АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК ЗАДАНИЙ Санкт-Петербург Издательство Политехнического университета 5

2 УДК 6-5(75.8) ББК 3.86я73 Т 4 Рецензенты: доктор педагогических наук Сурыгин А.И., кандидат физико-математических наук Звагельский М.Ю. Волков Д.Ю., Галунова К.В., Краснощеков В.В.. Математика. Аналитическая геометрия. Сборник заданий: учеб. пособие / Д.Ю. Волков, К. В. Галунова, В. В. Краснощеков СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, с. В учебном пособии собрано 3 заданий по аналитической геометрии, важнейшему разделу дисциплины «Математика», который имеет широкие приложения в физике, экономике и других науках. Задания сгруппированы в разделов, по 3 заданий в каждом разделе. Если типы заданий в целом традиционны, то сами задания преимущественно оригинальны. Задания, связанные с исследованием общего уравнения кривой второго порядка, в наибольшей степени выражают компетентностный подход к математической подготовке в вузе, поскольку требуют от студента сочетания нескольких оперативных умений с осмыслением сути задания в целом. Пособие состоит из трех частей. Первая и вторая части содержат краткие теоретические сведения и примеры решения задач по аналитической геометрии на плоскости и аналитической геометрии в пространстве, соответственно. В третьей части пособия содержатся варианты задач по рассматриваемым темам, которые могут быть использованы как при составлении заданий для самостоятельной работы студентов, так и при проведении контрольных мероприятий по аналитической геометрии. Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров "Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника", "Металлургия, машиностроение и материалообработка", "Транспортные средства", "Архитектура и строительство", "Безопасность жизнедеятельности, природообустройство и охрана окружающей среды", а также "Экономика и управление", "Гуманитарные науки". Частично материалы пособия могут быть использованы при подготовке бакалавров по группам направлений: "Электронная техника, радиотехника и связь", "Автоматика и управление", "Информатика и вычислительная техника" и др. Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Волков Д.Ю., Галунова К. В., Краснощеков В. В., 5 Санкт- Петербургский государственный ISBN политехнический университет, 5

3 Содержание Введение...6 Принятые обозначения...8 Часть. Методические указания Аналитическая геометрия на плоскости...9. Понятие системы координат Декартова система координат на прямой Декартова система координат на плоскости Полярная система координат...4. Уравнение линии на плоскости Прямая на плоскости Уравнение прямой с угловым коэффициентом Общее уравнение прямой Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту Уравнение прямой по двум точкам Взаимное расположение двух прямых Расстояние от точки до прямой Кривые второго порядка Эллипс Гипербола Парабола Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду Преобразование системы координат Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду...43

4 5.3. Классификация кривых второго порядка...46 Часть. Методические указания Аналитическая геометрия в пространстве Системы координат в пространстве Декартова система координат в пространстве Цилиндрическая система координат Сферическая система координат в пространстве...5. Вектора Понятие вектора Понятие базиса Скалярное произведение векторов Определители второго и третьего порядка Векторное и смешанное произведения векторов Плоскость Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору Общее уравнение плоскости Уравнение плоскости в отрезках Уравнение плоскости по трем точкам Расстояние от точки до плоскости Прямая в пространстве Общее уравнение прямой Каноническое уравнение прямой Уравнение прямой по двум точкам Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями Эллипсоид...7 4

5 5.. Однополостный гиперболоид Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид Конус второго порядка Цилиндры второго порядка...77 Часть 3. Варианты контрольных заданий...8 Библиографический список

6 ВВЕДЕНИЕ Материал учебного пособия охватывает раздел дисциплины «Математика», в котором изучается аналитическая геометрия. Пособие предназначено как для самостоятельной работы студентов при подготовке к контрольным мероприятиям по данной теме, так и для преподавателей, поскольку содержит варианты контрольных материалов. Контрольные материалы могут быть использованы преподавателем для оценки уровня сформированности математических компетенций студентов различных групп направлений подготовки бакалавров. Пособие состоит из трех частей. В первой части приводятся краткие теоретические сведения по аналитической геометрии на плоскости, даются методические указания по выполнению практических заданий. Вторая часть посвящена аналитической геометрии в пространстве. Во третьей части пособия содержатся контрольные материалы по рассматриваемым темам. В задании. предлагается найти расстояние между двумя точками на плоскости, заданными в полярных координатах. Задание. содержит задачи на уравнение кривой на плоскости. Задание.3 - уравнение прямой на плоскости. Задание.4 кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями. Задание.5 приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. В задании. рассматривается связь между декартовыми, цилиндрическими и сферически координатами точки в пространстве. Задание. предполагает применение понятий скалярного и векторного произведений для решения геометрической задачи, задание.3 на построение уравнения плоскости, 6

7 задание.4 нахождение расстояния от точки до прямой в пространстве, задание.5 определить тип поверхности второго порядка. В конце пособия приводится список рекомендуемой литературы. Учебники [, 4-7] могут предоставить студенту более подробный материал при изучении аналитической геометрии. Дополнительные задачи по рассматриваемой тематике можно найти в задачниках [,3]. 7

8 Принятые обозначения A, BC,, A, A... - точки плоскости или трехмерного пространства; [ AB ] - отрезок с концами в точках A и B ; AB - расстояние между точками A и B, длина отрезка [ AB ]; abxyx,,,,... - вещественные числа; x - модуль числа x ; ll,, l - прямые; ( AB ) - прямая, проходящая через точки A и B ; a, AB a, AB - вектор; - длина вектора; αα,, α,... - плоскости. 8

9 ЧАСТЬ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ.ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.. Декартова система координат на прямой Определение.. Говорят, что на прямой l задана система координат, если: ) Выбрана точка O, которая называется началом координат; ) Выбрано положительное направление; 3) Выбрана единица масштаба e. M(x) O x Рис.. Координатой точки M, лежащей на прямой l, называют число x, которое определяется следующим образом: ) абсолютная величина x равна отношению длины отрезка [ OM ] к длине единичного отрезка e : x = OM e ; ) координата x положительна, если направление от точки O к точке M совпадает с положительным направлением на прямой и отрицательна в противоположном случае. Пусть на прямой задано две точки A( x ) и Bx ( ) между этими точками вычисляется по формуле (см., например, [4,7]). Расстояние 9

10 AB = x x. (.) Пример.. Пусть A (), B( 3), тогда AB = ( 3) = 4. Пусть для заданных точек A( x ) и Bx ( ) ( x x найти точку C, лежащую между ними, такую, что AC CB = λ, (.) > ) требуется где λ - заданное вещественное число. Обозначим неизвестную координату точки C как x и запишем равенство (.) через координаты: Отсюда получаем x x x = λ. x x+ λx x = (.3) + λ Пример.. Пусть A( ), B (6). Найдем середину отрезка [ A, B ]. Подставляя в формулу (.3) λ = и координаты точек A и B, получаем координату середины отрезка: + 6 x = = +... Декартова система координат на плоскости Определение.. Говорят, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат, если: ) Заданы две взаимно

11 перпендикулярные прямые (точка их пересечения называется началом координат O ); ) На каждой из прямых выбрано положительное направление; 3) Выбрана единица масштаба e. y Qy ( ) M O Px ( ) x Рис.. Указанные в определении прямые называются координатными осями. Одна из них называется осью абсцисс (ось Ox ), другая осью ординат (ось Oy ). Пусть M - точка плоскости. Опустим из этой точки перпендикуляры на оси Ox и Oy. Точки P и Q пересечения перпендикуляров с координатными осями будем называть проекциями точки M на соответствующие оси. Пусть x - координата точки P на оси Ox, а y - координата точки Q на оси Oy. Упорядоченная пара чисел ( x, y ) называется координатами точки M. Число x - абсцисса точки M, y - ордината точки M. Положение точки M на плоскости однозначно определяется ее координатами (см. [4-7]).

12 Пусть на плоскости задано две точки A( x, y ) и B( x, y ). Найдем расстояние между этими точками. Построим прямую, проходящую через точку A параллельно оси Ox, и через точку B параллельно оси Oy. Точку их пересечения обозначим как C. y Ax (, y ) Bx (, y ) C Рис..3 O x Треугольник ABC - прямоугольный, легко видеть, что длины его катетов AC = x x, BC = y y. По теореме Пифагора получаем длину гипотенузы AB = ( x x ) + ( y y ) (.4) Пример.3. Найдем расстояние между точками A (,) и B (4,5) : AB = (4 ) + (5 ) = 5. Пусть для заданных точек A( x, y ) и B( x, y ), требуется найти точку C, лежащую между ними, такую, что AC CB = λ,

13 где λ - заданное вещественное число. Обозначим неизвестные координаты точки C как ( x, y ). Опустим из точек A, B, C перпендикуляры на ось Ox и обозначим проекции этих точек P, P, P соответственно. y C B A Рис..4 O P P P x Прямые ( AP ), ( BP ) и ( ) CP параллельны и, следовательно, AC CB PP =. PP Отрезок [ P, P ] принадлежит координатной прямой и координату x точки P, делящей его в отношении λ можно найти по формуле (.3). Найденная величина является искомой абсциссой точки C. Аналогично можно найти вторую координату этой точки. Т.о., координаты точки C находим по формулам x+ λx x =, + λ y+ λy y =. (.5) + λ 3

14 Пример.4. Пусть A (, ), B(3, 4). Найдем середину отрезка [ A, B ]. Подставляя в формулу (.5) λ = и координаты точек A и B, получаем координаты середины отрезка: + 3 x = = +, + ( 4) y = = Полярная система координат. Определение.3. Будем говорить, что на плоскости задана полярная система координат, если: ) задана точка O, называемая полюсом; ) задан луч [ OP ), называемый полярной полуосью; 3) выбрана единица масштаба. M r Рис..5 O ϕ Полярными координатами точки M плоскости называются полярный радиус, равный расстоянию от точки O до точки M : r = OM ; полярный угол угол ϕ, на который нужно повернуть луч [ OP ) для того, чтобы он совпал с лучом [ OM ). Каждой точке плоскости соответствует единственное значение полярного радиуса r. Полярный угол ϕ определен с точностью до периода π, обычно M 4

15 выбирают ϕ ( π, π].(кроме точки, совпадающей с полюсом. Для этой точки r =, а угол ϕ не определен.) Упорядоченной паре чисел (, r ϕ ) соответствует единственная точка плоскости M. Пусть на плоскости одновременно заданы полярная и декартова прямоугольная системы координат, причем начало декартовой системы координат совпадает с полюсом, а полярная ось лежит на оси абсцисс. Пусть точка M имеет декартовы координаты ( x, y ) и полярные координаты (, r ϕ ). Очевидно, что по известным полярным координатам (, r ϕ ) можно найти декартовы координаты точки (см. рис..6). x= rcosϕ y= rsinϕ (.6) y ϕ r M Рис..6 O x Если заданы декартовы координаты точки ( x, y ), то полярный радиус находим по формуле r= x + y, (.7) после этого, при известной величине r, находим угол ϕ, удовлетворяющий системе уравнений (.6). 5

16 Пример.5. Пусть полярные координаты точки M (4, π / 3). Декартовы координаты этой точки определяем по формулам (.6): x = 4cos( π /3) = y = 4sin( π / 3) = 3. Пример.6. Пусть декартовы координаты точки M (, ). Находим полярный радиус r = ( ) + ( ) =. Подставляя найденную величину и декартовы координаты точки в систему (.6), получаем Отсюда = cosϕ = sinϕ. следовательно cosϕ = sinϕ = 3π ϕ =. Полярные координаты точки M (, 3 π / 4). 4,. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ Линией в аналитической геометрии называется геометрическое место точек, объединенных каким-либо общим свойством. Пусть на 6

17 плоскости задана декартова прямоугольная система координат и некоторая линия l. Рассмотрим уравнение f ( x, y ) = (.) Определение.. Уравнение (.) называется уравнением линии l, если этому уравнению удовлетворяют координаты x и y любой точки, лежащей на линии l, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии l. Пример. Составим уравнение окружности радиуса R с центром в точке A( x, y ). По определению окружности, это множество точек M плоскости, расстояние от каждой из которых до точки A равно величине радиуса R : AM = R (.) Пусть M ( x, y ) - точка окружности. Подставим в (.) формулу для расстояния между двумя точками (.4): ( x x ) + ( y y ) = R. Возводя это равенство в квадрат, получаем уравнение окружности ( x x ) + ( y y ) = R. (.3) Пусть в уравнении линии (.) f ( x, y ) - степенная функция: n n n n Ax + By + Cx y + Dx y Ex + Fy + G =. (.4) 7

18 Определение.. Будем называть порядком линии наибольшую суммарную степень n, в которой x и y входят в уравнение (.4). Можно доказать, что порядок линии не зависит от выбора системы координат [4]. Например, по виду выведенного выше уравнения окружности (.3) ясно, что окружность является кривой второго порядка. 3. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 3.. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат и некоторая прямая l. Определение 3.. Будем называть углом наклона прямой l к оси Ox угол α, на который нужно повернуть эту ось до совпадения с прямой l. Тангенс этого угла будем называть угловым коэффициентом прямой k = tgα. Угловой коэффициент существует для любой прямой, не параллельной оси Oy. Пусть для прямой l известен угловой коэффициент k и точка ее пересечения с осью Oy B(, b ). Составим уравнение прямой. 8

19 y M B α O P S Рис. 3. x Пусть M ( x, y ) - точка прямой l. Опустим из точки M перпендикуляр ( MP ) на ось Ox, а из точки B - на прямую ( MP ) (см. рис. 3.). Треугольник BSM - прямоугольный, угол MBS = α, следовательно, SM BS tg α =. (3.) Подставляя длины катетов BS = x, SM = y b и tgα = k в (3.), получаем уравнение прямой или y b = k x y = kx + b. (3.) Уравнение (3.) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Пусть прямая l параллельна оси Oy. Тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде 9

20 x = a. (3.3) Таким образом, уравнение любой прямой на плоскости может быть записано либо в виде (3.), либо в виде (3.3). Оба эти уравнения являются уравнениями первого порядка. Следовательно, прямая это первого порядка. кривая Пример 3.. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки M (,5), M (, ). Пусть уравнение прямой имеет вид (3.). Нужно найти такие коэффициенты k и b, чтобы координаты точек M, M удовлетворяли этому уравнению: 5= k + b = k ( ) + b Решая эту систему, находим k =, b= 3, уравнение прямой имеет. вид y = x Общее уравнение прямой Выше мы получили, что любую прямую можно задать уравнением первого порядка. Покажем, что любое уравнение первого порядка относительно двух переменных есть уравнение некоторой прямой в плоскости. Рассмотрим общий вид уравнения первого порядка Ax+ By+ C=. (3.4) Здесь коэффициенты A и B не могут равняться нулю одновременно. Пусть B виде:, тогда уравнение (3.4) можно переписать в

21 A C y = x B B. Мы получили уравнение вида (3.), здесь угловой коэффициент A k = C B, свободный член b =. Т.е. при B уравнение (3.4) B можно переписать в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом. Пусть B = или. Уравнение (3.4) принимает вид Ax + C= C x =. A Мы получили уравнение вида (3.3), где a C A =. Таким образом, при B = уравнение (3.4) есть уравнение прямой, параллельной оси Oy. Видим, что любое уравнение первого порядка задает некоторую прямую плоскости. Уравнение (3.4) называется общим уравнением прямой Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту Пусть известен угловой коэффициент k и некоторая точка M ( x, y ) прямой l. Запишем уравнение этой прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом, в котором свободный член b пока не известен: y = kx + b. (3.)

22 Координаты точки M удовлетворяют этому уравнению: y = kx+ b. (3.5) Вычитая из уравнения (3.) тождество (3.5), получаем: y y = k( x x ). (3.6) Уравнение (3.6) есть уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту Уравнение прямой по двум точкам Пусть теперь известно две точки прямой l : M ( x, y ) и M( x, y ). Т.к. M ( x, y ) - точка прямой, то уравнение этой прямой можно записать в виде (3.6) с неизвестным угловым коэффициентом k. Координаты точки M( x, y ) должны удовлетворять этому уравнению: y y = k( x x ). (3.7) Разделив равенство (3.6) на (3.7), получаем уравнение прямой по двум точкам: x x y y = x x y y. (3.8) Пример 3.. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки M (, ), M (,). Подставляя координаты точек в формулу (3.8), получаем x y+ = +.

23 Упрощая это выражение, находим уравнение прямой y = x Взаимное расположение двух прямых А) Пусть две прямые заданы общими уравнениями: l : A x+ B y+ C = (3.9а) l : A x+ B y+ C = (3.9б) Рассмотрим вопрос о том, как прямые l и l взаимно расположены. Если две прямые пересекаются, то существует единственная точка, принадлежащая обеим прямым одновременно, т.е. система уравнений (3.9) должна иметь единственное решение. При условии l, l. Δ= AB (3.) AB система (3.9) имеет единственное решение: x = y = B C A B B C A B A C A B AC A B. (3.) Точка M ( xy, ) с координатами (3.) есть точка пересечения прямых Пусть условие (3.) не выполнено: Δ= AB =. AB Если коэффициенты уравнений (3.9а), (3.9б) пропорциональны: 3

24 A B C = =, A B C то система (3.9) имеет бесконечное множество решений и прямые l и l совпадают. Если Δ=, но A B C =, то система (3.9) не имеет A B C решений и прямые l и l параллельны. Пример 3.3. Определим взаимное расположение прямых l : x+ y+ 3= l : x+ 4y+ = Вычисляем Δ= 4 ( ) = 6, следовательно, прямые пересекаются. Пример 3.4. Определим взаимное расположение прямых l : x y+ 4= l : 6x+ 3y+ = Вычисляем Δ= 3 ( )( 6) =. Коэффициенты уравнений не пропорциональны: 4 = 6 3 Следовательно, прямые параллельны.. 4

25 Б) Пусть пересекающиеся прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: l: y= kx+ b l : y= k x+ b. (3.) Найдем угол между этими прямыми. Пусть прямая l имеет угол наклона к оси Ox ϕ, прямая l - угол наклона ϕ. Тогда угол между этими прямыми равен ϕ= ϕ ϕ и y tgϕ tgϕ tgϕ= tg( ϕ ϕ) =. + tgϕ tgϕ l l ϕ ϕ ϕ Рис. 3. x tgϕ = k, tgϕ = k, получаем Вспомним, что k k tgϕ =. (3.3) + kk Пусть прямые параллельны, тогда тангенс угла между ними равен нулю, т.е. условие параллельности имеет вид: 5

26 k = k. (3.4) Пусть прямые перпендикулярны, тогда тангенс угла между ними не существует, следовательно или k + kk = =. (3.5) k получаем Пример 3.5. Найдем угол ϕ между прямыми l : y= x+ l : y= 3x+ 5. Угловые коэффициенты k =, k = 3. По формуле (3.3) Следовательно, ϕ= π /4. 3 tgϕ = = + ( 3) Пример 3.6. Найдем уравнение прямой, проходящей через точку M (,6) и перпендикулярной к прямой x 3y + =. Запишем уравнение прямой в виде уравнения с угловым коэффициентом: Угловой коэффициент y= x k =. По формуле (3.5) угловой 3 коэффициент перпендикулярной прямой k = 3. По формуле (3.6) 6

27 записываем уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку M : или y 6= 3( x ) y + 3x =. Пример 3.7. Заданы вершины треугольника ABC : A( 7,7), B(, ), C(, 9). Найдем уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника. По формуле (3.8) находим: ( AB ): ( BC ): x+ y+ = ( AC ): x+ y+ = 4x+ 3y+ 7= 6 8 x+ 7 y 7 = x+ 7 y 7 = x+ 5y 9 = 5 x+ y+ = x+ y+ = 4x 3y+ = 8 Найдем уравнение медианы ( BM ) треугольника. Точка M - середина стороны [ AC ], следовательно, ее координаты M = (, ) = (, ). По формуле (3.8) находим уравнение прямой. 7

28 ( BM ): x+ y+ = 9 / + + x+ y+ = x+ 7 y+ 7 = 7 Найдем уравнение высоты ( AL ) треугольника. Из уравнения прямой ( BC ) находим ее угловой коэффициент 4 k BC =. Отсюда 3 3 k AL =. По формуле (3.6) записываем уравнение искомой высоты по 4 точке и угловому коэффициенту. ( AL ): 3 y 7 = ( x+ 7) 3x+ 4y 7=. 4 Найдем уравнение биссектрисы ( CN ). Длины сторон треугольника: AC = 39, BC = 35. Биссектриса делит сторону [ AB ] в отношении, равном отношению двух других сторон. Следовательно AN 39 BN =. 35 По формулам (.5) находим координаты точки N : x N ( ) 35 4 = = Уравнение биссектрисы:, y N ( ) 35 3 = =

29 ( CN ): x+ y+ 9 = Упрощая это уравнение, получаем ( CN ): 7x 4y + 38= Расстояние от точки до прямой Пусть задана некоторая прямая плоскости l: Ax+ By+ C= и точка M ( x, y ). Расстояние от заданной точки до прямой l вычисляется по формуле d = Ax + By + C A + B. (3.6) (Доказательство можно найти в любом из учебников [4-7]). Пример 3.8. Вычислим расстояние от точки M (,3) до прямой x + y + =. По формуле (3.6) d = = + 5. Пример 3.9. Заданы две противоположные вершины квадрата А(,) и С(5,4). Требуется найти остальные вершины и уравнения сторон квадрата. По точкам A и С найдем уравнение диагонали квадрата: ( AС ): x y x 3 = y =

30 Находим координаты середины отрезка [ AС ]: x= = 8, y = = 3. Точка M (8,3) - середина диагонали квадрата. Проведем через точку M прямую, перпендикулярную ( AС ). Угловой коэффициент этой прямой k = (/ 7) = 7, т.о. диагональ ( ) BD квадрата имеет уравнение y 3= 7( x 8) y = 7x+ 59. Расстояние MB = MD = AM = 5 = 5. Относительно координат неизвестных вершин квадрата получаем уравнение ( x 8) ( 7x 59 3) 5 x 6x = + =. Его корни x = 7, x = 9, т.о., B(7,), D(9, 4). Найдем уравнения сторон квадрата: x y 4 AB : = y = x +, ( ) x 7 y 3 6 BC : = y = x +, ( ) x 5 y 4 4 CD : = y = x 6, ( ) x y 3 AD : = y = x ( ) Пример 3.. Заданы две смежные вершины квадрата А(-,7) и В(7,). Требуется найти координаты остальных вершин. Найдем длину стороны квадрата: Уравнение прямой ( AB ) : ( 7) + (7 ) =. 3

31 ( AB ). или x+ y 7 = y = x Через точки A и B построим прямые, перпендикулярные прямой или 4 AD : y 7 = ( x + ) 3 ( ) 4 BC : y = ( x 7). 3 ( ) 4 5 AD : y = x ( ) 4 5 BC : y = x. 3 3 ( ) Координаты точки С( x, y ) должны удовлетворять системе ( x 7) + ( y ) = 4 5 y = x 3 3 Решая эту систему, получаем две точки: С (3, 9), С (, 7). Координаты точки D( x, y ) должны удовлетворять системе. 3

32 ( x+ ) + ( y 7) = 4 5 y = x+ 3 3 Решая эту систему, получаем две точки: D (5,5), D ( 7, ).. ABC D. Т.о., условию задачи удовлетворяют два квадрата: ABCD и 4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Общее уравнение второго порядка относительно двух переменных x и y имеет вид Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F =, (4.) в соответствии с этим, любая линия на плоскости, координаты точек которой удовлетворяют уравнению (4.), называется кривой второго порядка. 4.. Эллипс Определение 4.. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами. Для того, чтобы построить уравнение эллипса, зададим на плоскости систему координат. Пусть F и F фокусы эллипса, обозначим расстояние между ними через c, а указанную в определении сумму расстояний от точки эллипса до фокусов через a (при этом a > c). 3

33 Примем за ось абсцисс прямую, проходящую через точки F и F, выбрав за положительное направление от F к F. За ось ординат примем прямую, перпендикулярную оси абсцисс и пересекающую ее в середине отрезка [ F, F ]. c y M F O F c x Рис. 4. В выбранной системе координат фокусы F и F будут иметь координаты ( c, ) и (c,), соответственно. Пусть M( x, y) - произвольная точка эллипса. По определению эллипса MF + MF = a (4.) Запишем это равенство в координатах: ( x c) + y + ( x+ c) + y = a (4.3) Освобождаясь от радикалов, можно привести это равенство к виду x a + a y c = (4.4) Т.к. по условию c < a, то a c есть положительная величина, обозначим ее через b. Тогда уравнение эллипса будет иметь вид x a y + = (4.5) b 33

34 Известно [4-7], что любая кривая, задающаяся уравнением (4.5), есть эллипс в смысле определения 4.. Уравнение (4.5) называется каноническим уравнением эллипса. Пользуясь этим уравнением, изучим форму эллипса.. Элементы симметрии эллипса. Т.к. уравнение (4.5) содержит только квадраты текущих координат, то, если точка с координатами ( x, y ) принадлежит эллипсу, то и точки с координатами ( x, y ), ( x, y), ( x, y ) принадлежат эллипсу. Следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат и обеих координатных осей. Ось симметрии эллипса, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью. Точка пересечения осей симметрии - центр симметрии - называется центром эллипса.. Точки пересечения эллипса с осями симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами эллипса. Эллипс, заданный каноническим уравнением, имеет вершины в точках его пересечения с осями координат. Полагая y =, находим Полагая x =, x a y b = x = ± a. = y = ± b. Т.о., вершинами эллипса будут точки A ( a, ), A ( a, ), B (, b), B (, b). Отрезки [ A, A ] и [ B, B ], соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины a и b, называются большой и 34

35 малой осями эллипса, соответственно. Величины a и b называются большой и малой полуосями. 3. Форма эллипса. Ввиду симметричности эллипса достаточно исследовать уравнение (4.5) при x, y. Из уравнения (4.5) следует, что x a, т.е. x изменяется от до a. С увеличением x ордината y уменьшается от b до. y b Рис. 4. a O a x b 4. Эксцентриситет и директрисы эллипса. Величина ε = c a называется эксцентриситетом эллипса. Т.к. эксцентриситет равен отношению фокусного расстояния с к длине большой оси a, то ε <. При ε = эллипс превращается в окружность, а при ε эллипс стремится выродиться в отрезок. Прямые x a = ε и x a = ε называются директрисами эллипса. Можно показать, что отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная ε. 35

36 Пример 4.. Пусть требуется составить каноническое уравнение эллипса, имеющего большую полуось, равную, а эксцентриситет равен.8. c По условию a =, а ε = = a 8.. Следовательно, c = 8. b = a c = 64 = 36. Получаем каноническое уравнение эллипса 4.. Гипербола x y + =. 36 Определение 4.. Гиперболой называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами. Обозначим указанную в определении постоянную через a, а расстояние между фокусами через с, и выберем систему координат так же, как и при построении эллипса. Пусть M( x, y) - произвольная точка гиперболы. Тогда определение гиперболы можно записать следующим образом: или, в координатах FM FM = a (4.6) ( x+ c) + y ( x c) + y = a (4.7) Преобразуя (4.7), можно получить x a + a y c = (4.8) 36

37 Т.к. c> a, то величина c a положительна, обозначая ее через b, получаем каноническое уравнение гиперболы x a y = (4.9) b Исследуем форму гиперболы.. Симметрия гиперболы. Т.к. уравнение (4.9) содержит только квадраты координат, то вместе с точкой с координатами ( x, y ) гиперболе принадлежат и точки ( x, y ), ( x, y), ( x, ) y. Т.о., начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат - осями симметрии.. Точки пересечения с осями симметрии. Полагая в уравнении (4.9) y =, находим x =± a. Т.о., точки A ( a, ), A ( a, ) являются вершинами гиперболы. С осью Oy гипербола точек пересечения не имеет. Ось симметрии, с которой гипербола пересекается, называется ее действительной осью, ось симметрии, не пересекающая гиперболу, называется ее мнимой осью. 3. Форма гиперболы. В силу симметрии гиперболы достаточно рассматривать x >, y >. Из уравнения (4.9) видно, что x a, т.о., x изменяется от a до +. Когда x увеличивается от a до +, y увеличивается от до Асимптоты гиперболы. Разрешая уравнение (4.9) относительно y, получим y =± b a x a (4.) 37

38 Видно, что при возрастании x, гипербола сколь угодно близко приближается к прямым y > : y =± b a x. Рассмотрим, например, случай x ±. Т.о., прямые y b lim( ) x a x a b a x = lim( x a x) = a x b a = lim =. a x x a + x b =± b a x являются асимптотами гиперболы при 5. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. Величина ε = c a называется эксцентриситетом гиперболы. Эксцентриситет ε >, т.к. c> a. Прямые x a =± ε называются директрисами гиперболы. Пример 4.. Пусть требуется составить уравнение гиперболы, если действительная полуось равна 7, а эксцентриситет равен.4. c По условию a = 7, а ε = = a 4.. Следовательно, c = 98.. b = c a = = 47. Получаем каноническое уравнение гиперболы x y =

39 4.3. Парабола Определение 4.3. Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой. Чтобы составить уравнение параболы, введем систему координат следующим образом: примем за ось Ox прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу. За ось Oy примем прямую, перпендикулярную оси Ox и проходящую через середину отрезка, соединяющего фокус и точку пересечения оси Ox с директрисой, длину которого обозначим через p. В p данной системе координат фокус будет иметь координаты (, ), уравнение директрисы: x p =. Пусть M ( x, y) - произвольная точка параболы, в выбранной системе координат определение параболы будет иметь следующий вид: p p ( x ) + y = ( x + ). (4.) Данное уравнение можно преобразовать к виду y = px. (4.) параболы. Полученное уравнение называется каноническим уравнением Исследуем форму параболы. 39

40 . Из уравнения (4.) видно, что x не может принимать отрицательные значения, следовательно, все точки параболы лежат справа от оси Oy.. Симметрия параболы. Если точка с координатами ( x, y ) принадлежит параболе, то и точка ( x, y) будет принадлежать параболе. Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы. Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется ее вершиной. 3. С увеличением x абсолютная величина ординаты y неограниченно возрастает. Пример 4.3. Пусть требуется составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox, проходящей через точку (3,-) и имеющей вершину в начале координат. Уравнение параболы с вершиной в начале координат и симметричной относительно оси Ox (3,-): y = px Для того, чтобы найти параметр p подставим в это уравнение точку ( ) = p 3 Отсюда находим p = / 3. Искомое уравнение параболы имеет вид 4 y = x. 3 4

41 5. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 5.. Преобразование системы координат А) Перенос начала координат. Пусть даны две системы координат с разными началами O и O и одинаковым направлением осей. Обозначим через xy, координаты произвольной точки в системе координат с центром в точке O, которую будем называть старой системой координат, а x, y - координаты той же точки в системе с центром O, которую будем называть новой системой координат. Пусть в старой системе координат точка O имеет координаты ( x, y ). Тогда x = x x y = y y (5.) В) Поворот осей координат. Пусть даны две системы координат с одинаковым началом O и разными направлениями осей. Обозначим через xy, координаты произвольной точки в старой системе координат, x, y - в новой системе координат. Пусть угол между осями Ox и Ox равен α. 4

42 y M x y N P Рис. 5. O α P S x Из рисунка видно: x = OP = OS PS OS = OP cosα = x cosα, PS = NP = y sinα. Т.о., x= x cos α y sin α. (5.a) Аналогично, y = PM = PN + NM, PN = SP = x sinα, NM = y cosα. Отсюда, y = x sinα + y cosα (5.b). С) Общий случай Пусть даны две системы координат с разными началами и разными направлениями осей, ( x, y ) - координаты начала O новой системы координат в старой системе координат, α - угол поворота координатных 4

43 осей. Пусть Oxy - вспомогательная система координат с началом в точке O, направление осей которой совпадает с направлением осей старой системы координат, тогда Пусть x y x= x + x y = y + y (5.3), - координаты в новой системе координат, тогда x = x cosα y y = x sinα + y Объединяя (5.3) и (5.4), получаем sinα cosα x = x cosα y sinα + x y = x sinα + y cosα + y (5.4) (5.5) 5.. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду Пусть кривая второго порядка на плоскости задается, в некоторой системе координат, уравнением общего вида Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = (5.6) Поставим задачу: найти такую систему координат, в которой уравнение рассматриваемой кривой будет иметь наиболее простой вид. Как мы видели при выводе канонических уравнений эллипса и гиперболы, в канонической системе координат координатные оси являются осями симметрии кривой, а начало координат - центром симметрии. Таким образом, задача сводится к нахождению элементов симметрии кривой. 43

44 Пусть в уравнении (5.6) B. Найдем такой угол α, что после поворота системы координат на этот угол, уравнение кривой в новой системе координат не будет содержать произведения xy. Повернем координатные оси на некоторый угол α, который пока неизвестен. Пусть x, y - новые координаты, тогда, по формулам (5.) x = xcosα ysin α. y = xsinα + ycosα Подставляя эти выражения в (5.6), получим Ax ( cosα ysin α) + Bx ( cosα ysin α)( xsin α+ ycos α) + + Cx ( sin α+ ycos α) + Dx ( cosα ysin α) + Ex ( sin α+ ycos α) + F= После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, уравнение кривой в новой системе координат: = A x + B x y + C y + D x + E y + F, где B = ( C A) sinαcos α + B(cos α sin α ). Выберем угол α так, чтобы B = : ctgα = A C B (5.7) В результате, преобразованное уравнение кривой примет вид Ax + Cy + Dx + E y + F = (5.8) Рассмотрим два случая.. Пусть AC. Найдем точку, перенос в которую начала координат уничтожает в уравнении кривой линейные слагаемые. Для этого перепишем (5.8) в виде 44

45 точке x Пусть x D E D E A ( x + ) + C( y + ) + ( F ) = A C A C, y - координаты в новой системе координат с центром в D A y E =, =, тогда уравнение кривой в этой системе C координат будет иметь вид где F F D E =. A C Ax + Cy + F =, (5.9). Если в уравнении (5.8) коэффициент при одном из квадратов (пусть C ) равен нулю, то, для того, чтобы получить каноническое уравнение, нужно перенести начало системы координат в точку ( D, ), при этом одно из линейных слагаемых в уравнении сохранится A и мы получим кривую, называемую кривой параболического типа. Пример 5.. Пусть требуется найти каноническую систему координат и определить тип линии 5x 6xy+ 5y x y+ = Найдем угол, на который нужно повернуть систему координат: 5 5 ctg α = = α = π. 4 Сделаем замену π π π π x = xcos ysin, y = xsin + ycos Подставляя в уравнение кривой 45

46 x = ( x y), y = ( x + y), получим: x + 4y 5 x + =. Преобразуем полученное уравнение: 5 3 ( x ) + 4y = Положив x = x 5, y = y, получаем каноническое уравнение эллипса: x 3 + 4y =. Новая система координат повернута относительно старой на угол π 4 и имеет начало в точке ( 5/,) Классификация кривых второго порядка Выше было показано, что с помощью поворота системы координат уравнение любой кривой второго порядка всегда можно привести к виду (5.8). Предполагая, что это уже сделано, будем рассматривать кривую, заданную уравнением Ax + Cy + Dx + Ey + F =. (5.). При A C > кривая (5.) называется кривой эллиптического типа. Так как оба коэффициента при квадратах переменных не равны нулю (будем считать, что они положительны), то, с 46

47 помощью переноса системы координат, уравнение кривой может быть приведено к виду определять: A x + Cy = F. (5.) Из (5.) видно, что уравнение эллиптического типа может А) при F > - эллипс; Б) при F = - точка; В) при F < - уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости.. При A C < кривая (5.) называется кривой гиперболического типа. Будем считать, что A>. Приводя уравнение к виду (5.), видим, что уравнение гиперболического типа может задавать: А) при F - гиперболу; Б) при F = - две пересекающиеся прямые. 3. Пусть в уравнении (5.) коэффициент C =. В этом случае кривая называется кривой параболического типа. С помощью переноса системы координат приведем уравнение к виду задавать: Ax E y =. (5.) Из (5.) видим, что уравнение параболического типа может А) при E - параболу; Б) при E = - две параллельные прямые. 47

48 ЧАСТЬ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ.. Декартова система координат в пространстве Определение.. Говорят, что в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат, если: ) Заданы три взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, (точка их пересечения называется началом координат O ); ) На каждой из прямых выбрано положительное направление; 3) Выбрана единица масштаба e. Указанные в определении прямые называются координатными осями. Одна из них называется осью абсцисс (ось Ox ), вторая осью ординат (ось Oy ), третья - осью аппликат (ось Oz ). Пусть M - точка пространства. Опустим из этой точки перпендикуляры на оси Ox,Oy и Oz. Точки M x, M y и пересечения перпендикуляров с координатными осями будем называть проекциями точки M на соответствующие оси. Декартовыми прямоугольными координатами точки M будем называть координаты ее проекций на координатные оси x, y, z. Пусть в пространстве задано две точки Ax (, y,z ) и Bx (, y,z ). Расстояние между этими точками вычисляется по формуле [4-7] M z 48

49 AB = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) (.) (Формулу (.) легко получить, применяя теорему Пифагора). Пример.. Найдем расстояние между точками A (,,3) и B (4,5,3) : AB = (4 ) + (5 ) + (3 3) = 5. Пусть для заданных точек Ax (, y,z ) и Bx (, y,z ), требуется найти точку C, лежащую на отрезке [ A, B ], такую, что AC CB λ =, где λ - заданное вещественное число. Обозначим неизвестные координаты точки C как ( x, y, z ). Опустим из точек A, B, C перпендикуляры на ось Ox и обозначим проекции этих точек P, P, P соответственно. Прямые ( AP ), ( BP ) и ( ) следовательно, AC CB PP =. PP CP параллельны и, Отрезок [ P, P ] принадлежит координатной прямой и координату x точки P, делящей его в отношении λ можно найти по формуле (.3) из части. x+ λx x =. + λ Найденная величина является искомой абсциссой точки C. Аналогично можно найти вторую и третью координаты этой точки. Т.о., координаты точки C находим по формулам 49

50 x+ λx x =, + λ y+ λy y =, + λ z+ λz z =. (.) + λ Пример.. Пусть A (,,3), B(3, 4,7). Найдем середину отрезка [ A, B ]. Подставляя в формулу (.) λ = и координаты точек A и B, получаем координату середины отрезка: + 3 x = = +, + ( 4) y = = +, 7+ 3 y = = Цилиндрическая система координат Пусть в трехмерном пространстве выбрана плоскость α и перпендикулярная к этой плоскости ось Oz. Выберем в плоскости α луч Ox с началом в точке O пересечения оси Oz с плоскостью. Цилиндрическими координатами произвольной точки P пространства называются числа ρϕ, и z, первые два из которых являются полярными координатами проекции точки M в плоскость α, число z - координата проекции M на ось Oz. Рис... 5

51 Выберем в пространстве декартову прямоугольную систему координат Oxyz, связанную с рассматриваемой цилиндрической системой координат: оси Oz в обеих системах совпадают, полярный луч Ox в плоскости α лежит на оси Ox, ось Oy проходит через точку O перпендикулярно к оси Ox. Тогда декартовы координаты точки связаны с ее цилиндрическими координатами соотношениями: P x = ρcosϕ y = ρsinϕ z = z (.3).3. Сферическая система координат в пространстве Пусть в трехмерном пространстве заданы три взаимно перпендикулярные оси Ox, Oy и Oz с общим началом в точке O. Пусть P - произвольная точка пространства и N - ее проекция в плоскость Oxy. Рис... 5

52 Сферическим радиусом точки P назовем расстояние от этой точки до точки O : ρ = OP. ϕ - угол, на который нужно повернуть ось Ox до совпадения с прямой ON. θ - угол между прямой OP и осью Oz. Числа ρ, ϕ и θ называются сферическими координатами точки P. Для того, чтобы соответствие между точками пространства и тройками сферических координат (ρ, ϕ,θ ) было взаимно однозначным, обычно считают, что сферические координаты изменяются в следующих границах: ρ, ϕ [, π), θ [, π]. Декартовы координаты точки координатами соотношениями: P связаны с ее сферическими x = ρcosϕsinθ y = ρsinϕsinθ z = ρcosθ.. ВЕКТОРА.. Понятие вектора Не смотря на то, что читатель хорошо знаком с понятием вектора из школьного курса математики, напомним основные понятия, связанные с данным геометрическим объектом. Определение.. Геометрическим вектором будем называть направленный отрезок. 5

53 или Вектор будем обозначать или латинской буквой со стрелочкой: a, AB, здесь A - начало, B - конец вектора. a и AB будем обозначать длину вектора. Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет направления и имеет длину, равную нулю. Вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и направление. Определение.. Пусть начало вектора b совпадает с концом вектора a. Суммой векторов a+ b называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец с концом вектора b. Такое правило сложения называется «правило треугольника». Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:. a+ b= b+ a;. ( a+ b) + c= a+ ( b+ c) ; 3. если - нулевой вектор, то для любого вектора a : a+ = a; 4. для любого вектора a существует противоположный вектор a a+ a = такой, что. Определение.3. Произведением вектора a на вещественное число α называется вектор αa, коллинеарный вектору a, имеющий длину 53

54 α a и направление, совпадающее с направлением a, если α >, противоположное вектору a, если α <. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:. α( a+ b) = αb+ αa. ( α+ β)a= αa+ βa 3. αβ ( a) = ( αβ) a. 4. a = a ; ;.. Понятие базиса Определение.4. Базисом трехмерного пространства будем называть любые три попарно ортогональные вектора единичной длины i, j, k Утверждение.. Любой вектор a трехмерного пространства можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов: базисе. a= xi+ yj+ zk Числа x, y, z будем называть координатами вектора a в данном Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат, базисные вектора i, j, k. приложены к началу координат точке O и совпадают по направлению с координатными осями.. 54

55 Координаты вектора OM в базисе i, j, k - это координаты конца вектора M в заданной системе координат. ax (, y, z ) Пусть в трехмерном пространстве задано два вектора: bx (, y, z ) и в пункте., легко видеть, что. Используя свойства операций над векторами, введенными a+ b= ( xi+ yj+ zk ) + ( xi + y j+ zk) = = ( x + x ) i+ ( y + y ) j+ ( z + z ) k. Таким образом, при сложении двух векторов их координаты складываются. это число. Умножим вектор axy (,, z) на число α : αa= α( xi+ yj+ zk) = ( αx) i+ ( αy) j+ ( αzk ) При умножении вектора на число все его координаты умножаются на Пусть заданы координаты начала A( x, y, z ) и конца Bx (, y, z ) вектора AB. По определению координаты векторов OA( x, y, z) и OB( x, y, z). Используя приведенные свойства операций над векторами, можно записать AB= OA+ ( ) OB. AB( x x, y y, z z ) Получаем координаты вектора.. 55

56 .3. Скалярное произведение векторов Определение.5. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: ( ab, ) = abcos ab,. (.) (В случае, если вектора a и b коллинеарные и имеют одно направление, считаем ab=,, коллинеарные и имеют противоположное направление - ab, = π ) Сразу из определения вытекают свойства скалярного произведения:. ( ab, ) = ( ba, );. ( αab, ) = α( ab, ); 3. ( aa, ) (( aa, ) = только если a - нулевой вектор); 4. ( a+ b, c) = ( a, c) + ( b, c). (Свойство 4 не следует непосредственно из определения, его доказательство можно найти в учебниках [4-7]). Также из определения скалярного произведения следует Утверждение.. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда вектора ортогональны. (Считаем, что нулевой вектор ортогонален любому вектору). Пусть вектора i, j, k - базис трехмерного пространства, тогда 56

57 (,) ii = ( j, j) = ( kk, ) = ; (.) ( i, j) = ( i, k) = ( j, i) = ( j, k) = ( k, i) = ( k, j) =. (.3) Пусть два вектора заданы своими координатами в базисе i, j, k ax (, y, z ) bx (, y, z ) векторов. получаем,. Найдем скалярное произведение этих ( ab, ) = ( xi+ y j+ zkxi, + y j+ z k) Используя свойства скалярного произведения и формулы (.), (.3), ( ab, ) = xx + yy + zz. (.4) С помощью формулы (.4) можно найти длину вектора, заданного в координатах. Пусть axy (,, z), длина a = ( a, a) = x + y + z векторами. (.5) Из определения скалярного произведения косинус угла между ( ab, ) cos ab, =. ab Используя формулы (.4), (.5), получаем. : cos, xx + yy + zz ab= x + y + z x + y + z. (.6) 57

58 Пример.. Рассмотрим вектора a (,,), b(,, ) произведение ( ab, ) = + ( ) + = a = + + = 6 b = + ( ) + = формуле (.6) находим косинус угла между векторами:, cos ab=, 3.. Скалярное. Длины векторов. По.4. Определители второго и третьего порядка Пусть задана таблица из четырех вещественных чисел a a A = a a обозначается a a Пример... Определитель этой таблицы это число, которое a a или det A и вычисляется по правилу det A = aa aa. (.7) = =. Пусть задана квадратная таблица из девяти вещественных чисел a a a A a a a a a a 3 = В этом случае определитель вычисляется по правилу 58

59 a a a a a a det A= a a + a или a3 a33 a3 a33 a3 a3 det A= a a a33 a a3 a3 a a a a a a + a a a a a a. (.8) Пример.3. Вычислим определитель 3 5 = = = (( )( ) 3) 3(( ) ) + 5( 3 ( )) = Векторное и смешанное произведения векторов Определение.6. Тройка векторов abc,, называется правой, если, глядя из конца вектора c, мы видим поворот от a к b против часовой стрелки. Определение.7. Если вектора a и b неколлинеарные, то векторным произведением этих векторов c= [ a, b], что: c = a bsin ab ), ) вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b, 3) тройка векторов abc,, - правая. называется такой вектор 59

60 Для коллинеарных векторов a и b полагаем по определению [ ab, ] =. Утверждение.3. Длина векторного произведения [ ab, ] равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b [4-7]. Свойства векторного произведения: ) [ ab, ] = [ ba, ]; ) [ aa=, ] ; 3) [ αab, ] = α[ ab, ]; 4) [ a+ b, c] = [ a, c] + [ b, c]. Пусть вектора i, j, k i, j, k - правая, тогда [,] ii = [ j, j] = [ kk, ] = ; (.9) [, i j] = k,[, i k] = j,[ j,] i = k,. (.) [ j, k] = i,[ k, i] = j,[ k, j] = i Пусть два вектора заданы своими координатами в базисе i, j, k ax (, y, z ) bx (, y, z ) векторов., - базис трехмерного пространства и тройка. Найдем векторное произведение этих [ ab, ] = [ xi+ y j+ zkxi, + y j+ z k] Используя свойства векторного произведения и формулы (.9), (.), получаем. : 6

61 [ ab, ] = ( y z y z ) i+ ( x z x z ) j + ( xz x z) k (.) Формулу (.) можно переписать, используя введенное ранее понятие определителя третьего порядка: i j k [ ab, ] = x y z x y z Легко проверить, что раскрывая этот определитель по формуле (.8), мы получим выражение (.). Пример.4. Заданы три вершины параллелограмма ABCD : A(,,3), B (,,), C(3,, ). Найдем площадь параллелограмма. Вычисляем координаты векторов: BA(,, ) формуле (.9) находим координаты векторного произведения [ BA, BC ] = (,,).., BC( 3,,4) Площадь параллелограмма равна длине полученного вектора: S = 3. ABCD Определение.8. Пусть даны три вектора abc,, abc,, = произведением этих векторов называется число ( ).. По. Смешанным ([ ab, ], c) Здесь векторное произведение векторов a и b скалярно умножается на вектор c.. 6

62 Утверждение.4. Абсолютная величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда, построенного на векторах abc,, [4-7]. Определение.9. Три вектора называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Утверждение.5. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда вектора компланарны [4-7]. Пусть три вектора заданы своими координатами в базисе i, j, k ax (, y, z ) bx (, y, z ) cx (, y, z ),, этих векторов будет равно величине определителя x y z abc = x y z x y z (,, ) Смешанное произведение (.) Формулу (.) легко проверить, используя выражения в координатах для скалярного и векторного произведений. : 3. ПЛОСКОСТЬ 3. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору Пусть α - плоскость в трехмерном пространстве. Будем называть вектор N нормальным вектором этой плоскости, если он ортогонален к любому вектору плоскости. Построим уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора N( A, B, C) и заданной точке M( x, y, z ). Пусть M ( x, y, z ) - произвольная точка плоскости. Вектор M M 6

63 ортогонален нормальному вектору N и, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: ( N, MM ) =. M M( x x, y y, z z ) Координаты вектора. Записывая скалярное произведение через координаты векторов по формуле (.4), получаем уравнение плоскости Ax ( x) + By ( y) + Cz ( z) =. (3.) 3.. Общее уравнение плоскости Рассмотрим общее уравнение первого порядка относительно трех переменных Ax+ By + Cz + D =. (3.) Так как хотя бы один из коэффициентов A, BC, не равен нулю, то всегда можно найти точку M( x, y, z ), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.): Ax+ By+ Cz+ D =. (3.3) Вычитая из уравнения (3.) равенство (3.3), получаем Ax ( x) + By ( y) + Cz ( z) =. Таким образом, любое уравнение вида (3.) есть уравнение плоскости с нормальным вектором N( A, B, C) называется общим уравнением плоскости. Рассмотрим частные случаи уравнения (3.).. Уравнение (3.) 63

64 . Пусть один из старших коэффициентов равен нулю. By + Cz + D = - плоскость, параллельная оси Ox ; Ax+ Cz+ D= - плоскость, параллельная оси Oy ; Ax+ By + D = - плоскость, параллельная оси Oz. 4. Пусть два старших коэффициента равны нулю. Cz + D = - плоскость, параллельная плоскости Oxy ; By + D = - плоскость, параллельная плоскости Oxz ; Ax+ D= - плоскость, параллельная плоскости Oyz. 3. Свободный член D равен нулю. координат. Ax+ By + Cz = - плоскость, проходящая через начало 3.3. Уравнение плоскости в отрезках Пусть известны длины отрезков, которые плоскость отсекает от координатных осей abc.,, Т.о., M ( a,,), M (,b,), M 3 (,,c) - точки плоскости. Запишем уравнение плоскости в общем виде (3.): Ax+ By + Cz + D =. Координаты точек M, M, M 3 должны удовлетворять этому уравнению: Aa + B + C + D = A + Bb + C + D = A + B + Cc + D = (3.4) 64

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г.

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г. МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова 2014 2015 г. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее