Плоскость. Прямая в пространстве 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Плоскость. Прямая в пространстве 1"

Транскрипт

1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством. Требуется в некоторой системе координат получить уравнение, которому будут удовлетворять координаты точек заданного ГМТ и не удовлетворять координаты других точек. 2. В некоторой системе координат на плоскости (или в пространстве) задано уравнение. Требуется выяснить координаты какого ГМТ удовлетворяют этому уравнению. Плоскость. Прямая в пространстве 1

2 Линия на плоскости 1 2 k n k 1 2 n k 1 2 n Поверхность в пространстве З а д а н а с и с т е м а к о о р д и н а т на плоскости и = f, X в пространстве и z = f, ;, G. Множество точек (, f, X, Множество точек (,, f,,, G, соединенных последовательно между соединенных последовательно между собой, называется графиком функции собой, называется графиком функции = f кривая на плоскости z = f, поверхность в пространстве n M 1 0 ( 0, 0, f( 0, 0 )) n k M(k, f( k ) 1 z 11 z 1n 2 m z m1 z mn 1 = f ; z = f, ; F, = 0; F,, z = 0; A + B + C = 0, A 2 + B 2 0 A + B + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 0 M 0 ( 0 ; 0 ) Классификация поверхностей и кривых на плоскости по разным признакам (сфера интересов); одна из них по типу уравнений: (алгебраические) и его порядку кривые (поверхности) 1-го порядка, 2-го порядка, Класс линий 1-го порядка на плоскости один A + B + C = 0 прямые; поверхностей в пространстве один A + B + Cz + D = 0 плоскости Плоскость. Прямая в пространстве 2

3 Алгебраическое уравнение первого порядка с тремя неизвестными A + B + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 0 задаёт в пространственной ДСК алгебраическую поверхность первого порядка, свойства которой во многом аналогичны свойствам прямой на плоскости геометрическому образу уравнения первого порядка с двумя неизвестными: A + B + C = 0; A 2 + B 2 0 Теорема. Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая. {прямая в R 2 } {(, ) R 2 A + B + C = 0; A 2 + B 2 0} Теорема. Любая плоскость в пространстве представляет собой алгебраическую поверхность первого порядка и любая алгебраическая поверхность первого порядка в пространстве есть плоскость {плоскость в R 3 } {(,, z) R 3 A + B + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 0} Функция точки: u = f M ; M D R n M G R 1 ; M G R 2 ; M G R ,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 Пересечения поверхностей линии в пространстве Плоскость. Прямая в пространстве 3

4 Порядок алгебраической линии (поверхности) инвариантен по отношению к выбору прямоугольной декартовой системы координат Прямая на плоскости Сводка результатов Разнообразие видов уравнений прямых порождается многообразием геометрических способов их задания. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую, можно составить уравнение этой прямой, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой. Сказанное, как будет видно из дальнейшего, относится и к более сложным геометрическим объектам (линиям 2-го порядка, прямым в пространстве, плоскостям, ) Понятия точки, прямой и плоскости в геометрии Евклида первичны и потому - неопределяемы. Аналитическая геометрия дает определение этих понятий (как множеств решений тех или иных уравнений), но никакого чуда при этом не происходит - первичные понятия отодвигаются в другую область. Босс Плоскость. Прямая в пространстве 4

5 Обозначения Y M 0 S 0 L n M 1 M X M 0 0, Y 0 заданные точки на прямой; M 1 1, 1 P 0, b M, текущая точка на прямой; L M 0 M 0, 0 вектор; b M n A, B вектор нормали к прямой L; S p, q направляющий вектор прямой L; 0 a X Векторная форма записи M 0 M n OM n = 0 = p M 0 M = ts M 0 M = tm 0 M 1 (две точки); M 0 = P, M 1 = Q, PM = tpq P 0 M = ts 1 S 1 cos α, sin α, P 0 0, b (1) (2) 0 p 2 (2) (2) Координатная форма записи A 0 + B 0 = 0 A + B + C = 0; A 2 + B 2 0 cos φ + sin φ p = 0 = 0 q = ; (2 3 ) (1 1 ) (1 2 ) (1 3 ) ; (2 1 ) = 0 + tp = 0 + tq ; (2 2) (2 1,2 ) a + b = 1; (2 6) (2 3,6 ) 0 = (tg α) ( 0 ) k + b; k = tg α; b = 0 0 (tg α) ; α = π/2!!! Плоскость. Прямая в пространстве (2 4 ) 5

6 M 0 0, 0 L: A + B + C = 0 A 0 + B 0 + C = 0 0, 0 удовл. ур. Если L 1 L 2 M 0 0, 0 L 1 L 2 ( 0, 0 ) удов. A 1 + B 1 + C 1 = 0 A 2 + B 2 + C 2 = 0 L 1 A 1 + B 1 + C 1 = 0 и L 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 ; n 1 A 1, B 1, n 2 A 2, B 2 Характеристика Векторная Координатная расположения форма записи форма записи (L 1, L 2 ) = φ cos φ = n 1 n 2 A 1 A 2 + B 1 B 2 cos φ = n 1 n 2 A B 2 1 A B 2 L 1 L 2 n 1 n 2 n 1 n 2 = 0 L 1 L 2 {A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0} L 1 L 2 n 1 n 2 n 1 = λn 2 L 1 L 2 d = d M k ; L ; M k k, k d = d M k ; Pr L M k = = A k + B k + C n d M k ; L A 1 A 2 = B 1 B 2 = A k + B k + C A 2 + B 2 При L 1 L 2 d L 1 ; L 2 определяется расстоянием от произвольной точки одной из прямых до другой Всё изложенное для прямых, заданных общими уравнениями. Другие возможные варианты Плоскость. Прямая в пространстве 6

7 R 2 R 3 O O M 0 0, 0 M заданные точки на прямой; 0 0, 0, z 0 M 1 1, 1 M 1 1, 1, z 1 заданные точки; M, текущая точка на прямой; n A, B вектор нормали к прямой L; S p, q направляющий вектор прямой L; M,, z текущая точка; N A, B, C вектор нормали к плоскости P; S m, n, p направляющий вектор прямой L; Интуиция: прямая на плоскости однозначно задаётся если известно: 1) точка M 0 0, 0, через которую проходит прямая и «направление, привязанное к прямой», что задавалось несколькими способами ; в зависимости от конкретики - разные уравнения (но все они первого порядка) Подход (идеология) будет использован далее и в пространственном случае z Плоскость. Прямая в пространстве 7

8 Различные формы уравнений плоскости в R 3 Векторная форма записи Координатная (скалярная) форма записи 1. Плоскость P, проходящая через точку M 0 0, 0, z 0 N(A, B, C) M,, z текущая точка N A, B, C в (1) к координатам: N A, B, C M P M 0 M N M 0 0, 0, z 0 M 0 M 0, 0, z z 0 (M 0 M N) = 0 (1 1 ) A 0 +B 0 +C z z 0 = 0 N A, B, C нормаль к P N (1 1 ) через точку и нормаль (M 0 M N) = 0 (1) P A + B + Cz + D = уравнение плоскости, M 0 M общее уравнение плоскости проходящей через M уравнение 1-ой степени 0 перпендикулярно вектору N A 2 + B 2 + C 2 0; 2. П-ть, проходящая через M 0 0, 0, z 0 S 1 m 1, n 1, p 1 и S 2 m 2, n 2, p 2 ; S 1 S 2 M 0 ; M,, z ; M P M 0 M, S 1, S 2 компланарны M 0 M, S 1, S 2 = 0 (2) M 0 M, S 1, S 2 = M 0 M [S 1 S 2 ] [S 1 S 2 ] N (1) P M 0 S 1 M S 2 в (2) к координатам: 0 0 z z 0 m 1 n 1 p 1 = 0 m 2 n 2 p 2 (2 1 ) Раскладывая (2 1 ) по элементам первой строки, приходим к (1 2 ). Плоскость. Прямая в пространстве 8

9 Геометрический образ Координатная форма записи 3. Плоскость, три точки M k k, k, z k, не лежащие на одной прямой Принимая в (2) S 1 = M 0 M 1, S 2 = M 0 M 2 M 0 M, M 0 M 1, M 0 M 2 = 0 (3) через три точки 0 0 z z z 1 z 0 = z 2 z 0 (3 1 ) Раскрывая (3 1 ) (1 2 ) 4. Уравнение плоскости в «отрезках» Если три точки в (3) выбирать «специфически»: M 0 a, 0, 0, M 1 0, b, 0, M 2 0, 0, c (3 1 ) переходит в: a + b + z c = 1(3 2 ) z Пусть все коэффициенты в A + B + Cz + D = 0 отличны от 0 D/A + D/B + z D/C = 1 0 a c b P M 0 M 1 a + b + z c = 1 (3 2) «геометрия коэффициентов, терминология, следы плоскости! Все уравнения алгебраические 1-го порядка относительно переменных,, z.! Уравнений много, но это разная форма записи Тип один.! Любое из полученных уравнений приводится к любому другому из оставшихся M 2 M Плоскость. Прямая в пространстве 9

10 Взаимное расположение плоскостей M 0 0, 0, z 0 P: A + B + Cz + D = 0 A 0 + B 0 + Cz 0 + D = 0 координаты точки удовлетворяют уравнению P 1 : A 1 + B 1 + C 1 z + D 1 = 0; P 2 : A 2 + B 2 + C 2 z + D 2 = 0 ; N 1, N 2 Характеристика Векторная Координатная расположения форма записи форма записи P 1, P 2 cos φ = N 1 N 2 N 1 N 2 cosφ = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A B C 1 2 A B C 2 2 P 1 P 2 N 1 N 2 N 1 N 2 = 0 P 1 P 2 {A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0} P 1 P 2 N 1 N 2 N 1 = λn 2 P 1 P 2 A 1 A 2 = B 1 B 2 = d M k ; P = d M k ; P = d M k ; Pr P M k = A k + B k + Cz k + D d M k ; P = A k + B k + Cz k + D M k k, k, z k N A 2 + B 2 + C 2 При P 1 P 2 d P 1 ; P 2 определяется расстоянием от произвольной точки одной из плоскостей до другой. Всё изложенное для плоскостей, заданных общими уравнениями. Другие возможные варианты C 1 C 2 Плоскость. Прямая в пространстве 10

11 Различные формы уравнений прямой в R 3 Векторная форма записи Координатная (скалярная) форма записи 1. Прямая L, проходящая через M 0 0, 0, z 0 S m, n, p направляющий вектор M,, z текущая точка M L M 0 M S M 0 M = ts (1) - уравнение прямой, проходящей через точку M 0 параллельно S m, n, p z L M 0 S M Переход в (1) к координатам приводит 0 m = 0 = z z 0 (1 1 ) n p канонические = 0 + tm, = 0 + tn, (1 2 ) - параметрические z = z 0 + tp. 2. Прямая L, проходящая через две заданные точки M 0 0, 0, z 0, M 1 1, 1, z 1 Если на прямой задана ещё точка M 1, (2) в координатах принимает вид: то за S можно взять M 0 M 1 0 = 0 = z z 0 (2 (1) M 0 M = tm 0 M 1 (2) z 1 z 1 ) 0 3. Прямая L как пересечение двух плоскостей (общие уравнения прямой) В геометрии Евклида M L {M P прямая первичное 1 P 2 } A 1 + B 1 + C 1 z + D 1 = 0 (3 понятие (определению 1 ) A 2 + B 2 + C 2 z + D 2 = 0 не подлежит). В АГ N 1 P 2 L Переход к 1 1 : а) находим прямая - линия M M 0 0, 0, z 0 L пересечения двух N 2 P удовлетворяющую (3 1 ); плоскостей 1 S = [N 1 N 2 ] б) определяем S = [N 1 N 2 ] Плоскость. Прямая в пространстве 11

12 Замечание В знаменателях канонических уравнений могут быть нулевые значения (но не все три). Это не означает деление на нуль. Чтобы понять смысл нулевых значений параметров m, n, p, обратим внимание на параметрические уравнения прямой = 0 + tm, = 0 + tn, z = z 0 + tp, (1 2 ) в которых нет проблемы нулевых знаменателей. Например, при m = 0 из (1 2 ) следует, что = 0. То есть, если в канонических уравнениях один из знаменателей (или два, но не все три) равен нулю, то соответствующий числитель равен нулю. Именно в этом смысле понимают в записи канонических уравнений нулевой знаменатель. Пример. Точки M 1 (1; 2; 3) и M 2 (3; 2; 1) определяют проходящую через них прямую 1 2 z z 3 = = = = Нуль в знаменателе второй дроби означает, что для координат всех точек прямой выполнено равенство = 2. Поэтому прямая расположена в плоскости 2 = 0, параллельной координатной плоскости Oz и пересекающей ось ординат в точке с координатой 2. Плоскость. Прямая в пространстве 12

13 Плоскость. Прямая в пространстве 13 Возможны 4-ре различных случая расположения двух прямых в пространстве: 1) прямые не лежат в одной плоскости (скрещивающиеся); 2) лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку (пересекаются); 3) лежат в одной плоскости и не пересекаются (параллельные); 4) прямые совпадают. Необходимо иметь признаки этих случаев (критерии, различающие ситуации 1-4). Приведём их здесь для прямых, заданных каноническими уравнениями: L 0 L 1 = M L 0 L 1 L 0 L 1 L 0 M 1 1, 1, z 1 g = M 0 M 1 S 0 m 0, n 0, p 0 M 0 0, 0, z 0 L 1 M L 1 L 0 : 0 m 0 L 0 L 0 = 0 n 0 = z z 0 p 0 L 1, L 1 : 1 m 1 L 0 = 1 n 1 L 1 = z z 1 p 1 {L 0 и L 1 скрещивающиеся} {g, S 0, S 1 не компланарны} g, S 0, S 1 0 ; {L 0 L 1 = M} g,s 0, S 1 компланарны S 0 S 1 g,s 0, S 1 = 0 [S 0 S 1 ] 0 {L 0 L 1 } S 0 S 1 g S 0 [g S 0 ] 0 [S 0 S 1 ] = 0 ; {L 0 и L 1 совпадают} {g, S 0, S 1 коллинеарны} [g S 0 ] = 0 [S 0 S 1 ] = 0 ;

14 Плоскость. Прямая в пространстве 14 Замечание Если две прямые заданы общими уравнениями (а это можно всегда сделать) L 1 : A 1 + B 1 + C 1 z + D 1 = 0, A 2 + B 2 + C 2 z + D 2 = 0, L 2 : A 3 + B 3 + C 3 z + D 3 = 0, A 4 + B 4 + C 4 z + D 4 = 0, то целесообразно рассмотреть систему линейных алгебраических уравнений: A 1 + B 1 + C 1 z + D 1 = 0, A 2 + B 2 + C 2 z + D 2 = 0, A 3 + B 3 + C 3 z + D 3 = 0, A 4 + B 4 + C 4 z + D 4 = 0, и свести вопрос об исследовании расположения прямых к исследованию системы. При этом, если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений; если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение; в случае параллельных или скрещивающихся прямых у системы нет решений. Последние два случая можно различить, если найти направляющие векторы прямых. В случае их коллинеарности, прямые параллельны. (взаимопроникновение алгебры и геометрии).

15 Расстояние между скрещивающимися прямыми Опр. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Признак скрещивающихся прямых Если одна из скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой Теорема. Для любых двух скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр. Опр. 1. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми (Геометрия кл. Л.С. Атанасян и др. М.: Просвещенние, 2009 г.). Опр. 2. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину общего перпендикуляра к этим прямым (Геометрия 7-11 кл. А.В. Погорелов. М.: Просвещение, 2009 г.). Опр. 3. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между параллельными плоскостями, содержащими данные скрещивающиеся прямые. Плоскость. Прямая в пространстве 15

16 скрещивающимися R 3 {L 0 и L 1 скрещивающиеся} {g, S 0, S 1 не компланарны} g, S 0, S 1 0 ; S 1 L 1 M 1 L 1 M 1 d = H S 1 M 0 M 0 S 0 L 0 P L 0 Используя последнее из приведенных определений расстояния d между скрещивающимися прямыми, замечаем, что искомое расстояние d равно высоте H параллелепипеда, построенного на векторах, M 0 M 1, S 0, S 1 d = H = V пар (M 0 M 1 ; S 0 ; S 1 ) S (S 0, S 1 ) = M 0M 1 S 0 S 1 S 0 S 1. S 0 m 0, n 0, p 0 ; S 1 m 1, n 1, p 1 ; M 0 M 1 ( 1 0, 1 0, z 1 z 0 ) Плоскость. Прямая в пространстве 16

17 Угол между прямыми в R 3 {L 0 и L 1 пересекаются} g, S 0, S 1 компланарны S 0 S 1 g, S 0, S 1 = 0 [S 0 S 1 ] 0 ; g = M 0 M 1 M 0 0, 0, z 0 M 1 1, 1, z 1 φ L 0 φ S 0 L 0 : 0 m 0 = 0 n 0 = z z 0 p 0, S 0 m 0, n 0, p 0 ; L 1 S 1 L 1 : 1 m 1 = 1 n 1 = z z 1 p 1, S 1 m 1, n 1, p 1. Угол между прямыми L 0 и L 1 определяется как угол между их направляющими векторами S 0, S 1 и поэтому вычисляется из известного соотношения: cos (L 0, L 1 ) = cos S 0, S 1 = S 0 S 1 S 0 S 1 = Сравнить с R 2 m 1 m 0 + n 1 n 0 + p 1 p 0 m n p 1 2 m n p 1 2. Плоскость. Прямая в пространстве 17

18 {L 0 L 1 } S 0 S 1 M 0 M 1 S 0 [g S 0 ] 0 [S 0 S 1 ] = 0 ; M 1 1, 1, z 1 S 1 m 1, n 1, p 1 M 0 M 1 d S 0 m 0, n 0, p 0 L 0 L 1 S 0 = λs 1 Прямые заданы в канонической форме: L 0 : 0 m 0 L 1 : 1 m 1 = 0 n 0 = 1 n 1 = z z 0 p 0, = z z 1 p 1. M 0 0, 0, z 0 d L 0 ; L 1 L 0 L 1 = d M L 1 и прямой L 0. В качестве точки M выберем M 1 1, 1, z 1 и d L 0 ; L 1 = d M 1 ; L 0, что является высотой параллелограмма, построенного на векторах S 0, M 0 M 1. S S 0, M 0 M 1 = S 0 M 0 M 1 = d S 0 d = S 0 M 0 M 1 S 0 Дана точка M 1 1, 1, z 1 и прямая (в канонической форме) в пространстве: L 0 : 0 = 0 = z z 0. Найти d M m 0 n 0 p 1 ; L 0. 0 «Отсутствие» второй прямой не влияет на проведенные выше рассуждения d M 1 ; L 0 = S 0 M 0 M 1 S 0 Плоскость. Прямая в пространстве 18

19 Взаимное расположение прямой и плоскости Возможны три случая взаимного расположения прямой L и плоскости P: a) L и P пересекаются (имеют одну общую точку); b) L P (не имеют общих точек); c) L P (все точки прямой принадлежат плоскости). Признаки этих случаев. L задана каноническими уравнениями; P общим уравнением L: 0 m N φ β S = 0 n L M i P M 0 = z z 0, S m, n, p ; P: A + B + Cz + D = 0, N A, B, C : p {L и P пересекаются} {N и S не ортогональны} N S 0 {Am + Bn + Cp 0}; Угол между прямой L и плоскостью P определяется как угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость: N S cos φ = sin β = N S = Am + Bn + Cp. M A 2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2 i =? N P M 0 S L L P L P N S M 0 P N S = 0 M 0 P {Am + Bn + Cp = 0 A 0 + B 0 + Cz 0 + D 0}; N S N S = 0 {N = λs} A m = B n = C p N N S M 0 P N S = 0 M 0 P {Am + Bn + Cp = 0 A 0 + B 0 + Cz 0 + D = 0} Плоскость. Прямая в пространстве 19 L {L P} S M 0 P

20 Плоскость. Прямая в пространстве 20 Исследовании взаимного расположения прямой и плоскости можно провести с помощью анализа соответствующей системы линейных алгебраических уравнений. Пусть L: A 1 + B 1 + C 1 z + D 1 = 0, A 2 + B 2 + C 2 z + D 2 = 0, P: A + B + Cz + D = 0. Из общих уравнений прямой и общего уравнения плоскости составляем систему трёх уравнений с тремя неизвестными: A 1 + B 1 + C 1 z + D 1 = 0, A 2 + B 2 + C 2 z + D 2 = 0, A + B + Cz + D = 0. Если эта система не имеет решений, то прямая параллельна плоскости. Если она имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются в единственной точке, что равносильно тому, что определитель системы A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 0. A B C Если система имеет бесконечно много решений, то прямая принадлежит плоскости. A 1 + B 1 + C 1 z + D 1 = 0, A 2 + B 2 + C 2 z + D 2 = 0, A + B+ Cz + D = 0. имеет бесконечно много решений L P имеет един. решение L и P пересекаются система не имеет решений L P

21 Примеры, упражнения, задачи Плоскость. Прямая в пространстве 21

22 Задача 2. Построить плоскость по заданному уравнению. По трём точкам и на этом можно остановиться. Но Задача 3. Исследовать общее уравнение плоскости. Это значит A + B + Cz + D = 0; N A, B, C в зависимости от A, B, C, D, за тремя первыми из которых «стоит» нормальный вектор к плоскости Перебор всех вариантов Неполные уравнения плоскости - если хотя бы один из коэффициентов в ( ) равен нулю D/A + D/B + z D/C = 1 a + b + z c = 1; «отрезки на осях» a + b + z c = 1; z = 0 пл. O P: A + B + Cz + D = 0 ( ) 1. Все коэффициенты в A + B + Cz + D = 0; 0. Следы плоскости её пересечения с координатными плоскостями След исследуемой плоскости на координатной плоскости z = 0 достаточно для построения a + b = 1 a z c 0 b Пример. Построить плоскость z = z = z = 1 ; 3 «отрезки на осях»: a = 4, b = 3, c = 1 2. D = 0 A + B + Cz = 0 В этом случае плоскость P проходит через начало координат. Находим её след на любых двух (почему?) координатных плоскостях и выполняем построение Плоскость. Прямая в пространстве z 0

23 3. D 0, одна из координат вектора N A, B, C равна нулю a). A = 0 B + Cz + D = 0; N 0, B, C OX, т.к. OX i 1, 0, 0 и N i = 0 плоскость B + Cz + D = 0 OX. След плоскости B + Cz + D = 0 на B + Cz + D = 0, её можно рассматривать координатной плоскости zo прямая: = 0 в плоской СК zo, уравнение в которой формально совпадает с уравнением плоскости. b). B = 0 A + Cz + D = 0, P OY След плоскости на Oz A + Cz + D = 0 c). C = 0 A + B + D = 0, P OZ След плоскости на O: A + B + D = 0 Общее: плоскость параллельна координатной оси, одноименной нулевой координате вектора N «отсутствующей переменной в уравнении плоскости» a z b z c z Плоскость. Прямая в пространстве 23

24 4. D = 0 и одна из координат вектора N A, B, C равна нулю Второе условие предыдущего случая не изменилось (оно означало параллельность плоскости определённой координатной оси: OX при A = 0; OY при B = 0; OZ при C = 0). Отсутствие свободного члена (D = 0 ) в уравнении плоскости означает, что плоскость проходит через начало координат. Плоскость не только параллельна оси, но и проходит через ось. Далее, всё как в п.3. Общее. Плоскость проходит через координатную ось, одноименную нулевой координате вектора N «отсутствующей в уравнении переменной» 5. D 0, две из координат вектора N A, B, C равны нулю т.е. речь идёт о плоскостях a) A + D = 0 координатной плоскости Oz: = 0 и отстоит от неё на D A ; b) B + D = 0 координатной плоскости Oz: = 0 и отстоит от неё на D B ; c) Cz + D = 0 координатной плоскости O: z = 0 и отстоит от неё на D C ; 4a z 4b z 4c z 5a z 5b z 5c 6. D = 0, две из координат вектора N A, B, C равны нулю т.е. возможные варианты плоскостей = 0; = 0; z = 0 уравнения координатных плоскостей D A O O D B z O D C Плоскость. Прямая в пространстве 24 z = 0 = 0 O z = 0

25 Задача 4. Даны точки A 2; 1; 1, B 3; 4; 1, C 5; 0; 3, D( 1; 2; 2). Требуется: a) убедиться в том, что эти точки не лежат в одной плоскости; b) найти проекцию D 1 точки D на плоскость ABC; c) найти расстояние от точки D до плоскости ABC; d) найти площадь ABC; e) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую AD и перпендикулярной плоскости ABC. Решение. а). Рассмотрим векторы AB = 1; 3; 2, AC = ( 3; 1; 3) и найдем их смешанное произведение: 3; 1; 4, AD = AB, AC, AD = = 70 0 A, B, C, D не лежат в одной плоск b). Составим уравнение плоскости ABC. Для этого предварительно найдем нормальный вектор плоскости ABC: N A i j k N = AB AC = = 14; 2; 10. A 2; 1; 1 плоскости ABC; уравнение плоскости ABC: 14( 2) + 2( 1) 10(z + 1) = z 20 = 0. d D D 1 C B Прямая DD 1 проходит через точку D и перпендикулярна плоскости ABC. Отсюда находим параметрические уравнения = 7t 1, прямой DD 1 : = t + 2, z = 5t + 2. Плоскость. Прямая в пространстве 25

26 Подставив эти выражения в уравнение плоскости ABC, найдем значение параметра t: 7(7t 1) + (t + 2) 5( 5t + 2) 20 = 0, t = D 1 = 34 15, 37 15, 1 3. c) Воспользовавшись формулой для расстояния от точки до плоскости, получим: 7( 1) d D; ABC = = d) Площадь S ABC = AB AC 2 = N 2 = = 5 3. e) Найдем нормальный вектор N 1 искомой плоскости: i j k N 1 = AD N = = 16; 12; Поскольку плоскость проходит через точку A и перпендикулярна к вектору N 1, получаем: z + 1 = z = 0. Плоскость. Прямая в пространстве 26

27 Пример 2. Составить уравнение плоскости, зная, что точка P(4, 1, 5) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 1, 1, 2 перпендикулярно к плоскостям 2 + 3z = 0; + z = 1. Пример 4. Среди данных плоскостей указать параллельные и найти расстояние между ними: z = 6; z = 0; + 4 5z + 9 = 0. Пример 5. Привести к каноническому виду уравнение прямой 3 + 4z 7 = 0, + 5 3z + 1 = 0. Пример 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2, 4, 5) параллельно оси OX. Пример 7. Найти угол между прямой 1 2 = +2 1 = z 1 Пример 8. Найти расстояние между двумя прямыми: z 1 = = ; Примеры Найти проекцию точки M 0 (1, 2, 1) на прямую +2 3 = 1 = z 1 2 проекцию прямой +2 3 и плоскостью 2 + z = 5. 2 = 2 z + 2 = 3. ; на плоскость + z = 1; = 1 = z 1 2 на плоскость + z = 1. Плоскость. Прямая в пространстве 27

28 Пример 12. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через M 1 (1; 2; 1) и z 1 = = Пример 13. На плоскости + z = 0 найти точку с наименьшим расстоянием до начала системы координат. Задача 5. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от плоскостей: a) 2 + 4z 3 = 0, z + 7 = 0; b) 2 + 4z + 5 = 0, z 11 = 0. Задача 6. Найти уравнение геометрического места точек, равноудалённых от точек A 1; 4; 3, B 3; 0; 5. Пример. Исследовать взаимное расположение геометрических объектов 1 2 z + 1 L 1 : = = 1 3 2, L z + 1 = 0, 2: + + 2z 2 = 0. Решение. L 1 и L 2 прямые в пространстве. Направляющий вектор S 1 прямой L 1 : S 1 = 1; 3; 2. Направляющий вектор S 2 второй прямой L 2 вычисляем как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, пересечением которых является L 2 : i j k S 2 = N 1 N 2 = = i 3 j + 2k. S 1 = S прямые параллельны или совпадают. Какая из этих ситуаций выполняется? Для ответа, подставим точку M 1 (1; 2; 1) прямой L 1 в уравнение прямой L 2. Подстановка в первое уравнение дает 1 = 0. M 1 L 2 и L 1 L 2 Плоскость. Прямая в пространстве 28

29 Выяснить, в какой из двух углов между плоскостями + 3 2z + 1 = 0, 3 + 2z + 2 = 0 попадает точка M 0 1; 1; 1, в острый или тупой. Вопросы для самопроверки 1. Поверхности и линии в R 3, способы задания. Поверхности первого порядка. Сколько их? 2. Способы задания плоскости в пространстве: а) через заданную точку перпендикулярно заданному вектору (в векторной и координатной форме; общее уравнение плоскости, смысл коэффициентов в уравнениях); б) через заданную точку параллельно двум заданным неколлинеарным векторам (в векторной и координатной форме; смысл коэффициентов в уравнении); в) через три заданные точки; г) уравнение плоскости в отрезках; геометрический смысл коэффициентов. 3. Угол между плоскостями; условия перпендикулярности, параллельности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. 4. Построение плоскости по её общему уравнению (рассмотреть все возможные случаи равенства нулю коэффициентов и как это отражается на расположении плоскости в ДСК). 5. Уравнения прямой в пространстве: канонические, параметрические, прямая как линия пересечения двух плоскостей. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду и обратно. Расстояние от точки до прямой в пространстве. 6. Взаимное расположение прямой в пространстве и плоскости (условия принадлежности прямой плоскости, условия параллельности, перпендикулярности, угол между прямой и плоскостью). 7. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (условия параллельности, перпендикулярности двух прямых, угол между пересекающимися прямыми, при каких условиях прямые скрещиваются). Минимальное расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Плоскость. Прямая в пространстве 29

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Плоскость. Прямая в пространстве 1 Продолжение темы 3: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Имас О.Н. 016 г. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости Опр. Плоскостью называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Тема: Плоскость. Лектор Пахомова Е.Г г. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Плоскость Лектор Пахомова Е.Г. г. 3. Плоскость. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи)

Раздел 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ. Лекция 12. Тема: Прямая на плоскости. 6.1 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Раздел 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Лекция Тема: Прямая на плоскости 6 Системы координат на плоскости (простейшие задачи) Прямая, которая служит для изображения действительных чисел, на которой выбраны начальная

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или

Плоскость. 2 x x y y. x y. x y. Уравнение прямой, проходящей через точки M1( x1; или Плоскость Уравнение прямой, проходящей через точки M( ; ) и M ( ; ) [, стр. 4] 0 Если прямая проходит через точку M0( 0; 0 ) параметрическом виде имеет вид 0 + a t 0 + b t Например 5 t 5t [3, стр. 35]

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ»

«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Элементы аналитической геометрии

Элементы аналитической геометрии Элементы аналитической геометрии Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности. Изучаемые элементы могут быть заданы на плоскости, в пространстве, в «обобщенных»

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Образец варианта расчетно-графической работы по курсу Линейная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры: матрицы определители системы линейных уравнений Условия задач Составить две матрицы

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против

α, отсчитываемый от положительного направления оси до прямой L против ЛЕКЦИЯ 9 Уравнение прямой на плоскости угол Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть дана некоторая прямая L Углом наклона прямой L к оси O называется α, отсчитываемый от положительного направления

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы

Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Аналитическая геометрия Решение контрольной работы Задача. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 5 = 0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (-,0) точки пересечения его диагоналей.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y

На плоскости. 1, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c. 2 x x y y. x 2t. 1 S x y Уравнение прямой в общем виде имеет вид c. На плоскости Если, то такое уравнение называется нормализованным уравнением прямой. c При этом величина равна расстоянию от данной прямой до начала координат.

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум Владивосток Издательство

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее