АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону 01

2 Рецензенты: кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики Ростовского военного института РВ кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики ЮФУ Задорожная Н. С. Кряквин В. Д. Аннотация Решебник по аналитической геометрии предназначен для самостоятельной работы студентов специальностей Физика и Радиофизика. Решебник содержит описание основных методов решения задач по аналитической геометрии, конкретные примеры с методическими советами, а также задания для самостоятельного решения.

3 Содержание 1 Прямая линия на плоскости Задачи для самостоятельного решения Кривые второго порядка (элементарная теория) 11.1 Задачи для самостоятельного решения Общая теория кривых второго порядка Задачи для самостоятельного решения Векторная алгебра Задачи для самостоятельного решения Прямая и плоскость в пространстве Задачи для самостоятельного решения Список литературы 36 3

4 1 Прямая линия на плоскости Заметим, что не существует алгоритмов решения геометрических задач. Однако, решение любой задачи можно свести к последовательности простейших задач. Поэтому, сначала мы приведем решения таких простейших задач. Напомним основные виды уравнения прямой: уравнение прямой с угловым коэффициентом k, y = kx + b (1.1) y y 0 = k(x x 0 ) (1.) уравнение прямой, проходящей через точку (x 0, y 0 ), с угловым коэффициентом k, уравнение прямой по двум точкам (x 1, y 1 ) и (x, y ), y y 1 y y 1 = x x 1 x x 1 (1.3) Ax + By + C = 0, A + B 0, (1.4) общее уравнение прямой, n = (A, B) вектор нормали прямой, общее уравнение прямой с известной точкой, уравнение прямой в отрезках на осях, нормальное уравнение прямой, A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 (1.5) x a + y b = 1, (1.6) x cos α + y sin α p = 0, (1.7) λ(a 1 x + B 1 y + C 1 ) + µ(a x + B y + C ) = 0, λ + µ 0, (1.8) уравнение пучка прямых, заданного двумя пересекающимися прямыми: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A x + B y + C = 0. Задача 1. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (1; ) параллельно прямой b: 3x + 5y 1 = 0. При решении задачи на составление уравнения прямой прежде всего надо выбрать тот вид уравнения, который наиболее удобен в данных условиях. Так как прямая b задана общим уравнением, то нам известен ее вектор нормали n = (3; 5). Так как прямая a параллельна прямой b, то n является и ее вектором нормали. Поэтому удобнее выбрать уравнение вида (1.5), получим a: 3(x 1) + 5(y ) = 0 или 3x + 5y 13 = 0. 4

5 a: 3x + 5y 13 = 0. Задача. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (5; 1) перпендикулярно прямой b: y = 6x 7. Из уравнения прямой b находим ее угловой коэффициент k b = 6. Так как a b, то k a = 1/k b. Поэтому удобнее выбрать уравнение вида (1.), получим a: x + 6y + 1 = 0. a: y + 1 = 1 (x 5) или x + 6y + 1 = 0. 6 Задача 3. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (7; ) перпендикулярно прямой b: 5x + 3y + 1 = 0. Задача 3 отличается от задачи только видом уравнения прямой b. В этом случае можно воспользоваться условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, A 1 A + B 1 B = 0, получим 5A + 3B = 0, или A B = 3 5. Пусть, например, A = 3, B = 5. Теперь удобно записать уравнение прямой a вида (1.5): a: 3(x 7) 5(y + ), или 3x 5y 31 = 0. a: 3x 5y 31 = 0. Замечание. Если у одной из двух перпендикулярных прямых вектор нормали n 1 = (A; B), то у второй вектором нормали может служить вектор n = (B; A). Задача 4. Найти точку M пересечения двух прямых a: 3x y+1 = 0 и b: x+y = 0. Координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнению прямой a и уравнению прямой b. Поэтому, следует решить систему уравнений: ( ) M : 3x y + 1 = 0, x + y = 0. = x = y, 6y y + 1 = 0. = x = /7, y = 1/7. Задача 5. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку пересечения прямых c: 11x 13y + 6 = 0, b: 7x + 8y 15 = 0 и через начало координат. Будем искать прямую a как прямую из пучка, заданного прямыми c и b. Уравнение прямой a запишем в виде (1.8) a: λ(11x 13y + 6) + µ(7x + 8y 15) = 0. Так как начало координат O(0; 0) принадлежит прямой a, то координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению прямой a, отсюда следует 6λ 15µ = 0, или λ µ = 5. Пусть λ = 5, µ =. Подставим эти значения в уравнение пучка a: 5(11x 13y + 6) (7x + 8y 15) = 0, 5

6 или a: 41x 81y = 0. a: 41x 81y = 0. Задача 6. Найти тангенс угла между прямыми a: x+y 1 = 0 и b: x+3y+5 = 0. Найдем угловые коэффициенты прямых. Для этого перепишем уравнения прямых в виде (1.1). a: y = 1 x + 1, k a = 1, b: y = 3 x 5 3, k b = 3. Воспользуемся формулой для нахождения тангенса угла между прямыми tg α = k k k 1 k : ( ) tg α = ( ) ( ) = = tg α = 1/8. Замечание. В этой задаче мы воспользовались формулой для нахождения ориентированного угла между прямыми. Если ориентация угла не важна, то верным будет также ответ tg α = 1/8. Задача 7. Найти расстояние от точки M 0 (5; 6) до прямой a: y = 5x 6. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки M 0 (x 0, y 0 ) до прямой a: Ax + By + C = 0 d(m 0 ; a) = Ax 0 + By 0 + C A + B. Запишем уравнение прямой a в общем виде a: 5x y 6 = 0. Тогда d(m 0 ; a) = = d(m 0 ; a) = Рассмотрим теперь решение более сложных типовых задач. Решение этих задач следует начинать с плана действий, в котором задача будет разбита на простейшие задачи это и есть самая важная часть решения. Задача 8. Даны координаты вершин треугольника A(1; ), B(3; ), C(4; 5). Составить уравнение высоты AD треугольника. 6

7 План решения: 1) Найдем уравнение прямой BC по двум точкам, ) Составим уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BC: BC : или 7x y 3 = 0. x = y + 5 +, A B D C или x + 7y 15 = 0. AD: x + 7y 15 = 0. AD : 1 (x 1) + 7 (y ) = 0, Задача 9. Даны две прямые a: x + y 1 = 0 и b: 3x y 3 = 0. Найти прямую c так, чтобы прямая b была биссектрисой угла между прямыми a и c. План решения: 1) Найдем точку M 0 пересечения прямых a и b, ) Найдем угловые коэффициенты прямых a и b, 3) Воспользуемся равенством углов α 1 и α : tg α 1 = tg α. Найдем k c. 4) Составим уравнение прямой c вида (1.) y y 0 = k c (x x 0 ). 1) M 0 : x + y 1 = 0, 3x y 3 = 0. = x = 1, y = 0. M 0 (1; 0). ) a: y = 1 x + 1, k a = 1, b: y = 3x 3, k b = 3. 3) tg α 1 = tg α = k b k c 1 + k b k a = k a k b 1 + k a k b = 3 k c 1 + 3k c = 1/ 3 1 3/ = 4) c: y 0 = (x 1) или x + 11y = c: x + 11y = 0. M 0 α 1 α a b c = k c = 11. Задача 10. Найти точку M, симметричную точке M(; 3) относительно прямой a: x + 3y 8 = 0. План решения: 1) Составим уравнение прямой MM, проходящей через точку M перпендикулярно прямой a, ) Найдем точку O пересечения прямых a и MM, 3) Так как MO = OM, то воспользуемся формулами деления отрезка MM точкой O пополам. 7 M O a M 1

8 1) MM : 3(x ) (y 3) = 0, или 3x y 1 = 0. x + 3y 8 = 0, ) O: = O(4; 0). 3x y 1 = 0. 3) x 0 = x 1 + x, y 0 = y 1 + y M (6; 3). = 4 = + x, O = 3 + y = x = 6, y = 3. Задача 11. Найти расстояние между прямыми a: 3x y+5 = 0 и b: 6x 4y 7 = 0. Заметим, что так как коэффициенты при x, y в уравнениях прямой пропорциональны 3 6 =, то прямые параллельны. 4 План решения: Будем искать расстояние между параллельными прямыми как расстояние от точки M 0 на прямой a до прямой b. 1) Выберем произвольную точку M 0 на прямой a. Для этого зададим произвольно x 0, например, x 0 = 1, подставим в уравнение a и найдем y 0 : y 0 = 1, M 0 ( 1; 1). ) Найдем d(m 0 ; b): a b M 0 d d(m 0, b) = 6 ( 1) = 17 5 = d(a, b) = Задача 1. Треугольник ABC задан координатами вершин A(1; ), B( 1; 4), C(3; 5). Найти площадь треугольника. План решения: 1) Найдем длину стороны AC. ) Найдем уравнение прямой AC. 3) Найдем длину высоты BD как расстояния от точки B до прямой AC. 4) Найдем площадь треугольника по формуле B S = 1 AC BD. A D C 1) AC = (3 1) + (5 ) = 13. ) AC: x = y, или 3x y + 1 = ( 1) ) BD = d(b; AC) = = ) S = = 5 (кв. ед.). S = 5. 8

9 Задача 13. Известны две вершины треугольника A(6; 5), B(10; 1) и точка H(8; 1) пересечения его высот. Найти координаты вершины C. План решения: Будем искать точку C как точку пересечения двух прямых AC и BC. Для этого 1) Найдем вектор AH вектор нормали прямой BC. ) Составим уравнение прямой BC вида (1.5). 3) Найдем вектор BH вектор нормали прямой AC. 4) Составим уравнение прямой AC вида (1.5). 5) Найдем точку C пересечения прямых BC и AC. C A H B 1) AH = (8 6; 1 5) = (; 4). ) BC: (x 10) 4(y 1) = 0, или x y 8 = 0. 3) BH = (8 10; 1 1) = ( ; 0). 4) AC: (x 6) + 0 (y 5) = 0, или x 6 = 0. { 5) C: x y 8 = 0, x 6 = 0. = C(6; 1). C(6; 1). Задача 14. Дано уравнение одной из сторон квадрата 3x 4y + 1 = 0 и точка S(1; 1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения остальных сторон. План решения: Пусть дано, например, уравнение стороны AB: 3x 4y + 1 = 0. 1) Найдем d(s; AB). ) Составим общее уравнение стороны CD, учитывая, что CD AB и d(s; CD) = d(s; AB). 3) Составим общие уравнения сторон BC и AD, учитывая, что они перпендикулярны прямой AB и d(s; BC) = d(s; AD) = d(s; AB). 1) d(s; AB) = ( 1) = 8 5. ) CD: 3x 4y+C = 0, d(s; CD) = ( 1) + C = = 8 = C+7 = = C 1 = 1, C = 15 = CD: 3x 4y 15 = 0 (при C 1 = 1 получим известную сторону AB). 3) BC: 4x+3y+C = 0, d(s; BC) = ( 1) + C = = 8 = C+1 = = C 1 = 7, C = 9 = пусть BC: 4x + 3y + 7 = 0, AD: 4x + 3y 9 = 0. Для следующих задач мы приведем планы решения разбивку на простейшие задачи, которые предлагаем решить самостоятельно. Задача 15. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x y + 1 = 0 и 3x + 5y 8 = 0 9 B A S C D

10 и точка пересечения его диагоналей M(1; ). Составить уравнения двух других сторон. План решения: Заметим, что даны непараллельные стороны, например, AB: x y + 1 = 0, BC: 3x + 5y 8 = 0. 1) Найдем точку B пересечения прямых AB и BC. B C ) Найдем точку D, учитывая, что точка M M середина отрезка BD. 3) Через точку D проведем прямую CD параллельно AB и прямую AD параллельно BC. A D CD: x y + 5 = 0, AD: 3x + 5y 18 = 0. Задача 16. Вершина треугольника находится в точке A( ; 9), а биссектрисами двух его углов служат прямые x 3y + 18 = 0, y + = 0. Составить уравнение стороны, противоположной вершине A. Заметим, что точка A не лежит на заданных прямых, т. к. ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих прямых. Пусть, например, CD: x 3y + 18 = 0, BE: y + = 0. План решения: 1) Т. к. биссектриса угла является его осью симметрии, то точка A, симметричная точке A относительно прямой CD лежит на прямой BC. Найдем точку A. ) Аналогично, найдем A, симметричную точке A относительно прямой BE. Она также лежит на прямой BC. 3) Составим уравнение прямой BC по двум точкам A и A. C A E D A A B BC: 4x y 5 = 0. Задача 17. Составить уравнения сторон квадрата ABCD, зная его центр S(1; 6) и по точке на двух непараллельных сторонах: M(4; 9) на стороне AB, N( 5; 4) на стороне BC. План решения: 1) Будем искать уравнение прямой AB в виде (1.): y y M = k(x x M ), ищем k. ) Так как BC AB, то уравнение BC ищем также в виде (1.): y y N = 1 k (x x N). Тем самым уже B N C обеспечено, что ABCD прямоугольник. 3) Так как S центр квадрата, то d(s; AB) = d(s; BC). Из этого условия найдем k. Так как в формуле для расстояния от точки до прямой содержится знак модуля, то получим два варианта решения. A 1 B 1 : 3x + 5y 57 = 0, B 1 C 1 : 5x 3y + 37 = 0, C 1 D 1 : 3x + 5y 9 = 0, 10 M A S D

11 D 1 A 1 : 5x 3y 11 = 0; A B : 9x y 7 = 0, B C : x + 9y 31 = 0, C D : 9x y + 1 = 0, D A : x + 9y 79 = Задачи для самостоятельного решения 1.1. Зная уравнения двух сторон параллелограмма x 3y = 0 и x + 5y + 6 = 0 и одну из его вершин (4; 1), составить уравнение двух других сторон. x 3y 7 = 0, x + 5y 3 = Даны две стороны треугольника x + 3y 1 = 0, 3x + 5y 6 = 0 и точка пересечения его высот (0; 0). Найти уравнение третьей стороны. 39x 9y 4 = Найти проекцию точки ( 5; 6) на прямую 7x 13y 105 = 0. (; 7) Дано уравнение стороны ромба x + 3y 8 = 0 и уравнение его диагонали x + y + 4 = 0. Составить уравнение остальных сторон, зная, что точка ( 9; 1) лежит на стороне, параллельной данной. x + 3y + 1 = 0, 3x y 4 = 0, 3x y + 16 = Найти расстояние между параллельными прямыми 1x 16y 480 и 3x 4y + 43 = Составить уравнение сторон квадрата ABCD, зная по точке на каждой из сторон: P (; 1) на AB; Q(0; 1) на BC, R(3; 5) на CD, S( 3; 1) на DA. Два решения: A 1 B 1 : 7x + y 15 = 0, B 1 C 1 : x 7y + 7 = 0, C 1 D 1 : 7x + y 6 = 0, D 1 A 1 : x 7y 4 = 0; A B : x 3y + 1 = 0, B C : 3x + y 1 = 0, C D : x 3y + 1 = 0, D A : 3x + y + 10 = 0. Кривые второго порядка (элементарная теория) Приведем основные факты, необходимые для решения задач каноническое уравнение эллипса; 11 x a + y = 1 (a > b) (.1) b

12 c = a b, F 1 ( c; 0), F (c; 0) фокусы эллипса; ε = a c эксцентриситет; x = ± a ε директрисы; A a + B b = C условие касания эллипса и прямой Ax + By + C = 0; xx 0 + yy 0 = 1 уравнение a b касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания. x F x = a/ε y O b c F 1 a x x = a/ε a y b = 1 (.) каноническое уравнение гиперболы; c = a + b, F 1 ( c; 0), F (c; 0) фокусы гиперболы; ε = c a эксцентриситет; x = ± a ε директрисы; y = ± b a x асимптоты; A a B b = C условие касания гиперболы и прямой Ax + By + C = 0; F x= a/ε y O b a c F 1 x=a/ε x xx 0 a yy 0 b = 1 уравнение касательной с известной точкой (x 0; y 0 ) касания. y = px (p > 0) каноническое ( уравнение параболы; p ) F ; 0 фокус; x = p директриса; pb = AC условие касания параболы и прямой Ax + By + C = 0; yy 0 = p(x+x 0 ) уравнение касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания. x= p/ y O x=p/ F x Задача 1. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы эллипса x 5 + y 16 = 1. a = 5, b = 4, c = 5 16 = 3, F 1 ( 3; 0), F (3; 0), эксцентриситет ε = c/a, или ε = 3/5 (заметим, что эксцентриситет эллипса ε < 1). Директрисы x = ±a/ε, или x = ±5/3. Задача. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы эллипса x 9 + y 5 = 1. 1

13 Заметим, прежде всего, что a = 3, b = 5 и b > a. Следовательно большая ось эллипса лежит на оси Oy (обратите внимание на чертеж). Поэтому фокусы расположены на оси Oy. c = 5 9 = 4, F 1 (0; 4), F (0; 4), ε = c/b, или ε = 4/5. Директрисы параллельны малой оси эллипа, т. е. в этом случае они параллельны оси Oy y = ±b/ε, или y = ±5/4. y O F F 1 y = b ε x y = b ε Задача 3. Составить каноническое уравнение эллипса, зная его фокус (; 0) и эксцентриситет ε = 1/. Фактически нужно найти полуоси a и b эллипса. Воспользуемся определениями фокусов и эксцентриситета: F (c, 0), или F (; 0) = c =, ε = c a, или ε = 1 Учтем, кроме того, связь a, b, c: = c a = 1 = a = 4. c = a b = b = 16 4 = 1. x 16 + y 1 = 1. Задача 4. Составить уравнения касательных к эллипсу x 6 +y = 1, параллельных 4 прямой l: 3x y + 5 = 0. Уравнения прямых, параллельных l, имеют вид 3x y + C = 0. Потребуем выполнение условия касания A a + B b = C = = C = C = ± 70. Две касательные: 3x y + 70 = 0 и 3x y 70 = 0. Задача 5. Составить уравнения касательных к эллипсу x + y = 8, проходящих через точку M(; ). Проверим, лежит ли точка M на эллипсе: + ( ) = 8 это верное равенство, значит точка M лежит на эллипсе, т. е. является точкой касания. В этом случае через точку M проходит единственная касательная и можно записать уравнение касательной с известной точкой касания: xx 0 a + yy 0 b = 1. Сначала уравнение эллипса перепишем в виде x 8 + y 4 = 1, тогда x y уравнение касательной. = 1 13

14 x y = 1. Задача 6. Составить уравнения касательных к эллипсу x 8 + y 4 через точку M(0; 6). Проверим, лежит ли точка M на эллипсе: , следовательно точка M не лежит на эллипсе. В этом слу- 4 чае есть две касательные, проходящие через точку M. Будем искать уравнение касательной в виде y y 0 = k(x x 0 ), или y 6 = kx эта прямая должна касаться эллипса. Потребуем выполнение условие касания A a + B b = C, или y O M = 1, проходящих x k = 36, k = 4, k = ±. x y + 6 = 0, x y + 6 = 0. Задача 7. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты гиперболы x 16 y 9 = 1. Из уравнения гиперболы находим a = 4, b = 3. F 1 ( c; 0), F (c; 0), c = = 5, следовательно, фокусы: F 1 ( 5; 0), F (5; 0). Эксцентриситет по определению ε = c/a, или ε = 5/4 (заметим, что для гиперболы ε > 1). Директрисы: x = ± a, или x = ±16 ε 5. Асимптоты: y = ± b a x, или y = ±3 4 x. Задача 8. Составить уравнение гиперболы с асимптотами y = ±x и директрисами x = ± 6. Из определения асимптот y = ± b a x и директрис x = ±a ε в данной задаче b a = 1, a ε = 6, или a = b, a = 6c. Так как c = a + b, то получим систему уравнений a = b, a = c = 6c, 6c, = a = 6c, c = a + b. a = b. следует, что Учитывая, что c 0, находим c = 6, a = b = 1. 14

15 Уравнение гиперболы x 1 + y 1 = 1. Задача 9. Составить уравнения касательных к гиперболе x 9 y = 1, перпендикулярных прямой x + y = 0. 4 Уравнения всех прямых, перпендикулярных прямой x + y = 0, имеют вид x y + C = 0. Потребуем выполнение условия касания A a B b = C, или = C, C = 3, C = ±4. x y + 4 = 0, x y 4 = 0. Задача 10. Найти фокус и директрису параболы ( y = 3x. p ) Из определения фокуса и директрисы F ; 0, x = p следует, что для данной параболы фокус F (8; 0) (обратите внимание, что p = 16), директриса x = 8. Задача 11. Найти фокус и директрису параболы x = 16y. Обратите внимания на чертеж. По определению фокус параболы в этом случае F (0; p/), директриса y = p/, или F (0; 4), (p = 8), y = 4. y F x Задача 1. Составить уравнения касательных к параболе y = 4x, проходящих через точку M( ; 4). Проверим, лежит ли точка M на параболе: 16 4 ( ), следовательно точка M не является точкой касания. Будем искать уравнение касательной в виде y 4 = k(x + ), или kx y + k + 4 = 0. Потребуем выполнения условия касания pb = AC, или 1 = k (k + 4), k + k 3 = 0, k 1 = 3; k = 1. 3x + y + = 0, x y + 6 = 0..1 Задачи для самостоятельного решения.1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = 3. x 5 + y 9 = 1... На эллипсе 9x + 5y = 5 найти точку, расстояние которой от правого фокуса (r 1 ) в четыре раза больше ее расстояния от левого фокуса (r ) Указание. Воспользоваться формулами для фокальных радиус-векторов r 1 = a + εx, r = a εx. ( 15 4 ; ± )

16 .3. Составить уравнения касательных к эллипсу x + 4y = 0, перпендикулярных биссектрисе первого координатного угла. x + y ± 5 = 0. x.4. Найдите фокусы, эксцентриситет, директрисы и асимптоты гиперболы 9 y 16 = 1. Указание. Обратите внимание на знак правой части уравнения гиперболы и сделайте чертеж. F 1 (0; 5), F (0; 5), ε = 5 4, y = ±16 5 ; y = ±4 3 x..5. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что вещественная полуось a = 5, а эксцентриситет ε = 1,. x 16 y 9 = Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной осью угол 60. ε =..7. Составить уравнения касательных к гиперболе x y = 1, параллельных 6 прямой 5x y + 1 = 0. 5x y ± 6 = Найти фокус и директрису параболы x 4y = 0. F (0; 1), y = На параболе y = 6x найти точку, расстояние которой от фокуса равно 4,5. (3; ±3 )..10. Составить уравнение касательной к параболе y = 8x, параллельной прямой x + y 5 = 0. x + y + = 0. 3 Общая теория кривых второго порядка В этом разделе приведены решения задач двух основных типов: 1) составить общее уравнение кривой по заданным геометрическим условиям. ) по общему уравнению кривой определить тип кривой и ее размеры (приведение общего уравнения кривой к каноническому виду). Заметим, прежде всего, что уравнение кривой -го порядка имеет канонический вид, если система декартовых прямоугольных координат выбрана специальным образом, например, для эллипса: начало координат совпадает с центром эллипса, а оси координат служат осями симметрии эллипса (такое расположение кривой назовем каноническим). В любой другой системе координат уравнение кривой имеет, так называемый, общий вид: ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0. 16

17 Задача 1. Найти уравнение эллипса с фокусами F 1 (1; 0), F (0; 1), если большая ось его равна a =. Как видно из чертежа, расположение эллипса не является каноническим. Воспользуемся определением эллипса: для любой точки y M(x, y) эллипса MF 1 + MF = a. Запишем это равенство в координатах: 1 (x 1) + y + x + (y 1) =. O 1 x Далее упростим это уравнение стандартным образом: (x 1) + y = x + (y 1), x x y = 4 4 x + (y 1) + x + y y + 1, x + (y 1) = + x y, 4x + 4y 8y + 4 = 4 + x + y + 4x 4y xy. 3x + xy + 3y 4x 4y = 0 общее уравнение эллипса. Задача. Составить уравнение гиперболы, один из фокусов которой F (1; 1), соответствующая ему директриса l: x + y 1 = 0 и эксцентриситет ε =. Как следует из условия, расположение гиперболы не является каноническим. Воспользуемся теоремой: для любой точки M(x, y) гиперболы MF = ε. Запишем это равенство в координатах: d(m, l) (x 1) + (y 1) x + y 1 = Далее упростим это уравнение: (x 1) + y = x + y 1, x x y y + 1 = x + y xy x y.. xy 1 = 0 общее уравнение гиперболы. Задача 3. Составить уравнение параболы с фокусом F (; 3) и директрисой l: x y + 1 = 0. Как следует из условия, расположение параболы не является каноническим. Воспользуемся определением параболы: для любой точки M(x, y) параболы Запишем это равенство в координатах: MF = d(m, l). (x ) + (y 3) = x y

18 Далее упростим уравнение: 5(x 4x y 6y + 9) = x + 4y + 1 4xy + x 4y. 4x + 4xy + y x 6y + 64 = 0 общее уравнение параболы. Рассмотрим теперь решения задач на определение типа кривой по ее общему уравнению. Одним из методов решения таких задач является метод перехода к новой системе координат, в которой кривая расположена канонически. Как известно, перейти к новой системе координат можно в два этапа: совершить поворот осей координат и затем выполнить параллельный перенос. Известно, что всегда можно найти такой угол α, при повороте на который осей координат в новом уравнении кривой исчезнет слагаемое с произведением переменных. Задача 4. Определить тип линии и ее размеры по общему уравнению 5x + 4xy + 8y 3x 56y + 80 = 0. (3.1) 1) Перейдем к новой системе координат, совершив поворот осей на угол α: x = x cos α y sin α, y = x sin α + y cos α. Подставим эти выражения x, y в уравнение кривой, раскроем скобки, выпишем коэффициент при произведении x y и потребуем, чтобы он обратился в ноль: 5 ( cos α sin α) + 4 (cos α sin α) + 8 sin α cos α = 0, получим уравнение для отыскания угла α поворота осей, решим его: 4 sin α 6 sin α cos α 4 cos α = 0, tg α 3 tg α = 0, tg α 1, = 3 ± 5, 4 tg α 1 =, tg α = 1. Выберем, например, tg α 1 =. Найдем cos α 1 = tg α 1 = 1 5, sin α 1 = tg α 1 =. 1 + tg α 1 5 Запишем формулы поворота осей: x = x y, y = x + y. Подставим эти выражения x, y в уравнение (3.1), раскроем скобки приведем подобные члены, при 5 5 этом коэффициент при произведении x y обращается в ноль: ( x ) ( + y 5 4 ( ) ) ) ( + x ( y ( 3 ) ) = 0,

19 или 9x + 4y x y + 80 = 0. (3.) ) Теперь будем искать параллельный перенос, который приведет уравнение кривой к каноническому виду. Для этого можно применить прием «дополнение до полных квадратов»: сгруппируем слагаемые, содержащие x, и слагаемые, содержащие y, в уравнении (3.) вынося при этом коэффициент при квадратах x, y за скобки ( 9 x 16 ) ( x + 4 y + ) y + 80 = Дополним слагаемые в каждой скобке до полных квадратов: ( 9 x 16 x + 64 ) 5 5 ( 9 x 8 ) ( y + y + 1 ) = 0, ( y ) = 36. (3.3) Рассмотрим параллельный перенос осей по формулам x = x 8 5, y = y В новой системе координат уравнение (3.3) примет вид 9x + 4y = 36, или x 4 + y 9 = 1. Итак, заданная кривая есть эллипс с полуосями a =, b = 3. Задача 5. Определить тип линии и ее размеры по общему уравнению x 4xy + 4y + 4x 3y 7 = 0. (3.4) 1) x = x cos α y sin α, y = x sin α + y cos α. Подставим эти выражения x, y в уравнение, найдем коэффициент при x y и приравняем его к нулю: cos α sin α 4(cos α sin α) + 4 sin α cos α = 0, sin α + 3 sin α cos α cos α = 0, tg α + 3 tg α = 0, tg α 1, = 3 ± 5 4 tg α 1 = 1, tg α =. 19 = 3 ± 5, 4

20 Выберем, например, tg α 1 = 1. Находим cos α 1 = 5, sin α 1 = 1 5. Запишем формулы найденного поворота осей координат x = x y, y = x + y. Подставим 5 5 эти выражения x, y в уравнение (3.4), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые ( x ) ( ( + y ) ) ) ( +x ( y (4 1 ) ) 3 7 = 0, или 5y + 5x 5y 7 = 0. (3.5) ) Будем искать параллельный перенос осей. Из уравнения (3.5) уже видно, что речь идет о кривой параболического типа. Сначала дополним до полного квадрата слагаемые с переменной y : или 5 ( y + 5 y ) x 7 = 0, ( 5 y + 1 ) = 5x Теперь вынесем за скобку справа коэффициент при x : ( 5 y + 1 ) = ( 5 x 8 ). (3.6) 5 5 Совершим параллельный перенос по формулам x = x 8 5, y = y В новой системе координат уравнение (3.6) привет вид 5y = 5x или y = 1 5 x. Итак, заданная кривая есть парабола с параметром p = Задачи для самостоятельного решения 3.1. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε = 1/, фокус F (3; 0) и соответствующая директриса x + y 1 = 0. 7x xy + 7y 46x + y + 71 = Составить уравнение эллипса с фокусами F 1 (1; 3), F (3; 1), если расстояние между директрисами равно 1. 11x + xy + 11y 48x 48y 4 = Составить уравнение гиперболы, зная расстояние между вершинами 4 и фокусы F 1 ( 10; ), F (16; ). 0

21 (x 3) 144 (y ) 5 = Составить уравнение гиперболы, зная один из фокусов ( ; ), соответствующую директрису x y 1 = 0 и точку M(1; ) на гиперболе. 91x 100xy + 16y 136x + 86y 47 = Составить уравнение параболы с фокусом F (; 1) и директрисой x y 1 = 0. x + xy + y 6x + y + 9 = Привести уравнение кривой к каноническому виду, используя преобразование координат: а) 3x + 10xy + 3y x 14y 13 = 0. x 1 y 4 = 1. б) 5x 14xy + 5y + 64x 64y 4 = 0. x 16 + y 9 = 1. в) 9x + 1xy + 4y 4x 16y + 3 = 0. пара параллельных прямых x = ±1. г) 9x 4xy + 16y 0x + 110y 50 = 0. y = x. 4 Векторная алгебра В этом разделе приведены решения простейших задач векторной алгебры в координатной форме: умножение вектора на число, сложение (вычитание) векторов; скалярное, векторное произведение векторов; смешанное произведение трех векторов. Основная цель этих задач подготовить аппарат, который успешно используется при решении задач на тему «прямая и плоскость в пространстве». Предполагается, что во всех задачах координаты векторов заданы в ортонормированном базисе. Задача 1. Найти единичный вектор, сонаправленный с вектором a = (; 1; 3). Эта операция называется нормированием вектора a и часто используется при решении более сложных задач. Обозначим искомый вектор a. Найдем длину вектора a: a = a 1 + a + a 3 = 14. Умножим вектор a на число 1/ a, получим вектор единичной длины: a = a ( a = ; 1 ) 3 ;

22 Задача. Даны векторы a = (; 3; 1), b = (4; 0; 5). Найти единичный вектор l, противоположно направленный с вектором c = 3a b. Найдем координаты вектора c: c = 3 (; 3; 1) (4; 0; 5) = (6 8; 9 0; 3 10) = ( ; 9; 13). Пронормируем вектор c: Тогда l = c = c = c c = ( ; 54 ( c = ; ; ). 9 ; 13 ) Задача 3. Найти угол α между векторами a = (; 1; 5) и b = ( 3; ; 1). Воспользуемся формулой (a, b) cos(â, b) = a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 = a 1 + a + a 3 b = 1 + b + b 3 1 = = α = arccos Задача 4. Найти проекцию вектора a = (3; ; 5) на ось, заданную вектором u = (; 1; ). Воспользуемся формулой Пронормируем вектор u: пр. u a = (a, u ). u = u u = u ( 3 = пр. u a = (a, u ) = ; 1 3 ; 3 ( 1 ) 3 ) = Задача 5. Найти координаты векторного произведения векторов a = (8; 3; 1) и b = (; 4; 7). Будем искать векторное произведение «в форме определителя третьего порядка» (i, j, k это векторы ортонормированного базиса): i j k [a b] = = i(1 + 4) j(56 ) + k( 3 6) = 4 7 = 5i 54j 38k = (5; 54; 38). Задача 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = (3; 1; 1) и b = (4; ; 3).

23 Воспользуемся геометрическим смыслом длины векторного произведения: [a b] площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Найдем координаты [a b]: i j k [a b] = = i(3 ) j( 9 4) + k(6 + 4) = 4 3 = i + 13j + 10k = (1; 13; 10). S = [a b] = = 70 (кв. ед.). Задача 7. Найти смешанное произведение векторов a = (; 1; 3), b = (3; ; 1), c = ( 1; 0; 4). Воспользуемся правилом нахождения смешанного произведения в координатах: (a, b, c) = a 1 a a b 1 b b 3 = 3 1 = c 1 c c = (8 0) + 1(1 + 1) + 3(0 + ) = = 35. Задача 8. Проверить, являются ли векторы a = (3; 1; ), b = (6; 4; 1), c = (0; 6; 3) компланарными. Воспользуемся критерием компланарности векторов: (a, b, c) = 0 векторы компланарны. 3 1 (a, b, c) = = 3(1 + 6) + 1(18 0) + ( 36 0) = = = 0 = векторы компланарны. Задача 9. Найти объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если A(1; 0; 1), B(; 1; 3), D(3; ; 4), A 1 (; ; ). Воспользуемся геометрическим смыслом смешанного произведения: (AB, AD, AA 1 ) = V объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AD, AA 1. Найдем координаты этих векторов: A 1 B 1 C 1 D 1 AB = ( 1; 1 0; 3 1) = (1; 1; ), B AD = (3 1; 0; 1 + 4) = (; ; 5), AA 1 = ( 1; 0; 1) = (1; ; 1). A D C 3

24 V = 1 1 mod 5 = 1( 10) 1(4 ) + (4 ) = 1 1 = = 6 (куб. ед.) 4.1 Задачи для самостоятельного решения 4.1. Пронормировать вектор a = ( ; ; 1). ( a = 3 ; 3 ; 1 ) Найти вектор c = 3a 4b, если a = (1; ; 1), b = (; 1; 3). c = ( 5; 10; 9) Проверить, являются ли векторы a = (; 3; 7) и b = (1; 3; 1) ортогональными. a и b ортогональны Найти высоты параллелограмма, построенного на векторах a = (8; 4; 1), b = (3; ; 6). h 1 = 4, h = Проверить, компланарны ли векторы a = (; 1; 5), b = (1; 0; 3), c = (7; ; 3). Нет Найти высоты параллелепипеда, построенного на векторах a = (1; ; 1), b = (3; 1; 0), c = ( 1; ; 4) ,, Доказать, что четыре точки A(1; ; 1), B(0; 1; 5), C( 1; ; 1), D(; 1; 3) лежат в одной плоскости Даны вершины треугольника A(1; 1; ), B(5; 6; ), C(1; 3; 1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC. h = 5. 5 Прямая и плоскость в пространстве В начале этого раздела приведем основные виды уравнений прямых и плоскостей в пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, A + B + C 0 (5.1) 4

25 общее уравнение плоскости, n = (A; B; C) вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости); A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 (5.) общее уравнение плоскости с известной точкой (x 0 ; y 0 ; z 0 ); λ(a 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + µ(a x + B y + C z + D ) = 0, λ + µ 0 (5.3) уравнение пучка плоскостей; x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt, l + m + n 0 (5.4) параметрические уравнения прямой, u = (l; m; n) направляющий вектор прямой; x x 0 = y y 0 (5.5) l канонические уравнения прямой; m = z z 0 n A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A x + B y + C z + D = 0 (5.6) прямая задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей. Приведем, прежде всего, решение простейших задач на эту тему. Решение более сложных задач, как правило, можно разбить на последовательность простейших задач. Задача 1. Составить уравнение плоскости α, проходящей через точку M 0 ( 1; ; 3) параллельно плоскости β: 5x 7y + z 4 = 0. Заметим, что т. к. α β, то можно считать, что вектор нормали n β = (5; 7; 1) является вектором нормали и плоскости α. Далее воспользуемся уравнением (5.): α: 5x 7y + z + 16 = 0. α: 5(x + 1) 7(y ) + (z 3) = 0, или Задача. Составить уравнение плоскости α, проходящей через три заданные точки M 1 (; 1; 0), M (3; 1; 4), M 3 ( 3; ; 5). Заметим, что векторы M 1 M, M 1 M 3 лежат в плоскости. По определению их векторное произведение перпендикулярно плоскости α, поэтому можно считать i j k n α = [M 1 M M 1 M 3 ] = = ( 4; 5; 1). α n M 3 M 1 M

26 Далее составим уравнение α вида (5.), выбрав в качестве известной, например, точку M 1 : α: 4(x ) 5(y 1) + z = 0. α: 4x + 5y z + 33 = 0. Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (; 1; 3) и через линию пересечения плоскостей β: x + y z = 0 и γ: x + y + z 1 = 0. Заметим, что в тех задачах, где требуется найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух заданных плоскостей, удобнее воспользоваться уравнением пучка плоскостей (5.3): α: λ(x + y z) + µ(x + y + z 1) = 0. Подставим в это уравнение вместо переменных координаты точки M 0, потребовав тем самым, чтобы точка M 0 лежала в плоскости α: или λ( 1 3) + µ( ) = 0, λ + 5µ = 0, λ µ = 5. Пусть, например, λ = 5, µ =. Эти значения λ, µ подставляем в уравнение плоскости α. α: 9x + 7y 3z = 0. Задача 4. Найти параметрические уравнения прямой x 3y + 6 = 0, a: x + y z = 0. Заметим, что из условия мы видим векторы нормалей плоскостей n 1 = (1; 3; 0), n = (; 1; 1). Их векторное u произведение есть вектор, перпендикулярный к ним, т. е. параллельный прямой a, поэтому является направляющим вектором искомой прямой. n 1 n i j k M 0 u = [n 1 n ] = = (3; 1; 7). α β 1 1 a Найдем какую-нибудь точку M 0 на прямой a, т. е. любое решение системы x 3y + 6 = 0, x + y z = 0. Пусть, например, x 0 = 0, тогда y 0 =, z 0 =. Составим параметрические уравнения прямой a. 6

27 x = 3t, a: y = + t, z = + 7t. Задача 5. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (5; ; 3) перпендикулярно плоскости α: 3x y + z 1 = 0. Заметим, что вектор нормали плоскости n = (3; 1; ) можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому можно сразу записать или параметрические, или канонические уравнения прямой. a n α: x 5 = y 3 1 = z 3. α Задача 6. Найти точку M пересечения прямой a: x 1 = y 3 = z + 1 и плоскости α: x + y z + 5 = 0. 1 Запишем параметрические уравнения прямой x = 1+t, y = 3t, z = 1+t. Так как точка пересечения лежит одновременно в плоскости и на прямой, то ее координаты одновременно удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости. Поэтому следует решить систему уравнений: x = 1 + t y = 3t. z = 1 + t x + y z + 5 = 0 Подставим в последнее уравнение выражения x, y, z и найдем t: 1 + t + 3t ( 1 + t) + 5 = 0, 7t + 7 = 0, t = 1. Теперь находим x = 1 = 1, y = 3, z = 1 1 =. M( 1; 3; ). Задача 7. Найти угол между прямой a: x y + 3z 1 = 0. Заметим, что x 1 1 cos( n, u) = cos(90 ϕ) = sin ϕ. = y + 1 = z Из условия видим n = (; 1; 3), u = (1; 1; ). Поэтому и плоскостью α: n u ϕ sin ϕ = (n, u) n u = = ϕ = arcsin

28 Рассмотрим теперь несколько типовых задач на установление взаимного расположения прямых и плоскостей. Задача 8. Установить взаимное расположение двух прямых x = 1 + 4t, x = 1 + t, a: y = t, b: y = 1, z = 3 + t, z = + t. Покажем, какие возможны ситуации u 1 u u 1 u 1 u 1 u a u u b a b a совпадает с b a и b пересекаются a и b скрещиваются Из уравнений прямых видим u 1 = (4; 1; ), u = (; 0; 1). Векторы не параллельны, значит прямые или пересекаются, или скрещиваются. Проверить пересекаются ли прямые можно двумя способами. Способ 1. Если прямые пересекаются, то векторы u 1, u, M 1 M (M 1 и M точки на прямой a и на прямой b) лежат в одной плоскости (компланарны). Найдем смешанное произведение этих векторов, выбрав M 1 (1; 0; 3), M ( 1; 1; ): 4 1 (u 1, u, M 1 M ) = 0 1 = 0, 1 1 следовательно векторы компланарны, т. е. прямые пересекаются. Способ. Если прямые пересекаются, то у них есть общая точка, координаты которой могут быть найдены из уравнений прямой a при каком-то значении t 1 параметра и из уравнений прямой b при каком-то значении t параметра. Выясним, есть ли такие значения t 1, t, при которых 1 + 4t 1 = 1 + t, t 1 = 1, 3 + t 1 = + t. Решим любые два из этих уравнений и подставим найденные t 1, t в третье уравнение. Если получим верное равенство, то будет найдено решение t 1, t системы. t 1 = 1, t = 1, 3 = 1 8

29 верно, значит есть точка пересечения. Ее координаты можно найти, подставив t 1 в уравнение прямой a, или подставив t в уравнение прямой b. В нашем случае точка пересечения M( 3; 1; 1). Замечание. Способ дает возможность не только проверить пересекаются ли прямые, но и найти точку пересечения. Задача 9. Установить взаимное расположение прямых a: x = 1 + t, y = t, z = 3t, b: x = t, y = 1 t, z = 3 + 6t. Находим u 1 = (1; 1; 3), u = (; ; 6). Так как u 1 u, то прямые или параллельны, или совпадают. В последнем случае любая точка прямой a лежит и на прямой b. Возьмем точку M( 1; ; 0) на прямой a. Подставим ее координаты в уравнение прямой b. Так как получаем одно и то же значение t = 1/, то точка M лежит и на прямой b. Прямые совпадают. = z 4 и плос- Задача 10. Установить взаимное расположение прямой x 1 = y + 3 кости α: 3x + y 3z + 1 = 0. Покажем, какие возможны ситуации. a u n a α n a M u α α M a α a α a α = M Из условия видим u = (; 3; 4), n = (3; ; 3). Если a α или a α, то эти векторы перпендикулярны. Проверим это. (u, n) = = 0 = векторы перпендикулярны. Если a α, то любая точка прямой лежит и в плоскости. Возьмем, например, точку M(1; ; 0). Подставим ее координаты в уравнение плоскости ( ) + 1 = 0 = M α. Прямая лежит в плоскости. Теперь приведем решения типовых задач на отыскание расстояний между точками, прямыми, плоскостями. 9

30 Задача 11. Найти расстояние от точки M 0 (; 3; 5) до плоскости α: x y z 3 = 0. Для решения этой задачи воспользуемся известной формулой d(m 0, α) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A + B + C, или d(m 0, α) =. d(m 0, α) = = 6 3. Задача 1. Найти расстояние от точки M 0 (1; ; 3) до прямой a: x 1 = y 1 = z Для решения этой задачи есть два способа. Способ 1. Выберем любую точку N на прямой a, например, N(1; ; 5). Построим параллелограмм на векторах NM 0 и u = (; 1; 3). Тогда высота h и является искомым расстоянием d(m 0, a). Высоту h найдем, из формулы для площади параллелограмма S = h u, а площадь параллелограмма найдем как длину векторного произведения S = [NM 0 u]. i j k [NM 0 u] = = ( 4; 16; 8), 1 3 a N M 0 S = [NM 0 u] = = 4 1, d(m 0, a) = h = 4 1 = 4 3 = h u Способ. Построим плоскость α, проходящую через точку M 0, перпендикулярно прямой a: α: (x 1) (y + ) + 3(z 3) = 0, α: x y + 3z 13 = 0. u=n Найдем точку пересечения плоскости α и прямой a: x = 1 + t, ( )P : y = t, z = 5 + 3t, x y + 3z 13 = 0, P a M 0 α 30

31 (1 + t) ( t) + 3( 5 + 3t) 13 = 0, 14t 8 = 0, t =, тогда точка P (5; 0; 1). Так как P M 0 a, то d(m 0, a) = P M 0 = (1 5) + ( 0) + (3 1) = 6. d(m 0, α) = 6. Задача 13. Найти расстояние между параллельными плоскостями α: x y + z 1 = 0 и β : x 4y + 4z + 3 = 0. Выберем любую точку M 0, например, в плоскости α. Пусть M 0 (1; 0; 0). Найдем d(m 0, β) = d(α, β). d(m 0, β) = = 5 6. M 0 α β Задача 14. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми a: x 1 = y 3 = z + 1 и b: x + 1 = y 1 = z + 3. Расстояние между скрещивающимися прямыми это длина отрезка их общего перпендикуляра. Однако искать общий перпендикуляр не обязательно. Сведем эту задачу к отысканию a расстояния от точки M 0 a до плоскости α, которую проведем через прямую b параллельно прямой a (см. чертеж). Так как векторное произведение направляющих векторов прямых a u и b перпендикулярно к u 1, u, то [u 1 u ] α и поэтому b k i j k n = [u 1 u ] = 3 1 = ( 4; 3; 1). 1 Проведем плоскость через любую точку K прямой b с найденным вектором нормали n = ( 4; 3; 1). Пусть, например, K( ; 1; 3). α: 4(x + ) + 3(y 1) + (z + 3) = 0, α: 4x + 3y + z 8 = u 1 α M 0 n

32 Выберем точку M 0 (1; 0; ) на прямой a. d(a, b) = d(a, b) = d(m 0, α) = = Рассмотрим теперь более сложные типовые задачи. Задача 15. Найти точку, симметричную точке M(3; 1; 1) относительно плоскости α: 3x + y + z 0 = 0. План решения. 1) Проведем через точку M прямую MO α, выбрав для нее направляющий вектор u = n. ) Найдем точку O пересечения плоскости α и прямой MO. 3) Воспользуемся формулами деления отрезка MM точкой O пополам. (Вычисление проделайте самостоятельно) M M O n M (9; 3; 1). Задача 16. Найти точку, симметричную точке M(1; ; 8) относительно прямой a: x 1 = y 1 = z 1. План решения. 1) Построим плоскость α, проходящую через точку M перпендикулярно a, n = u. ) Найдем точку O = α a. 3) Найдем M из формул деления отрезка MM пополам точкой O. M a O u M α M (5; 4; 6). Задача 17. Найти проекцию прямой a: x 3 = y α: x y + 3z 5 = 0. = z 4 1 на плоскость Заметим, что в задачах на составление уравнения прямой сначала следует определиться, в каком виде искать прямую: как линию пересечения двух плоскостей, или искать параметрические (канонические) уравнения прямой. В данной задаче искомая проекция a пр есть прямая, по которой пересекается плоскость α с плоскость β, проходящей через прямую a перпендикулярно α. Поэтому искать будем a пр как линию пересечения α и β. α a пр β a 3

33 Проведем плоскость β α через прямую a. Канонические уравнения прямой a можно записать в виде системы x 3 = y + 1 a: 5 1, x 3 = z 4 5 1, или x 5y 8 = 0, a: x 5z + 17 = 0. Фактически a оказывается линией пересечения двух плоскостей. Поэтому плоскость β удобно искать как плоскость из пучка β : λ(x 5y 8) + µ(x 5z + 17) = 0. Так как α β, то n α n β = (n α, n β ) = 0, или Пусть λ = 13, µ = 1, тогда (λ + µ) ( 5λ) + 3( 5µ) = 0 = λ 1λ 13µ = 0, µ = β : 5x 65y 60z = 0. x y + 3z 5 = 0, a пр : 5x 13y 1z + 0 = 0. Задача 18. Составить уравнения прямой c, проходящей через точку M 0 (; 3; 1) и пересекающую прямые x + y = 0, x + 3y 1 = 0, a: и b: x y + z + 4 = 0, y + z = 0. План решения. 1) Так как прямые a и c пересекаются, то они лежат в одной плоскости α, аналогично, прямые b и c лежат в одной плоскости. Поэтому будем искать прямую c как линию пересечения плоскостей α и β. ) Составим уравнение плоскости α как плоскости из пучка, определяемого прямой a, и проходящей через точку M 0. 3) Составим уравнение плоскости β как плоскости из пучка, определяемого прямой b, и проходящей через точку M 0. x 9y + 5z + 0 = 0, c: x y 5z + 9 = 0. a α M 0 c b β 33

34 5.1 Задачи для самостоятельного решения 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку M 0 (0; ; 3). 3y + z = Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 ( 1; ; 0), M (1; 1; ) и перпендикулярной плоскости x + y + z 4 = 0. x y + z = Найти расстояние между параллельными плоскостями 4x + 3y 5z 8 = 0 и 4x + 3y 5z + 1 = Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости x + y + z 8 = 0 и удаленных от нее на расстояние d = 4. x + y + z 0 = 0, x + y + z + 4 = Найти канонические уравнения прямой x + y + 3z 13 = 0, 3x + y + 4z 14 = 0. x 3 1 = y 5 1 = z Найти расстояние от точки M(; 1; 3) до прямой x Найти расстояние между параллельными прямыми x 1 = y + 1 = z + 3 и x 1 1 = y 1 = z + 1. = y + 4 = z Найти расстояние между скрещивающимися прямыми 1 3. x = y 1 = z 1 и x 1 = y = z Проверить, что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости, в которой они лежат: x = z y = z + 1 и x 3 34 = y 4 1 = z 1.

35 x + y 5z = Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают. а) x = 1 + t, y = 7 + t, z = 3 + 4t; x = 6 + 3t, y = 1 t, z = + t. Пересекаются в точке ( 3; 5; 5). б) x = 1 + t, y = t, z = t; x = t, y = 5 + 3t, z = 4. Скрещивается. в) x = + 4t, y = 6t, z = 1 8t; x = 7 6t, y = + 9t, z = 1t. Параллельны. г) x = 1 + 9t, y = + 6t, z = 3 + 3t; x = 7 + 6t, y = 6 + 4t, z = 5 + t. Совпадают Установить, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее. 3x + 5y 7z + 16 = 0, а) 5x z 4 = 0. x y + z 6 = 0, Пересекаются в точке (; 4; 6). x + 3y + 6z 10 = 0, б) y + 4z + 17 = 0. x + y + z + 5 = 0, Параллельны. x + y + 3z + 8 = 0, в) 5x + 3y + z 16 = 0, x y 4z 4 = 0. Прямая лежат в плоскости. 35

36 Список литературы [1] Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, [] Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. СПб: Лань, 008. [3] Ерусалимский Я.М., Чернявская И.А. Алгебра и геометрия: теория и практикум. М.: Наука, 011. [4] Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, [5] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, [6] Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, [7] Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука,

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия

Е.А. Гонжа. векторная алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) ЕА Гонжа векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Типовой расчет по высшей математике

Типовой расчет по высшей математике Типовой расчет по высшей математике Аналитическая геометрия 1 модуль Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург 2012 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Раздел V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ В раздел включены задачи, которые рассматриваются в теме «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве» составление различных уравнений

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее