

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов ПРЕДЕЛЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Методические указания для студентов заочной формы обучения. Составители М.В. Зголич Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ.

Московский государственный технический университет. имени Н.Э.Баумана. Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х. Ахметова, С.Н. Ефремова, Т.А. Ласковая ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции

Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Тема: Предел функции. Свойства пределов 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр. Число А называется пределом функции f(x) при xa, если >0 такая -окрестность

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра высшей математики УТВЕРЖДАЮ

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова, В.М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так:

5. Предел функции. ( ε > 0 δ > 0 x (a δ, a + δ), x a) f(x) l < ε. или так: 5. Предел функции Определение. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X R, для любого r > 0 существует отличная от p точка x X такая, что x p < r. Говорят, что + (соответственно

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В.Н.Думачев С.А.Телкова МАТЕМАТИКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Воронеж - 06 ББК. Д8 Рассмотрено и одобрен на заседании кафедры математики и моделирования систем. Протокол от.09.06. Рассмотрен

Подробнее

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции

Лекции 8,9. Глава 5. Непрерывность функции Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Подробнее

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных

Пределы. Производные. Функции нескольких переменных Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА

Министерство образования и науки Российской Федерации. РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени И.М.ГУБКИНА Г.Г. Литова, Д.Ю. Ханукаева ПРЕДЕЛЫ Пособие для студентов, обучающихся по специальности

Подробнее

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных

1.4. Предел функции Нахождение предела функции с использованием замечательных 1.4. Предел функции 4.1. Нахождение предела функции с использованием замечательных пределов. ТЕОРИЯ Определение предельной точки. Точку p R называют предельной точкой (или точкой сгущения) множества X

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

Лекция 2.4. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва Лекция 4 Непрерывность функции Классификация точек разрыва Аннотация: Рассматриваются свойства функции, непрерывной на отрезке Приводится пример использования этих свойств при решении нелинейных уравнений

Подробнее

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции»

МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции» МОДУЛЬ 7 «Показательная и логарифмическая функции». Обобщение понятия степени. Корень й степени и его свойства.. Иррациональные уравнения.. Степень с рациональным показателем.. Показательная функция..

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов

Сборник задач для самостоятельного решения по теме Предел функции Составители: А.Н. Максименко, А.Н. Морозов ББК В 65я73-4 С 3 УДК 57 Учебное издание Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел функции" Составители: АН Максименко, АН Морозов Сборник задач для самостоятельного решения по теме "Предел

Подробнее

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x

Т. В. Тарбокова, В. М. Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Производная, и её приложения. Издание третье. / x ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский политехнический университет Т В Тарбокова, В М Шахматов САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебно-методическое пособие для

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ СПО «ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Практическое пособие по изучению раздела Теория пределов Составила: Миргородская Ирина Николаевна,

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы.

ЛЕКЦИЯ 16. Эквивалентные бесконечно малые. Первый и второй замечательные пределы. ЛЕКЦИЯ Эквивалентные бесконечно малые Первый и второй замечательные пределы Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций Функция f ( ) называется бесконечно малой в точке a (при a ), если (

Подробнее

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx

Ответы к заданию Определение приращения аргумента Δx Ответы к заданию приращения аргумента Δ Приращением аргумента Δ f ( называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки Δ, U ( : δ приращения f Δ (

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0.

Вариант 14 x. Область определения данной функции определяется неравенством > 0. Вариант Найти область определения функции : lg 5 + Область определения данной функции определяется неравенством > 5+ Найдём корни знаменателя:, Так как ветви параболы 5+ направлены вверх, то 5+ 6< при

Подробнее

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2

Непрерывность функции. Замечательные пределы. Лекция 2 Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f ( ) называется непрерывной в точке, если она

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции.

Семинар 1 Введение в анализ. Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 3. Функции чётные и нечётные; периодические функции. Семинар 1 Введение в анализ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Функция, области определения, способ задания. 2. Понятие сложной и обратной функции. 3. Функции чётные и нечётные; периодические

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ) Кафедра "Прикладная математика-1" Ю.С.Семёнов Кафедра "Прикладная математика-1"

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций

Лекция 2.5. Производные основных элементарных функций Лекция 5 Производные основных элементарных функций Аннотация: Даются физическая и геометрическая интерпретации производной функции одной переменной Рассматриваются примеры дифференцирования функции и правила

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число

Математика АРИФМЕТИКА. Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. 4. Техника обращения неправильной дроби в смешанное число АРИФМЕТИКА Действия с натуральными числами и обыкновенными дробями. Порядок действий ) Если нет скобок, то сначала выполняются действия -й степени (возведение в натуральную степень), затем -й степени (умножение

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Контрольная работа 1 ...

Контрольная работа 1 ... Контрольная работа Тема Матрицы, операции над матрицами Решение систем линейных уравнений Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, имеющая m срок n столбцов Для обозначения матриц применяются круглые

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ. Т. Ю. Альпин, А. И. Егоров, П. Е. Кашаргин, С. В. Сушков КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Т Ю Альпин, А И Егоров, П Е Кашаргин, С В Сушков ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Часть I: Комплексные числа Предел функции Казань 013 Печатается

Подробнее

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Тема 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Лекция 7 Производная функции Правила и формулы дифференцирования П л а н Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной Основные

Подробнее

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ. Предел функции Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции односторонние пределы, замечательные пределы, сравнение бесконечно малых и бесконечно больших Лектор Пахомова Е.Г. 22 г. 4. Односторонние

Подробнее

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания.

Замечание. Теорема дает второе определение предельной точки, теорема определение открытого множества, теорема определение замыкания. ГЛАВА 3. Предел и непрерывность отображения 1. Предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах Опр. 3.1.1. Пусть (X, ) метрическое пространство, x X, >. Проколотой - окрестностью

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

«Пределы, непрерывность. Производные»

«Пределы, непрерывность. Производные» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0,

x 2 10x > x 2 10x = x(x 10) > x2 x x 2 /2 = 2 x. x 2 10x < x+ x 2 10x = 0. x 0. > 0k N : 0 < x k < и f(x k ) A = A > 0, Пределы Предел функции Определение предела Пусть a точка числовой прямой, a b c) Пусть функция f) опре- делена на множестве E : { b c)\{a}} Число a называется пределом функции f) при, стремящемся к a обо-

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

71 Тригонометрические уравнения и неравенства 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым является заблуждение абитуриентов о том что при решении тригонометрических уравнений не нужна проверка Это так далеко не всегда При решении

Подробнее

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x :

1. ПРОИЗВОДНАЯ. f x lim lim x. в точке x. dy Существуют и другие обозначения производной: y,, называется сложной, если u есть функция от x : СОДЕРЖАНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ Определение производной Дифференцирование неявных функций Логарифмическое дифференцирование Производные высших порядков Дифференцирование функции, заданной параметрически 6 Уравнение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Комментарий Цель данного раздела - поработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения

Область определения левой части этих формул может быть шире области определения 7 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий При решении логарифмических уравнений также как в случае иррациональных уравнений возможно появление посторонних корней Причина их появления

Подробнее

Рабочая программа элективного курса по математике

Рабочая программа элективного курса по математике Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия 9 Рабочая программа элективного курса по математике СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ (Элективный курс по математике для учащихся

Подробнее

1. Производная функции в точке

1. Производная функции в точке приращения аргумента Δ приращения Δ функции f производной функции точке f в Основные правила дифференцирования функций функции в точке Приращением аргумента Δ функции f называется разность между значением

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее