Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где"

Транскрипт

1 Сер Вып. 1 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УДК Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти inf x, 1) x X X = {x R n ϕ1 x) =0}, ϕ 1 x) = Ax, x + b 1,x + c, x, b 1 R n, c R, A матрица порядка [n n] и евклидова норма. Множество X называется квадрикой или гиперповерхностью второго порядка. Поскольку множество X замкнуто, то инфимум в 1) достигается. Нетрудно видеть, что оптимальное значение в 1) может быть получено из решения следующей задачи: min x, x. ) x X Как известно [1, ], задача ) классическая задача оптимизации. Для ее решения Лагранж предложил перенести ограничения в целевую функцию. Нахождение условного экстремума с помощью вспомогательной функции и составляет основу метода множителей Лагранжа см., например, [3]). Решение задачи ) методом множителей Лагранжа в общем случае сводится к решению системы нелинейных уравнений. Следует отметить, что методом Лагранжа возможно найти лишь точки, которые являются стационарными для задачи ). Так как матрица A симметричная, то все ее собственные числа λ i i =1,...,n) вещественные. Как известно из курса алгебры [4, 5], существует такая ортогональная матрица Q, что линейное преобразование y = Q T x приводит функцию ϕ 1 x), определяющую множество X, к виду ϕy) = Λy, y + Q T b 1,y + c, Лебедев Дмитрий Михайлович аспирант кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Л. Н. Полякова. Количество опубликованных работ:. Научные направления: выпуклый анализ, недифференцируемая оптимизация. Полякова Людмила Николаевна доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 7. Научные направления: выпуклый анализ, недифференцируемая оптимизация. ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований грант ). c Д. М. Лебедев, Л Н. Полякова,

2 здесь Λ=diag {λ 1,...,λ n } диагональная матрица порядка [n n]. Обозначим Y = {y R n ϕy) =0}, ϕy) = Λy, y + b, y + c =0, y,b R n, b = Q T b 1, c R. Таким образом, наряду с ) решаем такую задачу: min y, y. 3) y Y Если решение y задачи 3) найдено, то точка x = Qy будет решением задачи ). Рассмотрим три случая. а). Пусть c =0.Тогдаx =0 n является решением 1). б). Пусть c>0. Тогда для определения точки минимума 3) решим следующую оптимизационную задачу: найти min y, y, 4) y Y 1 Y 1 = { } y R n Λy, y + b, y + c 0, y,b R n, c R. Если точка y Y 1 решение задачи 4), то необходимо существование такого числа μ > 0, для которого выполняется равенство Λy + μ y = b. 5) в). Пусть c<0. Тогда для нахождения точки минимума 3) решим следующую оптимизационную задачу: найти min y, y, 6) y Y Y = { } y R n Λy, y b, y c 0, y,b R n, c R. В этом случае, если точка y Y решение задачи 6), то необходимо существование такого числа μ > 0, для которого выполняется равенство Λy μ y = b. В обоих случаях число μ является множителем Лагранжа для задач4) и 6). Кроме того, в точке минимума y Y i, i =1,, должно выполняться равенство Λy,y + b, y + c =0. 7) З а м е ча н и е 1. Если матрица Λ положительно определена, то множества X и Y 1 ограничены, причем множество Y 1 выпукло. Как следует из теории оптимизации [1, ], если точка y Y 1 есть точка минимума функции fy) = y, y на выпуклом множестве Y 1, то необходимо и достаточно выполнение условия 5). При этом точка минимума единственна. Сформулируем необходимое условие максимума функции f на Y 1. Для того чтобы точка y Y 1 была точкой максимума функции f на выпуклом множестве Y 1, необходимо выполнение условия: 1

3 существует такое число μ < 0, для которого выполняется равенство Λy + μ y = b. 8). Пусть b = 0 n и λ i 0, i = 1,...,n. Очевидно, что μ следует искать среди чисел λ i,,...,n, взятых с нужным знаком. После этого задача нахождения точки минимума y сводится к решению системы линейных уравнений и проверки равенства. Пример 1. Рассмотрим задачу ), в которой Y = {y =y 1,y ) R y 1 3y 1=0}. Множество Y гипербола. Для квадратичной функции, задающей ограничение: ) 0 Λ=, c = Так как c<0, то рассматриваем случай в). Тогда Y = {y =y 1,y ) R y 1 +3y +1 0}. В этом случае μ =. Собственными векторами для данного μ являются векторы вида y =β,0) R, β R. Определим нужные числа β. Имеем β =1. Таким образом, точки ) ) y1 =, 0, y =, 0 стационарны для этой задачи. Нетрудно заметить, что они точки минимума функции f на множестве Y и, следовательно, на Y. 3. Рассмотрим случай, когда b 0 n,c>0. Преобразуем условие 5). Тогда Λ + μ E)y = b, E единичная матрица порядка [n n]. Матрица Λ+μ E диагональная: Λ+μ E = diag {λ 1 + μ,...,λ n + μ }. Обозначим через M 1 множество чисел μ R, для которых матрица Λ+μE невырождена. Нетрудно заметить, что в множестве M 1 не содержатся числа λ i, i = 1,...,n. Поэтому для любого фиксированного числа μ M 1 существует обратная матрица Λ + μe) 1. Очевидно, что она также диагональная: { } 1 Λ + μe) 1 = diag λ 1 + μ, 1 λ + μ,..., 1. λ n + μ Определим y = Λ + μe) 1 b = b 1 λ 1 + μ), b λ + μ),..., b ) n R n. Подставим y в7): Λy, y + b, y + c = 13

4 = λ 1b 1 λ 1 + μ),..., λ nb n = + Имеем уравнение Отсюда получаем b 1,...,b n ) T, λ1 b 1 λ 1 + μ) + + λ nb n = ) T, b 1 λ 1 + μ),..., b ) T n + ) T b 1 λ 1 + μ),..., b n ) b 1 λ 1 + μ + + λ i b n i λ i + μ) b i λ i + μ) + c. λi b ) i λ i + μ) b i + c =0. λ i + μ) + c = ) b n + c = λ n + μ μ + λ i )b i λ i + μ) c =0. 9) Для того чтобы решить 9), необходимо найти корни многочлена P μ) степени n P μ) = μ + λ i )b i λ k + μ) c λ k + μ). 10) k=1,k i Таким образом, задача нахождения точки, ближайшей к множеству Y 1, свелась к задаче определения положительных корней многочлена вида 10) степени n. Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен степени n имеет ровно n корней. При n =для нахождения μ можно применить известные способы Феррари или Эйлера. Конечно, корни могут быть и комплексными, и кратными. В рассматриваемом случае обязательно у многочлена 10) есть положительные корни. Используя известные теоремы алгебры см., например, [4]), можно найти верхнюю границу его положительных корней. Предположим, что все числа λ i > 0, i =1,...,n. Тогда матрица Λ положительно определена и множество Y 1 выпукло. В этом случае задача 4) есть задача выпуклого программирования и точка минимума единственна. Следовательно, у многочлена P μ) один положительный корень и, по крайней мере, один отрицательный. Остальные корни либо отрицательные, либо комплексные. Поэтому можно указать интервал, в котором содержится единственный положительный корень. Его можно вычислить, например, методом Ньютона, который имеет квадратичную скорость сходимости. Кроме того, если получены отрицательные корни, то, используя формулу 4), можно найти точки, которые удовлетворяют необходимому условию максимума 8). Пример. Необходимо решить задачу 4), если Λ= , b =.5, c = k=1 14

5 В данном примере множество Y 1 выпукло. Составим многочлен P μ): P μ) =14μ 6 +91μ μ 4 198μ 3 838μ 85μ 5. У P μ) есть два вещественных корня μ 1 =.0684, μ = и четыре комплексных. Таким образом, μ =7.601, y = , y = Точка y точка минимума. 4. Перейдем к рассмотрению задачи ) при отрицательном c. Обозначим через M множество чисел μ R, для которых матрица Λ μe невырождена. Тогда для любого фиксированного числа μ M существует обратная матрица Λ μe) 1. Очевидно, что она также диагональная: { } 1 Λ μe) 1 = diag λ 1 μ, 1 λ μ,..., 1. λ n μ Если повторить рассуждения, аналогичные вышеизложенным, то нетрудно вывести, что, для того чтобы решить задачу ), необходимо найти положительные корни многочлена Qμ) степени n Qμ) = μ λ i )b i k=1,k i λ k μ) + c λ k μ). 11) З а м е ча н и е. Если матрица Λ положительно определена, то множество Y неограничено, причем множество cl R n \ Y ) выпукло и компактно. В этом случае все вещественные корни многочлена Qμ) будут стационарными точками. Поскольку их конечное число, то выбрать из них точку, минимальную по норме, принадлежащей квадрике, не представляет труда, как, впрочем, и точку, максимальную по норме. Пример 3. Решить задачу 6), если матрица Λ и вектор b такие же, как и в примере, но c = 7. Множество Y не является выпуклым, поэтому может быть более одной точки минимума. Вычислим Qμ) Qμ) =14μ 6 45μ μ 4 430μ μ 4531μ У данного многочлена есть два вещественных положительных корня μ 1 =0.667, μ = 8.88 и четыре комплексных: μ 1 =0.667, y1 = , 1.86 y1 =6.47, μ =8.88, y = , y = Пример 4. Пусть множество X задано в виде X = {x 1,x ) R ψx) =0}, ψx) =3x 1 4x 1 x +8x +x 1 + x 1. k=1 15

6 Рис. 1. Множество X ) 3 На рис. 1 изображено множество X. Рассмотрим матрицу A =. Она 8 положительно определена, λ 1 =.98, λ = 8.70 ее собственные числа. Найдем жорданову форму матрицы A. Имеем Λ= A = QΛQ T, ) , Q = Матрица Q ортогональна. Введем переменную y = Q T x. Рассмотрим функцию ψ 1 y) = Λy, y + Q T b, y 1, b =1, 0.5) R, y =y 1,y ) R, ). и множество Y = {y 1,y ) R ψ1 y) 0}. Рис.. Множество Y 1 16

7 Множество Y изображено серым на рис.. Очевидно, что оно неограничено. Так как в этом примере c = 1, то вычислим многочлен Qμ) Qμ) =μ μ μ μ Он имеет четыре вещественных положительных корня: μ 1 =1.445, μ =5.66, μ 3 = 8.151, μ 4 =9.77. Найдем соответствующие им стационарные точки y1,...,y 4 Y : ) ) ) ) y =, y =, y =, y =, 0.44 y 1 =1.300, y =0.336, y 3 =0.318, y 4 =0.9. Все указанные точки являются точками локальных минимумов функции y, y на множестве Y. Очевидно, что точка y4 это точка минимума, точка y 1 точка максимума задачи 6). Определим точки x 1,...,x 4 X: ) ) ) ) x =,x =,x =,x = Точка x 4 есть точка минимума, x 1 точка максимума задачи 1). На рис. 1 значком отмечены точки x 1 и x 4, на рис. точки y 1 и y 4. З а м е ч а н и е 3. Аналогичная методика для нахождения минимального значения функции максимума от двух квадратичных функций, одна из которых задавалась квадратичной функцией с положительно определенной матрицей, использовалась в [6]. В работе [7] представлен метод, позволяющий вычислить расстояние между эллипсоидом и квадрикой. В нем также строится многочлен и находится его наименьший положительный корень, который является квадратом расстояния между эллипсоидом и квадрикой. Литература 1. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал пресс, с.. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., с. 3. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, c. 4. Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. М.: Физматгиз, с. 5. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., c. 6. Полякова Л. Н. Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций // Владикавказ. матем. журн Т. 8, вып. 4. С Утешев А. Ю., Яшина М. В. Нахождение расстояния от эллипсоида до плоскости и квадрики в R n // Докл. АН Т. 419, 4. С Статья рекомендована к печати проф. В. Ф. Демьяновым. Статья принята к печати 5 октября 01 г.

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые методы минимизации максимума квадратичных функций, Владикавк. матем. журн., 2006, том 8, номер 4, 46 57 Использование Общероссийского

Подробнее

НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ЭЛЛИПСОИДАМИ ) Г. Ш. Тамасян, А. А. Чумаков

НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ЭЛЛИПСОИДАМИ ) Г. Ш. Тамасян, А. А. Чумаков ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Май июнь 2014 Том 21, 3 C 87 102 УДК 51985 НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ЭЛЛИПСОИДАМИ Г Ш Тамасян, А А Чумаков Аннотация Рассматривается задача нахождения ближайших

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова, Некоторые свойства опорной функции выпуклого множества на выпуклом конусе, Вестн. С.- Петербург. ун-та. Сер. 0. Прикл. матем. Информ. Проц.

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования

Лекция 12 Задачи нелинейного и квадратичного программирования Лекция Задачи нелинейного и квадратичного программирования Нелинейное программирование (НЛП). НЛП это такая задача математического программирования, F когда-либо целевая функция, либо ограничения, либо

Подробнее

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0

= 0. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. ; является точкой локального ми-,0 0 6 ( ) Получаем, что HP =. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P ( ) ; является точкой локального ми- Δz > P O & P : z = z =. δ

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Л. Н. Полякова Гиподифференциал и ε-субдифференциал полиэдральной функции Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 011 выпуск

Подробнее

Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования методом гладких штрафных функций

Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования методом гладких штрафных функций 120 ТРУДЫ МФТИ. 2012. Том 4, 4 УДК 519.85 Д. А. Марковцев Московский физико-технический институт (государственный университет) Условия сходимости итерационного процесса решения задач параметрического программирования

Подробнее

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК

Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей 1-го курса ФРК Вопросы выносимые на экзамен по дисциплине «Высшая математика» для слушателей -го курса ФРК I Раздел: Линейная алгебра Определения: матрицы, строки и столбцы матрицы Прямоугольная, квадратная матрица Главная

Подробнее

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов

О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В. С. Лугавов Сибирский математический журнал Июль август, 2003 Том 44, 4 УДК 51921+5192195 О КОМПОНЕНТАХ ФАКТОРИЗАЦИОННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ПОЛУНЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ В ПОЛОСЕ В С Лугавов

Подробнее

) называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек ( x, y)

) называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек ( x, y) Метод Лагранжа и его применение для решения задач с экономическим содержанием Многие явления, в том числе и экономические, зависят от многих факторов. Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. À. Ã. Ñóõàðåâ, À. Â. Òèìîõîâ, Â. Â. Ôåäîðîâ ÌÅÒÎÄÛ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА. À. Ã. Ñóõàðåâ, À. Â. Òèìîõîâ, Â. Â. Ôåäîðîâ ÌÅÒÎÄÛ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА À. Ã. Ñóõàðåâ, À. Â. Òèìîõîâ, Â. Â. Ôåäîðîâ ÌÅÒÎÄÛ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ Ó ÅÁÍÈÊ È ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÄËß ÁÀÊÀËÀÂÐÈÀÒÀ È ÌÀÃÈÑÒÐÀÒÓÐÛ 3-å èçäàíèå, èñïðàâëåííîå

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что

1. Найти прямую l, с наименьшей суммой расстояний до этих точек, т.е. такую, что Математика. О некоторых экстремальных прямых Ипатова Виктория физико-математический класс ГБОУ «Химический лицей» город Москва Научный руководитель: Привалов Александр Андреевич МПГУ доцент к.ф.-м.н. Пусть

Подробнее

2 Качественная теория ЗЛП

2 Качественная теория ЗЛП 2 Качественная теория ЗЛП 2.1 Выпуклость в линейном программировании По графическим изображениям 1.3 1.5 явно видно, что для допустимых областей X рассматриваемых ЗЛП характерна многогранная структура.

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

Подробнее

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г.

ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ. М. В. Долгополик. 10 ноября 2016 г. ОПТИМАЛЬНЫЙ ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ М. В. Долгополик maxim.dolgopolik@gmail.com 10 ноября 2016 г. Аннотация. В докладе обсуждается в некотором смысле оптимальный градиентный метод

Подробнее

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных. 5.2 Некоторые сведения о квадратичных формах 5.3 Достаточные условия экстремума

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных. 5.2 Некоторые сведения о квадратичных формах 5.3 Достаточные условия экстремума Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных 5 Определение и необходимые условия экстремума 5 Некоторые сведения о квадратичных формах 53 Достаточные условия экстремума 5 Определение и необходимые

Подробнее

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ УДК 517.2 + 519.3 Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В статье дан новый способ нахождений экстремалей функционалов. Рассмотрим

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t) Лекция 2 3.5.2 Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина В общем виде управляемая динамическая система описывается системой дифференциальных

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Экстремум функции двух переменных

Экстремум функции двух переменных ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11 Экстремум функции двух переменных Максимум или минимум функции называется её экстремумом Точка M 0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума Если дифференцируемая

Подробнее

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK

MATHEMATICAL PROGRAMMING. Ç. Ä. ÉéêÖãàä V. A. GORELIK MATHEMATICAL PROGRAMMING V. A. GORELIK The modern methods of solutions of nonlinear extremum problems with restrictions imposed by equality and inequality are described. ê ÒÒÏ ÚappleË ÚÒfl ÒÓ- appleâïâìì

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович d.shimanchuk@spbu.ru Санкт-Петербургский государственный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

ОБ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ. 11 февраля 2016 г.

ОБ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ. 11 февраля 2016 г. ОБ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ В. Н. Малозёмов mlv@mth.spbu.ru Г. Ш. Тамасян g.tmsyn@spbu.ru 11 февраля 2016 г. 1. Квадратичные вариационные задачи изучены детально [1]. При выполнении усиленного

Подробнее

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ Методические указания Санкт-Петербург 2013 1. Линейная задача метода

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

1 Элеметарная теория погрешностей. 2

1 Элеметарная теория погрешностей. 2 Содержание Элеметарная теория погрешностей. Решение СЛАУ. 4. Нормы в конечномерных пространствах... 4. Обусловленность СЛАУ............ 5.3 Итерационные методы решения линейных систем......................

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОДНОГО КЛАССА КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОДНОГО КЛАССА КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Изв НАН РА и ГИУА Сер ТН Т LIII, УДК 658564:5983 АВТОМАТИЗАЦИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СГ КЮРЕГЯН, НС КЮРЕГЯН, АР АКОПЯН АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОДНОГО КЛАССА КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Որոշումների ընդունմամբ

Подробнее

Семинары по линейным классификаторам

Семинары по линейным классификаторам Семинары по линейным классификаторам Евгений Соколов 30 октября 2013 г. 2 Оптимизационные задачи и теорема Куна-Таккера Рассмотрим задачу минимизации f 0 () min R d f i () 0, i = 1,...,m, h i () = 0, i

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЛЕКЦИИ Лекция 1 Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Постановка задачи поиска минимума функций содержит: целевую функцию f ( x ), где x = ( x1,..., x

Подробнее

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля

21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля Варианты задач 21. Проблема собственных значений в задаче Штурма-Лиувилля 21.1. Постановка задачи. Общие сведения Рассматривается краевая задача Ly = (p(x)y ) + q(x)y = λy, (1) где при x (, b) p(x) непрерывно

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 от Лектор: Панин Артём (Александрович) Opt-FIT-2016.html (вместо - нижнее подчеркивание)

ЛЕКЦИЯ 1 от Лектор: Панин Артём (Александрович)  Opt-FIT-2016.html (вместо - нижнее подчеркивание) ЛЕКЦИЯ 1 от 07.09.16 Лектор: Панин Артём (Александрович) http://www.math.nsc.ru/lbrt/k5 Opt-FIT-2016.html (вместо - нижнее подчеркивание) 1. Понятие экстремальной задачи 2. Элементы алгоритмической теории

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

L(x, y) = f(x) + {y, H(x) B}, min f(x), (3)

L(x, y) = f(x) + {y, H(x) B}, min f(x), (3) 318 вычислительные методы и программирование. 2010. Т. 11 УДК 519.6 МЕТОД ЧАСТИЧНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОЙ ПРЯМО-ДВОЙСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ Д.А. Дябилкин 1, И.В. Коннов 1 Рассматривается обобщенная

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Подробнее

Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru)

Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru) Методы оптимальных решений Шишкин Владимр Андреевич (http://www.vsh1791.ru) Содержание 1 Вопросы к экзамену 2 2 Примеры задач 3 2.1 Линейное программирование......................... 3 2.2 Теория двойственности............................

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ

Подробнее

Численная оптимизация

Численная оптимизация Численная оптимизация Функции многих переменных: условная оптимизация 26 ноября 2012 г. Численная оптимизация 26 ноября 2012 г. 1 / 27 x (l) i f(x) min, g j (x) 0, h k (x) = 0, x R n j = 1,..., J k = 1,...,

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни

МАТЕМАТИКА. Квадратные корни МАТЕМАТИКА Квадратные корни Задание для 8-х классов (006-00 учебный год) 4 Введение Дорогие ребята! Вы получили очередное задание по математике. В этом задании мы знакомим вас с важным математическим понятием

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ, Ю. В. ОЛЕМСКОЙ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ МИНИМИЗАЦИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Методические

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами следующего вида: Lu(x) def a ij (x)u xi x j

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ А. В. Лазарев lazarev_av@sampo.ru 17 мая 2008 г. 1. Рассмотрим в R n задачу математического программирования f(x) inf, g i (x) 0, i 1:s ;

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. Разработчик Кирюшов Б.М., канд. физ.-мат. наук, доц. Рецензент Берлинер Э.М., д-р тех. наук, проф.

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. Разработчик Кирюшов Б.М., канд. физ.-мат. наук, доц. Рецензент Берлинер Э.М., д-р тех. наук, проф. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Разработчик Кирюшов Б.М., канд. физ.-мат. наук, доц. Рецензент Берлинер Э.М., д-р тех. наук, проф. I Организационно-методический раздел 1 Цель дисциплины полное овладение аспирантами

Подробнее

Библиографический список

Библиографический список 107 Библиографический список 1. Кожегельдинов С. Ш. Ал-хусайново уравнение x 4 + y 2 = z 2 // Мат. заметки, 2011. Т. 89, вып. 3. С. 365 377. 2. Поляков В. Н. О некоторых диофантовых уравнениях // Чебышевский

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Примеры типовых задач письменного экзамена

Примеры типовых задач письменного экзамена Неопределенные интегралы Примеры типовых задач письменного экзамена Задача ( ) cos( ) d Решение u, du ( ) cos d cos d dv, v si ( Проверка ( Ответ ( )si cos cos d )si cos C si )si cos C ( ( ( u, du )si

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

Метод опорных векторов Лекция 7 курса «Алгоритмы для Интернета»

Метод опорных векторов Лекция 7 курса «Алгоритмы для Интернета» Метод опорных векторов Лекция 7 курса «Алгоритмы для Интернета» Юрий Лифшиц 9 ноября 2006 г. Содержание 1. Постановка задачи классификации 1 2. Оптимальная разделяющая гиперплоскость 2 2.1. Разделение

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВ СБОРНИК ЗАДАЧ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного. выпуклое программирование.

Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного. выпуклое программирование. Дальневосточный математический журнал. 015. Том 15. 1. C. 53 60 УДК 519.853 MSC010 65K05, 90C5, 49N15 c А. В. Жильцов, Р. В. Намм 1 Метод множителей Лагранжа в задаче конечномерного выпуклого программирования

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ А. В. Фоминых alexfomster@mail.ru 1 мая 16 г. Аннотация. В докладе рассматривается задача нахождения решения системы дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее