МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Новосибирск

2 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.. В физике, химии и других естественных науках общий закон часто устанавливается на основе наблюдений и считается достоверным, если подтвержден большим числом опытов. Общие закономерности в математике также можно высказывать на основе наблюдений. Рассматривая суммы последовательных нечетных натуральных чисел, можно заметить равенства: = ; += ; ++5= ; ++5+7=4. Глядя на эти равенства, нетрудно высказать предположение, что сумма любых первых нечетных натуральных чисел равна, то есть ( ) =. В данном примере получаем действительно верное утверждение, в чем легко убедиться, например, при помощи формулы для суммы начальных членов арифметической прогрессии. Но заключение на основе даже достаточно большого числа частных наблюдений может оказаться ошибочным. Рассмотрим, например, квадратный трехчлен x +x+4. Подставляя вместо х натуральные числа,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, получим простые числа 4, 47, 5, 6, 7, 8, 97,,, 5. По наблюдениям можно высказать утверждение, что при любом натуральном числе х значение квадратного трехчлена x +x+4 является простым числом. Дальнейшая проверка показала, что это утверждение верно при любом натуральном х от до 9, но при х = 40 оно уже неверно, так как = 40(40 + ) + 4 = = 4 4 составное число. Вопрос. Как показать, что значения многочлена 05х + 07х + 07 не могут быть простыми при всех натуральных значениях х?.. Натуральный ряд,,,... бесконечен, так как за каждым натуральным числом всегда следует натуральное число +. Поэтому утверждение, что некоторое свойство имеет место для любого

3 натурального числа, мы не можем доказать перебором всех натуральных чисел. Для этих целей используется особый метод, который называется методом математической индукции. Суть метода математической индукции заключается в том, что сначала мы проверяем справедливость утверждения для начального значения переменной, равного. Затем последовательно: показываем, как из справедливости утверждения при = получить, что оно выполняется при = ; показываем, как из справедливости утверждения при = получить, что оно выполняется при = ; показываем, как из справедливости утверждения при = получить, что оно выполняется при = 4; и так далее. Пример. Докажем, что при любом натуральном число 9 делится на 7. При = число 9 равно 9 = 7, а поэтому делится на 7. Пусть =. Тогда 9 = 9 = 9 9 = = (9 ). Первое слагаемое делится на 7 по определению, а второе слагаемое делится на 7, потому что на предыдущем шаге мы отметили, что 9 делится на 7. Пусть =. Тогда 9 = 9 9 = = (9 ). Первое слагаемое делится на 7 по определению, а второе слагаемое делится на 7, потому что на предыдущем шаге мы отметили, что 9 делится на 7. Продолжая дальше рассуждать по приведенной схеме, мы можем добраться до любого натурального числа. Например, получив, что число делится на 7, для = 0 сможем провести следующее рассуждение: = = = ( ). Первое слагаемое делится на 7 по определению, а делимость второго слагаемого на 7 следует из того, что мы уже имеем делимость на 7 числа

4 После этого сможем повторить аналогичные рассуждения для = 0, и так далее. Таким образом, для любого натурального числа получаем, что число 9 делится на 7. Вопрос. Как показать, что число 9 4 4?..* Приведенная в предыдущем пункте схема рассуждений упрощается, если ввести переменную букву и записать следующее рассуждение. Пусть при = установлено, что 9 делится на 7. Тогда при = + получим: = 9 9 = = (9 ). Первое слагаемое делится на 7 по определению, а делимость второго слагаемого на 7 следует из предположения, что 9 делится на 7. Такое рассуждение в предыдущем пункте проведено несколько раз для конкретных значений : для =, для =, для = и для = 0 в предположении, что число делится на 7. Вопрос. Пусть известно, что Как доказать, что ?.4.* Доказательство утверждения методом математической индукции проводится в три шага с последующим заключением. Шаг. Доказываем, что утверждение верно для =. Шаг. Предполагаем, что утверждение доказано для некоторого натурального числа. Шаг. Доказываем, что утверждение верно для числа +, используя индуктивное предположение, сделанное на втором шаге. Заключение. По принципу математической индукции утверждение, доказываемое по приведенной схеме, верно для всех N. Пример. Докажем формулу... методом математической индукции. 4

5 Шаг. Левая часть равенства содержит слагаемых, и при = слева мы имеем одно слагаемое Следовательно, при = формула доказана.. Но при = правая часть тоже равна. Шаг. Предположим, что формула верна для некоторого числа, то есть выполняется равенство.... Шаг. Докажем формулу для числа +. Она имеет вид... По предположению, сделанному на втором шаге, сумму из первых слагаемых можно заменить дробью Итак, при всех.... Следовательно,.. N формула верна, что и требовалось доказать. Пример. Докажем, что при любом натуральном число делится на. Шаг. При = имеем, то есть число делится на. Шаг. Предположим, что при некотором значении число делится на. Шаг. Возьмем число +, подставим его вместо и получим. Затем запишем равенства 5

6 . Из предположения, сделанного на втором шаге, первое слагаемое полученной суммы делится на, а второе слагаемое делится на без всяких предположений. Отсюда следует, что и сумма делится на, то есть доказано, что число делится на для всех N. Вопрос. Как методом математической индукции доказать формулу суммы начальных членов геометрической прогрессии?.5.* При доказательстве утверждения методом математической индукции на каждом шаге нужно проводить безошибочные рассуждения. Иначе выводы могут оказаться неверными. Например, рассмотрим утверждение: Каждое натуральное число больше 0. Допустим, что при его доказательстве по схеме математической индукции мы забыли сделать первый шаг. Продолжая действовать по схеме, получим следующее. Шаг. Предположим, что утверждение верно для некоторого числа, то есть > 0. Шаг. Докажем, что число + больше 0. Действительно, прибавляя к обеим частям неравенства > 0 число, получим + >. Так как >0, то из неравенств + > и >0 следует неравенство + > 0, что и требовалось доказать. Сформулированное утверждение, что каждое натуральное число больше 0, неверно, потому что уже на первом шаге при = оно опровергается. Вопрос. Как показать, что утверждение все нечетные числа, начиная с трех простые является ложным? 6

7 .6.* Рассмотрим пример, в котором отыскать ошибку в рассуждениях не так просто. Пример 4. Пусть {,,, } множество первых натуральных чисел. Ошибочными рассуждениями покажем, что все эти числа равны между собой. Шаг. При = утверждение верно, так как в этом случае множество {} состоит из одного элемента. Шаг. Пусть утверждение верно для некоторого натурального числа, то есть все числа множества {,,, } равны. Шаг. Докажем, что утверждение верно для числа +. В этом случае мы имеем множество чисел {,,,, + }. По индуктивному предположению = = = =. Следовательно, можем записать равенство двух последних чисел =. Прибавляя единицу к обеим частям этого неравенства, получим = +. Отсюда делаем вывод, что все числа,,,, + тоже равны между собой, то есть третий шаг метода математической индукции выполняется. Где же ошибка в рассуждениях? Она не совсем видна. Чтобы ее отыскать, вдумаемся в индуктивное предположение. Оно относится к некоторому натуральному числу, то есть к целому числу.в равенствах = = = число может оказаться равным, а поэтому предшествующего ему натурального числа, которое обозначили на третьем шаге через, может и не быть. В этом случае нельзя делать заключение, что =. Вопрос. Как доказать, что из неравенства а > b не всегда следует неравенство а > b?.7.** Докажем, что 7

8 для всякого числа а > при любом натуральном выполняется неравенство:. Обычно это утверждение называют неравенство Бернулли. Применим метод математической индукции.. При = имеем, то есть неравенство верно.. Пусть неравенство Бернулли доказано для некоторого натурального числа, то есть выполняется неравенство.. Докажем неравенство Бернулли для числа +. Имеем:. По индуктивному предположению. Поскольку а >, то число + а положительно. Если обе части неравенства умножить на число + а, то знак неравенства сохранится. Отсюда. Таким образом, для любого N неравенство Бернулли доказано. Вопрос. Как доказать, что при любом натуральном?.8.** Иногда приходится доказывать, что некоторое утверждение справедливо для всех натуральных чисел, начиная с некоторого натурального числа 0. В этом случае метод математической индукции применяется в следующей форме. Шаг. Доказываем, что утверждение верно для числа 0. 8

9 Шаг. Предполагаем, что утверждение доказано для некоторого натурального числа > 0. Шаг. Доказываем, что утверждение верно для числа +. После этого заключаем, что утверждение верно для всех начиная с 0. N, Пример 5. Докажем методом математической индукции, что сумма внутренних углов выпуклого -угольника равна 80 ( ). Мы видим, что утверждение относится к треугольникам, выпуклым четырехугольникам, пятиугольникам и т.д. Поэтому рассматриваем все натуральные числа.. Из геометрии известно, что сумма внутренних углов треугольника равна 80 = 80 ( ). Поэтому утверждение о сумме углов верно для 0 =.. Предположим, что утверждение доказано для некоторого. А + Рис.. А А А. Рассмотри произвольный выпуклый угольник с вершинами A, A,..., A, условно изображенный на рисунке с направлением обхода контура против часовой стрелки. Проведем диагональ A A. В результате мы разобьем многоугольник A A A на два выпуклых многоугольника, из... которых один будет треугольник A A A, а другой выпуклый -угольник A... A A. Сумма внутренних углов выпуклого ( + ) угольника A A... A равна сумме внутренних углов треугольника A A A сложенной с суммой внутренних углов выпуклого угольника A A... A, то есть равна сумме что и требовалось доказать ( ) = 80 = 80 (( + ) ), 9

10 Вопрос. Можно ли из схемы индукции во второй форме исключить первый шаг и не доказывать справедливость утверждения для числа 0?. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. При изучении математики Вы не раз встречались с последовательно расположенными числами или другими объектами. Например, последовательно расположенные цифры в записи 004 образуют натуральное число, которое можно считать номером года. Далее, ломаная на плоскости задается как последовательность вершин A, A,..., A, соединенных отрезками A A A A,..., A A., Можно рассматривать также последовательно расположенные квадраты натуральных чисел,,,...,,... последовательно расположенные простые числа,, 5, 7,,, 7, 9, и так далее. Заметим, что в последних примерах в приведенных записях номеру каждого места сопоставляется определенное число, которое указано на этом месте. С учетом отмеченной особенности рассматривается следующее общее определение бесконечной числовой последовательности. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция f(), определенная на множестве N всех натуральных чисел. Полагая =,,,, мы получим значения этой функции f(), f(), f(),, которые называются членами последовательности: f() первый член последовательности, f() второй член последовательности, и так далее. Обычно члены последовательности обозначаются переменной с индексами:,,,... 0

11 Число f () называется общим членом последовательности, а соответствующее число номером члена последовательности. Иногда для краткости последовательность,,,... обозначается Вопрос. Каковы начальные пять членов последовательности с общим членом?.. Задать последовательность это значит указать правило, по которому вычисляется ее общий член. Часто правило задается в виде формулы. Например, формулой 5( ) определяется последовательность, члены которой. составляют бесконечную арифметическую последовательность. Иногда правило может быть более сложным. Пример 6. Рассмотрим правило, по которому задается последовательность P всех простых чисел. Первый член p выбирается как первое простое число в ряду натуральных чисел. Стоящее за p число, также простое, поэтому p. Удаляя из стоящих за p подряд все составные числа, находим следующее простое число p =5, и так далее. Если простое число p найдено, то из следующих за ним чисел следует подряд удалить все составные числа, пока не придем к очередному простому числу р +. Пользуясь этим правилом, нетрудно получить начальные члены последовательности простых чисел. Однако, получение формулы для -го простого числа это сложная задача, которая до настоящего времени не решена. Вопрос. Чему равно тридцатое простое число?.. Иногда члены последовательности задаются рекуррентными соотношениями. При таком способе выписывают значения одного или нескольких начальных членов последовательности, а для вычисления каждого последующего -го члена задают правило, по которому через один или несколько предыдущих членов вычисляется этот -й член.

12 Пример 7. Пусть b = и b =b - при каждом. Применяя указанное правило, получаем: b, b, b, b4, и так далее. Нетрудно видеть, что таким способом задаются последовательные члены геометрической прогрессии. Пример 8. Пусть, u и u u u u при каждом. Применяя указанное правило, получаем: u, u, u, u4, u5 5, u6 8, 7 u, и так далее. Получающаяся последовательность в течение многих столетий известна как последовательность чисел Фибоначчи. Числа Фибоначчи обладают многими замечательными свойствами, некоторые из них содержатся среди предлагаемых задач. Отметим, что при исследовании и доказательстве свойств членов последовательности, заданной рекуррентно, очень часто удобно применять метод математической индукции. Вопрос. Чему равен десятый член последовательности, заданной по правилу:,, и... при?.4. Бывает, что по мере возрастания номера члены последовательности изменяются в одном направлении: либо становятся все меньше и меньше, либо все больше и больше. В связи с такими особенностями последовательностей вводятся новые понятия. Последовательность называется возрастающей, если для каждого натурального. В том случае, когда при каждом выполняется неравенство + >, последовательность иногда называют строго возрастающей. Последовательность каждого натурального. называется убывающей, если для

13 В том случае, когда при каждом выполняется неравенство + <, последовательность иногда называют строго убывающей. Для возрастающих и убывающих последовательностей используют общее название монотонные последовательности. Вопрос. Какие примеры не монотонных последовательностей Вы знаете?.5. В некоторых случаях последовательность не является монотонной, однако, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство ( ). Тогда можно говорить, что последовательность возрастает (убывает), начиная с этого номера. Пример 9. Пусть 0,9. Начальные члены этой последовательности выглядят так: 0,9;,6;,87;,644. Видно, что в начале члены последовательности при возрастании номера становятся все больше. Тем не менее, начиная с некоторого номера последовательность убывающая. Чтобы установить это, с помощью переменной составим неравенство 0,9 0, 9 показано, что 9, откуда 0 при всех 9 и затем решим. Получаем, 9( ) 0, 9. Тем самым. Следовательно, начиная с номера 0 9, члены заданной последовательности убывают. Вопрос. Какую последовательность следует считать и возрастающей, и убывающей?.6. Часто члены последовательности сравнивают с другими числами. В связи с этим также вводится новое понятие. Последовательность существуют числа m и M такие, что называется ограниченной, если m M при всех N. Например, ограниченными являются последовательности с общим членом, b ( ), c.

14 Если последовательность не является ограниченной, то говорят, что последовательность не ограничена. Примерами неограниченных последовательностей могут служить последовательности с общим членом, b, c. Рассмотрим один пример, в котором сразу трудно понять, ограничена последовательность или нет. Пример 0. Пусть последовательность задана рекуррентно: а =, при. Оценивая начальные члены, можно заметить следующее: ;. В результате возникает предположение, что при всех N. Докажем это методом математической индукции..при =, =, = неравенство проверено.. Предположим, что при =.. Для =+получаем:. В результате методом математической индукции неравенство доказано при всех N. Вопрос. Как завершить решение в этом примере и доказать, что рассматриваемая последовательность ограничена? Составитель: к.п.н., доцент Ю.В.Михеев. Новосибирский государственный университет. 0 4

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ;

1=1 ; 1+3=2 ; 1+3+5=3 ; НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочная школа Математическое отделение МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 0-й класс, задание ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАНИЯ Приступая

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс СУММИРОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Геометрической прогрессией называется числовая последовательность b, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член, начиная со второго,

Подробнее

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия это числовая последовательность с общим членом. ,где q знаменатель геометрической прогрессии. ЛЕКЦИЯ Числовые последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Основные свойства бесконечно малых последовательностей Числовые последовательности Если каждому из множества

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

Лекция на тему «Метод математической индукции» (на курсах повышения квалификации учителей)

Лекция на тему «Метод математической индукции» (на курсах повышения квалификации учителей) Лекция на тему «Метод математической индукции» 900 (на курсах повышения квалификации учителей) Индукция (лат iductio наведение) переход от частного к общему; дедукция (лат deductio вывод) переход от общего

Подробнее

, а всю числовую последовательность - y

, а всю числовую последовательность - y Лекции Глава Числовые последовательности Основные понятия Числовую функцию y f N y R заданную на множестве N натуральных чисел называют числовой последовательностью Число f называют -м элементом последовательности

Подробнее

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ).

1. Прогрессии. 2. Задание последовательности рекуррентным соотношением: а 1, а 2,, а n 1, a n = f(a n 1, a n 2,, a 1 ). . Прогрессии Последовательность функция натурального аргумента.. Задание последовательности формулой общего члена: a n = f(n), n N, например, a n = n + n + 4, а = 43, а = 47, а 3 = 3,. Задание последовательности

Подробнее

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1

Муниципальный этап. 8 класс. Условия задач 1 Условия задач 1 Муниципальный этап 8 класс 1. На доске написаны два числа. Одно из них увеличили в 6 раз, а другое уменьшили на 2015, при этом сумма чисел не изменилась. Найдите хотя бы одну пару таких

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4

Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности. Задача 4 Задачи заочного тура по математике для 9 класса 2014/2015 уч. год, первый уровень сложности Задача 1 Решить уравнение: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Ответ: -1 Задача 2 Сумма

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ ЗАНЯТИЕ 8 АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ Необходимые сведения из теории Арифметическая прогрессия Числовая последовательность a, a d,, a d,, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему,

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ (МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ)

СБОРНИК ЗАДАЧ (МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского Национальный исследовательский университет АВ Леонтьева СБОРНИК ЗАДАЧ (МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Глава 0 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ И ДИКТАНТЫ Т-00 Вычисление членов последовательности по рекуррентной формуле Т-00 Составление рекуррентной формулы Т-00 Формула общего члена Т-004 Составление арифметической прогрессии

Подробнее

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московской области «Международный университет природы, общества и

Подробнее

Лекция 1 (13 января 2017)

Лекция 1 (13 января 2017) КОНСПЕКТ ЛЕКТОРА математический анализ, курс, 2 семестр, 207, А.М. Красносельский Числовые ряды Лекция (3 января 207) Рассмотрим последовательность R и напишем «бесконечную сумму»: a k a + a 2 +... + a

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

Пределы и непрерывность

Пределы и непрерывность Пределы и непрерывность. Предел функции Пусть функция = f ) определена в некоторой окрестности точки = a. При этом в самой точке a функция не обязательно определена. Определение. Число b называется пределом

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Перечислительная комбинаторика. Решения задач

Перечислительная комбинаторика. Решения задач Перечислительная комбинаторика. Решения задач ФКН ВШЭ, курс «Дискретная математика», основной поток 2015/16 уч. год Задача 1.1. Есть 3 гвоздики, 4 розы и 5 тюльпанов. a) Сколькими способами можно составить

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82.

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год 9 КЛАСС. (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) (y + 1) 4 + (y 1) 4 = 82. Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 1997 год Задача 1. Найти решения уравнения 9 КЛАСС (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Решение. После замены переменной x = y 1 уравнение (1) можно записать в виде

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними

Функции и графики. 1 Переменные и зависимости между ними Глава 8 Функции и графики Переменные и зависимости между ними. Две величины и называются прямо пропорциональными, если их отношение постоянно, т. е. если =, где постоянное число, не меняющееся с изменением

Подробнее

1. Понятие числовой последовательности

1. Понятие числовой последовательности Понятие числовой последовательности В курсе математического анализа изучаются переменные величины и зависимость между ними Простейшими переменными величинами являются числовые последовательности Определение

Подробнее

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ

Глава 1 ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Глава ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ.. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН... Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению. Одна из древнейших задач алгебры была предложена в Вавилоне, где была распространена

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых.

ЛЕКЦИЯ N2. 1. Свойства бесконечно малых. ЛЕКЦИЯ N Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Замечательные пределы Непрерывность функций Свойства бесконечно малых Признаки существования предела 3Свойства бесконечно больших 4Первый

Подробнее

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА

Пензенский государственный университет. Физико-математический факультет. «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Пензенский государственный университет Физико-математический факультет «Очно-заочная физико-математическая школа» МАТЕМАТИКА Тождественные преобразования. Решение уравнений. Треугольники Задание 1 для

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m

Тема 2 Теория пределов. , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента последовательности. вается последовательность m Тема Теория пределов Практическое занятие Числовые последовательности Определение числовой последовательности Ограниченные и неограниченные последовательности Монотонные последовательности Бесконечно малые

Подробнее

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ

Образовательный портал «Физ/Мат класс» МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ wwwfmclassru МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ ЧИСЕЛ Анализ величин, использование формул а) Сравните числа 6 6 и 5 7 5 4 8 6 б) Сравните числа ( + )( + )( + )( + )( + ) и 999 999 999 в) Сравните числа si0 cos0 и si 40

Подробнее

Производящие функции путей на графах

Производящие функции путей на графах Глава 3 Производящие функции путей на графах Многие последовательности натуральных чисел полезно представлять себе как последовательности, перечисляющие пути в некоторых графах. При этом вид графа оказывается

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

Глава 6 Числовые ряды

Глава 6 Числовые ряды Глава 6 Числовые ряды Определение числового ряда и основные теоремы Определение : Последовательностью действительных чисел называется функция f, определённая на множестве всех натуральных чисел Число f

Подробнее

Лекция 1: математическая индукция

Лекция 1: математическая индукция Лекция : математическая индукция Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 04 весна 05) Математическая индукция очень популярный способ рассуждений. Он будет часто применяться дальше

Подробнее

Лекция 2: перечслительная комбинаторика

Лекция 2: перечслительная комбинаторика Лекция 2: перечслительная комбинаторика Дискретная математика, ВШЭ, факультет компьютерных наук (Осень 2014 весна 2015) Задачи перечислительной кмбинаторики имеют типовой вид: «сколько способов сделать

Подробнее

Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах Решение уравнений в целых числах Линейные уравнения. Метод прямого перебора Пример. В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них 8 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения. Решение.

Подробнее

1.Последовательности комплексных чисел. Предел.

1.Последовательности комплексных чисел. Предел. ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

Подробнее

Из истории математики.

Из истории математики. Из истории математики Первой достаточно объемной книгой, в которой арифметика излагалась независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок нэ) В истории арифметики её роль сравнима с ролью

Подробнее

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Формула n-го члена геометрической прогрессии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия это ещё один вид числовой последовательности. Общее понятие последовательности мы обсудили в предыдущей

Подробнее

6 Предисловие автора. М. И. Шабунин

6 Предисловие автора. М. И. Шабунин Книга предназначена для учащихся старших классов средних школ, гимназий, лицеев и особенно для тех, кто, обладая знаниями основ школьного курса математики, стремится систематизировать эти знания и успешно

Подробнее

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики

1. Делимость целых чисел. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики 009-010 уч. год. 6, 9 кл. Математика. Элементы теории чисел. Натуральные и целые числа знакомы вам с младших классов, но полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости

Подробнее

1. Числовые последовательности

1. Числовые последовательности ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 1. Числовые последовательности Определение 1. Отображение a: N R множества натуральных, принимающее свои значения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм

Подробнее

Олимпиада МГУ «Покори Воробьевы горы 2011» Решение заданий заочного тура олимпиады МГУ по математике, 11 класс

Олимпиада МГУ «Покори Воробьевы горы 2011» Решение заданий заочного тура олимпиады МГУ по математике, 11 класс Олимпиада МГУ «Покори Воробьевы горы 011» Решение заданий заочного тура олимпиады МГУ по математике, 11 класс 1. Какое время между 1:10 и 15:10 показывают часы в тот момент, когда угол между минутной и

Подробнее

Последовательность и рекуррентное соотношение

Последовательность и рекуррентное соотношение 1 Последовательность и рекуррентное соотношение Лекции ВВШеломовского Последовательности и рекуррентные соотношения достаточно часто встречаются на экзаменах и олимпиадах Простейшая последовательность

Подробнее

Последовательность. Арифметическая прогрессия: основные определения

Последовательность. Арифметическая прогрессия: основные определения И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Арифметическая прогрессия Арифметическая прогрессия это специального вида последовательность. Поэтому прежде чем давать определение арифметической (а затем

Подробнее

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

{ } { } { } Глава 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 2.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Глава ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Функция, определенная на множестве натуральных чисел N и принимающая числовые значения, называется числовой последовательностью или просто последовательностью

Подробнее

Тема 29 «Геометрическая прогрессия»

Тема 29 «Геометрическая прогрессия» Тема 29 «Геометрическая прогрессия» Последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. Это число называется

Подробнее

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1

Основы алгебры. Числовые множества. Глава 1 Глава 1 Основы алгебры Числовые множества Рассмотрим основные числовые множества. Множество натуральных чисел N включает числа вида 1, 2, 3 и т. д., которые используются для счета предметов. Множество

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

1 Числовые последовательности

1 Числовые последовательности Глава 0 Последовательности Числовые последовательности Числовую последовательность часто называют функцией натурального аргумента Действительно, задание -ого члена последовательности аналогично заданию

Подробнее

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения:

которые представимы как, где p целое, а q натуральное (Q = ; p Z, Операции сложения: Q Операция умножения: p m pm Q. Свойства сложения: МНОЖЕСТВА Множество В математике понятие множество используется для описания совокупности предметов или объектов При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг

Подробнее

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике в учебном году 11 класс Время выполнения заданий 4 часа

Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике в учебном году 11 класс Время выполнения заданий 4 часа Общие положения 1) Максимальная оценка за каждую задачу. 2) ставится за безукоризненное решение задач; 6 баллов означает, что в решении допущена мелкая погрешность, например, не разобран частный случай,

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Введение в математический анализ. Теория пределов

Введение в математический анализ. Теория пределов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лекция 3. Интегральный признак

Лекция 3. Интегральный признак С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Интегральный признак Перед прослушиванием этой лекции рекомендуется повторить несобственные интегралы (лекция 9 и практическое занятие 9 из модуля «Интегральное

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы

СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ. 5 9 классы СПРАВОЧНИК ПО МАТЕМАТИКЕ 5 9 классы МОСКВА «ВАКО» 201 УДК 32.851 ББК 4.262.22 С4 6+ Издание допущено к использованию в образовательном процессе на основании приказа Министерства образования и науки РФ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МАШИНОСТРОЕНИЯ ИИ Поспелов,

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3

ОГЛАВЛЕНИЕ. Предисловие... 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................ 3 Часть 1. Лекции......................................... 4 1. Определение и простейшие свойства чисел Фибоначчи.... 4 2. Биномиальные

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 010 УДК 511+51 ББК Ч345 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн. ун-та

Подробнее

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части.

9.1, 9.3 класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. 9., 9. класс Модуль 5 «Последовательности. Степени и корни» В тесте проверяются теоретическая и практическая части. Последовательности Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей:

Подробнее

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята!

Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными. Добрый день, ребята! Алгебра: 7 класс. Урок 2. Числовые выражения. Выражения с переменными Добрый день, ребята! На прошлом уроке мы повторили темы, изученные в 6 классе. Вспомнили, как выполнять действия с обыкновенными и

Подробнее

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Указания, решения, ответы. нет, поэтому уравнение b 4ac имеет решений в целых числах. Третье решение. Перепишем уравнение УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ Указания, решения, ответы УРАВНЕНИЯ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ. Уравнение с одной неизвестной.. Решение. Подставим в уравнение. Получим равенство ( 4a b 4) (a b 8) 0. Равенство A B 0, где А и В целые, выполняется,

Подробнее

Лекция 1. Последовательности

Лекция 1. Последовательности С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция 1 Последовательности 1 Понятие последовательности Мы будем рассматривать только бесконечные числовые последовательности Начнем с формального определения этого объекта

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва

Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва УДК 7.8:[ + 7] ББК 7.6. А Авторы: М. И. Шабунин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, О. Н. Доброва А Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 0 класс : углубл. уровень / [М. И. Шабунин,

Подробнее

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества

Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. 1. Понятие множества Семинар Лекция 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1. Понятие множества Мы не будем здесь формулировать аксиомы теории множеств. Интересующие могут обратиться, например, к 1 тому курса «Математический анализ» В.

Подробнее

Экстремальные свойства среднего значения и медианы 1

Экстремальные свойства среднего значения и медианы 1 Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/~fali Экстремальные свойства среднего значения и медианы Г.И.Фалин, д.ф.м.н., проф. кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Новосибирск I. Проектирование

Подробнее

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Ряды Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия

Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1. Основные понятия 35 Глава 2 Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной 1 Основные понятия Пусть D некоторое множество чисел Если задан закон, по которому каждому числу из множества D ставится в

Подробнее

Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!»

Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!» Всероссийская олимпиада школьников «Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!» ЗАДАНИЯ, РЕШЕНИЯ, КРИТЕРИИ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ (ОЧНЫЙ) ЭТАП Математика 0 класс, 206/207 учебный год Задание. (0 баллов) Сколько

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС

Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 2002 год 9 КЛАСС Городская олимпиада по математике г. Хабаровск, 00 год 9 КЛАСС Задача 1. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника.

Подробнее

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6).

(a 1)(a + 2) (a + 4)(a 3) = (a 2 + a 2) (a 2 + a 6). 3.. Методы решения рациональных неравенств 3..1. Числовые неравенства Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b. Определение 3..1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.

Подробнее

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера

Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера Задания С6 ЕГЭ олимпиадного характера 1. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 11 раз больше, либо в 11 раз

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

3 1 Последовательности и их свойства

3 1 Последовательности и их свойства Глава 3 Предел 3 1 ПОНЯТИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ последовательности Последовательности представляют собой особый класс функций, для которых областью определения является множество натуральных чисел. В этой

Подробнее

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия Прогрессия Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания,

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Одно замечательное тождество для sin nx

Одно замечательное тождество для sin nx Одно замечательное тождество для x Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин к.ф.м.н., доцент кафедра общей математики

Подробнее

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ)

Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Югорский физико-математический лицей ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ) Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 0 ВП Чуваков Задача С6 (Теория чисел на ЕГЭ): Учебнометодическое пособие, - Ханты-Мансийск,

Подробнее

Примеры и комментарии

Примеры и комментарии 72 Глава2 Многочлены Примеры и комментарии Алгоритмы А-01 Запись многочлена в стандартном виде А-02 Действия над многочленами А-03 Устные преобразования А-04 Формулы сокращенного умножения А-05 Бином Ньютона

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

, то Т.к. S 10 = 1 +

, то Т.к. S 10 = 1 + 96. a) а 0; d ; a 99. Т.к. a a + ( )d, то 99 0 +. Тогда 90; a + a 90 0 + 99 S90 90 90 09 90. б) а 00; d ; a 999. Т.к. a a + ( )d, то 999 00 +. Т.е. 900; a + a 900 00 + 999 S900 900 900 099 0 90. 97. )

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Делимость целых чисел в задачах

Делимость целых чисел в задачах Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Делимость целых чисел в задачах Сборник задач Ханты-Мансийск 05 Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, - Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический

Подробнее