Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов специальности «Математические методы в экономике» ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Ростов-на-Дону 006

2 Методические указания печатаются по решению кафедры исследования операций механико-математического факультета РГУ: протокол от г Научный редактор: зав каф исследования операций, дтн, профессор Жак СВ Ответственный за выпуск: старший преподаватель Гусаков СВ

3 СОДЕРЖАНИЕ Бесконечные антагонистические игры Выпуклые игры на единичном квадрате 7 Чистые оптимальные стратегии игрока 7 Оптимальные стратегии игрока 8 Общая схема решения выпуклых игр на единичном квадрате 9 Строго выпуклые игры 0 Вогнутые игры на единичном квадрате 0 Чистые оптимальные стратегии игрока Оптимальные стратегии игрока Общая схема решения вогнутых игр на единичном квадрате 5 Примеры решения выпуклой игры на единичном квадрате 6 Бескоалиционные игры 8 7 Биматричные игры 9 7 Решение биматричной игры в смешанных стратегиях 0 7 Решение -биматричных игр 7 Примеры решения -биматричных игр 5 8 Индивидуальные задания 9 Литература

4 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ Определение Тройка множества, а H :X Y R G = áx,y, Hñ, где X,Y- произвольные - функция, называется антагонистической игрой При этом X множество стратегий -го игрока, Y множество стратегий -го игрока, H :X Y R - функция выигрыша -го игрока или проигрыша -го Определение Антагонистическую игру называют бесконечной, если хотя бы у одного из двух игроков бесконечное множество стратегий Остановимся на специальном классе бесконечных антагонистических игр, называемых играми на единичном квадрате О п р е д е л е н и е Если в антагонистической игре X=[0,], Y=[0,], то игра называется антагонистической игрой на единичном квадрате Далее будем рассматривать непрерывные игры на единичном квадрате, предполагая непрерывность функции выигрыша H (x, y в квадрате [0,] [0,] Замечание Ясно, что все теоретико-игровые утверждения, относящиеся к играм на единичном квадрате, могут быть перенесены на игры, в которых пространствами чистых стратегий игроков являются произвольные сегменты Процесс разыгрывания игры состоит в том, что игроки независимо друг от друга выбирают соответственно стратегии x Î [ 0,] и yî [ 0,] складывается ситуация (х,у, дающая первому игроку выигрыш (x, y Определение Ситуация x*,y* При этом H (, где x* [ 0, ], y* Î[ 0,] называется приемлемой для первого игрока, если (x, y*} H(x*, y* Î, H для всех

5 x Î [ 0, ] Таким образом, -й игрок, оказавшись в приемлемой для себя ситуации, не может, изменив свою стратегию, увеличить свой выигрыш Определение 5 Ситуация x*,y* (, где x* [ 0, ], y* Î[ 0,] называется приемлемой для второго игрока, если (x*,y*} H(x*, y yî [ 0,] Î, H для всех Таким образом, -й игрок, оказавшись в приемлемой для себя ситуации, не может, меняя свою стратегию, уменьшить выигрыш противника О п р е д е л е н и е 6 Ситуация x*,y* (, где x* [ 0, ], y* Î[ 0,] Î, называется равновесной (а точка ( x*,y* седловой точкой функции H(x,y, если эта ситуация приемлема для обоих игроков То есть H для всех x Î[ 0,] и [ 0,] H (x, y*} (x*,y*} H(x*, y yî О п р е д е л е н и е 7 Максиминной чистой стратегией -го игрока называют точку х* Î [ 0,] y, для которой выполняется min H(x*,y = max min H(x,y = V Î[ 0,] xî[ 0,] yî[ 0,] Величина V называется нижним значением (нижней ценой игры Минимаксной чистой стратегией -го игрока называют точку y* Î [ 0,] которой выполняется max H(x, y* = min max H(x, y = V Î[ 0,] yî[ 0,] xî[ 0,] x, для Величина V называется верхним значением (верхней ценой игры 5

6 Непрерывная игра на единичном квадрате имеет решение в чистых стратегиях тогда и только тогда, когда V = V При этом пара ( x*,y* определяет равновесную ситуацию, а x * и y* чистые оптимальные стратегии первого и второго игроков соответственно Когда не существует оптимальное решение игры в чистых стратегиях, можно рассмотреть ее обобщение на случай смешанных стратегий Как и в случае конечных игр, смешанными стратегиями игроков в игре на единичном квадрате являются вероятностные распределения на множествах их чистых стратегий c функциями распределения P(x и Q(y соответственно Выигрыш первого игрока определяется как математическое ожидание H (P,Q = ò ò H(x, ydp(xdq(y x Î[0,] yî[0, ] При этом H (x,q = ò H(x, ydq(y, H(P, y = òh(x, ydp(x yî[0,] xî[0,] Определение 8 Ситуацию ( P*, Q* будем называть приемлемой для первого игрока, если H (P,Q* H (P*, Q* для всех функций распределения P(x Определение 9 Ситуацию ( P*, Q* будем называть приемлемой для второго игрока, если H (P*, Q* H(P*, Q для всех функций распределения Q(y О п р е д е л е н и е 0 Ситуацию ( P*, Q* будем называть равновесной, если она приемлема для обоих игроков При этом P * и Q * называют оптимальными смешанными стратегиями -го и -го игроков соответственно Значение игры (цена игры в смешанных стратегиях есть V = H(P*, Q* 6

7 Теорема Ситуация ( P*,Q* является равновесной в игре на единичном квадрате тогда и только тогда, когда H (x,q* (P*,Q* H(P*, y H для всех x Î [ 0,] и [ 0,] y Î Основная теорема В непрерывной антагонистической игре на единичном квадрате игроки всегда имеют оптимальные смешанные стратегии Частным случаем непрерывной антагонистической игры на единичном квадрате являются выпуклые игры на единичном квадрате Рассмотрим далее выпуклые игры на единичном квадрате, для которых достаточно просто решаются в смешанных стратегиях V ¹ V, но которые ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ О п р е д е л е н и е Непрерывная антагонистическая игра на единичном квадрате с функцией выигрыша H (x, y называется выпуклой, если функция Н(х, : [0,] R выпукла при любом значении x Î [ 0, ] Как и во всякой непрерывной игре на единичном квадрате, в выпуклой игре игроки имеют смешанные оптимальные стратегии Согласно принципу двойственности для антагонистических игр выпуклым играм соответствуют вогнутые в смысле следующего определения О п р е д е л е н и е Непрерывная игра на единичном квадрате с функцией выигрыша H(x, y называется вогнутой, если функция Н(, у: [0,] R вогнутая при любом значении y Î [ 0,] Далее познакомимся с теорией выпуклых игр ЧИСТЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Теорема В выпуклой игре на единичном квадрате игрок имеет чистые оптимальные стратегии Множество всех таких стратегий составляет сегмент 7

8 Чистой оптимальной стратегией -го игрока будет его минимаксная чистая стратегия y* Î [ 0,], для которой выполняется max H(x, y* = min max H(x, y = V, где V цена игры Î[ 0,] yî[ 0,] xî[ 0,] x ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Предположим, что функция (x, y отрезке [0,] при "xî[0,] H дифференцируема по переменной y на О п р е д е л е н и е Чистая стратегия х 0 называется точкой спектра смешанной стратегии P(x, если для любой измеримой окрестности w точки х 0 имеет место соотношение ò dp (x > 0 w Теорема Пусть V цена игры, и у* оптимальная стратегия игрока Если для чистой стратегии х 0 выполняется неравенство H(x 0, y * < V, то х 0 не принадлежит спектру какой-либо оптимальной стратегии игрока Согласно теореме спектру оптимальной смешанной стратегии -го игрока принадлежат только те чистые стратегии x, для которых H(x, y * = ( V Далее чистые стратегии х, удовлетворяющие ( будем называть существенными Теорема Пусть Г - выпуклая игра с функцией выигрыша Н(x,y, дифференцируемой по у при любом х у * чистая оптимальная стратегия игрока в этой игре, а V- ее значение (цена Тогда, 8

9 если у* = 0, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая H y ³ стратегиях', для которой (x,0 0; если у* =, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая стратегия х", для которой H y (x, 0; если 0 < y* < и игрок не имеет оптимальной чистой стратегии, то среди оптимальных стратегий игрока должна быть такая, которая является смесью двух существенных стратегий х' и H y (x, y* > 0; H y (x, y* < 0 х" Для этих стратегий При этом стратегии х' и х" употребляются с вероятностями a и -a, где a находится из уравнения a H y (x, y* + ( a H y (x, y* =0 ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛЫХ ИГР НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ Проверить функции H (x, на выпуклость Если эта функция задана аналитически и дважды дифференцируема, то естественно попытаться проверить неравенство H yy (x, y ³ 0 В некоторых случаях представляется целесообразным изобразить графики функций H (x, геометрически при различных значениях параметра x и проверить выпуклость Из соотношения V = найти чистую оптимальную y min max H(x, y Î[ 0,] xî[ 0,] стратегию -го игрока у* как значение переменного, на котором достигается 9

10 внешний минимум, и цену игры Найти V = V как значение этого минимума V = max min H(x, y Если получим V ¹ V xî[ 0,] yî[ 0,], то переходим на пункт, иначе найдено решение игры в чистых стратегиях: x*, у* - оптимальные стратегии игроков, V значение (цена игры При этом x* - значение переменной x, на котором достигается внешний максимум H(x, y Найти существенные стратегии первого игрока, решив уравнение * = V Составить пары х' и H y (x, y* > 0; H y (x, y* < 0 х" из полученных решений, для которых 5 Для каждой найденной пары х и х" составить уравнение и найти его решение a* a H y (x, y* + ( a H y (x, y* =0 СТРОГО ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ О п р е д е л е н и е Непрерывная антагонистическая игра Г на единичном квадрате называется строго выпуклой, если ее функция выигрыша Н(х, у строго выпукла по у при любом значении х Теорема 5 В строго выпуклой игре Г игрок имеет единственную оптимальную стратегию, которая является чистой ВОГНУТЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ Согласно принципу двойственности для антагонистических игр выпуклым играм соответствуют вогнутые в смысле следующего определения О п р е д е л е н и е 5 Непрерывная игра на единичном квадрате с функцией 0

11 выигрыша H(x, y называется вогнутой, если функция Н(, y: [0,] R вогнута при любом значении y Î [ 0,] Очевидно, теория вогнутых игр будет двойственной к теории выпуклых игр, и ее положения получаются естественным образом из соответствующих положений теории выпуклых игр Как и во всякой непрерывной игре на единичном квадрате, в вогнутой игре игроки всегда имеют смешанные оптимальные стратегии ЧИСТЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Теорема 6 В вогнутой игре на единичном квадрате игрок имеет чистые оптимальные стратегии Множество всех таких стратегий составляет сегмент Чистой оптимальной стратегией -го игрока будет его максиминная чистая стратегия x* Î [ 0,], для которой выполняется V = max min H(x, y, где V цена игры xî[ 0,] yî[ 0,] ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Предположим, что функция (x, y H дифференцируема по переменной x на отрезке [0,] при "yî[0,] О п р е д е л е н и е 6 Чистая стратегия y 0 называется точкой спектра смешанной стратегии Q(x, если для любой измеримой окрестности w точки y 0 имеет место соотношение òdq (y > 0 w Теорема 7 Пусть V цена игры, и x* оптимальная стратегия игрока Если для чистой стратегии y 0 выполняется неравенство

12 H(x *, y 0 > V, то y 0 не принадлежит спектру какой-либо оптимальной стратегии игрока Согласно теореме спектру оптимальной смешанной стратегии -го игрока принадлежат только те чистые стратегии y, для которых H (x*, y = V ( Далее чистые стратегии y, удовлетворяющие ( будем называть существенными Теорема 8 Пусть Г - вогнутая игра с функцией выигрыша Н(x,y, дифференцируемой по x при любом yî[0,], x* чистая оптимальная стратегия игрока в ней, V- значение игры Тогда: если x* = 0, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая стратегия y', для которой H x (0,y 0; 5если x* =, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая стратегия y", для которой H x (, y ³ 0; 6если 0 < x* < и игрок не имеет чистую оптимальную стратегию, то среди оптимальных стратегий игрока найдется такая, которая является смесью двух существенных стратегий y' и y" Для этих стратегий * x > H (x, y 0; H x (x*, y < 0 При этом стратегии y' и y" употребляются с вероятностями a и -a соответственно, и a находится из уравнения * x a H (x, y + ( a H x (x*, y =0

13 ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ВОГНУТЫХ ИГР НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ Проверить функции Н(, у на вогнутость Если эта функция задана аналитически и дважды дифференцируема, то естественно попытаться проверить неравенство H xx (x,y 0 В некоторых случаях представляется целесообразным изобразить графики функций Н(, у при различных значениях параметра y и проверить вогнутость геометрически Из соотношения V = найти чистую оптимальную x max min H(x, y Î[ 0,] yî[ 0,] стратегию -го игрока x* как значение переменного, на котором достигается внешний максимум, и цену игры V=V как значение этого максимума Найти V = min max H(x, y Если получим V ¹ V yî[ 0,] xî[ 0,], то переходим на пункт В противном случае алгоритм завершен, так как найдено решение игры в чистых стратегиях: x*, у* - оптимальные стратегии игроков, V значение (цена игры При этом y* - значение переменной y, на котором достигается внешний минимум Решить уравнение (x*, y V H = Составить из полученных решений пары y' и H x (x*, y > 0; H x (x*, y < 0 y", для которых Для каждой найденной пары y' и y" составить уравнение a H x (x*,y + ( a H x (x*, y =0 и найти его решение a*

14 5 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛОЙ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ П р и м е р Рассмотрим игру на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х,у = (х-у выпуклой есть Здесь H уу (x, y = > 0, поэтому данная игра является строго В выпуклой игре значение игры совпадает с верхним значением игры, то V = V Находится значение игры по формуле: V = min max (x- y yî[ 0,] xî[ 0,] Так как в этой задаче Н(х,у является выпуклой по переменной x, то максимум по этой переменной достигается на одном из концов отрезка [0,] и равен { } j( y = max (x - y = max (0- y,(- y xî[ 0,] = ì ï ï î ( - y,если y Î[0, ], y, если y Î[,] y = Значение игры V = min j(y =, и минимум достигается при y Î [0,] Таким образом, нашли значение игры оптимальную стратегию второго игрока y * = V = и единственную чистую Прежде, чем перейти к пункту, найдем V = max min H(x, y xî[0,]y Î[0,] Величина min (x - y = 0 yî[0,], так как x Î [0,] Следовательно, V = 0, и V¹ V Это означает, что игрок не имеет оптимальной чистой стратегии, и

15 нужно перейти к следующему пункту Перейдем к определению оптимальных стратегий игрока Поскольку здесь 0 < V = / <, то по классификации случаев из теоремы мы имеем дело со случаем уравнение Найдем существенные чистые стратегии игрока Для этого решим стратегии х'=0 и (x - y* = V или (x = х"= При этом, H y (x, y* = > 0; Составим уравнение - Получим две существенные H y (x, y* = - 0 a H y (x, y* + ( a H y (x, y* =0 Получим a + ( a (- =0 и найдем a =/ Приходим к выводу: оптимальная стратегия игрока является вероятностной смесью его чистых существенных стратегий 0 и, которые он выбирает с вероятностями / П р и м е р Рассмотрим игру на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х,у =-x(y-/ +x В данном примере (x, y выигрыша является выпуклой есть H уу = x ³ 0 Поэтому игра с данной функцией В выпуклой игре значение игры совпадает с верхним значением игры, то V = V Находится значение игры по формуле: V = min max (x(y- Î[ 0,] xî[ 0,] y + x Так как в этой задаче Н(х,у является выпуклой функцией по переменной x, то максимум по этой переменной достигается на одном из 5

16 концов отрезка [0,] при j(y = max (x(y- Î[ 0,] x + x = { max 0,(y + } - = (y + - Тогда, значение игры V = min j(y = При этом минимум достигается y Î [0,] y =, то есть чистая оптимальная стратегия игрока y * = Прежде, чем перейти к следующим действиям, найдем V = max min H(x, y xî[0,]y Î[0,] Так как в этой задаче функция Н(х,у является выпуклой функцией и по переменной y, то минимум по этой переменной достигается в стационарной точке y ~, если она принадлежит области изменения переменной y, или на концах отрезка [0,] x * = Найдем стационарную точку: H у (x, y = x(y - = 0 Þ y~ Î[0,] Тогда, = f (x = min (x(y- + x = x при x Î [0,] y Î [ 0,] Таким образом, V = max f (x =, и достигается максимум в точке xî[0,] Так как V = V, то рассматриваемая игра имеет решение в чистых стратегиях, которое определяется тремя величинами: значением игры V=, оптимальной стратегией игрока x * = и оптимальной стратегией игрока y * = П р и м е р Рассмотрим игру на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х,у =-(х-у +y 6

17 В данном примере H уу (x, y = > 0, поэтому игра с функцией выигрыша является строго выпуклой есть В выпуклой игре значение игры совпадает с верхним значением игры, то V = V Находится значение игры по формуле: V = min max (-(x- y Î[ 0,] xî[ 0,] y + y Так как в этой задаче Н(х,у является вогнутой функцией по переменной x, то максимум по этой переменной достигается в стационарной точке x~ = y, поскольку она принадлежит области изменения переменной x при 0 j( y = max (-(x- y + y = y xî[ 0,] Тогда, значение игры V = min j(y =0 При этом минимум достигается y Î [0,] y =, то есть чистая оптимальная стратегия игрока y * = 0 Найдем V = max min H(x, y xî[0,]y Î[0,] Так как рассматриваемая функция Н(х,у является выпуклой функцией по переменной y, то минимум по этой переменной достигается в стационарной точке y ~, если она принадлежит области изменения переменной y, или на концах отрезка [0,] f (x Найдем стационарную точку: 7 H у (x, y = (x - y + y = 0 Þ y~ -x Ï[0,] Поэтому min (-(x - y [ 0,] = {- (x , -(x- + } = + y = min или y Î

18 {- x,-x + x + } = x f (x = min - при x Î [0,] x * = Таким образом, V = max f (x = 0, и достигается максимум в точке xî[0,] 0 Так как V = V, то рассматриваемая игра имеет решение в чистых стратегиях, которое определяется тремя величинами: значением игры V=0, оптимальной стратегией игрока x * = 0 и оптимальной стратегией игрока y * = 0 6 БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ Определение 6 Совокупность G i,i= k i,i= k = áx, H ñ, где X i - произвольные множества, а H : k i Xi R i= Õ - функции, называется бескоалиционной игрой k лиц При этом X i множество стратегий i-го игрока, Õ H k i= i : Xi R - функция выигрыша i-го игрока x H Определение 7 Ситуация ( x *,x*,,xk*, где * Î X, x* ÎX,,xk* ÎXk, называется приемлемой для i-го игрока, если (x *,x *,,x *,,x * H((x *,x 8 *,,x,,x i i k ³ i k для всех i i * x Î X Таким образом, i-й игрок в приемлемой для себя ситуации не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию Определение 8 Ситуация ( x *,x*,,xk*, где x * Î X, x* ÎX,,xk* ÎXk, называется равновесной, если она является приемлемой для всех игроков

19 Решить бескоалиционную игру в чистых стратегиях означает найти равновесные ситуации игры и выигрыши всех игроков в этих ситуациях 7 БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Рассмотрим конечные бескоалиционные игры двух лиц Пусть в такой игре игрок имеет m чистых стратегий, а игрок n стратегий Тогда эти стратегии можно перенумеровать, используя для этого номера i=, m, j=,,n Теперь ситуация определяется выбором номеров i и j Пусть в ситуации (i,j игрок получает выигрыш a(i,j, а игрок выигрыш b(i,j Тогда значения обеих функций выигрыша игроков естественно представить в виде пары матриц æa a a a = èam a n mn ö ø n A и æb b b b = èbm b n mn ö ø n B Такие игры называются биматричными Биматричная игра однозначно задается матрицами выигрышей А и В Строки матриц соответствуют чистым стратегиям -го игрока, а столбцы матриц - чистым стратегиям -го игрока Далее биматричную игру будем обозначать Г (А,В О п р е д е л е н и е 9 Ситуация i*, j* (, где i* Î,m, j* Î, n, называется приемлемой для -го игрока в игре Г (А,В, если a i* j* ³ aij* для всех iî, m О п р е д е л е н и е 0 Ситуация i*, j* (, где i* Î,m, j* Î, n, называется приемлемой для -го игрока в игре Г (А,В, если b ³ b для всех jî, n i*j* i* j О п р е д е л е н и е Ситуация i*, j* (, где i* Î,m, j* Î, n 9, называется

20 равновесной в игре Г (А,В, если она является приемлемой для обоих игроков П р и м е р Решим биматричную игру Г(А,В в чистых стратегиях, если æ 8 ö æ ö A = и = è 7 6 ø è 9 7 ø B В каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент Эти элементы подчеркнуты в матрице A Их положение соответствует приемлемым ситуациям -го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию, или соответственно Это ситуации (,, (, и (, Затем в каждой строке матрицы B выберем наибольший элемент Эти элементы подчеркнуты в матрице B Их положение будет определять приемлемые ситуации -го игрока, когда первый игрок выбрал стратегию или соответственно Ими являются ситуации (,, (, Таким образом, найдены две равновесные ситуации (, и (, Эти ситуации оказались приемлемыми для обоих игроков В равновесной ситуации (, игрок выигрывает 8 единиц, а игрок - единицы В равновесной ситуации (, игрок выигрывает 7 единиц, а второй игрок 9 единиц Если биматричная игра не имеет равновесных ситуаций в чистых стратегиях, то она неразрешима в чистых стратегиях И тогда можно искать решение в смешанных стратегиях 7 РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНОЙ ИГРЫ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ Смешанными стратегиями в биматричных играх естественно считать, как и в матричных играх, векторы, задающие распределение вероятностей на множестве стратегий -го и -го игроков соответственно 0

21 Пусть смешанная стратегия -го игрока есть вектор р=(p, p m, где m åp i =, pi ³ 0, i =, m, а смешанная стратегия -го игрока вектор i= q=(q,,q n, где å n q j =, q j ³ 0, i =, n j= Тогда в ситуации (p,q выигрыши игроков есть математические ожидания их выигрышей m n H(p,q = ååai, jpiq j = (p,aq и (p,q ååb i= j= = m n H i, jpiq j = (p,bq i= j= О п р е д е л е н и е Ситуация (p*,q* в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной в смешанных стратегиях, если ì(p * Aq* î(p*, Bq* ³ (pa,q* ³ (p*, Bq для всех pî P, q ÎQ Сформулируем теорему, которая облегчит поиск равновесных ситуаций Теорема 9 Ситуация (p*,q* в биматричной игре Г(А,В является равновесной тогда и только тогда, когда ïì (p*,aq* ³ (Ai,q* j ïî (p*,bq* ³ (p*,b для всех iî,m, jî, n 7 РЕШЕНИЕ -БИМАТРИЧНЫХ ИГР Анализ - биматричных игр проводится путем составления точного

22 описания множеств ситуаций, приемлемых для каждого из игроков (это описание проводится на геометрическом языке, но, очевидно, могло бы быть представлено и в чисто алгебраическом виде, и нахождения пересечения этих двух множеств В принципе этот способ описания ситуаций равновесия мог бы быть применен и к биматричным играм произвольного формата Рассмотрим биматричную игру Г(А,В с матрицами выигрышей игроков æa a ö æb b ö A = и = èa a ø èb b ø B Здесь игроки имеют по две чистых стратегии Опишем порознь множества приемлемых ситуаций для каждого из игроков, изобразим эти множества геометрически на единичном квадрате ситуаций, а затем найдем их пересечение Начнем с описания ситуаций, приемлемых в игре Г(А,В для игрока Множество всех ситуаций, приемлемых для игрока в этой игре, состоит из всех ситуаций (p,q, для которых выполняется система неравенств ( i p,aq ³ (A,q для iî, Будем рассматривать случаи, соответствующие тому или иному спектру стратегии p Пусть спектру смешанной стратегии p принадлежит только первая чистая стратегия, то есть supp p ={} Тогда p =, p =0 Отсюда следует, что приемлемые ситуации (p,q, где p=(,0 удовлетворяют равенству ( p,aq = (A,q и неравенству p,aq ³ (A,q Получаем ( A,q ³ (A,q или (

23 ì ïa ïî q q + q + a = q ³ a Пусть теперь supp p ={} Тогда p =0, p = Отсюда следует, что в этом случае для приемлемых ситуаций первого игрока должно выполняться равенство ( p,aq (A,q Теперь перейдем к описанию ситуаций, приемлемых в игре Г (А,В для q + a q = и неравенство p,aq ³ (A,q Отсюда, получаем ( A,q ³ (A,q или ì ïa ïî q q + q + a = q ³ a q ( Пусть supp p ={,} Тогда 0<p <, 0<p <, и по свойству дополняющей нежесткости должно выполняться точное равенство при i=, То есть должны выполняться равенство ( p,aq = (A,q и равенство ( p,aq = (A,q Отсюда, ì ïa ïî q q + q + a = q = a q Подчеркнем, что эти условия приемлемости никак не связаны с матрицей В - матрицей выигрышей игрока Поэтому они будут одинаковыми для всех биматричных игр с одной и той же матрицей выигрышей игрока Каждая ситуация в смешанных стратегиях в -биматричной игре геометрически представляется как точка на единичном квадрате (ситуации в чистых стратегиях суть вершины этого квадрата Множество всех приемлемых для игрока ситуаций в игре Г(A,B есть либо трехзвенный (возможно, вырожденный зигзаг, либо же квадрат всех ситуаций + a q + a q

24 игрока Множество всех ситуаций, приемлемых для игрока в этой игре, состоит из всех ситуаций (p,q, для которых выполняется система неравенств j (p,bq ³ (p,b для jî, Будем рассматривать случаи, соответствующие тому или иному спектру стратегии q Пусть supp q ={} Тогда q =, q =0 Отсюда следует, что в этом случае приемлемая для -го игрока ситуация должна удовлетворять равенству (p,bq = (p,b и неравенству (p,bq ³ (p,b Отсюда, получаем (p,b ³ (p,b или ì ïb ïî p p + p + b = p ³ b 5 Пусть supp q ={} Тогда q =0, q = Отсюда следует, что для приемлемой ситуации должно выполняться равенство (p,bq = (p,b и неравенство ì ïb ïî p (p,bq ³ (p,b Отсюда, получаем (p,b ³ (p,b или p + p + b = p ³ b p + b p 6 Пусть supp q ={,} Тогда 0<q <, 0<q <, и по свойству дополняющей нежесткости должно выполняться точное равенство при i=, Отсюда следует, что должно выполняться равенство (p,bq = (p,b и равенство (p,bq = (p,b p + b p

25 Отсюда, ì ïb ïî p p + p + b = p = b p Множество всех приемлемых для игрока ситуаций в игре Г(A,B есть либо трехзвенный (возможно, вырожденный зигзаг, либо же квадрат всех ситуаций + b p 7 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ -БИМАТРИЧНОЙ ИГРЫ П р и м е р Найдем все равновесные ситуации в биматричной игре, задаваемой матрицами æ 6ö æ6 ö A =, = è ø è 8 ø B В чистых стратегиях для -го игрока приемлемыми являются ситуации (, и (,, а для второго (, и (, Так как при этом ситуаций, приемлемых одновременно для обоих игроков нет, то игра не имеет решение в чистых стратегиях Рассмотрим обобщение этой игры на случай смешанных стратегий Найдем ситуации, приемлемые для -го игрока Приемлемыми для игрока являются все ситуации (p,q, для которых выполняется система неравенств ( i pa,q ³ (A,q для, iî ( а Пусть p =, p = 0, тогда A pa = и система ( приобретает вид æ(a è(a,q = (A,q ³ (A,q,q Для заданной матрицы A получаем, ( 5

26 æ(a è(a ìq + 6q ³ q îq + q = Þ ì - 6q ³ -5 î q + q = Þ + q ì ïq ï îq Þ ì q + 6( - q î q + q = q = б Пусть p = 0, p =, тогда A,q ³ (A,q = (A,q,q выписать решение в данном случае ³ q + ( - q Þ pa = и система ( приобретает вид Используя решение, полученное для системы (, можно ì ïq ï îq 5 ³ 6 + q = с Пусть 0 < p <, 0 < p <, Тогда по теореме о дополняющей нежесткости получаем ì(pa,q = (A î(pa,q = (A,q,q Отсюда, ( A,q = (A,q, и 5 q = 6 И так, множество всех приемлемых для игрока ситуаций в данной игре есть трехзвенный зигзаг, изображенный на рисунке Теперь найдем ситуации, приемлемые для -го игрока Приемлемыми для игрока являются все ситуации (p,q, для которых выполняется система неравенств j (p,bq ³ (p,b для, jî (5 6

27 Рисунок - Изображение приемлемых ситуаций а Пусть =, q 0, тогда q = Bq = B и система (5 приобретает вид ïì (p,b ïî (p,b Для заданной матрицы B получаем, ì6p + p ³ p îp + p = Þ ì 8p ³ 6 î p + p = Þ + 8p ì ïp ï îp 7 = (p,b ³ (p,b Þ ì 6p + ( - p î p + p = ³ + p б Пусть q = 0, q =, тогда ïì (p,b ïî (p,b ³ (p,b = (p,b = ³ p + 8( - p Bq = B и система (5 приобретает вид Используя результат, полученный в предыдущем пункте, получим ìp + 8p ³ 6p îp + p = + p Þ ì ïp ï îp + p с Пусть 0 < q <, 0 < q <, Тогда по теореме о дополняющей =

28 нежесткости получаем ïì (p,bq = (p,b ïî (p,bq = (p,b Отсюда, (p,b (p,b = Þ p = Множество всех приемлемых для игрока ситуаций в данной игре изображено на рисунке вторым трехзвенным зигзагом Равновесные ситуации отвечают точкам пересечения этих двух трехзвенных зигзагов В данном случае они пересекаются в одной точке соответствует ситуации (p*,q*, где p*=(,, q*=( 5, 6 6 ì ï p ï q î = 5 = 6, что Выигрыш игрока в равновесной ситуации H (p*,q* = (p*,aq* = (p*a,q* = ååaijpiq j= i= j= = = , выигрыш игрока в равновесной ситуации H (p*,q* = (p*b,q* = ååbijpiq j= i= j= = =

29 8 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей функцией выигрыша: H(x,y=ax +(x-y Значения параметра а приведены в таблице Таблица Варианты задания Номер варианта Значение параметра a - -/ / / - - -/ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей функцией выигрыша: H(x,y= -(x-y +ay Значения параметра а даны в таблице Таблица - Варианты задания Номер варианта Значение параметра a - -/ / / - - -/ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей функцией выигрыша: H(x,y= -a(x-y +by Значения параметров а и b приведены в таблице Таблица - Варианты задания Номер варианта Значение параметра a - -/ / / - -/ Значение параметра b / -/ / - -/ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей 9

30 функцией выигрыша: H(x, y ïì - (x + a = ï î - (x + e + b(y - c + f (y - k + d, + l, x y, x ³ y Значения параметров даны в таблице Таблица - Варианты задания Значения параметров Номер варианта a b c d e f k l / 5/ 0 -/ 7/ 0 -/ / 0 -/ / 0 З а д а н и е 5 Найдите при всех значениях l решение биматричной игры Г(А,В в чистых стратегиях Варианты матриц и параметров b, c даны в таблицах 5,6 Для определения вариантов матриц и параметров b, c необходимо номер своего варианта N представить в виде N=k+l+9m Тогда, k определяет вариант матриц А и В, l вариант параметра b, m - вариант параметра с Таблица 5 - Варианты задания 5 Номер варианта Параметр b Параметр с 0 l- l+ l l- l+ l+ 0

31 Таблица 6 - Варианты матриц в задании 5 Номер варианта Матрица А Матрица В 0 ø ö è æl 6 5 c b ø ö è æ 5 b c ø ö è æ l l 6 5 c ø ö è æ l b c b ø ö è æ l b c b ø ö è æ l l 5 c Литература Воробьев НН Теория игр для экономистов-кибернетиков М: Наука, 985 Оуэн Г Теория игр Изд-во: Едиториал УРСС, 00 Дюбин ГН, СуздальВГ Введение в прикладную теорию игр М: Наука, 98 Дегтярев ЮИ Исследование операций М: Высш шк, 986 Гусаков СВ, Землянухина ЛН, Зинченко АБ, Сантылова ЛИ Линейное программирование и смежные вопросы Части 5,7: Методические указания Ростов-на-Дону: РГУ, 00 5 Морозов ВВ, Сухарев АГ, Федоров ВВ Исследование операций в задачах и упражнениях М: Высш шк, 986

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания.

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. 1. Матричная игра с матрицей Вариант 1. 1 1 0 А = 0 0 2 имеет седловую

Подробнее

Биматричные игры. Решение игр 2 2

Биматричные игры. Решение игр 2 2 Биматричные игры Решение игр 2 2 Будем рассматривать 2 2 биматричную игру с матрицами выигрышей a a A = 2 b b, B = 2 a 2 a 22 b 2 b 22 Матрица A описывает выигрыши первого игрока, B, соответственно, второго

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» САНТЫЛОВА Л.И., ГУСАКОВ C.В., ЗЕМЛЯНУХИНА Л.Н. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

Элементы выпуклого анализа

Элементы выпуклого анализа Глава 1 Элементы выпуклого анализа Здесь мырассмотрим некоторые элементывыпуклого анализа, которые будут необходимы при описании методов анализа гибкости ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа.

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа. Теория игр 2012-2013 уч. год Матричная игра это частный случай антагонистической игры, при котором обязательно выполняется одно из требований: один из игроков имеет бесконечное число стратегий. оба игрока

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ . ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Курс "Теория игр" является составной частью исследования операций и относится к циклу дисциплин, формирующих профессиональный уровень экономиста-математика. Теория игр дает формальный

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часа. 4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю)

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часа. 4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) I. Аннотация 1. Цель и задачи дисциплины Целями и задачами освоения дисциплины являются: ознакомление студентов с теоретическими и практическими основами построения и анализа моделей теории игр и исследования

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ. Россия, , г. Москва, ул. Лосиноостровская,49;

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ. Россия, , г. Москва, ул. Лосиноостровская,49; 2006 Математика в высшем образовании 4 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ УДК 519.8 СИСТЕМА ЗАДАЧ ДЛЯ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Л. Н. Посицельская 1, С. В. Злобина

Подробнее

С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 9

С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 9 Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по

Подробнее

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Конечное число стратегий Конечное число стратегий оптимальные стратегии

Подробнее

2. Симметричная каноническая форма

2. Симметричная каноническая форма 2. Симметричная каноническая форма... Свойство оптимальных решений задач линейного программирования (2.)-(2.2).... 3 Экономическая интерпретация задач линейного программирования (2.) и (2.2)... 3 Основное

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где Сер. 10. 013. Вып. 1 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УДК 539.75 Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти inf

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 2 Лагранжева теория двойственности 1. Определения 2. Теорема о седловой точке 3. Линейное программирование 4. Теория двойственности линейного программирования -1- Лагранжева теория двойственности

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

2 Качественная теория ЗЛП

2 Качественная теория ЗЛП 2 Качественная теория ЗЛП 2.1 Выпуклость в линейном программировании По графическим изображениям 1.3 1.5 явно видно, что для допустимых областей X рассматриваемых ЗЛП характерна многогранная структура.

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Саратовский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского И.А. Кузнецова, Н.В. Сергеева РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ Учебно-методическое пособие для студентов механико-математического

Подробнее

Л.И. Сантылова. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ Методические указания. РУКОВОДСТВО ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Часть 1

Л.И. Сантылова. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ Методические указания. РУКОВОДСТВО ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Часть 1 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» Л.И. Сантылова МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ Методические указания РУКОВОДСТВО ПО

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ Г.С. Курганская Иркутский государственный университет, Облачные технологии стали уже общепринятым инструментом работы в Интернет. В основном, это относится

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые

Подробнее

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 3.. Задача математического программирования В предыдущей главе мы познакомились с линейным программированием. Приведенные примеры показывают что многие практические

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Часть 1. Бескоалиционные игры в нормальной форме. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К В Григорьева Методические указания Часть Бескоалиционные игры в нормальной форме Факультет ПМ-ПУ СПбГУ г ОГЛАВЛЕНИЕ ЗАНЯТИЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ ИГР КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР ИГРА В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ РАВНОВЕСИЕ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

А.В. Абанин, Д.А. Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ

БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет К В ГРИГОРЬЕВА БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ Часть Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа)

Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа) 1 Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа) Аннотация Обязательный курс для магистров 2-го года, обучающихся по программе "Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

РЕФЛЕКСИВНЫЙ АНАЛИЗ БИМАТРИЧНЫХ ИГР КАК РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА В МОДЕЛЯХ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ

РЕФЛЕКСИВНЫЙ АНАЛИЗ БИМАТРИЧНЫХ ИГР КАК РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА В МОДЕЛЯХ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ РЕФЛЕКСИВНЫЙ АНАЛИЗ БИМАТРИЧНЫХ ИГР КАК РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫБОРА В МОДЕЛЯХ ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ В. В. Карюкин, Ф. С. Чаусов ВУНЦ «Военноморская академия», профессор, доктор физикоматематических наук ВУНЦ «Военноморская

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ. В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов 2 Оглавление Введение 5 1 Нелинейная оптимизация 9 1.1 Постановка задачи оптимизации. Основные понятия и определения................

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ЛЕКЦИЯ 11 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ На прошлой лекции были рассмотрены методы решения нелинейных уравнений Были рассмотрены двухточечные методы, которые используют локализацию корня,

Подробнее

ИГРЫ С ПРИРОДОЙ Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей

ИГРЫ С ПРИРОДОЙ Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей Министерство сельского хозяйства РФ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет» Кафедра математического

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

9. Сбалансированные игры

9. Сбалансированные игры 1 9. Сбалансированные игры 1. Непустота ядра. Игры с непустым ядром представляют явную ценность для практических целей, поскольку могут быть учтены запросы каждой коалиции, каждой группы интересов. Если

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ EXCEL В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ И ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ СВОЙСТВ ВЕКТОРА ШЕПЛИ НЕЧЕТКОЙ КОАЛИЦИИ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ EXCEL В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ И ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ СВОЙСТВ ВЕКТОРА ШЕПЛИ НЕЧЕТКОЙ КОАЛИЦИИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ EXCEL В ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОМ И ТЕОРЕТИЧЕСКОМ ИССЛЕДОВАНИИ СВОЙСТВ ВЕКТОРА ШЕПЛИ НЕЧЕТКОЙ КОАЛИЦИИ Авторы: Сантылова Л.И., Землянухина Л.Н., Киселев П.В. Южный федеральный университет, факультет

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию РФ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса И.В. ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ ИГР Учебная программа

Подробнее

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x

1. Производная Рассмотрим график непрерывной функции секущая графика. будем называть касательной. в точке x Лекция: Основы дифференциального исчисления Конспект лекции. Производная Рассмотрим график непрерывной функции на отрезке b M M секущая графика. Тогда тангенс угла наклона секущей. Предельное положение

Подробнее