, но из-за особенностей поведения x ( t, (свойство 2) проверку следует повторить и для измененного сплайна.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download ", но из-за особенностей поведения x ( t, (свойство 2) проверку следует повторить и для измененного сплайна."

Транскрипт

1 Теория геоинформатики и дистанционного зондирования 41 начало yc(x[ j+1 ] x[p k ])*(y[p k+1 ] y[p k ])/(x[p k+1 ] x[p k ])+y[p k ]; r:min(r,y[ j+1 ]/yc); конец иначе начало yc(x[p k+1 ] x[ j ])*(y[ j+1 ] y[ j ])/(x[ j+1 ] x[ j ])+y[ j ]; r:min(r,yc/y[p k+1 ]); конец кц Конец алгоритма Аналогичную проверку нужно провести и для правой границы коридора. Очевидно, что обрабатываться должны только те участки границы, которые не совпадают с минимальной ломаной и расположены относительно нее так же, как и отрезок сплайна. Вычисляемая в алгоритме величина r это и есть множитель для значений производных, который нужно использовать при построении измененного отрезка сплайна. Трудоемкость алгоритма составляет O ( m + s), но из-за особенностей поведения x (, r) (свойство ) проверку следует повторить и для измененного сплайна. ЛИТЕРАТУРА 1. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, с.. Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др. Математика и САПР: В -x кн. Кн. 1 / Пер. с франц. М.: Мир, с. 3. Костюк Ю. Л. Применение сплайнов для изображения линий в машинной графике // Автоматизация эксперимента и машинная графика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1977, с Костюк Ю.Л., Фукс А.Л. Построение и аппроксимация изолиний однозначной поверхности, заданной набором исходных точек // Геоинформатика. Теория и практика. Вып.1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1998, с ВИЗУАЛЬНО ГЛАДКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ НЕРЕГУЛЯРНЫМ НАБОРОМ ТОЧЕК * Ю.Л. Костюк, А.Л. Фукс Томский государственный университет, НПО «Сибгеоинформатика», г. Томск 1. Введение Во многих практических задачах требуется проводить интерполяцию трехмерной однозначной поверхности, заданной набором исходных точек { x i, yi, zi}. Для этого на горизонтальной плоскости XOY вначале строится вспомогательная сетка с узлами { x i, yi}. В общем случае исходный набор является нерегулярным, поэтому используется треугольная сетка. Для этого на множестве точек { xi, yi} строится триангуляция, чаще всего триангуляция Делоне. Значения z i в каждой вершине триангуляции определяют систему пространственных треугольников, являющуюся кусочно-линейной интерполирующей поверхностью. Как правило, интерполирующая поверхность нужна для расчета сечений и значений z в требуемых точках области определения, а также для визуализации. Система пространственных треугольников позволяет очень просто решить эти задачи, но получаемое кусочно-линейное приближение поверхности является слишком грубым. Конечно, в каждой прямоугольной (при регулярных отсчетах) или треугольной ячейке сетки можно построить участок гладкой интерполирующей поверхности со сшиванием на границах ячеек [1,], но такой подход имеет ряд недостатков: необходимость задания в узлах сетки не только первых, но и смешанных производных; высокая трудоемкость алгоритма гладкой интерполяции; сложность расчета сечений на сглаженном участке поверхности. Если получение аналитического описания кусочно-гладкой поверхности не является конечной целью работы, то мы предлагаем другой подход: 1. Найти нормальные вектора касательных плоскостей во всех узлах сетки.. Используя методы построения локальных плоских кубических сплайнов [3], вычислить нормали в центральных точках всех ребер сетки. 3. По полученным нормалям (6 на каждый треугольник) построить непрерывную на ребрах сетки кусочно-квадратичную вектор-функцию, позволяющую найти нормальные вектора во всех точках области определения. * Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант ).

2 4 Раздел 1 4. Сглаживать поверхность только на ребрах сетки, используя для этого плоские кубические сплайны. Производные в узлах по требуемым направлениям (наклоны касательных) рассчитывать с помощью векторов нормалей. 5. Вычислять на сглаженных ребрах сетки дополнительные узлы и проводить последовательное сгущение сетки до тех пор, пока это необходимо. Непрерывная кусочно-квадратичная функция изменения нормалей поверхности обеспечивает непрерывность наклонов касательных в каждой точке и по любому направлению. Величина наклона не зависит от длины вектора, поэтому необходимо определять только направления нормалей и направляющих векторов касательных прямых. Получаемая интерполирующая поверхность остается кусочно-линейной и простой в обработке. В то же время, продолжая процесс сгущения, можно сделать ее сколь угодно близкой к поверхности с непрерывными наклонами касательных. Сгущение следует прекратить, если для любого ребра сетки его длина или максимальная невязка гладкой и линейной поверхностей не превышают заданных пороговых значений. Если необходима визуализация поверхности, то для требуемого масштаба изображения можно подобрать указанные пороги таким образом, что любая ломаная, заменяющая при сгущении ребро исходной сетки, будет выглядеть, как гладкая линия (т.е. любые три подряд идущие вершины ломаной визуально будут лежать на одной прямой). Поэтому получаемую кусочно-линейную поверхность можно назвать визуально гладкой. Во всех последующих выводах предполагается, что используется треугольная сетка. При этом треугольник, отрезок (ребро), точка это всегда объекты на плоскости XOY, если не указано иное.. Расчет нормальных векторов в узлах сетки Касательная плоскость в любом узле определяется следующим образом. Пусть это общая вершина треугольников 1, 3,, k-1 k ( k может совпадать с 1 ), причем порядок задания вершин в треугольниках соответствует их обходу против часовой стрелки. Находим нормальные вектора плоскостей пространственных треугольников как векторные произведения N i i i+ 1 и нормируем их на единичную длину. Вычисляем нормальный вектор касательной плоскости в точке как взвешенную сумму нормалей треугольников k N 1 w i i N 1 i. (1) Отметим, что в силу однозначности поверхности в сетке нет треугольников, у которых все три вершины лежат в одной вертикальной плоскости, поэтому все вектора N i и, следовательно, N имеют положительную z-координату. Для определения весов треугольников w i воспользуемся методами расчета производных плоских локальных сплайнов. В [3] предлагается вычислять производные по 3 соседним узлам и приводится 3 типа сплайнов, отличающихся способом задания в узлах направляющего вектора касательной прямой. Пусть,, три последовательно расположенных узла. При построении направляющего вектора касательной D в точке для всех трех типов сплайнов будем использовать вектора и, представляя их единичными направляющими векторами D, D и длинами,. D D D F D D D D G D (а) (б) (в) Рис.1. Вычисление направляющего вектора касательной: (а) для сплайна 1, (б) для сплайна, (в) для сплайна 3 В сплайне 1 (рис. 1а) касательная параллельна отрезку, т.е. можно взять D D + D. () В сплайне касательная определяется как касательная к окружности, проходящей через точки, и. Пусть F произвольный направляющий вектор этой касательной, а прямая, проведенная через F параллельно, пересекает продолжение отрезка в точке G (рис. 1б). Тогда углы, F и FG равны, а треугольники и FG подобны, поэтому G GF r. С учетом F G + GF D G + D GF выберем новый направляющий вектор касательной D F r D + D. Наконец, в сплайне 3 касательная образует равные углы с отрезками и (рис. 1в), поэтому D D + D. (4) Формулы (), и (4) показывают, что D вычисляется как взвешенная сумма единичных направляющих векторов D и D, причем веса зависят от длин примыкающих к отрезков и. По аналогии

3 w (1) Теория геоинформатики и дистанционного зондирования 43 в пространственном случае можно считать, что пространственный треугольник образует множество векторов из выбранной вершины во все точки противоположной стороны. При этом единичным направляющим вектором для треугольника будет единичный вектор нормали, а весом сумма весов образующих векторов, вычисляемых по формулам (), или (4). Очевидно, что значения весов для c β b разных вершин треугольника будут различаться. M Покажем, как во всех трех случаях вычисляется вес пространственного треугольника для вершины. a Будем полагать, что против углов,, С лежат стороны с длинами a, b, c, и p(a+b+c)/ полупериметр треугольника. Рис.. Расчет длины образующего вектора M Пусть M произвольная точка на, а угол M равен β (рис ). Очевидно, что 0 β и M sin( + β ). В сплайне 1 веса равны длинам отрезков, поэтому вес треугольника для вершины равен dβ + (lng ln g ) sin( + β ) 0 p S p ( ln g ln g ) ln ln, p a a p a где S площадь треугольника. В сплайне веса обратно пропорциональны длинам отрезков, поэтому () sin( + β ) dβ cos cos( + ) w. 0 Наконец, в сплайне 3 все веса равны, поэтому оценки величины угла лучше использовать значение w w (5) (6), но для упрощения вычислений в качестве 1 cos. (7) 3. Расчет нормали в произвольной точке области определения Пусть в точках и известны нормальные вектора касательных плоскостей N и N, U центр отрезка, а N нормальный вектор вертикальной плоскости, проходящей через и. Линия пересечения вертикальной и касательной в точке плоскостей это касательная по направлению к кривой, являющейся сечением поверхности. Направляющий вектор данной касательной вычисляется как векторное произведение D ( ) N N. (8) Заменив N на ортогональный ему в плоскости XOY, можно получить O ( ) направляющий вектор касательной в точке по направлению, перпендикулярному. Аналогично вычисляются D ) и. Ранее мы отмечали, что в силу однозначности поверхности нормальные вектора во всех узлах имеют O () положительную z-координату. Поэтому вектор ( D или O не может быть вертикальным, т.е. его x- и y- координаты не могут одновременно равняться нулю. Значения z ( ), z( ) и наклоны касательных D ( ) и D ( ) однозначно определяют кубическую кривую, интерполирующую на сечение поверхности. Уравнение для данной кривой мы приведем позже, а пока отметим, что, дифференцируя его в точке U, можно определить наклон и, следовательно, направляющий вектор касательной D (U ). Далее для простоты предположим, что O ( U ) ( O ( ) + O ( ), тогда вектор N D ( U ) O ( U ) это вектор нормали к поверхности в точке U. U Таким образом, для каждого треугольника сетки можно определить по 6 нормальных векторов в вершинах и центрах трех сторон. Это позволяет построить кусочно-квадратичную вектор-функцию, определяющую нормаль в любой точке области определения. Покажем это на примере треугольника, для которого известны нормали в углах N, N, N и в центрах сторон N U (на ), N V (на ) и N W (на ). При работе с треугольниками удобно использовать не декартовы, а барицентрические координаты точек. Пусть M некоторая точка в треугольнике, Рис. 3. Расчет барицентрических координат точки M M

4 44 Раздел 1 тогда ее барицентрические координаты определяются отношениями площадей треугольников (рис. 3) M ) M ) M ) m, m, m. (9) ) ) ) Очевидно, что m + m + m 1, а в любой точке отрезка m 0 и m 1 m. Пусть на изменяется от 0 до 1 некоторый параметр. Тогда квадратичную вектор-функцию изменения нормали на отрезке можно представить в виде N ( P1 + P (1 + P3 (1. (10) Подставляя значения N, N, N при 0, 0.5, 1, получим U 1 N, P N, P3 4NU N N. m, m ( m, m ) N m + N m + (4NU P Учитывая, что 1, представим (10) в барицентрических координатах N N N ) m m. (11) Суммируя функции (11) для всех трех сторон треугольника и вычитая лишние значения в углах, получим квадратичную функцию на треугольнике N( m, m, m ) N m + N m + N m + (4NU N N ) m m + (1) + (4NV N N ) m m + (4NW N N ) m m. Легко убедиться, что данная функция непрерывна на общем ребре двух смежных треугольников, поэтому и нормали, и наклоны векторов касательных по всем направлениям непрерывны в любой точке области определения. 4. Сглаживание поверхности на ребрах сетки Построение кусочно-кубической поверхности, непрерывной и с непрерывными наклонами на ребрах треугольной сетки, является значительно более сложной задачей, чем вычисление нормалей по формуле (1), и требует задания смешанных производных в узлах сетки. Однако во многих случаях можно ограничиться построением более густой сетки, для которой максимальная невязка между кусочно-линейной и кубической поверхностью не будет превышать заданного порога, причем проводить такую обработку отдельно на каждом треугольнике исходной сетки. Для сгущения сетки необходимо задавать дополнительные точки на ее ребрах (и соответственно перестраивать треугольники), а для этого достаточно интерполировать поверхность только на ребрах, т.е. строить плоские кубические кривые. Если в вершинах и некоторого ребра сетки вычислены нормали N и N, то по формуле (8) можно найти D ( ) и D ( ) направляющие вектора касательных по направлению в точках и. Пусть { x, y, z }, { x, y, z }, ( x x) + ( y y ) длина проекции отрезка на плоскость XOY, D ( ) { dx, dy, dz }, D ( ) { dx, dy, dz} и параметр изменяется в диапазоне от 0 до. Тогда отрезок кубического сплайна на задается формулами x( x + ( x x), y( y + ( y y ), (13) z( c c + c1 + c0, 3( z z ) (z + z ) ( z + z ) ( z z ) где c0 z, c1 z, c, c 3 3 dz dz и производные на концах отрезка z, z. dx + dy dx + dy При сгущении сетки следует сразу же избавиться от точек перегиба, в которых происходит переход от выпуклого участка кривой к вогнутому. Если в точках и вторая производная z ( 6c3 + c принимает значения разных знаков, т.е. c ( 3c3 + c ) < 0, то на существует точка перегиба P, координаты которой вычисляются при подстановке корня уравнения z ( 0 в формулы (13), после чего P добавляется к треугольной сетке в качестве новой вершины. При этом ребро заменяется двумя новыми P и P, и производится необходимое перестроение пары смежных треугольников. Введем функцию f ( z( z ( z z ). Абсолютное значение f ( определяет невязку кривой (13) и пространственного отрезка в точке. После исключения точек перегиба все отрезки сплайнов бу- дут выпуклыми (вогнутыми). Все точки выпуклой кривой (13) располагаются в вертикальной плоскости по одну сторону от пространственного отрезка, поэтому значения f ( могут быть либо только положительными, либо только отрицательными. Следовательно, для поиска точки с максимальной невязкой достаточно ре-

5 Теория геоинформатики и дистанционного зондирования 45 z z шить уравнение f ( 3c3 + c + c1 0, а затем вычислить невязку и координаты (13) соответствующей точки на кривой. Если невязка превышает допустимый порог, то в треугольную сетку включается новая вершина. Добавление новой точки всегда уменьшает максимальную невязку на, т.к. пространственные отрезки и располагаются между кривой и отрезком. Этот факт иллюстрирует рис. 4, где длины отрезков D, D, D определяют максимальные невязки, соответственно, на,, D 1 D Рис. 4. Уменьшение максимальной невязки при включении дополнительной точки ЛИТЕРАТУРА 1. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, с.. Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др. Математика и САПР: В кн. Кн. 1 / Пер. с франц. М.: Мир, с. 3. Костюк Ю.Л. Применение сплайнов для изображения линий в машинной графике // Автоматизация эксперимента и машинная графика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1977, с БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЕЛОНЕ, ОСНОВАННЫЙ НА ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКЕ НАБОРА ТОЧЕК * А.Л. Фукс Томский государственный университет, НПО «Сибгеоинформатика», г. Томск 1. Введение Триангуляция множества точек на плоскости является важным этапом в задачах, связанных с определением топологических свойств объектов или восстановлением поверхностей, заданных нерегулярными наборами отсчетов. Обычно требуется, чтобы получаемая система треугольников была структурированной, т.е. описание любого треугольника содержало не только номера его вершин, но и номера треугольников, смежных с данным по каждому из трех ребер (либо специальные значения для граничных ребер триангуляции). Среди нескольких известных типов триангуляций на практике обычно применяется триангуляция Делоне, имеющая ряд преимуществ: при ее построении используется простое локальное условие (никакая точка не может лежать внутри окружности, построенной по трем вершинам треугольника Делоне), для его проверки достаточно анализировать пары смежных треугольников; триангуляция Делоне является однозначной (т.е. не зависит от порядка задания исходных точек) с точностью до множества точек, лежащих на одной окружности, внутри которой нет других точек. Известно, что в общем случае триангуляцию n точек на плоскости нельзя построить быстрее чем за O ( n log n) [1]. Такую трудоемкость для триангуляции Делоне имеет рекурсивный алгоритм, основанный на стратегии «разделяй и властвуй» []. Однако данный алгоритм логически довольно сложен, количество операций на точку велико, поэтому его преимущества проявляются только при достаточно больших значениях n. Пожалуй, самым простым алгоритмом построения триангуляции Делоне является итеративный: по 3-4 точкам строится начальная триангуляция, а затем все исходные точки по одной добавляются в текущую систему треугольников. Для каждой точки P необходимо провести две основные операции: определить положение (локализовать) P и перестроить систему треугольников. Если в качестве начальных точек взять 4 вершины прямоугольника, объемлющего исходные точки, то точка P никогда не окажется за границей триангуляции и обязательно попадет внутрь некоторого треугольника. Локализацию точки P можно начинать с любого треугольника текущей системы: если O некоторая точка этого начального треугольника (например, одна из вершин), то легко найти, последовательно проверяя смежные треугольники вдоль отрезка OP (варианты проверок приведены в [3]). уже не может принадлежать триангуляции, поэтому он разбивается на три новых треугольника с общей вершиной P. Для каждого нового (содержащего точку P) и смежного с ним старого треугольника необходима проверка условия Делоне. При нарушении этого условия производится перестроение D * Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант ).

ПОСТРОЕНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ ИЗОЛИНИЙ ОДНОЗНАЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ НАБОРОМ ИСХОДНЫХ ТОЧЕК Ю.Л. Костюк, А.Л. Фукс. 1. Введение

ПОСТРОЕНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ ИЗОЛИНИЙ ОДНОЗНАЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ НАБОРОМ ИСХОДНЫХ ТОЧЕК Ю.Л. Костюк, А.Л. Фукс. 1. Введение ПОСТРОЕНИЕ И АППРОКСИМАЦИЯ ИЗОЛИНИЙ ОДНОЗНАЧНОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ НАБОРОМ ИСХОДНЫХ ТОЧЕК Ю.Л. Костюк, А.Л. Фукс. Введение При построении изолиний на трехмерной однозначной поверхности, заданной набором

Подробнее

Теория геоинформатики и дистанционного зондирования 45

Теория геоинформатики и дистанционного зондирования 45 Теория геоинформатики и дистанционного зондирования 45 ' z B z A шить уравнение f ( t) = 3c3 t + c t + c1 = 0, а затем вычислить невязку и координаты (13) соответствующей точки C на кривой. Если невязка

Подробнее

СГУЩЕНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ ПОВЕРХНОСТИ СО СГЛАЖИВАНИЕМ

СГУЩЕНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ ПОВЕРХНОСТИ СО СГЛАЖИВАНИЕМ УДК 681.3 СГУЩЕНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ ПОВЕРХНОСТИ СО СГЛАЖИВАНИЕМ Н. А. Тюкачев Воронежский государственный университет Поступила в редакцию 08.11.2010 г. Аннотация: Предлагается алгоритм сглаживания триангулированной

Подробнее

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 9 «Полигоны кривых и поверхностей»

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 9 «Полигоны кривых и поверхностей» Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 9 «Полигоны кривых и поверхностей» к.ф.-м.н., доц. каф. ФН-11, Захаров Андрей Алексеевич, ауд.: 930а(УЛК) моб.: 8-910-461-70-04, email: azaharov@bmstu.ru

Подробнее

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 4 Интерполяция табличных данных. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций (от лат. approimo приближаюсь) называется задача замены одних математических

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОЛИНИЙ ПО НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТИ ТОЧЕК В РАМКАХ ГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ISOGRAPH

ПОСТРОЕНИЕ ИЗОЛИНИЙ ПО НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТИ ТОЧЕК В РАМКАХ ГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ISOGRAPH ПОСТРОЕНИЕ ИЗОЛИНИЙ ПО НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТИ ТОЧЕК В РАМКАХ ГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ISOGRAPH В.В. Копейкин, Ю.В. Алферов Гидрометеорологический научно-исследовательский центр Российской Федерации help@tushino.com,

Подробнее

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Микроцели изучения модуля В результате изучения данного раздела студенты должны знать понятие линии, гладких и плоских линий, естественной параметризации понятие

Подробнее

Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский Е.Г.

Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский Е.Г. Преобразование произвольного тела в сферу комплексного радиуса Якубовский ЕГ e-m uov@rmerru Произвольное тело можно преобразовать с помощью ортогонального преобразования сохраняющего углы в сферическое

Подробнее

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления»

41 Методические указания к выполнению контрольной работы 2 «Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления» 4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Подробнее

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 8 «Полигоны кривых и поверхностей»

Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 8 «Полигоны кривых и поверхностей» Модуль 1 «Математические модели геометрических объектов» Лекция 8 «Полигоны кривых и поверхностей» к.ф.-м.н., доц. каф. ФН-11, Захаров Андрей Алексеевич, ауд.: 930а(УЛК) моб.: 8-910-461-70-04, email: azaharov@bmstu.ru

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

Численные методы Тема 2. Интерполяция

Численные методы Тема 2. Интерполяция Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный 2011 2012 уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу:

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011, ЗАДАЧИ С2 (лекция для учителей в издательстве «Бином» ) Замечания и пожелания направляйте по адресу: МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0, ЗАДАЧИ С (лекция для учителей в издательстве «Бином» 000) Замечания и пожелания направляйте по адресу: prokof@nderu Различные методы решения задач на определение углов в пространстве

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны

Триангуляция и метод конечных элементов АВТОРЕФЕРАТ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ. Ромзаевой Анастасии Сергеевны Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0

I = b I = f(x) dx I = f(x) dx = f(x) dx I T = 0, 5(f n + f n+1 )h. = h(0, 5f 0 + f 1 + f f N 1 + 0, 5f N ), (2.1) N 1. n=0 Глава Вычисление определенных интегралов! " #%$&' %(" # )* +,- "#' dx. В общем виде задача решается путем аппроксимации функции другой функцией, для которой интеграл вычисляется аналитически. При этом

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2

Вариант 4. 3) 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем 2 Вариант Найти область определения функции : y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Глава 3. Параметрические уравнения поверхностей. Оглавление

Глава 3. Параметрические уравнения поверхностей. Оглавление Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет г. Аналитические методы геометрического моделирования Глава. Параметрические уравнения поверхностей Оглавление. Поверхности

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ * А.В. Скворцов, Ю.Л. Костюк. 1. Введение

ПРИМЕНЕНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ * А.В. Скворцов, Ю.Л. Костюк. 1. Введение ПРИМЕНЕНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ * А.В. Скворцов, Ю.Л. Костюк 1. Введение Структура триангуляции множества точек на плоскости может быть использована для решения различныхпрактически

Подробнее

n = или k = k n называется единичным вектором

n = или k = k n называется единичным вектором Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

В.И. Иванов С.И. Васин Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

Е.Е. Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие

Е.Е. Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕЕ Корякина ПОВЕРХНОСТИ Учебное пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 564

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ОСТОВА ЗАМКНУТОГО КОНТУРА МЕТОДОМ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ОСТОВА ЗАМКНУТОГО КОНТУРА МЕТОДОМ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЕ ОСТОВА ЗАМКНУТОГО КОНТУРА МЕТОДОМ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В.Н.Кучуганов, д.т.н., профессор, ИжГТУ, г. Ижевск, тел. (3412) 58-89-10, E-mail: kvn@cd.istu.udm.ru. Задача построения остова (скелета) замкнутого

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

достаточно близко, то участок BB

достаточно близко, то участок BB Лекция 3 Криволинейное движение. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения. Движение точки по окружности. Угловое перемещение, векторы угловой скорости и углового ускорения. Связь между векторами

Подробнее

А. А. Вахтин. Воронежский государственный университет

А. А. Вахтин. Воронежский государственный университет УДК 519.642:539.3:624.044:624.15 Интерактивные Методы построения пространственной гранично-элементной сетки А. А. Вахтин Воронежский государственный университет Рассматриваются алгоритмы построения пространственной

Подробнее

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и

Вариант x Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: 1 и Вариант 5 Найти область определения функции : y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Подробнее

ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин

ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2000. Том 41, 5 УДК 514.13 ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ В ОДНОСВЯЗНЫХ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ В. К. Ионин Аннотация: Приводится пример

Подробнее

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений

Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Поздравляю с началом нового учебного года. Желаю успехов в изучении функций многих переменных и дифференциальных уравнений Веб- страница кафедры http://kvm.gubkin.ru 1 Функции многих переменных 2 Определение

Подробнее

Лекция 2. Инварианты плоских кривых

Лекция 2. Инварианты плоских кривых Лекция 2. Инварианты плоских кривых План лекции. Гладкие кривые на плоскости, число вращения, классификация кривых с точностью до гладкой гомотопии, точки самопересечения, число Уитни, теорема Уитни..1

Подробнее

. Преобразуем функцию:, если x

. Преобразуем функцию:, если x Вариант Найти область определения функции : + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Подробнее

u x y z называется векторная функция

u x y z называется векторная функция x z ) Скалярное поле определено функцией e Построить поверхности уровня для, e, 4. Определение. Градиентом скалярного поля,,. Найти градиент поля в точке ; ; u x z называется векторная функция u u u u

Подробнее

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (,

для всех k. Ответ: График представлен на рисунке. 3. Построить график функции: y = 2. Область определения функции: вся числовая ось: x (, Вариант 9 Найти область определения функции : y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Подробнее

Интерполяция сплайнами Интерполяция Аппроксимация Сплайн Рис. 1.

Интерполяция сплайнами Интерполяция Аппроксимация Сплайн Рис. 1. Интерполяция сплайнами Интерполяция - построение кривой, проходящей через контрольные точки и обладающей некими дополнительными свойствами (часто гладкостью); Аппроксимация - приближение кривой (не обязательно

Подробнее

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен: уметь применять таблицу производных и правила дифференцирования для вычисления производных элементарных функций находить производные

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию:

Вариант 17. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек x = 0 и x = 2. . Преобразуем функцию: Вариант 7 Найти область определения функции : y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

Алгоритм построения точек пересечения нелинейчатых поверхностей с прямыми в среде ObjectARX для AutoCAD. А.В. Замятин РГСУ, г.

Алгоритм построения точек пересечения нелинейчатых поверхностей с прямыми в среде ObjectARX для AutoCAD. А.В. Замятин РГСУ, г. Алгоритм построения точек пересечения нелинейчатых поверхностей с прямыми в среде ObjectARX для AutoCAD А.В. Замятин РГСУ, г. Ростов-на-Дону В практических задачах, связанных с геометрическим моделированием

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле.

Лекция 11. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Лекция 11 Основные понятия теории поля Скалярное поле Теория поля раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля К рассмотрению скалярных и векторных полей

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Лекция 7. Элементы вычислительной геометрии на плоскости и в пространстве; барицентрические координаты; разбиение единицы; триангуляция

Лекция 7. Элементы вычислительной геометрии на плоскости и в пространстве; барицентрические координаты; разбиение единицы; триангуляция Лекция 7 Элементы вычислительной геометрии на плоскости и в пространстве; барицентрические координаты; разбиение единицы; триангуляция Плоскость Точки Векторы Отрезки Лучи Прямые Углы Вспоминаем точки,

Подробнее

Теорема Гаусса Бонне

Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне Теорема Гаусса Бонне утверждает, что среднее значение гауссовой (или скалярной) кривизны на двумерном многообразии не зависит от выбора метрики и определяется исключительно топологией

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды

6.4. Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии. Расчет пирамиды Условия задач Расчетно-графическая работа 9 4 Приложение векторной алгебры и аналитической геометрии Расчет пирамиды Выбрать в декартовой прямоугольной системе координат четыре произвольные точки A B C

Подробнее

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть f ( где (t (t причём функции f ( (t (t дифференцируемы Тогда

Подробнее

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика»

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная математика» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники ТУСУР Кафедра

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

2.5. Вычислительная геометрия на плоскости

2.5. Вычислительная геометрия на плоскости 2.5. Вычислительная геометрия на плоскости 1. Уравнения точек, прямых, окружностей Определение 1. Евклидово пространство размерности k E k пространство кортежей вида (x 1,..., x k ) вещественных чисел

Подробнее

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ИНСТРУМЕНТА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ДИНАМИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПРИВОДОВ ПОДАЧ

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ИНСТРУМЕНТА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ДИНАМИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПРИВОДОВ ПОДАЧ Известия Челябинского научного центра вып. ( 006 ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ УДК 61.9.06 59:681. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ИНСТРУМЕНТА С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ДИНАМИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПРИВОДОВ

Подробнее

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y +

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2. Если x 2± 0, то y + Вариант Найти область определения функции : y + + lg(5 Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: + те 5 > те < 5 Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg( 5 или

Подробнее

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрические приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Кривая L на плоскости задается своей параметризацией x = x(t), y = y(t), t [t, T ]. (1) Заметим, что изменяется единственный параметр t. Часто говорят,

Подробнее

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения

uv ( ψ ψ ) - точка на кривой С. Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения Лекция 8 Тема: Вторая квадратичная форма поверхности и ее приложения План лекции Вторая квадратичная форма поверхности Нормальная кривизна поверхности Теорема Менье 3 Главные кривизны поверхности Формула

Подробнее

ТРИАНГУЛЯЦИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ РЕЛЬЕФА

ТРИАНГУЛЯЦИЯ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ЦИФРОВЫХ МОДЕЛЕЙ РЕЛЬЕФА Федеральное агентство по образованию РФ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет информатики Кафедра теоретических основ информатики УДК 681.03 ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ В ГАК Зав. кафедрой, проф., д.т.н.

Подробнее

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Векторные линии Поток векторного поля 4 Дивергенция векторного поля Лекция ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Определение Стационарным векторным полем называется пространство

Подробнее

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1. Область применения МКЭ. 2. Основная концепция МКЭ. 3. Преимущества МКЭ. 4. Разбиение расчётной области на конечные элементы. 5. Способ аппроксимации искомой функции в конечном

Подробнее

Элементы сферической геометрии.

Элементы сферической геометрии. Глава 6 Элементы сферической геометрии. План. Открытые сферические круги, открытые и замкнутые подмножества сферы, непрерывные кривые на сфере, линейная связность и компоненты подмножества сферы, сферическая

Подробнее

УДК : А.В. Скворцов ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЕЛОНЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ

УДК : А.В. Скворцов ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЕЛОНЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 59.688:55.4. А.В. Скворцов ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ТРИАНГУЛЯЦИИ ДЕЛОНЕ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ Анализируются итеративные алгоритмы построения триангуляции с ограничениями и без них. Выявляются

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

2 Сопровождающий трёхгранник кривой

2 Сопровождающий трёхгранник кривой Сопровождающий трёхгранник кривой Тема 4 Касательная и нормальная плоскости Ранее мы показали, что при данном значении параметра, произвольная функция (), если она существует и не равна нулю, параллельна

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ

Тесты по контролю промежуточных знаний по высшей математике для студентов I курса I семестра факультетов МТ и АТ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Подробнее

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl Факультатив Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей W F ' ϕ и E ϕ r E d q' q' = мы получили E= ϕ и из ( ) r Тогда, повторив выкладки, мы из равенства W( r) ( F, d) = r получим

Подробнее

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского С. А. Лавренченко www.lawenceno.u Лекция 7 Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского Формулу Стокса можно рассматривать как трехмерный аналог формулы Грина. Формула Грина сводит двойной интеграл по плоской

Подробнее

Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина

Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Криволинейный интеграл второго рода Формула Грина Если гладкая кривая задана параметрическими уравнениями x x(, y y(, α t β, и функции P(, Q( являются непрерывными на, то P( dx + Q(

Подробнее

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

Криволинейный и поверхностный интегралы

Криволинейный и поверхностный интегралы Криволинейный и поверхностный интегралы Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие криволинейного интеграла. Условия его существования, вычисление и применение. Понятие поверхностного интеграла. Условия его

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim

П.01. Производная. . Тогда производной функции в данной точке называется следующее отношение: lim П0 Производная Рассмотрим некоторую функцию f ( ), зависящую от аргумента Пусть эта функция определена в точке 0 и некоторой ее окрестности, непрерывна в этой точке и ее окрестностях Рассмотрим небольшое

Подробнее

Алгоритм цифрового сглаживания поверхности

Алгоритм цифрового сглаживания поверхности УДК 681.3.082.5 Г.Н. Глухов Алгоритм цифрового сглаживания поверхности Предлагается алгоритм оптимального сглаживания поверхности. Критерием оптимальности выбран минимум взвешенных сумм: суммы квадратов

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2

Векторы в пространстве и метод координат. Задача C2 А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru Векторы в пространстве и метод координат. Задача C Существует два способа решения задач по стереометрии. Первый классический

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2

Вариант 13. Область определения данной функции определяется двумя неравенствами 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки x = 2 Вариант Найти область определения функции : y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Подробнее

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b 41 3. Производная Рассмотрим функцию y=f(, непрерывную в некоторой окрестности точки. Пусть, приращение аргумента в точке. Обозначим через,y или,f Y y=f( f(+, f( M N = +, Рис. 1 приращение функции, равное

Подробнее

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3

Вариант 2. Область определения данной функции определяется неравенством 1. Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: 3 Вариант Найти область определения функции : y arccos Область определения данной функции определяется неравенством Умножим неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства находим или

Подробнее