Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними"

Транскрипт

1 Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением величин и. Коэффициент называется коэффициентом пропорциональности. Соотношение прямой пропорциональности величин и можно записать так: = или =.. Две величины и называются обратно пропорциональными, если их произведение постоянно, т. е. если =, где постоянное число. Соотношение обратной пропорциональности величин и можно записать в виде = или =.. Пусть газ находится в некотором резервуаре, объем которого V мы можем менять. Одновременно будут меняться другие переменные, связанные с состоянием газа, например, его температура T и производимое им давление p. Известен физический закон, по которому эти три переменные V, T и p связаны зависимостью pv =, где некоторое постоянное число. Можно зафиксиро- T вать одну из переменных и изучать зависимость между двумя другими. Так при постоянной температуре объем газа V и давление p окажутся связанными обратно пропорциональной зависимостью (закон Бойля Мариотта), а при постоянном объеме давление будет прямо пропорционально температуре. Движение является важнейшим примером процесса, в котором участвуют различные связанные между собой переменные величины, например, время, путь, скорость и т. д. Переменные величины, или просто переменные, будут обозначаться буквами. Рассмотрим, например, движение автомобиля. Обозначим через t время, прошедшее от начала движения, s пройденный путь, v его скорость. Ясно, что эти три переменные зависят друг от друга. Зависимость может быть выражена уравнением, т. е. равенством, связывающим значения этих величин. При равномерном движении автомобиля, т. е. при движении с постоянной скоростью v, зависимость между переменными t и s очень простая: s = vt. В более сложных процессах число переменных может быть большим, и зависимости между ними могут быть сложными. Математика научилась следить одновременно за изменением большого числа переменных, однако в основе своей это умение основано на изучении зависимостей между двумя переменными. Выберем две переменные, которые обозначим через и. Не будем заранее накладывать ограничения на то, какие числовые значения они могут принимать. Приведем примеры уравнений зависимостей между переменными и.. =.. =,.. + = R, R >. 4. a + + c =, a, =. 6. =,. Проверь себя. Что означает, что две величины прямо пропорциональны?. Как задается обратно пропорциональная зависимость?. Что является графиком прямо пропорциональной зависимости? 4. Какая кривая является графиком обратно пропорциональной зависимости? М- 8 класс Учебник 8 глава стр.

2 График зависимости Зависимости между переменными и можно изобразить графически. Выберем на плоскости декартову систему координат и построим все точки P(; ), координаты которых и связаны данной зависимостью. Получится график зависимости. Построим графики зависимостей для приведенных нами примеров.. =. =. Если зависимость между переменными и задана уравнением, то мы строим график этой зависимости, который представляет собой некоторую кривую. В наших примерах это были прямая, окружность, гипербола, парабола, граница квадрата. Приведем еще примеры. ) = - График зависимости прямая, проходящая через начало координат с угловым коэффициентом =. График зависимости называется равнобочной гиперболой.. + = = R Q P График этой зависимости является гиперболой. Его можно получить из графика зависимости = поворотом на угол 45 по часовой стрелке. ) = График зависимости окружность с центром в точке и радиусом R = = График зависимости квадрат с вершинами в указанных точках. График зависимости прямая, проходящая через точки P(; ), Q(; ), R ;. 6. = 4 P Q График этой зависимости называется параболой. Она проходит через точки P(; ) и Q(; ). График этой зависимости называют полукубической параболой.. Любую кривую на координатной плоскости можно считать графиком зависимости между координатами точек этой кривой. Уравнение этой зависимости называется уравнением данной кривой. Пример Окружность радиуса с центром в точке P(; ) задается уравнением ( ) + ( ) =. P М- 8 класс Учебник 8 глава стр.

3 Функциональная зависимость. Задание функции формулой. ) = + пример линейной функции; ) = пример дробно-линейной функции; + ) = пример квадратичной функции; 4) = пример иррациональной функции. Если функция задана формулой и нет дополнительных указаний, то ее областью определения считается множество всех чисел, для которых имеют смысл все действия в этой формуле. Областью определения первой и третьей функций является множество всех вещественных чисел R, во втором примере множество всех чисел, кроме =, в четвертом примере множество неотрицательных чисел.. Из зависимости между двумя переменными часто можно выразить одну из них как функцию от другой. Например, из соотношения = можно выразить как функцию от : = =. Однако, если мы хотим считать независимой переменной, то можно наоборот выразить как функцию от : = =.. Не всегда из зависимости между двумя переменными любую из них можно выразить как функцию другой. Так, из уравнения окружности + = мы можем выразить =, но затем мы не можем однозначно найти, так как, зная его квадрат, при извлечении квадратного корня из правой части мы не будем знать, какой знак взять у этого корня. Из всех мыслимых зависимостей между переменными мы выделим функциональные зависимости, или функции. Такие зависимости описывают, как изменение одной переменной (ее называют независимой переменной, или аргументом) вызывает изменение другой, которая оказывается тем самым зависимой от первой. Определение. Пусть даны две переменные, обозначенные буквами и. Переменная называется функцией от переменной, если задан способ, с помощью которого для каждого значения переменной можно однозначно вычислить соответствующее значение переменной. Функциональную зависимость переменной от переменной записывают, используя букву f (первую букву латинского слова functio): = f() Множество чисел D, для которых задано правило вычисления функции, называется областью определения функции. Для того чтобы задать функцию, нужно: ) указать правило вычисления ее значений; ) описать ее область определения. Правило вычисления значений функции может быть задано: ) формулой; например, = +, = ; ) словесным описанием; например, равен наибольшему целому числу, не превосходящему ; ) таблицей; многие экспериментально полученные зависимости имеют вид таблиц, в которых для значений аргумента указываются значения функции; 4) программой; ряд важных функций «запрограммирован» в вычислительном устройстве (калькуляторе, компьютере) записана программа, позволяющая вычислить значение функции простым нажатием клавиши; 5) графиком; можно не только строить графики функции, но и определять, задавать функцию с помощью графика; 6) любым другим способом, позволяющим для каждого значения аргумента однозначно вычислить значение функции. М- 8 класс Учебник 8 глава стр.

4 График функции Определение. Пусть дана функция = f() с областью определения D. Графиком функции f в системе координат O называется множество точек с координатами (; f()), где пробегает множество D. Можно сказать, что точка P с координатами (; ) принадлежит графику функции f в том и только в том случае, когда ордината этой точки, то есть число, равна значению функции f в точке, то есть когда выполняется равенство = f(). График функции это совокупность всех таких точек. Что означает выражение: построить график функции? Если функция f задана на числовом промежутке D, то построить график, исходя из его определения, невозможно, так как нельзя перебрать все точки из множества D их бесконечно много. Однако некоторого конечного количества точек будет достаточно, чтобы наглядно представить форму графика. При этом чем больше точек мы построим, тем точнее будем представлять себе график функции. На рисунке изображен график некоторой функции = f(). Можно указать несколько важнейших свойств этого графика, знания которых обычно достаточно, P R чтобы построить Q примерный его эскиз. M ) Точки пересечения с осями: P( ; ), Q(; ), R(; ). ) Ось симметрии =. ) Самая нижняя точка графика M(; 4). 4) Характер движения по графику: убывание до = и возрастание после этой точки. Такого рода свойства вместе составляют схему исследования функции, которая позволяет приближенно построить ее график. Этой схеме будет посвящен отдельный параграф.. График сам по себе может служить способом задания функции.. Часто на практике функция задается не формулой, а таблицей значений. Например, в таблице приведены значения курса доллара в рублях за 6 первых дней месяца. Независимой переменной является номер дня (от до 6), а функцией число, показывающее курс доллара в день с номером. Так мы построим функцию = f(), заданную для конечного множества значений. Графиком такой функции будет конечный набор их 6 точек. Для наглядности эти точки соединяют отрезками и ломаную считают графиком курса доллара ,95 6, 6,5 6, 6, 5,95 Обратите внимание, что по оси отложены значения от 5,8 до 6,. Разумеется, начало оси тем самым находится не в точке O, а гораздо ниже. Аналогично и по оси откладывают номера дня так, чтобы первый из них приходился на O (наш график сдвинут вправо на ). Заметьте, что масштабы по осям и выбраны так, чтобы было удобно наносить точки. М- 8 класс Учебник 8 глава стр. 4

5 Стандартные функции.. К стандартным, наиболее часто встречающимся > функциям мы отнесем функции следующих трех видов: = P =, =, = a. Первые две происходят от прямой и обратно пропорциональной зависимостей, третья описывает простейшую квадратичную зависимость.. =,. < Функция определена при всех значениях. Она имеет = такой смысл: переменная прямо пропорциональна переменной с коэффициентом пропорциональности. Графиком функции = является прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент определит ее наклон к оси. Часть этой прямой, находящаяся в > = верхней полуплоскости, составляет при > острый угол с положительным направлением оси абсцисс и тупой угол при <. Для построения прямой достаточно построить еще одну точку, кроме начала координат, например, P(; ).. < = a > =. =,. Функция определена при всех. Она имеет такой смысл: переменная обратно пропорциональна переменной с коэффициентом пропорциональности. Графиком функции = будет кривая, называемая гиперболой. Она расположена в первой и третьей четвертях при > и во второй и четвертой четвертях при <. a < =. = a, a. Функция определена при всех значениях. Она имеет такой смысл: переменная квадратично зависит от переменной, т. е. пропорциональна квадрату переменной с коэффициентом пропорциональности a. Графиком функции = a является кривая, называемая параболой. Она расположена в верхней полуплоскости при a > и в нижней при a <. М- 8 класс Учебник 8 глава стр. 5

6 Свойства стандартных функций. =,. Точки P(; ) и P ( ; ) симметричны относительно начала Эти функции определены на всей числовой оси. Сравним координат. графики функций = и =. Первая из этих функций возрастает: это означает, что большему значению P(; ) аргумента соответствует большее значение функции: < <, т. е. <. P ( ; ) Наоборот, вторая из них убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: < >, т. е. >. Два этих свойства функции объединяют одним термином монотонность. Можно сказать, что функции = монотонны на всей числовой оси. Однако характер монотонности возрастание или убывание будет зависеть от знака коэффициента : если >, то функция = возрастает, если <, то убывает. Если мы поменяем знак у аргумента, то значение функции поменяет свой знак: ( ) =. Это означает, что график этой функции симметричен относительно начала координат. Для прямой, проходящей через начало координат, это, конечно, и так очевидно. В дальнейшем мы будем проверять, выполняется ли это свойство для любой функции = f(). Функция, для которой выполняется условие f( ) = f(), называется нечетной. Разумеется, что при этом функция определена одновременно как для, так и для. Можно сказать, что функция = является нечетной.. =, Область определения этих функция разбивается на два промежутка: < и >, т. е. ( ; ) и (; + ). На каждом из этих промежутков эти функции монотонны. Характер монотонности зависит от знака и наглядно виден на графике. Эти функции нечетны, так как =. Их графики симметричны относительно начала координат.. Точка P ( ; ) симметрична точке P(; ) относительно оси ординат. Точка P (; ) симметрична ей относительно оси абсцисс. P P P. Построим график функции =. Для построения графика полезно составить таблицу значений для нескольких значений аргумента. Приведем такую таблицу для =.,,5 =,5, Из таблицы видно, что у точек с близкими к нулю абсциссами ординаты быстро растут (скажем, если =,, то = ) и наоборот (если =, то =,). Строим график, плавно соединяя построенные точки, а затем строим вторую часть графика, симметричную первой относительно начала координат. График функции = при < симметричен графику функции = относи- тельно оси ординат. М- 8 класс Учебник 8 глава стр. 6

7 4 Линейная функция. Мы будем считать, что коэффициент в задании линейной функции формулой = + отличен от нуля. Если =, то функция = постоянна.. Функции =, = + являются линейными. Функция = ( + ) также является линейной, хотя указанный способ вычисления ее значений не таков, который предусматривается определением. Однако, сделав преобразования ( + ) = = + + = +, мы убеждаемся в том, что эта же функция может быть задана формулой = +, что уже соответствует определению линейной функции.. Обращение в нуль. Мы предположили, что. Нули функции = f() находятся решением уравнения f() =. Решение линейного уравнения + = нам хорошо известно. 4. Промежутки постоянного знака. Нахождение промежутков постоянного знака для функции = f() соответствует решению неравенств f() > и f() <. Решение линейных неравенств + > и + < нам также известно. 5. Характер монотонности функции = + и функции = одинаков и зависит от знака коэффициента. Прямые графики функций = и = + параллельны. Коэффициент определяет сдвиг прямой = вверх или вниз вдоль оси. Определение. Линейной функцией называется функция, значения которой могут быть вычислены по формуле = +. Область определения. Линейная функция, заданная формулой = +, имеет областью определения множество R всех действительных чисел. Обращение в нуль. Линейная функция при имеет единственный нуль: =. Промежутки постоянного знака. Линейная функция = +, сохраняет постоянный знак на каждом из промежутков ; и ; +. Этот знак зависит от коэффициента. Возможные случаи сведены в таблицу. Таблица знаков линейной функции = + Интервал ; ; + > + < + Монотонность. Линейная функция = + возрастает на всей числовой оси, если >, и убывает на всей числовой оси, если <. Пример. Рассмотрим функцию = 4. Запишем ее в стандартном виде: = + 4. = = 4. > при < 4, < при > 4. Так как угловой коэффициент = <, то функция убывает на всей числовой оси. М- 8 класс Учебник 8 глава стр. 7

8 График линейной функции График функции. Графиком линейной функции = + является прямая. Коэффициент является угловым коэффициентом этой прямой. Если >, то прямая образует острый угол с положительным направлением оси O («смотрит вверх»), если <, то тупой («смотрит вниз»). Построить прямую, являющуюся графиком линейной функции, можно разными способами. ) Можно вычислить значения функции при двух значениях и провести прямую через две точки. ) Можно вычислить значение функции при одном значении и построить прямую, проходящую через полученную точку, с углом наклона к оси, который задается угловым коэффициентом. (Это означает, что график функции параллелен прямой =.) ) Можно найти точки пересечения с осями координат и провести через них прямую (это, конечно, частный, но важный случай первого способа): =, = ; =, =.. Доказательство монотонности линейной функции Рассмотрим случай >. Второй случай рассматривается аналогично. Возьмем два числа и таких, что <. Умножим это неравенство на положительное число : < <. Теперь прибавим к двум частям неравенства число : < + < +. Мы получили, что значение функции в точке меньше значения функции в точке. Утверждение доказано.. Область значений. Областью значений функции = +, является множество R всех действительных чисел. Доказательство. Возьмем произвольное число а и решим уравнение + = a. Оно имеет a корень =. При этом значении выражение + равно a. Это и означает, что функция = + принимает любое, наперед заданное, значение a.. Примеры графиков По традиции построение графика завершает исследование функции. Однако в тех случаях, когда вид графика известен заранее (как он хорошо известен для линейной функции), исследование можно начинать с построения графика. Тогда все остальные его пункты становятся более очевидными. Проверь себя. Каковы промежутки постоянного знака функции = 4?. Как определить характер монотонности функции = +?. В каких точках график функции = + пересекает оси координат? 4. Какие вы знаете способы построения графика линейной функции? М- 8 класс Учебник 8 глава стр. 8

9 . Запишем модули некоторых чисел: 5 = 5; = ; = ; 5 = 5 ;,4 π = π,4. 5 Модуль. Раскроем модули некоторых выражений: ) + = X [ ) +, если ; +, = ( + ), если ( ; ). Заметим, что точку = можно присоединять к любому промежутку. ) = = = = = =, если, =, если <. ) + + Наносим корни выражений, стоящих под модулями, на числовую ось и разбиваем ее на три промежутка: I II III + + = = + =, если лежит в первом промежутке, т. е. если ( ; ) = + + =, если лежит во втором промежутке, т. е. если [ ; ] = + + = +, если лежит в третьем промежутке, т. е. если (; + ) Заметим, что крайнюю точку (т. е. = и = ) можно присоединять как к левому, так и к правому от нее промежутку. Полезно проверить совпадение в этой точке значений получившихся выражений. При = : ( ) = 4 =, =. При = : = ; () + =. Модуль числа может быть определен аналитически:, если =, если < или геометрически как расстояние между точками X() и O() на числовой оси: O = OX Напомним, что из определения модуля вытекают его основные свойства:., причем = тогда и только тогда, когда =.. =. В частности, =.. + +, причем + = + тогда и только тогда, когда числа и одного знака (или хотя бы одно из них равно нулю). 4. a это расстояние между точками X и A числовой оси с координатами и a соответственно. 5. =. С помощью свойства 4, которое показывает геометрический смысл модуля разности двух чисел как расстояния между соответствующими точками, можно решать линейные уравнения и неравенства с модулем. Примеры. = Это уравнение записывает условие: расстояние между точками и равно. Точки находятся геометрически: Ответ: ; Это неравенство записывает условие: расстояние между точками и ( + = ( )) не превосходит. Снова обращаемся к числовой оси: Ответ: М- 8 класс Учебник 8 глава стр. 9

10 Функция = Функция «модуль» задается формулой =. Область определения: любое число, т. е. областью определения является множество R всех действительных чисел. Обращение в нуль: = =. Промежутки постоянного знака: при всех. Промежутки монотонности: точка = делит ось на два промежутка, на каждом из которых функция = монотонна. При < имеем = функция убывает; при имеем = функция возрастает. При = функция принимает наименьшее значение, равное. Область значений: промежуток [; + ). График функции = Для построения графика разбиваем плоскость на две полуплоскости: < и. В первой из них строим график =, во второй = : Выражения, полученные сложением модулей линейных функций, задают так называемые кусочнолинейные функции, т. е. функции, графики которых разбиваются на «куски» различных линейных функций. Для построения графиков надо найти точки, в которых линейные функции, стоящие под знаком модуля, меняют знак и разбить плоскость на полосы вертикальными прямыми.. = + + =, ( ; ), =, [ ;], +, (; + ). Так как =, то график функции = симметричен относительно оси ординат. Графики функций вида = a строятся сдвигом графика функции = вдоль оси.. = +. Зная, что графиком будет ломаная линия, достаточно построить несколько точек графика: 5 =, = =, = = =, = 5 =, = 7 = = + = 5 М- 8 класс Учебник 8 глава стр.

11 . Рассмотрим функцию = +. Нули функции: = ; =. Значение при = : () =. Абсцисса вершины: = ; + заметим, что = ; ордината вершины: = = 4. Этих сведений достаточно для 4 6 Квадратичная функция Определение. Функция = f() называется квадратичной, если ее значения могут быть вычислены с помощью формулы f() = a + + c, a. Рассмотрим свойства стандартной квадратичной функции = a. Эта функция определена при всех значениях. Она обращается в нуль при =. При всех ее значения сохраняют постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента a: построения эскиза графика. a > a > ; a < a <. На каждом из промежутков и, т. е. ( ; ] и [; + ) функция = a монотонна. Характер монотонности. Если a <, то слева от нуля функция возрастает, а справа убывает. Если a >, характер монотонности меняется. Это легче всего представить себе по графику. По графику видно, что < при < < ; > при < и >. убывает при ( ; ], возрастает при [ ; + ). Множество значений функции: [ 4; + ).. Рассмотрим в качестве примера функцию = 4. Найдем координаты вершины ее графика: = a = ; = ( ) = = 4 = 5. Функцию можно записать в виде = = ( ) 5. Для построения графика надо нанести точку A(; 5), вершину параболы, провести вертикальную прямую =, найти точки пересечения графика с осями координат: =, = 5 = ; 5 =, = ± ±,6. Затем построить параболу, плавно соединив полученные точки. надо 5 = = Так как a( ) = a, то при смене знака аргумента значение функции не меняется. Это означает, что график симметричен относительно оси. Аналогичное свойство произвольной функции называется ее четностью. Функция = f() называется четной, если f( ) = f() (считается, что она одновременно определена как при, так и при ). Можно сказать, что функция = a является четной. Множество значений функции = a зависит от знака коэффициента a: если a >, то это промежуток [; + ), если a <, то промежуток ( ; ]. Действительно, уравнение a = имеет решение при любом таком, что, например, =. При этом в точке = функция a a = a принимает наибольшее (при a < ) или наименьшее (при a > ) значение. Свойства произвольной квадратичной функции = a + + c аналогичны свойствам стандартной функции = a и будут рассмотрены по графику. М- 8 класс Учебник 8 глава стр.

12 График квадратичной функции Нам известен график стандартной квадратичной функции = a, который мы назвали параболой. График квадратичной функции общего вида получается параллельным переносом (сдвигом) этой параболы. Преобразуем выражение a + + c, задающее значения квадратичной функции. a + + c = a c a 4a = 4a 4ac = a. a 4a Выражение D = 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена a + + c. Обозначим число через, а значение функции при a D =, т. е. число через. Из записи = a( 4a ) +, или = a( ) видно, что искомый график получается из графика функции = a параллельным переносом (сдвигом) на вектор r с 4ac координатами r ;. При этом сдвиге a 4a D начало координат перейдет в точку A ;. Эта a 4a точка называется вершиной параболы, графика функции. Прямая =, которая была осью симметрии графика функции = a, перейдет в прямую = ось a симметрии графика функции = a + + c. По графику можно проследить все свойства квадратичной функции. По нему видно, что областью значений функции = a + + c будет при a > промежуток D ; +. При этом в точке = функция 4a a принимает наименьшее значение. При a < областью D значений будет промежуток ; 4a, причем значение D =, принимаемое функцией при =, будет 4a a наибольшим. Расположение графика квадратичной функции = a + + c в зависимости от a и D = 4ac. a >, D > a >, D = a >, D < a <, D > a <, D = a <, D < М- 8 класс Учебник 8 глава стр.


= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3

= 1 е) f(9) = 27; f(1) = 3 Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Алгоритмы А- Задание стандартных функций А- Понятие функции. График функции А-3 Каноническая запись зависимостей А- Задание стандартных функций. К стандартным функциям отнесем

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график

Тема 2. Числовая функция, ее свойства и график Тема Числовая функция, ее свойства и график Понятие числовой функции Область определения и множество значений функции Пусть задано числовое множество X Правило, сопоставляющее каждому числу X единственное

Подробнее

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Глава 11 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Глава ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Т-0 Исследование функции по графику Т-0 Соответствие между графиком рациональной функции и формулой Т-0 Построение графика по свойствам Т-04 Параллельный перенос графика Т-05 Симметричное

Подробнее

11.1. Функции Базовый уровень.

11.1. Функции Базовый уровень. 111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график

Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Тема 2.1 Числовые функции. Функция, ее свойства и график Пусть X и Y Некоторые числовые множества Если каждому по некоторому правилу F ставится в соответствие единственный элемент то говорят, что Задана

Подробнее

Критерии оценки заданий 18

Критерии оценки заданий 18 Задание 18 Критерии оценки заданий 18 Содержание критерия Балл ы Обоснованно получен правильный ответ. 4 С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ М- 8 класс Рабочая тетрадь 8 глава стр. 1 Глава 8 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-801 Установление вида зависимостей в физических формулах и законах Т-80 Выражение одной переменной через другие Т-803 Вычисление

Подробнее

Тест 337.Параллельный перенос вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг)

Тест 337.Параллельный перенос вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг) Тест 337.Параллельный перенос вдоль оси ординат (вертикальный сдвиг) 1. В результате сдвига на вектор ( 0,1) график функции y = x переходит в график функции y = x + 1 2. В результате сдвига на вектор (

Подробнее

Асимптоты График функции Декартова система координат Дробно-линейная функция Квадратный трехчлен Линейная функция Локальный экстремум Множество

Асимптоты График функции Декартова система координат Дробно-линейная функция Квадратный трехчлен Линейная функция Локальный экстремум Множество Асимптоты График функции Декартова система координат Дробно-линейная функция Квадратный трехчлен Линейная функция Локальный экстремум Множество значений квадратного трехчлена Mножество значений функции

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a)

5 Построение графиков функций y = f (x) + b и y = f (x + a) 4.6. Постройте график функции: ) = []; ) = { }. 4.7. Постройте график функции: ) = ; ) = {}. Упражнения для повторения 4.8. Решите уравнение 3 = 3. 4.9. Постройте график уравнения + =. + 4.. Упростите

Подробнее

Дом Севастьянова. Екатеринбург

Дом Севастьянова. Екатеринбург Дом Севастьянова. Екатеринбург 9. Функция =, её график и свойства 0. Свойства квадратных корней. Тождество =. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня. Внесение множителя под знак квадратного

Подробнее

Вопросы образовательного минимума по математике за I четверть 9 класса Теоретическая часть: 1. В каком случае числа считается больше, чем число?

Вопросы образовательного минимума по математике за I четверть 9 класса Теоретическая часть: 1. В каком случае числа считается больше, чем число? Вопросы образовательного минимума по математике за I четверть 9 класса Теоретическая часть: 1. В каком случае числа считается больше, чем число? В каком случае числа считается меньше, чем число? 2. В каком

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

4 Лекция Функция

4 Лекция Функция Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Ягубов.РФ. Задачи с параметрами и другие нестандартные задачи. Применение свойств функций. Тема 4. Продолжение. Начало в 4/2014

Ягубов.РФ. Задачи с параметрами и другие нестандартные задачи. Применение свойств функций. Тема 4. Продолжение. Начало в 4/2014 С. Шестаков, isser@yande.ru, г. Москва Тема 4. Продолжение. Начало в 4/04 Задачи с параметрами и другие нестандартные задачи Применение свойств функций 4.. Преобразования графиков 53 математика май-июнь

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Линейная функция 1. Проведите полное исследование линейной функции. 1) y = 2x 5 2) y = 2 3x 3) y = 3 (x 2) 4 (x + 1)

Линейная функция 1. Проведите полное исследование линейной функции. 1) y = 2x 5 2) y = 2 3x 3) y = 3 (x 2) 4 (x + 1) Глава ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ Алгоритмы А- Функция А- Схема исследования функции А- Решение линейных неравенств А- Решение квадратных неравенств А-5 Решение рациональных неравенств А- Функция. Является ли

Подробнее

Тема 10 «Графики элементарных функций».

Тема 10 «Графики элементарных функций». Тема 10 «Графики элементарных функций». 1. Линейная функция f(x) = kx + b. График - прямая линия. 1) Область определения D(f) = R. ) Область значений E(f) = R. 3) Нули функции у = 0 при x = k/b. 4) Экстремумов

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

Подробнее

x y ) Графический - функция задается в виде графика:

x y ) Графический - функция задается в виде графика: ФУНКЦИИ. Понятие функции. Допустим, скорость движения человека составляет 5 км/ч. Если принять время в пути за x часов, а пройденный путь за y км, то зависимость пройденного пути от времени в пути можно

Подробнее

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2017

Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА Экспериментальный учебник Часть 1 МОСКВА 2017 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 9 Экспериментальный учебник Часть МОСКВА 07 Заочный физико-математический лицей «Авангард» Е. Н. Филатов АЛГЕБРА 9 Экспериментальный

Подробнее

1 Степень с целым показателем

1 Степень с целым показателем Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Уравнения и неравенства с модулем.

Подробнее

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Задачи с параметрами. (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные. 1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами Задачи с параметрами (10 11 классы) Параметры это те же числа, просто заранее не известные 1 Линейные уравнения и неравенства с параметрами Линейная функция: - уравнение прямой с угловым коэффициентом

Подробнее

Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром)

Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром) Система подготовки учащихся к ЕГЭ по математике профильного уровня. (задачи с параметром) Теоретический материал Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

16.2.Н. Производная.

16.2.Н. Производная. 6..Н. Производная 6..Н. Производная. Оглавление 6..0.Н. Производная Введение.... 6..0.Н. Производная сложной функции.... 5 6..0.Н. Производные от функций с модулями.... 7 6..0.Н. Возрастание и убывание

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения

МАТЕМАТИКА. Практикум для иностранных граждан подготовительного отделения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МАТЕМАТИКА Практикум для иностранны граждан подготовительного отделения ОДЕССА ОНЭУ 4 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Условные

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Задание 18. Задачи с параметром

Задание 18. Задачи с параметром Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

Подробнее

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ;

Уравнение при условиях и имеет при, решение. Ответ: при решений нет, при ; C5 При каждом значении а решите систему Пары дающие решение системы, должны удовлетворять условиям Из второго уравнения системы находим Осталось заметить, что тогда Уравнение при условиях и имеет при,

Подробнее

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ. прямоугольной декартовой системе координат графики функций y = f 1

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ. прямоугольной декартовой системе координат графики функций y = f 1 В.А. Шилинец, доцент кафедры математики БГПУ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ График функции дает наглядное представление о ее свойствах. Отсюда следует большое образовательное

Подробнее

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола.

Подробнее

Методика формирования компетентностного компонента математической культуры учеников классов. Система изучения учебных модулей по математике

Методика формирования компетентностного компонента математической культуры учеников классов. Система изучения учебных модулей по математике Методика формирования компетентностного компонента математической культуры учеников классов Система изучения учебных модулей по математике И. К. Сиротина, старший преподаватель кафедры информационных технологий

Подробнее

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств

Использование свойств функций и их графиков при решении уравнений или неравенств Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Использование

Подробнее

Построение графиков функций

Построение графиков функций Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций

МАТЕМАТИКА. Уравнения и неравенства с модулем. Графики функций Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Уравнения и неравенства с модулем.

Подробнее

Тригонометрические функции. Синус и косинус

Тригонометрические функции. Синус и косинус И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические функции. Синус и косинус В геометрии синус и косинус определяются как функции острого угла прямоугольного треугольника. Давайте вспомним

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи

задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи С. ШЕСТАКОВ, isser@yande.ru, г. Москва Тема 4 задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи графические интерпретации Важной частью математической культуры, необходимой для овладения методами решения

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Графики и множества на плоскости. Задание 2 для 10-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Графики и множества на плоскости. Задание 2 для 10-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Графики и множества на плоскости Задание

Подробнее

Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Глава 8 ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ Модуль 1 «Переменные и зависимости между ними» познакомить учащихся с понятиями: переменная, зависимость, график зависимости; рассмотреть способы задания зависимостей; рассмотреть

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых...

Построение кривых... 1.План исследования и построения кривых... Содержание Построение графиков функций............. План исследования функции при построении графика... Основные понятия и этапы исследования функции..... Область определения функции D f и множество значений

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Построение графиков функций с помощью производной

Построение графиков функций с помощью производной Построение графиков функций с помощью производной Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление о графике, а,

Подробнее

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства

которая означает, что множество B состоит из элементов, удовлетворяющих указанному условию. Например, множество решений неравенства Лекция Глава Множества и операции над ними Понятие множества Понятие множество относится к наиболее первичным понятиям математики не определяемым через более простые Под множеством понимают совокупность

Подробнее

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы

1. Найдите число решений системы. 2. Найдите число решений системы. 3. Найдите число решений системы. 4. Найдите число решений системы 1 Количество решений системы уравнений Графический динамический метод Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр, полезен следующий приём Строим графики каждого из уравнений

Подробнее

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу

Основные тригонометрические функции. Рис.1. y sin x и y cos x. Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу Основные тригонометрические функции Чтобы дать определение тригонометрических функций, рассматривают окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Эту окружность называют тригонометрическим кругом.

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

Параметры и квадратный трёхчлен. 2

Параметры и квадратный трёхчлен. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параметры и квадратный трёхчлен. 2 Данная статья посвящена вопросам расположения корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра. Вычисление корней

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ.

ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ. 7 ( ; 8 ЗАНЯТИЕ 8 СООТНОШЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДСТАНОВКИ Необходимые сведения из теории Тригономе трия (от греч trigonon треугольник,

Подробнее

Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.6 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 5 «Функции» В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.6 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 5 «Функции» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Класс 7.1, 7.2, 7.3, 7.6 Учебник: Алгебра (Макарычев Н.В.) Модуль 5 «Функции» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Что такое функция. График функции. Графическое представление статистических

Подробнее

Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь М.Б. Основные сведения 1. Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется

Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь М.Б. Основные сведения 1. Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется Квадратичная функция в различных задачах Дихтярь МБ Основные сведения Квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) называется функция вида у ax bx c, где abc,, заданные числа и Квадратичные функции у

Подробнее

ЗАДАНИЯ 23 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ Укажите наибольшее

ЗАДАНИЯ 23 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ Укажите наибольшее Задания ОГЭ по математике ЗАДАНИЯ ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ http://math00.ru ) Постройте график функции значение этой функции. ) Постройте график функции значение этой функции. ) Постройте

Подробнее

Ягубов.РФ. задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи. графические интерпретации Метод областей. Тема 4

Ягубов.РФ. задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи. графические интерпретации Метод областей. Тема 4 С. ШЕСТАКОВ, isser@yande.ru, г. Москва Тема 4 задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи графические интерпретации П О В Ы Ш Е Н И Е КВАЛИФИК А Ц И И / ЛЕКТО Р И Й Важной частью математической

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

Исследование функции. Беседа Развитие понятия функции

Исследование функции. Беседа Развитие понятия функции Глава История Ферма 6 665 Галилей 564 64 Ньютон 643 77 Лейбниц 646 76 Исследование функции Беседа Развитие понятия функции Идея функциональной зависимости также восходит к древним источникам, однако явное

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Графические диктанты. Дидактический материал. Математика 6 класс

Графические диктанты. Дидактический материал. Математика 6 класс Дидактический материал Графические диктанты Математика 6 класс Данные задания по математике предназначены для учащихся 6 класса. Их содержание соответствует государственной программе для общеобразовательной

Подробнее

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Гущин Д. Д. www.mathnet.spb.ru 1 0. Простейшие уравнения. К простейшим (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных

Подробнее

АДАПТИРОВАННАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету Математика (Алгебра) для учащихся 8 класса на учебный год

АДАПТИРОВАННАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету Математика (Алгебра) для учащихся 8 класса на учебный год АДАПТИРОВАННАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по учебному предмету Математика (Алгебра) для учащихся 8 класса на 2016-2017 учебный год Бондарчук Нина Ивановна, учителя математики п. Калининское 2016 г. 1 Адаптированная

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ:

3. Представьте в виде степени с рациональным показателем. Ответ: 5. Найдите сумму корней квадратного трехчлена. Ответ: Контрольные работы по алгебре в 9 классах за І полугодие, для тех, кто обучается по учебнику авторов: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. Предлагаются задания в 20 вариантах. Каждый вариант

Подробнее

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Глава ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Логарифм действительного числа Пусть даны положительные действительные числа и N Требуется найти такое

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» ФКГОС. г. Липецк учебный год

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» ФКГОС. г. Липецк учебный год Приложение к ООП ООО Классы -9 Рабочая программа учебного предмета «Алгебра» ФКГОС г. Липецк 208 209 учебный год ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Изучение математики на ступени основного общего образования направлено

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Сборник задач по математике для 8 класса. Составила Коньшина Е.В. учитель математики, МАОУ «Гимназия 8», г.перми

Сборник задач по математике для 8 класса. Составила Коньшина Е.В. учитель математики, МАОУ «Гимназия 8», г.перми Сборник задач по математике для 8 класса Составила Коньшина Е.В. учитель математики, МАОУ «Гимназия 8», г.перми Понятие модуля О п р е д е л е н и е. Абсолютной величиной (модулем) действительного числа

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе

Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тематическое планирование по алгебре в 7 классе Тема Количество часов Количество контрольных работ 1 Математический язык. Математическая модель 16 1 2 Линейная функция 15 1 3 Степень с натуральным показателем

Подробнее

БИЛЕТ 15. (записано отношение высоты к основанию), откуда BH = 9+BH 2, BH = 3.

БИЛЕТ 15. (записано отношение высоты к основанию), откуда BH = 9+BH 2, BH = 3. БИЛЕТ 15 Физтех 017. Билеты 15 16. Решение 1. Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция f(x) принимает значения 1, 1 и 5 соответственно. Найдите наименьшее

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Математика 8 класс. (170 часов)

Математика 8 класс. (170 часов) Математика 8 класс (170 часов) Составлена на основе Программы для общеобразовательных школ, лицеев и гимназий (составители: Г. М. Кузнецова, Н. Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2004). СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Раздел

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x. Ее свойства и график Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Занятие 6 Свойства логарифма. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения

Занятие 6 Свойства логарифма. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения Занятие Свойства логарифма Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Переведите на родной язык: гл убеждаться -аюсь, -аешься; несов гл подтверждать -аю, -аешь несов к подтвердить сущ биссектриса

Подробнее