ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ"

Транскрипт

1 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2 . Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве..... Аналитическая геометрия на плоскости Прямая на плоскости Кривые второго порядка на плоскости Эллипс Гипербола Парабола Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости..... Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость Прямая в пространстве Взаимное расположение прямой и плоскости Поверхности второго порядка Примеры решений расчетных заданий по теме Аналитическая геометрия на плоскости....4.примеры решений расчетных заданий по теме Аналитическая геометрия в пространстве... 6

3 . Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.. Аналитическая геометрия на плоскости... Прямая на плоскости Составим уравнение прямой проходящей через точку M ( ) параллельно вектору r { } (рис.). Точка ( ) Рис. M будет принадлежать прямой тогда и только тогда когда M M то есть M M t или t t () Уравнение () называют параметрическим уравнением прямой на плоскости. Выразив t из уравнений системы () получим уравнение прямой в виде o () Уравнение () называют каноническим уравнением прямой на плоскости. Частным случаем уравнения () является уравнение прямой проходящей через две точки M ( ) и M ( ). ( ) Составим уравнение прямой проходящей через точку M ( ) пер- (рис.). пендикулярно вектору { }

4 Точка ( ) Рис. M будет принадлежать прямой тогда и только тогда когда M M то есть ( M M ) или ( ) ( ) (3) Если раскрыть скобки то уравнение прямой примет вид C (4) где C. Уравнение (4) называют общим уравнением прямой на плоскости. Зная уравнение (4) всегда можно назвать нормальный вектор прямой { }. Укажем ещё два вида уравнения прямой на плоскости: уравнение прямой в отрезках (рис. 3); (5) уравнение прямой в нормальном виде (рис.4) cosα cosβ p ( p ) (6) Уравнения (5) и (6) легко получить из общего уравнения прямой путем алгебраических преобразований. В уравнении (6) вектор { cosα cosβ} единичный нормальный вектор прямой p -расстояние от начала координат до прямой. O β p α Рис. 3 Рис. 4 3

5 Из школьного курса геометрии известно уравнение прямой вида k (7) где k tgϕ тангенс угла наклона прямой к оси (рис. 5). Уравнение (7) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Рис.5 Расстояние d от точки M ( ) до прямой : C можно найти по формуле: C d( M ) (8) 4

6 5 Прямая на плоскости. Основные задачи Общее уравнение прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Дано: { } { } : : C C Дано: { } { } : : Дано: tg : tg : ϕ ϕ k k k k Задача. Условие перпендикулярности прямых ( ) ( ) k k Задача. Условие параллельности прямых k k Задача 3. Нахождение угла между прямыми. ( ) ϕ ( по определению ϕ - острый угол) ( ) cos ϕ ( ) cos ϕ tg k k k k ϕ

7 ... Кривые второго порядка на плоскости... Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости называемых фокусами есть величина постоянная большая чем расстояние между фокусами. Выберем систему координат O так чтобы фокусы находились на оси O в точках F ( c) и F ( c). Сумму расстояний до фокусов обозначим (рис. ). Из определения эллипса следует MF MF то есть ( c) ( c) или ( c) ( c). Возводя обе части в квадрат и проделав некоторые преобразования получим уравнение эллипса в виде ( c ) ( c ). Так как > c то c >. Обозначив c имеем уравнение эллипса в каноническом виде. () Эллипс имеет форму изображённую на рис.. Заметим что если > то отрезок называют большой осью эллипса отрезок малой осью. Рис. Рис. При уравнение эллипса превращается в уравнение окружности с центром в начале координат. 6

8 Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси. c Если фокусы эллипса на оси O то эксцентриситет ε. Ясно что < ε < так как < c <. Эксцентриситет эллипса показывает степень сжатия эллипса.... Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости модуль разности расстояний от каждой из них до двух данных точек называемых фокусами есть величина постоянная меньшая чем расстояние между фокусами. Выберем систему координат O так чтобы фокусы находились в точках F c;) F ( ;) на оси O (рис. 3). ( c Рис. 3 Рис. 4 Обозначая модуль разности расстояний имеем или ( c) ( c). После некоторых преобразований с учётом того что < c уравнение приведётся к виду () где c. Гипербола имеет форму изображённую на рис. 4 прямые ± являются асимптотами гиперболы. Отрезки называются действительной и мнимой осью гиперболы соответственно. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси. 7 MF MF ( > )

9 c Так как для гиперболы c > то эксцентриситет ε >. Уравнение ( / )задает так называемую сопряженную гиперболу изображенную на (рис. 5). ( / ) Рис Парабола Параболой называется геометрическое место точек каждая из которых одинаково удалена от данной точки называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается p ( p > ). Выберем систему координат O так чтобы фокус находился на оси O а директриса была бы ей перпендикулярна (рис. 6). K M ( ) p p F ; Рис. 6 8

10 Проведём MK перпендикулярно директрисе. Из определения параболы p p следует MF MK то есть ( ) ( ). Возведя в квадрат p p обе части уравнения получим p p то есть 4 4 p (3) Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы. Парабола будет иметь форму изображённую на рис. 7. Рис. 7. Рис. 8. Если фокус параболы находится слева от начала координат то уравнение параболы имеет вид p (рис. 8). Если фокус находится на оси O в точке F ; p (рис. 9) то уравнение примет вид p если в точке p F ; (рис. )то p. p p Рис. 9. Рис.. 9

11 ..3. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости Рассмотрим две декартовы системы координат i j и i j то есть новая система координат получена параллельным переносом старой системы координат с центром О в точку (рис. ). Произвольная точка M имеет координаты ( ) в старой системе координат и ( )в новой. M ( ) M ( ) j i j i Рис. Из чертежа видно что OM OO O M. Обозначим координаты точки O в старой системе координат ( ) тогда OM i j OO i j O M i j и следовательно i j i j i j или ( ) i ( ) j. Формулы связи старых и новых координат при параллельном переносе примут вид: () Выведем формулы связи при повороте осей координат на один и тот же угол с сохранением масштаба т.е. рассматриваем старую систему координат O i j и новую O e где e единичные векторы (рис. ). e e

12 Рис. Введём две полярные системы координат с общим полюсом O и полярными осями и. Тогда r cosϕ r cosϕ O O r si ϕ r si ϕ. Так как ϕ ϕ α то r cos( ϕ α) r (cos ϕ cos α si ϕ si α ) cosα si α r si( ϕ α) r (si ϕ cos α cos ϕ si α ) cos α si α. Следовательно при повороте на угол примут вид cos α si α si α cos α. α системы координат формулы связи () Рассмотренные преобразования используют при приведении уравнений кривых второго порядка к каноническому виду. Если уравнение не содержит произведения то используют параллельный перенос который на практике осуществляется путем выделения полного квадрата. Если уравнение линии содержит произведение то используют поворот причем угол поворота выбирают так чтобы в уравнении линии в новой системе координат коэффициент при произведении был равен нулю... Аналитическая геометрия в пространстве... Плоскость Составим уравнение плоскости проходящей через точку M ( ) перпендикулярно вектору { C}. Точка M ( ) будет принадлежать плоскости тогда и только тогда когда M M M M или то есть ( )

13 ( ) ( ) ( ) С () Если раскрыть скобки то уравнение плоскости примет вид C D () где D C. Уравнение () называют общим уравнением плоскости. Зная уравнение () всегда можно назвать нормальный вектор плоскости { C}. Возможны следующие частные случаи: А плоскость параллельна оси Ох В плоскость параллельна оси Оу С плоскость параллельна оси О D плоскость проходит через начало координат А В плоскость параллельна плоскости хоу А С плоскость параллельна плоскости хо В С плоскость параллельна плоскости O А D плоскость проходит через ось Ох В D плоскость проходит через ось Оу С D плоскость проходит через ось O А В D плоскость совпадает с плоскостью хоу А С D плоскость совпадает с плоскостью O В С D плоскость совпадает с плоскостью O. При нахождении уравнения плоскости часто используют идею компланарности векторов. Рассмотрим некоторые случаи в которых используется данная идея. Уравнение плоскости проходящей через три точки. Для того чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость необходимо чтобы эти точки не лежали на одной прямой. Рассмотрим точки M ( ) M ( ) M ( ) в декартовой системе координат. Для того чтобы произвольная точка M ( ) лежала в одной плоскости с точками М М М 3 необходимо чтобы векторы M M M M 3 M M были компланарны то есть их смешанное произведение должно быть равно нулю. ( M M M M M ) Находим координаты векторов M 3 M M { ; ; } { ; ; } и составляем M M { 3 3 ; 3 ; 3 } их смешанное произведение. Получаем искомое уравнение плоскости проходящей через три точки: M M

14 (3) Уравнение плоскости по двум точкам и вектору коллинеарному плоскости Пусть заданы точки M ( ) M ( ) и вектор { }. Составим уравнение плоскости проходящей через данные точки М и М и произвольную точку плоскости M ( ) параллельно вектору. Векторы M M { ; ; } M M { ; ; } и вектор { } должны быть компланарны т.е.( M M M M ) Уравнение плоскости имеет вид: (4) Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора { } и { } коллинеарные плоскости. Рассмотрим произвольную точку M ( ) принадлежащую плоскости. Векторы MM должны быть компланарны. Уравнение плоскости имеет вид: (5) Если в общем уравнении C D разделить обе части на (-D) C D D D D D D и заменить c то получим уравнение плоскости в C отрезках:. (6) c Числа c соответствуют отрезкам отсекаемым плоскостью от осей координат. Данное уравнение удобно при построении плоскостей. Расстояние от некоторой точки M ( ) до плоскости C D можно найти по формуле 3

15 C D d C Пусть даны две плоскости: α : C D { C} α α : C D C α (7) { } тогда: Условие перпендикулярности плоскостей α ( ) α СС (8) Условие параллельности плоскостей С α α (9) С Нахождение угла между плоскостями ϕ ( α α ) ( ϕ острый угол). ( ) СС cosϕ () С С... Прямая в пространстве Составим уравнение прямой проходящей через точку M ( ) параллельно вектору { }. Точка M ( ) будет принадлежать прямой тогда и только тогда когда M M то есть M M t или ( ) t ( ) t t t () ( ) t t Уравнение () называют параметрическим уравнением прямой в пространстве. Заметим что вектор параллельный прямой называют направляющим вектором прямой. Выразив t из уравнений системы () получим уравнение прямой в виде o o () Уравнения () называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. Частным случаем () является уравнение прямой проходящей через две точки M ) и M ). ( ( ( ) Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей. 4

16 5 D C D C (3) Систему (3) называют общим уравнением прямой. Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду. Для этого надо найти произвольную точку ) ( M прямой и ее направляющий вектор. Направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей так как очевидно что.. k j i k C C j C C i C C k j i В качестве точки ) ( M может быть взято любое решение системы (3). Обычно одну из координат точки полагают равной нулю тогда две другие координаты легко находятся. Пусть даны две прямые: L : L : Угол между прямыми в пространстве Острый угол между прямыми ϕ и угол между направляющими векторами ϕ этих прямых связаны соотношением: ϕ ϕ или ϕ 8 - ϕ. Таким образом: ( ) cos ϕ (4) Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны т.е. их соответствующие координаты пропорциональны. Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны т.е. их скалярное произведение равно нулю:.

17 ..3. Взаимное расположение прямой и плоскости Пусть даны прямая и плоскость: : L α : C D. Угол между прямой и плоскостью. Заметим что углом между плоскостью и прямой называется угол между прямой и её проекцией на плоскость (рис. ) ϕ Рис. si ϕ ( ) C C (5) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве. Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны необходимо и достаточно чтобы нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. ( ) C. (6) Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны необходимо и достаточно чтобы нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны...4. Поверхности второго порядка 6 C (7) Поверхности второго порядка это поверхности уравнения которых в прямоугольной системе координат являются уравнениями второго порядка. Цилиндрические поверхности Цилиндрическими поверхностями называются поверхности образованные линиями параллельными какой - либо фиксированной прямой.

18 Рассмотрим поверхности в уравнении которых отсутствует составляющая т.е. направляющие параллельны оси О. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих: ) эллиптический цилиндр (рис. ). Рис. ) - гиперболический цилиндр (рис. ). Рис. 3) p параболический цилиндр (рис. 3). Рис. 3 Поверхности вращения Поверхность описываемая некоторой линией вращающейся вокруг неподвижной прямой d называется поверхностью вращения с осью вращения d. F ( ) поверхность вращения с осью вращения О F поверхность вращения с осью вращения Оу ( ) 7

19 ( ) F поверхность вращения с осью вращения Ох. Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев: ) эллипсоид вращения; c ) однополостный гиперболоид вращения; c 3) двуполостный гиперболоид вращения; c 4) параболоид вращения. p Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения если осью вращения являются оси Ох или Оу. Однако перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида некоторые типы которых рассмотрены ниже: Сфера: ( ) ( ) ( c ) r (рис.4) Рис. 4. Трехосный эллипсоид: (рис. 5) c В сечении эллипсоида плоскостями параллельными координатным плоскостям получаются эллипсы с различными осями. Рис. 5. 8

20 Однополостный гиперболоид: (рис. 6) c Рис. 6. Двуполостный гиперболоид: (рис. 7) c Рис. 7 Эллиптический параболоид: где p > q > (рис. 8) p q Рис. 8. Гиперболический параболоид: (рис. 9) p q 9

21 Рис. 9. Конус второго порядка: (рис. ) c Рис...3. Примеры решений расчетных заданий по теме «Аналитическая геометрия на плоскости» Задание 4. Даны вершины треугольника C: Н 4 В ( 5;3) (;4) C(;). Составить уравнение А медианы проведенной из вершины С. Решение. Найдем координаты H середины H 5 С H Составим уравнение медианы CH как уравнение прямой проходящей через две точки C и H. C C. M H C H C Получим 7 3. M Задание 5. Найти точку симметричную точке M(3;7) относительно прямой :. Решение. Искомая точка M лежит на 5 М -

22 прямой перпендикулярной данной прямой и пересекающей ее в точке M. Так как точка M делит отрезок MM пополам то M M M M. () M M Найдем проекцию точки M на данную прямую. Для этого составим уравнение прямой проходящей через точку M перпендикулярно данной прямой. Угловой коэффициент прямой равен k. Значит угло- вой коэффициент прямой : k. Тогда из уравнения k M k ( M ) получим 7 3. Найдем координаты точки M как точки пересечения прямых и. Для этого решим систему уравнений. Получим 3. M M M M Подставляя эти значения в формулы ( ) 3 получим 5. M M Задание 6. Составить уравнение высоты CH треугольника C: ( 4;3) (3; 3) C(;4). Решение. Составим уравнение стороны : 3 4 ; ; 4 C Для нахождения высоты запишем каноническое уравнение прямой 4 H 3 с направляющим вектором { 67} 3 4 проходящей через точку C:. 6 7 Получим 7 6. Задание 7. Найти площадь квадрата с вершиной (-;) и стороной лежащей на прямой : 4. Решение. Так как точка не принадлежит данной прямой то расстояние от данной точки до является стороной квадрата. Это расстояние найдем по формуле: 4 C ( ) 4 6 d. 4

23 6 Площадь квадрата S. S 8 ед. Задание 8. Даны вершины треугольника C: ( 3;) (; ) C( 5;). Составить уравнение средней линии параллельной стороне C. Решение. Так как средняя линия MN проходит через середины сторон C C и C то. Подставив координаты точек получим 4 4. M M N N M M N N Уравнение прямой проходящей через две точки M(4-) и N(-4): ; 4 ; Задание 9. Даны точки ( 3;3) (8;) C(3;) D( 3; ). Найти точку пересечения прямых и CD. Решение. Составим уравнение прямой : ; 3 3 ; 7 8. Составим уравнение прямой CD: C C 3 ; ;. Найдем точку пересечения прямых решив систему уравнений: Получим D C D C Задание. Составить уравнение окружности с центром в точке O ( ; 4) касающейся оси OX. Построить ее. Решение. Найдем радиус искомой окружности. Он равен расстоянию от точки O до прямой ( ) C 4 d 4. Тогда уравнение окружности имеет вид: 4 4 ( ) ( ). Задание.. Составить каноническое уравнение эллипса если 36 ε 6. Сделать чертеж. c Решение. Для получения уравнения эллипса найдем полуось по формуле ε. Между величинами и c у эллипса существует зависимость c. В

24 нашем случае ε. Подставляя исходные данные получим 45. Тогда уравнение эллипса будет c Задание. Используя свойства гиперболы записать уравнение траектории точки M которая в каждый момент движения находится вдвое даль- F 8; чем от прямой. ше от точки ( ) Решение. Найдем уравнение гиперболы. По условию задачи MF MF MF MK MF 8 и. Если ( ) MK ( ) то ( 8 ) ( ) ( 8) ( ) K ; 4 ( ) ( ) M 48 F F 48 Задание 3. Известно что фокус параболы находится в точке F(6;3) а прямая 7 директриса параболы. Составить уравнение параболы найти ее параметр и дать геометрическую иллюстрацию. Решение. Центр параболы лежит на прямой 6 в точке O( 6;5) между директрисой и фокусом. Используя формулы по преобразованию координат и учитывая что O ( 6;5) O ( ;) получим 6 5. В новой системе координат F ( ; ) уравнение директрисы т.к и 7 5. Парабола будет иметь p уравнение p. Если то 8. 3

25 Вернувшись к старой системе координат получим ( 6) 8( 5). Задание 4. Построить кривую Решение. В зависимости от коэффициентов уравнение C D E F задает окружность эллипс гиперболу или параболу. Если C 9 т.е C то заданное уравнение определяет параболу. Преобразуем уравнение: ( 3 6) 4 4 9( ) 4( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ). Получили уравнение параболы с вершиной 9 O ( ) и p. Произведем параллельный перенос осей координат 9 приняв за новое начало точку O ( ). Формулы преобразования координат имеют вид. После преобразования координат получим уравнение. Кривая является параболой с директрисой 9 p и фокусом F ;. В системе координат O: O ( ) ; ; F ;

26 tg t Задание 5. Из исключить параметр t найти уравнение кривой cost в виде F ( ) и построить ее. tg t t rctg Решение. Если то. Так как cos ± cost tg cos( rctg ) то ± ±. Получим tg rctg ( ) уравнение равносторонней гиперболы (а) с фокусами ( ; ) F ( ; ) на оси ординат. F и Задание 6. Построить кривую r cos ϕ. 3 Решение. Используя формулы r cos ϕ r si ϕ связывающие прямоугольные и полярные координаты получим: cos ϕ cos ϕ ( si ϕ ). cos ϕ r Выделив полный квадрат получим уравнение окружности с центром в точке ; и радиусом r : 6 6. Построим ее

27 .4.Примеры решений расчетных заданий по теме «Аналитическая геометрия в пространстве» Задание 7 Задача. Составить уравнение плоскости проходящей через три точки М (;;5) М (; ;) М 3 ( 5;;). Решение. Пусть М(;;) произвольная точка плоскости. Векторы M M { 5} M M { 5} M M { 5 5} компланарны их 3 смешанное произведение равно нулю. Приравняем к нулю определитель составленный из координат этих векторов вычислим его разложением по элементам первой строки получим уравнение искомой плоскости: ( 5) Ответ: 5. Задача. Найти расстояние от точки А (3; ; ) до прямой 4. Решение. Прямая задана общим уравнением как линия пересечения двух плоскостей из уравнений которых находим координаты нормальных векторов N { ; ;} и N { ;; } векторное произведение которых даст вектор параллельный данной прямой. Найдем координаты векторного произведения: 6

28 [ ] N N i j k i 3 j 3k { 33} i j k В качестве направляющего вектора прямой рассмотрим вектор SS {;;} который коллинеарен найденном векторному произведению [ N N] { 33}. Найдем координаты какой либо точки данной прямой. Пусть в общем уравнении прямой тогда система для вычисления и примет вид: 4. Откуда находим. Получаем точку (; ; ). Запишем уравнение прямой в параметрической виде: t t. t t Составим уравнение плоскости проходящей через точку А(3; ; ) перпенди- S ;; мо- кулярно данной прямой. Направляющий вектор этой прямой { } жет служить нормальным вектором для этой плоскости: ( 3) ( ) ( ) Найдем координаты точки В точки пересечения этой плоскости с данной прямой. Для этого в уравнение плоскости подставим из параметрических уравнений прямой: (t ) t t 5. Полученное значение параметра подставим в параметрические уравнения прямой и вычислим координаты точки пересечения ; 5; 5. Расстояние от точки А(3; ; ) до прямой будет равно расстоянию между точками А и В(; 5; 5). Найдем его как модуль вектора АВ ;5; 5. { } ( ) Ответ:. Задача 3. Найти уравнение плоскости которая проецирует прямую 3 на плоскость Решение. Искомая плоскость должна проходить через данную прямую перпендикулярно данной плоскости. Из канонических уравнений прямой можно

29 найти координаты точки М(; 3; ) и направляющего вектора SS {5; ; }. Из уравнения данной плоскости найдем вектор нормали NN {; 4; 3}. Вычислим векторное произведение векторов SS и NN : i j k [ ] 5 5 S N 5 i j k i 7 j 9k { 79} Этот вектор может служить нормальным вектором для искомой плоскости. Чтобы написать ее уравнение используем точку М(; 3; ). ( ) 7( 3) 9() Ответ: Задача 4. Установить тип поверхности Сделать чертеж. Решение. Используем метод выделения полного квадрата т.к. уравнение поверхности не содержит произведения координат: 3( 4) 3( 6) 5 ; 3( 4 4) 3( 6 9) 7 5 ; 3( ) 3( 3) 64; ( ) ( 3) 64/3 это уравнение цилиндрической поверхности образующая которой параллельна оси OX а направляющей является окружность с центром в точке ( ; 3) и радиуса R На рис. изображена цилиндрическая поверхность между плоскостями X и X c (c< ). с -3 Рис. Задача 5. Найти уравнение поверхности полученной при вращении прямой { 3 вокруг осей OХ и OZ. 8

30 Решение. ) Для наглядности чертежа выберем систему координат YXZ и нарисуем прямую 3 в плоскости XOZ ( ). Будем вращать ее вокруг оси OХ. Рассмотрим сечение поверхности вращения плоскостью X ( cost). В сечении получилась окружность R где радиус R ()находим из уравнения прямой ( ) х 3 т.е. R. Подставив это выражение для R в уравнение окружности получим уравнение конуса (рис. ) с верши- 3 ( ) 9 ной в точке (; ; ) и осью симметрии OX. R х 3 Рис. ) Теперь вращаем данную прямую относительно оси OZ. Рассмотрим сечение поверхности вращения плоскостью Z. ( cost). В сечении получилась окружность R где радиус R () находим из уравнения прямой 3 т.е. R 3. Подставив в уравнение окружности получим: ( 3). Преобразуем: 9( /3) или это уравнение конуса (рис. 3) с вершиной в точке (; ; /3) и осью симметрии OZ. R Рис.3 9

31 3

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие.

Д 40 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Учебно-методическое пособие. КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики УДК 57 Рецензенты: д-р физ-мат наук, профессор ТМ Иманалиев, канд физ-мат наук, доцент КИ Ишмахаметов ЖР Джаналиева, СБ Доулбекова

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ. КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Методические указания и задания по аналитической геометрии для студентов 1-го курса Агапова Елена Григорьевна Битехтина Екатерина Андреевна 3 Введение

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности.

~ 1 ~ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Уравнения линии и поверхности. ~ ~ АНАЛИТИЧЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Уравнения линии и поверхности. Определение: Уравнение f, называется уравнением линии на плоскости, если координата любой точки этой линии удовлетворяет данному уравнению. Определение:

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Классификация поверхностей второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка Основные понятия Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

1. Поверхности второго порядка

1. Поверхности второго порядка 1 1. Поверхности второго порядка Здесь мы познакомимся с некоторыми вопросами теории поверхностей второго порядка, уравнения которых будут иметь вид A + B + Cz 2 + Dxy + Eyz + F yz + Gx + Hy + Kz + L =

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Поверхности второго порядка

Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется геометрическая фигура, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением 2 2 2 (1) 0. При этом предполагается,

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ Аналитическая геометрия Конспект лекций для студентов экономических

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная 3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы. Порядок

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю Б Мельников Кривые и поверхности второго порядка Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд 3-е,

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кривые второго порядка Индивидуальные

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКАДЕМИЯ АРХИТЕКТУРЫ И ИСКУССТВ В.В. ТРОФИМОВ, С.П.

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа).

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (252 часа). I. Аннотация 1. Цели и задачи дисциплины Целями освоения дисциплины «Геометрия» являются: 1) фундаментальная подготовка по аналитической геометрии и векторной алгебры; 2) овладение методами аналитической

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ В ПРОСТРАНСТВЕ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Исследование уравнений поверхностей второго порядка

Исследование уравнений поверхностей второго порядка Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3. Условие задачи. Написать разложение вектора по векторам : Решение. Искомое разложение вектора Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-3 Написать разложение вектора по векторам : Искомое разложение вектора имеет вид: Или в виде системы: Получаем: Ко второй строке прибавим третью: Вычтем из первой

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет геосистем и технологий»

Подробнее

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум)

Абдулаева Халисат Саидовна. Кафедра математики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) ГАОУ ВПО Дагестанский государственный институт народного хозяйства Абдулаева Халисат Саидовна Кафедра математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (практикум) Махачкала 0 УДК 5(075)

Подробнее

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип

Лекция 6 Поверхности второго порядка. Эллиптический тип Лекция 6 Поверхности второго порядка Пространственным аналогом кривых второго порядка являются поверхности второго порядка, имеющие уравнение вида F(x,y,z) =, где F(x,y,z) многочлен второй степени от x,y,z.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее