Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В."

Транскрипт

1 Лекция 5. Графы. Примеры применений графов. Транспортная задача. Поток в сети, теорема Форда и Фалкерсона о величине максимального потока в сети. Алгоритм построения максимального потока в сети. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте

2 Определение графа Графом G называется пара (V, E), где V = {v 1, v 2,... } множество вершин; E = {e 1, e 2,... } множество ребер, в котором каждое ребро e i есть пара вершин (v i1, v i2 ), где v i1, v i2 V. Если множества V и E конечны, то граф называется конечным. Иначе, граф называется бесконечным. В множестве ребер E могут присутствовать ребра, составленные из одной и той же вершины: e i = (v i1, v i1 ). Такие ребра называются петлями. В множестве ребер E могут присутствовать разные ребра, которым сопоставлена одна и та же пара вершин: e i = (v i1, v i2 ) и e j = (v i1, v i2 ), i j. Такие ребра называются кратными.

3 Вершины, ребра и дуги Пусть e i = (v i1, v i2 ) ребро из множества ребер E. Говорят, что ребро e i соединяет вершины v i1 и v i2, или вершины v i1 и v i2 инцидентны ребру e i. Если пара (v i1, v i2 ) не упорядочена, то ребро e i называется неориентированным. В этом случае, вершины v i1 и v i2 называются концами неориентированного ребра e i, или смежными (соседними) по ребру e i. Если пара (v i1, v i2 ) упорядочена, то ребро e i называется ориентированным, или дугой. В этом случае говорят, что дуга e i исходит из вершины v i1 и входит в вершину v i2. Вершина v i1 называется началом, вершина v i2 называется концом дуги e i.

4 Ориентированные и неориентированные графы Если в множестве ребер E все ребра не ориентированны, то граф G = (V, E) называется неориентированным. Если в множестве ребер E все ребра ориентированны, то граф G = (V, E) называется ориентированным. Можно рассматривать частично ориентированные графы, в которых часть ребер ориентированна, а часть нет.

5 Диаграмма графа Графы можно наглядно изображать в виде диаграмм. Вершины изображаются точками (или кружочками). Ребро e i = (v i1, v i2 ) изображается линией, соединяющей вершины (точки) v i1 и v i2. Если e i = (v i1, v i2 ) дуга, то на линиии указывается стрелка от v i1 к v i2. Пусть G = (V, E), где V = {1, 2, 3}, E = {e 1, e 2, e 3 }, где e 1 = (1, 2) дуга, e 2 = (1, 2) и e 3 = (1, 3) неориентированные ребра.

6 Диаграмма графа Графы можно наглядно изображать в виде диаграмм. Вершины изображаются точками (или кружочками). Ребро e i = (v i1, v i2 ) изображается линией, соединяющей вершины (точки) v i1 и v i2. Если e i = (v i1, v i2 ) дуга, то на линиии указывается стрелка от v i1 к v i2. Пусть G = (V, E), где V = {1, 2, 3}, E = {e 1, e 2, e 3 }, где e 1 = (1, 2) дуга, e 2 = (1, 2) и e 3 = (1, 3) неориентированные ребра. 3 2 G : e 3 e 1 e 2 1

7 Путь в графе Путем (неориентированным) в графе G = (V, E) из вершины v i0 в вершину v il называется последовательность вершин и ребер графа G вида v i0 e i1 v i1 e i2 v i2... v il 1 e il v il, в которой для каждого j = 1,..., l или e ij e ij = (v ij, v ij 1 ) E. = (v ij 1, v ij ) E, или При этом вершина v i0 называется началом пути, вершина v il называется концом пути. Число l ребер в пути называется его длиной. Если все ребра пути ориентированы правильно (то есть для всех j = 1,..., l верно e ij = (v ij 1, v ij ) E), то путь называется ориентированным.

8 Пример В графе G последовательность 1e 1 2e 2 1e 3 3 является ориентированным путем из вершины 1 в вершину 3 длины 3.

9 Пример В графе G последовательность 1e 1 2e 2 1e 3 3 является ориентированным путем из вершины 1 в вершину 3 длины 3. 3 G : 2 1

10 Пример В графе G последовательность 1e 1 2e 2 1e 3 3 является ориентированным путем из вершины 1 в вершину 3 длины 3. 3 G : 1 2

11 Пример В графе G последовательность 1e 1 2e 2 1e 3 3 является ориентированным путем из вершины 1 в вершину 3 длины 3. 3 G : 1 2

12 Пример В графе G последовательность 1e 1 2e 2 1e 3 3 является ориентированным путем из вершины 1 в вершину 3 длины 3. 3 G : 1 2

13 Применение графов Графы находят многочисленные применения в приложениях и других областях знаний. В химии в органической химии молекула вещества определяется не только атомным составом, но и строением, которое задает граф. В физике физические свойства вещества зависят не только от его атомного состава, но и от строения кристаллической решетки, которое определяет граф. В психологиии отношения между группами людей или отдельными индивидуумами определяются бинарными отношениями, которые удобно описывать в виде графов. В программировании выполнение программы можно рассматривать как переход от одного состояния памяти к другому, что можно описывать при помощи графов переходов. И т.д.

14 Применение графов Графы находят самое широкое применение при построении математических моделей для решения различных прикладных задач. Мы рассмотрим их применение к транспортной задаче.

15 Транспортная задача Рассмотрим транспортную задачу. Она может возникать в физике, экономике и т.д. Основные ее составляющие: есть транспортная сеть (сеть железнодорожных, автомобильных и т.д. путей; сеть трубопроводов и т.д.). При этом на отдельные компоненты сети наложены ограничения их максимально допустимая нагрузка. Необходимо определить максимально возможное количество пассажиров, товара, продукта и т.д., которое можно провезти по этой сети. Требуется также определить, каким образом можно организовать перевозку этого максимально возможного количества. Мы построим графовую дискретную модель этой транспортной задачи и решим ее в этой модели.

16 Определение транспортной сети Пусть G = (V, E) ориентированный граф. Для каждой вершины v V определим множества A(v) ( After v ) и B(v) ( Before v ): A(v) = {(v, w) E}, то есть A(v) множество всех дуг, исходящих из вершины v; B(v) = {(w, v) E}, то есть B(v) множество всех дуг, входящих в вершину v.

17 Определение транспортной сети Если B(v) =, то есть в вершину v дуги не входят, то вершина v называется источником. Если A(v) =, то есть из вершины v дуги не исходят, то вершина v называется стоком. В графе S вершина 1 является источником, вершины 2 и 3 стоками.

18 Определение транспортной сети Если B(v) =, то есть в вершину v дуги не входят, то вершина v называется источником. Если A(v) =, то есть из вершины v дуги не исходят, то вершина v называется стоком. В графе S вершина 1 является источником, вершины 2 и 3 стоками. 3 S : 1 2

19 Определение транспортной сети Сетью называется ориентированный граф S = (V, E) с одним источником s V и одним стоком t V, s t. Сеть S называется связной, если найдется ориентированный путь от ее источника s к ее стоку t. Транспортной сетью называется связная сеть S = (V, E) с функцией τ : E R +, сопоставляющей каждой ее дуге e E неотрицательное действительное число τ(e) 0, называющееся его пропускной способностью. Транспортная сеть S с функцией пропускных способностей дуг τ обозначается (S; τ).

20 Пример транспортной сети Транспортная сеть T = (S; τ):

21 Пример транспортной сети Транспортная сеть T = (S; τ): T : s t 7

22 Поток в транспортной сети Потоком в транспортной сети T = (S, τ) называется такая функция π : E R +, приписывающая каждой дуге сети e E неотрицательное число π(e) 0, называемое потоком по этой дуге, для которой верны свойства: 1) для каждой дуги сети e E верно π(e) τ(e), то есть поток по дуге не превышает пропускную способность этой дуги; 2) для каждой вершины сети v V верно π(v, w) 0, v s, t; π(w, v) = p(π), v = s; (v,w) A(v) (w,v) B(v) p(π), v = t; где неотрицательное число p(π) называется величиной потока. То есть весь поток p(π) вытек из источника s, в промежуточных вершинах не задержался и притек к стоку t.

23 Пример потока в транспортной сети Поток π в транспортной сети T = (S; τ):

24 Пример потока в транспортной сети Поток π в транспортной сети T = (S; τ): T : s t 7

25 Пример потока в транспортной сети Поток π в транспортной сети T = (S; τ): T : s 3 4 5(3) t 7

26 Пример потока в транспортной сети Поток π в транспортной сети T = (S; τ): T : s 3 4 (1) 5(3) 5 2 (2) 5 6 t 7

27 Пример потока в транспортной сети Поток π в транспортной сети T = (S; τ): T : s 3 4 (1) 5(3) 5 2 (1) (2) 5 (1) 6 t 7

28 Пример потока в транспортной сети Поток π в транспортной сети T = (S; τ): T : s 3 4 (1) 5(3) 5 2 (1) (2) 5 (1) 6 t 7 (2) Величина потока p(π) равна 3.

29 Пример потока в транспортной сети Можно построить другой поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ):

30 Пример потока в транспортной сети Можно построить другой поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s t 7

31 Пример потока в транспортной сети Можно построить другой поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(2) 4 5 (3) t 7

32 Пример потока в транспортной сети Можно построить другой поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(2) 4 (1) 5 (3) 5 2 (2) 5 6 t 7

33 Пример потока в транспортной сети Можно построить другой поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(2) 4 (1) 5 (3) 5 2 (3) (2) 5 6 t 7

34 Пример потока в транспортной сети Можно построить другой поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(2) 4 (1) 5 (3) 5 2 (3) (2) 5 (2) 6 (1) t 7

35 Пример потока в транспортной сети Можно построить другой поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(2) 4 (1) 5 (3) 5 2 (3) (2) 5 (2) 6 (1) t 7 (3) Величина потока p(π ) равна 5.

36 Пример потока в транспортной сети Попытаемся построить поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ):

37 Пример потока в транспортной сети Попытаемся построить поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s t 7

38 Пример потока в транспортной сети Попытаемся построить поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(3) 4 5 (5) t 7

39 Пример потока в транспортной сети Попытаемся построить поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(3) 4 (3) 5 (5) 5 2 (2) 5 6 t 7

40 Пример потока в транспортной сети Попытаемся построить поток π в этой же транспортной сети T = (S; τ): T : s 3(3) 4 (3) 5 (5) 5 2 (6) 5 6 t 7 (2) Такой поток p(π ) построить не удалось.

41 Постановка задачи Постановка транспортной задачи. Дана транспортная сеть T = (S, τ). Требуется найти такой поток π в этой транспортной сети T, на котором достигается максимальное значение величины потока p(π).

42 Сечения Пусть T = (S, τ) транспортная сеть, где S = (V, E) сеть. Если X V, s X, t / X и Y = V \ X, то множество дуг D E, таких что D = {(v, w) E v X, w Y }, называется сечением сети S и обозначается D = (X, Y ). Если удалить из сети S все дуги из сечения D, то получится сеть S, не являющаяся связной. То есть в сети S нет на одного ориентированного пути из источника s в сток t.

43 Пропускная способность сечения Пропускной способностью сечения D E называется неотрицательное число τ(d) = e D τ(e), то есть равное сумме пропускных способностей дуг, в него входящих.

44 Пример сечения Рассмотрим сечение D в транспортной сети T, X = {s}:

45 Пример сечения Рассмотрим сечение D в транспортной сети T, X = {s}: T : s t 7 Пропускная способность сечения D равна: τ(d) = = 8.

46 Пример сечения Рассмотрим сечение D в транспортной сети T, X = {s, a, b}:

47 Пример сечения Рассмотрим сечение D в транспортной сети T, X = {s, a, b}: T : s b a t 7 Пропускная способность сечения D равна: τ(d ) = = 7.

48 Теорема Форда, Фалкерсона Теорема 5.1 [Форда, Фалкерсона]. Пусть T = (S, τ) транспортная сеть. Величина максимального потока в транспортной сети T равна минимальной из пропускных способностей его сечений. Доказательство Пусть T = (S, τ) транспортная сеть, где S = (V, E) сеть, D min = (X, Y ) сечение сети с минимальной пропускной способностью, и p max величина максимального потока в этой сети. Нам надо доказать, что p max = τ(d min ). 1. Вначале докажем, что величина любого потока в транспортной сети не превосходит пропускную способность любого сечения в этой сети, то есть что p max τ(d min ).

49 Теорема Форда, Фалкерсона Доказательство (продолжение). Пусть π : E R + поток, а D = (X, Y ) E сечение транспортной сети T, где X V, s X, t / X, Y = V \ X. Тогда = p(π) = (s,w) A(s) v X,(v,w) A(v) v X,w / X,(v,w) E Значит, p(π) τ(d). π(s, w) π(v, w) π(v, w) = v X,(v,w) D (w,s) B(s) v X,(w,v) B(v) v X,(v,w) D τ(v, w) = τ(d). π(w, s) = π(w, v) π(v, w)

50 Теорема Форда, Фалкерсона Доказательство (продолжение). 2. Теперь докажем, что для такого потока π : E R +, что p(π) = p max, верно p(π) = τ(d min ). Индуктивно определим множество вершин X V. Базис индукции: s X, то есть источник содержится в множестве X. Индуктивный переход: 1) если v X, (v, w) E и π(v, w) < τ(v, w), то w X ; 2) если v X, (w, v) E и π(w, v) > 0, то w X ; То есть X это множество вершин, в которые можно перейти из источника по дугам в правильном направлении с ненасыщенным потоком (который меньше пропускной способности дуги) и по дугам с обратным направлением с ненулевым потоком.

51 Теорема Форда, Фалкерсона Доказательство (продолжение). 1) Если t / X, то D = (X, V \ X ) сечение, и аналогично предыдущим рассуждениям p(π) = τ(d). Так как τ(d min ) τ(d) и p(π) τ(d min ), получаем p(π) = τ(d min ).

52 Теорема Форда, Фалкерсона Доказательство (продолжение). 2) Если t X, то в сети S найдется (неориентированный) путь P из источника s в сток t, состоящий только из дуг с правильным направлением с ненасыщенным потоком и из дуг с обратным направлением с ненулевым потоком: P = s = v i0 e 1 v i1 v i1... v il 1 e il v il = t, где для каждого j = 1,..., l 1) если e ij = (v ij 1, v ij ) E, то π(e ij ) < τ(e ij ); 2) если e ij = (v ij, v ij 1 ) E, то π(e ij ) > 0.

53 Теорема Форда, Фалкерсона Доказательство (продолжение). Положим β = min τ(e i j ) π(e ij ) > 0, e ij =(v ij 1,v ij ) E и γ = min π(e i j ) > 0, e ij =(v ij,v ij 1 ) E α = min(β, γ).

54 Теорема Форда, Фалкерсона Доказательство (продолжение). Тогда построим новый поток π в сети T, изменив потоки по дугам пути P: для каждого j = 1,..., l 1) если e ij = (v ij 1, v ij ) E, то π (e ij ) = π(e ij ) + α; 2) если e ij = (v ij, v ij 1 ) E, то π (e ij ) = π(e ij ) α. Тогда p(π ) = p(π) + α > p max. Получаем противоречие. Значит, второй случай t X невозможен, и p max = τ(d min ).

55 Алгоритм расстановки пометок Доказательство теоремы Форда и Фалкерсона предлагает идею алгоритма построения максимального потока в транспортной сети. Он называется алгоритмом расстановки пометок. Рассмотрим транспортную сеть T, пусть π 0 нулевой поток. T : s b a 5 2 d 5 6 t 7 c

56 Алгоритм расстановки пометок Доказательство теоремы Форда и Фалкерсона предлагает идею алгоритма построения максимального потока в транспортной сети. Он называется алгоритмом расстановки пометок. Рассмотрим транспортную сеть T, пусть π 0 нулевой поток. T : s b a 5 2 d 5 6 t 7 c

57 Алгоритм расстановки пометок Нашли путь P 1 = s(s, a)a(a, b)b(b, d)d(d, t)t. Тогда α = β = min(5, 4, 5, 5) = 4, и поток π 0 можно увеличить до нового потока π 1, p(π 1 ) = 4. T : s b a 5 2 d 5 6 t 7 c

58 Алгоритм расстановки пометок Нашли путь P 1 = s(s, a)a(a, b)b(b, d)d(d, t)t. Тогда α = β = min(5, 4, 5, 5) = 4, и поток π 0 можно увеличить до нового потока π 1, p(π 1 ) = 4. T : s b 3 4 (4) 5 (4) a 5 2 (4) d 5 (4) 6 t 7 c

59 Алгоритм расстановки пометок Нашли путь P 1 = s(s, a)a(a, b)b(b, d)d(d, t)t. Тогда α = β = min(5, 4, 5, 5) = 4, и поток π 0 можно увеличить до нового потока π 1, p(π 1 ) = 4. T : b 3 s 4 (4) 5 (4) a 5 2 (4) d 5 (4) 6 t 7 c

60 Алгоритм расстановки пометок Нашли новый путь P 2 = s(s, b)b(a, b)a(a, c)c(c, t)t. Тогда β = min(3, 2, 7) = 2, γ = min(4) = 4, α = min(2, 4) = 2, и поток π 1 можно увеличить до нового потока π 2, p(π 2 ) = = 6. T : s b a 5 2 d 5 6 t 7 c

61 Алгоритм расстановки пометок Нашли новый путь P 2 = s(s, b)b(a, b)a(a, c)c(c, t)t. Тогда β = min(3, 2, 7) = 2, γ = min(4) = 4, α = min(2, 4) = 2, и поток π 1 можно увеличить до нового потока π 2, p(π 2 ) = = 6. T : s b 3 4 5(4) a 5 2 (4) d 5 (4) 6 t 7 c

62 Алгоритм расстановки пометок Нашли новый путь P 2 = s(s, b)b(a, b)a(a, c)c(c, t)t. Тогда β = min(3, 2, 7) = 2, γ = min(4) = 4, α = min(2, 4) = 2, и поток π 1 можно увеличить до нового потока π 2, p(π 2 ) = = 6. T : s b 3 (2) 4 (2) 5(4) a 5 2 (4) (2) d 5 (4) 6 t 7(2) c

63 Алгоритм расстановки пометок Нашли новый путь P 2 = s(s, b)b(a, b)a(a, c)c(c, t)t. Тогда β = min(3, 2, 7) = 2, γ = min(4) = 4, α = min(2, 4) = 2, и поток π 1 можно увеличить до нового потока π 2, p(π 2 ) = = 6. T : s b 3 (2) 4 (2) 5(4) a 5 2 (4) (2) d 5 (4) 6 t 7(2) c

64 Алгоритм расстановки пометок Нашли еще один путь P 3 = s(s, b)b(b, d)d(d, t)t. Тогда α = β = min(1, 1, 1) = 1, и поток π 2 можно увеличить до нового потока π 3, p(π 3 ) = = 7. T : s b a 5 2 d 5 6 t 7 c

65 Алгоритм расстановки пометок Нашли еще один путь P 3 = s(s, b)b(b, d)d(d, t)t. Тогда α = β = min(1, 1, 1) = 1, и поток π 2 можно увеличить до нового потока π 3, p(π 3 ) = = 7. T : s b (4) a 5 2 d 5 6 t 7 c

66 Алгоритм расстановки пометок Нашли еще один путь P 3 = s(s, b)b(b, d)d(d, t)t. Тогда α = β = min(1, 1, 1) = 1, и поток π 2 можно увеличить до нового потока π 3, p(π 3 ) = = 7. T : s b 3 4 (2) 5 (4) a 5 2 (2) d 5 6 t 7(2) c

67 Алгоритм расстановки пометок Нашли еще один путь P 3 = s(s, b)b(b, d)d(d, t)t. Тогда α = β = min(1, 1, 1) = 1, и поток π 2 можно увеличить до нового потока π 3, p(π 3 ) = = 7. T : s b 3(3) 4 (2) 5 (4) a 5 2 (5) (2) d 5 (5) 6 t 7(2) c

68 Алгоритм расстановки пометок T : s b 3(3) 4 (2) 5 (4) a 5 2 (5) (2) d 5(5) 6 t 7(2) c Получаем, X = {s, a, b}, и t / X. Тогда D = (X, V \ X ) сечение, τ(d ) = = 7, D = D min. Откуда, p max = p(π 3 ) = τ(d min ) = 7.

69 Конец лекции 5

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы. Примеры применений графов. Транспортная задача. Поток в сети, теорема Форда и Фалкерсона о величине максимального потока в сети. Алгоритм построения максимального потока в сети. Лектор -

Подробнее

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция: Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям. Магистратура,

Подробнее

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве.

Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лекция 4. Графы. Основные понятия. Связные графы. Деревья. Остовное дерево. Число висячих вершин в остовном дереве. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура,

Подробнее

Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа.

Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа. Лекция: Хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теоремы о верхних и нижних оценках хроматического числа графа. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям.

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по «Дискретным моделям». Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Графы. Наследственные свойства графов. Оценка числа ребер в графах с наследственным свойством. Экстремальные графы. Наибольшее число ребер в планарных графах и графах без треугольников с заданным

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте Факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  Факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы и сети. Оценка числа псевдографов с q ребрами. Оценка числа деревьев с q ребрами. Планарные графы. Формула Эйлера для планарных графов. Наибольшее число ребер в планарных графах. Непланарность

Подробнее

Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа.

Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Лекция 5. Графы. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su Лекции

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Деревья. Остовные деревья. Число остовных деревьев помеченного полного графа. Достижимость промежуточного числа висячих вершин в остовном дереве. Оценка числа висячих вершин в остовном дереве.

Подробнее

1 Графы. Простейшие свойства графов.

1 Графы. Простейшие свойства графов. Магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции по курсу «Дискретные модели». Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна 1 Графы. Простейшие свойства графов. Графом G называется пара множеств

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 7. Задача выбора маршрутов и ее частный случай задача распределения рейсов по дням. Графовая модель для задачи распределения рейсов. Хроматическое число графа. Критерий двураскрашиваемости графа.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Частично упорядоченные множества (ЧУМ). Диаграмма ЧУМ. Максимальные, минимальные, наибольший и наименьший элементы. Цепи и антицепи, длина и ширина конечных ЧУМ. Теорема о разбиении ЧУМ на антицепи.

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 1. Графы. Основные определения. Простейшие свойства графов. Пути и цепи в графах. Связность, k-связность. Деревья, корневые деревья. Остовные деревья. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Графы интервалов. Применения графов интервалов. Задача регулирования движения транспорта светофором. Графовая модель управления светофором на перекрестке. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 6. Наследственные свойства графов. Наибольшее число ребер в графах с наследственным свойством. Наибольшее число ребер в планарных графах. Наибольшее число ребер в графах без полного подграфа с n

Подробнее

Лекция: Регулярные выражения и регулярные множества. Теорема Клини о совпадении классов автоматных множеств и регулярных множеств.

Лекция: Регулярные выражения и регулярные множества. Теорема Клини о совпадении классов автоматных множеств и регулярных множеств. Лекция: Регулярные выражения и регулярные множества. Теорема Клини о совпадении классов автоматных множеств и регулярных множеств. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретной математике

Подробнее

Лекция: Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции.

Лекция: Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции. Лекция: Существенные функции. Три леммы о существенных функциях. Критерий полноты Яблонского. Критерий полноты Слупецкого. Шефферовы функции. Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея.

Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея. Лекция 7. Числа Рамсея. Верхняя оценка числа Рамсея. Нижняя оценка числа Рамсея. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.ru

Подробнее

Задачу нахождения потока максимальной мощности (или просто максимального потока) можно записать в следующем виде:

Задачу нахождения потока максимальной мощности (или просто максимального потока) можно записать в следующем виде: Глава 8. ПОТОКИ В СЕТЯХ В данной главе, если не оговорено дополнительно, под сетью будем понимать связный ориентированный граф G = (V, A) без петель и мультидуг, с одним источником s V и одним стоком t

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 4. Раскраски вершин графов. Хроматическое число графа. Критерий двуцветности графа. Верхние оценки хроматического числа графа. Существование графа без треугольников с произвольно большим хроматическим

Подробнее

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по курсу «Дискретные модели», 1-й курс, магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В.

Лектор д.ф.-м.н. Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по курсу «Дискретные модели», 1-й курс, магистратура факультета ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Алгоритм распознавания полноты в P k. Теорема Кузнецова. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множество. Классы функций, сохраняющих разбиение. Предполные классы. Лектор д.ф.-м.н. Селезнева

Подробнее

Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея.

Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея. Лекция: Наследственные свойства графов. Экстремальные графы. Числа Рамсея. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su Наследственное

Подробнее

Задачу нахождения потока максимальной мощности (максимального потока) можно записать в виде

Задачу нахождения потока максимальной мощности (максимального потока) можно записать в виде 6. Потоки в сетях В данном разделе сеть это связный ориентированный граф G = (V, E) без петель и мультидуг с одним источником s и одним стоком t, в котором каждой дуге (i, j) E приписана пропускная способность

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Конечные автоматы (КА) без выхода (конечные автоматы-распознаватели). Диаграммы переходов. Автоматные множества (языки). Лемма о свойствах автоматных множеств. Пример неавтоматного множества. Лектор

Подробнее

Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке.

Потоки в сетях. Теорема о максимальном потоке. Зенкевич НА Материалы к установочной лекции Вопрос 35 Потоки в сетях Теорема о максимальном потоке Основные понятия Определение сети N = - конечное (заданное) множество узлов ( N = n ) и пусть u : N N

Подробнее

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел.

Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лекция: Основные комбинаторные числа. Оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм

Подробнее

Лекция 2. Схемы из функциональных элементов (СФЭ) в некотором базисе. Сложность и глубина схемы. Примеры. Метод синтеза СФЭ по ДНФ.

Лекция 2. Схемы из функциональных элементов (СФЭ) в некотором базисе. Сложность и глубина схемы. Примеры. Метод синтеза СФЭ по ДНФ. Лекция 2. Схемы из функциональных элементов (СФЭ) в некотором базисе. Сложность и глубина схемы. Примеры. Метод синтеза СФЭ по ДНФ. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретной математике

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Недетерминированные конечные автоматы (НКА) без выхода. Теорема о совпадении классов множеств слов, допускаемых конечными детерминированными и конечными недетерминированными автоматами. Процедура

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике -2, 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Схемы из функциональных элементов с задержками (СФЭЗ), автоматность осуществляемых ими отображений. Представление КАВ СФЭЗ. Упрощения КАВ. Отличимость и неотличимость состояний КАВ. Теорема Мура

Подробнее

Тема 6. Эйлеровы графы

Тема 6. Эйлеровы графы Тема 6. Эйлеровы графы 6.1. Эйлеровы графы, необходимые и достаточные условия эйлеровости Определение. Если граф имеет цикл (не обязательно простой), содержащий все ребра графа по одному разу, то такой

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 5. Раскраски ребер графов. Хроматический индекс графа. Хроматический индекс двудольных графов. Верхняя и нижняя оценки хроматического индекса графа. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Теорема Анселя о разбиениии n-мерного куба на цепи. Теорема о числе монотонных функций алгебры логики. Теорема о расшифровке монотонных функций алгебры логики. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Комбинаторика. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций. Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Асимптотические

Подробнее

Лекция 16: Потоки. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 16: Потоки. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Постановка задачи о максимальном потоке Пусть дана сеть, имеющая ровно один источник

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Конечные автоматы с выходом (КАВ). Автоматные функции, способы их задания. Теорема о преобразовании периодических последовательностей автоматными функциями. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Подробнее

Глава II. Теория графов.

Глава II. Теория графов. Глава II. Теория графов.. Из истории теории графов Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (707 782). В 736 году Эйлер решил задачу о Кенигсбергских мостах. Задача состояла в следующем: «Найти

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Операции над конечно-автоматными множествами. Дополнение, объединение, пересечение, произведение и итерация автоматных множеств, их автоматность. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции

Подробнее

Лекция 7. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.

Лекция 7. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда. Лекция 7. Действие группы на множестве. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su факультет ВМК МГУ

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Точки сочленения и мосты. Связность, k-связность. Двусвязные графы. Компоненты двусвязности (блоки) графа. Дерево блоков и точек сочленения графа. Лектор Селезнева Светлана Николаевна selezn@cs.msu.su

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Кольцо многочленов. Подкольцо. Идеал кольца. Главный идеал кольца. Кольцо главных идеалов. Деление с остатком многочленов над полем. Теорема о кольце

Подробнее

Лекция 3: Маршруты и связность

Лекция 3: Маршруты и связность Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определения маршрута, цепи, цикла Определение Маршрутом в графе называется последовательность

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке подгруппы конечной группы. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора элемента. Лемма Бернсайда.

Подробнее

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа

Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Лекция 12: Верхние оценки хроматического числа Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Алгоритм последовательной раскраски В

Подробнее

Занятие 3. deg u = 2 E.

Занятие 3. deg u = 2 E. Занятие 3 Граф 1 G = (V, E) представляет собой конечную непустую совокупность вершин V, некоторые из которых соединенны ребрами. Совокупность ребер обозначается E. Мы пишем uv E, если вершины u и v соединены

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм биномиальных

Подробнее

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Алгоритм распознавания полноты в P k. Замкнутые классы. Классы функций, сохраняющих множества и сохраняющих разбиения, их замкнутость. Теорема Кузнецова о функциональной полноте. Предполные классы.

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 10. Подгруппы, смежные классы, индекс подгруппы в группе. Теорема Лагранжа о порядке конечной группы. Нормальные подгруппы, фактор-группа. Орбита и стабилизатор элемента, теорема о порядке стабилизатора

Подробнее

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов -

{ основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - { основные определения теории графов - задача о Кенигсбергских мостах - основные определения теории графов - маршрут, путь, цикл - число графов - полный граф - смежность, инцидентность, степени - локальные

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Метод производящих функций, подсчет сумм и доказательство тождеств. Полиномиальные коэффициенты. Принцип включений-исключений. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Лекция 8: Алгоритмы для задач о паросочетаниях

Лекция 8: Алгоритмы для задач о паросочетаниях Лекция 8: Алгоритмы для задач о паросочетаниях Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Задача о назначениях В этой лекции мы

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция: Конечнозначные функции. Элементарные k-значные функции. Способы задания k-значных функций: таблицы, формулы, 1-я и 2-я формы, полиномы. Полнота. Теорема о полноте системы Поста. Функция Вебба.

Подробнее

,

, Занятие 5 Ориентированный граф (или, орграф) G = (V, A) состоит из некоторого непустого множества V вершин и множества A соединяющих эти вершины ориентированных ребер (или, дуг или, стрелок). Мы пишем

Подробнее

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом

Нильпотентные полугруппы, основа графа Кэли которых является деревом А.Л. Макарьев Омский государственный педагогический университет Электронный научный журнал «Вестник Омского государственного педагогического университета» Выпуск 006 www.os.edu Нильпотентные полугруппы,

Подробнее

Основы теории графов

Основы теории графов Основы теории графов Общие понятия Сетевые методы позволяют воспроизвести и проанализировать структуру экономического процесса или явления. Научной основой сетевых методов является теория графов. Граф

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 10. Идеалы, главные идеалы колец. Кольцо главных идеалов. Теорема о главном идеале кольца главных идеалов. Кольцо многочленов как кольцо главных идеалов. Построение конечных полей из p n элементов,

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функции конечнозначных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Потоки в сетях. G=(V,E) t

Потоки в сетях. G=(V,E) t Потоки в сетях Сетью будем называть орграф G, некоторые вершины которого отмечены. Отмеченные вершины назовем полюсами, а остальные вершины внутренними. Мы будем рассматривать классические сети с двумя

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 15. Функции конечно-значных логик. Элементарные функции k-значной логики. Способы задания функций k-значной логики: таблицы, формулы, I-я и II-я формы, полиномы. Полнота. Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор Селезнева Светлана Николаевна Лекции на сайте  факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 9. Кольца. Теорема о конечном целостном кольце. Характеристика кольца. Кольцо многочленов. Наследование свойств кольца в кольце многочленов. Деление с остатком многочленов над полем. Лектор Селезнева

Подробнее

Теоретическая информатика I Лекция 7: паросочетания, вершинные покрытия, потоки в сетях

Теоретическая информатика I Лекция 7: паросочетания, вершинные покрытия, потоки в сетях Теоретическая информатика I Лекция 7: паросочетания, вершинные покрытия, потоки в сетях Александр Охотин 26 октября 2016 г. 1 Следствия из теоремы Татта Теорема Петерсена, в своё время доказанная более

Подробнее

ТЕОРИЯ ГРАФОВ: ПАРОСОЧЕТАНИЯ

ТЕОРИЯ ГРАФОВ: ПАРОСОЧЕТАНИЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ: ПАРОСОЧЕТАНИЯ Тема Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Дискретная математика II: Паросочетания / 9 План лекции Определение и свойства паросочетания 2 Теорема Бержа Квалификация паросочетаний

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по курсу Дискретные модели. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по курсу Дискретные модели. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 1. Комбинаторные объекты: выборки, размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Комбинаторные числа: факториал, убывающий факториал, биномиальные

Подробнее

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет

Министерство Российской Федерации по связи и информации. Санкт Петербургский Государственный Университет Министерство Российской Федерации по связи и информации Санкт Петербургский Государственный Университет телекоммуникаций им.проф. М. А. Бонч Бруевича Факультет заочного обучения О.М. Дмитриева И.С. Перфилова

Подробнее

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 6: Деревья. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение и примеры Определение Деревом называется связный граф без циклов. Примеры

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция. Функции натурального аргумента (последовательности). Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства. Формула включений-исключений. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства. Формула включений-исключений. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка. Лекция 3. Отношения на множествах. Свойства. Формула включений-исключений. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Дискретным моделям.

Подробнее

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл

Лекция 4: Эйлеров и гамильтонов цикл Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Эйлеров цикл Определение Цикл, содержащий все ребра графа, называется эйлеровым. Граф

Подробнее

Контрольная работа Вариант 2

Контрольная работа Вариант 2 Контрольная работа Вариант 2 Задача 1 Заданы множества A, B и C Считать, что элементы этих множеств образуют универсальное множество U Найти A + B + C, P( A B C), проверить равенство ( A B) C = ( A C)

Подробнее

Проталкивание предпотока

Проталкивание предпотока Проталкивание предпотока Contents Копелиович С.В., апрель 2015 (дополненная версия) 1 Определение предпотока 1 2 Алгоритм проталкивания 1 3 Корректность алгоритма 1 4 Общая оценка времени работы 2 5 Алгоритм

Подробнее

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 14: Орграфы. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Если мы захотим изобразить схему дорожного движения в городе

Подробнее

Лекция 15: Сети. Б.М.Верников, А.М.Шур

Лекция 15: Сети. Б.М.Верников, А.М.Шур Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие сети Предположим, мы хотим кратчайшим образом добраться на автомобиле из пункта

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по Дискретным моделям. Магистратура, 1-й курс, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Примеры Лектор - доцент Селезнева

Подробнее

О МУЛЬТИРАСКРАСКЕ ИНЦИДЕНТОРОВ ВЗВЕШЕННОГО ОРИЕНТИРОВАННОГО МУЛЬТИГРАФА В. Г. Визинг

О МУЛЬТИРАСКРАСКЕ ИНЦИДЕНТОРОВ ВЗВЕШЕННОГО ОРИЕНТИРОВАННОГО МУЛЬТИГРАФА В. Г. Визинг ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Июль август 2014. Том 21, 4. C. 33 41 УДК 519.718 О МУЛЬТИРАСКРАСКЕ ИНЦИДЕНТОРОВ ВЗВЕШЕННОГО ОРИЕНТИРОВАННОГО МУЛЬТИГРАФА В. Г. Визинг Аннотация. Рассматриваются

Подробнее

} пространства R и множества E = { e i

} пространства R и множества E = { e i 3 Задание: Дан неориентированный граф G, где V(G) - множество вершин; Е(G) - множество ребер Изобразить его графически Определить степени его вершин Указать висячие/изолированные вершины Является ли граф

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Функция Мёбиуса на ЧУМ. Функция Мёбиуса на n-мерном кубе. Формула обращения Мёбиуса. Принцип включений-исключений. Задача о подсчете числа перестановок- беспорядков. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Жадные алгоритмы в задачах о покрытии 1/15. Н. Н. Кузюрин С. А. Фомин. 13 декабря 2010 г. Множества. Элементы

Жадные алгоритмы в задачах о покрытии 1/15. Н. Н. Кузюрин С. А. Фомин. 13 декабря 2010 г. Множества. Элементы 1/15 Жадные алгоритмы в задачах о покрытии Н Н Кузюрин С А Фомин 13 декабря 2010 г Множества Элементы 2/15 Приближенный алгоритм с гарантированной точностью Определение Алгоритм называется C-приближенным,

Подробнее

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек.

Неформально. Граф -- это множество вершин (точек) и множество ребер (линии), соединяющих между собой все или часть этих точек. Основные понятия теории графов. Граф, или неориентированный граф G = (V, E) -- это упорядоченная пара G = (V, E), где V это непустое множество вершин, а E множество пар (в случае неориентированного графа

Подробнее

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли.

Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лекция: Группы. Изоморфизм групп. Симметрическая группа перестановок. Подгруппы. Теорема Кэли. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по Избранным вопросам дискретной математики. 3-й курс,

Подробнее

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год

Элементы теории графов. Теория Графов. Alexander Lazarev. Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences учебный год Теория Графов Alexander Lazarev Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 2009-2010 учебный год Outline 1 Элементы теории графов Степени вершин О машинном представлении графов Поиск

Подробнее

Полные несимметричные ресурсные сети. Случай одного приемника Введение

Полные несимметричные ресурсные сети. Случай одного приемника Введение Полные несимметричные ресурсные сети. Случай одного приемника Введение В работе предложена динамическая модель сети, в которой происходит перераспределение ресурса с выполнением закона сохранения. Модель

Подробнее

Задачи на параллельных машинах

Задачи на параллельных машинах Задачи на параллельных машинах Задача P pmtn C max Имеется m одинаковых машин и n работ. Любая работа может выполняться на любой машине. Прерывания работ разрешены. Требуется найти расписание с минимальным

Подробнее

Е. В. Харитонова ГРАФЫ И СЕТИ

Е. В. Харитонова ГРАФЫ И СЕТИ Е. В. Харитонова ГРАФЫ И СЕТИ Ульяновск 006 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический

Подробнее

Лекция 1. Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры.

Лекция 1. Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры. Лекция 1. Выборки. Размещения, перестановки, размещения с повторениями, сочетания, сочетания с повторениями, их число. Примеры. Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по курсу Дискретная

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ Л.В. Командина ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ. ЗАДАЧИ НА ГРАФАХ И СЕТЯХ Методические рекомендации для студентов специальности «Прикладная математика» УДК.() ББК.я К Автор: доцент кафедры прикладной математики и

Подробнее

лекции 2 4 Лекция. Матроиды

лекции 2 4 Лекция. Матроиды Матроиды пересечение матроидов лекции 2 4 1 Системой подмножеств S = ( E, I) называется пара конечное множество E вместе с семейством I подмножеств множества E, замкнутым относительно включения, т.е. если

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Неприводимые и приводимые многочлены. Теорема о построении полей из p n элементов, где p простое число, n 2. Вычисления в конечных полях, алгоритм Евклида. Расширения полей. Мультипликативная группа

Подробнее

Глава 6. ПАРОСОЧЕТАНИЯ И ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ

Глава 6. ПАРОСОЧЕТАНИЯ И ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ Глава 6. ПАРОСОЧЕТАНИЯ И ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ В данной главе рассмотрим алгоритмы решения задачи о максимальном паросочетании, а также задачи о назначениях []. Обе эти задачи имеют широкое применение и

Подробнее

Задача о доминирующем множестве:

Задача о доминирующем множестве: Задача о доминирующем множестве: Ds = { G, k G неориентированный граф (V, E). Существует множество C V, такое что С = k и каждая вершина в V\C связана ребром из E с некоторой вершиной из C }. Задача о

Подробнее

Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи о раскраске

Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи о раскраске Лекция 13: Раскраска плоских графов. Задачи, сводимые к задаче о раскраске Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА

Учебный центр «Резольвента» МАТЕМАТИКА Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Подробнее

Задачи на графы. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК

Задачи на графы. Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК Задачи на графы Беркунский Е.Ю., кафедра ИУСТ, НУК eugeny.berkunsky@gmail.com http://www.berkut.mk.ua Определения Граф или неориентированный граф G это упорядоченная пара G: = (V,E), для которой выполнены

Подробнее

АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ю. Е. Кувайскова

Подробнее

Основы теории графов. Оглавление

Основы теории графов. Оглавление Основы теории графов Оглавление Введение в теорию графов... Основные понятия... Матрица смежности... 8 Матрица инциденции... 0 Операции над графами... Операции над графами... Эйлеров путь... 7 Основы теории

Подробнее

КОДИРОВАНИЕ. Код сообщений. Код сообщения на выходе. Источник сообщений. Канал связи. Сообщение на выходе. Источник помех. Лекция 10.

КОДИРОВАНИЕ. Код сообщений. Код сообщения на выходе. Источник сообщений. Канал связи. Сообщение на выходе. Источник помех. Лекция 10. КОДИРОВАНИЕ Источник сообщений Код сообщений Канал связи Код сообщения на выходе Сообщение на выходе Источник помех Лекция 0. Кодирование В этой схеме источник сообщений хочет передать по каналу связи

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна. Лекции по дискретной математике 2. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Лекция 3. Последовательности, определяемые рекуррентными соотношениями. Однородные и неоднородные линейные рекуррентные уравнения (ЛОРУ и ЛНРУ). Общие решения ЛОРУ и ЛНРУ. Лектор - доцент Селезнева Светлана

Подробнее

Команда 41-1 Задача 10 «Локальная схожесть графов»

Команда 41-1 Задача 10 «Локальная схожесть графов» XVIII Республиканский Турнир Юных Математиков Минск, 2016 Команда 41-1 Задача 10 «Локальная схожесть графов» Автор: Василевский Алексей, 11 класс, Гимназия 41 имени Серебряного В.Х. Аннотация: Решены пункты

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция: Раскраски. Эквивалентность раскрасок относительно группы перестановок. Теорема Пойа (частный случай). Производящие функции. Перечисляющий ряд для фигур и перечисляющий ряд для функций. Теорема

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ

ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ ЛЕКЦИЯ 1 ОБХОДЫ ГРАФОВ Существуют два классических понятия, связанных с обходами графов: эйлеров цикл и гамильтонов цикл. Определение 1: Эйлеров цикл (в графе) цикл, который содержит все ребра этого графа.

Подробнее

Лекция 1: Знакомство с графами

Лекция 1: Знакомство с графами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие графа Определение Графом называется геометрическая фигура, состоящая из точек

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2013 Прикладная теория графов 3(21) ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ УДК 519.17 ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ОРГРАФОВ С ТРЕМЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ДУГАМИ В МИНИМАЛЬНОМ ВЕРШИННОМ 1-РАСШИРЕНИИ М. Б.

Подробнее