проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) проверочная 2. (дата проведения проверочной:??

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) проверочная 2. (дата проведения проверочной:??"

Транскрипт

1 проверочная 1. (10 минут в начале пары, дата проведения проверочной: 14 сентября) Определения: векторное пространство, арифметическое пространство, линейно зависимая система векторов, линейно независимая система векторов, базис, координаты вектора в базисе, канонический базис арифметического пространства, стандартное скалярное произведение, длина вектора из R n, угол между векторами из R n, вектор в точке. 1. Докажите, что для R n выполняется x + y = y + x.. Докажите, что для R n выполняется x + (y + z) = (x + y) + z. 3. Докажите, что для R n выполняется 0 x R n x + 0 = x. 4. Докажите, что для R n выполняется x R n x R n x + ( x) = Докажите, что для R n выполняется (λµ)x = λ(µx). 6. Докажите, что для R n выполняется λ(x + y) = λx + λy. 7. Докажите, что для R n выполняется (λ + µ)x = λx + µx. 8. Докажите, что для R n выполняется 1x = x. 9. Докажите, что если система векторов (e 1,..., e n ) векторного пространства V линейно зависима, то хотя бы один из них можно выразить через остальные. 10. Докажите, что система, содержащая нуль-вектор, является линейно зависимой. 11. Изобразите вектора в точке v = (0, 1; 3, 1), w = ( 1, ; 3, 1). проверочная. (дата проведения проверочной:?? сентября) Определения: вектор в точке, касательное пространство к R n в точке p, векторное поле, гладкая функция, гладкое отображение, диффеоморфизм. 1. Докажите, что если {(p; e 1 ),..., (p; e n )} базис в T p (R n ), то (e 1,..., e n ) базис в R n.. Докажите, что если (e 1,..., e n ) базис в R n, то {(p; e 1 ),..., (p; e n )} базис в T p (R n ). 3. Выясните, будет ли отображение f : R R, заданное формулой y = x 3, диффеоморфизмом. Ответ обосновать. 4. Выясните, будет ли отображение f : R R, заданное формулами y 1 = x 1 x, y = x 1 x, диффеоморфизмом. Ответ обосновать. 5. Изобразите векторное поле, для которого ассоциированное отображение имеет вид 1) X(p) = p, ) X(p) = (x, x 1 ), 3) X(p) = ( x, 1 x1 ), 4) X(p) = ( x1 +x, x1 x ). проверочная 3. (дата проведения проверочной:?? сентября) определения: векторное поле, градиент функции, гладкое векторное поле, компоненты векторного поля, сумма векторных полей, произведение векторного поля на функцию, параметризованная кривая, касательный вектор к параметризованной кривой. 1. Вычислите и изобразите несколько векторов градиента функции f(x 1, x ) = x 1 +(x ). (В вариантах будут другие функции, но не очень сложные). Пусть f(x 1, x ) = x 1 + x, g(x 1, x ) = (x 1 ) + (x ). Найдите и изобразите несколько векторов векторного поля f g + g f. (В вариантах будут другие функции, но не очень сложные) 3. Изобразите кривую α : ( π, π ) R, заданную так: α(t) = ( cos t, sin t). Вычислите и изобразите касательный вектор к этой кривой в точке со значением параметра t = π. 4. Изобразите кривую α : R R, заданную так: α(t) = (ch t, sh t). Вычислите и изобразите касательный вектор к этой кривой в точке (1, 0). 5. Докажите, что компоненты произведения функции f на векторное поле X равны произведению этой функции на компоненты векторного поля X. проверочная 4. (дата проведения проверочной: 30 сентября) определения: векторное поле, параметризованная кривая, касательный вектор к параметризованной кривой, интегральная кривая векторного поля. 1. Пусть дана параметризованная кривая α : R R по формуле α(t) = (t, t 3 + ). Найдите точки, которым соответствуют значения параметра: а) t = 1, б) t = 0, в) t = 3. Определите, лежит ли на кривой α 1

2 точка а) (1, 0), б) (1, 3), в) (1, 1). В случае положительного ответа, найдите значение параметра t, которое соответствует этой точке. поля.. Выведите систему дифференциальных уравнений, которая задает интегральные кривые векторного 3. Векторное поле задано ассоциированным отображением X(x 1, x ) = (x, x 1 ). Найдите все интегральные кривые этого векторного поля. Найдите интегральную кривую этого векторного поля, проходящую через точку (1, 0). 4. Векторное поле задано ассоциированным отображением X(x 1, x ) = (x, x 1 ). Найдите все интегральные кривые этого векторного поля. Найдите интегральную кривую этого векторного поля, проходящую через точку (1, 0). проверочная 5. (дата проведения проверочной: 6 октября) определения: интегральная кривая векторного поля, отображение ϕ t. 1. Пусть дано векторное поле X(x 1, x ) = (x 1, x ; x, 4x 1 ). Определите, какое преобразование плоскости задает отображение ϕ t. Найдите образ окружности (x 1) + (y 1) = 1 при отображении ϕ π 4.. Пусть дано векторное поле X(x 1, x ) = (x 1, x ; x, x 1 ). Определите, какое преобразование плоскости задает отображение ϕ t. Найдите образ окружности (x 1) + (y 1) = 1 при отображении ϕ Докажите, что ϕ t1 ϕ t = ϕ t1+t, (ϕ t ) 1 = ϕ t. проверочная 6. (дата проведения проверочной: 13 октября) определения: интегральная кривая векторного поля, n-поверхность, градиент функции, длина вектора в точке, скалярное произведение векторов в точке. 1. Пусть f : U R гладкая функция, α интегральная кривая векторного поля f. Покажите, что для всех t I. d (f α)(t) = f(α(t)) dt. Покажите, что для каждого t 0 I функция f растет вдоль α в точке α(t 0 ) быстрее чем вдоль любой другой кривой, проходящей через α(t 0 ) с той же самой скоростью. Другими словами, покажите, что если кривая β : Ĩ U такова, что β(s 0) = α(t 0 ) для некоторого s 0 Ĩ и β(s 0 ) = α(t 0 ), то 3. Определите, будет ли множество d dt (f α)(t 0) d ds (f β)(s 0). S = {(x 1, x ) R x = sin x 1 } S = {(x 1, x ) R x 1 = (x ) } S = {(x 1, x ) R (x 1 ) (x ) = } S = {(x 1, x, x 3 ) R 3 x 3 = x 1 x } S = {(x 1, x, x 3 ) R 3 (x 1 ) = (x ) x 3 } зонтик Уитни n-поверхностью. В случае положительного ответа, определите n. проверочная 7. (дата проведения проверочной: 0 октября) определения: векторное поле, градиент функции, интегральная кривая векторного поля, касательный вектор к n-поверхности, n-поверхность, касательное пространство к n-поверхности. 1. Докажите, что касательный вектор в точке к поверхности перпендикулярен градиенту функции в этой точке.. Докажите, что вектор в точке, перпендикулярный градиенту функции в этой точке, является касательным к поверхности. 3. Пусть поверхность задана уравнением (x 1 ) (x ) (x 3 ) = 9. Выясните, будет ли вектор v = ( 3, 0, 0; 1, 1, 0) касательным к поверхности. В случае отрицательного ответа разложите этот вектор в

3 сумму касательного вектора и вектора, параллельного градиенту функции в этой точке. (В вариантах будут различные поверхности и различные вектора). проверочная 8. (дата проведения проверочной: 7 октября) определения: экстремум функции на n-поверхности, n-поверхность, касательное пространство к n- поверхности, касательный вектор к n-поверхности. 1. Покажите, что множество SL(3, R) 3 3-матриц с определителем, равным 1, являются n-поверхностью. Определите n.. Найдите касательное пространство в точке e SL(3, R) (единичная матрица). 3. Дана окружность (x 1 ) + (x ) = и функция g(x 1, x ) = x 1 3x. Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на окружности. (В вариантах могут быть изменены числовые данные) 4. Дана окружность (x 1 ) + (x ) = и функция g(x 1, x ) = (x 1 ) 3(x ). Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на окружности. (В вариантах могут быть изменены числовые данные) Рекомендации по решению п.1 Вычисляем градиент стандартным образом и приравниваем его нулю. Получаем девять равенств нулю. Решение этой системы точки, в которых градиент равен нулю. Пусть (x 1,..., x 9 ) произвольное такое решение. Тогда эти числа удовлетворяют системе уравнений. Берем определитель матрицы и в положительных слагаемых заменяем два икса на равные им из первых трех уравнений системы, остальные слагаемые оставляем в покое. Тогда они попарно взаимно уничтожатся. Мы получим, что если в точке градиент обращается в нуль, то точка не принадлежит поверхности (так как в определителе должна быть единица). Попробуйте реализовать этот план. Если не получится, пишите, напишу подробности. проверочная 9. (дата проведения проверочной: 11 ноября) определения: векторное поле на n-поверхности, гладкое векторное поле на n-поверхности, касательное векторное поле, нормальное векторное поле, интегральная кривая касательного векторного поля на n- поверхности. 1. Докажите, что любое векторное поле можно представить в виде суммы касательного векторного поля и нормального.. Докажите, что через каждую точку n-поверхности проходит интегральная кривая касательного векторного поля. 3. Пусть дан однополостный гиперболоид (x 1 ) + (x ) (x 3 ) = 1 (гиперболический параболоид x 3 = (x 1 ) (x ), эллиптический параболоид x 3 = (x 1 ) + (x ), параболический цилиндр x 3 = (x ), гиперболический цилиндр (x 1 ) (x ) = 1) и векторное поле X(x 1, x, x 3 ) = (x 1, x, x 3 ; x 1, x, x 3 ) на нем. Разложите его в сумму касательного и нормального. Для касательного векторного поля напишите систему дифференциальных уравнений, задающих его интегральные кривые. проверочная 10. (дата проведения проверочной: 18 ноября) определения: нормальное векторное поле, единичное векторное поле, гладкое векторное поле на поверхности, ориентация n-поверхности, гауссово отображение. 1. Пусть дана -сфера (x 1 ) +(x ) +(x 3 ) = 1, ориентация на ней задана векторным полем N(x 1, x ) = f(x 1,x ) f(x 1,x ) и дан базис ее касательного пространства в точке p = (1, 0, 0): e 1 = (1, 0, 0; 0, 1, 0), e = (1, 0, 0; 0, 0, ). Определите его ориентацию. (в вариантах точка и векторы будут меняться). Пусть дана -сфера (x 1 ) +(x ) +(x 3 ) = 1, ориентация на ней задана векторным полем N(x 1, x ) = f(x 1,x ) f(x 1,x ). Задайте какой-нибудь базис касательного пространства в точке p = ( 1, 1, 0) и определите его ориентацию. (в вариантах точка будет меняться) 3. Пусть дана плоскость R. Найдите сферический образ одного периода синусоиды, обеих веток гиперболы, тангенса. 4. Пусть дано пространство R 3. Найдите сферический образ однополостного гиперболоида, эллиптического цилиндра, параболического цилиндра, эллиптического параболоида. проверочная 11. (дата проведения проверочной: 5 ноября) 3

4 определения: векторное поле вдоль параметризованной кривой, компоненты векторного поля, параметризованная кривая, сумма векторных полей, произведение векторного поля на функцию (вдоль параметризованной кривой), скалярное произведение векторных полей, производная векторного поля, геодезическая 1. Докажите, что компоненты суммы векторных полей равны сумме компонент слагаемых.. Докажите, что скалярное произведение векторных полей равно сумме произведений компонент сомножителей. 3. Докажите, что производная скалярного произведения векторных полей вычисляется по правилу Лейбница. 4. Рассмотрим сужение векторного поля X(x 1, x ) = (x 1, x ; (x 1 ) + x, x 1 + (x ) ) на окружность α (x 1 ) + (x ) = 4. Вычислите векторное поле α(t) (X α) + α(t). 5. Рассмотрим сужение векторного поля X(x 1, x ) = (x 1, x ; (x 1 ) + x, x 1 + (x ) ) на гиперболу α (x 1 ) (x ) = 1. Вычислите векторное поле α(t) d dt (X α) + α(t). проверочная 1. (дата проведения проверочной: декабря) определения: геодезическая, нормальное векторное поле, градиент функции, производная векторного поля вдоль параметризованной кривой, сужение векторного поля на параметризованную кривую. 1. Выведите систему дифференциальных уравнений, которые задают все геодезические на n-поверхности.. Запишите систему дифференциальных уравнений, задающих геодезические, для -сферы. 3. Запишите систему дифференциальных уравнений, задающих геодезические, для плоскости и решите ее. Убедитесь, что геодезическими на плоскости будут только прямые. 4. Пусть дан однополостный гиперболоид (x 1 ) + (x ) (x 3 ) = 1. Выясните, будут ли геодезическими а) горловая окружность (x 1 ) + (x ) = 1, x 3 = 0, б) контурная гипербола x 1 = 0, (x ) (x 3 ) = 1. проверочная 13. (дата проведения проверочной: 9 декабря) определения: геодезическая, нормальное векторное поле, ковариантная производная векторного поля вдоль параметризованной кривой. 1. Пусть дана n-поверхность S. Докажите, что дифференциальные уравнения α(t)+( α(t)n(α(t))n(α(t)) = 0 с начальными условиями α(0) = p, α(0) = v задают параметризованную кривую, лежащую на поверхности S.. Пусть дана сфера (x 1 ) + (x ) + (x 3 ) = 1 и параметризованная кривая x 1 = 1 cos t, x = 1 sin t, на ней. Найдите ковариантную производную касательного векторного поля x 3 = X(t) = ( 1 cos t, 1 sin t, ; t cos t, t sin t, t). 3. Пусть житель однополостного гиперболоида (x 1 ) + (x ) (x 3 ) = 1 (двуполостного гиперболоида (x 1 ) + (x ) (x 3 ) = 1) совершает прогулку по маршруту x 1 = cos t, x = sin t, x 3 = 3 (x 1 = sh t, x = 0, x 3 = ch t), где t время. Какая из мыслей этого жителя будет верной: а) Я иду прямо с одной и той же по величине скоростью, б) Я иду прямо, но моя скорость меняется по величине, в) Я поворачиваю, но скорость одна и та же по величине, г) Я поворачиваю и изменяю скорость по величине? Контрольная работа (дата проведения: 16 декабря) Будет 5 заданий (по 3 балла за задание, всего за контрольную 15 баллов) 1. Задание аналогичное заданиям из проверочных 1 3. Задание аналогичное заданиям из проверочных Задание аналогичное заданиям из проверочных Задание аналогичное заданиям из проверочных Задание аналогичное заданиям из проверочных

5 проверочная 14. (дата проведения проверочной: 3 декабря) определения: ковариантная производная векторного поля, евклидово параллельное векторное поле, векторное поле параллельное в смысле Леви-Чивита. 1. Докажите, что ковариантная производная суммы векторных полей равна сумме ковариантных производных слагаемых.. Докажите, что произведение векторного поля на функцию ковариантно дифференцируется по правилу Лейбница. 3. Пусть дана сфера (x 1 ) + (x ) + (x 3 ) = 1. Запишите параметрические уравнения кривой на сфере, двигаясь по которой житель сферы будет уверен, что а) он идет прямо с меняющейся по величине скоростью, б) он поворачивает, но по величине скорость постоянна. Программа зачета (дата проведения зачета: 3 декабря) На зачете будет 5 заданий. Каждое задание будет содержать доказательство одного из утверждений, перечисленных ниже (4 баллов)+ задача на объекты данного утверждения ( балла)+ формулировка определений, используемых в данном утверждении (1 балл)=7 баллов. Всего за зачет можно получить 35 баллов. Нужно знать определения: векторного пространства, арифметического пространства R n, вектора в точке, касательного пространства к R n в точке p, сумма векторов в точке, произведение вектора в точке на число, скалярное произведение векторов в точке, длина вектора в точке, векторное поле на R n (на открытом множестве из R n ), компоненты векторного поля, гладкое векторное поле, диффеоморфизм, градиент функции, операции с векторными полями (сумма, умножение на функцию, скалярное произведение), параметризованная кривая в R n, касательный вектор к параметризованной кривой, интегральная кривая векторного поля на R n, полное векторное поле, отображение ϕ t, n-поверхность, касательный вектор к n-поверхности, касательное пространство к n-поверхности, векторное поле на поверхности, гладкое векторное поле на поверхности, касательное и нормальное векторное поле на поверхности, интегральная кривая касательного векторного поля на поверхности, ориентация поверхности, гауссово отображение, векторное поле вдоль параметризованной кривой, операции с векторными полями вдоль параметризованной кривой (сумма, произведение на функцию, скалярное произведение, дифференцирование), векторное поле ускорения для параметризованной кривой, сужение векторного поля на параметризованную кривую, геодезическая, ковариантная производная векторного поля, евклидово-параллельное векторное поле, векторное поле параллельное в смысле Леви-Чивита. Нужно уметь доказывать следующие теоремы: 1. Система векторов (e 1,..., e n ) является базисом R n тогда и только тогда, когда система векторов в точке ((p; e 1 ),..., (p; e n )) является базисом T p (R n ).. Компоненты суммы векторных полей равны сумме компонент слагаемых. Компоненты произведения векторного поля на функцию равны произведению на функцию каждой компоненты исходного векторного поля. Скалярное произведение векторных полей равно сумме произведений компонент сомножителей. 3. Пусть дано гладкое векторное поле на открытом множестве U R n и точка p R n. Тогда в некоторой окрестности точки p существует единственная интегральная кривая данного векторного поля. 4. Множество {ϕ t } является группой диффеоморфизмов. 5. Пусть n-поверхность в R n+1 задана уравнением f(x 1,..., x n+1 ) = 0. Функция g, заданная на этой n-поверхности имеет в точке p экстремум. Тогда существует число λ, такое, что g(p) = λ f(p). 6. Вектор в точке v = (p; v) является касательным к n-поверхности S, заданной уравнением f(x 1,..., x n+1 ) = 0, тогда и только тогда он перпендикулярен градиенту функции f в этой точке. 5

6 7. Пусть дана n-поверхность S. Для любого гладкого касательного векторного поля на ней в некоторой окрестности точки p S существует интегральная кривая этого векторного поля. 8. На n-поверхности существует ровно два гладких нормальных единичных векторных поля. 9. Докажите свойства ковариантного дифференцирования векторного поля, заданного вдоль параметризованной кривой. 10. Параметризованная кривая на n-поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее ковариантное ускорение равно нулю. Нужно уметь решать задачи аналогичные задачам проверочных

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Теорема Гаусса Бонне

Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне утверждает, что среднее значение гауссовой (или скалярной) кривизны на двумерном многообразии не зависит от выбора метрики и определяется исключительно топологией

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения План лекции Вторая квадратичная форма поверхности Нормальная кривизна поверхности Теорема Менье 3 Главные кривизны поверхности Формула

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков

Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков Лекции по линейной алгебре и дифференциальной геометрии Н. С. Даирбеков 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ 1.1. Плоскость и пространство. Векторы. Далее R n обозначает арифметическое евклидово пространство

Подробнее

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера.

(1 x) ctg(2x). 4. Метод хорд графического интегрирования (пример). 5. Обоснование правила Крамера. Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). ( x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2013-2014 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Лекция 6 Тема: Элементарные поверхности. Вектор-функции двух переменных. Кривые на гладкой поверхности План лекции. Понятие элементарной поверхности и способы ее

Подробнее

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия Дифференциальная геометрия 1 Ковариантное дифференцирование на поверхности в евклидовом пространстве E 3 1. Действующие лица. Поверхность S в мы будем представлять как можесто нулей гладкой функции f(x

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

1 Кривизна кривой. k = lim. s (x) ( x) (x) = lim 1 + = 1 + (f. (x)) 2 = 1 + y 2. = lim. 1 + (f (x)) 2 = y

1 Кривизна кривой. k = lim. s (x) ( x) (x) = lim 1 + = 1 + (f. (x)) 2 = 1 + y 2. = lim. 1 + (f (x)) 2 = y 1 Кривизна кривой Пусть кривая дана как график функции y f(x). Двигаясь вдоль кривой, в каждой точке скорость движения направлена по касательной. Касательная прямая зависит от рассматриваемой точки. При

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк : СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Подробнее

Е.Е. Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие

Е.Е. Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 564

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность x y2. 2 z2 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ 2000 г. 1. Выписать уравнение плоскости, пересекающей поверхность 2 + y2 2 z2 3 = 1 по линии, центр которой находится в точке (4, 4, 3). 2. Выписать уравнение плоскости,

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г.

Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова г. МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии 1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова 2014 2015 г. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическая фигура, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением 2 2 2 (1) 0. При этом предполагается,

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Производная функции. Правила дифференцирования

Производная функции. Правила дифференцирования Производная функции. Правила дифференцирования Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Запишите выражение для Δy = f(х 0 + Δх) f(х) и найдите область определения функции Δу, если: a) f(x) = arcsin

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Конспект лекции 15 КВАДРИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. План лекции Лекция Квадрики в евклидовом пространстве. 1. Канонические уравнения квадрики в пространстве. 1.1. Эллипсоид; 1.2. Двуполостный гиперболоид;

Подробнее

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу

На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу На устном экзамене студент получает два вопроса и две задачи. Вопросы к итоговому экзамену по всему курсу 1. Дайте определение конечного предела последовательности. Приведите пример последовательности,

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Центр поверхности второго порядка

Центр поверхности второго порядка Центр поверхности второго порядка Напомним определение Определение Точка M 0 называется центром симметрии множества точек {M} (например, поверхности), если вместе с каждой точкой M, множеству {M} принадлежит

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Практическое занятие 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8.

Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 4 8x + 5x, x, x R; базисное решение: x = 0, x = 0, x = 4. Ответ: 8. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

Подробнее

Задачи для экзамена Дифференциальная геометрия и топология Мехмат МГУ, осень 2015 Лектор А.В.Пенской

Задачи для экзамена Дифференциальная геометрия и топология Мехмат МГУ, осень 2015 Лектор А.В.Пенской Задачи для экзамена Дифференциальная геометрия и топология Мехмат МГУ, осень 2015 Лектор А.В.Пенской Задачи, отмеченные звёздочкой, необходимо уметь решать претендующим на оценку «отлично». Задача 1. Доказать,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

Классификация поверхностей второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка Основные понятия Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

15. Поверхности второго порядка

15. Поверхности второго порядка 15 Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(,,) = 0, где F(,,) многочлен степени

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ШАЛЯ. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Рис. 2.1 Имеется неподвижная система координат OXY Z. Обозначим её как S Рассмотрим твёрдое тело, имеющее жёстко привязанные

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

RS геодезической γ. Если точки R и S достаточно близки к P, кривая γ проходит

RS геодезической γ. Если точки R и S достаточно близки к P, кривая γ проходит Лекция Тема: Кратчайшие на поверхности Геодезический треугольник Поверхности постоянной гауссовой кривизны План лекции Кратчайшие на поверхности Дефект геодезического треугольника, примеры 3 Поверхности

Подробнее

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Место дисциплины в структуре образовательной программы

Место дисциплины в структуре образовательной программы Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Алгебра и аналитическая геометрия» является дисциплиной модуля «Математика» Б1.Б.6 базовой части ОПОП по направлению подготовки 02.03.03

Подробнее

Лекция 3. Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина

Лекция 3. Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина С А Лавренченко wwwlwrencenkoru Лекция Криволинейные интегралы второго рода Формула Грина На лекции мы изучали криволинейный интеграл -го рода интеграл f ds от скалярной функции f по данной кривой На этой

Подробнее