АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический университет имени К Э Циолковского» Ю В Селиванов АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Учебное пособие Москва 2013

2 Селиванов Ю В, Автор: дф-мн, профессор кафедры «Высшая математика» МАТИ имени К Э Циолковского Селиванов, Ю В Алгебра и геометрия (варианты курсовых заданий) [Текст] : учеб пособие / Ю В Селиванов М : МАТИ, с Учебное пособие предназначено для студентов МАТИ, изучающих темы «Матрицы и системы линейных уравнений», «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия» в рамках общего курса математики, а также для преподавателей Оно ставит своей целью помочь студентам лучше усвоить теоретический и практический материал В каждом разделе приводится решение типовых задач Для закрепления материала студентам предлагается выполнить курсовое (контрольное) задание по рассматриваемым темам Селиванов Ю В,

3 Введение Данное учебное пособие входит в серию учебно-методических разработок кафедры «Высшая математика», призванных способствовать овладению студентами теоретическими основами материала и появлению у них навыков решения задач по основным разделам курса высшей математики Оно предназначено для студентов МАТИ и преподавателей В пособии рассмотрены следующие вопросы: матрицы и системы линейных уравнений, векторная алгебра, прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве Пособие предназначено главным образом для использования во время практических занятий по математике и в качестве задачника для самостоятельной работы и курсовых (контрольных) работ для студентов дневного и вечернего отделений всех факультетов Учебная программа дисциплины «Математика» для большинства направлений подготовки в МАТИ предусматривает выполнение студентами в первом семестре курсовой работы на тему «Алгебра и геометрия» Курсовые работы по математике являются одним из важных моментов учебного процесса, организующим самостоятельную работу студентов Они помогают обобщать и конкретизировать сведения, полученные на занятиях, способствуют более глубокому изучению предмета В первом разделе учебного пособия представлены основные понятия, определения и формулы, необходимые для решения наиболее характерных и часто встречающихся типов задач, относящихся к указанным темам, приводятся подробные решения 18 примеров Второй раздел содержит 35 вариантов индивидуальных заданий для студентов Каждый вариант содержит 12 задач Среди этих задач исследование систем линейных алгебраических уравнений и их решение методом Гаусса, по правилу Крамера и матричным способом; вычисление определителей; вычисление скалярных, векторных и смешанных произведений векторов; задачи по аналитической геометрии на плоскости и в пространстве 3

4 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВЕДЕНИЯ 11 Матрицы и системы линейных уравнений В каждом варианте индивидуальных заданий, представленных во втором разделе данного учебного пособия, предполагается решение систем линейных алгебраических уравнений вида: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1, a21x1 a22x2 a2nxn b2, a x a x a x b m1 1 m2 2 mn n m (1) Эта система в матричной форме имеет вид где 4 AX B, (2) a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a 2n x 2 b 2 A, X, B a a a x b m1 m2 mn n m Система (1) называется совместной, если она имеет по крайней мере одно решение, т е такой вектор-столбец X, который обращает равенства (1) в тождества Согласно теореме Кронекера Капелли, критерием совместности системы (1) является равенство ранга r A расширенной матрицы A A B r A матрицы A рангу Если это условие выполняется, то для нахождения всех решений системы (1) необходимо выбрать из этой системы какие-нибудь r уравнений,

5 матрица коэффициентов которых имеет ранг r, где r r A r A, и решить эти уравнения r Если n, то решение системы (1) будет единственным, а если r n их будет бесконечно много При решении однородных систем (т е таких, что b 1 b b 0) необходимо помнить, что они всегда совмест- 2 m ны У них имеется тривиальное решение: x x x n Далее, любая линейная комбинация решений однородной системы является также решением этой системы Поэтому множество решений однородной системы является векторным пространством, любой базис которого называется фундаментальной системой решений Если ранг матрицы A равен r, то существует фундаментальная система решений однородной системы, состоящая из (1) ( ) nr вектор-столбцов X,, X n r При этом всякое решение однородной системы имеет вид 1 2 nr X C X C X C X (3) 1 2 nr Фундаментальная система решений однородной системы может быть построена следующим образом Сначала выбирается базисный минор матрицы A, т е минор порядка r, отличный от нуля Столбцы матрицы A, проходящие через базисный минор, называются базисными столбцами Неизвестные, номера которых совпадают с номерами базисных столбцов, называются базисными неизвестными, а остальные неизвестные свободными неизвестными Придавая одному из свободных неизвестных значение 1, а остальным значение 0, находят базисные неизвестные Совокупность полученных таким путем решений и образует фундаментальную систему решений однородной системы Решение неоднородной системы полезно начинать с нахождения частного решения Его удобно искать, полагая свободные неизвестные равными 0 Произвольное решение неоднородной 5

6 системы может быть представлено в виде суммы этого частного решения и некоторого решения соответствующей однородной системы Пример 1 Исследовать систему уравнений 4x1 3x2 2x3 x4 2, 3x1 2x2 x3 3x4 1, 6x1 5x2 4x3 3x4 4 (4) с помощью ранга матрицы и найти общее решение системы Решение Рассмотрим расширенную матрицу системы (4) A A B и найдем ранг этой матрицы, а также ранг матрицы A Для этого преобразуем матрицу A с помощью элементарных преобразований строк (метод Гаусса) Прибавим к третьей строке вторую строку, умноженную на 2 Получим матрицу Теперь прибавим к первой строке вторую строку Имеем 6

7 Прибавив ко второй строке первую строку, умноженную на 3, получим матрицу Наконец, вычтя из третьей строки вторую строку, получим матрицу , (5) имеющую ступенчатый вид В полученной матрице все миноры порядка 3 равны нулю и имеется ненулевой минор порядка 2 Следовательно, ранг матрицы A (так же, как и ранг матрицы A) равен 2 По теореме Кронекера Капелли система совместна Поскольку 2 n 4 r A, то система имеет бесконечно много решений Составим систему уравнений, соответствующую последнему варианту (5) преобразованной матрицы Получим систему x1 x2 x3 2x4 1, x2 2x3 9x4 2, (6) 7

8 эквивалентную системе (4) Минор второго порядка, взятый в левом верхнем углу матрицы (5), выбираем в качестве базисного минора Тогда x и x 1 2 базисные, а x и x свободные неизвестные 3 4 Переписываем систему (6) следующим образом: x1 x2 1 x3 2 x4, x2 2 2x3 9 x4 (7) Полагая в (7) свободные неизвестные x и 3 x равными 0, и 4 решая полученную систему, находим частное решение системы (4) X 1 * Затем рассматриваем однородную систему x1 x2 x3 2 x4, x2 2x3 9x4, (8) соответствующую системе (7) Полагая сначала: x 0 и x 1, определяем фундаментальную систему ре- затем 3 4 шений однородной системы (8): x 1 и 3 x 0 4, а 8 X , X

9 Общее решение однородной системы имеет вид 1 2 X C X C X 1 2 Следовательно, общее решение неоднородной системы находится по формуле: * X X C X C X C C Отсюда получаем, что x1 1 C1 7 C2, x2 2 2C1 9 C2, x3 C1, x4 C2 Пусть теперь n m (т е число уравнений в системе (1) равно числу неизвестных) и A 0 Другими словами, матрица A является квадратной и невырожденной В этом случае систему (1) можно решить матричным способом Матричный способ решения системы (1) состоит в отыскании обратной матрицы A 1 и нахождении единственного решения системы по формуле 1 X A B (9) Обратная матрица 1 A должна вычисляться стандартным способом с помощью нахождения алгебраических дополнений элементов матрицы A 9

10 А именно: A 1 A11 A21 An1 1 A12 A22 A n2 A1n A2n A nn где A, а A алгебраическое дополнение элемента a в ij ij определителе матрицы A, т е произведение минора порядка n 1, полученного вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца в определителе матрицы A, на 1 i j Пример 2 Решить систему уравнений, x 2y z 8, 2x y 2z 3, x 3y 2z 8 (10) матричным способом Решение Найдем сначала матрицу A* A, состоящую из ал- ij гебраических дополнений A Имеем A ij 1 i j M матрицы ij 10

11 A * ; ; ; ; ; ; или A * Теперь, транспонируя матрицу * A, найдем присоединенную матрицу A Получаем A Найдем определитель матрицы A, раскрыв его по первой строке Имеем Следовательно, обратная матрица равна A A

12 Учитывая, что столбец свободных членов равен 8 3, нахо- 8 дим по формуле (9) решение системы (10): B x y A B z Следовательно, x 1, y 5, z 3 Пример 3 Решить систему уравнений x y 2z 1, 2x 3y 4z 6, 4x y z 2 (11) по правилу Крамера Решение Найдем сначала определитель системы, раскрыв его, например, по второй строке Имеем Теперь найдем определители, x и y : z , x

13 y , z Отсюда находим решение системы (11): 9 x x 1, 9 y 36 y 4, 9 z 18 z Векторная алгебра В каждом варианте индивидуальных расчетных заданий имеется задача, посвященная векторной алгебре Напомним, что вектор (геометрический вектор) a AB это направленный отрезок прямой на плоскости или в пространстве, у которого один конец (точка A) называется началом вектора, другой конец (точка B ) концом вектора Вектор характеризуется длиной (или модулем) и направлением: от A к B Модуль вектора равен длине отрезка AB и обозначается AB или a При этом вектор называется нулевым, если он имеет нулевую длину Очевидно, у нулевого вектора начало и конец совпадают Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых Два коллинеарных вектора называются одинаково (противоположно) направленными, если их концы лежат по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, или от общего начала Если вектора a и b коллинеарны, обычно пишут: a b 13

14 Два вектора считаются равными, если они имеют равные длины и одинаково направлены Все нулевые векторы считаются равными между собой Вектором, противоположным вектору AB, называется вектор BA Напомним, что под линейными действиями над векторами понимаются следующие операции: сложение векторов и умножение вектора на число Пусть в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Тогда каждой точке M пространства соответст- x, y, z координат этой точки При этом вует тройка чисел каждому вектору a соответствует своя тройка чисел X, Y, Z координат вектора; в этом случае мы пишем a X, Y, Z Если известны координаты точек Ax1, y1, z 1 и 2, 2, 2 то координаты вектора AB находятся по формулам: X x x, 2 1 Y y y, 2 1 Модуль вектора a X, Y, Z Z z z 2 1 B x y z, вычисляется по формуле a X Y Z Направление вектора a определяется углами, и, образованными им с осями координат Ox, Oy и Oz Косинусы этих углов (т н направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: X a cos, X X Y Z 14

15 Y a cos, Z a Y X Y Z cos Z X Y Z Направляющие косинусы связаны между собой соотношением cos cos cos 1 Пример 4 Найти направляющие косинусы вектора a A 2,1,1, 1, 1, 3 B AB, если Решение Координатами вектора a являются числа X 1 2 1, Y 11 2 и Z 31 2 Отсюда a Теперь находим направляющие косинусы: X 1 a 3 cos, Y 2 a 3 cos, Z 2 a 3 cos 2 2 cos, cos, cos Ответ: Напомним, что при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число, все его координаты умножаются на это число Таким образом, если a X 1 1, Y1, Z1 и a X 2 2, Y2, Z2, то 1 2, 1 2, 1 2, a X1, Y1, Z1 a a X X Y Y Z Z

16 Известно, что векторы a и a коллинеарны тогда и только 1 2 тогда, когда их координаты пропорциональны: Заметим, что если необходимо, чтобы X Y Z X Y Z X 0, то для коллинеарности векторов 1 X 0 (аналогично для 2 Y или 1 Z ) 1 Теперь напомним, что скалярным произведением двух векторов a и b называется число a b, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a b a b cos Как известно, скалярное произведение векторов a X 1 1, Y1, Z1 и a X2, Y2, Z2 вычисляется по формуле 2 a a X X Y Y Z Z Отсюда угол между (ненулевыми) векторами a опреде- 2 ляется формулой a и 1 cos X X Y Y Z Z X Y Z X Y Z Как следствие, векторы a и a ортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, 1 2 когда X X Y Y Z Z

17 Напомним теперь, что три вектора в пространстве называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, оказываются лежащими в одной плоскости Тройка некомпланарных векторов a, b и c называется правой, если после приведения этих векторов к общему началу кратчайший поворот от a к b виден с конца вектора c совершающимся против часовой стрелки Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c a b, модуль которого равен произведению длин этих векторов на синус угла между ними, перпендикулярный векторам a и b и составляющий вместе с ними правую тройку Как следствие, модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b : a b a b sin S ab, Система координатных осей Ox, Oy и Oz (система координат) называется правой, если тройка единичных векторов этих осей i, j и k является правой Пусть в правой системе координат заданы векторы a X 1 1, Y1, Z1 и a X 2 2, Y2, Z2 Тогда векторное произведение вектора a на вектор a определяется формулой 1 2 a Y1 Z1 X1 Z1 X1 Y1 a,, Y Z X Z X Y Отсюда площадь параллелограмма, построенного на векто- a и a, равна: 1 2 рах 17

18 ab, Y Z X Z X Y Y Z X Z X Y S a b Наконец, смешанным произведением b и c называется скалярное произведение вектора a b на вектор c, т е,, a b c a b c a, b, c векторов a, Напомним, что смешанное произведение трех векторов a, b и c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах При этом оно положительно тогда и только тогда, когда векторы a, b, c образуют правую тройку Пусть в правой системе координат заданы векторы a X 1 1, Y1, Z1, a X 2 2, Y2, Z2 и a X 3 3, Y3, Z3 Тогда смешанное произведение векторов a, a и a определяется формулой X Y Z , 2, 3 X Y Z X Y Z a a a Как следствие, векторы тогда, когда a, 1 a и 2 a компланарны тогда и только 3 X 1 Y 1 Z 1 X 2 Y 2 Z 2 X 3 Y 3 Z

19 Пример 5 Даны точки A 2,1, 3, B0,1, 2, C 1, 0, 2 Вычислить скалярное произведение a b a b и смешанное произведение,, b BC AC, c a b i 3j 2k, векторное произведение, a b c, где a AB Решение Имеем a AB 2, 0, 5, 3, 1, 1 BC 1, 1, 4, b 2, 0, 5, c 1, 3, 2 Отсюда ab , AC, a b,, 0, 0, 0 0, ,, a b c Ответ: ab 29, a b , a, b, c 0 13 Прямая на плоскости В каждом индивидуальном задании содержатся две задачи по аналитической геометрии на плоскости, связанные с темой «Прямая на плоскости» Для этих задач предполагается, что в плоскости задана декартова прямоугольная система координат, которая каждой точке M сопоставляет пару чисел x, y координат этой точки При этом кривые на плоскости могут задаваться уравнениями относительно неизвестных x и y В частности, всякое уравнение вида 19

20 20 Ax By C 0, (12) где A и B не равны нулю одновременно, определяет на плоскости некоторую прямую линию Верно и обратное: каждая прямая линия на плоскости может быть описана уравнением первой степени относительно декартовых координат Необходимо помнить геометрический смысл коэффициентов A и B уравнения (12) (т н общего уравнения прямой) Они являются, перпендикулярного к прямой координатами вектора n A, B Этот вектор называется нормальным вектором данной прямой Если известна какая-либо точка 0, 0 M x y, лежащая на пря- 0 мой, то для нахождения этой прямой обычно используют уравнение прямой, проходящей через данную точку, A x x B y y Если известен угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, применяют уравнение прямой с угловым коэффициентом где k tg, или уравнение y kx b, y y k x x 0 В том случае, если известны две точки прямой 1, 1 1 2, 2 0 M x y и M x y, для составления ее уравнения следует воспользовать- 2 ся соотношением (уравнением прямой, проходящей через две данные точки): y y x x 1 1 y y x x Угловой коэффициент этой прямой находится по формуле

21 k y y 2 1 x x 2 1 Напомним, что зная отрезки a и b, отсекаемые прямой на осях координат, можно сразу написать уравнение прямой в отрезках x y 1 a b При решении задач по аналитической геометрии на плоскости часто используют нормальное уравнение прямой на плоскости xcos y sin p 0 Здесь угол между положительным направлением оси Ox и направлением перпендикуляра OP, опущенного из начала координат на прямую, а p длина этого перпендикуляра Из общего уравнения прямой Ax By C 0 нормальное, если его разделить на коэффициент легко получить 2 2 A B Следует правильно выбирать знак коэффициента ; он должен быть противоположен знаку свободного члена C С помощью нормального уравнения прямой легко вычисляется отклонение точки 1, 1 M x y от прямой: 1 x cos y sin p 1 1 Полезно иметь в виду, что по разные стороны от прямой отклонение имеет разный знак С помощью отклонения легко найти расстояние d от точки M x, y до прямой:

22 d x cos y sin p 1 1 Кроме того: d C Ax By A B 22 Часто возникает необходимость найти угол между прямыми y k x b и 1 1 A x B y C 0 и y k x b, 2 2 A x B y C 0, за- или между прямыми данными своими общими уравнениями Это можно сделать по формулам: k k tg k k 1 2 и cos A A B B A B A B При этом условия параллельности прямых имеют вид: k A B k и A B 2 2 А условия перпендикулярности прямых имеют вид: 2 1 k k и 1 A A B B Пример 6 Найти расстояние от точки 2x 3y 7 0 M до прямой 0 1, 8

23 d M Решение Имеем 0 0 0, l A 2, B 3, C 7 Отсюда C Ax By, где 2 2 A B x 1, 0 y 8, 0 d M 0, l Пример 7 Привести уравнение прямой, заданной общим уравнением 12x16y 95 0, к нормальному виду и найти расстояние от начала координат до этой прямой Решение Найдем коэффициент Поскольку C 95 0, то Разделив общее уравнение прямой на, получим нормальное уравнение прямой: или x y x y Имеем прямой равно 3 4 cos, sin Расстояние от начала координат до p 4,75 Пример 8 Стороны треугольника заданы уравнениями: x 2y 6 0, 3x y 6 0, 7x 4y 24 0 Составить урав- 23

24 нение биссектрисы внутреннего угла треугольника, лежащего против стороны 7x 4y 24 0 (рис 1) y B M 0 x A C Рис 1 Решение Из систем уравнений x 2y 6 0, 7x 4y 24 0 и 3x y 6 0, 7x 4y 24 0 находим координаты двух вершин AxA 4, ya 1 B 0, yb 6, B x Подставляя координаты каждой из вершин A и B в левую часть уравнения соответствующей противоположной стороны, получим: , Пусть 0, 0 M x y произвольная точка искомой биссектрисы, 0 расположенная внутри треугольника Тогда эта точка лежит по ту же сторону от прямой 3x y 6 0, что и точка A, и поэтому 3x y 6 0; она лежит по ту же сторону от прямой 0 0 x 2y 6 0, что и точка B, и поэтому x 2y 6 0 Следо

25 M x y до сторон тре- вательно, расстояния d и 1 2 угольника задаются формулами: d Так как 0, 0 3x y 6 d от точки 0, 0 0 0, M x y точка биссектрисы, то Отсюда на ходим искомое уравнение биссектрисы: d 0 x 2y 6 5 x y d d Пример 9 Даны вершины треугольника A 9, 0, 0, 3 C 5, 2 B, Найти точку пересечения высоты BK, опущенной из вершины B, и медианы AM, проведённой из вершины A, а также острый угол, заключенный между ними (рис 2) B A S K M Рис 2 C Решение Используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки, найдем сначала уравнение стороны AC треугольника ABC Получим: y 0 x9 или x 7 7 y 25

26 1 Угловой коэффициент этой прямой равен k Так как высота AC 7 BK AC, ее угловой коэффициент можно найти по формуле k 1 7 BK k Поскольку нам известна точка B 0, 3, то AC уравнение высоты BK находим так: y y kx x0 Получаем: y 3 7 x 0 или y 7x 3 Теперь будем искать уравнение медианы AM Для этого сначала найдем координаты точки M (середины отрезка BC ) по формулам: x M x x B C, 2 y M y y B C Имеем: x, y M 2 M 2 Снова используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки, получаем уравнение медианы AM : y 0 x9 или Координаты точки S, S x y S x y пересечения высоты BK и медианы AM находим теперь как решение системы уравнений y 7x 3, y 1 9 x Имеем: S 3 8 x, 3 8 y S 26

27 Наконец, находим острый угол между высотой BK и ме- 1 k 7, k 23 : дианой AM 1 2 tg k k k k , arctg 14 Плоскость и прямая в пространстве При решении задач по аналитической геометрии в пространстве предполагается, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат, которая каждой точке M сопоставляет тройку чисел x, y, z координат этой точки При этом поверхности в пространстве могут задаваться уравнениями относительно неизвестных x, y и z В частности, всякое уравнение вида Ax By Cz D 0, где A, B и C не равны нулю одновременно, определяет плоскость Верно и обратное: каждая плоскость в пространстве может быть описана уравнением первой степени относительно декартовых координат Напомним геометрический смысл коэффициентов A, B и C этого уравнения (общего уравнения плоскости) Они являются ко-, перпендикулярного к плоско- ординатами вектора n A, B, C сти Этот вектор называется нормальным вектором плоскости Если известна какая-либо точка 0, 0, 0 M x y z, лежащая на 0 плоскости, то для нахождения этой плоскости обычно используют уравнение плоскости, проходящей через данную точку, A x x B y y C z z (13)

28 Пример 10 Даны две точки M и 1, 2, ,1, 3 2 уравнение плоскости, проходящей через точку M, перпендику- 1 лярно вектору MM 1 2 M Написать Решение За нормальный вектор плоскости можно взять вектор n M1M 2 3,1, 4 Подставляя координаты вектора n и точки M M в уравнение (13), получим: 0 1 x y z или 3x y 4z 7 0 Напомним, что зная отрезки a, b и c, отсекаемые плоскостью на осях координат, можно сразу написать уравнение плоскости в отрезках x y z a b c 1 При решении задач по аналитической геометрии в пространстве часто используют нормальное уравнение плоскости xcos y cos y cos p 0 Здесь,, углы между нормальным вектором n плоскости и осями координат, а p расстояние от начала координат до плоскости Из общего уравнения плоскости Ax By Cz D 0 получить нормальное, если его разделить на коэффициент A B C легко Следует правильно выбирать знак коэффициента ; он должен быть противоположен знаку свободного члена D С помощью нормального уравнения плоскости легко вычисляется отклонение точки 1, 1, 1 M x y z от плоскости: 1

29 x cos y cos z cos p Полезно иметь в виду, что по разные стороны от прямой отклонение имеет разный знак С помощью отклонения легко найти расстояние d от точки M x, y, z до прямой: d x cos y cos z cos p Кроме того: d C D Ax By z A B C Пример 11 Привести уравнение плоскости 12x 15y 16z 75 0, к нормальному виду и найти расстояние от начала координат до этой плоскости Решение Поскольку D 75 0, коэффициент равен Разделив общее уравнение плоскости на, получим нормальное уравнение плоскости: или x y y x y z

30 12 3 Имеем cos, cos, 25 5 координат до плоскости равно 3 4 cos Расстояние от начала 5 p Часто возникает необходимость найти угол между плоскостями A x B y C z D 0 и A x B y C z D 0, заданными своими общими уравнениями Это можно сделать по формуле cos A A B B C C A B C A B C (14) При этом условие параллельности двух плоскостей имеет вид A B C, A B C а условие перпендикулярности плоскостей имеет вид A A B B C C Пример 12 Вычислить угол между плоскостями: x 2y z 3 0 и x 2y z 4 0 Решение Нормальные векторы данных плоскостей имеют координаты: По формуле (14) получаем: n 1, 2, 1 и 1, 2,1 1 n 2 30

31 cos Следовательно, угол между плоскостями равен 3 Пусть в пространстве заданы три точки 1, 1, 1 1 M x2, y2, z 2 и 3, 3, 3 M x y z, M x y z, не лежащие на одной прямой 2 3 Как известно, эти точки однозначно определяют некоторую плоскость, проходящую через них Пусть,, M x y z произвольная точка пространства Для того чтобы эта точка принадлежала плоскости, необходимо и достаточно, чтобы три вектора MM, 1 MM 1 2 и MM 1 3 были компланарны Критерием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения Поэтому уравнение плоскости, проходящей через три точки M, M и M, записывается в виде: M M, M M, M M В координатах это уравнение имеет вид: x x 1 y y 1 z z 1 x x 2 1 y y 2 1 z z 2 1 x x 3 1 y y 3 1 z z (15) Пример 13 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 2, 4, 3, M 24, 2, 3 и M 35, 0, 6 Решение Уравнение (15) здесь приобретает вид: 31

32 x 2 y 4 z Разложив определитель по первой строке, получим: или x y z x 27y 5z 75 0 Положение прямой в пространстве может быть охарактеризовано различными способами Например, можно указать: точку на прямой и вектор, параллельный этой прямой; две точки прямой; две плоскости, пересекающиеся по этой прямой Пусть l некоторая прямая в пространстве Любой ненулевой вектор a a1, a2, a3, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора a и точки M, принадлежащей прямой Если точка M зада- 0 на своими координатами x, 0 y и 0 прямой имеет координаты x, y и z, то z, а произвольная точка M 0 x x0 a1t, y y0 a2t, z z0 a3t Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве, а переменная t параметром Так как направляющий вектор a ненулевой, то из параметрических уравнений можно исключить параметр t Получающиеся при этом уравнения 0 32

33 x x y y z z (16) a a a называются каноническими уравнениями прямой в пространстве (Здесь предполагается, что если знаменатель какой-либо дроби в уравнениях (16) равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель) В том случае, если известны две точки прямой 1, 1, 1 1 2, 2, 2 M x y z и M x y z, для составления ее уравнения можно воспользо- 2 ваться следующими соотношениями (уравнениями прямой, проходящей через две данные точки): x x y y z z (17) x x y y z z Пример 14 Написать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M 1, 5, 2 и 3, 7, 8 1 M Решение Подставив координаты данных точек в уравнения (17), получим канонические уравнения прямой: x 1 y 5 z Отсюда находим параметрические уравнения прямой: x14 t, y 5 12 t, z 2 6 t 2 33

34 Пример 15 Найти расстояние от точки 4,1, 3 заданной параметрическими уравнениями x 1 3 t, y 2 2 t, z 3 t M до прямой l, Решение Будем искать на прямой l такую точку N x, y, z, чтобы вектор MN был ортогонален прямой, а значит, и ее на- Используя параметрические правляющему вектору a 3, 2,1 уравнения прямой, имеем 4, 1, 3 3 3,1 2, MN x y z t t t Критерием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения Поэтому вместо условия MN a можно записать откуда t MN a 3 3t 3 1 2t 2 t1 0, 1 2 Определив значение параметра t, отвечающее точке N, находим координаты этой точки: 1 2 y 2 2 3, x 1 3, z 3 Остается воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками, чтобы найти искомое расстояние от точки M до прямой l : , MN d M l 34

35 Если какие-либо две плоскости A x B y C z D 0 и A B или A B 2 2 A x B y C z D 0 не параллельны, т е если 1 1 B C 1 1 B C 2 2, то они пересекаются В этом случае уравнения A1 x B1 y C1z D1 0, A x B y C z D являются уравнениями прямой пересечения этих плоскостей Они называются общими уравнениями прямой Важно уметь по общим уравнениям прямой находить ее канонические уравнения Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать координаты ее направляющего вектора a и координаты некоторой точки M l В качестве направляющего вектора можно взять вектор a n n, где n A 1 1, B1, C1 и n A 2 2, B2, C2, т е векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей За координаты точки M можно взять любое решение системы 0 общих уравнений прямой Пример 16 Составить канонические уравнения прямой, являющеейся пересечением плоскостей 2x y 3z 2 0 и x 2y z 1 0 Решение Поскольку n 2, 1, 3 и 1, 2,1 n нор- 1 2 мальные векторы данных плоскостей, то вектор a n n 1 2 направляющим вектором искомой прямой Находим этот вектор: будет a n n,, 5i j 3k

36 Теперь найдем координаты какой-либо точки прямой Для этого решим систему уравнений, положив дополнительно z 0 Получим систему откуда 36 5 x, 3,, 0 y 4 3 2x y 2 0, x 2y 1 0, Значит, наша прямая проходит через точку 5 4 M Наконец, воспользовавшись координатами точки прямой и ее направляющего вектора, мы получаем искомые канонические уравнения прямой: 5 4 x y 3 3 z Пусть две прямые в пространстве имеют направляющие векторы a и b Тогда угол между прямыми находится по формуле cos a b a b Если прямые заданы своими каноническими уравнениями x x y y z z и 2 2 2, a a a x x y y z z b b b то угол между этими прямыми определяется с помощью формулы: cos a b a b a b a a a b b b (18)

37 При этом условие параллельности двух прямых в пространстве имеет вид a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3, а условие перпендикулярности этих прямых имеет вид a b a b a b Пример 17 Вычислить угол между прямыми x 2 y 4 z x 1 y z 7 и Решение По формуле (18) вычисляем косинус искомого угла: cos Следовательно, угол между прямыми равен 2 Угол между прямой с направляющим вектором a и плоскостью с нормальным вектором n находится с помощью формулы sin a n a n Если известны координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости: a a1, a2, a3 и n A, B, C, то угол находится по формуле: 37

38 sin a A a B a C a a a A B C (19) При этом условие параллельности прямой и плоскости имеет вид a A a B a C 0, а условие их перпендикулярности имеет вид a 1 a 2 a 3 A B C x 9 y 3 z Пример 18 Вычислить угол между прямой плоскостью 4x y z 5 0 Решение По формуле (19) вычисляем синус искомого угла: sin и Следовательно, угол между прямой и плоскостью равен 4 38

39 2 ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Вариант 1 Задача 1 Дана система линейных уравнений 3x 4y 2z 3, 2x y 3z 1, x 5y z 8 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 4x1 14x2 x3 7x4 4, 2x1 37x2 7x3 8x4 13, 2x1 3x2 3x3 2x4 7 Задача 3 Вычислить определитель

40 Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 1, 2, 3, 4, 1, 1 и смешанное произведение b, c 2a 3b 4i Задача 5 Составить уравнения сторон и диагонали ромба, если известны уравнения двух его сторон x2y 4 и x2y 10 и уравнение одной из диагоналей yx 2 Задача 6 Из точек A 3,1, 2, 4 B проведены прямые через начало координат Найти угол между этими прямыми Задача 7 Найти угол между плоскостями x y z 2 0 и x y 2z 3 0 Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B3,1, 1 является проекцией точки A1, 2, 3 на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x2 y1 z параллельно плоскости : x y 5z 8 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 2,1, 4 относительно плоскости : 3x 5y z 8 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A1, 1, 2 до прямой 40

41 x3 y2 z Задача 12 Через точку B2, 5, 3 провести прямую, параллельную прямой l : 2x y 3z 1 0, 5x 4y z 7 0 Вариант 2 Задача 1 Дана система линейных уравнений x 8y 3z 2, 2x 4y z 1, 2xz1 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 2x1 x2 2x3 x4 1, 4x1 19x2 4x3 5x4 1, x1 10x2 3x3 2x4 1 Задача 3 Вычислить определитель 41

42 Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 4,1, 0, 3,1, 2 42 и смешанное произведение b, c a 3b 2i Задача 5 Известны уравнения двух сторон ромба 2x 5y1 0 и 2x 5y 34 0, а также уравнение его диагонали x 3y 6 0 Найти уравнение двух других сторон ромба и его высоты Задача 6 Проверить, что точки A4, 3, B 5, 0, 6, 6 D 1, 0 служат вершинами трапеции и найти ее высоту Задача 7 Найти угол между прямыми x y3 z C, x1 y2 z и Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B1, 4, 2 является проекцией точки A2,1, 5 на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x2 y1 z параллельно плоскости

43 : 2x 4y 3z 7 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 0, 3, 8 относительно плоскости : 2x 7y 3z 5 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A3, 2, 6 до прямой x2 y3 z Задача 12 Через точку B 1, 4, 6 провести прямую, параллельную прямой l : x 2y 7z 5 0, 3x 5y z 1 0 Вариант 3 Задача 1 Дана система линейных уравнений 2x 3y 4z 5, x y z 1, 7x y z 9 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений 43

44 x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 2, 4x1 5x2 2x3 3x4 1 и решить ее методом Гаусса Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 3, 2,1, 4, 2, 1 и смешанное произведение b, c 3a 4b 3 j Задача 5 Найти угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox, если известно, что отрезок прямой расположен 8 между осями координат и точка делит этот отрезок M 3, 3 в отношении 3:2 (считая от оси абсцисс к оси ординат) Задача 6 Пусть известны уравнения двух сторон квадрата 5x12y10 0 и 5x12y 29 0 Составить уравнения M 3, 5 лежит на двух других сторон при условии, что точка стороне этого квадрата Задача 7 Найти угол между плоскостями 2x 3y z 4 0 и x y 2z

45 Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B2, 3, 1 является проекцией точки A0, 4, 2 на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x1 y3 z параллельно плоскости : 6x y 13z 41 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 1, 3, 5 относительно плоскости : 3x 2y 8z 9 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A 5, 2, 0 до прямой x2 y z Задача 12 Через точку B2, 3, 9 провести прямую, параллельную прямой l : 4x 3y z 2 0, 6x y 7z 9 0 Вариант 4 Задача 1 Дана система линейных уравнений 45

46 x y 3z 1, 3x 5y z 5, 4x 7y z 7 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 4x1 x2 2x3 3x4 2, x1 x2 x3 2x4 2, 3x1 7x2 x3 4x4 6 Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 3, 2, 2, 3, 2,1 и смешанное произведение b, c a 2b 2k 46

47 Задача 5 Даны две противоположные вершины ромба A 3, 4 и C1, 2 и уравнение одной из его сторон x y1 0 Найти уравнения остальных сторон ромба Задача 6 На прямой l лежат точки A 1, 0 и B 1, 2 Составить уравнение прямой l, привести его к общему и нормальному виду, указать расстояние от начала координат до прямой и построить эту прямую Задача 7 Найти угол между прямыми x2 y5 z x2 y1 z и Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B3, 2,1 является проекцией точки A1, 3, 0 на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x y1 z параллельно плоскости : x 4y 3z 7 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 7, 1, 2 относительно плоскости : x 4y 9z 10 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A7, 9, 2 до прямой x2 y1 z

48 Задача 12 Через точку B0, 7,1 провести прямую, параллельную прямой l : 7x 2y 5z 8 0, x 6y 3z 1 0 Вариант 5 Задача 1 Дана система линейных уравнений x 2y z 5, x 3y 2z 8, 2x y z 3 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 3x1 x2 3x3 5x4 1, 2x1 3x2 x3 4x4 2, 6x1 5x2 9x3 32x4 10 Задача 3 Вычислить определитель 48

49 Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где и смешанное произведение a 1, 2, 3, 4, 2, 1 b, c 2a b 5j Задача 5 Найти проекцию точки P 8,12 на прямую, проходящую через точки A 5,1 и B2, 3 Задача 6 Дан треугольник с вершинами: A 2, 0, 2, 4 C 4, 6 Написать уравнение медианы AE B, Задача 7 Найти угол между плоскостями 2x y 2z 8 0 и 3x 6y 2z 5 0 Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B 2, 3, 5 является проекцией точки 5, 2,1 A на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x7 y5 z параллельно плоскости : 2x 2y z

50 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой 50 Q 5, 4, 8 относительно плоскости : 4x y 2z 3 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A0, 3, 4 до прямой x2 y z Задача 12 Через точку B 4,1, 5 провести прямую, параллельную прямой l : 4x 3y z 5 0, 3x 7y 8z 0 Вариант 6 Задача 1 Дана система линейных уравнений x y 3z 2, 2x y z 1, x 2y 3z 6 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений 2x1 x2 3x3 x4 1, x1 5x2 x3 2x4 3, 4x1 7x2 7x3 x4 3

51 и решить ее методом Гаусса Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 1,1,1, 2, 3, 1 и смешанное произведение b, c a 2b j Задача 5 Даны вершины треугольника: A 2,1, 1, 2 C 1, 5 из вершины A B, Найти угол между высотой и медианой, проведенными Задача 6 Через точку 4, 3 M провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями координат, была равна трем квадратным единицам Задача 7 Найти угол между прямыми x2 y3 z x3 y2 z и Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B 8, 4, 2 является проекцией точки 3, 4, 2 A на эту плоскость 51

52 Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x5 y2 z параллельно плоскости 52 : 3x 6y 2z 14 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 3, 5, 6 относительно плоскости : 7x 2y 3z 7 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A2, 1, 3 до прямой x3 y1 z Задача 12 Через точку B2, 0, 7 провести прямую, параллельную прямой l : 9x 2y 7z 1 0, x 3y 4z 6 0 Вариант 7 Задача 1 Дана система линейных уравнений 6x 2y 4z 10, 3x 3y z 6, x y 2z 3 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений)

53 Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений x1 2x2 3x3 4x4 1, x1 x2 2x3 3x4 2, 2x1 13x2 21x3 11x4 1 и решить ее методом Гаусса Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 2, 3, 1, 2,1, 0 и смешанное произведение b, c a 4b 5i Задача 5 Найти углы треугольника, стороны которого заданы уравнениями: x 2y 5 0, 5x 2y11 0, x 2y1 0 Задача 6 Составить уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым l и 1 l и проходящей посредине между ними, 2 1 x0,5 y0,5 если l : 1 x 5y 0, l : Задача 7 Найти угол между плоскостями 2x 4y 5z 2 0 и x 2y 3z

54 Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B7,1, 3 является проекцией точки A1, 3, 2 на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x2 y1 z параллельно плоскости : 4x 2y 3z 1 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 9, 2, 5 относительно плоскости : x 7y 4z 2 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A 4, 0, 9 до прямой x2 y1 z Задача 12 Через точку B8,1, 3 провести прямую, параллельную прямой l : 3x 3y z 11 0, x 5y 2z 0 Вариант 8 Задача 1 Дана система линейных уравнений 54

55 5x 3y z 1, x y z 1, 8x 4y 2z 2 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 2x1 7x2 3x3 x4 6, 3x1 5x2 2x3 2x4 4, 9x1 4x2 x3 7x4 2 Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 1, 2, 1, 2,1, 2 и смешанное произведение b, c 2a 4b 3i 55

56 Задача 5 Составить уравнения сторон треугольника, для которо- 1, 2 3, 1 C 0, 4 являются серединами го точки A, B и сторон Задача 6 Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через центр тяжести треугольника со сторонами 2x 7y17 0, x y 4 0 и 2x11y 37 0 Задача 7 Найти угол между прямой и плоскостью 3x y 2z 5 0 x1 y4 z Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B 2, 1, 2 является проекцией точки 8,1, 6 A на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x1 y2 z параллельно плоскости : 5x 5y 2z 2 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 1, 4, 3 относительно плоскости : 2x 5y z 11 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A6, 5, 7 до прямой x1 y3 z

57 Задача 12 Через точку B1, 5, 0 провести прямую, параллельную прямой l : 8x y 7z 4 0, 3x 5y z 2 0 Вариант 9 Задача 1 Дана система линейных уравнений 5x 2y z 2, x 3y 4z 2, x y 3z 3 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 2x1 6x2 7x3 2x4 1, x1 2x2 2x3 3x4 3, 2x1 10x2 13x3 6x4 9 Задача 3 Вычислить определитель 57

58 Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 2,1, 2, 2, 0, 1 и смешанное произведение b, c 4a 3b 4 j Задача 5 Вычислить координаты центра окружности, описанной 1,1 2, 1 C 4, 0 около треугольника с вершинами A, B, Задача 6 Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми: x 7y 6 0, 5x 5y1 0 Задача 7 Найти угол между плоскостями 3x 5y 7z 6 0 и 2x 3y 6z 12 0 Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B4,1, 6 является проекцией точки A3, 1, 2 на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x y2 z параллельно плоскости : 2x y 5z

59 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 3, 7, 2 относительно плоскости : 4x 3y 2z 5 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A 7,1,1 до прямой x2 y5 z Задача 12 Через точку B3, 1, 2 провести прямую, параллельную прямой l : x 5y 6z 1 0, 4x y 2z 7 0 Вариант 10 Задача 1 Дана система линейных уравнений x y z 7, x y z 1, x 2y 5z 11 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений 2x1 5x2 x3 3x4 2, 4x1 6x2 3x3 5x4 4, 2x1 7x2 4x3 2 59

60 и решить ее методом Гаусса Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 1, 2, 2, 3, 0,1 60 и смешанное произведение b, c 3a b 3k Задача 5 Дана прямая 2x y 6 0 и на ней две точки A и B с ординатами y 6, y 2 Составить уравнение высоты A B AD треугольника AOB Задача 6 Дано уравнение одной из сторон квадрата x 3y 7 0 и точка пересечения его диагоналей P0, 1 Найти уравнения трех остальных сторон этого квадрата Задача 7 Найти угол между прямыми x2 y3 z x y1 z и Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B1, 3, 1 является проекцией точки A1, 2, 5 на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

61 параллельно плоскости x1 y3 z : 4x y 3z 13 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 8, 1, 5 относительно плоскости : 6x y 3z 7 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A 3,1, 7 до прямой x1 y2 z Задача 12 Через точку B5, 2, 4 провести прямую, параллельную прямой l : 2x 7y z 6 0, 3x 8y 9z 1 0 Вариант 11 Задача 1 Дана система линейных уравнений 3x 2y z 3, 2x y z 4, x 2y 3z 3 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений 61

62 x1 2x2 5x3 11x4 6, 2x1 6x2 4x3 6x4 2, x1 8x2 13x3 37x4 24 и решить ее методом Гаусса Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 1,1, 2, 3, 0, 2 и смешанное произведение b, c 3a b 2j Задача 5 Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через точку пересечения его сторон x y1 0 и y 1 0, если известно, что диагонали параллелограмма пересе- P 1, 0 каются в точке Задача 6 Какому условию должны удовлетворять коэффициенты a и b для того, чтобы прямые 2x 3y 5 0, ax by 1 0, x 1 0 проходили через одну и ту же точку? Задача 7 Найти угол между плоскостями 2x 3y 6z 14 0 и 4x y 8z

63 Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B12, 1, 5 является проекцией точки 1, 3, 1 A на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x12 y9 z параллельно плоскости : 3x 2y z 11 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 6,1, 4 относительно плоскости : 3x 2y 9z 1 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A2, 1,1 до прямой x2 y5 z Задача 12 Через точку B6, 1, 0 провести прямую, параллельную прямой l : x 2y 6z 1 0, 7x 5y z 4 0 Вариант 12 Задача 1 Дана система линейных уравнений x 4y 3z 9, 2x 7y 5z 12, x y 1 63

64 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса x1 2x2 x3 3x4 0, 2x1 x2 2x4 1, 7x1 x2 3x3 x4 5 Задача 3 Вычислить определитель Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 4, 3, 2, 1, 2, 1 и смешанное произведение b, c a 5b 2j Задача 5 Даны две вершины треугольника A2, 2 и 3, 1 Медианы треугольника пересекаются в точке P 1; 0 B Составить уравнение высоты треугольника, проходящей через третью вершину C 64

65 Задача 6 Определить расстояние между двумя параллельными прямыми 3x y и 6x 2y Задача 7 Найти угол между прямой и плоскостью x 3y 6z 1 0 x3 y1 z Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B 11, 7, 2 является проекцией точки 7,1, 2 A на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x9 y2 z параллельно плоскости : 3x 5y z 2 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 7, 2, 5 относительно плоскости : x 4y 2z 7 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A 8, 2, 0 до прямой x2 y z Задача 12 Через точку B7, 2, 1 провести прямую, параллельную прямой l : 3x 9y z 2 0, 6x y 7z

66 Вариант 13 Задача 1 Дана система линейных уравнений 8x 3y 4z 2, 7x y 2z 3, 3x y z 4 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 6x1 3x2 2x3 3x4 4, 4x1 4x2 2x3 4x4 5, 2x1 11x2 4x3 11x4 13 Задача 3 Вычислить определитель

67 Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 2,1, 4, 1, 3, 2 и смешанное произведение b, c 4a b 2i Задача 5 Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2x 3y 5 0 и 3x y 7 0 и перпендикулярно к прямой y 2x Задача 6 Через начало координат провести прямую так, чтобы A 2, 2 и она прошла на одинаковом расстоянии от точек B 4, 0 Задача 7 Найти угол между плоскостями 3x 2y 6z 7 0 и 2x y 2z 5 0 Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B 5, 4, 2 является проекцией точки 2, 1, 0 A на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x y7 z параллельно плоскости : 11x 2y 10z 15 0 Задача 10 Найти координаты точки P симметричной с точкой Q 4, 0,1 относительно плоскости : 8x 3y z 1 0 Задача 11 Вычислить расстояние от точки A0, 1, 3 до прямой 67

68 x3 y2 z Задача 12 Через точку B 9, 0, 2 провести прямую, параллельную прямой l : x 8y 5z 1 0, 4x 3y 6z 0 Вариант 14 Задача 1 Дана система линейных уравнений x y z 1, 3x 2y z 4, 5x y z 3 Решить систему: а) по правилу Крамера; б) матричным способом (используя обратную матрицу, вычисленную с помощью алгебраических дополнений) Задача 2 Исследовать систему линейных уравнений и решить ее методом Гаусса 5x1 x2 8x3 2x4 2, 3x1 3x2 2x3 4x4 4, 3x1 9x2 16x3 22x4 10 Задача 3 Вычислить определитель 68

69 Задача 4 Вычислить скалярное произведение a b, векторное произведение a b a, b, c, где a 2, 2, 1, 2, 3, 4 и смешанное произведение b, c a 5b i Задача 5 Даны две вершины треугольника A 10, 2 и 6, 4 его высоты пересекаются в точке M 5, 2 Определить координаты третьей вершины B, Задача 6 Составить уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямой 8x15y 25 0 равно 2 Задача 7 Найти угол между прямыми x5 y3 z x1 y4 z и Задача 8 Составить уравнение плоскости, если точка B 3, 2, 4 является проекцией точки 5, 3, 4 A на эту плоскость Задача 9 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую x4 y3 z параллельно плоскости 69

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы

ТЕСТЫ. Математика. Варианты, решения и ответы Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова Е. В. Мартынова, И. П. Мурзина, Т. М. Степанюк,

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики Т.А. Волкова СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ к первой части контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» СТАРООСКОЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ»

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее