ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТЕМА 7. Случайные процессы. Оглавление. 7.1 Случайные процессы"

Транскрипт

1 ТЕМА 7. Случайные процессы. Цель контента темы 7 дать начальные понятия о случайных процессах и цепях Маркова в частности; очертить круг экономических задач, которые используют в своем решении модели, базирующиеся на цепях Маркова. Задачи контента темы 7: Определить понятие случайного процесса, дать классификацию случайных процессов. Определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию случайных процессов, а также сформулировать их свойства. Определить понятие цепи Маркова, матрицы вероятностей переходов из одного состояния в другое. Познакомить читателя с некоторыми задачами, где используются цепи Маркова. Оглавление Случайные процессы. Определение случайного процесса. Классификация случайных процессов. Числовые характеристики случайного процесса Цепь Маркова. Состояния Матрица вероятностей переходов Обзор использования марковских цепей для моделирования социальноэкономических процессов. Модель Морана в теории запасов. Цепи Маркова с доходами. 7.1 Случайные процессы Определение случайного процесса. Пусть задано множество Ω множество элементарных исходов и некоторое множество T, являющееся подмножеством множества вещественных чисел, то есть T R. 1

2 Определение Будем называть случайной функцией вещественную числовую функцию двух аргументов ω Ω и t T. Обозначим случайную функцию ξ(w, t). Если аргумент t принимает смысл времени t 0, то случайную функцию будем называть случайным процессом. Итак, случайный процесс это случайная функция ξ(w, t), определенная на множества Ω T, такая, что при каждом фиксированном значении t = t 0 T получается случайная величина ξ(ω, t 0 ), определенная на множестве Ω. При каждом фиксированном ω = ω 0 Ω получается числовая функция вещественной переменной t T : ξ(ω 0, t) = x(t). Определение Сечением случайного процесса ξ(ω, t) называют случайную величину ξ(w), соответствующую фиксированному значению аргумента t = t 0 T. Определение Реализацией случайного процесса ξ(ω, t) называют неслучайную функцию x(t), равным которой может оказаться случайный процесс в результате случайного эксперимента, то есть в результате реализации элементарного исхода ω 0 Ω. В дальнейшем для краткости будем вместо обозначения случайного процесса ξ(ω, t) использовать ξ(t). Пример Дан случайный процесс ξ(t) = ξt 5, где ξ случайная величина, распределенная по закону Бернулли с параметром p = 0, 8. Найти реализации случайного процесса и изобразить их графически. Так как ξ имеет бернуллиевское распределение вероятностей, ее ряд распределения имеет вид: x i 0 1 p i 0,2 0,8 Если случайная величина ξ примет значение 0, то реализацией случайного процесса будет функция x 1 (t) = 0 t 5, то есть x 1 (t) = 5. Если произойдет случайное событие ξ = 1, то данный случайный процесс реализуется функцией x 2 (t) = 1 t 5 = t 5. Графические изображения реализаций представлены на рис

3 x x2(t) 5 t O -5 x1(t) Рис Классификация случайных процессов Заметим, что в примере случайная величина ξ имеет дискретный тип распределения, а значит все сечения случайного процесса в этом примере являются дискретными случайными величинами. В этом случаи процесс называют дискретным. Если сечения имеют непрерывный тип распределения, то случайный процесс называют непрерывным. Кроме того, в примере время является непрерывной переменной. В этом случае говорят, что рассматривается случайный процесс с непрерывным временем. Если переменная t принимает отдельные дискретные значения, то случайный процесс является процессом с дискретным временем. Таким образом можно дать следующую классификацию случайных процессов. Случайные процессы дискретные непрерывные с дискретным временем с непрерывным временем с дискретным временем с непрерывным временем Рис Отметим, в частности, что если аргумент t случайной функции изменяется дискретно, то есть t T = {t 1, t 2,..., t n }, то соответствующие сечения случайного процесса образуют случайную конечную последовательность ξ 1, ξ 2,..., ξ n, а реализацией является числовой вектор. Случайный процесс характеризуется распределением его сечений. 3

4 Если фиксировать t, то есть t = t 0, то получим случайную величину ξ(t 0 ), у которой есть функция распределения F ξ (x, t 0 ). F ξ (x, t 0 ) = F ξ(t0 )(x) = P (ξ(t 0 ) < x). В частности, если ξ(t 0 ) дискретная случайная величина, то она принимает значения {x i (t 0 )} с вероятностями {p i (t 0 )} n i=1, причем n p i (t 0 ) = 1. i=1 Если ξ(t 0 ) непрерывная случайная величина, то она характеризуется плотностью распределения вероятностей f ξ(t0 )(x) = F ξ(t 0 ) (x) = f ξ(x, t 0 ). Пример Дан случайный процесс ξ(t) = ξt 5, где ξ распределена нормально с параметрами m = 0 и σ = 1. Найти плотность распределения вероятностей сечения, если t = t 0 > 0. При t = t 0 > 0 сечением данного случайного процесса является случайная величина ξ(t 0 ) = ξt 0 5, которая является функцией случайной величины ξ. Для решения задачи воспользуемся теоремой о плотности функции непрерывного случайного аргумента (4.5.1) ( 4.5.): f ξ(t0 )(y) = f ξ (ω(y)) ω (y), где ω(y) функция обратная к функции y(x) = x t 0 5: ω(y) = y + 5 t 0. Тогда ω (y) = 1 t 0 > 0, так как t 0 > 0. Запишем теперь выражение для плотности случайной величины ξ: f ξ (x) = 1 2π e x2 2. Для определения f ξ(t0 )(y) подставим вместо x выражения ω(y) и умножим на ω (y): f ξ(t0 )(y) = 1 e (y+5) 2 2t = 1 e (y+5) 2 2π t 0 t 0 2π 2t

5 Итак, f ξ(t0 )(y) = 1 e (y+5) 2 2t 2 0, t 0 2π то есть ξ(t 0 ) случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами m = 5 и σ = t 0. Напомним, что значение параметра m определяет математическое ожидание, а σ среднее квадратическое отклонение случайной величины. Числовые характеристики случайного процесса. Определение Математическим ожиданием случайного процесса ξ(t) = ξ(t, ω) называется неслучайная функция m ξ (t) = Mξ(t), (7.1.1) равная в каждый фиксированый момент времени t T R математическому ожиданию соответствующего сечения. Теорема Справедливы следующие свойства математического ожидания случайного процесса: 1. математическое ожидание неслучайной функции равно этой функции где a(t) неслучайная функция; Ma(t) = a(t), (7.1.2) 2. математической ожидание случайного процесса линейно, то есть M(a 1 (t)ξ 1 (t) + a 2 (t)ξ 2 (t)) = a 1 (t)m ξ1 (t) + a 2 (t)m ξ2 (t), (7.1.3) где a 1 (t) и a 2 (t) неслучайные функции; 3. если случайный процесс ξ(t) a, t T, то и математическое ожидание этого процесса m ξ (t) a, t T ; 4. абсолютная величина математического ожидания случайного процесса не превосходит математического ожидания абсолютной величины случайного процесса: Mξ(t) M ξ(t), t T. (7.1.4) Определение Дисперсией случайного процесса ξ(t) = ξ(ω, t) называют неслучайную функцию, равную математическому ожиданию случайного процесса (ξ(t) m ξ (t)) 2. 5

6 Dξ(t) = D ξ (t) = M(ξ(t) m ξ (t)) 2. (7.1.5) Теорема Справедливы следующие свойства дисперсии случайного процесса: 1. Дисперсия случайного процесса равна разности математического ожидания квадрата этого случайного процесса и квадрата его математического ожидания Dξ(t) = M(ξ(t)) 2 (m ξ (t)) 2. (7.1.6) 2. Дисперсия суммы случайного процесса и неслучайной функции равна дисперсии случайного процесса. где a(t) неслучайная функция. D(ξ(t) + a(t)) = D ξ (t), (7.1.7) 3. Дисперсия произведения неслучайной функции и случайного процесса равна произведению квадрата неслучайной функции и дисперсии случайного процесса. где a(t) неслучайная функция. D(a(t) ξ(t)) = a 2 (t) D ξ (t), (7.1.8) Пример Дан случайный процесс ξ(t) = 3 tξ, Mξ = 5, Dξ = 1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайного процесса ξ(t). m ξ (t) = M(3 t ξ) = M(3) + M( t ξ) = 3 t Mξ = 3 5t; D ξ (t) = D(3 t ξ) = t 2 Dξ = t Понятие цепи Маркова Рассмотрим какую-либо систему, которая может находиться в одном из несовместных состояний ξ(t) = i конечного множества возможных состояний S = {1, 2,..., N}, то есть i S. В процессе работы система в дискретные моменты времени, называемые шагами t = 0, 1, 2, 3,..., переходит из одного состояния ξ t = ξ(t) в другое ξ t+1 = ξ(t + 1). Определение Случайный процесс ξ(t) смены состояний называют простой однородной цепью Маркова с конечным числом состояний и с дискретным временем, если для всех t 1 и i, j, i 0, i 1,... S выполняется марковское свойство: P {ξ t = j ξ 0 = i 0, ξ 1 = i 1,..., ξ t 1 = i} = P {ξ t = j ξ t 1 = i}, (7.2.1) 6

7 если P {ξ t = j ξ 0 = i 0, ξ 1 = i 1,..., ξ t 1 = i} > 0. Другими словами условная вероятность того, что на следующем шаге система перейдет из состояния i в состояние j не зависит ни от состояния системы в предшествующие моменты времени, ни от текущего момента времени. Например, подбрасывают кубик в течении времени T с интервалом в 10 секунд. Под состоянием системы понимают случайное событие A i = {ξ(t) = i} на кубике выпало i очков. В этом примере система может перейти в одно из шести состояний S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, при этом P {ξ t = j ξ t 1 = i} = Матрица вероятностей переходов. Пусть ξ(t) простая цепь Маркова с конечным числом состояний и дискретным временем, множество S множество ее состояний. Число состояний конечно и равно N. Обозначим p ij = P {ξ t = j ξ t 1 = i}, (7.3.1.) i, j S, t 1, то есть p ij это условная вероятность того, что на шаге t система из состояния i перейдет в состояние j. Вероятность p ij называют переходной вероятностью. Определение Матрицей перехода системы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы P 1 = p 11 p p 1N p 21 p p 2N p N1 p N2... p NN (7.3.2) Заметим N j=1 p ij = 1, так как состояния системы образуют полную группу событий. Матрица P 1 это матрица перехода из состояния i в состояние j за один шаг. При анализе цепей Маркова весьма удобной и наглядной оказывается геометрическая схема, называемая графом состояний. Каждому состоянию цепи Маркова на схеме соответствует круг с номером состояния внутри него. Эти круги называют вершинами графа. Если из состояния i в состояние j возможен одношаговый переход, то есть p ij > 0, то из состояния 7

8 i в состояние j проводится дуга со стрелкой, рядом с которой указывают вероятность перехода p ij. Пример (Задача о холодильниках (управление запасами)). Магазин электротоваров в начале каждой недели размещает заказы на холодильники. Размер заказа фиксирован и связан с тем, что на складе магазина может храниться не более двух холодильников. Еженедельный спрос на холодильники задается распределением вероятностей: спрос вероятность 0,2 0,5 0,3. Пусть в состоянии i магазин имеет для продажи i холодильников. Множество состояний S = {0; 1; 2}. Процесс функционирования магазина моделируется цепью Маркова, представленной на рис и матрицей P 1 = , 8 0, 2 0 0, 3 0, 5 0, 2 1 0,2 0, ,3 0,5 2 0,2 Рис Обозначим p ij (n) вероятность того, что в результате n шагов система перейдет из состояние i в состояние j. При n = 1 получим переходные вероятности p ij (1) = p ij. Зная переходные вероятности p ij можно найти вероятности p ij (n) перехода системы из состояния i в состояние j за n шагов. Для этого используют равенство Маркова p ij (n) = N p ir (m)p rj (n m). (7.3.4) r=1 Здесь из первоначального состояния i за m шагов система переходит в состояние r с вероятностью p ir (m), а затем за n m шагов переходит из состояния r в состояние j с вероятностью p rj (n m). 8

9 Положим в формуле n = 2, а m = 1, тогда p ij (2) = N p ir (1)p rj (2 1) = r=1 k p ir p rj. (7.3.5) По формуле можно найти все вероятности p ij (2) и следовательно матрицу P 2. p 11 (2) p 12 (2)... p 1N (2) P 2 = p 21 (2) p 22 (2)... p 2N (2) (7.3.6.) p N1 (2) p N2 (2)... p NN (2) Из формулы вытекает следующее матричное равенство: r=1 P 2 = P 2 1. (7.3.7.) Аналогично, положив в формуле n = 3, m = 2, можно получить равенство P 3 = P 3 1. (7.3.8.) В общем случае Пример Дана матрица перехода ( 0, 3 0, 7 P 1 = 0, 5 0, 5 P n = P n 1. (7.3.9.) ). Найти матрицу P 2. P 2 = P 2 1 = ( 0, 3 0, 7 0, 5 0, 5 ) 2 = ( 0, 44 0, 56 0, 4 0, 6 ). 7.4 Обзор использования марковских цепей для моделирования социально-экономических процессов Настоящий момент характеризуется ростом востребованновости марковских процессов с доходами как моделей экономической динамики в качестве основоного математического инструмента построения оптимальных управлений такими процессами. В данном параграфе рассмотрим примеры использования марковских цепей, которые уже можно считать "классическими". 9

10 Модель Морана в теории запасов Рассмотрим систему снабжения, в которую на n-ом шаге (n=0,1,2,... ) поступает ξ n единиц товара для формирования запаса. Пусть ξ 0, ξ 1,... независимые дискретные случайные величины с одинаковым распределением p t, t = 0, 1, 2,.... Система снабжения имеет хранилище емкости M > 1. Пусть начальный запас на n-ом шаге есть дискретная случайная величина η n, тогда сформированный на этом шаге запас равен min(m, ξ n + η n ). К концу n-ого шага запас товара снижается в соответствии с единичным спрос на величину min(1, ξ n + η n ), то есть на 1, если есть начальный запас на n-ом шаге. Таким образом, размер запаса к началу n + 1-го шага удовлетворяет рекуррентному соотношению η n+1 = min(m, ξ n + η n ) min(1, ξ n + η n ), n = 0, 1,.... (7.4.1) Отсюда следует, что последовательность η n образует цепь Маркова с множеством состояний S = {0, 1,..., N = M 1} и матрицей перехода P 1 представленной таблицей P 1 = i\j N-1 N 0 p 0 + p 1 p 2... p N p t t=n+1 1 p 0 p 1... p N 1 p t t=n 2 0 p 0... p N 1 p t t=n N p 0 Таблица p t t=1 Пример Пусть N = 2, p 0 = p 1 = p 2 = 1 3, тогда матрица перехода имеет вид P 1 = 1 1 Цепи Маркова с доходами Рассмотрим систему (фирму, производство) с конечным числом состояний S = {1, 2,, N}, функционирование которой моделируется цепью Маркова с матрицей вероятностей перехода P 1 = (p ij ), i, j = 1, N. При переходе из состояния i в состояние j, система получает одношаговый доход

11 (быть может и отрицательный) r ij, независящий от номера шага. Совокупность одношаговых доходов образует матрицу N N одношаговых доходов R = (r ij ), i, j = 1, N. Доход, который неуправляемая система система может получить за n шагов, является случайной величиной с распределением вероятностей, определяемым вероятностными связями цепи. Математическое ожидание этой случайной величины называется полным ожидаемым доходом за n шагов и обозначается v i (n). Для полного ожидаемого дохода справедливо рекуррентное соотношение v i (n) = N p ij [r ij + v j (n 1)], i = 1, N (7.4.2) j=1 Пример Фирма производит и продает новый вид продукции. Если объем сбыта высокий, то он останется высоким и в следующем месяце с вероятностью 0, 5, если невысокий, то он станет высоким с вероятностью 0, 4. Руководство фирмы может провести рекламную кампанию. Если при этом уровень сбыта высокий, то с вероятностью 0, 8 он останется таким же в следующем месяце. Реклама при низком уровне сбыта повышает до 0, 7 вероятность того, что он в следующем месяце станет высоким. В случае неиспользования рекламы при высоком уровне сбыта месячный доход составит 9 единиц при условии, что сбыт останется высоким и в следующем месяце, и 3 единицы в противном случае. При низком же уровне сбыта месячный доход составит 3 единицы, если объем сбыта в следующем месяце станет высоким, и 7 единиц в противном случае. При использовании рекламы (за которую приходиться платить) доход равен 4 единицам при высоком уровне сбыта, если он сохраняется таковым или снижается. Если начальный уровень сбыта низкий, то доходы равны 1 и 19 в зависимости от того повышается он или нет. Требуется найти оптимальное управление фирмой для последующего периода времени. Цепь Маркова, моделирующая деятельность фирмы имеет два состояния: сбыт высокий (состояние 1) и сбыт низкий (состояние 2). Ее граф состояний (без использования рекламы) представлен на рис ,5 0, ,6 0,4 Рис

12 Матрица перехода вероятностей имеет вид: ( ) 0, 5 0, 5 P 1 =. 0, 4 0, 6 При этом матрица одношаговых доходов ( 9 3 R = 3 7 Предположим, что руководство фирмы интересует величина полного ожидаемого дохода за предстоящие n месяцев. Если v 1 (0) = v 2 (0) = 0, то о формуле (7.4.2) при n = 1, 2,... имеем { v1 (n) = 6 + 0, 5v 1 (n 1) + 0, 5v 2 (n 1) v 2 (n) = 3 + 0, 4v 1 (n 1) + 0, 6v 2 (n 1) ). Результаты вычисление сведем в таблицу n v 1 (n) 0 6 7,5 8,55 9,555 10,555 v 2 (n) 0 3 2, 4 1, 44 0, 444 0,5556 Таблица Предположим, что до закрытия фирмы остается 4 месяца, тогда руководство фирмы ожидает получить 9, 555 единиц дохода, если фирма находится в состоянии 1 и 0, 444 единиц убытка, если фирма находиться в состоянии 2. Читателю предоставляется возможность самостоятельно проанализировать развитие ситуации для случая, когда руководство фирмы решит использовать рекламу. Определение Будем называть цепь Маркова управляемой, если на каждом шаге n = 1, 2,..., N может быть выбрана строка матрицы P 1 p k i i = (p k i i1 pk i i2 и строка матрицы одношаговых доходов R r k i i... pk i in ) = (r k i i1, rk i i2,..., rk i in ) определяющих дальнейшее функционирование системы. Определение Величина k i называется стратегией управления в i- ом состоянии, а K i = {k i } множеством стратегий управления в i-ом состоянии. 12

13 Определение Вектор стратегий k = (k 1, k 2,..., k N ) K 1 K 2... K N называется политикой. Политику выбранную на n-ом шаге будем обозначать k n. Определение Последовательность выбранных на каждом шаге политик образует управление u = ( k 1, k 2,..., k nmax ), однозначно определяющее эволюцию цепи. Задача оптимального управления цепью Маркова с доходами состоит в поиске оптимального управления u. Например, найти управление u, максимизирующее полный ожидаемый доход v nmax (u ) max. u В примере в каждом состоянии и на каждом шаге можно воспользоваться одной из двух стратегий: a) k i = 1 не использовать рекламу, при этом p 1 1 = (p 1 11 p 1 12) = (0, 5 0, 5); r1 1 = (r11 1 r12) 1 = (9 3); p 1 2 = (p 1 21 p 1 22) = (0, 4 0, 6); r2 1 = (r22 1 r12) 1 = (3 7); b) k i = 2 руководство фирмы организует рекламную кампанию, это позволяет увеличить вероятности перехода в первое состояние ценой снижения ожидаемых доходов текущего месяца, при этом p 2 1 = (p 2 11 p 2 12) = (0, 5 0, 5); r 2 1 = (r 2 11 r 2 12) = (4 4); p 2 2 = (p 2 21 p 2 22) = (0, 7 0, 3); r 2 2 = (r 2 22 r 2 12) = (1 19); При этом можно сформулировать четыре различные политики: a) k = (1 1) не использовать рекламу ни в первом, ни во втором состоянии; b) k = (1 2) не использовать рекламу в первом состоянии и использовать во втором; c) k = (2 1) использовать в первом состоянии и не использовать во втором; d) k = (2 2) использовать рекламу в обоих случаях. Для определения оптимального управления для данного n max можно воспользоваться методом полного перебора, который предполагает непосредственное вычисление полного ожидаемого дохода для всех возможных управлений. 13

14 Выводы. В отличии от случайной величины реализацией случайного процесса является не число, а функция вещественной переменной (времени). Если фиксировать время (то есть неслучайный аргумент), то получаем случайную величину (сечение). Математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция в фиксированные моменты времени совпадают с числовыми характеристиками соответствующих сечений. Цепь Маркова является частным случаем случайного процесса с дискретным временем и дискретными сечениями, являясь моделью системы, которая случайным образом переходит из одного состояния в другое. Граф состояний дает наглядное представление о структуре цепи. Матрица вероятностей позволяет дать анализ эволюции цепи за любое конечное число шагов. Цепи Маркова широко применяются для решения экономических задач. Вопросы для самопроверки. 1. Дайте определение случайного процесса. 2. Что такое реализация и сечение случайного процесса? 3. Запишите формулы математического ожидания и дисперсии случайных процессов. 4. Известно математическое ожидание случайной величины ξ: M ξ = 5. Найдите математическое ожидание случайного процесса ξ(t) = ξt Известны математическое ожидание и дисперсия случайной величины ξ: M ξ = 1, Dξ = 4. Найдите математическое ожидание случайного процесса ξ(t) = t 2 (ξ + 1) Дайте определение цепи Маркова. 7. Что такое состояние цепи Маркова? 14

15 8. Дан граф состояний цепи Маркова: 0,5 0,1 0, ,3 0,3 0,6 0,25 0,15 3 Запишите матрицу P 1 вероятностей переходов. 9. Пусть дана матрица переходов за один шаг ( ) 0, 7 0, 3 P 1 = 0, 2 0, 8 0,6 Найдите матрицу переходов за два шага P Что такое полный ожидаемый доход? 11. Какую цепь Маркова называют управляемой? 12. Что называют управлением цепи Маркова? Библиография. 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Розанов Ю.А. Случайные процессы М., Наука, Соколов Г.Ф., Чистякова Н.А. Теория вероятностей. Управляемые цепи Маркова в экономике. ФИЗМАТЛИТ, Ховардт Р.А. Динамическое программирование и марковские процессы. М., Сов. радио, Ширяев А.Н. Вероятность. М., Мир,

5.1. Системы массового обслуживания

5.1. Системы массового обслуживания Теория массового обслуживания (ТМО) изучает процессы, в которых возникают требования на выполнение каких-либо видов услуг, и происходит обслуживание этих требований. Объектами (ТМО) могут быть производственные

Подробнее

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ

ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. 1. Случайный анализ ГЛАВА 5. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. Случайный анализ Часто при исследовании различных явлений природы, экономических и технических процессов приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися во времени.

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРОЦЕССОВ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРОЦЕССОВ Лекция 1-2 МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРОЦЕССОВ На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод

Подробнее

7 9, A i A j = (i,j = 1,2,,n, i j), p k 1. A k

7 9, A i A j = (i,j = 1,2,,n, i j), p k 1. A k Дискретные случайные величины. Часто результатом случайного эксперимента является число. Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел:,,3,4,5,. Можно подъехать к бензоколонке и обнаружить

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин

Лекция 12. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция Понятие о системе случайных величин Законы распределения системы случайных величин Часто возникают ситуации когда каждому элементарному

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения

Лекция 1. Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Лекция 1 Понятие случайного процесса и его конечномерные распределения Теория случайных процессов является частью теории вероятностей. Специфика теории случайных процессов состоит в том, что в ней рассматриваются

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

Группы 53501/10. Лабораторная работа 4. Марковские модели принятия решений.

Группы 53501/10. Лабораторная работа 4. Марковские модели принятия решений. Группы 53501/10. Лабораторная работа 4. Марковские модели принятия решений. Задача 6.12 Фирма ежегодно оценивает положение со сбытом своей продукции как удовлетворительное (состояние S1) или неудовлетворительное

Подробнее

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения

ТЕМА 10. Статистическое оценивание Точечные и интервальные оценки параметров распределения ТЕМА 10. Статистическое оценивание. Цель контента темы 10 изучить практически необходимые методы нахождения точечных и интервальных оценок неизвестных параметров распределения. Задачи контента темы 10:

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция.

ГЛАВА 3 (продолжение). Функции случайных величин. Характеристическая функция. Оглавление ГЛАВА 3 продолжение. Функции случайных величин. Характеристическая функция... Функция одного случайного аргумента.... Основные числовые характеристики функции случайного аргумента.... Плотность

Подробнее

- Среднеквадратическое отклонение (СКО) x(t)= x[x(t)]= D[X(t)]

- Среднеквадратическое отклонение (СКО) x(t)= x[x(t)]= D[X(t)] Стохастическая модель Стохастическая модель это модель, где учитываются случайные факторы. Случайная функция X(t) это функция, сечение которой (т.е. если зафиксировать t), представляет собой обычную случайную

Подробнее

Практикум по теме 8 "Системы случайных величин"

Практикум по теме 8 Системы случайных величин Практикум по теме 8 "Системы случайных величин" Методические указания по выполнению практикума Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 8, а также развитие следующих навыков:

Подробнее

Введение. Каштанов В.А.

Введение. Каштанов В.А. Структурная надежность. Теория и практика Каштанов В.А. УПРАВЛЕНИЕ СТРУКТУРОЙ В МОДЕЛЯХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И НАДЕЖНОСТИ С использованием управляемых полумарковских процессов исследуется оптимальная

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения

Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины Равномерный закон распределения 53 Глава 4. Основные законы распределения непрерывной случайной величины. 4.. Равномерный закон распределения Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на промежутке

Подробнее

Эргодические процессы Условие стационарности и алгебраическая система уравнений Пример... 16

Эргодические процессы Условие стационарности и алгебраическая система уравнений Пример... 16 Оглавление Глава Случайные процессы Простая однородная цепь Маркова Уравнение Маркова Простая однородная цепь Маркова 4 Свойства матрицы перехода 5 Численный эксперимент: стабилизация распределения вероятностей

Подробнее

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

Статистическая радиофизика и теория информации

Статистическая радиофизика и теория информации Статистическая радиофизика и теория информации. Введение Радиофизика как наука изучает физические явления существенные для радиосвязи, излучения и распространения радиоволн, приема радиосигналов. Предметом

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

2. Оптимальные портфели и динамическое программирование.

2. Оптимальные портфели и динамическое программирование. 2. Оптимальные портфели и динамическое программирование. Многошаговая модель Рассмотрим многошаговое обобщение задачи потребления-инвестирования. Начнём с исследования базовой задачи построения оптимального

Подробнее

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

1.4. СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА»

Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА. Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Министерство сельского хозяйства РФ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Ч.III ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Тема III «ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА» Методические указания для самостоятельной работы обучающихся

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX

Ответ: х i -0,5 0,5 y i 3 4 p i 0,3 0,7 q i 0,2 0,8. Решение Так как X и Y независимые величины, то мы имеем DX MX Задача. Монета бросается до тех пор пока два раза подряд она выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность того что опыт окончится до шестого бросания. Решение Событие - опыт закончится до шестого

Подробнее

Математические методы анализа в экономике

Математические методы анализа в экономике Математические методы анализа в экономике УДК 338.27 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ В УПРАВЛЕНИИ КОМПЛЕКСНЫМИ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ А. Г. ЭБИНГЕР, аспирант кафедры финансов

Подробнее

Лекция 1. Выборочное пространство

Лекция 1. Выборочное пространство Лекция 1. Выборочное пространство Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 1. Выборочное пространство Санкт-Петербург, 2013 1 / 35 Cодержание Содержание 1 Выборка.

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Теория вероятностей Элементы теории множеств и теории функций Вероятностное пространство СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс теории вероятностей. Казань : Издво КГТУ, 2000. 200 с. 2. Хуснутдинов, Р. Ш. Курс математической статистики. Казань : Изд-во КГТУ, 2001. 344 с. 3. Хуснутдинов,

Подробнее

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2

Система линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными: 8 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n =b 2 Раздел VI. Глоссарий Матрица. Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей n строк и m столбцов называется матрицей размерности Определитель матрицы. Определителем квадратной

Подробнее

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ГОУ ВПО «РЫБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П. А. СОЛОВЬЁВА» Кафедра «Организация производства и управление качеством» ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ КАЧЕСТВА

Подробнее

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1

Контрольная работа по теории вероятностей. Задание 1 Контрольная работа по теории вероятностей Задание Задание Бросают три монеты Какова вероятность того, что выпадет хотя бы один «орел», и при этом первым будет «орел»? Решение При бросании «первой» монеты

Подробнее

4.1 Неравенство Чебышёва. Пусть случайная величина X имеет математическое ожидание m x и дисперсию

4.1 Неравенство Чебышёва. Пусть случайная величина X имеет математическое ожидание m x и дисперсию Лекция План лекции 4 Неравенство Чебышёва 4 Теорема Чебышёва 4 Применение теоремы Чебышёва на практике 43 Теорема Бернулли 4 Неравенство Чебышёва Пусть случайная величина имеет математическое ожидание

Подробнее

Математическая статистика.

Математическая статистика. Лекция. Математическая статистика. Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений и экспериментов.

Подробнее

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

8. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ, курсовых работ. К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А 8 Методические рекомендации по выполнению контрольны работ, курсовы работ К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А Д и с ц и п л и н а «М а т е м а т и к а» ) Решить систему линейны уравнений методом Гаусса 7

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

2. Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет». Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей -го курса ФРК I Раздел: Линейная алгебра Определения: матрицы, строки и столбцы матрицы Прямоугольная, квадратная матрица Главная

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Исследование операций в экономике Контрольная работа 3. Вариант 58

Исследование операций в экономике Контрольная работа 3. Вариант 58 Исследование операций в экономике Контрольная работа 3 Вариант 58 Задача 8. Малое предприятие имеет два цеха - A и B. Каждому установлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех A свой план выполняет

Подробнее

Фонд оценочных средств

Фонд оценочных средств ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» ИНСТИТУТ ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМ

Подробнее

Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г.

Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г. Типовые задачи к зачёту по курсу «Теория случайных процессов» Осень 2015 г. 1. Задачи по моментным характеристикам случайных процессов, конечномерным распределениям и т. д. 1.1. Найти двумерные распределения

Подробнее

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 1 Многомерная случайная величина X = (X 1,X 2,,X n ) это совокупность случайных величин X i (i =1,2,,n), заданных на одном и том же вероятностном пространстве Ω. Закон распределения

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» Министерство общего и профессионального образования Свердловской области ГБОУ СПО СО «ЕКАТЕРИНБУРГСКИЙ КОЛЛЕДЖ ТРАНСПОРТНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА» Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая

Подробнее

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Математическое моделирование и проектирование МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего образования КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математическое моделирование

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 3 Глава 1. Вероятностноепространство... 5 1. Случайные события.................... 5 2. Аксиоматика... 7 3. Свойства вероятностей................... 10 4. Классическоеопределениевероятности...

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

2.1.Теория вероятностей

2.1.Теория вероятностей ..Теория вероятностей...основные определения. Определение. Экспериментом называется процедура, в результате которой могут произойти одно из заданных множеств исходов. Отдельный возможный исход называется

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

М.П. Харламов Конспект

М.П. Харламов  Конспект М.П. Харламов http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Оценивание чистого приведённого дохода инвестиций в условиях неполной информации о величине получаемого дохода

Оценивание чистого приведённого дохода инвестиций в условиях неполной информации о величине получаемого дохода Оценивание чистого приведённого дохода инвестиций в условиях неполной информации о величине получаемого дохода Кирлица В П кандидат физико-математических наук доцент Пушкин А А Белорусский государственный

Подробнее

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент

Учебная дисциплина Б Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Основные законы распределения дискретных случайных величин МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 9 Основные законы распределения случайных величин Основные законы распределения дискретных случайных величин Биномиальное распределение

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Нижние оценки Гилмора и Гомори

Нижние оценки Гилмора и Гомори Нижние оценки Гилмора и Гомори Имеется неограниченное число контейнеров единичной вместимости. Для каждой заготовки i L задана длина 0 < w i < 1 и их количество n i 1. Требуется упаковать заготовки в минимальное

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Математика ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине

Подробнее

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТЬ 7 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Глава 22 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 22.1. Событие, классификация событий, вероятность

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1

Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года. A n F. n=1. i=1 Ответы на тест по курсу Теория вероятностей и математическая статистика. Июнь 2004 года 1 1. Основные понятия теории вероятностей. 1.1 1.2 A B = A B = A B (A \ B) (B \ A) = A B 1.3 A (A B) = A (A B) =

Подробнее

«Прикладная математика и информатика»

«Прикладная математика и информатика» «Прикладная математика и информатика» Магистерская программа «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности» Программа экзамена разработана на основе Государственных образовательных

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Математика (Статистика, корреляция и регрессия)

Математика (Статистика, корреляция и регрессия) Федеральное агентство воздушного транспорта Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Подробнее

3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА)

3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА) 3. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ (УРАВНЕНИЕ КОЛМОГОРОВА) Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

«Теория вероятностей и математическая статистика»

«Теория вероятностей и математическая статистика» «КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ Кафедра математики и экономической информатики Методическая разработка по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5

ОГЛАВЛЕНИЕ. ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности XCQ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ 5 ЧАСТЬ 1. Случайные события и их вероятности Глава 1. Понятие вероятности 1.1. Виды случайных событий. Дискретное множество элементарных событий. Множество исходов опыта

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций

Теория вероятностей и математическая статистика 4. Тип заданий Контрольные работы Количество этапов формирования компетенций 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):. Кафедра Общие сведения. Направление подготовки Экономика Математики и математических методов в экономике

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ)

5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ) Раздел 5. Численное моделирование 73 Раздел 5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ) «В задаче из N уравнений всегда будет N неизвестная» (Уравнения Снэйфу) При изучении сложных систем со

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ Введение...... 14 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Глава первая. Основные понятия теории вероятностей... 17 1. Испытания и события... 17 2. Виды случайных событий... 17 3. Классическое определение

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Лекция 4. Доверительные интервалы

Лекция 4. Доверительные интервалы Лекция 4. Доверительные интервалы Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Лекция 4. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2013 1 / 49 Cодержание Содержание 1 Доверительные

Подробнее

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей

Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Лекции 8 и 9 Тема: Закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей Закономерности в поведении случайных величин тем заметнее, чем больше число испытаний, опытов или наблюдений Закон больших

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Лекция 15 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Лекция 5 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие оценки неизвестного параметра распределения и дать классификацию таких оценок; получить точечные оценки математического

Подробнее

Оглавление. Глава 1. Случайные события (продолжение). Схема Бернулли. 19. Схема Бернулли

Оглавление. Глава 1. Случайные события (продолжение). Схема Бернулли. 19. Схема Бернулли Оглавление Глава. Случайные события (продолжение).... Схема Бернулли.... Формула Бернулли.... Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли.... 5 Вероятность хотя бы одного успеха в схеме Бернулли....

Подробнее

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние,

10 Экономическая кибернетика Коэффициент корреляции. , xy y i x i выборочные средние, Лекция 0.3. Коэффициент корреляции В эконометрическом исследовании вопрос о наличии или отсутствии зависимости между анализируемыми переменными решается с помощью методов корреляционного анализа. Только

Подробнее

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ И СВЯЗИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

Подробнее