,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ",. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная"

Транскрипт

1 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении какой либо другой оси, например OХ, тогда область интегрирования ( D ) есть проекция поверхностменным, Â формуле (4) будет стоять cosα, где α - угол между нормалями к поверхности = ψ, плоскости YOZ те ( Q ) на координатную плоскость YOZ и интегрирование производится по пере- ( Q) ( ψ ) ( ψ ) ( ψ) f,, dq = f,,, + + dd ( D ) Пример Вычислить Q - часть плоскости + + =, расположенная в первом октанте dq, где Q ( + + ) ++= (Q) Поверхность (Q) - треугольник, высекаемый координатными плоскостями из плоскости + + = На координатную плоскость OXY этот треугольник проектируется также в виде равнобедренного треугольника с боковыми сторонами единичной длины Имеем: = ϕ, = ; ϕ =, ϕ = ; dq = 3 dd dq = = 3 d ( Q) ( + + ) ( D ) ( ) ( ) 3dd d =

2 3 = d = = + = d 3 ln 3 ln ; 8 Криволинейные координаты Цилиндрические и сферические координаты Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат Криволинейные координаты Цилиндрические и сферические координаты При решении различных задач удобно использовать системы координат, отличные от прямоугольной декартовой системы координат Это связано с тем, что границей многих тел являются цилиндры, сферы и тд Широко используется полярная система координат и ее обобщение на случай трехмерного пространства - цилиндрическая и сферическая системы координат Цилиндрическими координатами точки Р называют величины, ϕ, P Имеют место следующие ограничения: <, ϕ, < < С прямоугольными декартовыми цилиндрические координаты связаны соотношениями = cos ϕ, = sin ϕ, = Сферическим координатами называются величины ρ, ϕ, θ,

3 33 где ρ <, ϕ, θ С декартовыми координатами сферические связаны посредством соотношений = ρcosϕsin θ, = ρsinϕsin θ, = ρcos θ Пример Цилиндр с уравнением в декартовых координатах + = a в цилиндрических имеет уравнение = a Уравнение сферы + + = a в сферических координатах имеет вид ρ = a Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат f, ds, заданном в прямоугольной декартовой Осуществим в двойном интеграле системе координат, замену переменных по формулам: = cos ϕ, = sinϕ В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат f(, ) = f( cos ϕ, sinϕ) = f (,ϕ) Пусть область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу не более, чем в двух точках Линии, ограничивающие, область, имеют уравнения: = ( ϕ ), = ( ϕ ); α ϕ β Такую область применительно к полярной системе координат назовем правильной Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения области на элементарные То осуществим разбиение с помощь лучей ϕ = const, проходящих через начало координат При пересечении двух окружностей радиусов i, i +Δ i и лучей, проведенных под углами ϕ k и ϕk + Δ ϕk, образуется элементарная криволинейная фигура (Δs ik ) Ее, с точностью, до бесконечно малых высшего порядка можно считать прямоугольником со сторонами Δ i и i Δϕ k Следовательно, площадь элементарной фигуры ΔSik = i Δi Δϕ k Следовательно двойной интеграл в полярных координатах имеет вид P

4 34 f, ds= f, ϕ ddϕ k B K M A i Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят лучи ϕ = α, ϕ = β, записывают уравнение линий входа в область (АМВ): = ϕ и выхода из нее (АКВ) = ϕ Тогда α ϕ β ϕ ϕ Чаще всего внешний интеграл вычисляется по переменной ϕ, а внутренний по Тогда получаем формулу: β, ( ϕ ) ( ϕ ) ( f, ds= dϕ f cos ϕ, sin ϕ d (5) α Пример Расставить пределы интегрирования и вычислить в полярных координатах интеграл ds, где ограничена окружностью + = ) Найдем уравнение окружности в полярной системе координат

5 35 + = = cosϕ Для рассматриваемой области ϕ, cos ϕ Следовательно 6 4 ds = dϕ cosϕd = cosϕdϕ d = cos ϕdϕ = 3 cosϕ Замечание Из формулы (5) следует, что дифференциал меры элементарной площадки в полярной системе координат выражается в виде dμ = ds= ddϕ Замечание Формула (5) получена из предположения, что полюс лежит вне области и любой луч, выходящий из полюса, пересекает границу не более чем, в двух точках Если область такова, что полюс находится внутри области, и луч, выходящий из него пересекает границу только в одной точке, cosϕ то в формуле (5) надо положить ϕ =, α =, β = Получим следующую формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах ( ϕ ) f, ds = dϕ f cos ϕ, sin ϕ d

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy

Рис. 36. f(x, y) dx dy = dx f(x, y) dy Двойные интегралы Примеры решения задач 1. Свести двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами (по формуле (1) и по формуле (2)), если G область, ограниченная кривыми x = 1, y = x 2, y =

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

1. Кратные интегралы

1. Кратные интегралы Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Подробнее

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( )

Общая постановка задачи о замене переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Пусть функции ( ) ( ) ( ) 6 9 Замена переменных в интеграле по фигуре от скалярной функции. Общий случай замены переменной в двойном и тройном интегралах. Якобиан. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Подробнее

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. 1 Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат 99 Глава ГЕМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛЖЕНИЯ ПРЕДЕЛЕННГ ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат Из геометрического смысла определенного интеграла следует, что если

Подробнее

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. Лекция 8. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. правлении оси Оу. Аналогично Рассмотрим область D, ограниченную линиями

Подробнее

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем:

Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D). На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: 3 Пример Записать выражения для статических моментов плоской материальной области (D) На основании формул (3) с учетом фигуры ( Φ ) имеем: ρ, dd, ρ, dd Исходя из механического смысла статического момента,

Подробнее

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: b 2 = z2

Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: b 2 = z2 13-е занятие. Тройные интегралы Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Повторение Д 41 Найти объём тела, ограниченного следующими поверхностями: Тройные интегралы A1 x a + y b + z c 1, x a + y b z c

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1

Кратные интегралы. Содержание. 1 Понятие кратного интеграла 1 Содержание Кратные интегралы Понятие кратного интеграла Двойные интегралы. Области на плоскости................. Повторный интеграл................ 3.3 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.......................

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа Глава 6 Приложения поверхностного интеграла 1-го типа 6.1 Необходимые сведения На прошлых занятиях мы уже освоили методы вычисления поверхностных интегралов 1-го типа, оперируя при этом преимущественно

Подробнее

A1 В следующем интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке:

A1 В следующем интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке: 14-е занятие. Тройные интегралы Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Повторение A1 В следующем интеграле перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке:

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский Учреждение образования «Витебский государственный технологический университет» Составители: ст преп НЕ Трубникова, ст преп АЯ Мисурагина, ст преп ТВ Никонова, ст преп НС Статковский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные

Подробнее

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань

I(G i, M i ) = f(ξ i, η i ) Δs i, Диаметром ограниченного множества G точек назовем точную верхнюю грань Двойные интегралы Основные понятия и теоремы 1. Определение двойного интеграла. Пусть G квадрируемая (и, следовательно, ограниченная) область (открытая или замкнутая) на плоскости и пусть в области G определена

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием

M, и, построив прямой цилиндрический столбик с основанием Кратные интегралы Задачи приводящие к понятию кратного интеграла В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы пределом которой

Подробнее

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Репозиторий БНТУ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ ОТ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ Методические указания Минск

Подробнее

19. Тройной интеграл

19. Тройной интеграл 19. Тройной интеграл 19.1. Пусть f непрерывная функция трех переменных (x, y, z), заданная на ограниченной замкнутой области R 3. Тройной интеграл создается аналогично двойному: берут разбиение области

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения)

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

Глава 4. Двойной интеграл.

Глава 4. Двойной интеграл. Глава 4. Двойной интеграл. 4.. Понятие двойного интеграла. Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на двумерный случай. Вместо функции одной переменной = f( ), определенной

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции.

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции. МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II СЕМЕСТР I Точки и множества в пространстве Найдите все граничные и все предельные точки

Подробнее

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), -

ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - Тема 7.2. Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Формулы вычисления длины вектора, расстояние между двумя точками. Системы координат на плоскости Декартовы прямоугольные координаты (рис.

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» А.И. Левина КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Электронное

Подробнее

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела

Определение двойного интеграла и его свойства. Как задача вычисления площади криволинейной трапеции. так аналогичная задача вычисления объема тела Двойной интеграл Определение двойного интеграла и его свойства Как задача вычисления площади криволинейной трапеции приводит к определенному интегралу от функции одной переменной, так аналогичная задача

Подробнее

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

Задачи и упражнения для самостоятельной работы Двойные интегралы Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Сведите двойной интеграл f(x, y) dx dy к повторному двумя способами, если: G а) G треугольник с вершинами (1, 1), (4, 1), (4, 4); б)

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Методические указания

Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Методические указания Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Методические указания Ульяновск Министерство образования Российской Федерации Ульяновский

Подробнее

поверхности (Q) является прямоугольник 1 = +

поверхности (Q) является прямоугольник 1 = + 7 ) Проекцией ( D поверхности (Q) является прямоугольник, ( + z ) dq = cosγ + ( ) dd = d ( ) d + = ( D ) = + = d d = = Пример Вычислить ( n, ) r r dq, если (Q) - замкнутая поверхность, лежащая в первом

Подробнее

Семинар 26. Поверхностные интегралы 2-го рода

Семинар 26. Поверхностные интегралы 2-го рода Семинар 6 Поверхностные интегралы -го рода сфера прямоугольник лист Мёбиуса О. Гладкая поверхность называется двусторонней, если на ней можно задать непрерывное поле нормалей, т.е. можно задать вектор

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу.

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 1. Задача, приводящая к двойному интегралу. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Задача, приводящая к двойному интегралу. Найти цилиндрического тела, основанием которого является часть координатной плоскости O, которую будем называть областью. Сверху тело ограниченно

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Программа и контрольные работы 5-7 по курсу. «Высшая математика» Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии Факультет дистанционных форм обучения МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Программа и контрольные работы

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа

Поверхностные интегралы 1-го типа Глава 4 Поверхностные интегралы 1-го типа 4.1 Необходимые сведения из теории По аналогии с криволинейным интегралом 1-го типа, физическая иллюстрация которого состоит в нахождении массы материальной кривой

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета.

Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Экзаменационный билет. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия.. Вычисление двойного интеграла. 3. Найти общее решение уравнения y " 5y ' + y = 0. 4. Вычислить y d dy dz. 0 0 y Экзаменационный

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Поэтому для определения площади используют следующую модель. Пусть: f

Поэтому для определения площади используют следующую модель. Пусть: f 5 Площадь поверхности Если определять площадь поверхности объемной фигуры по аналогии с плоской поверхностью как точная нижняя грань суммы площадей граней описанного многогранника то полученный результат

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t)

Кинематика точки. Задачи. - орты осей X, Y и Z) (A, B, C положительные постоянные, ex. 3. Материальная точка движется вдоль оси x по закону: x( t) 1 Кинематика точки Задачи (,, положительные постоянные, e, e, ez - орты осей X, Y и Z) 1 Материальная точка движется вдоль оси по закону: ( ) cos ω Найдите проекцию скорости V () Материальная точка движется

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

Интегралы по фигуре и теория поля

Интегралы по фигуре и теория поля Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Р М Минькова Интегралы по фигуре и теория поля Учебное пособие для студентов дистанционной и заочной

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007

Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 2007 - - Chair of Math. Analysis, SPb. State University. A.V.Potepun, 7 к интегралам в пространствах меньшей размерности. ТЕМА. Сведение интеграла в R Потепун А.В. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ интегралы по мере Лебега

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Подробнее

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры

Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Площадь плоской фигуры Глава 11 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 11.1. Площадь плоской фигуры Под плоской фигурой будем понимать любое множество точек плоскости. Из курса школьной геометрии известно понятие площади многоугольника. При выбранной

Подробнее

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского. Национальный исследовательский университет Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс "Физические основы информационно-телекоммуникационных

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу:

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу: МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0, ЗАДАЧИ С (лекция для учителей в издательстве «Бином» 000) Замечания и пожелания направляйте по адресу: prokof@nderu Различные методы решения задач на определение углов в пространстве

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 8-9 Вычисление потока векторного поля через поверхность Формула Остроградского-Гаусса Потоком вектора a через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания»

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания» Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том 3, под ред. Рябушко А.П. для студентов дневной формы

Подробнее

«Функции нескольких переменных»

«Функции нескольких переменных» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

D z = f(x, y). D D (1) f(x, y) dx dy = i=1

D z = f(x, y). D D (1) f(x, y) dx dy = i=1 Кратные интегралы. Определение двойного интеграла Пусть дана на плоскости область, ограниченная замкнутой линией L, не имеющей самопересечений, и непрерывная в функция z = fx, y). Рассмотрим измельчение

Подробнее

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Соболев С.К. Двойные интегралы. Методические указания к решению задач

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Соболев С.К. Двойные интегралы. Методические указания к решению задач Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана. Соболев С.К. Двойные интегралы. Методические указания к решению задач Москва МГТУ им. Баумана 8 С.К. Соболев. Двойные интегралы Предисловие

Подробнее

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского С. А. Лавренченко www.lawenceno.u Лекция 7 Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского Формулу Стокса можно рассматривать как трехмерный аналог формулы Грина. Формула Грина сводит двойной интеграл по плоской

Подробнее

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет А. Ю. ДАНЬШИН КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие Казань 2010 УДК 517.3 Публикуется по решению Редакционно-издательского

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС. Найти: Задача. Даны вершины треугольника АВС. Найти: ) длины сторон, ) уравнения сторон, ) угол при вершине В, ) площадь треугольника АВС, ) центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника

Подробнее

Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля»

Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля» МАТИ РГТУ им. К. Э. Циолковского Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля» Авторы: Заварзина И.Ф. Кулакова Р.Д. Москва г ВВЕДЕНИЕ. Данные методические

Подробнее

1 dx. x 2 sin xydy. Замечание. Использованы характерные обозначения для полярных координат, но на вычислении интеграла это никак не отражается.

1 dx. x 2 sin xydy. Замечание. Использованы характерные обозначения для полярных координат, но на вычислении интеграла это никак не отражается. Целью данного пособия является иллюстрация некоторых простейших методов, позволяющих вычислять повторные, двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы. Кроме этого проиллюстрировано выполнение

Подробнее

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения.

Лекция 5. Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. Лекция 5 Замена переменных и интегрирование по частям. Геометрические приложения. 1 Замена переменной в определённом интеграле Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке, а функция непрерывно дифференцируема

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В.

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В. Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 Лекция 9 Тема: Преобразование координат Полярные координаты План лекции Преобразование АСК на плоскости Преобразование ПДСК на плоскости 3 Полярные координаты 4 Переход от полярной системы к присоединенной

Подробнее

1 Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции

1 Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции 277 Δ ( 2 3) S f P q f x, x, x Δq. Ее предел, если он существует, называют поверхностным интегралом от функции f ( x, x2, x3) по площади поверхности (Q) или поверхностным интегралом первого рода и обозначают

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФИГУРЕ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Вычислите криволинейные интегралы первого рода: а) (x + y) dl, где L граница треугольника с вершинами А(1, 0), В(0,

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть V для студентов-заочников всех специальностей МИНСК 999 4 Составители Гладков Л.Л. Назарова И.В.

Подробнее

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 7 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Пусть { r = ( uv, ) ( uv, ) } непрерывно дифференцируемая поверхность, а квадрируемая область Рассмотрим разбиение плоскости переменных u и v на квадраты

Подробнее

Задача 5. Задача 1. Задача 2. Задача 6. Задача 3. Задача 7. Задача 4. Задача 8. Вычислить площадь части поверхности

Задача 5. Задача 1. Задача 2. Задача 6. Задача 3. Задача 7. Задача 4. Задача 8. Вычислить площадь части поверхности Задача 1 Найти координаты центра тяжести полуокружности y = r 2 x 2. Задача 5 площадь части поверхности z = 1 4 xy, расположенной внутри поверхности x 2 + y 2 = 16. Задача 2 Изменить порядок интегрирования

Подробнее

Приложения теории поля

Приложения теории поля Глава 13 Приложения теории поля 13.1 Необходимые сведения из теории Как известно, векторный анализ широко применяется в самых разнообразных разделах физики, от механики и электродинамики, до статистической

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 3 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Е.И. Федорако Минск 7 7 Кафедра

Подробнее

Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 8 ВЫЧИСЛЕНИЯ В СТЕРЕОМЕТРИИ 8.1. РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ 8.1.1. Расстояние от точки до плоскости с известным вектором нормали. Уравнение плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Часто встречается задача

Подробнее

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа.

~ 1 ~ ФКП. Производная функции комплексного переменного (ФКП), условия Коши - Римана, понятие регулярности ФКП. Изображение и вид комплексного числа. ~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее