«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по теме: «Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» Волгодонск

2 Рис Элементы векторной алгебры Векторы и линейные операции над ними В геометрии вектором называют направленный отрезок AB с начальной А и конечной В точками который можно перемещать параллельно самому себе Таким образом считается что два направленных отрезка АВ и А В имеющие равные длины и одно и то же направление определяют АВ а А В (изображают) один и тот же вектор и пишут Длиной (или модулем) АВ вектора АВ называется число равное длине отрезка АВ изображающего вектор Векторы параллельные одной прямой называются коллинеарными и компланарными если они параллельны одной плоскости Если вектор изображается направленным отрезком АВ то вектор изображаемый направленным отрезком ВА противоположным вектору и обозначается - называется вектором Для векторов вводятся операции сложения и вычитания При этом заметим что знаки «+» и которые ставятся между векторами имеют другой смысл чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма Произведением вектора на число называется вектор в имеющий длину в а направление которого совпадает с направлением вектора а если и противоположно ему если Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел Осью называется прямая l положительное направление которой задается единичным вектором l Пусть ортогональные проекции точек А и В на ось l B а АВ - произвольный вектор а А В A A l B l

3 Проекцией (или компонентой) вектора на ось l называется направленный отрезок А В на оси началом которого служит проекция начала вектора АВ а концом - проекция конца этого вектора (рис) Очевидно что компонента А В и вектор существует число (обозначим его а ) такое что l l коллинеарны Значит А В l l Число называется величиной проекции или координатой вектора обозначается а или пр а l l Координата а численно равна модулю l компоненты А В взятой со знаком «+» если В l если А В l Справедливо равенство пр l а а соs это число называют проекцией вектора на ось l Пусть а а а п - векторы а п Вектор а а векторов а i ( i п) Например вектор векторов а а а п а п а 5 а l АВ на ось l и А и со знаком - действительные числа Часто именно называется линейной комбинацией а а является линейной комбинацией Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов то говорят что он разложен по этим векторам В нашем примере вектор разложен по векторам а а а Система n векторов ( i п) называется линейно независимой если из i этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от нуля Иными i словами векторы ( i п) называются линейно независимыми если i равенство а а возможно лишь тогда когда все i ( i п) а п п В противном случае система векторов линейно зависимая Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность для трех векторов их компланарность Если мы имеем два неколлинеарных вектора и то всякий третий компланарный им вектор c может быть единственным способом разложен по векторам и те представлен как сумма двух векторов соответственно им компланарных: c

4 Если мы имеем три некомпланарных вектора и c то всякий четвертый вектор d может быть однозначно разложен по векторам и c те представлен как сумма трех векторов соответственно им коллинеарных: d c Между четырьмя векторами существует линейная зависимость: не равны нулю одновременно c d где Система n линейно независимых векторов в n -мерном пространстве называется базисом этого пространства На плоскости два неколлинеарных вектора е е а в пространстве тройка е е е взятых в определенном порядке некомпланарных векторов образуют базис Базис е е е называется ортонормированным если векторы е е е взаимно перпендикулярные и единичные Этот базис часто используется на практике и имеет специальное обозначение i j k Говорят что в пространстве задана прямоугольная (декартовая) система координат если в этом пространстве указан ортонормированный базис i j k и фиксированная точка О (начало координат) являющаяся общим началом базисных векторов Векторы i j k определяют положительное направление трех координатных осей: О (оси абсцисс) O (оси ординат) и O (оси аппликат) соответственно В пространственной прямоугольной системе координат вектор может быть представлен следующим образом: а i j k где - координаты вектора относительно базиса i j k которые совпадают с проекциями вектора на соответствующие оси Это векторное равенство часто записывают в символической форме: ; ; Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты ; и ; то координаты вектора АВ находятся как разности ; ; соответствующих координат конца В и начала А этого вектора те АВ ; ; а модуль его определяется как расстояние между двумя точками: ) ( ) ( ) АВ (

5 Если учесть при этом что выражение для модуля вектора можно записать так: то Пусть углы вектора с осями O O O соответственно равны Направляющие косинусы вектора определяются по формулам: cos ; cos Эти числа являются координатами орта те ; cos сos ;cos ; cos и связаны равенством сos cos cos Итак задав координаты вектора всегда можно определить его модуль и направление те сам вектор Линейные операции над векторами заданными своими координатами в в ; в ; в выполняются по следующим правилам: ; ; и ) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются: в в ; ; в в ; ) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: ; ; Два вектора равны если равны их соответствующие координаты те в в ; в ; в Два вектора коллинеарные если их координаты пропорциональны Итак если а в то в ; в а в а в а в или в ; Умножение векторов Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр) В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор Скалярным произведением двух ненулевых векторов а ив называется

6 число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: ; cos где Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел с Векторным произведением двух векторов а ив называется вектор который: ) имеет модуль численно равный площади параллелограмма построенного на векторах а ив : sin ; ) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма; ) направлен в такую сторону с которой кратчайший поворот от а к в рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов а в и с называется правой тройкой векторов) Отличительная особенность векторного произведения состоит в том что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места От перестановки векторов сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: Три вектора могут быть перемножены несколькими способами Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярнов результате получают число Смешанное произведение трех векторов а в и с которое обозначается ( ) c или c есть скаляр абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда построенного на векторах а в и с как на ребрах Указанные произведения векторов и их свойства достаточно просто выражаются через их прямоугольные координаты те координаты векторов в базисе i j k по сравнению с аналогичными выражениями в е е е которых мы не приводим произвольном базисе Пусть заданы два вектора ; ; и ; ; Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: Угол между векторами вычисляется по формуле cos

7 или в координатной форме cos Проекция вектора ; ; на ось вектора ; ; находится из соотношения: пр или в координатной форме пр Если учесть что - орт вектора то пр Условием перпендикулярности ненулевых векторов а и в является равенство нулю их скалярного произведения: Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов а и в следующим образом: k j i k j i Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности те Скаляр c представляющий смешанное произведение трех векторов равняется определителю третьего порядка составленному из координат этих трех векторов: c c c c Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: c P c

8 Переход к новому базису Координаты вектора зависят от выбора базиса Выбор базиса ничем не ограничен и принципиальное значение имеет задача о нахождении координат вектора в одном базисе по его координатам в другом базисе Выясним как устанавливается связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый е е е и новый Каждый из векторов (i =) нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса: Матрица e e e e e ik e e e e i A (ik=) называется матрицей перехода от старого базиса к новому Базисные векторы e (i =) i линейно независимы поэтому матрица A неособенная Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы A Найдем зависимость между координатами некоторого вектора d в разных базисах Пусть этот вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса те d и d e e e Подставив значения из предыдущей системы в первое равенство для вектора d и учитывая второе равенство получим систему уравнений: Как нетрудно заметить матрицей перехода от новых к старым координатам будет транспонированная матрица A T В матричном виде взаимосвязь между старыми координатами и новыми выражается следующими равенствами: A и ( A )

9 Пример В базисе е е е заданы векторы ;; ; ; ;; и вектор ;; Показать что векторы (i =) образуют базис в трехмерном пространстве и найти i координаты вектора в этом базисе Решение Векторы образуют базис если они линейно независимы Составим векторное равенство или Задача сводится к решению системы: Определитель системы 6 не равен нулю Следовательно однородная система имеет только нулевое решение значит векторы линейно независимы и образуют базис Связь между старым базисом е е е и новым выражается системой уравнений: e e e e e Матрица перехода от старого базиса е е е к новому имеет вид A Вычисляем A Она имеет вид A e e e 6

10 Находим транспонированную матрицу ( A ) Координаты в новом базисе находим из равенства ( A ) 6 Новые координаты вектора в базисе есть (9/6 5/6 /6) и вектор может быть представлен в виде: Решение типовых задач е е Пример В некотором базисе е заданы три вектора ;; ; ; ;; а также вектор d ;; Показать что векторы (i =) образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе Решение Покажем что векторы i (i =) линейно независимы Пусть i линейная комбинация этих векторов обращается в нуль те Это же равенство удобно записать в матричной форме: Задача сводится к решению системы: Убеждаемся в том что определитель системы не равен нулю Поэтому однородная система имеет только нулевое решение Следовательно а векторы линейно независимы и в трехмерном пространстве образуют базис Пусть координаты вектора d в этом базисе Это означает что вектор d представим в виде

11 d Запишем это равенство в координатной форме: От этого равенства переходим к решению системы уравнений: Решением этой системы является тройка чисел 7 4 ; ; 5 5 являются координатами вектора d в новом базисе может быть представлен в виде: d или 7 4 d ; ; 5 5 A ( ;;6) B(;; C ( ;; ) Пример: Даны четыре точки ) D ( 4;6; ) Они также Вектор d ) Вычислить значение выражения M где AB CD Решение Находим координаты векторов и через координаты начальной и конечной точек: ( ; ; 5) ( ;6; 4) Найдем их линейную комбинацию: (; ; ) Вычислим модуль полученного вектора: ( 9;8; M ( ) 5 ) Найти cos cos( d ) ) (; c и пр а с где c BC AD Решение Найдем координаты векторов c и d : c BC ( ; ;) AD ( 5;; 9) ;) d d Найдем модули полученных векторов и их скалярное произведение: d c 9 4 5

12 c d ( )( 5) ( ) ( 9) 9 Определяем косинус угла между векторами: cos c c d d 9 5 Найдем проекцию вектора c на вектор : c ( ) ( )( ) ( 5) пр а с 5 7 ) Определить длину медианы m AE и стороны l BC в треугольнике ABC Решение Определим координаты точки E как средней точки между B и C : B C ; B C ; B C ; E ( ;; ) E E E Вычислим длину медианы m и стороны l : m AE ( ) (6 ) 7 l BC ( ) ( ) ( ) ) Вычислить площадь ABC и его высоту BF ; h Решение Площадь треугольника найдем исходя из геометрического свойства векторного произведения: S AB Найдем векторное произведение: i j k 5 5 AB AC 5 i j k = i 5 j 5k AC 5 S AB AC i 5 j 5k i j ( ед ) Тогда k

13 Определим высоту BF исходя из формулы S BF 5 AC S BF AC 4) Найти объѐм пирамиды ABCD Решение Объѐм пирамиды найдем исходя из геометрического свойства смешанного произведения: V пир ( ед ) H DO найдем из формулы S Н S OD осн ABC V пир 7 48 OD ( ед S 5 ABC 4 4 Высоту пирамиды V 6 пир 6 AB AC AD откуда ) 6 5 откуда Элементы аналитической геометрии Аналитическая геометрия на основе метода координат изучает геометрические объекты средствами алгебры При этом геометрическим объектам сопоставляются уравнения (системы уравнений) так что геометрические отношения (свойства) фигур выражаются в свойствах их уравнений Уравнение F ( ) называется уравнением поверхности (линии) в заданной системе координат если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки лежащей на этой поверхности (линии) и не удовлетворяют координаты никакой другой точки не лежащей на этой поверхности (линии) Понятие уравнения геометрического объекта дает возможность решать геометрические задачи алгебраическими методами не прибегая к геометрическим построениям Например задача нахождения точек пересечения двух линий определяемых уравнениями 5 и 5 5 9

14 уравнений 6 сводится к алгебраической задаче решения системы этих Плоскость и прямая в пространстве Рассмотрим геометрические объекты которые описываются линейными алгебраическими уравнениями Плоскость P в декартовой прямоугольной системе координат O может быть задана одним из уравнений: ) A B C D общее уравнение плоскости; ) A ( ) B( ) C( ) уравнение плоскости проходящей через точку M ) перпендикулярно нормальному вектору ( A; B; C) N ; c ( ) - уравнение плоскости в отрезках где c величины направленных отрезков отсекаемых плоскостью на координатных осях O O O соответственно; 4) Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки M ( ) i i i i i не лежащие на одной прямой можно записать в виде или ; 5) cos cos cos нормальное уравнение плоскости где перпендикулярного плоскости; расстояние от начала координат до плоскости Анализируя все перечисленные уравнения плоскости приходим к выводу: всякое уравнение первой степени A B C D относительно координат точки пространства изображает плоскость и наоборот всякая плоскость может быть представлена уравнением первой степени содержащим три независимых параметра Если в указанном уравнении отсутствует свободный член D то плоскость проходит через начало координат Если отсутствует член с одной из координат то плоскость параллельна соответствующей оси cos cos cos направляющие косинусы вектора N

15 координат; если одновременно отсутствуют свободный член и член с одной из координат то плоскость проходит через соответствующую ось Если отсутствуют члены с двумя координатами то плоскость параллельна той координатной плоскости которая содержит соответствующие оси Если отсутствуют член уравнения с двумя координатами и свободный член то плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей Прямая L в пространстве может быть задана: ) общими уравнениями A как линия пересечения двух непараллельных плоскостей; ) каноническими уравнениями m n p A как прямая проходящая через точку M ; ; ) параллельно направляющему вектору ( m n p) B B S ; ) параметрическими уравнениями 4) уравнениями C C D D ( проходящая через две заданные точки ( ; ; ) mt nt pt; M и ) как прямая M ( ; ; Взаимное расположение двух плоскостей прямой и плоскости двух прямых в пространстве P : A B C D Пусть имеем две плоскости P : A B C D ( A ; B ; C с нормальными векторами ) ( A ; B ; C N и N ) Определим угол между плоскостями и их взаимное расположение: а) Величина угла между плоскостями P и Р вычисляется по формуле cos cos( N N) N N N N A A A B ` B B C A C C B ` C

16 б) Плоскости P и Р параллельны (перпендикулярны) если их нормальные векторы коллинеарны (ортогональны): P P N N N или N A B C ; A B C P P N N N N или A A B B C C M ; ; до плоскости A B C D ( Расстояние d от точки ) вычисляется по формуле: A A B B C C D d Пусть плоскость P задана уравнением A B C D а прямая L уравнениями m n p Определим угол между прямой и плоскостью и их взаимное расположение: а) Угол между прямой L и плоскостью P как угол между этой прямой и ортоганальной проекцией ее на плоскость P вычисляется по формуле sin A B Am C Bn m Cp б) Условие параллельности прямой и плоскости: P L S N S N те Am Bn Cp n в) Условие перпендикулярности прямой к плоскости: P L S N N m S те A m B n C p Пусть две прямые L и L заданы уравнениями n p Установим их взаимное расположение: а) Угол между прямыми L и L вычисляется по формуле m p n p S S m m n n p p cos S S m n p m n p ` `

17 б) Условие перпендикулярности двух прямых: L L S S S S те m m n n p p в) Условие параллельности двух прямых: L L S S S S те m m n n p p Решение типовых задач Пример Написать уравнение плоскости P проходящей через точку M ( ;;) перпендикулярно вектору M M если M (; ; ) Решение: а) Пусть M ( ; ; ) текущая точка плоскости P Вывести уравнение плоскости это значит записать аналитически условие при котором произвольная точка (текущая точка) M ( ; ; ) будет принадлежать этой плоскости Рассмотрим взаимное расположение произвольного вектора принадлежащего плоскости M M ( ; ; ) и нормального вектора плоскости M M (; 5;) Очевидно что точка M ; ; ) P ( когда указанные векторы ортогональны Условием ортогональности этих векторов является равенство нулю их скалярного произведения те M M MM Записав это равенство через координаты векторов получим уравнение искомой плоскости ( ) 5( ) или 5 б) Эту же задачу можно решить используя какое-либо уравнение плоскости При этом решение задачи будет настолько рациональным насколько удачно выбрано уравнение Если его взять в виде A ( ) B( ) C( ) как уравнение плоскости M ( ; ; перпендикулярно вектору N ( A; B; C) то если подставить вместо координаты точки проходящей через точку ) M M M а в качестве нормального вектора взять вектор то получим то же уравнение плоскости Пример Написать уравнение плоскости P проходящей через две точки M ( ;;) и M (;; ) параллельно вектору ( ;; ) Решение а)пусть M ( ; ; ) - текущая точка плоскости Чтобы записать условие ее принадлежности плоскости P векторизуем задачу Запишем координаты векторов M M ( ; ; ) и M (4;; ) Точка M

18 M ( ; ; ) будет принадлежать плоскости если векторы M компланарны те когда M M M M M M и M Выразим это условие через координаты векторов: M M M M 4 Раскрыв определитель получим уравнение плоскости вида 8 7 б) Решение задачи будет более простым если воспользоваться общим уравнением плоскости A B C D В этом уравнении четыре коэффициента подлежат определению Первые три из них являются координатами нормального вектора в качестве которого можно взять вектор N M M 4 (8; ;) i j k Уравнение плоскости примет вид 8 D Коэффициент D определяем из условия того что указанная плоскость проходит через точку M ( ;;) Подставив значения ее координат в уравнение плоскости получим равенство 6 D откуда D 7 Окончательно получим то же уравнение плоскости Пример Найти угол между плоскостью P проходящей через три точки M ( ;;) M (; ; ) M (;; ) и плоскостью P заданной уравнением Решение Угол между плоскостями P P равен углу между их нормальными векторами Поэтому cos cos P cos( N N) P Найдем нормальный вектор плоскости P через векторы M (; ;) M M (4;; ) M Очевидно в качестве этого вектора можно взять вектор

19 i j N M M M M 4 4 j k 4 k N или ему коллинеарный вектор (;; ) Нормальным вектором плоскости P является вектор (;; ) определим из равенства cos откуда N N N N rccos 6 i j N Угол между плоскостями ( 4 8 ) 9 rccos 6 Пример Прямая L задана общими уравнениями: k 44 Написать для этой прямой канонические параметрические уравнения и уравнения в проекциях Найти следы этой прямой на координатных плоскостях Решение Выберем одну из точек через которую пройдет указанная прямая заданная пересечением плоскостей Исходная система имеет бесчисленное множество решений одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение Пусть тогда значения других неизвестных находим из системы Решением этой системы является пара чисел В результате получим точку M ; ) через которую проходит искомая (; прямая В качастве направляющего вектора прямой можно взять вектор S N N где N (; ; ) N (;; ) 6 - нормальные векторы плоскостей линией пересечения которых является прямая Таким образом i S i 4 j 5k ( ;4;5) j k

20 Запишем канонические уравнения прямой: 4 5 Обозначив равные отношения буквой t получим уравнения прямой: t 4t 5 t параметрические Полученная ранее пропорция эквивалентна системе трех уравнений: или описывающих три плоскости проектирующие прямую на координатные плоскости O O и O соответственно Чтобы найти следы прямой на координатных плоскостях полагаем в общих уравнениях прямой последовательно Получим системы уравнений: ; ; Решив их найдем следы прямой на координатных плоскостях: M ; ) 5 M ( ;; ) ) 4 4 (; 5 ; M Замечание Канонические уравнения прямой легко получить записав уравнение прямой проходящей через любые две точки лежащие на этой прямой Чтобы выбрать одну из них мы предположим что и получим точку ; ) M (; Затем положим 5 5 и придем к системе (; решив которую определим координаты другой точки ( ;; ) Уравнение прямой запишем в виде M

21 4 5 4 Пример Показать что прямые или L : и L : 4 параллельны и найти расстояние L L Решение Направляющим вектором прямой L будет вектор S (; ;4 ) Он ортогонален как вектору N (;; ) так и вектору N (; ; ) которые являются нормальными векторами соответствующих плоскостей S и Действительно легко убедиться что скалярные произведения N S N Запишем уравнение плоскости проходящей через точку M ( 7;5;9) принадлежащую прямой L перпендикулярно этой прямой Ее уравнение ( 7) ( 5) 4( 9) или 4 Находим точку M пересечения этой плоскости с прямой заданной общими уравнениями те решим систему уравнений: 4 Решение ее будет тройка чисел являющаяся координатами точки M Определим расстояние между точками M : ( M ) M 9 M Прямая на плоскости Прямая на плоскости O может рассматриваться как линия пересечения двух плоскостей A B C D и те A B C D L : или Эта система определяет линию (прямую) пересечения плоскости O плоскостью A B D параллельной оси O A B D

22 Вектор N A; B: O нормали плоскости A B D одновременно является вектором нормали прямой заданной последней системой уравнений Если заведомо известно что прямая рассматривается на плоскости O то второе уравнение системы опускается Тогда прямая в R задается одним уравнением вида A B D которое называется общим уравнением прямой на плоскости а ее нормальный вектор записывается в виде двумерного вектора n A; B Из этих рассуждений следует что в различных по размерности пространствах одно и то же уравнение может описывать различные геометрические объекты В рассмотренном случае линейное уравнение A B D в пространстве R определяет плоскость параллельную оси O а в пространстве R на координатной плоскости O оно определяет прямую след плоскости A B D на плоскости На основании сказанного легко получить всевозможные уравнения прямой на плоскости исходя из аналогичных уравнений в пространстве: ) каноническое уравнение где M )- точка через которую проходит прямая ) параметрические уравнения ( m n s m; n -ее направляющий вектор; mt nt; ) уравнения прямой проходящей через две точки 4) уравнение прямой непараллельной оси O k где k - угловой коэффициент прямой - ее начальная ордината; M ( k( ) cos sin 5) уравнение пучка прямых проходящих через точку ) ; 6) нормальное уравнение прямой где - полярный угол нормали - расстояние прямой от начала координат Взаимное расположение двух прямых на плоскости Если прямые l и l заданы общими уравнениями A B D и A B D то угол между ними находится из формулы n n A A BB сos n n A B A B ;

23 Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид A A B а условие их параллельности A A Если прямые заданы уравнениями между ними находится по формуле B B k и k k k k tg B k то угол Условие перпендикулярности этих прямых имеет вид k k а условие и параллельности k k Расстояние d от точки M ( ) до прямой заданной в общем виде вычисляется по формуле A d A B Решение типовых задач Пример Даны вершины треугольника ABC: A(-4;) B(8;-6) C(;6) Найти: ) уравнение стороны AB; ) уравнение высоты CH; ) уравнение медианы AM; 4) точку N пересечения медианы AM и высоты CH; 5) уравнение прямой проходящей через вершину C параллельно стороне AB; 6) расстояние от точки C до прямой AB Решение ) Используем уравнение прямой проходящей через две точки A и B Получим уравнение стороны AB: B D откуда 8( 4) ( ) или ) Высота опускается из точки C на сторону AB угловой коэффициент которой k Если обозначим угловой коэффициент стороны CH через k то согласно условию перпендикулярности k Воспользуемся уравнением пучка прямых проходящих через точку C: Из этого пучка выберем прямую перпендикулярную AB 6 k( ) k

24 придав значение 6 k k Получим 6 ( ) или ) Предварительно найдем координаты середины М отрезка ВС: B C 8 5 B 6 6 C M M двум точкам составляем уравнение прямой АМ: или 9 По известным 4) Точку пересечения N медианы АМ и высоты CH находим из совместного решения им соответствующих уравнений: Решив эту систему получим N ( 4 ;4 ) 5) Воспользуемся уравнением пучка прямых проходящих через точку С: Выберем из него прямую параллельную прямой AB 6 k( ) k k 6 ( ) или придав значение 9 6 Получим уравнение искомой прямой в виде 6)Расстояние от точки С до прямой AB вычисляем по формуле C C 6 4 d CH Замечание Предложенное решение задачи можно считать наиболее оптимальным так как удачный выбор всевозможных уравнений позволил до минимума сократить количество операций На практике чаще всего требуется просто решить задачу на основании каких-то данных Тогда при решении задачи можно использовать только те уравнения которые Вам известны Например воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом k и проследим за тем как изменяются рассуждения при решении отдельных пунктов задачи ) Найдем уравнение стороны AB учитывая то что прямая проходит через две точки Последнее означает что координаты точек A и B должны удовлетворять уравнению Подставив координаты этих точек в k

25 уравнение получим систему для определения коэффициентов k и : 4k Решив ее получим k 8k 6 Подставим значения коэффициентов в уравнение и получим или ) Уравнение высоты CH также ищем в виде k По условию прямая CH проходит через точку C Значит справедливо равенство 6 k Далее учтем что эта же прямая перпендикулярна AB Это означает что Решим систему 6 k k AB k k Откуда имеем Уравнение высоты CH запишется в виде k 6 или 6 ) Согласно тому что прямая АМ проходит через две точки записываем систему равенств: 4k 5k Решив систему получим Тогда уравнение АМ будет k 9 9 или ) Запишем уравнение прямой проходящей через точку C параллельно стороне AB основываясь снова на уравнении k Так как прямая проходит через точку C то справедливо равенство 6 k Согласно условию параллельности имеем k k будет 6 Имеем k k k АВ или Решаем систему уравнений Тогда уравнение искомой прямой

26 5) Найдем предварительно точку K пересечения прямых CH и AB из решения системы уравнений 6 Имеем K ( ;6 ) Далее находим расстояние от точки C до прямой AB как расстояние между точками C и K: 6 4 d 6 CK Линии второго порядка Линией (кривой) второго порядка называется множество точек плоскости декартовы координаты и которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени Окружностью называется множество точек на плоскости равноудаленных от одной и той же точки называемой ее центром Окружность радиусом R с центром в начале координат задается уравнением R Если центр сместить в точку C ) то уравнение примет вид ( ( ) ( ) R Эллипс с полуосями и симметричный относительно осей координат определяется простейшим (каноническим) уравнением Точки F и F расположенные на оси O и отстоящие на расстоянии с от начала координат называются фокусами эллипса В частном случае если = то фокусы F и F совпадают с центром а каноническое уравнение описывает окружность радиуса с центром в начале координат Число с ( ) называется эксцентриситетом эллипса и является мерой его сплюснутости (при Прямые называются директрисами эллипса эллипс вырождается в окружность)

27 Для любой точки M эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная равная : Это характеристическое d F M F M свойство эллипса часто принимается за определение эллипса Гипербола с действительной полуосью мнимой полуосью с центром в начале координат имеет следующее каноническое уравнение: Фокусы гиперболы точки ( ;) F и ( ;) с F где с а ее с эксцентриситет Прямые с принимает любые значения больше асимптоты гиперболы а прямые - ее директрисы Для любой точки M гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная равная : d F M F M Это характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы Парабола с вершиной в начале координат симметричная относительно оси O имеет следующее каноническое уравнение: p где p - параметр параболы При p ветви параболы направлены вправо при p влево Точка F(p ;) - фокус а прямая p директриса параболы Парабола представляет собой множество всех точек плоскости равноотстающих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) Это характеристическое свойство параболы часто принимается за определение параболы ( ) ( Уравнения вида ( ) p( ) определяют соответственно эллипс гиперболу и параболу которые параллельно смещены относительно системы координат O таким образом что центр эллипса гиперболы и вершина параболы находятся в точке C ) ( Кривые эллипс гипербола и парабола обладают общим свойством: отношение расстояния от любой точки M кривой до фокуса к расстоянию от этой точки до прямой (называемой директрисой) есть величина постоянная (называемая эксцентриситетом) Это свойство можно принять за определение кривых второго порядка При этом для эллипса для параболы для гиперболы )

28 Решение типовых задач Пример Написать уравнение кривой модуль разности расстояний от каждой точки которой до точек F ( ; ) и F (; ) равен 4 Решение Пусть М ( ; ) произвольная (текущая) точка искомой кривой Запишем аналитически (в виде формулы) то свойство которому должны удовлетворять координаты любой точки кривой Найдем расстояние от точки М до заданных точек F и MF ( ) ( ) или F : d MF ( ) ( ) ; d Согласно условию задачи d 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 d Упростим это равенство выполняя следующие операции: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ; ) ( ) 4 ( ) ( ) ; ( ( ) ( ) 6 8 ( ) ( ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ) ( ) Окончательно получим уравнение кривой 4 известное из школьного курса как уравнение гиперболы для которой оси координат являются асимптотами Пример Даны точка A ( ;) и прямая В декартовых координатах составить уравнение линии каждая точка М ( ; ) которой: а) в раза ближе к точке A чем к данной прямой; б) в раза дальше от точки A чем от данной прямой; в) равноудалена от точки A и прямой Решение: а) Пусть точка N основание перпендикуляра опущенного из точки ( ; ) ( ; Тогда согласно условия виде М на прямую Ее координаты ) МA MN через координаты точек это равенство запишется в ( ) ( ) Произведем упрощение полученного равенства: ;

29 (( ) ) ( ) ; ( 4 4 ) 4 4; ; ( 6) ; ( 6) 6 ; Следовательно искомая линия - эллипс Точка A совпадает с его правым фокусом а прямая правая директриса б) Согласно условию задачи МA MN Следовательно ) ( ) ; ( 4 4 ( 4 4) ; 4 ; ( 6) ; ( 6) 6 те данная линия гипербола для которой точка A является левым фокусом а прямая - левой директрисой в) По условию МA MN Следовательно ( ) ( ) ; Получили уравнение параболы с фокусом в точке A ( ;) и директрисой Пример Составить канонические уравнения: а) эллипса расстояние между фокусами которого c 8 а точка M 5; ) лежит на кривой; ( б) гиперболы с действительной полуосью равной 8 и эксцентриситетом 5 ; 4 в) параболы имеющей директрису 4

30 Решение а) Каноническое уравнение эллипса имеет вид По условию задачи c 4 Для эллипса выполняется равенство Точка 5; ) 5 откуда 6 должно выполняться равенство с M лежит на кривой поэтому Значения полуосей эллипса находим из системы уравнений Эта система преобразуется к виду 5 6 Из первого уравнения имеем 6 Исключим уравнения: 6 5 (6 ) Окончательно имеем из второго Тогда б) Каноническое уравнение гиперболы имеет вид По условию действительная полуось 8 с 8 то или c Для гиперболы справедливо равенство 5 В свою очередь Если учесть что с На основании предыдущего равенства получим 64 6 Искомое каноническое уравнение гиперболы имеет вид в) В рассматриваемом случае каноническое уравнение параболы должно иметь вид p а уравнение ее директрисы условию уравнение директрисы 4 поэтому 4 64 Искомое каноническое уравнение параболы запишется в виде 4 6 p p откуда 8 6 Согласно p


Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Аналитическая геометрия Векторные пространства Конспект лекций для студентов

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Практикум Владивосток Издательство

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее