Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,"

Транскрипт

1 Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

2 Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал можно разбить на семь пунктов: 1 Общее и параметрические уравнения поверхности. 2 Виды уравнений плоскости. 3 Взаимное расположение двух плоскостей. 4 Пучок плоскостей. 5 Полупространства, определяемые плоскостью. 6 Расстояние от точки до плоскости. 7 Угол между плоскостями. Уже из этого списка видно, что данная лекция во многом аналогична предыдущей. В некоторых случаях мы не приводим в данной лекции доказательства тех или иных утверждений, поскольку они проверяются точно так же, как аналогичные утверждения о прямой на плоскости. Отметим еще, что во втором пункте рассматриваются пять видов уравнений плоскости (по сравнению с «одноименным» пунктом из предыдущей лекции, здесь отсутствует аналог уравнения прямой с угловым коэффициентом).

3 Общее уравнение поверхности 1. Общее и параметрические уравнения поверхности. Как и в случае кривых на плоскости, поверхности можно задавать с помощью уравнений двумя способами. Первый из них состоит в том, чтобы указать, как связаны между собой координаты точек, лежащих на поверхности (и только этих точек). Этот подход приводит к следующему определению. Определение Пусть F(x,y, z) произвольная функция от трех переменных x, y и z. Будем считать, что пространстве зафиксирована система координат. Уравнение F(x,y, z) = 0 называется общим уравнением поверхности σ, если точка пространства лежит на σ тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y, z) = 0, называется геометрическим образом этого уравнения. В качестве примера рассмотрим сферу. Как известно, сфера радиуса r с центром в точке C(a,b, c) задается (в прямоугольной декартовой системе координат) уравнением (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = r 2, которое равносильно общему уравнению (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 r 2 = 0.

4 Параметрические уравнения поверхности: определение Перейдем ко второму способу задания поверхности уравнениями. Как и в случае кривой на плоскости, он состоит в том, что указывается не зависимость между координатами точек, которые принадлежат данной поверхности, а зависимость каждой из этих координат от некоторых параметров (отличие от кривых состоит в том, что для задания поверхности требуется не один параметр, а два). Этот подход приводит к следующему определению. Определение Пусть f(u, v), g(u, v) и h(u, v) произвольные функции от двух переменных. Уравнения x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v) называются параметрическими уравнениями поверхности σ, если точка M с координатами (x 0,y 0,z 0) лежит на σ тогда и только тогда, когда существуют числа u 0 и v 0 такие, что x 0 = f(u 0,v 0), y 0 = g(u 0,v 0) и z 0 = h(u 0,v 0). Переменные u и v называются параметрами.

5 Параметрические уравнения поверхности: пример В качестве примера рассмотрим сферу радиуса r с центром в начале координат. Пусть M(x,y, z) произвольная точка пространства. Обозначим через u угол между положительным направлением оси Ox и радиусом-вектором проекции точки M на плоскость Oxy, а через v угол между положительным направлением оси Oz и радиусом-вектором точки M. Легко понять, что точка M принадлежит сфере тогда и только тогда, когда x = r cos u sin v, y = r sin u sin v, z = r cos v (см. рис. 1 на следующем слайде). Это и есть параметрические уравнения сферы.

6 Параметрические уравнения поверхности: рисунок z M(x,y, z) r v O y u x Рис. 1

7 Направляющий и нормальный векторы плоскости 2. Виды уравнений плоскости. Перейдем к основной теме лекции изучению плоскости. Прежде всего, введем в рассмотрение следующие два понятия, которые будут играть исключительно важную роль в дальнейшем. Определение Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной плоскости, называется ее направляющим вектором. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется ее нормальным вектором. Из этого определения видно, что как направляющий, так и нормальный вектор для данной плоскости определены неоднозначно. Плоскость имеет бесконечно много направляющих векторов и бесконечно много (коллинеарных друг другу) нормальных векторов.

8 Параметрические уравнения плоскости (1) Выясним, как выглядят параметрические уравнения плоскости. Предположим, что в пространстве зафиксирована система координат с началом в точке O. Пусть σ плоскость, точка M 0(x 0, y 0,z 0) принадлежит плоскости σ, а векторы a 1 = (q 1,r 1,s 1) и a 2 = (q 2, r 2,s 2) являются ее направляющими векторами, не коллинеарными между собой. Пусть M(x,y, z) произвольная точка пространства. Обозначим радиус-вектор точки M 0 через r 0, а радиус-вектор точки M через r. Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 2. a 1 a σ 2 O r 0 r M 0 M Рис. 2

9 Параметрические уравнения плоскости (2) Ясно, что точка M лежит в плоскости σ тогда и только тогда, когда вектор M 0M коллинеарен σ. Векторы a 1 и a 2 образуют базис плоскости σ. Если вектор M 0M и плоскость σ коллинеарны, то, в силу теоремы 1 из лекции 2, существуют числа u и v такие, что M 0M = u a 1 + v a 2. Обратно, очевидно, что если M 0M = u a 1 + v a 2 для некоторых чисел u и v, то M 0M σ. Таким образом, M σ тогда и только тогда, когда M 0M = u a 1 + v a 2 для некоторых чисел u и v. Поскольку r = r 0 + M 0M, получаем, что M σ тогда и только тогда, когда r = r 0 + u a 1 + v a 2 для некоторых чисел u и v. Координаты векторов r и r 0 совпадают с координатами точек M и M 0 соответственно. Расписав равенство r = r 0 + u a 1 + v a 2 в координатах, получаем уравнения x = x 0 + q 1u + q 2v, y = y 0 + r 1u + r 2v, (1) z = z 0 + s 1u + s 2v, которые называются параметрическими уравнениями плоскости. Понятие параметрических уравнений плоскости согласуется с более общим понятием параметрических уравнений поверхности, которое было введено в начале данной лекции.

10 Каноническое уравнение плоскости Как было показано выше, точка M(x, y, z) принадлежит плоскости σ тогда и только тогда, когда векторы M 0M = (x x 0, y y 0,z z 0), a 1 и a 2 компланарны. Из замечания 2 лекции 5 вытекает, что это условие эквивалентно выполнению равенства x x 0 y y 0 z z 0 q 1 r 1 s 1 = 0, (2) q 2 r 2 s 2 которое называется каноническим уравнением плоскости. На первый взгляд может показаться, что каноническое уравнение плоскости не имеет ничего общего с каноническим уравнением прямой на плоскости (см. уравнение (4) в лекции 7). В действительности, эти уравнения можно считать аналогичными друг другу, поскольку каноническое уравнение прямой на плоскости, т.е. уравнение x x 0 = y y 0, можно переписать в виде r s x x0 y y0 r s = 0.

11 Уравнение плоскости по трем точкам Предположим теперь, что мы знаем координаты трех точек, принадлежащих плоскости и не лежащих на одной прямой, M 0(x 0,y 0,z 0), M 1(x 1,y 1,z 1) и M 2(x 2,y 2,z 2). Тогда векторы M 0M 1 = (x 1 x 0,y 1 y 0, z 1 z 0) и M 0M 2 = (x 2 x 0,y 2 y 0, z 2 z 0) коллинеарны плоскости и не коллинеарны между собой (последнее гарантировано тем обстоятельством, что точки M 0, M 1 и M 2 не лежат на одной прямой). Подставляя их координаты в уравнение (2), получаем следующее уравнение, которое называется уравнением плоскости по трем точкам: x x 0 y y 0 z z 0 x 1 x 0 y 1 y 0 z 1 z 0 = 0. (3) x 2 x 0 y 2 y 0 z 2 z 0 Как и в случае с каноническим уравнением, это уравнение можно считать аналогичным уравнению прямой на плоскости по двум точкам (см. уравнение (5) в лекции 7), поскольку последнее уравнение можно переписать в виде x x0 y y0 x 1 x 0 y 1 y 0 = 0.

12 Два замечания Из сказанного выше вытекают следующие два замечания. Замечание 1 Если плоскость задана любым из уравнений (1) и (2), то векторы с координатами (q 1,r 1,s 1) и (q 2,r 2,s 2) являются ее направляющими векторами, не коллинеарными между собой. Замечание 2 Если плоскость задана любым из уравнений (1), (2) и (3), то точка с координатами (x 0,y 0,z 0) принадлежит плоскости.

13 Общее уравнение плоскости (1) Разложив определитель из равенства (2) по первой строке, имеем следующее равенство: r1 s1 r 2 s (x x0) q 1 s 1 2 q 2 s (y y0)+ q 1 r 1 2 q 2 r 2 (z z0) = 0. (4) Введем обозначения: r1 s1 A = r 2 s 2, B = q 1 s 1 q 2 s 2, C = q 1 r 1 q 2 r 2. Тогда равенство (4) можно переписать в виде A(x x 0)+B(y y 0)+C(z z 0) = 0. Положив D = Ax 0 By 0 Cz 0, получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0. (5) Легко понять, что если A = B = C = 0, то q 1 q 2 = r 1 r2 = s 1 s2, и потому векторы a 1 и a 2 коллинеарны вопреки их выбору. Уравнение вида (5), в котором по крайней мере одно из чисел A, B и C отлично от нуля, называется общим уравнением плоскости. Теорема со следующего слайда показывает, что это понятие согласуется с более широким понятием общего уравнения поверхности, которое было введено в начале данной лекции.

14 Общее уравнение плоскости (2) Теорема 1 Пусть в пространстве задана произвольная система координат. Тогда всякая плоскость может быть задана уравнением вида (5), в котором по крайней мере одно из чисел A, B и C отлично от нуля. Обратно, любое уравнение вида (5) с указанным ограничением на числа A, B и C определяет плоскость. Доказательство. Первое утверждение теоремы было доказано выше. Докажем второе утверждение. Рассмотрим уравнение (5), где A 0, или B 0, или C 0. Для определенности будем считать, что A 0. Возьмем произвольное решение (x 0, y 0,z 0) этого уравнения. Тогда Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. Вычтем последнее равенство из уравнения (5). Получим A(x x 0)+B(y y 0)+C(z z 0) = 0. (6) Ясно, что уравнения (5) и (6) имеют одно и то же множество решений. Рассмотрим теперь плоскость σ, которая проходит через точку M 0(x 0,y 0,z 0) и коллинеарна векторам a 1 = ( B,A, 0) и a 2 = ( C,0,A) (отметим, что эти два вектора неколлинеарны, поскольку A 0).

15 Общее уравнение плоскости (3) Напишем для этой плоскости уравнение вида (4): A 0 0 A (x x0) B 0 C A (y y0)+ B A C 0 (z z0) = 0. Раскрывая в этом равенстве определители, получим A 2 (x x 0)+AB(y y 0)+AC(z z 0) = 0. Поскольку A 0, последнее равенство можно сократить на A. В результате получится уравнение (6). Следовательно, уравнение (6), как и уравнение (5), определяет плоскость σ. Теорема доказана.

16 Два замечания Из доказательства теоремы 1 легко выводится следующий факт. Замечание 3 Пусть плоскость задана общим уравнением (5). Положим s 1 = ( B,A,0), s 2 = ( C,0, A) и s 3 = (0, C,B). Если A 0, то векторы s 1 и s 2 не коллинеарны и являются направляющими векторами плоскости; если B 0, то теми же свойствами обладают векторы s 1 и s 3, а если C 0 векторы s 2 и s 3. Замечание 4 Если плоскость σ задана уравнением (5), то вектор с координатами (A, B,C) не коллинеарен σ. Мы опускаем доказательство этого факта, поскольку оно вполне аналогично доказательству замечания 4 из лекции 7.

17 Еще одно замечание Если система координат является прямоугольной декартовой, то замечание 4 можно существенно усилить. В самом деле, в этом случае скалярное произведение векторов (A, B, C) и ( B, A, 0) равно AB + BA = 0, т.е. эти векторы ортогональны. Аналогично проверяется ортогональность вектора (A, B, C) каждому из векторов ( C, 0, A) и (0, C,B). В силу замечания 3, вектор (A,B,C) ортогонален к двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости с уравнением (5). Следовательно, справедливо Замечание 5 Если плоскость задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (5), то вектор с координатами (A,B,C) является ее нормальным вектором.

18 Уравнение плоскости в отрезках Пусть теперь σ плоскость, не проходящая через начало координат и не параллельная ни одной из осей координат. Тогда σ пересекает все три оси координат. Обозначим первую координату точки пересечения σ с осью абсцисс через a, вторую координату точки пересечения σ с осью ординат через b, а третью координату точки пересечения σ с осью аппликат через c. Тогда a,b,c 0 и σ проходит через точки с координатами (a,0,0), (0,b,0) и (0,0, c). Напишем уравнение плоскости σ по этим трем точкам: x a y 0 z 0 x a y z 0 a b = 0, т.е. a b 0 0 a 0 0 c 0 a 0 c = 0. Вычислив определитель из левой части последнего равенства, получим bcx + acy + abz = abc. Разделим обе части последнего равенства на abc (воспользовавшись тем, что a,b,c 0). Получим уравнение x a + y b + z = 1, (7) c которое называется уравнением плоскости в отрезках. Этот термин объясняется тем, что параметры a, b и c, фигурирующие в уравнении (7), суть, с точностью до знака, длины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. Мы закончили рассмотрение видов уравнений плоскости.

19 Взаимное расположение двух плоскостей (1) 3. Взаимное расположение двух плоскостей. Рассмотрим теперь вопрос о взаимном расположении двух плоскостей. Теорема 2 Пусть плоскость σ 1 задана уравнением A 1x + B 1y + C 1z + D 1 = 0, а плоскость σ 2 уравнением A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0. Плоскости σ 1 и σ 2: 1) пересекаются тогда и только тогда, когда A 1 A 2 B 1 B 2 или B 1 B 2 C 1 C 2 ; 2) параллельны тогда и только тогда, когда A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 D 1 D 2 ; 3) совпадают тогда и только тогда, когда A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = D 1 D 2. Доказательство. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений: { A1x + B 1y + C 1z = D 1, (8) A 2x + B 2y + C 2z = D 2. Ясно, что плоскости σ 1 и σ 2 пересекаются тогда и только тогда, когда эта система имеет решение, но уравнения системы не равносильны; параллельны тогда и только тогда, когда система не имеет решений; совпадают тогда и только тогда, когда уравнения системы равносильны.

20 Взаимное расположение двух плоскостей (2) Предположим сначала, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т. е. A 1 A 2 B 1 B 2 или B 1 B 2 C 1 C 2. Для определенности будем считать, что A 1 A 2 B 1 B 2. Убедимся, что в этом случае плоскости пересекаются. Придадим z произвольное значение z = z 0 и запишем систему (8) в виде { A1x + B 1y = C 1z 0 D 1, (9) A 2x + B 2y = C 2z 0 D 2. Условие A 1 A 2 B 1 B 2 равносильно тому, что A1 B1 A 2 B 2 0. Поэтому по теореме Крамера для систем второго порядка (см. теорему 1 в лекции 1) система (9) имеет единственное решение. Обозначим его через (x 0,y 0). Тогда тройка чисел (x 0,y 0,z 0) будет решением системы (8). Следовательно, плоскости σ 1 и σ 2 имеют по крайней мере одну общую точку, т.е. либо пересекаются, либо совпадают.

21 Взаимное расположение двух плоскостей (3) Предположим, что плоскости совпадают. Обозначим через σ 3 плоскость с уравнением z = z 0. Пересечение (совпадающих) плоскостей σ 1 и σ 2 с σ 3 содержит точку M 0(x 0,y 0,z 0), а значит, оно содержит и некоторую прямую. У всех точек этой прямой третья координата равна z 0 (так как эти точки лежат в плоскости σ 3). Пусть M 1(x 1,y 1,z 0) точка этой прямой, отличная от M 0. Тогда пара чисел (x 1,y 1) отлична от (x 0,y 0) и является решением системы (9). Но, как отмечалось выше, эта система имеет единственное решение. Полученное противоречие показывает, что плоскости σ 1 и σ 2 пересекаются. Мы доказали достаточность в утверждении 1) теоремы 2. Достаточность в утверждениях 2) и 3) доказывается вполне аналогично тому, как это сделано в тех же случаях в доказательстве теоремы 2 в лекции 7. После того, как достаточность во всех трех утверждениях доказана, легко понять, что в каждом из этих утверждений верна и необходимость (см. конец доказательства теоремы 2 в лекции 7). Теорема доказана.

22 Пучок плоскостей (1) 4. Пучок плоскостей. Определение Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через некоторую фиксированную прямую. Ясно, что любые две пересекающиеся плоскости π 1 и π 2 определяют некоторый пучок плоскостей (состоящий из всех плоскостей, проходящих через прямую, по которой пересекаются плоскости π 1 и π 2). Теорема, сформулированная на следующем слайде, показывает, как по уравнениям плоскостей π 1 и π 2 можно найти уравнение произвольной плоскости из пучка плоскостей, определяемых этими двумя плоскостями.

23 Пучок плоскостей (2) Теорема 3 Плоскость π принадлежит пучку плоскостей, определяемому пересекающимися плоскостями π 1 и π 2 с уравнениями A 1x + B 1y + C 1z + D 1 = 0 и A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 соответственно тогда и только тогда, когда π задается уравнением вида α(a 1x + B 1y + C 1z + D 1)+β(A 2x + B 2y + C 2z + D 2) = 0, (10) где α и β произвольные действительные числа, по крайней мере одно из которых отлично от нуля. Доказательство. Достаточность. Прежде всего докажем, что уравнение (10), где хотя бы одно из чисел α и β отлично от 0, задает плоскость. В силу теоремы 1, для этого достаточно установить, что по крайней мере одно из чисел αa 1 +βa 2, αb 1 +βb 2 и αc 1 +βc 2 отлично от нуля. Предположим, напротив, что αa 1 +βa 2 = αb 1 +βb 2 = αc 1 +βc 2 = 0. Тогда A 1 A 2 = B 1 B 2 = C 1 C 2 = β α. Но тогда из теоремы 2 вытекает, что плоскости π 1 и π 2 либо параллельны, либо совпадают, что противоречит условию. Осталось доказать, что плоскость, заданная уравнением (10), проходит через прямую, по которой пересекаются плоскости π 1 и π 2.

24 Пучок плоскостей (3) В самом деле, обозначим через (x 0,y 0,z 0) координаты произвольной точки, лежащей на этой прямой. Тогда A 1x 0 + B 1y 0 + C 1z 0 + D 1 = 0 и A 2x 0 + B 2y 0 + C 2z 0 + D 2 = 0, откуда α(a 1x 0 + B 1y 0 + C 1z 0 + D 1)+β(A 2x 0 + B 2y 0 + C 2z 0 + D 2) = 0. Необходимость. Обозначим через l прямую, по которой пересекаются плоскости π 1 и π 2. Пусть π плоскость из пучка плоскостей, определяемого плоскостями π 1 и π 2, а Ax + By + Cz + D = 0 общее уравнение плоскости π. Если π = π 1, то π задается уравнением вида (10), где α = 1, а β = 0. Аналогично разбирается случай, когда π = π 2. Будем теперь считать, что плоскость π отлична от плоскостей π 1 и π 2. В частности, это означает, что плоскость π пересекается с каждой из плоскостей π 1 и π 2, причем ясно, что π пересекается с каждой из этих плоскостей по прямой l. Обозначим через M произвольную точку, принадлежащую плоскости π и не лежащую на прямой l, а через (x,y,z ) координаты точки M. Ясно, что M / π 1, так как в противном случае точка M принадлежала бы прямой, по которой пересекаются плоскости π и π 1, т.е. прямой l. Аналогично проверяется, что M / π 2. Следовательно, A 1x + B 1y + C 1z + D 1 0 и A 2x + B 2y + C 2z + D 2 0. Следовательно, существуют отличные от 0 числа α и β такие, что α β = A2x + B 2y + C 2z + D 2 A 1x + B 1y + C 1z + D 1. (11)

25 Пучок плоскостей (4) Как проверено при доказательстве достаточности, всякое уравнение вида (10), где хотя бы одно из чисел α и β отлично от 0, задает некоторую плоскость. Обозначим через σ плоскость, заданную уравнением вида (10), где числа α и β удовлетворяют равенству (11). Поскольку, в силу (11), α(a 1x + B 1y + C 1z + D 1)+β(A 2x + B 2y + C 2z + D 2) = 0, плоскость σ проходит через точку M. Кроме того, как показано при доказательстве достаточности, всякая плоскость, заданная уравнением вида (10), содержит прямую l. В частности, l σ. Напомним, что M / l. Мы установили, что каждая из плоскостей π и σ проходит через прямую l и не лежащую на этой прямой точку M. В то же время, очевидно, что плоскость, проходящая через некоторую прямую и не лежащую на этой прямой точку, определена однозначно. Следовательно, π = σ, и потому плоскость π задается уравнением требуемого вида. Теорема доказана.

26 Главный вектор плоскости (1) 5. Полупространства, определяемые плоскостью. Наша следующая цель состоит в том, чтобы выяснить, как по уравнению плоскости и координатам двух точек, не лежащих в этой плоскости, определить, лежат ли они по одну сторону или по разные стороны от плоскости. Для этого нам понадобятся некоторые новые понятия и результаты, подобные тем, что появились при рассмотрении аналогичного вопроса в лекции 7. Определение Пусть плоскость σ задана уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда вектор n = (A, B, C) называется главным вектором плоскости σ. Сравнивая это определение с замечанием 5, мы видим, что если система координат прямоугольная декартова, то главный вектор плоскости является ее нормальным вектором.

27 Главный вектор плоскости (2) Отметим, что главный вектор плоскости определен неоднозначно. В самом деле, ясно, что если t ненулевое число, то уравнения Ax + By + Cz + D = 0 и tax + tby + tcz + td = 0 определяют одну и ту же плоскость, главными векторами которой будут как (A,B, C), так и (ta,tb,tc). В то же время из указанного в теореме 2 критерия совпадения плоскостей вытекает, что любые два главных вектора плоскости коллинеарны.

28 Полупространства, определяемые плоскостью (1) Пусть σ плоскость, заданная уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Все пространство делится этой плоскостью на три непересекающиеся части: саму плоскость σ и два полупространства (в каждое из этих полупространств входят те и только те точки, которые расположены по какую-либо одну сторону от σ). Дальнейшие рассуждения иллюстрирует рис. 3. M 1 n λ σ M 0 µ Рис. 3

29 Полупространства, определяемые плоскостью (2) Обозначим главный вектор плоскости σ через n. Возьмем на σ произвольную точку M 0 и отложим от нее вектор n. Конец получившегося направленного отрезка обозначим через M 1. Из замечания 4 вытекает, что точка M 1 не принадлежит плоскости σ. Обозначим то полупространство, в котором лежит точка M 1, через λ, а другое через µ. Теорема 4 Пусть M(x, y, z ) произвольная точка пространства. Если M λ, то Ax + By + Cz + D > 0, а если M µ, то Ax + By + Cz + D < 0. Доказательство этой теоремы мы не приводим, поскольку оно вполне аналогично доказательству теоремы 4 из лекции 7. Из теоремы 3 вытекает следующий ответ на сформулированный выше вопрос. Следствие 1 Точки P(x 1,y 1,z 1) и Q(x 2,y 2,z 2) расположены по одну сторону от плоскости Ax + By + Cz + D = 0 тогда и только тогда, когда числа Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 и Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D = 0 имеют одинаковый знак, и по разные стороны от этой плоскости тогда и только тогда, когда эти числа имеют разные знаки.

30 Расстояние от точки до плоскости 6. Расстояние от точки до плоскости. До конца лекции будем предполагать, что система координат, заданная в пространстве, прямоугольная декартова. Наша ближайшая цель указать формулу для расстояния от точки до плоскости. Пусть плоскость σ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, а M(x,y,z ) некоторая точка пространства. Обозначим через d(m,σ) расстояние от M до σ. Тогда справедлива следующая формула: d(m,σ) = Ax + By + Cz + D A2 + B 2 + C 2. (12) Мы опускаем вывод этой формулы, поскольку он вполне аналогичен выводу формулы (14) из лекции 7.

31 Угол между плоскостями 7. Угол между плоскостями. В завершение лекции обсудим, как находить угол между двумя плоскостями. Предположим, что имеются две плоскости σ 1 и σ 2. Перейдя, если требуется, к их общим уравнениям, можно найти нормальные векторы n 1 = (A 1,B 1,C 1) и n 2 = (A 2,B 2,C 2) этих плоскостей. Ясно, что угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Используя формулу для вычисления угла между векторами (см. лекцию 3), получаем, что угол α между плоскостями σ 1 и σ 2 может быть найден по формуле cosα = A 1A 2 + B 1B 2 + C 1C 2 A B1 2 + A C B C2 2 Отметим, что с помощью этой формулы мы можем получить как острый, так и тупой угол между плоскостями, причем заранее неизвестно, какой именно. Если требуется найти какой-то конкретный угол, то следует действовать так, как описано в конце лекции 7.

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности

Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Лекция 14: Цилиндрические и конические поверхности Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Оставшиеся

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве Уравнение прямой в пространстве 1 Прямая как пересечение двух плоскостей. Система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. Прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей. Пусть

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая на плоскости ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 7 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ЗАДАЧА 1 Представить прямую x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c как линию пересечения плоскостей, параллельных осям Ox и Oy Система координат

Подробнее

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей

Прямые и плоскости. Глава Уравнения линий и поверхностей Глава 8 Прямые и плоскости 8.1. Уравнения линий и поверхностей 8.1.1. Линии на плоскости Предположим, что на плоскости задана аффинная система координат. Пусть l кривая на плоскости и f(x, y) некоторая

Подробнее

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве

Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Лекция 16: Классификация квадрик в пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Данная лекция

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой

Лекция 1.3. Уравнения плоскости и прямой Лекция.. Уравнения плоскости и прямой Аннотация: Помимо векторного, общего, нормального и в отрезках дается еще и параметрическое уравнение плоскости, с целью обобщения в дальнейшем понятия плоскости в

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 12: Парабола. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается третья кривая второго порядка парабола.

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

Лекция 6. Прямая на плоскости

Лекция 6. Прямая на плоскости Лекция 6 Прямая на плоскости Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали l O b y На плоскости, где введена прямоугольная система координат, рассмотрим прямую l.

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М.

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Лекция 18: Ортонормированный базис

Лекция 18: Ортонормированный базис Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Ортогональные и ортонормированные наборы векторов Из определения угла между векторами

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости;

анализ взаимного расположения прямых и плоскостей, поиск расстояния от точки до прямой и плоскости; Практикум по теме 5 Методические указания по выполнению практикума. Целью практикума является более глубокое усвоение материала контента темы 5, а также развитие следующих навыков: задание прямых на плоскости

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray1 1 Консультация 8 ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ З А Д АЧ А 1 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (r 0 ) и перпендикулярной к прямой пересечения двух

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

Глава 7 Плоскость в пространстве

Глава 7 Плоскость в пространстве Глава 7 Плоскость в пространстве Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:, где А, В, С координаты вектора i j k -вектор нормали к плоскости. Возможны

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве

Лекция 31 Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве Лекция Глава Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость в пространстве Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть в пространстве OXYZ даны точка ) и ненулевой

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Конспект лекции 1 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 0. План лекции 1. Аксиомы геометрии и роль систем координат. 2. Декартова система координат на прямой. 2.1. Ось, направленный отрезок, величина направленного отрезка

Подробнее

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

8.1. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору. Глава 8 Уравнение линии в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения.

9.2 Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение трех векторов. Геометрические свойства смешанного произведения. Смешанное произведение в декартовых координатах. Двойное векторное произведение. 9 Лекция 9 9.1 Смешанное произведение

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Пособие по векторной алгебре

Пособие по векторной алгебре Пособие по векторной алгебре Сергей Матвеев Содержание 1 Введение 1 2 Векторы в декартовой системе координат 2 3 Деление отрезка в данном отношении 4 4 Базисы на плоскости и в пространстве 5 5 Скалярное

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30

Аналитическая геометрия Прямые и плоскости. Линейная алгебра (лекция 10) / 30 Аналитическая геометрия Прямые и плоскости Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 2 / 30 Линейная алгебра (лекция 10) 17.11.2012 3 / 30 Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1 ) и M 2 (x 2, y 2 )

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве Прямые и плоскости в пространстве Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 2002 384 с 502 Составить параметрические

Подробнее

49. Цилиндрические и конические поверхности

49. Цилиндрические и конические поверхности 49. Цилиндрические и конические поверхности 1. Цилиндрические поверхности Определение. Пусть в пространстве заданы линия l и ненулевой вектор a. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через всевозможные

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее