МАТЕМАТИКА. Последовательности. Пределы. Задание 3 для 10-х классов ( учебный год)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МАТЕМАТИКА. Последовательности. Пределы. Задание 3 для 10-х классов ( учебный год)"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Последовательности. Пределы Задание 3 для 0-х классов (05 06 учебный год) г. Долгопрудный, 05

2 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Составитель: Е.Ю. Редкозубова, ассистент кафедры высшей математики МФТИ. Математика: задание 3 для 0-х классов (05 06 учебный год), 05, 3 с. Дата отправления заданий по физике и математике 30 ноября 05г. Составитель: Редкозубова Елена Юрьевна Подписано Формат /6. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л.,0. Уч.- изд. л.,77. Тираж 500 Заказ 0-з. Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета) ООО «Печатный салон ШАНС» Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 4700, ЗФТШ, тел./факс (495) заочное отделение, тел./факс (498) очно-заочное отделение, тел. (499) очное отделение. Наш сайт: МФТИ, ЗФТШ, 05 Все права защищены. Воспроизведение учебно-методических материалов и материалов сайта ЗФТШ в любом виде, полностью или частично, допускается только с письменного разрешения правообладателей. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

3 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы. Бесконечные числовые последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция = ( ), определённая на множестве N натуральных чисел. Аргумент этой функции записывается в виде индекса, т. е. вместо записи () используют запись, а саму последовательность часто обозначают ( ). Число называют -м (читается: энным) членом последовательности ( ). Задать последовательность означает задать правило по которому каждому натуральному сопоставляется действительное число. Приведём примеры. () ; ; ;... (т. е. = для всех N ); () ; ; 3 ;... (т. е. = для всех N ); (3) ; ; ;... (т. е. = для всех N ); 3 (4) последовательность, -й член которой равен -му знаку после запятой в десятичной записи числа 8 ; 33 (5) последовательность, -й член которой равен количеству простых чисел, не превосходящих ; (6) =, =, = для всех 3 (последовательность Фибоначчи). Как видим, последовательности задаются различными способами. Например, указывается формула -го члена (примеры () (3)). Закон соответствия между номером и членом может быть описан словесно (примеры (4) (5)). Последовательность может быть также задана рекуррентным соотношением: даны несколько первых членов последовательности и формула, выражающая следующие члены последовательности через предыдущие (пример (6)). Легко убедиться, что в примере (4) =, = 4, =, = 4 и т. д., т. е. сложнее: = 3 ( ). В примере (6) формулу -го члена найти , ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 3

4 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы 5 5 =. 5 А вот явную формулу -го члена последовательности (5) написать невозможно. Тем не менее, многие её свойства установлены и без формулы. Скажем несколько слов о геометрическом изображении последовательности. Поскольку последовательность ) является функцией, то геометрически её можно изобразить графиком (рис. а). Однако чаще всего члены последовательности изображаются точками координатной прямой, снабжёнными соответствующими пометками (рис. б). ( 3 5 O Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (), (), (5) и (6)? Ответ. Каждый их член, начиная со второго, не меньше предыдущего. Определение. Последовательность ) называется строго возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего, т. е. > для любого N. Последовательность ( ) называется строго убывающей, если < для любого N. Последовательность ( ) называется нестрого убывающей, если для любого N. Последовательность ) называется нестрого возрастающей, если а) Рис. б) ( ( для любого N. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 4

5 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Все такие последовательности (строго возрастающие, строго убывающие, нестрого убывающие, нестрого возрастающие) называются монотонными. Пример.. Выяснить, является ли монотонной последовательность 3 =. Решение. Уточним, чему равен. Для этого вместо в 3 3( ) = подставим, т. е. =. Рассмотрим разность 3 3( ) 3 3[( )( ) ( 3)] = = = 3 ( )( 3) 6 = > 0, ( )( 3) значит, > для любого N. По определению последовательность ( ) является строго возрастающей. Приведённые рассуждения являются стандартными при доказательстве монотонности последовательности. Используя особенности последовательности ( ), можно установить её возрастание более простым способом. Запишем в виде = = 3, тогда 6 6 = 3 > 3 =. 3 Пример.. Выяснить, является ли монотонной последовательность = 3 ( ). Решение. Последовательность не является монотонной, поскольку m = < 4 = m и m = 4 > = m для всех натуральных m. Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (), (3) и (4)? Ответ. Все их члены лежат на отрезке [0; 4]. Определение. Последовательность ( ) называется ограниченной, если существует число C > 0 такое, что для любого натурального выполняется неравенство C. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 5

6 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Пример.3. Доказать, что последовательность ( ) является ограниченной тогда и только тогда, когда все её члены лежат на некотором отрезке. Решение. Пусть последовательность ) ограничена. Тогда существует число C > 0 такое, что C для любого N. Последнее неравенство можно переписать в виде C C, т. е. [ C; C ]. Обратно, пусть все члены ( ) лежат на некотором отрезке [ m; M ]. Выберем симметричный отрезок [ C; C], содержащий [ m; M ], тогда C C и, следовательно, C. В качестве такого C можно взять, например, ma{ m, M }. Пример.4. Выяснить, является ли ограниченной последователь- 0( ) ность =. 0 Решение. Рассмотрим =. Поскольку при уменьшении знаменателя положительной дроби значение дроби увеличивается, имеем: = = 0. Значит, 0 для любого N. По определению последователь- ность ( ) является ограниченной. Пример.5. Выяснить, является ли ограниченной последовательность ( =. Решение. Предположим, что последовательность ( ) является ограниченной. Это означает, что существует такое число C >0, что при всех выполняется неравенство C. Однако при > C неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность ) не является ограниченной. ( 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 6

7 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы. Арифметические и геометрические прогрессии Рассмотрим подробнее два важных класса числовых последовательностей. Определение. Последовательность ( ), каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией. Число d разность прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством = d и первым членом. Перечислим основные свойства арифметической прогрессии. ) Формула -го члена арифметической прогрессии: = ( ) d, N. (.) ) Для конечной арифметической прогрессии,,, суммы членов, равноотстоящих от концов, равны: = = = 3 = k k, k =,,,. (.) 3) Формула суммы первых членов арифметической прогрессии: = S, (.3) или, учитывая ), ( ) d S =. (.3`) Приведём ещё характеристическое свойство арифметической прогрессии. 4) Последовательность ( ) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов: =,. (.4) Приведём доказательство лишь 4). Пусть дана арифметическая прогрессия ( ), тогда при имеем = d и = d. Складывая почленно эти равенства, получаем =. Обратно, пусть для -го члена ( ),, выполнено равенство (.4), тогда 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 7

8 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы = или =. Отсюда получаем, что =, т. е. любые два соседних члена последовательности отличаются на одно и то же число d =. По определению последовательность ) является арифметической прогрессией. ( Пример.. Найти сумму первых 0 членов арифметической прогрессии, если = Решение. По формуле (.3) = S 0 0. Заметим, что члены 5 и 6 равноотстоят от и 0 соответственно. По (.) = 0 4 = 5 6, следовательно, S 0 = 0 = 0. Ответ. 0. Определение. Последовательность ( ), первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называется геометрической прогрессией. Число q знаменатель прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно равенством = q, первым членом 0 и знаменателем q 0. Перечислим основные свойства геометрической прогрессии. ) Формула -го члена геометрической прогрессии имеет вид = q, N. (.5) ) Для конечной геометрической прогрессии,,, произведения членов, равноотстоящих от концов, равны: = = 3 = = = k k, k =,,,. (.6) 3) Формула суммы первых членов геометрической прогрессии: q S = при q и S = при q. q Приведём ещё характеристическое свойство геометрической прогрессии. 4) Числовая последовательность ( ) ненулевых членов является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждо- 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 8

9 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы ( = ( ) = = ( го её члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов: =,, (.8) или ( ) =,. (.8`) Докажем свойство 4). Пусть последовательность ) является геометрической прогрессией, тогда q q q. Обратно, пусть все члены последовательности ) отличны от нуля и для -го её члена,, выполнено =, тогда =. Следовательно, =, или = q, где q =. По определению последовательность ) является геометрической прогрессией. ( Пример.. Известно, что,,, геометрическая прогрессия. Известны числа S = и T =. Найти P =. Решение. Обозначим знаменатель прогрессии через q. Преобразуем искомую величину = q q = q = ( ) = q = ( q ) Пусть q, тогда = q S q. Последовательность /, /,, / является геометрической прогрессией со знаме- q q нателем /q. Следовательно, T =, т. е. T =. q q ( q ) Отсюда заключаем, что S / T = q. Последнее равенство, очевидно, справедливо и при q =. Следовательно, Ответ. S. T. S P. T 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 9

10 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Пример.3. Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на 40%, то получится геометрическая прогрессия, сумма членов которой равна 39. Найти эти числа. Решение. Обозначим данные числа,,. По условию сумма 3 0,6 3 равна 39. По характеристическому свойству арифметической прогрессии = и, следовательно, 3 0,6 3=,6. Отсюда получаем, что =5. По характеристическому свойству геометрической прогрессии (0,6 ) =. Итак, = 30 и 3 3 = 8, т. е. по обратной теореме Виета 3 и 3 являются корнями уравнения 30 8= 0. Корни этого уравнения равны 3 и 7, следовательно, = 3 и = 7, поскольку последовательность 3,, 3 по условию является возрастающей. Ответ. 3, 5 и 7. Пример.4. Найти формулу -го члена последовательности, заданной рекуррентно: = ; =, N. Решение. Рассмотрим вспомогательную последовательность y = a, где число a подбирается так, чтобы последовательность y была геометрической прогрессией. Подставляя = y a и = y a в рекуррентное соотношение, имеем y a = ( y a), т. е. y = y ( a). Последовательность y будет геометриче- 3 ской прогрессией, если a = 0, т. е. a =. Поскольку y= a =, формула общего члена геометрической прогрессии y 3 = Ответ. 3 ( y =, q = ). Тогда = = 3 y a,.,. = 3 y запишется так: 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 0

11 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы 3. Предел последовательности При увеличении члены последовательности =/ становятся сколь угодно малыми, неограниченно приближаются (стремятся) к нулю. Логично считать, что ноль предел последовательности ( ). Однако такого интуитивного понимания в более сложной ситуации может оказаться недостаточно. Мы должны точно сформулировать, что означает слово «предел» на языке чисел. Строгое определение предела было сформулировано довольно поздно только в середине XIX века. Дело в том, что в отличие от используемых ранее «назывных» определений (типа определения равнобедренного треугольника) здесь описывается процесс изменения величины: пробегая по ряду натуральных чисел,, 3,,,, мы наблюдаем за поведением. Такие понятия плохо формализуются. Попытаемся понять, что следует предпринять, чтобы проконтролировать утверждение «стремится к a». Изобразим члены последовательности на числовой оси и отметим на ней точку a. Представим ситуацию образно: будем делать фотографии a каждый раз с новым оптическим увеличением. Число a будет пределом последовательности, если a «друг» : на любой такой фотографии окажутся все, начиная с некоторого номера. Проиллюстрируем сказанное на примере последовательности =/. В качестве «фотографии» a = 0 можно взять симметричный интервал (, ). Оптическому увеличению соответствует уменьшение. Пусть k /, тогда / < при > k и, следовательно, член попадает на «фотографию», т. е. < <. Например, при = / 00 все члены 0, 0,, окажутся в интервале ( /00, /00), при =/ 000 уже только члены,,, окажутся в интервале ( /000, / 000) и т. д. Определение. Число a называется пределом последовательности ( ), если для любого положительного числа найдётся такое действительное число k, что при всех > k выполняется неравенство a <. (3.) греческая буква «эпсилон». 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

12 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы В этом случае пишут lim = a (читается: предел при, стремящемся к бесконечности, равен a ). Последовательность, называется сходящейся, если существует число a, являющееся её пределом. Если такого числа a не существует, то последовательность называется расходящейся. Замечание. Часто в определении предела полагают число k натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится определение, эквивалентное данному нами определению предела. Выясним геометрический смысл понятия предела. Для положительного числа интервал ( a, a ) называется - окрестностью точки a. Неравенство (3.) равносильно двойному неравенству < a < или a < < a. (3.) Неравенство (3.) показывает, что все члены последовательности ( ) с номерами > k попадают в окрестность точки a. В определении предела число может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки a содержит все члены ) за исключением, быть может, конечного числа ( (рис. а). На уровне графика последовательности это означает, что вне сколь угодно узкой полосы между прямыми = a и = a может оказаться лишь конечное число точек графика ) (рис. б). a+ a- a ( + a- a a+ 3 O 3 + а) Рис. б) 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

13 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Замечание. В определении предела выбор числа k, вообще говоря, зависит от. Чтобы подчеркнуть это, иногда пишут k = k( ). Доказать, что последовательность ( ) имеет предел, фактически означает найти функциональную зависимость k от. Вообще, определение предела по виду напоминает нескончаемую дискуссию между двумя лицами A и B : A задаёт точность приближения, в ответ B указывает число k, с которого эта точность достигается, т. е. выполняется неравенство (3.) при всех > k; A уменьшает точность, B указывает новое k и т. д. Пример 3.. Пусть = c постоянная последовательность. Доказать, что lim = c. Решение. Пусть выбрано произвольное >0. Нам нужно найти такое число k, что при всех > k выполнялось бы неравенство c <. Но это неравенство равносильно следующему: c c <, или 0<, что выполняется для всех номеров. Это означает, что в качестве k можно выбрать любое число, например, k =0. Тогда для любого > k имеет место неравенство c <. По определению lim = c. Замечание. В разобранном примере число k удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех.. Такой случай не типичен. Пример 3.. Доказать, что lim = 0. Решение. Пусть фиксировано произвольное >0. Нам нужно найти такое число k, что при всех > k выполнялось бы неравенство 0 < или >/. Выберем k =/. Тогда при k > имеем: 0 = < =. k По определению lim = 0. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 3

14 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Вопрос. Пусть lim = a, > 0 и число k такое что ( a, a ) при > k. Можно ли утверждать, что в интервале ( a; a ) нет ни одного из чисел, k? Ответ. Нет. Приведём соответствующий пример. Определим при чётном; = 0 при нечётном. Последовательность ( ) имеет предел, равный нулю. Пусть = 0,0, тогда все члены с номерами > 00 попадают в интервал ( ), а, например, член = 0,0 уже не попадает в него. Однако 00 члены, 3,, 99 с нечётными номерами тоже лежат в ( ). Наглядное представление о пределе можно получить, считая, что какие-то физические величины, которые мы можем измерять с определённой точностью, допускаемой приборами. Пусть есть точность прибора, тогда неравенство a < означает, что мы не сможем отличить от a. Таким образом, условие lim = a означает, что при любой точности измерения последовательность ( ), начиная с некоторого номера, не отличается от постоянной последовательности a, a, a,.... Вопрос. Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности? Ответ. Нет. Предположим, что два разных числа a и b являются пределами одной и той же последовательности ) и пусть, например, b > a. Положим = ( b a) / 3, тогда -окрестности точек a и b не пересекаются (сделать чертёж!). Ввиду условия найдутся такие числа k и k, что при всяком > k член лежит в -окрестности точки a и при всяком > k член лежит в -окрестности точки b. Если теперь взять какое-нибудь > ma{ k, k }, то окажется, что лежит одновременно в -окрестности точки a и в -окрестности точки b, а это невозможно, поскольку окрестности не пересекаются. ( 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 4

15 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Пример 3.3. Доказать, что если q <, то limq =0. Решение. Если q =0, то q = 0 при любом, в этом случае утверждение очевидно. Для случая q 0 предварительно установим одно вспомогательное неравенство. По условию q <, тогда > и, значит, = q q для некоторого >0. Возводя обе части последнего неравенства в степень, получим = ( ). Поскольку >0, то все слагаемые, q которые получаются после раскрытия скобок и приведения подобных членов в ( ), являются положительными. Одним из слагаемых является, поэтому справедливо = ( ) > и, значит, q q <. (3.3) С помощью полученного неравенства докажем, что limq =0. Мы должны показать, что для любого > 0 существует число k, такое, что при всех > k выполняется неравенство q 0 = q <. Выберем k =, тогда при > k > > < Действительно, ( ) это произведение сомножителей : ()() (). Член получается только в случае, когда из одной скобки мы берем, а из остальных -. Поскольку у нас всего скобок, то после перемножения мы получим слагаемых вида, т. е. коэффициент перед равен. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 5

16 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы и в силу (3.3) q 0 = q < <, что и требовалось доказать. Отметим, что в параграфе 4 (пример 4.) будет дано другое доказатель- ство. Вопрос. Пусть lim = a >0. Можно ли утверждать, что найдётся такое число k, что a < при всех > k? Ответ. Да. Поскольку lim = a, то по определению предела для любого положительного числа, а следовательно, и для = /, найдётся число k, такое что a < при всех > k. Сформулируем необходимое условие существования предела, доказательство которого приводится в следующем параграфе. Теорема 3.. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Пример 3.4. Доказать, что последовательность = не имеет предела. Решение. В примере.5 было показано, что данная последовательность не является ограниченной. По теореме 3. заключаем, что последовательность ( ) расходится. Следующий пример показывает, что ограниченная последовательность может и не иметь предела, т. е. обратное утверждение к теореме 3. неверно. Пример 3.5. Доказать, что последовательность = ( ) не имеет предела. Решение. Предположим противное, т. е. какое-то число a является пределом этой последовательности. Тогда для = найдётся такое число k, что a < при всех > k. Пусть номер N > k, тогда N a < и a <. Но одно из чисел N N и N равно, а другое равно. Поэтому a < и a <, т. е. одновременно 0 < a < и < a < 0. Полученное противоречие показывает, что последовательность ) расходится. ( 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 6

17 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы При вычислении пределов на практике редко пользуются определением. Обычно применяют стандартные предельные равенства (см. примеры 3. и 3.3) и следующую теорему об арифметических операциях с пределами. Теорема 3.. Если последовательности ( ) и ( y ) сходятся, то сходятся и последовательности ( y), ( y) и / y (в последнем случае предполагается y 0, 0 lim y ). При этом ) lim ( y) = lim lim y ; ) lim ( y ) = (lim ) (lim y ) ; 3) lim y lim = lim y. Доказательство теоремы 3. обсуждается в следующем параграфе. Пример 3.6. Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. lim c = c lim для любого c R. Решение. В самом деле, рассмотрим последовательность Поскольку lim y = c (пример 3.), то по теореме 3. ) lim c = lim c lim = c lim. y = c. Пример 3.7. Показать, что lim = 0. Решение. Поскольку lim = 0, то по теореме 3. ) lim = lim lim = 0. Замечание. Теорему 3. можно обобщить на произвольное (конечное) число слагаемых (сомножителей). В частности, lim m = 0 для любого m N. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 7

18 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы 3 ( ) ( ) Пример 3.8. Найти lim. Решение. Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через. В числителе и знаменателе стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру.5). По теореме 3. они не имеют предела и теорема о пределе частного (теорема 3. 3)) «напрямую» здесь неприменима. Поступим следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую степень. По 3 формулам сокращённого умножения ( ) ( ) = 8 8, так что можно переписать в виде: 8 8 (8 ) = = =. ( ) Теперь в числителе и знаменателе стоят сходящиеся последовательности: 8 lim 8 = lim 8 lim 8lim = 8, lim = lim lim =. По теореме 3. 3) lim 8 8 = lim lim = = = 8. lim Ответ. 8. Определение. Геометрическая прогрессия ( ) называется бесконечно убывающей, если q <, где q знаменатель прогрессии. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число S = lim S, где S сумма её первых членов. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 8

19 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Пример 3.9. Доказать, что если геометрическая прогрессия ( ) с показателем q является бесконечно убывающей, то её сумма равна Решение. Так как S S. q q = q, то q q q = = lim q q lim = q = lim S 0 =. q q q = Пример 3.0. Записать значение выражения,7(5) =,7555 в виде обыкновенной дроби. Решение. Имеем ,7(5) = = = =. 0 Ответ. 79/45. Следующее полезное свойство пределов известно под названием теоремы о «зажатой» последовательности. что Теорема 3.3. Пусть ( ), y ) и ( z ) такие последовательности, ( y z при всех N и lim = limz = a. Тогда = limy a. Доказательство. Для данного > 0 существует такое число k, что члены лежат в интервале ( a, a ) при всех > k, и существу- ет такое число k, что члены z лежат в интервале ( a a ) при всех > k. Положим k = ma{ k, k }. Тогда при > k одновременно ( a a ) и z ( a a ) и, следовательно, a < y z a, т. е. y ( a a ), что и требовалось. < 5 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 9

20 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Пример 3.. Дана последовательность =. Доказать, что lim =. Решение. Попробуем «зажать» между членами последовательностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 3.3. Заметим, что наибольшая, а наименьшая дробь суммы. Тогда верна оценка. Поскольку <, тогда < > >. Учитывая < =, получаем: < <. Поскольку lim = lim = и lim =, по теореме 3.4 lim =. 4*. Теоремы о пределах Этот параграф посвящён доказательству основных теорем теории пределов. Формулировки некоторых из них были приведены в параграфе 3. Доказательство теоремы 3.. Пусть lim = a. Покажем, что последовательность ) ограничена. Согласно примеру.3 для этого ( достаточно показать, что все её члены лежат на некотором отрезке. Возьмём =. Тогда по определению предела найдётся число k такое, 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 0

21 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы что все члены ) с номерами > k попадают в интервал ( ( a a ). За пределами этого интервала может оказаться лишь конечное число членов,,,, где N наибольший из номеров N k. Добавим к этому набору числа a и a и из полученного набора чисел выберем наименьшее (обозначим его через m ) и наибольшее (обозначим его через M ). Тогда отрезок [ m M] содержит уже все члены данной последовательности: m M для всех. При доказательстве теоремы об арифметических операциях с пределами будем использовать определение предела и неравенство y y. (4.) Доказательство теоремы 3.. Пусть lim = a и limy = b. I. Докажем, что lim( y ) = a b. Пусть выбрано произвольное >0. Нам нужно показать, что найдётся такое число k, что y a b < при всех > k. По условию найдутся числа k и k такие, что a <, как только > k, и y < b как только > k. Положим k = ma{ k, k }. Тогда по неравенству (4.) при > k имеем: ( y ) ( a b) = ( a) ( y b) a y b < =, что и требовалось. II. Докажем, что lim( y ) = ab. Фиксируем произвольное >0. Нам нужно показать, что существует такое число k, что y ab < при всех > k. По теореме 3. последовательности ( ) и y ) ограничены; тем самым найдётся такое C >0, что C ( и y C при всех, а также a C, b C. Заметим, что y ab = y b b ab = ( y b) b( a) и, следовательно, по неравенству (4.) y ab y b b a. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

22 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Ввиду условия существует число k такое, что a < для C всех > k, а также число k такое, что y b < для всех > k. C Если положить k = ma{ k, k }, то при > k имеем: y ab y b b a < C C =, C C что и требовалось. Для доказательства оставшегося пункта теоремы нам потребуется следующий факт. Лемма 4.. Если y 0 и lim = b 0, то последовательность y (/ y ) ограничена. Доказательство леммы 4.. Положим в определении предела = b b. Тогда существует такое число k, что y b < при всех > k. Из неравенства (4.) вытекает, что y b b y. Следовательно, при всех > k имеем b y. y b Пусть N наибольший из номеров k. Добавим к членам / y, /y,, /yn числа / b и / b и из полученного набора выберем наименьшее (обозначим его через m ) и наибольшее (обозначим его через M ). Тогда отрезок [ m M] содержит все члены последовательности (/ y ), что и требовалось. Поскольку / y = (/ y ), пункт 3) теоремы 3. вытекает из леммы 4. и следующего утверждения, доказательство которого оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Утверждение. Если y 0 и lim y = b 0, то lim =. y b В теории пределов важную роль играет следующий факт, доказательство которого не приводим. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

23 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Теорема 4.. (Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты состоит в том, что на числовой оси нет «проколов» и «дырок». Вопрос. Пусть lim = a. Имеет ли предел последовательность ( )? Пример 4.. Используя теорему Вейерштрасса, доказать, что если q <, то limq =0. Решение. Для q = 0 утверждение очевидно. Пусть q (0, ), тогда = q, (4.) следовательно, < при всех, т. е. последовательность ( ) является строго убывающей. В частности, < при всех. Кроме того, очевидно > 0 при всех, т. е. последовательность ) ограничена. По теореме 4. существует lim (. Обозначим его через a. Тогда, переходя к пределу в равенстве (4.), получаем a = q a, т. е. a =0. Пусть теперь q (, 0), тогда справедливо неравенство q q q. Поскольку q (0, ), то по доказанному выше lim q = 0, тогда согласно примеру 3.6 и lim( q ) = 0. По теореме о «зажатой» последовательности (теорема 3.3) limq =0, что завершает доказательство. Дадим обоснование одного способа приближённого извлечения квадратных корней, встречавшегося еще в древних вавилонских текстах. Пример 4.. Последовательность ( ) задана рекуррентно a =, (4.3) где > 0, a > 0. Доказать, что lim = a. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 3

24 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Решение. Поскольку >0 и a >0, все члены последовательности положительные. Применяя неравенство ( c d)/ cd для среднего арифметического и среднего геометрического, из (4.3) получаем: a a = = a, т. е. a для всех. Отсюда вытекает, что a = т. е. последовательность ( ) является нестрого убывающей при. Кроме того, ) ограничена: a для всех. По ( теореме 4. существует lim = b и по теореме 3.4 b a >0. Переходя в равенстве (4.3) к пределу, получаем и, значит, b = a. 0, a b = ( b ), откуда b = a b 5. Понятие о пределе функции. Непрерывность функции Пусть функция y = f ( ) определена на некотором интервале, содержащем точку a R, за исключением, быть может, самой точки a. 3 Определение. Число A называется пределом функции y = f ( ) в точке a, если для любой последовательности ( ) из области её определения такой, что lim f ( ) = A. Обозначение: lim f ( ) = A, или a a и lim = a, f ( ) A при a. выполняется равенство 3 si Например, функция y = определена на любом интервале, содержащем точку 0, кроме самой точки 0. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 4

25 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Замечание. В определении предела рассматриваются значения не равные a, поэтому в самой точке a функция y = f ( ) может быть не определена; если значение f (a) определено, то оно не обязано совпадать с A. К тому же, поскольку последовательность f ( )) имеет не более одного (, предела, получаем, что если функция y = f ( ) имеет предел при O a a, то этот предел единственный. Рис. 3 На рисунке изображена лишь одна последовательность ( ), которая к тому же является монотонной. Важно понимать, что lim f ( ) = A для любой последовательности ) с условием a и lim = a. Пример 5.. Доказать, что lim = a. a Решение. Очевидно, функция f ( ) = определена на любом интервале, содержащем a. Выберем произвольную последовательность ( ) такую, что a и lim = a. Тогда f ( ) = и, значит, lim f ( ) = a. ( ( Пример 5.. Доказать, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. если lim f ( ) = A, то cf ca a lim ( ) = для любого a c R. Решение. Пусть функция y = f ( ) определена на некотором интервале, содержащем a. Выберем из этого интервала произвольную последовательность ) такую, что a и lim = a. Тогда из примера 3.6 следует lim cf ( ) = c lim f ( ) = ca, что и требовалось. y f ( ) f ( ) f ( ) A 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 5

26 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Пример 5.3. Доказать, что при a > 0 lim = a. a Решение. Функция f ( ) = определена при 0 и, следовательно, определена на некотором интервале, содержащем a. Выберем из этого интервала произвольную последовательность ) такую, что a и lim = a. Нам нужно показать, что lim = ( a. Фиксируем произвольное >0, тогда найдётся такое число k, что при > k выполняется неравенство a < a. Следовательно, ( a)( a) a a = < <, a a что и требовалось. Пример 5.4. Доказать, что lim =. Решение. Функция f ( ) = определена на любом интервале, содержащем =, кроме этой точки. Поскольку при имеет место равенство f ( ) =, то для любой последовательности ) такой, что и lim = выполняется lim f ( ) = lim =. При решении последних примеров мы повторяли одни и те же рассуждения. Их можно применить при доказательстве свойств пределов функций и в дальнейшем при вычислении уже пользоваться этими свойствами. Теорема 5.. Пусть функции y = f ( ), y = g( ) определены на некотором интервале, содержащем точку a R, за исключением, быть может, самой точки a, lim f ( ) = A и lim g( ) = B. Тогда a a ) lim( f ( ) g( )) = A B a ) lim f ( ) g( ) = AB a 3) если дополнительно g ( ) 0 при a, B 0, то lim f ( ) A =. a g ( ) B ( 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 6

27 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы Доказательство. Приведём доказательство лишь для свойства ). Остальные свойства доказываются аналогично. Пусть некоторая произвольная последовательность ) из интервала, на котором определены функции, такова, что Тогда по определению предела функции ( a и lim = a. lim f ( ) = A и limg( ) = B. По теореме 3. ) lim f ( ) g( ) = AB. В силу произвольности последовательности ) и определения предела функции получаем, что ( lim f ( ) g( ) = AB. a Определение. Пусть функция y = f ( ) определена на некотором интервале, содержащем точку a. Функция y = f ( ) называется непрерывной в точке a, если lim f ( ) = f ( a), т. е. если для любой последовательности ) из области определения функции такой, a что ( lim = a, выполняется равенство lim f ( ) = f ( a ). Замечание. Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка a здесь не нужна, т. к. при = a соответствующие значения f ( ) равны f( a ). Во-вторых, важно понимать, что если функция y = f ( ) непрерывна в точке a, то ) она определена в точке a ) существует lim f ( ) = A и 3) A = f ( a ). Если хотя бы один из пунктов ) 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке a. Пример 5.5. Функция f ( ) = непрерывна в любой точке a R. Это следует из примера 5. и определения непрерывности функции. Замечание. Из теоремы 5. вытекает, что если функции y = f ( ), y = g( ) непрерывны в точке a, то функции y = f ( ) g( ), y = f ( )g( ), y = f ( )/ g( ) ( g ( a) 0) также непрерывны в a. Определение. Функция y = f ( ) называется непрерывной на интервале (конечном или бесконечном), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. a 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 7

28 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы 0 Пример 5.6. Многочлен непрерывен на всей числовой прямой. Решение. Пусть P( ) = a a a a многочлен степени, a R. Нам нужно показать, что limp( ) = P( a ). a Поскольку функция f ( ) = непрерывна в точке a, то последова- m m = a a тельно применяя пункт ) теоремы 5., получаем, что lim любом натуральном m. Далее, по теореме 5. ) получаем: lim P( ) = lim a lim a lim a lim a0 = a a a a a = a lim a lim a lim lim a0 a a a a = aa a a aa a0 = P( a). = при Обоснование переходов будет проще понять, читая последнюю цепочку равенств с конца. Замечание. Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены. Например, из примера 5. вытекает, что функция непрерывна на (0 ). 3 Пример 5.7. Найти lim( ( 3) ). Решение. Поскольку ( 3) = 3 и 3 = 3 при 3, 3 3 то f ( ) = 3 = 4 при 3. Многочлен 3 P ( ) = 4 непрерывен на всей числовой прямой, и в частности, в точке =. Поэтому Ответ lim f ( ) = P () = 4 = 0. Пример 5.8. Найти lim. 5 5 Решение. Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через f( ). В числителе и знаменателе дроби f () стоят функции, непрерывные в точке =5. Предел этих функций при 5 равен их значению в точке =5, т. е. равен 0. В этом случае говорят, что имеет ме- 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 8

29 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы 0 сто неопределённость. Для её «раскрытия» приходится прибегнуть к искусственному приёму умножению числителя и знаменателя 0 дроби f () на «сопряжённое выражение» : ( )( ) 5 lim f ( ) = lim = lim = 5 5 ( 5)( ) 5 ( 5)( ) = lim = = Предпоследнее равенство получено в силу непрерывности функции y = в точке =5. Ответ. 4. Контрольные вопросы (). Найдите формулу -го члена последовательности ( ), заданной рекуррентным способом:, 3. (). Может ли последовательность быть одновременно арифметической и геометрической прогрессией? Если ответ положительный, приведите пример; если нет, объясните почему. 3(3). Сумма первых трех членов конечной арифметической прогрессии равна 3, а последних трех членов равна. Сумма всех членов данной прогрессии равна 85. Найдите число членов прогрессии. 4(3) Длины сторон прямоугольного треугольника образуют убывающую геометрическую прогрессию. Найдите косинус большего острого угла треугольника. 5(). Может ли геометрическая прогрессия ( ) со знаменателем q 0 быть строго убывающей? Если ответ положительный, приведите пример; если нет, объясните почему. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 9

30 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы 6. Известно, что в любой окрестности точки a находится бесконечно много членов последовательности. Следует ли отсюда, что а)() a lim ; б)() число b a не является пределом последовательности? Ответы обоснуйте. 7(). Известно, что последовательность ( ) сходится. Является ли последовательность y сходящейся? Ответ обоснуйте. 8(). Является ли последовательность сходящейся? Ответ обоснуйте. ( ) 9(). Найдите предел: lim (4). Известно, что последовательность ( ) имеет предел, а последовательность ( y ) не имеет. Может ли иметь предел последовательность: а) y ; б) y? Если ответ положительный, приведите пример; если нет, объясните почему. (3). а) Постройте график функции 4 f ( ) =. б) Имеет ли функция y = f ( ) предел в точке =? в) Является ли функция y = f ( ) непрерывной в точке =? Ответы обоснуйте. Задачи. Исследуйте данные ниже последовательности на монотонность и ограниченность. Ответы обоснуйте. 3 а)(4) = ; 7 б)(4) = ; в)(4) = ( ). 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 30

31 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы (4). Даны две геометрические прогрессии с первыми членами равными. Сумма знаменателей этих прогрессий равна, сумма пятых членов равна 7. Найдите сумму четвертых членов данных прогрессий. 3(). Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( b ) равна 4, сумма кубов её членов равна 9. Найдите третий член прогрессии. 4(3). Найдите формулу -го члена последовательности, заданной рекуррентно: = 3, =, N (). Докажите по определению lim. 6(). Докажите, что последовательность ( ), где = cos 4 имеет предела. 7(4). Найдите ( ) а)() lim ; 3 3 ( ) б)() ( 3) lim 5 ( 3) 5., не 8*(3). Докажите, что lim 0. (Указание: Воспользуйтесь теоремой 3.3.) 9*(3). Найдите предел последовательности ( ), заданной рекур- 3 рентным соотношением: 3,. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 3

32 05-06 уч. год, 3, 0 кл. Математика. Последовательности. Пределы 0(4). Найдите a)() lim 8 3 ; 3 3 б)() lim. 6 (4). Пусть f ( ) = 3 а)() Постройте график функции y = f ( ). при при ;. б)(3) Выясните, в каких точках функция y = f ( ) непрерывна. Ответ обоснуйте. 05, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание 4 для 8-х

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА

Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Федеральное агентство по образованию Московский физико технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (00-00 учебный

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратный трёхчлен. Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Задание 2 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратный трёхчлен. Иррациональные

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тождественные преобразования. Решение уравнений. Задание 1 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Бодунов МА, Бородина СИ, Показеев ВВ, Теуш БЛ, Ткаченко ОИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Многочлены. Простейшие уравнения и неравенства с модулем. Задание 3 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Многочлены. Простейшие уравнения и

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства. Задание 3 для 11-х классов. ( учебный год) Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Тригонометрические уравнения, системы,

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа

Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (00-00

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

1. Предел последовательности

1. Предел последовательности 1. Предел последовательности Из школьного курса вы знаете, что действительные числа это бесконечные десятичные дроби. Это определение не слишком строгое (точнее говоря, при таком определении довольно трудно

Подробнее

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные

Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Глава 1. Пределы и непрерывность 1. Числовые множества 1 0. Действительные числа Из школьной математики Вы знаете натуральные N целые Z рациональные Q и действительные R числа Натуральные и целые числа

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни. Задание 4 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико-техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Квадратные корни

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей

ФУНКЦИЯ И ЕЕ ПРЕДЕЛ Методические указания к самостоятельному изучению соответствующего раздела курса математики для студентов всех специальностей ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра математики ФУНКЦИЯ И ЕЕ

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Коршикова Т. И., Калиниченко

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

9. Некоторые следствия из свойств полноты

9. Некоторые следствия из свойств полноты 9. Некоторые следствия из свойств полноты Начнем с понятия, которое нам уже знакомо (как минимум в примерах). Речь идет о понятии подпоследовтаельности. Именно, пусть у нас есть последовательность {x n

Подробнее

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3

b) lim a) lim (4x + 3) = 1; d) lim c) lim x 2 1 5(x 2 + 1) = 114 x 2 (x2 4x + 8) = 4; x 2 x 2 +1 = 3 5 ; x 1 2(x+1) = 1 4. x 3 Занятие Вычисление пределов - : определения, теоремы о пределах, некоторые частные приемы вычисления пределов. Определение предела. Пусть f() функция, определенная в проколотой окрестности точки 0. Число

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn

} сходятся и, начиная с некоторого номера выполняется неравенство x y. Тогда lim xn. lim yn ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 6 Предел числовой последовательности СОДЕРЖАНИЕ: Предельный переход в неравенствах Подпоследовательности Фундаментальные последовательности

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

МАТЕМАТИКА. Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического

Подробнее

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций

Тема 1. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Тема. Функция. Способы задания. Неявная функция. Обратная функция. Классификация функций Элементы теории множеств. Основные понятия Одним из основных понятий современной математики является понятие множества.

Подробнее

3 1 Последовательности и их свойства

3 1 Последовательности и их свойства Глава 3 Предел 3 1 ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ последовательности Последовательности представляют собой особый класс функций, для которых областью определения является множество натуральных чисел. В этой

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

( C x A) x C (1) (соответственно

( C x A) x C (1) (соответственно 1.3. Предел последовательности 3.1. Точные границы. Начнем c анализа точных границ последовательностей. Сначала напомним определение точной границы множества. ТЕОРИЯ Множество A R называют ограниченным

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Системы уравнений. Задание 3 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Системы уравнений. Задание 3 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Системы уравнений Задание 3 для 8-х

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ;

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ; НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа Математическое отделение МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 0-й класс, задание ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАНИЯ Приступая

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Степень с рациональным показателем. Степенная функция

Степень с рациональным показателем. Степенная функция Глава Степень с рациональным показателем Степенная функция Степень с целым показателем Напомним определение и основные свойства степени с целым показателем Для любого действительного числа а полагаем а

Подробнее

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y)

. Если элементы множества X определяются определенным свойством P, то это записывают так: X = { x X / P( x) множество точек M ( x, y) I Множества Основные понятия Отображение множеств Множество одно из основных понятий математики, которое не определяется Множество состоит из элементов Всякая совокупность элементов произвольного рода

Подробнее

Предел и непрерывность функции одной переменной

Предел и непрерывность функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии МЕЧанга Предел и непрерывность функции одной переменной Рекомендовано учебно-методическим

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Подробнее

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

16. Формула Тейлора (продолжение)

16. Формула Тейлора (продолжение) 6. Формула Тейлора (продолжение Докажем единственность представления из теоремы 5.7. Предложение 6.. Пусть f : (p; q R функция класса C n, и пусть a (p; q. Предположим, что f(x = c 0 + c (x a + : : : +

Подробнее

5. Еще о пределах; ряды

5. Еще о пределах; ряды 5. Еще о пределах; ряды Докажем сначала предложение, на которое нам не хватило времени на прошлой лекции. Предложение 5.. Для всякого b > 0 имеем lim n (ln n=n b ) = 0. (Переход к произвольному основанию

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Задание 5 для 8-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Квадратные уравнения. Задание 5 для 8-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Квадратные уравнения Задание для 8-х

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана. Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Ф.Х.Ахметова, А.В.Косова, И.Н.Пелевина ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Часть Методические указания к выполнению домашнего задания

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции

Лекция 1. Понятие множества. Определение функции, основные свойства. Основные элементарные функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Понятие множества. Определение функции основные свойства. Основные элементарные функции СОДЕРЖАНИЕ: Элементы теории множеств Множество вещественных чисел Числовая

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО АРГУМЕНТА Учебно-методическое

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ Пределы Методические указания

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПИ НИЖНЕТАГИЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Демина ЕЛ, Демин СЕ РЯДЫ г Нижний Тагил 00 Предисловие В настоящем

Подробнее

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения

от перемены мест слагаемых a b b a сложения сумма не меняется сочетательный закон не важно, в каком порядке сложения 1 Прикладная математика Лекция 1 Числа. Корни. Степени. Логарифмы Различные виды чисел: натуральные, целые, рациональные, действительные. Действия над числами: сложение, вычитание, умножение, деление.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства

Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Лабораторная работа 5 Предел последовательности: определение, свойства Необходимые понятия и теоремы: определение числовой последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, монотонные

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

Вариант Найти область определения функции : y = x 3x+ Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: Вариант 7 Найти область определения функции : y Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и > Второе неравенство выполняется при всех значениях Корнями уравнения являются числа

Подробнее