называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом"

Транскрипт

1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца, числа,,, элементы определителя Правило вычисления определителя второго порядка можно представить схематически: Количество строк и столбцов в определителе всегда совпадает Кроме определителей второго порядка существуют определители -го, -го и т д порядков Определитель -го порядка содержит три строки и три столбца: Для правил вычисления определителя -го порядка существует несколько ПРАВИЛО ПРЯМОУГОЛЬНИКА Для вычисления определителя надо повторить запись первого и второго столбцов Проведем три левые диагонали, начиная с верхнего левого угла, и три правые диагонали Три первые слагаемые получаются как результат произведения элементов, стоящих на каждой из левых диагоналей Следующие три слагаемые получаются при умножении элементов, стоящих на каждой из правых диагоналей Три последние произведения берутся с противоположным знаком ПРИМЕР

2 ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА () () Перемножаются элементы, стоящие на левых диагоналях Одна диагональ, главная, проходит через три элемента, и две диагонали побочные проходят через два элемента, третьим элементом для них является элемент, стоящий в вершине треугольника (схема ) Аналогично находим произведения элементов, стоящих на правых диагоналях (схема ) Эти произведения берутся с обратным знаком ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ Прежде чем перейти к следующему правилу вычисления определителя, введем понятие минора и алгебраического дополнения В определителе = вычеркнем одну строку и один столбец, останется определитель второго порядка, который принято называть минором Например, при вычеркивании первой строки и первого столбца получим минор

3 M При вычеркивании i -й строки и j -го столбца получим минор Mij Через ij обозначим алгебраическое дополнение элемента ij те i j Mij ij По свойствам определителя его можно представить в виде суммы:, что соответствует разложению определителя по элементам первой строки Аналогично можно разложить по элементам любой строки или столбца ПРИМЕР 7 Вычислим определитель разложением по элементам строки Для определенности выберем первую строку Тогда,, M 8 7 M получен вычеркиванием первой строки и первого столбца M ( 6) 7 M получен вычеркиванием первой строки и второго столбца M Тогда 8 ( ) ( ) 6 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (общие сведения)

4 Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными n n b n n b n n nn n bn () Решением системы () называется совокупность чисел ( k, k,, k n ), которая при подстановке в систему () вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество Система может иметь решение, тогда она называется совместной, причем, если решение единственное, система определенная, если решений множество система неопределенная Если система не имеет решений, она называется несовместной Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса 6 МЕТОД КРАМЕРА При решении методом Крамера используем определители n -го порядка Пусть задана система () Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных: n n n ТЕОРЕМА Если определитель системы, то систему () можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное: n ; ; ; n, где определитель i может быть получен из главного определителя путем замены i -го столбца на столбец из свободных членов ПРИМЕР 7 8 Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных: n nn

5 ; 7 и три вспомогательных определителя: Определитель составлен из определителя путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений В определителях и соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами Вычислим все четыре определителя ; 6 ; ; 8 7 ; Неизвестные,, находим по формулам ; ; ; ; ; Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений не имеет решения (если ) Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений

6 6 Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений имеет единственное решение 7 МЕТОД ГАУССА Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается ПРИМЕР y z 7 y z 9 y z В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное ( z ), во втором неизвестных ( y и z ) а в первом неизвестных (, y, z ) За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при равен Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при Ведущим уравнением данной системы будет последнее Перепишем систему так: y z y z 9 () y z 7 Умножаем первое уравнение на (-) и складываем со вторым, чтобы избавиться от во втором уравнении Результат сложения записываем на месте второго уравнения Далее первое уравнение умножаем на (-) и складываем с третьим, чтобы избавиться от в третьем уравнении Результат записываем на месте третьего уравнения Первое уравнение при этом переписываем без изменений Получим y z 7y 6z () 7y z 7

7 7 Системы уравнений () и () эквиваленты, т е они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения Умножаем второе уравнение системы () на (-) и складываем с третьим, чтобы избавиться от y в третьем уравнении Первое уравнение при этом не трогаем Результат записываем на месте третьего уравнения Тогда y z Из последнего уравнения z 7y 6z z Подставляем это значение z во втрое уравнение системы и находим y : 7y 6 6 y В первое уравнение подставляем значения z и y, получаем Ответ: ; y ; z 8 Рекомендуется сделать проверку Систему можно решить и матричным способом Чтобы освоить этот метод, познакомимся с некоторыми сведениями о матрицах 8 МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Если Матрицей называется таблица вида n n m m mn Число строк m, число столбцов n, m n размерность матрицы m n матрица прямоугольная При m n матрица квадратная

8 8 Матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита, B, C Квадратная матрица E называется единичной, если она имеет вид =, те на диагонали матрицы стоят единицы, а остальные элементы есть нули О видах матрицах смотрите подробнее [, стр ] Матрицы можно складывать, вычитать, умножать матрицу на матрицу и матрицу на число Эти операции называются линейными операциями над матрицами ПРИМЕР При сложении каждый элемент первой матрицы складывается с соответствующим элементом второй матрицы Из правила сложения следует, что не всякие две матрицы можно сложить При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число ПРИМЕР Две матрицы можно перемножать, но при этом число элементов в строке первой матрицы должно быть равно числу элементов в столбце второй матрицы, так как умножение матриц осуществляется по следующему правилу: чтобы получить элемент C новой матрицы, нужно взять i -ю строку ij первой матрицы и каждый элемент умножить на соответствующий элемент j -го столбца второй матрицы, результаты умножения сложить Полученная сумма и будет элементом C, т е умножение осуществляется по следующей схеме: ij b j i i ib j ib j ib j ib j Cij b j Или это можно показать на такой схеме:

9 9 Умножаем вторую строку первой матрицы на первый столбец второй матрицы Сумма соответствующих произведений дает первый элемент во второй строке полученной матрицы Стрелками показано, какие элементы надо перемножать Заметим, что операция умножения матриц не всегда подчиняется коммутативному закону, т е B B 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Введем понятие обратной матрицы Пусть задана квадратная матрица n n n n nn Если существует такая матрица, что выполняются равенства E, то матрица называется обратной для матрицы Чтобы найти обратную матрицу, нужно: Найти определитель матрицы : = n n n n Если, то матрица не имеет обратной T Найти матрицу транспонированную матрице, т е в матрице поменять местами строки и столбцы: n T n ; n n nn nn

10 Вычислить алгебраические дополнения каждого элемента матрицы с i j учетом, что ij Mij, где Mij минор элемента ij Составить матрицу из этих алгебраических дополнений: n ~ n ; n n nn Разделить каждый элемент матрицы ~ на определитель Получим обратную матрицу n n n n nn РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ Рассмотрим систему вида b b b (6) Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных: Из неизвестных,, и свободных членов составим матрицы столбцы b X ; B b b Тогда система (6) в матричной форме примет вид X B (7)

11 Чтобы найти матрицу X, умножим (7) на X B X B слева ПРИМЕР 8 Найти обратную матрицу РЕШЕНИЕ ) Составляем и вычисляем определитель Определитель вычислен по правилу треугольника ) Транспонируем матрицу Получаем T ) Вычисляем алгебраические дополнения ; ; ; ; ; ; ; ; M ; ; Вычисляем Вычеркиваем первую строку и второй столбец Составляем определитель второго порядка из оставшихся элементов ; M 6 Вычисляем Аналогично вычисляем все остальные алгебраические дополнения: 7; ; ; ; ; ; Составим обратную матрицу

12 7 7 Сделаем проверку 7 ПРИМЕР 9 Решить систему матричным способом 9 7 z y z y z y Из коэффициентов при неизвестных составим матрицу : Из неизвестных составим матрицу столбец: z y X Из свободных членов составим матрицу столбец: 9 7 B Тогда система запишется в виде B X Получили матричное уравнение Умножаем обе части этого уравнения на слева Получаем: B X

13 Находим обратную матрицу: T 8 ; ; ~ 6 ; Умножая обратную матрицу на B, получаем матрицу X X Отсюда получаем ответ: 87 6 ; y ; z 8 Сравните решение этой системы с решением метода Гаусса ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Вектором называют направленный отрезок в пространстве или на плоскости, который можно передвигать параллельно самому себе Один конец называется началом (точка ), а другой конец (точка B ) концом вектора B B B вектор B вектор B Вектор B характеризуется длиной (или модулем B ), которая равна длине отрезка B, и направлением от к B ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых ( b ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях

14 Определим линейные операции над векторами К таким операциям относятся сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на число Сложение и вычитание векторов можно выполнить по правилу треугольника (рис а) или по правилу параллелограмма (рис б) b c b c b c b b b Рис а Рис б ОПРЕДЕЛЕНИЕ Произведением вектора на число называют такой вектор, длина которого равна, а направление совпадает с направлением, если, и противоположно, если Если, то вектор называется противоположным к (рис ) ( ) Рис ОПРЕДЕЛЕНИЕ Множество всех векторов пространства с введенными на нем операциями сложения и умножения на число образует векторное пространство Определим понятие базиса и координат вектора в данном базисе ОПЕРЕДЕЛЕНИЕ 6 Система векторов,,,, линейно зависимой, если существуют числа,, n одно из них отлично от нуля и n n n называется, такие, что хотя бы (8) Если система линейно независима, то в (8) все i Пусть для определенности коэффициент k, тогда из равенства (8) можно найти n k n k k k Итак, для линейно зависимой системы векторов,,,, n любой вектор можно представить как линейную комбинацию остальных

15 ( n ) векторов Для линейно независимой системы векторов такое представление невозможно ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 Совокупность линейно независимых векторов, b,, c, взятых в определенном порядке, образует базис пространства, и обозначается базис, b,, c На плоскости (в R ) базис образует два линейно независимых вектора, в трехмерном пространстве (в R ) три линейно независимых вектора и в n пространстве R n линейно независимых векторов Два коллинеарных вектора и b являются зависимыми, так как b Поэтому на плоскости два любых неколлинеарных вектора образуют базис Аналогично, три любых некомпланарных вектора образуют базис трехмерного пространства R b b c Базис в R, b Базис в R, b, c ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 Любой вектор p в пространстве R единственным образом определяется в виде суммы: p b c, (9) где числа,, называются координатами вектора p в данном базисе Равенство (9) представляет разложение вектора p по базису, b, c в трехмерном пространстве (в R ) На плоскости (в R ) вектор p имеет разложение по базису b, : p b Замечание Записи p b c и p,, означают одно и то же: вектор p имеет координаты,, в данном базисе, b, c Необходимым и достаточным условием линейной независимости трех векторов,,, b b, b, b и c c, c, c является условие: b c b c b c

16 6 ПРИМЕР Найти разложение вектора, 6, p,,, q, и r,, c по векторам РЕШЕНИЕ Проверим, являются ли векторы p, q, r линейно независимыми, то есть образуют ли они базис Для этого вычислим определитель третьего порядка, составленный из координат векторов p, q, r по методу треугольника: , то есть векторы p, q, r являются базисом, тогда c c p c p c p, где c, c, c неизвестные координаты вектора c в базисе p, q, r Составим систему: c c c 6 c c c c c c Решаем методом Крамера: 8 ; 6 6; 6 ; c, c, c Следовательно, c p q r c,, или Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами этих векторов по следующим правилам: ) Координаты алгебраической суммы векторов,, и b b, b, b равны суммам соответствующих координат: b b, b, b ()

17 7 ) Координаты произведения вектора на число равны произведениям координат на :,, () Самым удобным является базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов В трехмерном пространстве с декартовыми прямоугольными координатами такой базис составляют векторы i, j, k (рис б), на плоскости i, j (рис а) y z j k j i Рис а Рис б Тогда координаты произвольного вектора являются проекциями этого вектора на соответствующие координатные оси, и разложение вектора по базису i, j, k имеет вид i j k,, () или Такой базис называют декартов базис В этом базисе справедливы следующие теоремы и формулы B ТЕОРЕМА Если известны координаты точек, y, z y, то координаты вектора B находятся по формулам, z, и, y y y, z z z () ПРИМЕР Пусть даны две точки,, и B,, координаты B и B Найти

18 8 РЕШЕНИЕ B, 6, и, 6, B находим по формуле () Итак, если известны координаты начала и конца вектора, то для отыскания координат самого вектора нужно из координат конца вычесть соответствующие координаты начала ТЕОРЕМА Если векторы и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны, то есть, z y,, b, y z y y z z, ; () ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 Скалярным произведением векторов и b (обозначается b ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: b b b cos b () b ТЕОРЕМА Скалярное произведение векторов, y, z, y z, заданных своими координатами, вычисляется по формуле, b y y z z Скалярное произведение применяется в геометрии и механике: Косинус угла между векторами и b находится по формуле b cos (7) b b (6) и Проекция вектора на вектор b : b пр b (8) b, то есть y y z z, (9) Если два вектора и b перпендикулярны, то b

19 9 условие перпендикулярности двух векторов Если вектор F задает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора S, то работа этой силы определяется равенством F S () физический смысл скалярного произведения ТЕОРЕМА Модуль вектора (длина), y, z формуле y z находится по () ПРИМЕР Вычислить работу равнодействующей F сил F i j k, F i j k и F i 6 j k, приложенных к материальной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из точки,, в точку B 7,, F F F F,,, РЕШЕНИЕ Так как равнодействующая сил,, S B, то работа вычисляется по формуле (): F B (дж) ПРИМЕР Найти длину вектора, если,, и b,, РЕШЕНИЕ Обозначим c b, b, 6,, т к b,, По формуле () c 9,, b , 87 c ПРИМЕР Найти длину вектора b, если известно, b и b 6 РЕШЕНИЕ Обозначим c b Тогда длина вектора c b b b 9 b b b

20 9 9 b cos b 6 (Использованы формулы () и ()) 8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторным произведением вектора на вектор b называется третий вектор c, определяемый следующим образом: (рис ) Модуль вектора c равен площади параллелограмма, построенного на векторах и b, то есть c b sin b ; () Вектор c перпендикулярен векторам и b ; Векторы, b, c после приведения в общему началу образуют правую тройку векторов, то есть ориентированы по отношению друг к другу как базис i, j, k c b b S Рис S c b ТЕОРЕМА Векторное произведение векторов, y, z, y z, заданных своими координатами, находится по формуле, i j k y z b y z i j k () y z z y y z z y и C,, ПРИМЕР Даны вершины треугольника,,,, 6, Найти косинус угла BC и площадь треугольника BC B и

21 РЕШЕНИЕ Угол BC образован векторами B и BC Найдем координаты этих векторов по формуле (): По формуле (7) cos B BC B,,,, 9, BC 9 9 6,9 6 Треугольник BC является половиной параллелограмма, построенного на векторах B и BC Тогда S BC S B BC Найдем векторное произведение векторов по формуле (): i j k C B BC i j 6k ; C B BC S BC B BC, (кв ед) Векторное произведение применяется в геометрии и механике для нахождения площади треугольника и параллелограмма (см пример ) и момента силы Если вектор F задает силу, приложенную к какой-нибудь точке C, а вектор идет из недвижимой точки O в точку C, то вектор M F представляет собой момент силы F относительно точки O физический смысл векторного произведения ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если два вектора и b умножить векторно b, а полученный результат умножить на вектор c скалярно, то число bc b c называется смешанным произведением трех векторов, b, c ТЕОРЕМА 6 Смешанное произведение трех векторов, b и c, y, c находится с помощью определителя третьего порядка: y z bc y z () y z

22 Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов служит условие bc () ТЕОРЕМА 7 Смешанное произведение трех векторов, b, c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах: V bc (6) ПРИМЕР 6 Найти объем треугольной призмы, построенной на векторах i j k, b i j k, c i j k РЕШЕНИЕ Объем призмы равен половине объема параллелепипеда, построенного на векторах, b и c Тогда по формуле (6) имеем V V bс призмы параллелепипеда Запишем координаты векторов,,, b,, и c,, Найдем смешанное произведение по формуле (): bc 6 7 Тогда V призмы 7, (куб ед) ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ТЕОРЕМА 8 В декартовой прямоугольной системе координат XOY на плоскости любая прямая может быть задана уравнением первой степени относительно X и Y : By C (7) где, B и C коэффициенты (при условии B, то есть хотя бы одно из чисел и B не равно нулю), и обратно, всякое уравнение вида (7) определяет прямую

23 C Если B, то уравнение примет вид C или это уравнение прямой, параллельной оси OY Аналогично By C уравнение прямой, параллельной оси OX Уравнение (7) называется общим уравнением прямой Если B, то уравнение By C можно разрешить относительно y и представить в виде y k b, где k tg (8) Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k Угол, отсчитываемый от положительного направления оси OX до прямой, называется углом наклона прямой, а число b определяет начальную ординату, то есть величину отрезка, отсекаемого прямой на оси OY (рис ) y y k b b Рис Если прямые заданы уравнениями y k b и y k b, то угол между ними находится по формуле k k tg (9) k k Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов k k, а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы k k, то есть k () k ПРИМЕР 7 Вычислить величину меньшего угла между прямыми y и 8 6y

24 РЕШЕНИЕ Разрешим общие уравнения прямых относительно переменной y : y и y 6 Отсюда следует, что угловые коэффициенты прямых k, k, так как k k, то прямые пересекаются, и по формуле (9) 7 tg rctg, Острый угол = o Существуют и другие виды уравнений прямой на плоскости: ) Уравнение прямой в «отрезках»: y, () b где отрезок, отсекаемый на оси OX, b на оси OY ) Уравнение через точку M, y и угловой коэффициент k : y y k () ПРИМЕР 8 Через точки, и, B проведена прямая B Проходит ли она через начало координат? РЕШЕНИЕ Возьмем на данной прямой еще одну текущую точку M Пусть координаты этой точки y M, Тогда векторы M и B лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны Найдем координаты векторов M и B: M, y и B, Из условий коллинеарности двух векторов (формула ) получаем уравнение прямой B: y Отсюда y или y Прямая не проходит через начало координат, так как точка, не удовлетворяет уравнению прямой:

25 ПРИМЕР 9 Точка, лежит на прямой, перпендикулярной к прямой y 8 Найти уравнение этой прямой РЕШЕНИЕ Определим угловой коэффициент первой прямой: 8 y, отсюда k С учетом перпендикулярности прямых (формула ) k Тогда уравнение второй прямой можно найти по формуле (): y или y ПЛОСКОСТЬ ТЕОРЕМА 9 В декартовых прямоугольных координатах уравнение любой плоскости приводится к виду By Cz D, () где, B, C и D заданные числа, причем B C, и обратно, уравнение () всегда является уравнением плоскости Уравнение () называется общим уравнением плоскости Коэффициенты, B и C являются координатами нормального вектора n, B, C, то есть вектора, перпендикулярного к плоскости Существуют различные способы задания плоскости в R и соответствующие им виды уравнений Уравнение плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной вектору n Если плоскость проходит через точку M, y, z и перпендикулярна вектору n, B, C, то ее уравнение записывается в виде B y y C z z () Уравнение плоскости, проходящей через три точки Если плоскость проходит через три точки M, y, z, M, y, z и M, y, z, не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно записать в виде y y z z y y y y z z z z ()

26 6 Раскрывая определитель по элементам первой строки, придем к общему уравнению плоскости () Уравнение плоскости в «отрезках» (рис 6) Рис 6 Если плоскость пересекает координатные оси в точках,, B, b,, C,, c то ее уравнение можно записать в виде где, b, c и y z, (6) b c ПРИМЕР Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку M, 7,, параллельно плоскости y z РЕШЕНИЕ Если плоскость проходит через точку M, то ее уравнение можно записать в виде (по формуле ()) By 7 Cz, где n, B, C нормальный вектор Так как плоскости параллельны, то в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять нормальный вектор данной плоскости n,,, тогда y 7 z После упрощения имеем общее уравнение Преобразуем: -y+z+= y z y z или (делим на -) / Отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостью соответственно равны, b, c

27 7 ПРИМЕР Вычислить угол между плоскостями y z и y РЕШЕНИЕ Величина угла между плоскостями равна углу между их нормальными векторами n,, и n,, Тогда по формуле (7) cos cos, n n Отсюда rccos ПРИМЕР Найти уравнение плоскости, проходящей через точки, 6, 7 M,, и M, 7, M, y, z M, РЕШЕНИЕ Возьмем на этой плоскости произвольную точку Рассмотрим три вектора M координаты: M M, y 6, z 7 M M M M 8,,,, M M M и M M (рис 7) и найдем их Рис 7 Эти три вектора принадлежат одной плоскости, то есть они компланарны Условие компланарности трех векторов () и определит искомое уравнение плоскости (): y 6 z 7 8 ; 8 8 y 6 z 7 y 6 z 7 y 68z 7 После упрощения окончательно имеем: y z 6

28 8 Это уравнение является общим уравнением плоскости, нормальный n,, вектор: ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ В зависимости от способа заданий в пространстве можно рассматривать различные уравнения прямой Канонические уравнения прямой Если прямая в пространстве проходит через точку M, y, z параллельно вектору s, то ее уравнение можно записать в виде y y z z, s m, n, p (7) m n p Вектор s, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой Параметрические уравнения прямой Из уравнения (7) получим mt, y nt, z z pt, (8) y где t параметр Прямая, проходящая через две точки Если прямая проходит через точки M, y, z и M, y, z, то ее уравнения можно записать в виде y y z z (9) y y z z Общие уравнения прямой в пространстве Две пересекающиеся плоскости определяют прямую B y Cz D, n, B, C B y Cz D, n, B, C где n не параллелен n ПРИМЕР Даны вершины треугольника, 6,,,, 8, B и C, Составить уравнение медианы, опущенной из вершины на противоположную сторону РЕШЕНИЕ Медиана CD делит сторону B пополам Найдем координаты точки D : D DB 6 8 С А D,, или D,,,

29 9 Используем уравнения прямой, проходящей через две точки (9) Тогда уравнения прямой можно записать в виде y 8 z y z или Полученные уравнения прямой являются каноническими уравнениями, s,, направляющий вектор ПРИМЕР Найти уравнение прямой, проходящей через точку,, перпендикулярно плоскости P : y 7z РЕШЕНИЕ Плоскость P имеет нормальный вектор n,, 7, а так как нам нужна прямая L, перпендикулярная плоскости P, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор n (рис 8) Тогда искомая прямая имеет вид y z 7 Рис 8 y z ПРИМЕР Найти угол между прямой L : и плоскостью P : y 6z РЕШЕНИЕ Имеем из канонических уравнений: s,,, n,, 6 Искомый угол L s, n (рис 9), то есть sin sin s, n cos s, n; 9 n 6 sin,8 s n 9 6 L rcsin,8 8 Рис 9 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

30 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Кривой второго порядка называется множество точек плоскости, декартовы координаты и y которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени: By Cy D Ey F, () где, B, C, D, E, F постоянные действительные числа Уравнение () называется общим уравнением кривой второго порядка Рассмотрим частные случаи уравнения () Окружность радиусом R с центром в точке C, y задается уравнением y y R Эллипс с полуосями и b, центром в точке, y y y C определяется уравнением b Гипербола с действительной полуосью, мнимой полуосью b, центром в точке C, y y y имеет уравнение b Уравнение сопряженной гиперболы: y y b Парабола с вершиной в точке C, y, симметричная относительно оси OX, имеет уравнение y y p Уравнения y p, py, py определяют параболы, иначе ориентированные относительно осей координат Уравнение () может и не определять действительного геометрического образа (в зависимости от коэффициента), тогда говорят о мнимых кривых второго порядка С помощью параллельного переноса или поворота системы координат на некоторый угол общее уравнение сводится к каноническому виду Особенно простым является приведение уравнения () к каноническому виду в случае B (отсутствие члена y ), когда можно применить метод выделения полных квадратов ПРИМЕР 6 Привести к каноническому виду уравнение линии и построить ее 9y y 9 РЕШЕНИЕ Данная линия является кривой второго порядка, в уравнении которой отсутствует произведение переменных и y Дополним

31 члены, содержащие, и члены, содержащие y, до полных квадратов Получим 8 9 y 6 9, y , 6 9y y 6, y, 9 Имеем эллипс, центр которого лежит в точке C,, большая полуось 9, малая ось b (рис ) Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку C, Формулы преобразования координат имеют вид, y y y 9 Тогда уравнение эллипса запишется в виде Рис ПРИМЕР 7 Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка y 6 и построить ее РЕШЕНИЕ Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду выделим полный квадрат для : y 6,

32 6 y, y 6, 98 y или 6 y, то есть имеем гиперболу, центр которой находится в точке C,, действительная полуось, 7, мнимая полуось b, 7 7 Формулы преобразования координат при параллельном переносе имеют вид, y y 6 y Тогда уравнение гиперболы запишется в виде (рис ),7,7 Рис ПРИМЕР 8 Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка y y и построить ее РЕШЕНИЕ Уравнение кривой преобразуется следующим образом: y y или y Отсюда y, y,

33 имеем параболу, у которой вершина находится в точке С ;, параметр p, а ветви параболы направлены в отрицательную сторону оси OX Формулы преобразования координат при параллельном переносе имеют вид: 8, y y Тогда уравнение параболы примет вид y Рис Для построения параболы найдем точки пересечения параболы с осью OY Для этого положим и решим уравнение y y Тогда 6 6 y, y,, y, Имеем две точки ;, и B ;, точки пересечения параболы с осью OY (рис ) Задания к контрольной работе : Задание Дана система линейных уравнений b b b Решить систему: а) методом Гаусса; б) по правилу Крамера; в) средствами матричного исчисления

34 8 z y z y z Задание Даны координаты вершин пирамиды Найти угол между ребрами и (в градусах) и длину высоты, опущенной из вершины на грань Сделать чертеж (,, ) (,, ) (-, -, 6) (, -6, -) (,, ) (-,, 6) (-, -, ) (,, -) (,, ) (-, -, ) (,, -) (,, -) (,, ) (-,, -) (, -, 6) (6, -, ) (, -, 6) (-6, -, ) (,, -) (, 6, -7) 6 (-, -, -) (7,, -) (6, -, ) (,, -7) 7 (7,, 9) (, -, -) (-, -, ) (, -, ) 8 (-, -, -) (,, ) (, 7, -6) (6, -, )

35 9 (, -, ) (-, -6, ) (,, -7) (6,, -9) (-7, -6, -) (,, -) (8, -, ) (,, -7) Задание Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки, B и C Найти нормальный вектор и уравнение плоскости в «отрезках» Построить данную плоскость (-,, ), B (,, -), C (,, ) (-,, ), B (, -7, ), C (,, ) (9, -, ), B (,, ), C (-, 7, ) (6,, -), B (-,, ), C (,, 7) (, -, ), B (,, -6), C (,, -7) 6 (7, -, ), B (,, ), C (8,, -) 7 (,, -), B (-,, ), C (,, ) 8 (-,, ), B (,, -7), C (8,, ) 9 (,, -), B (, -, ), C (,, 6) (,, ), B (-, 7, ), C (, -, ) Задание Привести кривую второго порядка к каноническому виду и построить ее y y 7 y y y 7 y y y 8 y 6 y 9y y 7 y y 8 y 9y 9 y y 6 y Задание Даны вершины треугольника BC Найти точку N пересечения медианы M и высоты CH Сделать чертеж (-, ), B (, ), C (, 7) (-, -), B (, ), C (6, 8) (, 7), B (-, -), C (, -) (, ), B (-, ), C (9, )

36 (, -), B (7, ), C (, 7) 6 (-, -), B (, 6), C (6, ) 7 (-, ), B (-6, 6), C (6, ) 8 (, -), B (7, ), C (, ) 9 (, -), B (8, ), C (, 8) (-, -), B (, -7), C (7, 7) 6

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

Математика Часть I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Математика Часть I Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие Санкт-Петербург ББК я М Печатается по рекомендации кафедры прикладной математики и решению президиума редакционно-издательского

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия»

«Векторная алгебра и аналитическая геометрия» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Новосибирский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ИИ КУЛЕШОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Ответы Учебное издание Министерство образования и науки Российской Федерации Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга Островерхая Лидия Дмитриевна Задачник-практикум по высшей математике

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1

Л.В. Китаева, М.О. Сысоева, Т.А. Шайхудинова МАТЕМАТИКА. В четырех частях. Часть 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Бийский технологический институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Алтайский государственный

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. Определители и системы линейных уравнений. Матрицы. Основные определения. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Определители и системы линейных уравнений Матрицы. Основные определения. Определение. Матрицей размера m где m- число строк - число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ. Кафедра высшей математики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ. Кафедра высшей математики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ Кафедра высшей математики ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для самостоятельной работы обучающихся по направлению подготовки «Экономика» квалификация степень «бакалавр»

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее