Определение элементов внешнего ориентирования одиночного аэроснимка. Методические указания. Федянин М.Р.

Save this PDF as:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Определение элементов внешнего ориентирования одиночного аэроснимка. Методические указания. Федянин М.Р."

Транскрипт

1 Определение элементов внешнего ориентирования одиночного аэроснимка Методические указания Федянин М.Р. Томск 2010

2 1. Системы координат применяемые в фотограмметрии. Для определения положения точки на аэроснимке применяют плоскую прямоугольную систему координат снимка o xy. Начало координат находится в точке o - точке пересечения прямых, соединяющих координатные метки 1-2 и 3-4. Ось x совмещена с прямой 1-2 (рис. 1). Рисунок 1. Система координат снимка Рисунок 2. Пространственные фотограмметрические системы координат. Взаимное положение точек местности определяют в пространственной фотограмметрической системе координат. Эта система координат правая. 2

3 Начало координат и направления координатных осей выбирают произвольно. Началом системы координат может быть центр проекции S SXYZ, а может быть какая-либо точка местности M MXYZ. Плоскость XY устанавливают параллельно плоскости снимка или горизонтально (рис. 2). Положение точек местности определяют в левой геодезической системе прямоугольных координат аусса - O X Y Z. Начало геодезической системы координат находится в точке пересечения осевого меридиана данной зоны и экватора. Плоскость X Y горизонтальна, ось Y направлена на восток, ось X - на север. Условная геодезическая система координат может иметь началом любую точку местности, а еѐ оси сонаправлены соответствующим осям геодезической системы координат аусса (рис. 3). Рисунок 3. Условная геодезическая система координат. 2. Элементы ориентирования одиночного снимка. Различают элементы внутреннего и внешнего ориентирования снимка. Элементы внутреннего ориентирования определяют положение центра проекции S относительно снимка. Ими являются координаты главной точки (x 0, y 0 ) в системе координат снимка и фокусное расстояние f объектива АФА 3

4 (рис. 4). Эти элементы почти всегда известны с высокой точностью и записаны в паспорте АФА. Рисунок 4. Элементы внутреннего ориентирования снимка Рисунок 5. Элементы внешнего ориентирования снимка. Элементы внутреннего ориентирования формируют связку проектирующих лучей. Еѐ положение в пространстве определяют элементы внешнего 4

5 ориентирования снимка. Их шесть. Это три линейных элемента геодезические координаты центра проекции S(X S, Y S, Z S ) и три угловых элемента (рис. 5): α- продольный угол наклона снимка (угол между осью Z и проекцией главного луча на плоскость XZ); ω- поперечный угол наклона снимка (угол между главным лучом и проекцией главного луча на плоскость XZ); k- угол поворота снимка (угол на снимке между осью y и следом сечения плоскости снимка с плоскостью, построенной на главном луче и оси Y). Следует заметить, что для всех снимков, полученных данным АФА, элементы внутреннего ориентирования можно считать постоянными известными величинами. Однако элементы внешнего ориентирования у каждого снимка свои и, как правило, неизвестны. 3. Аналитическое трансформирование снимков. В фотограмметрии под трансформированием понимают преобразование аэро- или космических снимков, полученных в большинстве случаев в центральной проекции, в ортогональную или какую-либо иную картографическую проекцию. Суть аналитического трансформирования заключается в преобразовании координат точек снимка в координаты соответствующих точек местности с использованием строгих математических зависимостей. Три пространственные геодезические координаты точки местности A (X A, Y A, Z A ) связаны с плоскими координатами точки a снимка (x, y) с помощью элементов ориентирования снимка. X A X S Z A Z S = a 1 x x 0 +a 2 y y 0 a 3f c 1 x x 0 +c 2 y y 0 c 3 f ; Y A Y S Z A Z S = b 1 x x 0 +b 2 y y 0 b 3f c 1 x x 0 +c 2 y y 0 c 3 f (1) Формулы (1) называют формулами связи координат точек снимка и местности. В этих формулах угловые элементы внешнего ориентирования снимка содержатся в коэффициентах a 1, a 2, a 3, c 2, c 3. Эти коэффициенты называют направляющими косинусами, и они являются сложными тригонометрическими функциями угловых элементов внешнего ориентирования снимка: α, ω, k. 5

6 Так, например, a 1 = cos α cos k sin α sin ω sin k ; a 2 = cos α sin k sin α sin ω cos k ;.. c 3 = cos α cos ω (2) Формулы (2) получены при преобразовании наклонного снимка в горизонтальный (трансформирование) в последовательности поворотов наклонного снимка на угловые элементы внешнего ориентирования, такой: α, ω, k. В зависимости от последовательности поворотов и формулы, представляющие направляющие косинусы, принимают различный вид. Для горизонтального снимка, у которого угловые элементы внешнего ориентирования равны нулю (α = ω = k = 0), a 1 = b 2 = c 3 = 1. Остальные направляющие косинусы равны нулю. Если девять элементов ориентирования снимка (x 0, y 0, f, X S, Y S, Z S, α, ω, k) известны, то можно вычислить геодезические координаты (X A, Y A ) точки местности, измерив плоские прямоугольные координаты (x, y) еѐ изображения на снимке. X A = X S + Z A Z S a 1 x x 0 +a 2 y y 0 a 3f c 1 x x 0 +c 2 y y 0 c 3 f ; Y A = Y S + (Z A Z S ) b 1 x x 0 +b 2 y y 0 b 3f c 1 x x 0 +c 2 y y 0 c 3 f (3) Задачу по определению геодезических координат точки местности по измеренным координатам еѐ изображения на снимке называют прямой фотограмметрической засечкой. В правых частях уравнений (3) помимо элементов ориентирования снимка в явном (x 0, y 0, f, X S, Y S, Z S ) и неявном (a 1 ; a 2 ; ; c 2 ; c 3 ) виде, а также измеренных координат (x, y) точки снимка содержится высотная координата Z A точки местности. Присвоив ей некоторое значение Z, можно определить плановые координаты X A, Y A точки местности, но невозможно вычислить все три геодезические координаты X A, Y A, Z A точки местности, используя одиночный снимок. Для решения прямой фотограмметрической засечки существует несколько способов задания высотной координаты точки местности: - определением по имеющимся планам с горизонталями при отождествлении на них интересующей точки местности; 6

7 - присвоением всем точкам одинаковой высоты, равной средней высоте снимаемой местности; - с использованием цифровой модели рельефа. Точность определения плановых геодезических координат X A, Y A точки местности зависит от точности задания еѐ высотной координаты Z A. 4. Определение элементов ориентирования снимка. Решение прямой фотограмметрической засечки возможно при условии, что элементы ориентирования снимка известны. Элементы внутреннего ориентирования, как правило, известны. Они определяются при калибровке АФА и записываются в его паспорт. Элементы внешнего ориентирования снимка можно определить различными способами. Их делят на две группы. В первую группу входят способы определения элементов внешнего ориентирования снимков в полете с помощью специальных приборов. Например, координаты центров проекций находят по показаниям GPS приѐмников, установленных на борту летательного аппарата. Угловые элементы внешнего ориентирования (α, ω) определяют с помощью инерциальных систем навигации. Во вторую группу входят способы для определения элементов внешнего ориентирования снимков по опорным точкам. Опорными точками называют точки с известными геодезическими координатами. Определение элементов внешнего ориентирования снимков с использованием опорных точек называют обратной фотограмметрической засечкой или задачей по ориентированию снимка, которую решают аналитически с использованием уравнений связи координат точек снимка и местности (3). В правых частях уравнений (3) содержатся все шесть искомых элементов внешнего ориентирования снимка. Для одной опорной точки с геодезическими координатами (X, Y, Z ) и измеренными координатами (x, y) еѐ изображения на снимке можно составить два независимых уравнения вида (3) с шестью неизвестными величинами - X S, Y S, Z S, α, ω, k. Чтобы однозначно определить все шесть элементов внешнего ориентирования, необходимо объединить в систему не менее шести 7

8 независимых уравнений, содержащих искомые элементы. Для этого требуется не менее трѐх планово-высотных опорных точек. Для решения обратной фотограмметрической засечки с контролем используют четыре или более опорные точки, расположенные по углам рабочей площади снимка. Увеличение числа опорных точек позволяет также отбраковывать грубые измерения. 5. Определение элементов внешнего ориентирования снимка При решении обратной фотограмметрической засечки важно, чтобы координаты опорных точек (x, y), входящие в уравнения связи координат, были измерены в системе координат снимка (o, x, y). В случае, например, когда число изобразившихся на снимке или его фрагменте координатных меток недостаточно для восстановления системы координат снимка для определения элементов внешнего ориентирования можно использовать способ, не зависящий от выбора системы координат на снимке. Это способ раздельного определения линейных и угловых элементов, ориентирования снимка. Сначала находят линейные элементы X S, Y S, Z S. Для этого используют условия равенства углов между проектирующими лучами в треугольнике Sab и в треугольнике SAB (рис. 6). Очевидно, что угол ASB равен углу asb. С использованием теоремы косинусов получают следующее уравнение x a x 0 x b x 0 + y a y 0 y b y 0 +f 2 l a l b = X A X S X B X S + Y A Y S Y B Y S + Z A Z S Z B Z S L A L B, (4) где l a, l b длины соответственно векторов Sa и Sb; L A, L B длины соответственно векторов SA и SB, которые вычисляют по формулам l i = (x i x 0 ) 2 + (y i y 0 ) 2 + f 2 ; L i = (X i X S ) 2 + (Y i Y S ) 2 + (Z i Z S ) 2. (5) 8

9 Рисунок 6. Принцип раздельного определения элементов внешнего ориентирования аэроснимка. Для двух опорных точек A и B можно составить одно уравнение вида (4), в котором (X A, Y A, Z A ) и (X B, Y B, Z B ) геодезические координаты точек А и B. (x a, y a ) и (x b, y b ) координаты точек a и b на снимке. Причем для измерения этих координат можно построить на снимке прямоугольную систему координат с произвольным началом и произвольной ориентацией осей. Неизвестными величинами в уравнении (4) являются геодезические координаты центра проекции (X S, Y S, Z S ), входящие в правую часть уравнения. Для их нахождения требуются как минимум три опорные точки; n опорных точек позволяют составить n(n 1)/2 уравнений вида (4), чтобы решить задачу с контролем. После того, как найдены координаты центра проекции, можно определить угловые элементы внешнего ориентирования снимка. Их вычисляют также используя опорные точки, по следующим формулам: 9

10 X X S k = a 1 x x 0 + a 2 y y 0 a 3 f; Y Y S k = b 1 x x 0 + b 2 y y 0 b 3 f; Z Z S k = c 1 x x 0 + c 2 y y 0 c 3 f, (6) где k- масштабный коэффициент, k = l L; X, Y, Z геодезические координаты опорных точек; x, y - координаты опорных точек в системе координат снимка. В этих формулах угловые элементы внешнего ориентирования снимка содержатся в направляющих косинусах a 1 ; a 2 ; ; c 3. По найденным направляющим косинусам вычисляют углы: α = arctg a 3 c 3 ; ω = arcsin b 3 ; k = arctg(b 1 b 2 ). (7) 6. Математические методы, применяемые при решении фотограмметрических задач. Решение обратной фотограмметрической засечки предполагает составление и решение систем нелинейных уравнений с числом неизвестных более двух. В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Для решения систем нелинейных уравнений обычно используются итерационные методы. Большой эффективностью (с точки зрения скорости сходимости итерационного процесса) обладает итерационный метод Ньютона. Пусть для вычисления неизвестных x 1, x 2,, x n требуется решить систему n нелинейных уравнений F 1 x 1, x 2,, x n = 0, F 2 x 1, x 2,, x n = 0, F n x 1, x 2,, x n = 0. (8) В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций F i x 1, x 2,, x n = 0 в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые( и более высоких порядков) производные, отбрасываются. 10

11 Пусть приближенные значения неизвестных системы (8)(например, полученные в предыдущей итерации) равны соответственно a 1, a 2,, a n. Задача состоит в нахождении приращений (поправок) к этим значениям 1, 2,, n, благодаря которым решение системы (8) запишется в виде x 1 = a 1 + 1, x 2 = a 2 + 2,, x n = a n + n (9) Проведем разложение левых частей уравнений (8) с учетом (9) в ряд Тейлора, ограничиваясь лишь линейными членами относительно приращений: F 1 x 1,, x n F 1 a 1,, a n + F 1 x F 1 x n n, F 2 x 1,, x n F 2 a 1,, a n + F 2 x F 2 1 x n, n F n x 1,, x n F n a 1,, a n + F n x F n 1 x n. n (10) Поскольку левые части этих выражений, в соответствии с (8), должны обращаться в нуль, то приравняем нулю и правые части. Получим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно приращений: F 1 x 1 + F 1 1 x F 1 2 x n = F 1 n F 2 x 1 + F 2 1 x F 2 2 x n = F 2 n F n x 1 + F n 1 x F n 2 x n = F n n (11) Значения F 1, F 2,, F n и их производные вычисляются при x 1 = a 1, x 2 = a 2,, x n = a n. Определителем системы (11) является якобиан J = F 1 F 1 x 1 x n F 2 x 1 F 2 x n F n x 1 F n x n (12) Для существования единственного решения системы (11) он должен быть отличным от нуля на каждой итерации. Таким образом, итерационный процесс решения системы уравнений (8) методом Ньютона состоит в определении приращений 1, 2,, n к 11

12 значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине: max i i < ε. В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. При аналитическом решении многих фотограмметрических задач возникает необходимость в исходные данные включать приближенные значения искомых величин. Для определения приближенных значений координат центра проекции можно воспользоваться опорными точками. Плановые координаты X S ; Y S центра проекции совпадают с плановыми координатами X N ; Y N проекции точки надира N. На плановом снимке изображение проекции точки надира N находится, как известно, вблизи начала координат снимка. Поэтому приближенные координаты проекции точки надира X N ; Y N можно заменить на координаты точки O местности. Еѐ же приближенные плановые геодезические координаты определяют как среднее арифметическое соответствующих геодезических координат опорных точек. Таким образом, будем иметь: X S = X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ; 4 Y S = Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4. (13) Высотную координату центра проекции Z S находят как сумму средней отметки опорных точек и высоты фотографирования H Ф (рис. 6). Высота фотографирования 4 Z S = Z 1 +Z 2 +Z 3 +Z 4 + H Ф. (14) 4 H Ф = m Ф f, (15) где m Ф - знаменатель масштаба аэроснимка, который также можно вычислить с помощью опорных точек; m Ф = L l (здесь L расстояние между опорными точками i и j на местности, а l расстояние между теми же опорными точками на снимке): L = (X i X j ) 2 + (Y i Y j ) 2. (16) 12

13 Управления системы уравнений (6) являются линейными относительно искомых неизвестных a 1, a 2, a 3 ; b 1, b 2, b 3 ; c 1, c 2, c 3. Системы таких линейных уравнений будем решать методом наименьших квадратов. 7. Пример определения элементов внешнего ориентирования одиночного аэроснимка (обратная фотограмметрическая засечка). Исходные данные: -аэроснимок формата см 2 (с координатными метками); -топографическая карта масштаба 1:25000; -f = 70мм (фокусное расстояние АФА было неизвестно; это значение взято как наиболее вероятное); -взяты 4 основные планово-высотныопорные точки и 2 дополнительные; определены также приближенные пространственные координаты центра проекции S. Координаты основных и дополнительных опорных точек (включая приближенные координаты S), измеренные на снимке (в мм) и снятые с топокарты (в м) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 +51,5 28,0 +54,5 +68,6 43,3 +68,4 23,5 13,7 X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 X 3 Y 3 Z 3 X 4 Y 4 Z , ,8 7442, ,5 127,5 5912, ,8 6182,5 8942,5 186,1 x 1 y 1 x 2 y 2 +2,6 38,9 +8,9 +71,1 X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 X S Y S Z S , , ,5 1317,8 Среднее значение знаменателя масштаба аэроснимка m принято: m Ф =

14 Тогда (при f = 70мм), по формуле (15): H Ф = 1144,8 м. Определив по горизонталям, что H S = 173 м, будем иметь Z S = H S + H Ф = 1317,8 м; это значение Z S указано в таблице. Для отыскания геодезических координат X S, Y S, Z S итерационным методом Ньютона функцию F из (8) возьмѐм в виде [см. (4)]: F = X A X S X B X S + Y A Y S Y B Y S + Z A Z S Z B Z S x a x b + y a y b + f 2 L AL B l a l b ; здесь опущены верхние индексы и принято x 0 = y 0 = 0 Можно принять, что L AL B l a l b 1 m 2 const В дальнейшем, на каждом этапе итерации, будем представлять искомые неизвестные в виде: X S,i = X S(i) + X S,i ; Y S,i = Y S(i) + Y S,i ; Z S,i = Z S(i) + Z S,i. (17) Принимая во внимание (10),(11) и (17) одно уравнение системы (11), (при использовании 2-х опорных точек), будет иметь вид: 2X S (X A + X B ) X S + 2Y S (Y A + Y B ) Y S + 2Z S (Z A + Z B ) Z S = x a x b + y a y b + f 2 L AL B l a l b Z A Z S Z B Z S. X A X S X B X S Y A Y S Y B Y S Образовав три комбинации из 4-х опорных точек получим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными X S, Y S, Z S. Для упрощения вычислений систему уравнений с избыточным числом уравнений( по отношению к числу неизвестных) образовывать не будем. Итерация 1 X S(0) = 6616 м Y S(0) = 9147,5 м Z S(0) = 1317,8 м 14

15 Точки 2,4: l 2 = 112,021 мм; L 2 = 1862,4758 м; l 4 = 75,100; L 4 = 1229, X S 965 Y S Z S = 19088,43 Точки 1,3: l 1 = 91,303; L 1 = 1505,3735; l 3 = 107,149; L 3 = 1728, X S 590 Y S Z S = 22810,02 Точки 1,4: l 1 = 91,303; L 1 = 1505,3735; l 4 = 75,100; L 4 = 1229, X S + 707,5 Y S ,7 Z S = X S = 42,02 м Y S = 22,96 Z S = 5,79 Итерация 2 X S(1) = 6574 Y S(1) = 9170,5 Z S(1) = 1312 Точки 2,4: l 2 = 112,021; L 2 = 1857,4448; l 4 = 75,100; L 4 = 1215, X S 899 Y S ,4 Z S = 3164,1 Точки 1,3: l 1 = 91,303; L 1 = 1534,9083; l 3 = 107,149; L 3 = 1687, X S 524 Y S ,4 Z S = 2100,27 Точки 1,4: l 1 = 91,303; L 1 = 1534,9083; l 4 = 75,100; L 4 = 1215, X S + 773,5 Y S ,1 Z S = 752,6. 15

16 X S = 16,38 м Y S = 1,23 Z S = 2,49 Итерация 3 X S(2) = 6590,4 Y S(2) = 9181,7 Z S(2) = 1314,5 Точки 2,4: l 2 = 112,021; L 2 = 1850,6985; l 4 = 75,100; L 4 = 1223, ,2 X S 896,6 Y S ,4 Z S = 1743,77 Точки 1,3: l 1 = 91,303; L 1 = 1528,288; l 3 = 107,149; L 3 = 1694, ,2 X S 521,6 Y S ,4 Z S = 297,87 Точки 1,4: l 1 = 91,303; L 1 = 1528,288; Итерация 4 l 4 = 75,100; L 4 = 1223, ,2 X S + 775,9 Y S ,1 Z S = 2138,1. X S = 7,37 Y S = 0,34 Z S = 0,53 X S(3) = 6583 Y S(3) = 9182 Z S(3) = 1314 Точки 2,4: l 2 = 112,021; L 2 = 1853,6134; l 4 = 75,100; L 4 = 1220, X S 896 Y S ,4 Z S = 719,12 Точки 1,3: l 1 = 91,303; L 1 = 1532,0297; 16

17 l 3 = 107,149; L 3 = 1691, X S 521 Y S ,4 Z S = 69,94 Точки 1,4: l 1 = 91,303; L 1 = 1532,0297; l 4 = 75,100; L 4 = 1220, X S + 776,5 Y S ,1 Z S = 21,5. X S = 1,67 Y S = 0,42 Z S = 0,18 X S(4) = 6584,67 м Y S(4) = 9182,42 Z S(4) = 1314,18 Из-за деформации листа карты точность снятия координат составляет 0,2-0,3 мм, чему на местности соответствует 5-7 м. Вследствие этого итерационный процесс прекращаем, когда значения искомых поправок X S, Y S, Z S по модулю станут меньше указанного предела Сделать оценку точности искомых величин невозможно, по причине того, что число исходных уравнений (уравнений поправок) равно числу неизвестных. Такую оценку можно было бы сделать, взяв другую тройку уравнений. Перейдем теперь к вычислению направляющих косинусов a i, b i, c i, а затем и к определению угловых элементов α, ω, k. Будем использовать все 6 опорных точек (4 основных и 2 дополнительных). Системы линейных уравнений с тремя неизвестными, отдельно для a i, b i и c i, будем решать методом наименьших квадратов. При этом коэффициенты в таблицах, как это принято, также будем обозначать буквами a, b, с (в отличие от неизвестных, без цифровых индексов), а свободный член буквой l. Вид уравнений поправок см. в (6). l 1 = 91,303 мм; L 1 = 1531,4052 м; l 2 = 112,021; L 2 = 1852,6975; X S = 6584,7 м; l 3 = 107,149; L 3 = 1691,6404; Y S = 9182,4; 17

18 l 1 = 80,125; L 1 = 1311,5929; Z S = 1314,2. l 2 = 100,172; L 2 = 1647,3383; l 4 = 75,100; L 4 = 1221,4199. Система уравнений 1 a b c l при a 1 при a 2 при a 3 k(x X S ) 51,5 54,5-43,3-23,5 2,6 8, ,4 68,6-13,7-38,9 71,1-49,652-51,866 42,577 24,730-2,462-10,660 aa a 1 + ab a 2 + ac a 3 + al = 0 ab a 1 + bb a 2 + bc a 3 + bl = 0 ac a 1 + bc a 2 + cc a 3 + cl = 0 (18) 8135,61a ,02a a ,7893 = 0 169,02a ,63a a 3 237,5514 = a a a ,31 = 0 a 1 = 0,97537; a 2 = 0,00828; a 3 = 0,00756; Система уравнений 2 a b c l при b 1 при b 2 при b 3 k(y Y S ) 18

19 51,5 54,5-43,3-23,5 2,6 8, ,4 68,6-13,7-38,9 71,1 32,040-68,632-66,989 14,750 39,244-69, ,61b ,02b b 3 51,0942 = 0 169,02b ,63b b ,678 = b b b ,88 = 0 b 1 = 0,00505; b 2 = 1,00679; b 3 = 0,02197; Система уравнений 3 a b c l при c 1 при c 2 при c 3 k(z Z S ) 51,5 54,5-43,3-23,5 2,6 8, ,4 68,6-13,7-38,9 71,1 69,601 71,752 71,980 69,362 69,813 71, ,61c ,02c c ,4766 = 0 169,02c ,63c c ,8434 = c c c ,85 = 0 c 1 = 0,00037; c 2 = 0,02160; c 3 = 1,00305; Девять направляющих косиносув связаны между собой шестью независимыми уравнениями 19

20 a a a 2 3 = 1; a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0; b b b 2 3 = 1; b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 = 0; c c c 2 3 = 1; c 1 a 1 + c 2 a 2 + c 3 a 3 = 0. (19) В нашем случае, проверка показывает, что условия (19) приближенно выполняются. В соответствии с (7) вычислим угловые элементы внешнего ориентирования аэроснимка α = 0 26 ; ω = 1 16 ; (20) k = Вычисление численных значений направляющих косинусов по методу наименьших квадратов позволяет сделать и оценку точности найденных величин. Используя системы нормальных уравнений и применяя стандартную методику вычислений среднеквадратических ошибок неизвестных, получим следующие результаты: m a1 = ± μ p a1 ; m a2 = ± μ p a2 ; m a3 = ± μ p a3 ; μ = θ 2 n 3 ; μ средняя квадратическая ошибка единицы веса. θ 2 = ll + al a 1 + bl a 2 + cl a 3 здесь ll находится из системы уравнений поправок; это равенство контролируется путѐм вычисления θ i, а затем и θ 2 из уравнений поправок; θ i - невязка уравнения поправок. Веса определяемых величин находят по формулам p a1 = 11 ; p a2 = 22 ; p a3 = 33, - где - определитель системы нормальных уравнений (18), составленный из коэффициентов при неизвестных; 11 = bb bc bc cc ; 22= aa ac ac cc ; 33= aa ab ab bb. Тогда: μ a = ± ; m a1 = ±0,01819; m a2 = ±0,01340; m a3 = ±0,

21 μ b = ± ; m b1 = ±0,02104; m b2 = ±0,01549; m b3 = ±0, μ c = ± ; m c1 = ±0,00524; m c2 = ±0,00386; m c3 = ±0, Теперь можно сделать оценку точности определения угловых элементов. Считаем, что угловые элементы не коррелируют между собой. Если функция зависит не более чем от 2-х аргументов (как в нашем случае, см. (7)), то средняя квадратическая ошибка функции u = f(x 1, x 2 ) определится по формуле: m u = f x mx1 + f x mx2, (21) где m x1 и m x2 средние квадратические ошибки аргументов. В соответствии с (7) и (21) для угла α получим: m α 2 = c (a 3 2 m 2 c 3 ) 2 a3 + a 3 c (a 3 c 3 ) 2 2 m c3 2 ; (22) и m α = ±35. 8 Аналогично m α вычислим m ω и m k : m ω = ±41. 5; m k = ±1 12. Имея в виду (20) окончательно запишем: α = 0 26 ± 36 ; ω = 1 16 ± 42 ; k = 0 17 ± (23) В заключение сделаем сравнение вычисляемых по формулам (3) и снятых с топографической карты координат всех 6-и опорных точек, помня о том, что ошибка в 0,1 мм на карте соответствует 2,5 м на местности. Разности вычисленных по (3) и снятых с карты координат опорных точек 21

22 точки δx, δy, м X выч. X исх. -3,4 +22,5 +3,3 +22,0-12,5-32,0 Y выч. Y исх. +34,6-25,5 +16,5-5,6-28,3 +8,3 R = ( X) 2 + ( Y) 2 34,8 34,0 16,8 22,7 30,9 33,1 Примечания 1. Перед началом численных расчѐтов необходимо проверить по комбинациям различных пар точек степень соблюдения равенства 1 2 [уравнение (4)]. Если при этом вместо l a l b L A L B используем, то необходимо вместо первой дроби подставить величину 1 m Ф m Ф [при условии, что все координаты на а/снимке измеряются в мм, а на местности (или при снятии с топокарты) в м]. 2. Линейные элементы X S, Y S, Z S лучше определять по способу наименьших квадратов, составив 6 уравнений поправок (при 6-и опорных точках) итерационного способа Ньютона. Далее, как обычно, составляются и решаются 3 нормальных уравнения для 3-х искомых поправок X S, Y S, Z S. В этом случае возможна корректная оценка точности искомых элементов. 3. Были произведены аналогичные описанным выше расчѐты, при тех же исходных данных, только при f = 100 мм. Расхождения между вычисленными и исходными положениями опорных точек уменьшились в среднем на 3,5%. Таким образом, из двух значений f: f = 70 мм и f = 100 мм предпочтение надо отдать последнему значению f = 100 мм [для а/снимка I (Федянин М.Р.)]. 22

23 Содержание 1. Системы координат применяемые в фотограмметрии Элементы ориентирования одиночного снимка Аналитическое трансформирование снимков Определение элементов ориентирования снимка Определение элементов внешнего ориентирования снимка Математические методы, применяемые при решении фотограмметрических задач Пример определения элементов внешнего ориентирования одиночного аэроснимка (обратная фотограмметрическая засечка) 13 Примечания

24 Литература 1. Обиралов А.И., Лимонов А.Н., аврилова Л.А. Фотограмметрия.-М.: Колосс, с. 2. Бруевич П.Н. Фотограмметрия.-М.: Недра, с. 3. Турчак Л.И. Основы численных методов.-м.: Наука, с. 24


Схема взаимосвязей средств дистанционного зондирования

Схема взаимосвязей средств дистанционного зондирования Схема взаимосвязей средств дистанционного зондирования Государственный мониторинг земель дистанционными методами Дистанционные методы наземный Воздушный (Аэро-) космический Виды первичной информации Фотограмметрические

Подробнее

Взаимное ориентирование аэроснимков с новым сочетанием угловых элементов в стереопаре Н.Ф. Добрынин, Т.М. Пимшина

Взаимное ориентирование аэроснимков с новым сочетанием угловых элементов в стереопаре Н.Ф. Добрынин, Т.М. Пимшина Взаимное ориентирование аэроснимков с новым сочетанием угловых элементов в стереопаре Н.Ф. Добрынин Т.М. Пимшина Взаимное ориентирование снимков фундаментальная задача фотограмметрии. От точности ее решения

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

ТЕСТ ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ СЪЁМКИ

ТЕСТ ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ СЪЁМКИ ТЕСТ ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ СЪЁМКИ 1. Какими методами осуществляется наземная топографическая съёмка? - тахеометрическим;* - стереотопографическим; - комбинированным. 2. Какой метод является в настоящее время

Подробнее

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ВП ПОДШИВАЛОВ профессор дтн заведующий кафедрой инженерной геодезии Белорусский национальный технический университет

Подробнее

Разработано по заказу Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки. Утверждено ФУМО по УГСН «Науки о земле».

Разработано по заказу Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки. Утверждено ФУМО по УГСН «Науки о земле». Список заданий по дисциплине «Геодезия с основами космоаэросъемки» Задания типа ОВ 1. Что такое «главная точка аэрофотоснимка»? а) пересечение линий, соединяющих координатные метки аэрофотоснимка; б) ортогональная

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2}

Геометрия 9 класс. Тема 1. Метод координат. Основные понятия. а имеет координаты а {3; 2} Геометрия 9 класс Тема Метод координат Основные понятия Векторы i и j называются координатными векторами, если их длины равны единице, вектор i сонаправлен с осью абсцисс, а вектор j сонаправлен с осью

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Раздел 2. Теория пары снимков

Раздел 2. Теория пары снимков Раздел. Теория пары снимков Лекция 4. Теория пары снимков Стереоскопическая пара снимков и элементы ее ориентирования Пара снимков в положении, которое она занимала в момент фотографирования. А точка местности,

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Продольный и поперечный сдвиги полигонометрического хода

Продольный и поперечный сдвиги полигонометрического хода Продольный и поперечный сдвиги полигонометрического хода Составитель: старший преподаватель кафедры астрономии и космической геодезии Г.З.Минсафин Схема полигонометрического хода Входеизмереныгоризонтальныеуглыβ

Подробнее

[] - Гауссово обозначение суммы

[] - Гауссово обозначение суммы Принцип наименьших квадратов, задачи решаемые МНК Параметрический способ уравнивания, оценка точности Коррелатный способ уравнивания Пример уравнивания измеренных углов треугольника параметрическим и коррелатным

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ ПРИ ОБРАБОТКЕ МАТЕРИАЛОВ КОСМИЧЕСКОЙ СЪЁМКИ

АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ ПРИ ОБРАБОТКЕ МАТЕРИАЛОВ КОСМИЧЕСКОЙ СЪЁМКИ Самсонова Наталья Вячеславовна канд. экон. наук, заведующая кафедрой ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный строительный университет» г. Ростов-на-Дону, Ростовская область АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Содержательный модуль 1

Содержательный модуль 1 Содержательный модуль 1 Уравнивание результатов геодезических измерений методами математической статистики 1.1. Сущность задачи уравнивания результатов измерений в геодезии Напомним, что до сих пор, математическая

Подробнее

ТЕОРИЯ ПАРЫ СНИМКОВ. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕСТНОСТИ

ТЕОРИЯ ПАРЫ СНИМКОВ. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕСТНОСТИ МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ» Т.В.

Подробнее

Определение превышений по разности продольных параллаксов. Методические указания. (Федянин М.Р.)

Определение превышений по разности продольных параллаксов. Методические указания. (Федянин М.Р.) Определение превышений по разности продольных параллаксов. Методические указания (Федянин М.Р.) Томск 2010 Приступая к рассмотрению возможностей получения метрической информации по паре снимков, сформулируем

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними

Лекция 3. Комплексные числа, действия с ними ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Лекция. Комплексные числа, действия с ними СОДЕРЖАНИЕ: Определение Действия с комплексными числами Свойства операций с комплексными числами Геометрическая модель комплексных

Подробнее

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций»

МОДУЛЬ 5 «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций» МОДУЛЬ «Применение непрерывности и производной. Применение производной к исследованию функций». Применение непрерывности.. Метод интервалов.. Касательная к графику. Формула Лагранжа. 4. Применение производной

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИ- ВЕРСИТЕТ Методические указания составлены: к.т.н. доцентом В.Д. Астраханцевым;

Подробнее

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня

Введение. 1 Область определения. Изображение функций двух переменных при помощи линий уровня Введение Методические указания посвящены вопросам изучения и практического применения теории функции двух переменных Каждый параграф соответствует одному практическому занятию по данной теме Цель указаний

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями)

ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 2010/2011 учебного года, 11 класс (с решениями) ВАРИАНТ ОЧНОГО ТУРА 1/11 учебного года, 11 класс (с решениями) Задача 1 (1 балл) Найти наибольшее число, принадлежащее области определения функции Решение 1 способ Область определения функции задается

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

2.5. Механизм с муфтой

2.5. Механизм с муфтой 76 Кинематика Глава 2 С учетом известных координат имеем отсюда 4ω 1z +4ω 3z = 0 3ω 1z 4ω 2z = 0. Решаем систему с учетом известной угловой скорости ω 1z = 4 с 1 и находим ω 2z = 3 с 1 ω 3z = 4 с 1. Записываем

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Геометрически строгое высокоточное уравнивание замкнутого теодолитного хода

Геометрически строгое высокоточное уравнивание замкнутого теодолитного хода Геометрически строгое высокоточное уравнивание замкнутого теодолитного хода Сметанников Аркадий Иванович Окончил Днепропетровский горный институт им. Артема (ныне Днепропетровский национальный горный университет

Подробнее

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2.

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2. Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

Глава 3. Геометрические преобразования

Глава 3. Геометрические преобразования Глава 3. Геометрические преобразования Пусть дана прямоугольная система координат O на плоскости или Oz в пространстве. В теории геометрических преобразований рассматриваются две основные задачи, которые

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

2.3. Фотографическая астрометрия. Астрографы и приборы для измерения астронегативов. Измеренные и стандартные координаты. Методы Тернера и Шлезингера.

2.3. Фотографическая астрометрия. Астрографы и приборы для измерения астронегативов. Измеренные и стандартные координаты. Методы Тернера и Шлезингера. 3 Фотографическая астрометрия Астрографы и приборы для измерения астронегативов Измеренные и стандартные координаты Методы Тернера и Шлезингера В процессе редукции фотографических измерений используют

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж

Воронежская государственная технологическая академия, Воронеж ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 009. Т. 50, N- 6 19 УДК 59.; 5; 517.946 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КРУЧЕНИИ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ s-угольного СЕЧЕНИЯ МЕТОДОМ РАСШИРЕНИЯ ГРАНИЦ А. Д. Чернышов Воронежская государственная

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

Тема 5. Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6

Тема 5. Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6 Тема 5 Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6 Объемное напряженное состояние. 6. Главные напряжения и главные площадки. 6. Площадки экстремальных касательных напряжений. 6. Деформированное

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных

Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных - - Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Подробнее

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Занятие 5 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассматривается проблема решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), записываемых в виде a a b A b или,

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Ягубов.РФ. задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи. Применение свойств функций Геометрические идеи

Ягубов.РФ. задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи. Применение свойств функций Геометрические идеи П О В Ы Ш Е Н И Е КВАЛИФИК А Ц И И / ЛЕКТО Р И Й С. ШЕСТАКОВ, isser@yandex.ru, г. Москва Тема 4. Окончание. Начало см. в 4/014 задачи с Параметрами и другие нестандартные задачи Применение свойств функций

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1

1. Рекуррентный способ Выпишите первые десять членов последовательности, заданной рекуррентно. 10) а 1 = 2, 7) а 1 = 1, a = a + 1 Глава 0 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Алгоритмы А- Задание числовых последовательностей А- Арифметическая прогрессия А- Геометрическая прогрессия А- Суммирование А-5 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание

Материалы для подготовки к экзамену. Содержание 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» семестр Очная форма обучения. Специалисты. I курс, семестр. Направление 7 «Строительство уникальных зданий и сооружений» Дисциплина - «Математика» Материалы

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» В.В. Конев КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Издательство Томского

Подробнее

Теоретический минимум по вычислительной геометрии

Теоретический минимум по вычислительной геометрии Теоретический минимум по вычислительной геометрии для групп параллели B Летняя компьютерная школа, 2010 г. Содержание 1 Вектора 1 1.1 Скалярное произведение векторов.................................. 2

Подробнее

Цифровая топографическая аэрофотокамера средство измерений?

Цифровая топографическая аэрофотокамера средство измерений? ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ГОСУДАРСТВЕННОЙ РЕГИСТРАЦИИ, КАДАСТРА И КАРТОГРАФИИ ФГБУ «ЦЕНТР ГЕОДЕЗИИ, КАРТОГРАФИИ И ИНФРАСТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ДАННЫХ» Цифровая топографическая аэрофотокамера средство измерений?

Подробнее

Уравнения движения Эйлера и Лагранжа в оскулирующих элементах

Уравнения движения Эйлера и Лагранжа в оскулирующих элементах Аналитические методы небесной механики Уравнения движения Эйлера и Лагранжа в оскулирующих элементах Запишем уравнения движения + материальной точки в барицентрической инерциальной системе отсчёта Массы

Подробнее

Задания по курсу Геодезии для студентов I курса бакалавров по направлению «Землеустройство и кадастры» 1. Измерения на топографической карте

Задания по курсу Геодезии для студентов I курса бакалавров по направлению «Землеустройство и кадастры» 1. Измерения на топографической карте Задания по курсу Геодезии для студентов I курса бакалавров по направлению «Землеустройство и кадастры». Измерения на топографической карте Исходные данные: лист учебной топографической карты.. Определить

Подробнее

Сакаева Д.Д., Семипалатинский государственный педагогический институт, Семей Научный руководитель - О.

Сакаева Д.Д., Семипалатинский государственный педагогический институт, Семей Научный руководитель - О. УДК 528 ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ГЕОДЕЗИИ Сакаева Д.Д., danasakayeva-90@mail.ru Семипалатинский государственный педагогический институт, Семей Научный руководитель - О. Жолымбаев Именно математика дает

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа

Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Элементы аналитической геометрии Контрольная работа Задача. Дан треугольник ABC с вершинами A(m ; n ), B(m; -n) и C(-m; n). Найти: a) величину угла A; b) координаты точек пересечения меридиан; c) координаты

Подробнее

ГЕОДЕЗИЯ И КАРТОГРАФИЯ

ГЕОДЕЗИЯ И КАРТОГРАФИЯ Российский университет дружбы народов Аграрный факультет Кафедра экономической оценки и земельного кадастра ГЕОДЕЗИЯ И КАРТОГРАФИЯ Часть I. Работа с топографическими картами Методические указания для выполнения

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее