ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП Направление подготовки «Экономика» Профиль «Экономика предприятий и организаций природопользования и водного хозяйства» МОСКВА 0

2 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ - ЗАОЧНИКОВ МГУП Направление подготовки «Экономика» Профиль «Экономика предприятий и организаций природопользования и водного хозяйства» МОСКВА 0

3 Составители: Васильева ЕН, Денисова ОИ ББК В9 УДК 7 Линейная алгебра Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников МГУП / Московский государственный университет природообустройства Составители: Васильева ЕН, Денисова ОИ М, 0, с Методические указания предназначены для студентовзаочников МГУП с целью повышения эффективности самостоятельной работы и выполнения ими контрольных заданий по курсу Линейная алгебра Рецензенты: Ковалев ВП (зав кафедрой физики), Снежко ВЛ (зав кафедрой вычислительной техники и прикладной атематики) Московский государственный университет природообустройства, 0

4 СОДЕРЖАНИЕ Введение Тема Операции над матрицами Тема Метод Гаусса 8 Тема Системы n линейных уравнений с n переменными Тема Элементы векторной алгебры 6 Тема Аналитическая геометрия на плоскости 9 Тема 6 Аналитическая геометрия в пространстве

5 ВВЕДЕНИЕ Уважаемые студенты-заочники! В этой книжке Вы найдете контрольные задания и методические указания для их выполнения и для подготовки к экзамену по линейной алгебре Для изучения материала Вам рекомендуется следующая литература (в последующем тексте будут ссылки именно на указанные пособия) Список литературы: [] НШ Кремер, Высшая математика для экономистов Практикум, М: ЮНИТИ, с На втором курсе студенты должны выполнить контрольную работу, на третьем курсе контрольную работу Номера задач, которые Вам следует решать, определяются очень просто: последняя цифра номера задачи должна совпадать с последней цифрой номера Вашей зачетной книжки Контрольная работа содержит задачи 0 0, -0, -0 Контрольная работа содержит задачи 0, - 0, - 60 Перед выполнением контрольной работы рекомендуется ознакомиться с методическими указаниями к данной теме Тема Операции над матрицами Литература [], глава,, Пример Найти значение матричного многочлена f () f ( ), 0

6 Решение Вместо подставляем в функцию f ( ) матрицу, 0 вместо числа используем матрицу E, где E -единичная 0 матрица -го порядка, что и f ( ) E Найдем произведение матриц Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй Тогда произведением матрицы B называется такая матрица С, каждый элемент c ij mk kn которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В k c a b, i,,, m; j,,, n ij is sj s Умножение матрицы на число-каждый элемент матрицы умножается на это число ; ; E Сложение (вычитание) матриц одинакового размера осуществляется поэлементно Теперь найдем f ( ) E

7 Ответ: 6 9 f () Задачи 0-0 Найти значение матричного многочлена 0 0) f ( ), 0) f ( ), 0 0) f ( ), 0 0 0) f ( ), 0) f ( ), 06) f ( ), 0 07) f ( ), 08) f ( ), 0 09) f ( ), 0 0) f ( ), 7

8 Тема Метод Гаусса Литература [],глава,, 6; глава,,, Пример Решить систему уравнений методом Гаусса Указать общее и одно частное решения: ; ; ; Решение Выпишем расширенную матрицу системы Необходимо на первом шаге, чтобы a 0, но удобнее для вычислений, чтобы a Поэтому поменяем местами первую и вторую строки, чтобы a стал равным : ( ) ( ) 0 0 Шаг Умножим элементы первой строки на - и и прибавим их соответственно к элементам второй и четвертой строк, чтобы под элементом a в первом столбце образовалась «ступенька» из нулей Для проведения второго шага необходимо, чтобы a 0 Для удобства поменяем вторую и третью строки ( ) Шаг Элементы второй строки умножаем на и - и прибавляем соответственно к элементам третьей и четвертой строк, тогда тре- 8

9 тья и четвертая строки обнулятся, и мы отбросим их Разделим вторую строку на 0 : ,, Ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы равны Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы (теорема Кронекера - Капелли) Следовательно, система совместна Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система имеет единственное решение Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений Две основные (базисные) переменные, так как r( ) и две неосновные (свободные) переменные Берем за основные, Остальные, неосновные переменные, (с их коэффициентами) переносим в правую часть уравнений:,,,,,,, Задавая неосновным переменным произвольные значения c, c, найдем бесконечное множество решений системы: (,c, c ; c;,c, c ; c), где c, c R Частное решение получаем из общего, подставляя в c, c некоторые значения, например, c, c Получаем частное решение (;;-;) Сделаем проверку, подставив в систему частное решение 9

10 0,,, ; ; ; Верное равенство Ответ Общее решение (,, ; ;,, ; ) c c c c c c, где, c c R Частное решение (;;-;) Задачи -0 Решить систему уравнений методом Гаусса Указать общее и одно частное решения: ) ; 7 ; ; ) 6 0; ; ; ) 8 6; 0; ; ) ; 7 ; 8 ; ) 9 ; 8 7 ; 8; 6) 9,,

11 7) ; 7 8 ; ; 9),, 8) ; ; ; 0),, Тема Системы n линейных уравнений с n переменными Литература [],глава,, ; глава,, Пример Решить систему уравнений тремя способами (по теореме Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы): 7 8 Решение -й способ (по теореме Крамера): Составим определи- тель матрицы системы: Вычислим этот определитель, раскладывая его по первой строке с помощью формулы: a a a В этой формуле i j ij ( ) M - алгебраические дополнения элементов a ij матрицы, где ij M ij - миноры элементов a ij матрицы

12 Минором M ij элемента a ij матрицы -го порядка называется определитель матрицы -го порядка, получаемой из матрицы вычеркиванием i -ой строки и j -го столбца, на пересечении которых находится элемент a ij Получаем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (9 ) Для вычисления определителей второго порядка мы воспользовались a a здесь формулой: aa aa a a Далее составим и вычислим аналогично определители j матриц, получаемых из матрицы заменой j -го столбца столбцом свободных членов ( j,, ): ( ) ( 7 8) ( 6) , ( 7 8) ( ) ( 7) , (6 ) ( 7) (9 )

13 Применяем формулы Крамера: ,, Ответ: 0,, 7 -й способ (метод Гаусса): Составим расширенную матрицу системы: 7 С помощью элементарных преобразований приведем матрицу 8 к ступенчатому виду Для этого сначала умножим первую строчку на - и прибавим ко второй строчке, затем умножим первую строчку на - и прибавим к третьей строчке: ( ) ( ) 7 ~ Далее умножим вторую строчку на и прибавим к третьей строчке: 0 9 ~ Ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и равен, следовательно, наша система совместна Число переменных n также равно, значит, система имеет единственное решение Для того, чтобы его найти, составим равносильную систему уравнений, которая соответствует полученной матрице: 9 6 Из последнего уравнения находим 7 Затем подставляя во второе уравнение системы 7, получаем И, наконец, зная и, из первого уравнения системы находим 0

14 Ответ: 0,, 7 -й способ (с помощью обратной матрицы) Запишем систему уравнений в матричном виде: X B, где - матрица системы, X - матрица-столбец переменных, B 7-8 матрица-столбец свободных членов Решение системы находим по формуле X B, где - обратная матрица Найдем Для ~ этого воспользуемся формулой, где ~ - присоединенная матрица Элементами присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения элементов матрицы, транспонированной к матри- це Составим транспонированную матрицу Для этого заменим все строки матрицы на столбцы с такими же номерами: Найдем теперь алгебраические дополнения ко всем элементам a ij этой матрицы,,,,,, 7,, Составим присоединенную матрицу:

15 7 ~ Найдем обратную матрицу: 7 6 ~ Определитель матрицы мы уже вычислили, когда решали систему уравнений -ым способом, 6 Находим решение системы: B X Ответ: 7,, 0 Задачи -0 Решить систему уравнений тремя способами (по теореме Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы) ) 8 0; 7; ) 8 ; 9 6 ; ) 8 8; 0; ) ; 6 7 8; 9 ) 8 ; 7; 6) ; 6 ;

16 8; 7) ; 0 6; 9) ; 0; 8) 6; 6; 0) ; 0 Тема Элементы векторной алгебры Литература [],глава, Пример Даны вершины треугольника ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) B C Определить его внутренний угол при вершине Решение Искомый угол ɵ - это угол между векторами B и C Найдем координаты этих векторов Для B : вычтем из координат { } { } конца (точки B ) координаты начала (точки ): B ; ; ( ) ; ; Аналогично для вектора C { } { } ; ; ( ) ; ; Вычислим косинус угла ɵ по формуле cos ɵ B C B C, где B C - скаляр- ное произведение векторов, B, C - длины векторов Эта формула в координатах имеет следующий вид: 6

17 cos ɵ y y z z y z y z { } { }, где B ; y ; z, C ; y ; z Подставим координаты векторов B и C : cos ɵ ( ) ( ) ( ) Отсюда 6 6 ˆ 0 arccos Пример Даны вершины треугольника ( ; ; 0), ( ; 0; ), ( ; ; 6) B C Вычислить площадь треугольника BC Решение Площадь треугольника BC находится по формуле S B C, где B C - векторное произведение Найдем B C ; 0; 6 Вектор- координаты векторов, { ; ; }, { } ное произведение векторов { ; ; } и { } a y z b y z ; ; нахо- i j k дится по формуле a b y z y z i j k B C i j k

18 i 60 j 6 k 0 i j 8k (( ) ( ) ( ( ) ( ( ) Так получили вектор B C { 8} Вычислим длину этого вектора: ; ; Тогда пло- B C ( ) ( ) щадь треугольника S a Пример Установить, компланарны ли векторы { ; ; }, b { ; ; }, c { 9 } ; ; Решение Векторы a, b, c компланарны, если смешанное про- a b c равно нулю Смешанное произведение векторов изведение { ; ; }, { ; ; }, { } a y z формуле a b c b y z y z y z c y z ; ; находится по Подставим координаты векторов y z a, b, c : a b c ( 7) ( ) ( 9 ) 0 0 Поскольку смешанное произведение a b c равно нулю, векторы a, b, c компланарны 8

19 Задачи для контрольных работ - 0 Даны вершины пирамиды : ( ; y; z ), ( ; y; z ), ( ; y; z), ( ; y; z ) Найти: ) внутренний угол при вершине в треугольнике ; ) площадь грани ; ) объем пирамиды ; ) ( ; ; ), ( ; ; 8), ( ; ; ), ( 6; ; 6) ) ( ; ; ), ( 8; ; 0), ( ; 7; ), ( ; ; ) ) ( ; 0; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) ) ( ; ; ), ( 0; ; ), ( 8; 6; ), ( ; 6; 0) ) ( ; ; ), ( 7; ; ), ( 6; ; ), ( 0; ; ) 6) ( 0; ; ), ( ; ; ), ( ; 9; ), ( 0; ; ) 7) ( ; 0; ), ( ; ; 7), ( ; ; ), ( ; 7; ) 8) ( ; ; ), ( 8; 8; ), ( ; 0; ), ( ; ; 0) 9) ( ; ; ), ( ; ; ), ( 6; ; 0), ( 0; ; ) 0) ( ; ; ), ( 0; 6; ), ( ; 9; 8), ( ; 8; ) Тема Аналитическая геометрия на плоскости Литература [],глава,, Пример Даны три вершины ( ; ), B( ; ), C( 9; ) параллелограмма BCD Составить уравнения сторон этого параллелограмма Решение Напишем уравнение стороны B Эта прямая проходит через точку ( ; ) и имеет направляющий a B, Следовательно, уравнение стороны B имеет вектор ( ) 9

20 y вид: Напишем уравнение стороны DC, параллельной B Для этого используем тот факт, что если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны Следовательно, уравнение стороны DC, проходящей через точку C (; ) и имеющей направляющий вектор a B (,) можно представить в виде 9 y Напишем уравнение стороны BC Эта прямая проходит через точку (; ) b BC 7, Следо- B и имеет направляющий вектор ( ) y вательно, уравнение стороны BC имеет вид: 7 Напишем уравнение стороны D Поскольку D параллельна BC, то их направляющие векторы коллинеарны Следовательно, уравнение стороны D, проходящей через точку ( ; ) и имеющей направляющий вектор b D ( 7; ) можно представить в виде y 7 Пример Даны две точки ( ;), B(9 ; ) На отрезке B найти точку C, делящую этот отрезок пополам Решение Пусть точки, B, C имеют координаты ( ; y), B( ; y ), C( ; y ), где тоска C является серединой отрезка B, тогда можно написать, что, y y y, следовательно, в данном случае получаем: 9, y Серединой отрезка B будет точка C (;) 0

21 ПримерДаны две точки ( ;), B(9 ; 6) Написать уравнение прямой, проходящей через точку C ( ; ) перпендикулярно отрезку B Решение Вектор N B ( ;) искомой прямой Пусть ( ; ) вектор CM ( ; y ) будет нормальным вектором M y произвольная точка прямой, тогда - это вектор лежащий на данной прямой, следовательно векторы B иcm - ортогональны Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю, значит CM B 0 Если написать этот условие в координатах, то получим: y 0, или y 0 0 ( ) ( ) Задачи для контрольных работ - 0 Даны вершины ( ; y), B( ; y ), C( ; y ) треугольника Найти: ) уравнение стороны B ; ) уравнение медианы, проведенной из вершины C ; ) уравнение высоты, проведенной из вершины C ; ) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне B ) (;), B(; ), C( ;0) ) ( ; 0), B( ; ), C( ; ) ) ( ; ), B( ; ), C(; ) ) (; 6), B( ; ), C( 6; ) ) (; ), B( ; ), C( 6; 0) 6) (6; 0), B(; 6), C( ; 9) 7) ( ; 9), B( ; ), C( 6; ) 8) ( 8; ), B(; ), C(7; ) 9) (0; ), B( ; ), C( 8; ) 0) (; ), B( ; ), C( ;)

22 Тема 6 Аналитическая геометрия в пространстве Литература [],глава, 7 Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M 0 ( ; ; ), M( ;; ) M ( ;;) Решение Для того, чтобы составить уравнение плоскости, нужно взять произвольную точку M ( ; y; z ), лежащую на этой плоскости Далее построим три вектора: вектор M 0 M ( ; y ; z ) ; вектор M 0M (; ; ) ; и вектор M0M ( ;; ) Эти векторы компланарны, но если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю Напишем это условие в координатах: y z 0 Вычислим получившийся определитель разложением этого определителя по первой строке, тогда получим: y z ( ) ( y ) ( z ) 0 После вычисления трех определителей второго порядка получаем: ( ) ( y ) ( z ) 0 0, или z 0 Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через ( ; ; ), перпендикулярно прямой точку M 0 0 y z Решение Для того, чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать точку M 0, лежащую на этой плоскости и нормальный век-

23 лежит на этой плоско- тор N к этой плоскости Точка M 0 ( ; ; 0) сти, а по условию задачи направляющий вектор прямой: a ( ; ;) перпендикулярен искомой плоскости, следовательно, вектор a можно взять в качестве нормального вектора искомой плоскости: N a ( ; ;) Пусть M ( ; y; z ) произвольная точка искомой плоскости, тогда вектор M 0M и вектор N - ортогональны Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю, значит M 0M N 0 Если написать этот условие в координатах, то получим: y z 0, или y z 0 ( ) ( ) Пример Написать канонические уравнения прямой, проходя- ( ; ; ), перпендикулярно плоскости щей через точку M 0 0 y z 0 Решение Для того, чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку M 0, лежащую на этой прямой и направляющий вектор a этой прямой Точка M 0 ( ; ; 0) лежит на этой прямой, и по условию задачи нормальный вектор плоскости параллелен искомой прямой, следовательно, вектор N N ( ;;) можно взять в качестве направляющего вектора искомой прямой a N ( ;;) Пусть M ( ; y; z ) произвольная точка искомой прямой, тогда вектор M 0M и вектор N - коллинеарны Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, значит M M λ N Если написать этот условие в координатах, то получим 0 y z канонические уравнения искомой прямой: Пример Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( ; ; ), параллельно плоскости 7 y z 8 0 Решение Для того, чтобы составить уравнение плоскости, нуж-

24 но знать точку M 0, лежащую на этой плоскости и нормальный век- тор N к этой плоскости Точка M 0( ; ; ) лежит на этой плоскости, а по условию задачи нормальный вектор плоскости 7 y z 8 0 N 7; ; перпендикулярен, то есть вектор ( ) к искомой плоскости, следовательно, вектор N можно взять в качестве N 7; ; Пусть нормального вектора искомой плоскости: ( ) ( ; ; ) M y z произвольная точка искомой плоскости, тогда вектор M 0M и вектор N - ортогональны Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю, значит M 0M N 0 Если написать этот условие в координатах, то получим: 7 y z 0, или 7 y z 0 ( ) ( ) ( ) Пример Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 ( ; ; ), параллельно отрезку B, где ( ;; ) и B( ; ;), Решение Для того, чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку M 0, лежащую на этой прямой и направляющий вектор a этой прямой Точка M 0 ( ; ; ) лежит на этой a B ; 6; параллелен прямой, и по условию задачи вектор ( ) искомой прямой, следовательно, вектор a можно взять в качестве направляющего вектора искомой прямой a ( ; 6;) Пусть M ( ; y; z ) произвольная точка искомой прямой, тогда вектор M 0M и вектор a - коллинеарны Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны, значит M 0M λ a Если написать этот условие в координатах, то получим канонические уравнения искомой прямой: y z 6

25 Задачи для контрольных работ - 60 Даны вершины пирамиды ( ; y; z ), ( ; y; z ), ( ; y; z), ( ; y; z ) Найти: ) уравнение плоскости, проходящей через вершины ; ) урав-,, ; ) угол между ребром и гранью нение высоты, проведенной из вершины на грань ; ) уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно грани ; ) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно ребру ) ( ; ; ), ( ; ; 8), ( ; ; ), ( 6; ; 6) ) ( ; ; ), ( 8; ; 0), ( ; 7; ), ( ; ; ) ) ( ; 0; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) ) ( ; ; ), ( 0; ; ), ( 8; 6; ), ( ; 6; 0) ) ( ; ; ), ( 7; ; ), ( 6; ; ), ( 0; ; ) 6) ( 0; ; ), ( ; ; ), ( ; 9; ), ( 0; ; ) 7) ( ; 0; ), ( ; ; 7), ( ; ; ), ( ; 7; ) 8) ( ; ; ), ( 8; 8; ), ( ; 0; ), ( ; ; 0) 9) ( ; ; ), ( ; ; ), ( 6; ; 0), ( 0; ; ) 60) ( ; ; ), ( 0; 6; ), ( ; 9; 8), ( ; 8; )

26 Васильева ЕН, Денисова ОИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА методические указания и контрольные задания для студентов - заочников МГУП ЛР 0060 от 00009г Подписано в печать Формат 60 8/6 Т экз Объем уч-изд л Печать офсетная Бумага типогр Заказ Цена договорная Редакционно-издательский отдел МГУП 6


Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

1. Найти значение матричного многочлена:

1. Найти значение матричного многочлена: 1. Найти значение матричного многочлена: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = ( 0 1 4 ) 5 1 A = ( 0 1 4 ) ( 0 1 4 ) = 5 1 5 1 + 0 5 + 1 ( ) ( ) + 4 1 = ( 0 + 1 0 + 4 5 0 + 1 1 + 4 ( ) 0 ( ) + 1 4 + 4 1)

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р.

Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Ищанов Т.Р. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Ищанов ТР h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Написать разложение вектора по векторам r 8 r Требуется представить вектор в виде r где числа Найдем их

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Е В Морозова, С В Мягкова БАЗА ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ЧАСТЬ I ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ I ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ Министерство образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» МАТЕМАТИКА Задания для контрольной работы для студентов

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее

Репозиторий БНТУ. Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Репозиторий БНТУ. Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет маркетинга менеджмента предпринимательства Кафедра «Бизнес-администрирование» МАТЕМАТИКА Методическое

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения

МАТЕМАТИКА. Контрольные работы 1 и 2. Для студентов ЗФ 1 курса 1-го семестра обучения Министерство транспорта Российской Федерации (Минтранс России) Федеральное агентство воздушного транспорта (Росавиация) ФГОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ТРАНСПОРТНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ТРАНСПОРТНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» В. Г. ДЕГТЯРЕВ,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Решение типовика выполнено на сайте Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу

Решение типовика выполнено на сайте   Переходите на сайт, смотрите больше примеров или закажите свою работу МИРЭА Типовой расчет по алгебре и геометрии Вариант 7 Задача Для пирамиды с вершинами в точках A, A,, A4 найти: А) длину ребра A A ; Б) угол между ребрами AA и A A4 ; В) уравнение плоскости A A : Г) площадь

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Сборник задач по высшей математике

Сборник задач по высшей математике С. А. Логвенков П. А. Мышкис В. С. Самовол Сборник задач по высшей математике Учебное пособие для студентов социально-управленческих специальностей Москва Издательство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) ББК 22.43

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ

ВВЕДЕНИЕ ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ НАД КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТОЙ ВВЕДЕНИЕ Настоящие учебно-методические материалы предназначены для студентов заочной формы обучения и являются руководством для изучения дисциплины Высшая математика Они содержат в себе основные рекомендации

Подробнее

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12

Образец решения. получаем элемент матрицы AB, стоящий в 1-ой строке и 2-ом столбце (элемент C 12 1. Даны матрицы: Образец решения 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Найти матрицу и выяснить, имеет ли она обратную матрицу. Решение. Найдѐм матрицу Найдѐм транспонированную матрицу Найдѐм

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Контрольная по алгебре с решением

Контрольная по алгебре с решением Контрольная по алгебре с решением Линейная алгебра 1-10 Каждый вариант этого раздела содержит четыре пункта, задания к которым соответствуют номеру пункта 1 Вычислить определитель 4-го порядка двумя способами:

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение:

1. При каких значениях ранг матрицы. Решение: . При каких значениях ранг матрицы равен двум? Решение: Ранг матрицы равен порядку базисного минора. Поскольку требуется, чтобы ранг матрицы был равен двум, то базисным должен быть какой-либо минор второго

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Методические материалы для подготовки к зачету: дополнительные образцы задач к зачетным билетам

Методические материалы для подготовки к зачету: дополнительные образцы задач к зачетным билетам Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» (Финансовый университет) КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ

СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению 654700 «Информационные

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия. МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Линейная алгебра и Аналитическая Геометрия МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов первого курса заочного обучения Москва

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее