z удовлетворяют уравнению F ( x,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "z удовлетворяют уравнению F ( x,"

Транскрипт

1 Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики средней школы Вводятся понятия уравнений и линии в пространстве Как будет показано поверхность в пространстве определяется одним уравнением с тремя переменными а линия двумя такими уравнениями Основное внимание уделено случаям когда данные уравнения является алгебраическими уравнениями первой или второй степени Уравнение поверхности Как было сказано в аналитической геометрии на плоскости) уравнение F ) вообще говоря определяет на плоскости некоторую линию те множество всех точек плоскости O координаты которых и удовлетворяют этому уравнению Подобно этому уравнение F ) *) вообще говоря определяет в пространстве O некоторую поверхность те множество всех точек координаты которых удовлетворяют уравнению F ) Уравнение *) называется уравнением этой поверхности а - её текущими координатами Часто однако поверхность задается не уравнением а как множество всех точек обладающих тем или иным свойством В этом случае требуется найти уравнение поверхности исходя из её геометрических свойств Пример Найти уравнение шаровой поверхности сферы) радиуса R с центром в точке O ; ; ) Решение Согласно определению сферы расстояние любой её точки M ) от центра O ; ; ) равно радиусу R те O M R Но следовательно или O M ) ) ) ) ) R ) ) ) ) R **) Мы получили искомое уравнение сферы так как ему удовлетворяют координаты любой её точки и очевидно не удовлетворяют координаты точек не лежащих на данной сфере В частности если центр сферы совпадает с началом координат то уравнение сферы **) примет следующий вид: R ***) Плоскость Нормальный вектор плоскости Уравнение плоскости проходящей через данную точку Рассмотрим в пространстве плоскость Р Ее положение вполне определяется заданием вектора N перпендикулярного этой плоскости и некоторой фиксированной точки М х у ) лежащей в плоскости Р Вектор N перпендикулярный плоскости Р называется нормальным вектором этой плоскости Если обозначить через А В и С проекции нормального вектора N то N Ai Bj Ck ) Выведем уравнение плоскости Р проходящей через данную точку М х у ) и имеющей данный нормальный вектор ) Для этого рассмотрим вектор М М соединяющий точку М х у ) с произвольной точкой Мху) плоскости Р При любом положении точки М на плоскости Р вектор M M перпендикулярен нормальному вектору N плоскости Р Поэтому скалярное произведение M M N Запишем скалярное произведение M M N через проекции Так как M M ) i ) j ) k M N A ) B ) C и следовательно a N Ai Bj Ck то M )

2 M M N A ) B ) C ) ) Мы показали что координаты любой точки Мху) плоскости Р удовлетворяют уравнению ) Нетрудно заметить что координаты точек нележащих на плоскости Р этому уравнению не удовлетворяют в последнем случае M M N ) Следовательно нами получено искомое уравнение плоскости Р Уравнение ) называется уравнением плоскости проходящей через данную точку Оно имеет первую степень относительно текущих координат х у и Итак мы показали что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат Пример Написать уравнение плоскости проходящей через точку М;-;) перпендикулярно вектору N i 4k Решение Здесь А В С4 На основании формулы ) получим х-)у)4- ) или х-7 Придавая коэффициентам А В и С уравнения ) различные значения мы можем получить уравнение любой плоскости проходящей через точку М х у ) Совокупность плоскостей проходящих через данную точку называется уравнением связки плоскостей Пример Составить уравнение плоскости проходящей через три точки М ;-;) М ;;-) и М -;;) рис ) Решение Напишем уравнение связки плоскостей проходящих через точку М : Ах- )Ву)С Так как векторы ММ и ММ лежат в искомой плоскости то вектор равный их векторному произведению и следовательно перпендикулярный этой плоскости можно принять за ее нормальный вектор: i j k N M M M M 5i 5 j 5k Таким образом А5 В5 С5 и искомое уравнение имеет следующий вид: 5х-)5у)5 или ху Общее уравнение плоскости Рассмотрим общее уравнение плоскости АхВуСД ) По крайней мере один из коэффициентов А В или С не равен нулю так как иначе мы имели бы не уравнение а тождество Д Предполагая для определенности что С представим уравнение ) в виде Ах-)Ву-)СД/С) 4) Уравнение 4) равносильно уравнению ) Сравнивая уравнение 4) с уравнением ) мы видим что оно а следовательно и равносильное ему уравнение 4) является уравнением плоскости имеющей нормальный вектор N Ai Bj Ck и проходящей через точку М ;;-Д/С) Итак мы показали что имеет место предложение обратное доказанному в п а именно: всякое уравнение АхВуСД первой степени относительно текущих декартовых координатах х у представляет собой уравнение некоторой плоскости При этом коэффициенты А В С является проекциями нормального вектора плоскости на координатные оси Уравнение ) называется общим уравнением плоскости Пример Выяснить лежат ли точки М ;;-) и М 4;;) в плоскости ху-5- Решение Точка тогда и только тогда лежит в плоскости когда ее координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости Поэтому для решения задачи нужно проверить удовлетворяют ли координаты точек М ;;-) и М 4;;) уравнению плоскости Подставляя координаты точки М ;;-) в это уравнение получим 65)- те точка М лежит в плоскости Для точки М 4;;) имеем : Следовательно точка М не лежит в этой плоскости Если свободный член Д то уравнение плоскости имеет вид ** и ему удовлетворяют координаты начала х у Легко убедиться в том что уравнения х у соответственно являются уравнениями координатных плоскостей у х и ху

3 Построение плоскостей и ее уравнению Зная уравнение плоскости легко построить саму плоскость Для этого достаточно найти три какие-либо ее точки не лежащие на одной прямой Чтобы найти какую-либо точку на плоскости A B C D достаточно задать произвольно значения двух координат а третью найти из уравнения плоскости Проще всего определять точки пересечения плоскости с осями координат Пример Построить плоскость ху6-6 Решение Найдем точки пересечения плоскости с осями координат Для того чтобы найти точку пересечения плоскости с осью х надо в уравнении плоскости принять у и так как у для любой точки оси х) Имеем х-6 откуда х Аналогично полагая х у находим аппликату точки пересечения плоскости с осью : 6-6 откуда Наконец при х находим у Итак данная плоскость ху6-6 проходит через точки М ;;) М ;;) М ;;) рис ) Пример Построить плоскость х5у- Решение Так как нормальный вектор N i 5 j перпендикулярен оси то искомая плоскость параллельна этой оси Для построения плоскости достаточно найти точки ее пересечения с осями х и у Полагая х найдем у; полагая у найдем х5 Следовательно плоскость проходит через точки М ;;) М 5;;) рис 4) 4 Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей Рассмотрим две плоскости Р и Р заданные соответственно уравнениями А хв ус Д Р ) и А хв ус Д Р ) Под углом между двумя плоскостями мы понимаем один из двугранных углов образованных этими плоскостями рис 5) Угол α между нормальными векторами N и N плоскостей Р и Р очевидно равен одному из указанных NN смежных двугранных углов Поэтому cosϕ N N Но так как N Ai B j Ck N Ai B j Ck то A A BB CC cosϕ 5) A B C A B C N ϕ ϕ N Пример Определить угол между плоскостями ху-4 и ху8 6 5 Решение По формуле 5) имеем cosϕ ) 4 Из таблицы находим что ϕ 69 5 Итак один из смежных двугранных углов приближенно равен 69 5 Отметим что две плоскости Р и Р :

4 а) параллельны друг другу тогда и только тогда когда их нормальные векторы N и N коллениарны; б) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда когда их нормальные векторы N и N перпендикулярны Пример Составить уравнение плоскости проходящей через точку М -;;4) параллельно плоскости ху-78 Решение На основании формулы ) запишем уравнение связки плоскостей проходящих через точку М -;;4): Ах)Ву-)С-4) *) Из плоскостей связки нам нужно выделить ту которая параллельна плоскости ху- 78 Так как искомая и данная плоскости параллельны то за нормальный вектор Ai Bj Ck искомый плоскости можно принять нормальный вектор N i j 7k данной плоскости Следовательно А В С-7 Подставляя эти значения коэффициентов в уравнение *) получим уравнение искомой плоскости: х)у-)-7)-4) или ху-7 Пример Через точку М -;;6) провести плоскость перпендикулярную плоскостям ху--4 Р ) и х5у Р ) Решение Запишем уравнение связки плоскостей проходящих через точку М : Ах)Ву-)С-6) *) Плоскости Р и Р имеют соответственно нормальные векторы N i j k и N i 5 j k Вследствие условия перпендикулярности векторам N и N Поэтому за вектор N можно взять векторное произведение векторов N и N : i j k N N N i 8 j k 5 Следовательно А В-8 С Подставляя найденные значения А В и С в уравнение *) получим уравнение искомой плоскости х)-8у-)-6) или х-8у44 5 Точка пересечения трех плоскостей Пусть даны три плоскости А хв ус Д Р ) и А хв ус Д Р ) А хв ус Д Р ) Чтобы найти точку пересечения этих плоскостей нужно очевидно решить систему уравнений A B C D A B C D 6) A B C D Если определитель этой системы A B C A A B B C C то система имеет единственное решение т е три плоскости пересекаются в одной точке Пример Найти точку пересечения плоскостей у- х-у7 ху--4 Решение Решая систему уравнений у - ζ х - у ζ 7 х у ζ 4 найдем координаты точки пересечения плоскостей: х у

5 6 Расстояние от точки до плоскости Пусть даны точка М х у ) и плоскость Р имеющая уравнение A B C D Расстояние d между ними т е длина перпендикуляра опущенного из точки М х у ) на плоскость Р определяется по следующей формуле: A B C D d 8) A B C вывод которой аналогичен выводу формулы расстояния от точки до прямой на плоскости Например Найти расстояние от точки M ;;-) до плоскости х-у-4 Решение По формуле 8) получим A B C D d A B C Уравнение линии в пространстве Линию в пространстве мы будем рассматривать как множество всех точек принадлежащих каждой из двух пересекающихся поверхностей Если эти поверхности заданы уравнениями F ) и Ф ) то линия их пересечения определяется системой уравнений: F ) Ф ) Например окружность получающаяся при пересечении сферы 5 плоскостью определяется системой уравнений 5 Текущие координаты любой точки M ) указанной окружности удовлетворяют каждому из уравнений этой системы 8 Прямая в пространстве Общие уравнения прямой Рассмотрим системы линейных уравнений A B C D 9) A B C D Каждое из уравнений этой системы является уравнением плоскости Если эти плоскости не параллельны то система 9) определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей т е как множество всех точек пространства координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы 9) Уравнения 9) называется общим уравнением прямой Пример Построить прямую заданную общими уравнениями 5 Решение Для того чтобы построить прямую достаточно знать две ее точки Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями Точка пересечения прямой с координатной плоскостью называется следом прямой Координаты следа М заданной прямой на плоскости Оху получим из уравнений прямой полагая это дает: у х Итак координаты точки М таковы: х у Аналогично полагая в уравнениях прямой х получим координаты следа * прямой на плоскости Оу: М ;;) Зная точки М и М строим проходящую через них прямую Векторное уравнение прямой Параметрические уравнение прямой Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо ее фиксированной точки М и вектора S n ) параллельного этой прямой или лежащего на

6 ней Вектор S n ) называется направляющим вектором этой прямой а его проекции на координатные оси направляющими коэффициентами прямой Пусть прямая L задана ее точкой М и направляющим вектором S n ) имеющим направляющие коэффициенты n На прямой возьмем две произвольные точки М ) и M ) s М М у Обозначим радиус- векторы этих точек как и очевидно что - Тк векторы параметр М М М Ми S коллинеарны то верно соотношение М М S t где t некоторый Итого можно записать: S t Тк этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой то полученное уравнение параметрическое уравнение прямой Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме: t nt t Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t получаем канонические уравнения прямой в пространстве: n Определение Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора S которые могут быть вычислены по формулам: n cosα ; cos β ; cosγ n n n Отсюда получим: : n : cosα : cosβ : cosγ Числа n называются угловыми коэффициентами прямой Тк S - ненулевой вектор то n и не могут равняться нулю одновременно но одно или два из этих чисел могут равняться нулю В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители 9 Кононические уравнения прямой Пусть М х у ) - точка лежащая на прямой L и s i nj k ** -направляющий вектор прямой Вектор прямой L коллениарен вектору M M соединяющий точку М х у ) с переменной точкой Мху) s i nj k Поетому проекции векторов M M и

7 k nj i s пропорциональны Так как k j i M M ) ) ) то n ) Итак координаты любой точки прямой должны удовлетворять уравнениям ) которые называются уравнением прямой В частном случае когда напрявляющий вектор s- единичный т е γ β α cos cos k jcs i s уравнения ) имеют следующий вид: cos cos cos γ β α Направляющими коэффициентами здесь являются направляющие косинусы вектора s Уравнение прямой в пространстве проходящей через две точки Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M ) и M ) то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой: n Кроме того для точки М можно записать: n Решая совместно эти уравнения получим: Это уравнение прямой проходящей через две точки в пространстве Пример Найти каноническое уравнение если прямая задана в виде: Для нахождения произвольной точки прямой примем ее координату х а затем подставим это значение в заданную систему уравнений те А ) Находим компоненты направляющего вектора прямой 4 5 7; 5 ; 4 B A B A C A C A n C B C B Тогда канонические уравнения прямой: 7 Угол между прямыми в пространстве Пусть в пространстве заданы две прямые Их параметрические уравнения: l : t S l : t S ) ); ); ); ); n S n S Угол между прямыми ϕ и угол между направляющими векторами ϕ этих прямых связаны соотношением: ϕ ϕ или ϕ 8 - ϕ Угол между направляющими векторами находится из скалярного произведения Таким образом:

8 cos S S n n ϕ ± ± S S n n Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны те их соответствующие координаты были пропорциональны n n Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны те косинус угла между ними равен нулю n n Угол между прямой и плоскостью Определение Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость N S α α ϕ Пусть плоскость задана уравнением N D а прямая - St Из геометрических соображений см рис) видно что искомый угол α 9 - ϕ где α - угол между векторами N и S Этот угол может быть найден по формуле: N S N S cos α sin ϕ ± cosα ± N S N S В координатной форме: sinϕ ± A B A Bn C C n Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны необходимо и достаточно чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны Для этого необходимо чтобы их скалярное произведение было равно нулю N S N S sinϕ A Bn C

9 Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны необходимо и достаточно чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны Это условие выполняется если векторное произведение этих векторов было равно нулю A B C N S ; n 4 Точка пересечения прямой с плоскостью Пусть требуется найти точку пересечения прямой х х ) n С плоскостью A B C D ) Для этого нужно совместно решить систему уравнений ) и ) Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений прямой: t nt ) t Каждому значению параметра t соответствует точка прямой Нужно выбрать такое значение при котором точка прямой будет лежать на плоскости ) Подставляя и из соотношений ) в уравнение плоскости ) получим уравнение из которого найдем значение параметра t: или t A Bn C) A B C D) 4) Предположим что прямая и плоскость не параллельны Тогда нормальный вектор N Ai Bj Ck плоскости и направляющий вектор sinjk прямой не перпендикулярны и следовательно их скалярное произведение не равно нулю: Ns A Bn C В этом случае из равенства 4) найдем A B C D t 5) A Bn C Пучок плоскостей Совокупность всех плоскостей проходящих через заданную прямую L называется пучком плоскостей а прямая L-осью пучка Пусть ось пучка задана уравнениями A B C D 6) A B C D Почленно умножим второе уравнение системы 6) на постоянную ε и сложим с первым уравнением: A B C D ε A B C D ) 7) Уравнение 7) есть уравнение пучок плоскостей при любом численном значении ε определяет некоторую плоскость 5 Поверхности второго порядка Определение Поверхности второго порядка это поверхности уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка Цилиндрические поверхности Определение Поверхность составленная из всех прямых пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l называются цилиндрической поверхностью При этом линия L называется направляющей цилиндрической поверхности а каждая из прямых составляющих

10 эту поверхность и параллельных прямой l - образующей Рассмотрим в плоскости ху некоторую линию * имеющую в системе координат ху уравнение F) ) Рассмотрим поверхности в уравнении которых отсутствует составляющая те направляющие параллельны оси О Тип линии на плоскости ХOY эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности Обозначим через N точку пересечения направляющей L и образующей проходящей через точку M на плоскости Поэтому точки M и N имеют одну и ту же абсциссу х и одну и ту же ординату у Но точка N лежит на кривой L и ее координаты и у удовлетворяют уравнению ) этой кривой Следовательно этому уравнению удовлетворяют и координаты точки M) так как оно не содержит Таким образом координаты любой точки M) данной цилиндрической поверхности удовлетворяют уравнению ) Координаты точки не лежащей на этой поверхности уравнению ) не удовлетворяют так как эти точки проектируется на плоскость ху вне кривой L Таким образом не содержащее уравнение F) если его отнести к системе координат в пространстве является уравнением цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси и направляющей L которая в плоскости ху задается тем же уравнением F) В пространстве направляющая L определяется системой двух уравнений: F ) ) Аналогично можно показать что уравнение F) не содержащее у и уравнение F) не содержащее х определяют в пространстве цилиндрические поверхности с образующими параллельными соответственно осям у и х Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей ) Поверхность определяемая уравнением - является цилиндрической и называется эллиптическим цилиндром b a ) - гиперболический цилиндр b a

11 ) параболический цилиндр 6 Поверхности вращения Определение Поверхность описываемая некоторой линией вращающейся вокруг неподвижной прямой d называется поверхностью вращения с осью вращения d Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F ) то эта поверхность поверхность вращения с осью вращения О Аналогично: F ) поверхность вращения с осью вращения Оу F ) поверхность вращения с осью вращения Ох Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев: ) - эллипсоид вращения a c ) - однополостный гиперболоид вращения a c ) - двуполостный гиперболоид вращения a c 4) - параболоид вращения Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения если осью вращения являются оси Ох или Оу Однако перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида некоторые типы которых рассмотрены ниже: Сфера: a) b) c)

12 Трехосный эллипсоид: c b a В сечении эллипсоида плоскостями параллельными координатным плоскостям получаются эллипсы с различными осями Однополостный гиперболоид: c b a Двуполостный гиперболоид: c b a

13 Эллиптический параболоид: > > q где q Гиперболический параболоид: q Конус второго порядка: c b a

14 Дифференциальное исчисление функций одной переменной Приращение аргумента и приращение функции Пусть дана функция f ) Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное и новое Разность называется приращением аргумента в точке и обозначается символом читается: «дельта икс») может быть как положительным так и отрицательным Аналогично разность f ) f ) называется приращением функции f ) в точке и обозначается символом читается: «дельта игрек») Величины и показаны на рис f) f ) f) f)- O Рис Таким образом ) f ) f ) ) или ) Подставляя в ) выражения для из равенства ) получим f ) f ) 4) Как правило в тех случаях когда вводятся и исходное значение аргумента считается фиксированным а новое значение - переменным Тогда f ) оказывается постоянной f ) - переменной Приращения и будут переменными Формула 4) показывает что переменная Пример Для функции в точке найти приращение функции приращению аргумента Решение По формуле 4) имеем f ) f ) ) ) Определение непрерывности функции с помощью понятий приращения аргумента и приращения функции также является функцией переменной соответствующее Согласно определению непрерывности функции функция f ) называется непрерывной в точке если li f ) f ) 5)

15 При этом предполагалось что функция f ) определена в точке и некоторой окрестности этой точки Это определение можно сформулировать пользуясь понятиями приращения функции и приращения аргумента Действительно формула 5) очевидно равносильна равенству li[ f ) f )] 5 ) Полагая и f ) f ) и замечая что при и обратно при ) вместо соотношения 5 ) мы получим следующую формулу равносильную формуле 5): li 6) Иными словами функция f ) непрерывна в точке тогда и только тогда когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции Замечание Если в точке функция f ) терпит разрыв то при либо стремится к пределу отличному от нуля либо не имеет предела

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Поверхности второго порядка. Определение функции х переменных. Геометрическая интерпретация. Частные приращения функции. Частные производные.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКАДЕМИЯ АРХИТЕКТУРЫ И ИСКУССТВ В.В. ТРОФИМОВ, С.П.

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Классификация поверхностей второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка Основные понятия Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Исследование уравнений поверхностей второго порядка

Исследование уравнений поверхностей второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Овчинников Алексей Витальевич КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ http://matematika.phs.msu.ru/ 2 Лекция 1 Системы координат Представление линий и поверхностей 1. ОБ УЧЕБНОМ ПЛАНЕ Лекции 36 ч. Семинары

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ 3 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ К РАЗДЕЛУ ЗАДАНИЕ ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ По тематике раздела студент должен уметь: Составить

Подробнее

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1

Аналитическая геометрия в пространстве. Содержание. 1 Общие сведения 1 Аналитическая геометрия в пространстве Содержание 1 Общие сведения 1 2 Плоскость в пространстве 2 2.1 Уравнение в отрезках................ 3 2.2 Нормальное уравнение плоскости......... 4 2.3 Расстояние

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическая фигура, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением 2 2 2 (1) 0. При этом предполагается,

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год. Лекция 1 1.

Алексей Витальевич Овчинников. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год.  Лекция 1 1. Алексей Витальевич Овчинников АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций. 2008/2009 учебный год http://matematika.phs.msu.ru/ Лекция 1 1. ВВЕДЕНИЕ Об учебном плане. Лекции 36 ч. Семинары 18 ч. Самостоятельная

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L.

Прямая на плоскости. Степень уравнения (1) определяет порядок линии. Будем говорить, что уравнение (1) определяет (задает) линию L. Прямая на плоскости Общее уравнение прямой. Прежде чем вводить общее уравнение прямой на плоскости введем общее определение линии. Определение. Уравнение вида F(x,y)=0 (1) называется уравнением линии L

Подробнее

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными».

Тема 12 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Тема 1 «Системы двух уравнений с двумя неизвестными». Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, которые должны выполняться одновременно. Решением системы уравнений с двумя переменными

Подробнее

- параболический цилиндр.

- параболический цилиндр. Поверхности второго порядка. Определение. Поверхностью в пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x, y, z) =. Самый простой вид поверхности, изученный

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

К ПРОЕКТИРОВАНИЮ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ

К ПРОЕКТИРОВАНИЮ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ Синтез механизмов УК 6.0 А.А.РОМАНЦЕВ К ПРОЕКТИРОВАНИЮ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ НАПРАВЛЯЮЩИХ МЕХАНИЗМОВ Рассматривается метод проектирования механизмов, предназначенных для воспроизведения шатунных линий, представляющих

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Лекция 13. Эллиптический тип

Лекция 13. Эллиптический тип Лекция 13 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от,y,z.

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

15. Поверхности второго порядка

15. Поверхности второго порядка 15 Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(,,) = 0, где F(,,) многочлен степени

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx

Уравнение пучка прямых в точке ( ) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, параллельно вектору 10 Угол α между прямыми y = kx Тема. Аналитическая геометрия. Прямая и плоскость... Лекция. Геометрические образы. Способы задания линий... Геометрические образы уравнений и неравенств... Определение геометрического образа при помощи

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее