Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов специальности «Математические методы в экономике» ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Ростов-на-Дону 006

2 Методические указания печатаются по решению кафедры исследования операций механико-математического факультета РГУ: протокол от г Научный редактор: зав каф исследования операций, дтн, профессор Жак СВ Ответственный за выпуск: старший преподаватель Гусаков СВ

3 СОДЕРЖАНИЕ Бесконечные антагонистические игры Выпуклые игры на единичном квадрате 7 Чистые оптимальные стратегии игрока 7 Оптимальные стратегии игрока 8 Общая схема решения выпуклых игр на единичном квадрате 9 Строго выпуклые игры 0 Вогнутые игры на единичном квадрате 0 Чистые оптимальные стратегии игрока Оптимальные стратегии игрока Общая схема решения вогнутых игр на единичном квадрате 5 Примеры решения выпуклой игры на единичном квадрате 6 Бескоалиционные игры 8 7 Биматричные игры 9 7 Решение биматричной игры в смешанных стратегиях 0 7 Решение -биматричных игр 7 Примеры решения -биматричных игр 5 8 Индивидуальные задания 9 Литература

4 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ Определение Тройка множества, а H :X Y R G = áx,y, Hñ, где X,Y- произвольные - функция, называется антагонистической игрой При этом X множество стратегий -го игрока, Y множество стратегий -го игрока, H :X Y R - функция выигрыша -го игрока или проигрыша -го Определение Антагонистическую игру называют бесконечной, если хотя бы у одного из двух игроков бесконечное множество стратегий Остановимся на специальном классе бесконечных антагонистических игр, называемых играми на единичном квадрате О п р е д е л е н и е Если в антагонистической игре X=[0,], Y=[0,], то игра называется антагонистической игрой на единичном квадрате Далее будем рассматривать непрерывные игры на единичном квадрате, предполагая непрерывность функции выигрыша H (x, y в квадрате [0,] [0,] Замечание Ясно, что все теоретико-игровые утверждения, относящиеся к играм на единичном квадрате, могут быть перенесены на игры, в которых пространствами чистых стратегий игроков являются произвольные сегменты Процесс разыгрывания игры состоит в том, что игроки независимо друг от друга выбирают соответственно стратегии x Î [ 0,] и yî [ 0,] складывается ситуация (х,у, дающая первому игроку выигрыш (x, y Определение Ситуация x*,y* При этом H (, где x* [ 0, ], y* Î[ 0,] называется приемлемой для первого игрока, если (x, y*} H(x*, y* Î, H для всех

5 x Î [ 0, ] Таким образом, -й игрок, оказавшись в приемлемой для себя ситуации, не может, изменив свою стратегию, увеличить свой выигрыш Определение 5 Ситуация x*,y* (, где x* [ 0, ], y* Î[ 0,] называется приемлемой для второго игрока, если (x*,y*} H(x*, y yî [ 0,] Î, H для всех Таким образом, -й игрок, оказавшись в приемлемой для себя ситуации, не может, меняя свою стратегию, уменьшить выигрыш противника О п р е д е л е н и е 6 Ситуация x*,y* (, где x* [ 0, ], y* Î[ 0,] Î, называется равновесной (а точка ( x*,y* седловой точкой функции H(x,y, если эта ситуация приемлема для обоих игроков То есть H для всех x Î[ 0,] и [ 0,] H (x, y*} (x*,y*} H(x*, y yî О п р е д е л е н и е 7 Максиминной чистой стратегией -го игрока называют точку х* Î [ 0,] y, для которой выполняется min H(x*,y = max min H(x,y = V Î[ 0,] xî[ 0,] yî[ 0,] Величина V называется нижним значением (нижней ценой игры Минимаксной чистой стратегией -го игрока называют точку y* Î [ 0,] которой выполняется max H(x, y* = min max H(x, y = V Î[ 0,] yî[ 0,] xî[ 0,] x, для Величина V называется верхним значением (верхней ценой игры 5

6 Непрерывная игра на единичном квадрате имеет решение в чистых стратегиях тогда и только тогда, когда V = V При этом пара ( x*,y* определяет равновесную ситуацию, а x * и y* чистые оптимальные стратегии первого и второго игроков соответственно Когда не существует оптимальное решение игры в чистых стратегиях, можно рассмотреть ее обобщение на случай смешанных стратегий Как и в случае конечных игр, смешанными стратегиями игроков в игре на единичном квадрате являются вероятностные распределения на множествах их чистых стратегий c функциями распределения P(x и Q(y соответственно Выигрыш первого игрока определяется как математическое ожидание H (P,Q = ò ò H(x, ydp(xdq(y x Î[0,] yî[0, ] При этом H (x,q = ò H(x, ydq(y, H(P, y = òh(x, ydp(x yî[0,] xî[0,] Определение 8 Ситуацию ( P*, Q* будем называть приемлемой для первого игрока, если H (P,Q* H (P*, Q* для всех функций распределения P(x Определение 9 Ситуацию ( P*, Q* будем называть приемлемой для второго игрока, если H (P*, Q* H(P*, Q для всех функций распределения Q(y О п р е д е л е н и е 0 Ситуацию ( P*, Q* будем называть равновесной, если она приемлема для обоих игроков При этом P * и Q * называют оптимальными смешанными стратегиями -го и -го игроков соответственно Значение игры (цена игры в смешанных стратегиях есть V = H(P*, Q* 6

7 Теорема Ситуация ( P*,Q* является равновесной в игре на единичном квадрате тогда и только тогда, когда H (x,q* (P*,Q* H(P*, y H для всех x Î [ 0,] и [ 0,] y Î Основная теорема В непрерывной антагонистической игре на единичном квадрате игроки всегда имеют оптимальные смешанные стратегии Частным случаем непрерывной антагонистической игры на единичном квадрате являются выпуклые игры на единичном квадрате Рассмотрим далее выпуклые игры на единичном квадрате, для которых достаточно просто решаются в смешанных стратегиях V ¹ V, но которые ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ О п р е д е л е н и е Непрерывная антагонистическая игра на единичном квадрате с функцией выигрыша H (x, y называется выпуклой, если функция Н(х, : [0,] R выпукла при любом значении x Î [ 0, ] Как и во всякой непрерывной игре на единичном квадрате, в выпуклой игре игроки имеют смешанные оптимальные стратегии Согласно принципу двойственности для антагонистических игр выпуклым играм соответствуют вогнутые в смысле следующего определения О п р е д е л е н и е Непрерывная игра на единичном квадрате с функцией выигрыша H(x, y называется вогнутой, если функция Н(, у: [0,] R вогнутая при любом значении y Î [ 0,] Далее познакомимся с теорией выпуклых игр ЧИСТЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Теорема В выпуклой игре на единичном квадрате игрок имеет чистые оптимальные стратегии Множество всех таких стратегий составляет сегмент 7

8 Чистой оптимальной стратегией -го игрока будет его минимаксная чистая стратегия y* Î [ 0,], для которой выполняется max H(x, y* = min max H(x, y = V, где V цена игры Î[ 0,] yî[ 0,] xî[ 0,] x ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Предположим, что функция (x, y отрезке [0,] при "xî[0,] H дифференцируема по переменной y на О п р е д е л е н и е Чистая стратегия х 0 называется точкой спектра смешанной стратегии P(x, если для любой измеримой окрестности w точки х 0 имеет место соотношение ò dp (x > 0 w Теорема Пусть V цена игры, и у* оптимальная стратегия игрока Если для чистой стратегии х 0 выполняется неравенство H(x 0, y * < V, то х 0 не принадлежит спектру какой-либо оптимальной стратегии игрока Согласно теореме спектру оптимальной смешанной стратегии -го игрока принадлежат только те чистые стратегии x, для которых H(x, y * = ( V Далее чистые стратегии х, удовлетворяющие ( будем называть существенными Теорема Пусть Г - выпуклая игра с функцией выигрыша Н(x,y, дифференцируемой по у при любом х у * чистая оптимальная стратегия игрока в этой игре, а V- ее значение (цена Тогда, 8

9 если у* = 0, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая H y ³ стратегиях', для которой (x,0 0; если у* =, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая стратегия х", для которой H y (x, 0; если 0 < y* < и игрок не имеет оптимальной чистой стратегии, то среди оптимальных стратегий игрока должна быть такая, которая является смесью двух существенных стратегий х' и H y (x, y* > 0; H y (x, y* < 0 х" Для этих стратегий При этом стратегии х' и х" употребляются с вероятностями a и -a, где a находится из уравнения a H y (x, y* + ( a H y (x, y* =0 ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛЫХ ИГР НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ Проверить функции H (x, на выпуклость Если эта функция задана аналитически и дважды дифференцируема, то естественно попытаться проверить неравенство H yy (x, y ³ 0 В некоторых случаях представляется целесообразным изобразить графики функций H (x, геометрически при различных значениях параметра x и проверить выпуклость Из соотношения V = найти чистую оптимальную y min max H(x, y Î[ 0,] xî[ 0,] стратегию -го игрока у* как значение переменного, на котором достигается 9

10 внешний минимум, и цену игры Найти V = V как значение этого минимума V = max min H(x, y Если получим V ¹ V xî[ 0,] yî[ 0,], то переходим на пункт, иначе найдено решение игры в чистых стратегиях: x*, у* - оптимальные стратегии игроков, V значение (цена игры При этом x* - значение переменной x, на котором достигается внешний максимум H(x, y Найти существенные стратегии первого игрока, решив уравнение * = V Составить пары х' и H y (x, y* > 0; H y (x, y* < 0 х" из полученных решений, для которых 5 Для каждой найденной пары х и х" составить уравнение и найти его решение a* a H y (x, y* + ( a H y (x, y* =0 СТРОГО ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ О п р е д е л е н и е Непрерывная антагонистическая игра Г на единичном квадрате называется строго выпуклой, если ее функция выигрыша Н(х, у строго выпукла по у при любом значении х Теорема 5 В строго выпуклой игре Г игрок имеет единственную оптимальную стратегию, которая является чистой ВОГНУТЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ Согласно принципу двойственности для антагонистических игр выпуклым играм соответствуют вогнутые в смысле следующего определения О п р е д е л е н и е 5 Непрерывная игра на единичном квадрате с функцией 0

11 выигрыша H(x, y называется вогнутой, если функция Н(, y: [0,] R вогнута при любом значении y Î [ 0,] Очевидно, теория вогнутых игр будет двойственной к теории выпуклых игр, и ее положения получаются естественным образом из соответствующих положений теории выпуклых игр Как и во всякой непрерывной игре на единичном квадрате, в вогнутой игре игроки всегда имеют смешанные оптимальные стратегии ЧИСТЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Теорема 6 В вогнутой игре на единичном квадрате игрок имеет чистые оптимальные стратегии Множество всех таких стратегий составляет сегмент Чистой оптимальной стратегией -го игрока будет его максиминная чистая стратегия x* Î [ 0,], для которой выполняется V = max min H(x, y, где V цена игры xî[ 0,] yî[ 0,] ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА Предположим, что функция (x, y H дифференцируема по переменной x на отрезке [0,] при "yî[0,] О п р е д е л е н и е 6 Чистая стратегия y 0 называется точкой спектра смешанной стратегии Q(x, если для любой измеримой окрестности w точки y 0 имеет место соотношение òdq (y > 0 w Теорема 7 Пусть V цена игры, и x* оптимальная стратегия игрока Если для чистой стратегии y 0 выполняется неравенство

12 H(x *, y 0 > V, то y 0 не принадлежит спектру какой-либо оптимальной стратегии игрока Согласно теореме спектру оптимальной смешанной стратегии -го игрока принадлежат только те чистые стратегии y, для которых H (x*, y = V ( Далее чистые стратегии y, удовлетворяющие ( будем называть существенными Теорема 8 Пусть Г - вогнутая игра с функцией выигрыша Н(x,y, дифференцируемой по x при любом yî[0,], x* чистая оптимальная стратегия игрока в ней, V- значение игры Тогда: если x* = 0, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая стратегия y', для которой H x (0,y 0; 5если x* =, то среди оптимальных стратегий игрока имеется чистая стратегия y", для которой H x (, y ³ 0; 6если 0 < x* < и игрок не имеет чистую оптимальную стратегию, то среди оптимальных стратегий игрока найдется такая, которая является смесью двух существенных стратегий y' и y" Для этих стратегий * x > H (x, y 0; H x (x*, y < 0 При этом стратегии y' и y" употребляются с вероятностями a и -a соответственно, и a находится из уравнения * x a H (x, y + ( a H x (x*, y =0

13 ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ВОГНУТЫХ ИГР НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ Проверить функции Н(, у на вогнутость Если эта функция задана аналитически и дважды дифференцируема, то естественно попытаться проверить неравенство H xx (x,y 0 В некоторых случаях представляется целесообразным изобразить графики функций Н(, у при различных значениях параметра y и проверить вогнутость геометрически Из соотношения V = найти чистую оптимальную x max min H(x, y Î[ 0,] yî[ 0,] стратегию -го игрока x* как значение переменного, на котором достигается внешний максимум, и цену игры V=V как значение этого максимума Найти V = min max H(x, y Если получим V ¹ V yî[ 0,] xî[ 0,], то переходим на пункт В противном случае алгоритм завершен, так как найдено решение игры в чистых стратегиях: x*, у* - оптимальные стратегии игроков, V значение (цена игры При этом y* - значение переменной y, на котором достигается внешний минимум Решить уравнение (x*, y V H = Составить из полученных решений пары y' и H x (x*, y > 0; H x (x*, y < 0 y", для которых Для каждой найденной пары y' и y" составить уравнение a H x (x*,y + ( a H x (x*, y =0 и найти его решение a*

14 5 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛОЙ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ П р и м е р Рассмотрим игру на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х,у = (х-у выпуклой есть Здесь H уу (x, y = > 0, поэтому данная игра является строго В выпуклой игре значение игры совпадает с верхним значением игры, то V = V Находится значение игры по формуле: V = min max (x- y yî[ 0,] xî[ 0,] Так как в этой задаче Н(х,у является выпуклой по переменной x, то максимум по этой переменной достигается на одном из концов отрезка [0,] и равен { } j( y = max (x - y = max (0- y,(- y xî[ 0,] = ì ï ï î ( - y,если y Î[0, ], y, если y Î[,] y = Значение игры V = min j(y =, и минимум достигается при y Î [0,] Таким образом, нашли значение игры оптимальную стратегию второго игрока y * = V = и единственную чистую Прежде, чем перейти к пункту, найдем V = max min H(x, y xî[0,]y Î[0,] Величина min (x - y = 0 yî[0,], так как x Î [0,] Следовательно, V = 0, и V¹ V Это означает, что игрок не имеет оптимальной чистой стратегии, и

15 нужно перейти к следующему пункту Перейдем к определению оптимальных стратегий игрока Поскольку здесь 0 < V = / <, то по классификации случаев из теоремы мы имеем дело со случаем уравнение Найдем существенные чистые стратегии игрока Для этого решим стратегии х'=0 и (x - y* = V или (x = х"= При этом, H y (x, y* = > 0; Составим уравнение - Получим две существенные H y (x, y* = - 0 a H y (x, y* + ( a H y (x, y* =0 Получим a + ( a (- =0 и найдем a =/ Приходим к выводу: оптимальная стратегия игрока является вероятностной смесью его чистых существенных стратегий 0 и, которые он выбирает с вероятностями / П р и м е р Рассмотрим игру на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х,у =-x(y-/ +x В данном примере (x, y выигрыша является выпуклой есть H уу = x ³ 0 Поэтому игра с данной функцией В выпуклой игре значение игры совпадает с верхним значением игры, то V = V Находится значение игры по формуле: V = min max (x(y- Î[ 0,] xî[ 0,] y + x Так как в этой задаче Н(х,у является выпуклой функцией по переменной x, то максимум по этой переменной достигается на одном из 5

16 концов отрезка [0,] при j(y = max (x(y- Î[ 0,] x + x = { max 0,(y + } - = (y + - Тогда, значение игры V = min j(y = При этом минимум достигается y Î [0,] y =, то есть чистая оптимальная стратегия игрока y * = Прежде, чем перейти к следующим действиям, найдем V = max min H(x, y xî[0,]y Î[0,] Так как в этой задаче функция Н(х,у является выпуклой функцией и по переменной y, то минимум по этой переменной достигается в стационарной точке y ~, если она принадлежит области изменения переменной y, или на концах отрезка [0,] x * = Найдем стационарную точку: H у (x, y = x(y - = 0 Þ y~ Î[0,] Тогда, = f (x = min (x(y- + x = x при x Î [0,] y Î [ 0,] Таким образом, V = max f (x =, и достигается максимум в точке xî[0,] Так как V = V, то рассматриваемая игра имеет решение в чистых стратегиях, которое определяется тремя величинами: значением игры V=, оптимальной стратегией игрока x * = и оптимальной стратегией игрока y * = П р и м е р Рассмотрим игру на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х,у =-(х-у +y 6

17 В данном примере H уу (x, y = > 0, поэтому игра с функцией выигрыша является строго выпуклой есть В выпуклой игре значение игры совпадает с верхним значением игры, то V = V Находится значение игры по формуле: V = min max (-(x- y Î[ 0,] xî[ 0,] y + y Так как в этой задаче Н(х,у является вогнутой функцией по переменной x, то максимум по этой переменной достигается в стационарной точке x~ = y, поскольку она принадлежит области изменения переменной x при 0 j( y = max (-(x- y + y = y xî[ 0,] Тогда, значение игры V = min j(y =0 При этом минимум достигается y Î [0,] y =, то есть чистая оптимальная стратегия игрока y * = 0 Найдем V = max min H(x, y xî[0,]y Î[0,] Так как рассматриваемая функция Н(х,у является выпуклой функцией по переменной y, то минимум по этой переменной достигается в стационарной точке y ~, если она принадлежит области изменения переменной y, или на концах отрезка [0,] f (x Найдем стационарную точку: 7 H у (x, y = (x - y + y = 0 Þ y~ -x Ï[0,] Поэтому min (-(x - y [ 0,] = {- (x , -(x- + } = + y = min или y Î

18 {- x,-x + x + } = x f (x = min - при x Î [0,] x * = Таким образом, V = max f (x = 0, и достигается максимум в точке xî[0,] 0 Так как V = V, то рассматриваемая игра имеет решение в чистых стратегиях, которое определяется тремя величинами: значением игры V=0, оптимальной стратегией игрока x * = 0 и оптимальной стратегией игрока y * = 0 6 БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ Определение 6 Совокупность G i,i= k i,i= k = áx, H ñ, где X i - произвольные множества, а H : k i Xi R i= Õ - функции, называется бескоалиционной игрой k лиц При этом X i множество стратегий i-го игрока, Õ H k i= i : Xi R - функция выигрыша i-го игрока x H Определение 7 Ситуация ( x *,x*,,xk*, где * Î X, x* ÎX,,xk* ÎXk, называется приемлемой для i-го игрока, если (x *,x *,,x *,,x * H((x *,x 8 *,,x,,x i i k ³ i k для всех i i * x Î X Таким образом, i-й игрок в приемлемой для себя ситуации не может увеличить свой выигрыш, изменив свою стратегию Определение 8 Ситуация ( x *,x*,,xk*, где x * Î X, x* ÎX,,xk* ÎXk, называется равновесной, если она является приемлемой для всех игроков

19 Решить бескоалиционную игру в чистых стратегиях означает найти равновесные ситуации игры и выигрыши всех игроков в этих ситуациях 7 БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Рассмотрим конечные бескоалиционные игры двух лиц Пусть в такой игре игрок имеет m чистых стратегий, а игрок n стратегий Тогда эти стратегии можно перенумеровать, используя для этого номера i=, m, j=,,n Теперь ситуация определяется выбором номеров i и j Пусть в ситуации (i,j игрок получает выигрыш a(i,j, а игрок выигрыш b(i,j Тогда значения обеих функций выигрыша игроков естественно представить в виде пары матриц æa a a a = èam a n mn ö ø n A и æb b b b = èbm b n mn ö ø n B Такие игры называются биматричными Биматричная игра однозначно задается матрицами выигрышей А и В Строки матриц соответствуют чистым стратегиям -го игрока, а столбцы матриц - чистым стратегиям -го игрока Далее биматричную игру будем обозначать Г (А,В О п р е д е л е н и е 9 Ситуация i*, j* (, где i* Î,m, j* Î, n, называется приемлемой для -го игрока в игре Г (А,В, если a i* j* ³ aij* для всех iî, m О п р е д е л е н и е 0 Ситуация i*, j* (, где i* Î,m, j* Î, n, называется приемлемой для -го игрока в игре Г (А,В, если b ³ b для всех jî, n i*j* i* j О п р е д е л е н и е Ситуация i*, j* (, где i* Î,m, j* Î, n 9, называется

20 равновесной в игре Г (А,В, если она является приемлемой для обоих игроков П р и м е р Решим биматричную игру Г(А,В в чистых стратегиях, если æ 8 ö æ ö A = и = è 7 6 ø è 9 7 ø B В каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент Эти элементы подчеркнуты в матрице A Их положение соответствует приемлемым ситуациям -го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию, или соответственно Это ситуации (,, (, и (, Затем в каждой строке матрицы B выберем наибольший элемент Эти элементы подчеркнуты в матрице B Их положение будет определять приемлемые ситуации -го игрока, когда первый игрок выбрал стратегию или соответственно Ими являются ситуации (,, (, Таким образом, найдены две равновесные ситуации (, и (, Эти ситуации оказались приемлемыми для обоих игроков В равновесной ситуации (, игрок выигрывает 8 единиц, а игрок - единицы В равновесной ситуации (, игрок выигрывает 7 единиц, а второй игрок 9 единиц Если биматричная игра не имеет равновесных ситуаций в чистых стратегиях, то она неразрешима в чистых стратегиях И тогда можно искать решение в смешанных стратегиях 7 РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНОЙ ИГРЫ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ Смешанными стратегиями в биматричных играх естественно считать, как и в матричных играх, векторы, задающие распределение вероятностей на множестве стратегий -го и -го игроков соответственно 0

21 Пусть смешанная стратегия -го игрока есть вектор р=(p, p m, где m åp i =, pi ³ 0, i =, m, а смешанная стратегия -го игрока вектор i= q=(q,,q n, где å n q j =, q j ³ 0, i =, n j= Тогда в ситуации (p,q выигрыши игроков есть математические ожидания их выигрышей m n H(p,q = ååai, jpiq j = (p,aq и (p,q ååb i= j= = m n H i, jpiq j = (p,bq i= j= О п р е д е л е н и е Ситуация (p*,q* в биматричной игре с матрицами выигрышей А и В является равновесной в смешанных стратегиях, если ì(p * Aq* î(p*, Bq* ³ (pa,q* ³ (p*, Bq для всех pî P, q ÎQ Сформулируем теорему, которая облегчит поиск равновесных ситуаций Теорема 9 Ситуация (p*,q* в биматричной игре Г(А,В является равновесной тогда и только тогда, когда ïì (p*,aq* ³ (Ai,q* j ïî (p*,bq* ³ (p*,b для всех iî,m, jî, n 7 РЕШЕНИЕ -БИМАТРИЧНЫХ ИГР Анализ - биматричных игр проводится путем составления точного

22 описания множеств ситуаций, приемлемых для каждого из игроков (это описание проводится на геометрическом языке, но, очевидно, могло бы быть представлено и в чисто алгебраическом виде, и нахождения пересечения этих двух множеств В принципе этот способ описания ситуаций равновесия мог бы быть применен и к биматричным играм произвольного формата Рассмотрим биматричную игру Г(А,В с матрицами выигрышей игроков æa a ö æb b ö A = и = èa a ø èb b ø B Здесь игроки имеют по две чистых стратегии Опишем порознь множества приемлемых ситуаций для каждого из игроков, изобразим эти множества геометрически на единичном квадрате ситуаций, а затем найдем их пересечение Начнем с описания ситуаций, приемлемых в игре Г(А,В для игрока Множество всех ситуаций, приемлемых для игрока в этой игре, состоит из всех ситуаций (p,q, для которых выполняется система неравенств ( i p,aq ³ (A,q для iî, Будем рассматривать случаи, соответствующие тому или иному спектру стратегии p Пусть спектру смешанной стратегии p принадлежит только первая чистая стратегия, то есть supp p ={} Тогда p =, p =0 Отсюда следует, что приемлемые ситуации (p,q, где p=(,0 удовлетворяют равенству ( p,aq = (A,q и неравенству p,aq ³ (A,q Получаем ( A,q ³ (A,q или (

23 ì ïa ïî q q + q + a = q ³ a Пусть теперь supp p ={} Тогда p =0, p = Отсюда следует, что в этом случае для приемлемых ситуаций первого игрока должно выполняться равенство ( p,aq (A,q Теперь перейдем к описанию ситуаций, приемлемых в игре Г (А,В для q + a q = и неравенство p,aq ³ (A,q Отсюда, получаем ( A,q ³ (A,q или ì ïa ïî q q + q + a = q ³ a q ( Пусть supp p ={,} Тогда 0<p <, 0<p <, и по свойству дополняющей нежесткости должно выполняться точное равенство при i=, То есть должны выполняться равенство ( p,aq = (A,q и равенство ( p,aq = (A,q Отсюда, ì ïa ïî q q + q + a = q = a q Подчеркнем, что эти условия приемлемости никак не связаны с матрицей В - матрицей выигрышей игрока Поэтому они будут одинаковыми для всех биматричных игр с одной и той же матрицей выигрышей игрока Каждая ситуация в смешанных стратегиях в -биматричной игре геометрически представляется как точка на единичном квадрате (ситуации в чистых стратегиях суть вершины этого квадрата Множество всех приемлемых для игрока ситуаций в игре Г(A,B есть либо трехзвенный (возможно, вырожденный зигзаг, либо же квадрат всех ситуаций + a q + a q

24 игрока Множество всех ситуаций, приемлемых для игрока в этой игре, состоит из всех ситуаций (p,q, для которых выполняется система неравенств j (p,bq ³ (p,b для jî, Будем рассматривать случаи, соответствующие тому или иному спектру стратегии q Пусть supp q ={} Тогда q =, q =0 Отсюда следует, что в этом случае приемлемая для -го игрока ситуация должна удовлетворять равенству (p,bq = (p,b и неравенству (p,bq ³ (p,b Отсюда, получаем (p,b ³ (p,b или ì ïb ïî p p + p + b = p ³ b 5 Пусть supp q ={} Тогда q =0, q = Отсюда следует, что для приемлемой ситуации должно выполняться равенство (p,bq = (p,b и неравенство ì ïb ïî p (p,bq ³ (p,b Отсюда, получаем (p,b ³ (p,b или p + p + b = p ³ b p + b p 6 Пусть supp q ={,} Тогда 0<q <, 0<q <, и по свойству дополняющей нежесткости должно выполняться точное равенство при i=, Отсюда следует, что должно выполняться равенство (p,bq = (p,b и равенство (p,bq = (p,b p + b p

25 Отсюда, ì ïb ïî p p + p + b = p = b p Множество всех приемлемых для игрока ситуаций в игре Г(A,B есть либо трехзвенный (возможно, вырожденный зигзаг, либо же квадрат всех ситуаций + b p 7 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ -БИМАТРИЧНОЙ ИГРЫ П р и м е р Найдем все равновесные ситуации в биматричной игре, задаваемой матрицами æ 6ö æ6 ö A =, = è ø è 8 ø B В чистых стратегиях для -го игрока приемлемыми являются ситуации (, и (,, а для второго (, и (, Так как при этом ситуаций, приемлемых одновременно для обоих игроков нет, то игра не имеет решение в чистых стратегиях Рассмотрим обобщение этой игры на случай смешанных стратегий Найдем ситуации, приемлемые для -го игрока Приемлемыми для игрока являются все ситуации (p,q, для которых выполняется система неравенств ( i pa,q ³ (A,q для, iî ( а Пусть p =, p = 0, тогда A pa = и система ( приобретает вид æ(a è(a,q = (A,q ³ (A,q,q Для заданной матрицы A получаем, ( 5

26 æ(a è(a ìq + 6q ³ q îq + q = Þ ì - 6q ³ -5 î q + q = Þ + q ì ïq ï îq Þ ì q + 6( - q î q + q = q = б Пусть p = 0, p =, тогда A,q ³ (A,q = (A,q,q выписать решение в данном случае ³ q + ( - q Þ pa = и система ( приобретает вид Используя решение, полученное для системы (, можно ì ïq ï îq 5 ³ 6 + q = с Пусть 0 < p <, 0 < p <, Тогда по теореме о дополняющей нежесткости получаем ì(pa,q = (A î(pa,q = (A,q,q Отсюда, ( A,q = (A,q, и 5 q = 6 И так, множество всех приемлемых для игрока ситуаций в данной игре есть трехзвенный зигзаг, изображенный на рисунке Теперь найдем ситуации, приемлемые для -го игрока Приемлемыми для игрока являются все ситуации (p,q, для которых выполняется система неравенств j (p,bq ³ (p,b для, jî (5 6

27 Рисунок - Изображение приемлемых ситуаций а Пусть =, q 0, тогда q = Bq = B и система (5 приобретает вид ïì (p,b ïî (p,b Для заданной матрицы B получаем, ì6p + p ³ p îp + p = Þ ì 8p ³ 6 î p + p = Þ + 8p ì ïp ï îp 7 = (p,b ³ (p,b Þ ì 6p + ( - p î p + p = ³ + p б Пусть q = 0, q =, тогда ïì (p,b ïî (p,b ³ (p,b = (p,b = ³ p + 8( - p Bq = B и система (5 приобретает вид Используя результат, полученный в предыдущем пункте, получим ìp + 8p ³ 6p îp + p = + p Þ ì ïp ï îp + p с Пусть 0 < q <, 0 < q <, Тогда по теореме о дополняющей =

28 нежесткости получаем ïì (p,bq = (p,b ïî (p,bq = (p,b Отсюда, (p,b (p,b = Þ p = Множество всех приемлемых для игрока ситуаций в данной игре изображено на рисунке вторым трехзвенным зигзагом Равновесные ситуации отвечают точкам пересечения этих двух трехзвенных зигзагов В данном случае они пересекаются в одной точке соответствует ситуации (p*,q*, где p*=(,, q*=( 5, 6 6 ì ï p ï q î = 5 = 6, что Выигрыш игрока в равновесной ситуации H (p*,q* = (p*,aq* = (p*a,q* = ååaijpiq j= i= j= = = , выигрыш игрока в равновесной ситуации H (p*,q* = (p*b,q* = ååbijpiq j= i= j= = =

29 8 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей функцией выигрыша: H(x,y=ax +(x-y Значения параметра а приведены в таблице Таблица Варианты задания Номер варианта Значение параметра a - -/ / / - - -/ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей функцией выигрыша: H(x,y= -(x-y +ay Значения параметра а даны в таблице Таблица - Варианты задания Номер варианта Значение параметра a - -/ / / - - -/ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей функцией выигрыша: H(x,y= -a(x-y +by Значения параметров а и b приведены в таблице Таблица - Варианты задания Номер варианта Значение параметра a - -/ / / - -/ Значение параметра b / -/ / - -/ З а д а н и е Найдите решение игры на единичном квадрате со следующей 9

30 функцией выигрыша: H(x, y ïì - (x + a = ï î - (x + e + b(y - c + f (y - k + d, + l, x y, x ³ y Значения параметров даны в таблице Таблица - Варианты задания Значения параметров Номер варианта a b c d e f k l / 5/ 0 -/ 7/ 0 -/ / 0 -/ / 0 З а д а н и е 5 Найдите при всех значениях l решение биматричной игры Г(А,В в чистых стратегиях Варианты матриц и параметров b, c даны в таблицах 5,6 Для определения вариантов матриц и параметров b, c необходимо номер своего варианта N представить в виде N=k+l+9m Тогда, k определяет вариант матриц А и В, l вариант параметра b, m - вариант параметра с Таблица 5 - Варианты задания 5 Номер варианта Параметр b Параметр с 0 l- l+ l l- l+ l+ 0

31 Таблица 6 - Варианты матриц в задании 5 Номер варианта Матрица А Матрица В 0 ø ö è æl 6 5 c b ø ö è æ 5 b c ø ö è æ l l 6 5 c ø ö è æ l b c b ø ö è æ l b c b ø ö è æ l l 5 c Литература Воробьев НН Теория игр для экономистов-кибернетиков М: Наука, 985 Оуэн Г Теория игр Изд-во: Едиториал УРСС, 00 Дюбин ГН, СуздальВГ Введение в прикладную теорию игр М: Наука, 98 Дегтярев ЮИ Исследование операций М: Высш шк, 986 Гусаков СВ, Землянухина ЛН, Зинченко АБ, Сантылова ЛИ Линейное программирование и смежные вопросы Части 5,7: Методические указания Ростов-на-Дону: РГУ, 00 5 Морозов ВВ, Сухарев АГ, Федоров ВВ Исследование операций в задачах и упражнениях М: Высш шк, 986


Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Программа, вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г.

Программа, вопросы и литература по с/курсу Элементы теории игр лектор проф. Чижонков Е.В. 0,5 года; 2-5 курсы; 2013/2014 уч.г. Программа вопросы и литература по с/курсу "Элементы теории игр" лектор проф. Чижонков Е.В. 5 года; -5 курсы; 13/14 уч.г. I. Основные определения и положения теории игр. 1. Участники игры игроки стратегии

Подробнее

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков

Подробнее

Биматричные игры. Решение игр 2 2

Биматричные игры. Решение игр 2 2 Биматричные игры Решение игр 2 2 Будем рассматривать 2 2 биматричную игру с матрицами выигрышей a a A = 2 b b, B = 2 a 2 a 22 b 2 b 22 Матрица A описывает выигрыши первого игрока, B, соответственно, второго

Подробнее

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания.

Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. Специальность: Социология. Дисциплина: КПВ: Теория игр и методы принятия решений, 5 курс, 9 семестр. Примерные зачетные тестовые задания. 1. Матричная игра с матрицей Вариант 1. 1 1 0 А = 0 0 2 имеет седловую

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР. A q = ue; p T B = ve T ; p i = 1; q j = 1 УДК 519.85 Н. С. В а с и л ь е в ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР Предложен эффективный игровой алгоритм поиска равновесия по Нэшу в биматричных играх, основанный на методах линейного программирования

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ

ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) М.Л. ОВЕРЧУК ТЕОРИЯ ИГР В ЗАДАЧАХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Глава 10. Экстремумы функций нескольких переменных

Глава 10. Экстремумы функций нескольких переменных Глава Экстремумы функций нескольких переменных Локальные экстремумы функций двух переменных Условные экстремумы Функция z f ) имеет максимум минимум) в точке M если можно найти такую окрестность точки

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях.

Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. Лекция 3. Решение игр в смешанных стратегиях. 18.09.2014 1 3.1 Нахождение смешанных стратегий в играх 2 2 3.2 Упрощение матричных игр 3.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 2 Аналитический

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе:

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: 4 Выпуклые задачи Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

Инвестиционная политика

Инвестиционная политика УДК 336.051 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИНВЕСТОРА НА РОССИЙСКОМ ФОНДОВОМ РЫНКЕ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ИГР Н. А. КЛИТИНА, ассистент кафедры фундаментальной и прикладной математики E-mal: kltnanna@yandex.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2

2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 2.4. Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2х2 1 Аналитический метод Графический метод Аналитический метод решения игры 2х2 2 A 1) оптимальное решение в смешанных стратегиях: S A = p 1, p 2 и S

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. Исследование поведения функции с помощью производных ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4. Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей размера x x n m x В решении игр используется следующая теорема: если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию

Подробнее

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63)

Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà ¹ 1 (63) УДК 0 Âåñòíèê Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêîíîìè åñêîãî óíèâåðñèòåòà 00 ¹ (6) ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ И ПРИНЦИПА ДОМИНИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 00 АИ Чегодаев Ключевые слова:

Подробнее

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр

Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для биматричных игр КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 202 Т. 4 3 С. 475 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 59.833 Метод возможных направлений в задачах нелинейного программирования для

Подробнее

Элементы выпуклого анализа

Элементы выпуклого анализа Глава 1 Элементы выпуклого анализа Здесь мырассмотрим некоторые элементывыпуклого анализа, которые будут необходимы при описании методов анализа гибкости ТС. Детальное описание этого вопроса можно найти

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» САНТЫЛОВА Л.И., ГУСАКОВ C.В., ЗЕМЛЯНУХИНА Л.Н. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение

Задание 1. Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение Сделаем ваши задания на отлично. htts://www.matburo.ru/sub_subect.h?ti Теория игр Матричные игры. Игры с природой Задание Найти оптимальные стратегии игры (с седловой точкой): Решение ma min a i } min

Подробнее

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где

Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти. где Сер. 10. 013. Вып. 1 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА УДК 539.75 Д. М. Лебедев, Л. Н. Полякова ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ НУЛЕВОЙ ТОЧКИ НА КВАДРИКУ ) 1. Рассмотрим оптимизационную задачу: найти inf

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x

4.3 Выпуклые задачи. Доказательство. ˆx absmin P f(x) f(ˆx) 0 = 0, x 4.3 Выпуклые задачи 4.3.1 Задачи без ограничений Пусть f : X R выпуклая функция, отображающая нормированное пространство X в расширенную прямую. Выпуклой задачей без ограничений называется следующая экстремальная

Подробнее

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа.

Пусть матричная игра задана матрицей, в которой все элементы положительны. Цена игры положительна: да. нет. нет однозначного ответа. Теория игр 2012-2013 уч. год Матричная игра это частный случай антагонистической игры, при котором обязательно выполняется одно из требований: один из игроков имеет бесконечное число стратегий. оба игрока

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

2. Симметричная каноническая форма

2. Симметричная каноническая форма 2. Симметричная каноническая форма... Свойство оптимальных решений задач линейного программирования (2.)-(2.2).... 3 Экономическая интерпретация задач линейного программирования (2.) и (2.2)... 3 Основное

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ ИГР С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая и прикладная математика» П. С. Гончарь Л. Э. Гончарь Д. С. Завалищин ЗАДАНИЯ ПО ТЕОРИИ

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

Методы теории игр в задачах принятия решений

Методы теории игр в задачах принятия решений «Оптимизация и математические методы принятия решений» ст. преп. каф. СС и ПД Владимиров Сергей Александрович Лекция 11 Методы теории игр в задачах принятия решений Введение Учебные вопросы: С О Д Е Р

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Конечное число стратегий Конечное число стратегий оптимальные стратегии

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ По выполнению контрольных работ По дисциплине «Теория игр» Для студентов заочного отделения специальности «Прикладная информатика в экономике» Хабаровск Задачи теории игр Если имеется

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f ( задана на ( некотором множестве D и ( некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

Подробнее

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ . ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Курс "Теория игр" является составной частью исследования операций и относится к циклу дисциплин, формирующих профессиональный уровень экономиста-математика. Теория игр дает формальный

Подробнее

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ

ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ В ОБЛАКЕ ИНТЕРНЕТ-ОБРАЗОВАНИЯ Г.С. Курганская Иркутский государственный университет, Облачные технологии стали уже общепринятым инструментом работы в Интернет. В основном, это относится

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

Экзаменационная работа по теории игр 2013 года. Решения.

Экзаменационная работа по теории игр 2013 года. Решения. Экзаменационная работа по теории игр года Решения Задача Два игрока играют в следующую игру Игрок называет целое число от до Игрок добавляет к числу, которое назвал игрок, целое число от до и называет

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи.

Математическое программирование. 1-я задача. Симплекс-метод решения задачи. Математическое программирование. 1) Решить графически следующие задачи линейного программирования. 2) Решить обе задачи перебором базисных решений. 3) Решить первую задачу симплекс методом. 1-я задача:

Подробнее

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB» ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ SCILAB». Введение Sclb - это система компьютерной математики, которая предназначена выполнения инженерных и научных вычислений, включающих в себя задачи принятия

Подробнее

9. Сбалансированные игры

9. Сбалансированные игры 1 9. Сбалансированные игры 1. Непустота ядра. Игры с непустым ядром представляют явную ценность для практических целей, поскольку могут быть учтены запросы каждой коалиции, каждой группы интересов. Если

Подробнее

С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 9

С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 9 Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ С.В.Гусаков, Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часа. 4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю)

3. Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единиц, 144 часа. 4. Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю) I. Аннотация 1. Цель и задачи дисциплины Целями и задачами освоения дисциплины являются: ознакомление студентов с теоретическими и практическими основами построения и анализа моделей теории игр и исследования

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Аналитическое задание фигур на плоскости. Задачи оптимизации Окружность с центром в точке A 0 (x 0,y 0 ) и радиусом R задается уравнением

Аналитическое задание фигур на плоскости. Задачи оптимизации Окружность с центром в точке A 0 (x 0,y 0 ) и радиусом R задается уравнением Аналитическое задание фигур на плоскости. Задачи оптимизации Окружность с центром в точке A 0 (x 0,y 0 ) и радиусом R задается уравнением (x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 = R 2. Круг, ограниченный этой окружностью,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 2 Лагранжева теория двойственности 1. Определения 2. Теорема о седловой точке 3. Линейное программирование 4. Теория двойственности линейного программирования -1- Лагранжева теория двойственности

Подробнее

2 Качественная теория ЗЛП

2 Качественная теория ЗЛП 2 Качественная теория ЗЛП 2.1 Выпуклость в линейном программировании По графическим изображениям 1.3 1.5 явно видно, что для допустимых областей X рассматриваемых ЗЛП характерна многогранная структура.

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР

ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» К а ф е д р а прикладной

Подробнее

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 3.. Задача математического программирования В предыдущей главе мы познакомились с линейным программированием. Приведенные примеры показывают что многие практические

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа)

Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа) 1 Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа) Аннотация Обязательный курс для магистров 2-го года, обучающихся по программе "Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ. Россия, , г. Москва, ул. Лосиноостровская,49;

СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ. Россия, , г. Москва, ул. Лосиноостровская,49; 2006 Математика в высшем образовании 4 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ УДК 519.8 СИСТЕМА ЗАДАЧ ДЛЯ ДИСЦИПЛИНЫ ТЕОРИЯ ИГР И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Л. Н. Посицельская 1, С. В. Злобина

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее