Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения."

Транскрипт

1 Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между этими векторами, приведенными к общему началу. Его обозначение = [ (~a; ~ b). Очевидно, что 0. Определение. Скалярным произведением двух векторов ~a и ~ b (пишем (~a ~ b)) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (~a ~ b) = j~ajj ~ bj cos [ (~a; ~ b): (7.1) Обращаясь к формуле, по которой вычисляется проекция вектора на ось, можно (7.1) записать в виде (a) (~a ~ b) = j~ajпр ~a ~ b; (b) (~a ~ b) = j ~ bjпр~b ~ b: (7.) Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию второго вектора на ось, направление которой определяется первым вектором. Свойство 1. Для любых ~a и ~ b имеем (~a ~ b) = ( ~ b~a): В самом деле, из равенства cos [ (~a; ~ b) = cos [ ( ~ b;~a) следует коммутативность скалярного произведения. Свойство. Для любого ~a 6= 0 : (~a~a) = ~a = j~aj > 0: Скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда ~a есть нуль-вектор. Свойство 3. Для любого R и любых векторов ~a и ~ b ((~a) ~ b) = (~a ~ b): Действительно, ((~a) ~ b) = j ~ bjпр ~b (~a) = j ~ bjпр ~b ~a = (~a ~ b): Свойство 4. Для любых векторов ~a; ~ b;~c выполнено (~a( ~ b + ~c)) = (~a ~ b) + (~a~c): 47

2 На основании (7.) имеем (~a( ~ b + ~c)) = j~ajпр ~a ( ~ b + ~c) = j~aj(пр ~a ~ b + Пр~a ~c) = (~a ~ b) + (~a~c): Теорема 1. Два вектора ортогональны друг другу тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Пусть векторы ~a и ~ b не нулевые и ортогональны между собой: [ (~a; ~ b) = : Так как cos (~a; ~ [ b) = cos = 0; то (~a~ b) = 0: Если же один из векторов нулевой, то его длина равна нулю и (~a ~ b) = 0: Обратно, если (~a ~ b) = j~ajj ~ bj cos [ (~a; ~ b) = 0; то хотя бы один из множителей равен нулю. В случае равенства нулю одного из первых двух множителей один из векторов нулевой, который всегда можно считать ортогональным к любому вектору. Если cos [ (~a; ~ b) = 0; то [ (~a; ~ b) = векторы ортогональны между собой. Все перечисленные выше определения и свойства установлены безотносительно к какой-либо системе координат - они инвариантны относительно выбора системы координат. Введем сейчас прямоугольную систему координат и установим, как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе f~{; ~ ; ~ kg: Все приводимые ниже формулы введены для пространства (для плоскости во всех формулах третью координату следует положить равной нулю). Учитывая, что базис f~{; ~ ; ~ kg есть ортонормированный базис, получим (~{~ ) = 1; (~{~) = 0; (~ ~ ) = 1; (~ ~ k) = 0; ( ~ k ~ k) = 1: (7.3) Если ~a = x 1 ~{ + y 1 ~ + z 1 ~ k; то, воспользовавшись свойствами (3) и (4), имеем (~{~ ) = x 1 x (~{~{) + x 1 y (~{~ ) + x 1 z (~{ ~ k) + y 1 x (~ ~{) + y 1 y (~ ~ ) + + y 1 z (~ ~ k) + z 1 x ( ~ k~{) + z 1 y ( ~ k~ ) + z 1 z ( ~ k ~ k): С учетом (7.3) и свойства (7.1) окончательно получим (~a ~ b) = x 1 x + y 1 y + z 1 z : (7.4) Итак, скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов. 48

3 На основании (7.4) могут быть тотчас получены вычислительные формулы для длины вектора, орта вектора, проекции вектора, косинуса угла между векторами и другие геометрические приложения. Длина вектора ~a(x 1 ; y 1 ; z 1 ) j~aj = p (~a~a) = q x 1 + y 1 + z 1 : (7.5) Орт вектора ~a(x 1 ; y 1 ; z 1 ) (~a 6= ~ 0) ~a 0 ~a x 1~{ = j~aj = + y 1 ~ + z 1 ~ p k : (7.6) x 1 + y1 + z 1 Поэтому для направляющих косинусов вектора ~a имеем cos = cos = x p 1 y ; x 1 + y1 cos = p 1 ; + z 1 x 1 + y1 + z 1 z p 1 : (7.7) x 1 + y1 + z 1 Проекция вектора ~ b(x ; y ; z ) на ось с направлением ~a(x 1 ; y 1 ; z 1 ) (~a 6= ~ 0) Пр~a ~ b x 1x + y 1 y + z 1 z = p : (7.8) x 1 + y1 + z 1 Косинус угла между векторами (~a 6= ~ 0; ~ b 6= ~ 0) cos (~a; ~ (~a~ b) x 1 x [ b) = j~ajj ~ bj = + y 1 y + z 1 z p p : (7.9) x 1 + y1 + z 1 x + y + z На основании доказанной выше теоремы получаем, что необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является следующее условие: x 1 x + y 1 y + z 1 z = 0: (7.10) Пример 1. Найти орт вектора ~a(1; 1; 5): Согласно (7.6) имеем ~a 0 = p ~{ ~ + 5 ~ k = p 1 ~{ 1 + ( 1) p ~ + p 5 ~ k: 7 7 Пример. Дан вектор ~a(6; 18; z). Найти z; если j~aj = 1. 49

4 В силу (7.5) имеем q 1 = 6 + ( 18) + z ; z = p = 9: Понятие скалярного произведения векторов пришло из физики, и мы остановимся на одном из физических приложений скалярного произведения для подсчета работы силы. Рис. 1: Пусть требуется вычислить работу W силы ~F по перемещению материальной точки из точки A в точку B по прямолинейному пути (рис. 1). Если бы материальная точка двигалась по направлению действия силы ~F (угол = 0), то, по определению, работа силы равна произведению величины силы на длину перемещения: W = j ~F jj ABj = ( ~F AB. Если же точка движется под углом к направлению силы, то работает только составляющая AC ~ 0, направленная по линии перемещения AB. ~ Перпендикулярная составляющая силы уравновешивается сопротивлением. Поэтому W = (Пр AB ~F )j ABj = ( ~F AB): (7.11) Другие физические приложения скалярного произведения векторов мы находим в курсе "Общей физики" читаемом параллельно с данным курсом. Переходим к определению векторного произведения двух векторов. Определение 3. Векторным произведением векторов ~a и ~ b называется вектор ~x, который: (1) перпендикулярен к плоскости векторов ~a и ~ b; () j~xj = j~ajj ~ bj sin [ (~a; ~ b); (3) направлен так, что тройка f~a; ~ b; ~xg правая (Рис. 13). Векторное произведение обозначается символом ~x = [~a ~ b] (либо ~x = ~a ~ b). 50

5 Рис. 13: Приведенные условия (1)-(3) однозначно определяют векторное произведение, если сомножители - ненулевые векторы. Если хотя бы один из множителей нуль-вектор, векторное произведение, по определению, нулевой вектор. Отметим также, что из условия () вытекает: модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах ~a и ~ b. Рассмотрим свойства векторного произведения. Свойство 1. ~ b : [~a ~ b] = [ ~ b~a]. Действительно, для ~x 1 = [ ~ b~a] выполнены условия (1), (). Но, чтобы тройка f ~ b;~a; ~xg была правой, вектор ~x 1 должен быть направлен в сторону, противоположную вектору ~x = [~a ~ b]: Свойство. Для любого R и любых ~a и ~ b имеем [(~a) ~ b] = [~a ~ b] = [~a( ~ b)]: (7.1) При = 0 справедливость равенства очевидна. Пусть > 0. Тогда ~a имеет то же направление, что и вектор ~a. Длины векторов j[(~a) ~ b]j и [~a ~ b] совпадают, так как j[(~a) ~ b]j = j~ajj ~ bj sin [ (~a; ~ b) = j~ajj ~ bj sin [ (~a; ~ b) = j[~a ~ b]j: Направления их также совпадают (ориентация тройки не меняется). Аналогичные рассуждения имеют место и при < 0. 51

6 Рис. 14: Свойство 3. Для любых векторов ~a; ~ b;~c имеем [(~a + ~ b)~c] = [~a~c] + [ ~ b~c]: (7.13) Предварительно докажем, что имеет место равенство [(~a + ~ b)~c 0 ] = [~a~c 0 ] + [ ~ b~c 0 ]; (7.14) где ~c 0 - орт вектора ~c. Умножив затем (7.14) заметим, что вектор [~a~c 0 ] можно построить следующим образом. На плоскость, перпендикулярную к ~c 0, спроектируем направленный отрезок OA = ~a. Затем повернем по часовой стрелке вектор OA 0 на угол и получим вектор OA 00 (Рис. 14а). Имеем: OA 00 = [~a~c 0 ]; так как (1) OA 00 перпендикулярен ~a и ~c 0 ; () joa 00 j = joa 0 j = j~aj cos ' = j~ajj~c 0 j sin '; (3) тройка f~a;~c 0 ; OA 00 g - правая. Спроектируем далее на плоскость, перпендикулярную к ~c 0, векторы OA 0, A 0 B 0 ; OB 0. После поворота на = этих векторов по часовой стрелке можно записать, что OA 00 + A 00 B 00 = OB 00. Обращаясь к высказанному замечанию, заключаем, что справедливо равенство (7.14) а после умножения его на = j~cj убеждаемся в выполнении равенства (7.13) Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Пусть векторы ~a и ~ b коллинеарны. Следовательно, либо [ (~a; ~ b) = 0; либо [ (~a; ~ b) = : В обоих случаях sin [ (~a; ~ b) = 0: Это означает, что j[~a ~ b]j = 0. Векторное произведение есть нуль-вектор. 5

7 Пусть, обратно, [~a ~ b] = 0. Тогда j[~a ~ b]j = j~ajj ~ bj sin [ (~a; ~ b) = 0: Если хотя бы один из первых сомножителей равен нулю, то данный вектор является нулевым и коллинеарность установлена. Если sin [ (~a; ~ b) = 0; то (1) (~a; ~ [ b) = 0; () (~a; ~ [ b) = : Векторы коллинеарны. Изложенные свойства векторного произведения инвариантны относительно выбора системы координат. Пусть задана прямоугольная система координат f0;~{; ~ ; ~ kg: Легко проверить, что выполнены следующие условия: [~{~{] = 0; [~ ~ ] = 0; [ ~ k ~ k] = 0 [~{~ ] = ~ k; [~ ~ k = ~{; [ ~ k~{] = ~ ) : (7.15) Пользуясь свойствами 1,, 3 и таблицей (7.15), для векторов ~a = x 1 ~{ + y 1 ~ + z 1 ~ k и ~ b = x ~{ + y ~ + z ~ k получим [~a ~ b] = x 1 x [~{~{] + x 1 y [~{~ ] + x 1 z [~{ ~ k] + y 1 x [~ ~{]+ +y 1 y [~ ~ ] + y 1 z [~ ~ k] + z 1 x [ ~ k~{] + z 1 y [ ~ k~ ]+ ~ y z z 1 z [ ~ k ~ k] = ~{ y 1 z 1 x 1 z 1 x z + ~ k y 1 y 1 : (7.16) y y Обращаясь к свойству разложения определителя по элементам строки, окончательно получим формулу вычисления векторного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе [~a ~ b] = ~{ ~ ~ k x 1 y 1 z 1 x y z : (7.17) Заметим, что хотя в первой строке определителя стоят векторы (а не числа), запись (7.17) законная, так как операции умножения вектора на число и суммы векторов подчиняются тем же правилам, что и числовые элементы. Поскольку условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения, то, приравнивая определитель в правой части (7.16) нулю и учитывая линейную независимость векторов ~{; ~ ; ~ x1 y k; получим, что ранг матрицы 1 z 1 равен 1 и, следовательно, x y z условие x1 y ранг 1 z 1 = 1 (7.18) x y z 53

8 является необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов ~a и ~ b. Одним из геометрических приложений векторного произведения является вычисление с его помощью площади треугольника с вершинами в точках A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ); A (x ; y ; z ); A 3 (x 3 ; y 3 ; z 3 ): Имеем: ~a = A 1 A = ~{(x x 1 ) + ~ (y y 1 ) + ~ k(z z 1 ); ~ b = A 1 A 3 = ~{(x 3 x 1 )+~ (y 3 y 1 )+ ~ k(z 3 z 1 ): В силу того, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах A 1 ~ A ; A 1 ~ A 3 ; получим S = 1 j[~a~ b]j = 1 j ~{ ~ ~ k x x 1 y y 1 z z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 j: (7.19) Если речь идет о площади треугольника на плоскости, заданного своими вершинами A 1 (x 1 ; y 1 ); A (x ; y ); A 3 (x 3 ; y 3 ); то в формуле (7.19) необходимо положить z 1 = z = z 3 = 0 и разложить определитель по элементам последнего столбца S = 1 j ~{ ~ ~ k x x 1 y y 1 0 x 3 x 1 y 3 y 1 0 j = 1 j x x 1 y y 1 j (7.0) x 3 x 1 y 3 y 1 Одним из физических приложений является подсчет момента силы с помощью векторного произведения. Пусть твердое тело закреплено в точке A и в точке B приложена сила ~F : Вращающий момент, возникающий в этом случае, вычисляется по следующей формуле (так показывает опыт): ~M = AB ~F : (7.1) 54

9 Лекция 8 Cмешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение. Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости и в пространстве Зная операции скалярного и векторного умножения двух векторов, что можно сказать о комбинированных произведениях трех векторов? Имеются следующие возможности для комбинированного произведения: (1) (~a ~ b)~c; () ([~a ~ b]~c); (3) [~a[ ~ b~c]]. В первом случае ответ простой-получаем вектор, коллинеарный вектору ~c. Случаи () и (3) требуют более подробного рассмотрения. Определение 1. Смешанным произведением трех векторов ~a; ~ b;~c называется число, получаемое от умножения вектора [~a ~ b] скалярно на ~c. Оно обозначается символом (~a ~ b~c), т.е. (~a ~ b~c) = ([~a ~ b]~c). Рис. 15: Выясним геометрический смысл смешанного произведения, считая, что f~a; ~ b;~cg не компланарная тройка векторов. Учитывая, что вектор ~x = [~a ~ b] имеет длину, равную численно площади параллелограмма, построенного на ~a и ~ b, и перпендикулярен к плоскости параллелограмма, из равенства ([~a ~ b]~c) = (~x~c) = j~xjпр ~x ~c = h S (8.1) выводим, что в случае правой тройки смешанное произведение равно объему V параллелепипеда,построенного на векторах ~a; ~ b;~c, а в случае 55

10 левой тройки объему параллелепипеда, взятому со знаком минус (рис. 15). Теорема 1. Тройка векторов f~a; ~ b;~cg компланарна тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Необходимость. Пусть тройка f~a; ~ b;~cg компланарна. Это может осуществиться в трех случаях: (1) один из векторов есть нуль-вектор, () пара векторов коллинеарна, (3) векторы лежат или параллельны одной плоскости. Во всех трех случаях в соотношениях (1) либо j~xj = 0 либо Пр ~x ~c и, следовательно, смешанное произведение равно нулю. Достаточность. Пусть f~a; ~ b;~cg = 0. Это означает, что j[~a ~ b]jпр ~x ~c = 0. Если первый сомножитель равен нулю, то векторное произведение[~a ~ b] равно нулю, векторы ~a; ~ b коллинеарные, а, следовательно, тройка f~a; ~ b;~cg компланарная. Если Пр ~x ~c = 0, то вектор ~c ортогонален плоскости параллелограмма, построенного на векторах ~a и ~ b. Имеем компланарную тройку векторов. Теорема доказана. Свойство 1. Операции скалярного и векторного умножений в смешанном произведении можно поменять местами, т.е. ([~a ~ b]~c) = (~a[ ~ b~c]) = ([ ~ b~c]~a): (8.) Справедливость этого равенства следует из того что ориентация троек f~a; ~ b;~cg и f ~ b;~c;~ag не меняется, а параллелепипед для обеих троек один и тот же. Свойство. Круговая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения. Перестановка местами двух соседних сомножителей изменяет знак произведения на противоположный, т.е. (~a ~ b~c) = ( ~ b~c~a) = (~c~a ~ b) = ( ~ b~a~c) = (~a~c ~ b) = (~c ~ b~a): (8.3) В самом деле, в силу коммутативности скалярного произведения и свойства 1 имеем (~a ~ b~c) = ([~a ~ b]~c) = (~c[~a ~ b]) = (~c~a ~ b) (~a ~ b~c) = (~a[ ~ b~c]) = ([ ~ b~c]~a) = ( ~ b~c~a) ) : (8.4) В силу антикоммутативности векторного произведения и равенства (8.4) получим (~a ~ b~c) = ([~a ~ b]~c) = ([ ~ b~a]~c) = ( ~ b~a~c) (8.5) 56

11 Пусть выбрана прямоугольная система координат. В ортонормированном базисе (~{; ~ ; ~ k) векторы ~a; ~ b;~c имеют координаты (x 1 ; y 1 ; z 1 ), (x ; y ; z ), (x 3 ; y 3 ; z 3 ). Согласно определению смешанного произведения как скалярного произведения векторов [~a ~ b] и ~c и выражению (7.16) для [~a ~ b] получим (~a ~ b~c) = x 3 y 1 z 1 y z y 3 x 1 z 1 x z + z 3 x 1 y 1 x y : (8.6) Первая часть (8.6) с учетом свойств определителей представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам последней строки. Поэтому x 1 y 1 z 1 (~a ~ b~c) = x y z x 3 y 3 z 3 : (8.7) Получили компактное выражение смешанного произведения через координаты векторов сомножителей. Переходим к рассмотрению третьей возможности комбинированного произведения трех векторов. Определение. Двойным векторным произведением векторов ~a; ~ b;~c называется выражение вида [~a[ ~ b~c]]. Рассмотрим это произведение в прямоугольной системе координат, когда векторы ~a; ~ b;~c заданы своими координатами: ~a = x 1 ~{+y 1 ~ +z 1 ~ k; ~ b = x ~{ + y ~ + z ~ k;~c = x3 ~{ + y 3 ~ + z 3 ~ k: [~a[ ~ b~c]] = ~{ ~ ~ k x 1 y 1 z 1 y z y 3 z 3 x z x y x 3 z 3 y 3 Раскрывая определитель по элементам первой строки, вычисляя определители второго порядка и добавляя в сомножителях при ~{; ~ ; ~ k соответственно нули в виде (x 1 x x 3 x 1 x x 3 ); (y 1 y y 3 y 1 y y 3 ); (z 1 z z 3 x 3 : 57

12 z 1 z z 3 ), получим [~a[ ~ b~c]] = ~{(y 1 x y 3 y 1 x 3 y z 1 x 3 z z 1 x z 3 + x 1 x x 3 x 1 x x 3 ) + + ~ (z 1 y z 3 z 1 y 3 z x 1 x y 3 + x 1 x 3 y + y 1 y y 3 y 1 y y 3 ) + + ~ k(x 1 x 3 z x 1 x z 3 y 1 y z 3 + y 1 y 3 z + z 1 z z 3 z 1 z z 3 ) = = (x ~{ + y ~ + z ~ k)(x1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 ) (x 3 ~{ + y 3 ~ + z 3 ~ k)(x1 x + y 1 y + z 1 z 3 ): Поскольку (x 1 x 3 + y 1 y 3 + z 1 z 3 ) = (~a~c); (x 1 x + y 1 y + z 1 z 3 ) = (~a ~ b), то окончательно имеем [~a[ ~ b~c]] = ~ b(~a~c) ~c(~a ~ b): (8.8) Формула (8.8) носит название формулы раскрытия двойного векторного произведения по векторам- сомножителям внутреннего векторного произведения. Очевидно, что используя определение смешанного произведения векторов и (8.8), можно рассматривать различные комбинированные произведения четырех и т.д. векторов. Пример 1. Компланарны ли векторы ~a = (; 3; 1); ~ b = (1; 1; 3);~c = (1; 9; 11)? Вычислим определитель = (11 7) 3( 11 3) 1(9 + 1) = 0: Векторы компланарны. Пример. Проверить справедливость равенства [[~a ~ b]~c] + [[ ~ b~c]~a] + [[~c~a] ~ b] = 0: Представим сомножители во внешних векторных произведениях и воспользуемся формулой (8.8). Имеем [~c[~a ~ b]] = ~a(~c ~ b) ~ b(~c~a); [~a[ ~ b~c]] = ~ b(~a~c) ~c(~a ~ b); [ ~ b[~c~a]] = ~c( ~ b~a) ~a( ~ b~c): Сложим все три равенства и учтем коммутативность скалярного произведения пары векторов. При сложении правые части взаимно уничтожаются и справедливость написанного равенства доказана. 58

13 В заключение лекции остановимся на вопросе о переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой. Сначала рассмотрение проведем для плоскости, пусть fo;~{; ~ g некоторая прямоугольная система координат на плоскости и пусть fo 0 ;~{ 0 ; ~ 0 g другая прямоугольная система координат (рис. 16а). Координаты точки M в первой системе координат есть координаты OM в базисе f~{; ~ g( OM = ~{x + ~ y): Координаты точки во второй системе координат есть координаты вектора O 0 M в базисе f~{ 0 ; ~ 0 g( O 0 M = x 0 i 0 + y 0 j 0. Установим связь координат (x; y) с координатами (x 0 ; y 0 ) точки. С этой целью заметим (рис. 16б), что Рис. 16: ~{ 0 = (Пр ~{ ~{ 0 )~{ + (Пр ~ ~{ 0 )~ = ~{ cos( ~{;~{ c0 ) + ~ cos( ~ ;~{ c0 ) ~ 0 = (Пр ~{ ~ 0 )~{ + (Пр ~ ~ 0 )~ = ~{ cos( c ~{; ~ 0 + ~ cos( d ~ ; ~ 0 ) ) : (8.9) Если обозначить через угол между осью Ox и осью O 0 x 0, то (8.9) примет вид ~{ 0 = ~{ cos + ~ sin ~ 0 : (8.10) = ~{ sin + ~ cos Радиусы - векторы точки связаны соотношением OM = в первой и второй системе координат OO 0 + O 0 M: (8.11) Если (~a; ~ b) координаты нового начала O 0, то (8.11) примет вид x~{ + y~ = a~{ + b~ + x 0 ~{ 0 + y 0 ~ 0 : (8.1) 59

14 Подставим в (8.1) вместо ~{ 0 ; ~ 0 их выражения (8.10) окончательно получим x~{ + y~ = a~{ + b~ + x 0 (~{ cos + ~ sin ) + ~y( ~{ sin + ~ cos ): (8.13) В силу линейной независимости векторов ~{ и ~ коэффициенты при них в левой и правой частях (8.13) равны между собой. Мы получаем связь координат не штрихованной системы координат с координатами штрихованной системы координат x = x 0 cos y 0 sin + a y = x 0 sin + y 0 cos + b (8.14) Если (8.13) разрешить относительно x 0 ; y 0, то получим выражение для новых (штрихованных) координат x 0 = x cos y sin + a 0 y 0 = x sin + y cos + b 0 (8.15) где a 0 = a cos b sin ; b 0 = a sin b cos есть координаты точки O относительно штрихованной системы координат. Очевидно, что если = 0, то совершен лишь параллельный перенос начала координат без вращения осей координат. Полагая = 0 в (8.14), (8.15) и выражениях для a 0 и b 0 ; получим x = x 0 + a x 0 = x a y = y 0 + b y 0 : (8.16) = y b Если a = b = 0; 6= 0, то перенос начала координат не совершается, происходит лишь поворот осей. Для него имеем x = x 0 cos y 0 sin x 0 = x cos y sin + a 0 y = x 0 sin + y 0 cos y 0 = x sin + y cos + b 0 : (8.17) Осуществим сейчас переход в пространстве от одной прямоугольной системы координат fo;~{; ~ ; ~ kg к другой прямоугольной системе координат fo 0 ;~{ 0 ; ~ 0 ; ~ k 0 g без переноса начала координат. ( OO 0 = ~ 0) и с сохранением ориентации (обе тройки векторов правые). Очень часто в приложениях формулы перехода, связывающих штрихованные и нештрихованные координаты, требуется записать через три независимых параметра - углы Эйлера. 60

15 Рис. 17: С этой целью переход от первого ортонормированного базиса ко второму разобьем на три этапа (рис. 17). Первый этап. (рис. 17а). Повернем вокруг оси Oz на угол ' оси Ox и Oy. Новые оси обозначим через Ox 0 ; Oy 0 ; Oz 0. Согласно формулам (8.17) поворота осей на плоскости P имеем x = x 1 cos ' y 1 sin ' y = x 1 sin ' + y 1 cos ' z = z 1 9 = ; (8.18) Второй этап. (рис. 17б). Повернем вокруг оси Ox 1 оси Oy 1 ; Oz 1 на угол. Новые оси обозначим через Ox ; Oy ; Oz. Имеем x 1 = x y 1 = y cos z sin z 1 = y sin + z cos 9 = ; (8.19) Третий этап. (рис. 17в). Повернем вокруг оси Oz в плоскости Q оси Ox ; Oy на угол. Получим оси Ox 0 ; O 0 y; Oz 0. Формулы перехода следующие: x = x 0 cos y = x 0 sin z = z 0 61 y 0 sin y 0 cos 9 = ; (8.0)

16 Подставляя сейчас (8.0) в (8.19), а затем полученный результат в (8.18), получим следующий переход от одной прямоугольной системы координат в пространстве к другой прямоугольной системе без переноса начала координат: 8 >< >: x = (cos ' cos sin ' cos sin )x 0 (cos ' sin + sin ' cos cos )y 0 + z 0 sin ' sin ; y = (sin ' cos + cos ' cos sin )x 0 (sin ' sin cos ' cos cos )y 0 z 0 cos ' sin ; z = x 0 sin sin + y 0 sin cos + z 0 cos ): (8.1) Чтобы получить выражение x 0 ; y 0 ; z 0 через "старые " координаты x; y; z; необходимо в (8.1) заменить ' на '; на ; на, штрихованные координаты на нештрихованные. В случае, если осуществлен и перенос начала координат ( OO 0 = a~{ + b~ + c ~ k), то к правым частям соотношений (8.1) нужно добавить соответственно слагаемые a; b; c. На этом подготовительный материал ( играющий также значительную самостоятельную роль в приложениях совершенно независимо от излагаемого ниже) окончен, и мы можем перейти к непосредственным вопросам аналитической геометрии на плоскости и в пространстве. 6


Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский Федеральный Университет» Институт математики и механики им НИ Лобачевского АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА I семестр Курс лекций для студентов математического

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский Федеральный Университет» Институт математики и механики им НИ Лобачевского АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА Учебное пособие I-II семестры Курс лекций для

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos 2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов

b a b c а O a ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов 05 ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ П.1. Понятие вектора. Сложение векторов В механике различают величины скалярные и векторные. К скалярным величинам относятся: масса, энергия, механическая работа,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Балтийский государственный технический университет «Военмех» В.Л. ФАЙНШМИДТ ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

) - с координатами O M в O x

) - с координатами O M в O x Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее