ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ν = sup inf gu (, u) 2.3. Антагонистические игры. Седловые точки"

Транскрипт

1 .3. Антагонистические игры. Седловые точки Антагонистическая игра. Она представляет собой частный случай игры в нормальной форме Г, когда имеется два игрока (n = ) и сумма функций выигрыша этих игроков тождественно равна нулю. Так как в этом случае в любом исходе по выигрышу одного игрока можно однозначно определить выигрыш другого, то достаточно задать функцию выигрыша одного игрока. Таким образом, антагонистическая игра (или игра двух лиц с нулевой суммой) в нормальной форме - это тройка Г a =<U,U,g(u,u )>, (.6) где U - множество стратегий игрока ; U - множество стратегий игрока ; g(u,u ) - вещественная функция, определенная на U U и представляющая собой выигрыш игрока в ситуации (u,u ), когда он выбирает стратегию u, а игрок - стратегию u ; при этом выигрыш игрока равен g(u,u ). Так как точки максимума функции совпадают с точками минимума этой функции, взятой со знаком минус, то в антагонистической игре игрок стремится по возможности максимизировать функцию g(u,u ), а игрок - минимизировать. В антагонистической игре поведение на основе принципа гарантированного результата становится особенно уместным. Его применение с учетом того, что sup inf ( gu (, u)) = inf sup gu (, u), приводит к следующим понятиям. u U u U u U u U Нижней ценой игры (.6) называется величина ν = sup inf gu (, u) u U u U, (.7) Верхней ценой игры (.6) - величина _ ν = inf sup gu (, u ). (.8) u U u U Смысл величин ν и ν _ заключается в следующем: игрок может гарантировать себе выигрыш не меньше ν ε, независимо от действий игрока ; а игрок - выигрыш не больше ν _ + ε, независимо от действий игрока (ε - сколь угодно малое положительное число, если наружные грани в (.7), (.8) не достигаются; ε =, если они достигаются).

2 Таким образом, если оба игрока разумны, то выигрыш игрока должен лежать на отрезке [ν, _ ν] (возможно с точностью до ε ). Величины ν и _ ν могут быть как положительными, так и отрицательными, поэтому в слово "выигрыш" здесь не вкладывается смысл успешного исхода. Так как выигрыш может быть и положительным и отрицательным, то фактически он может выступать как в виде дохода, так и в виде расхода. Лемма.5. Величины ν и ν _, определенные выражениями (.7), (.8), всегда связаны соотношением ν ν _, т. е. имеет место неравенство sup inf gu (, u) u U u U inf sup gu (, u ) u U u U (.9) Доказательство. Из определений верхней и нижней граней следуют неравенства inf gu (, u) gu (, z) z U ; u U ν = sup inf gu (, u ) sup gu (, z) z U, u U u U u U откуда ν inf sup gu (, u ) = ν, что и требовалось доказать. u U u U _ В (.9) может иметь место как равенство, так и строгое неравенство. Пример.4. Пусть g(u,u )=(u -и ), u i, i=l,. Тогда ν = max min ( u u ) = ; u u _ ν = min max( u u ) = min{min ( u ), min ( u ) } =, u u u u 4 т.е. имеет место неравенство ν < ν _. Пример.5. Пусть g(u,u )=u -и, u i, i =,. Тогда _ ν = min max( u u ) = min ( u ) = ; u u u ν = max min ( u u ) = max( u ) =, u u u т. е. имеет место равенство ν = ν _.

3 Если ν = _ ν., то их общее значение называют ценой игры Г a ; если ν < _ ν, то говорят, что игра не имеет цены. Далее нам понадобится понятие - седловая точка, которая определяется следующим образом. Определение.4. Пара (и,и ) называется седловой точкой функции g(u,u ), на прямом произведении множеств U U, если gu (, u) gu (, u) gu (, u) u U, u U или эквивалентно max gu (, u) = gu (, u) = min gu (, u). (.) u U u U Основными свойствами седловых точек являются взаимозаменяемость и * * ** ** * ** ** * эквивалентность. Если ( u, u ) и (u, u )-седловые точки, то ( u, u ) и (u, u )-также седловые точки (свойство взаимозаменяемости), при этом * * * ** ** * ** ** g ( u, u ) = g ( u, u ) = g( u, u )= g( u, u ) ( свойство эквивалентности). Доказательство этих свойств непосредственно вытекает из определения, и мы его оставляем в качестве упражнения. Аргументы u и u функции g(u,u ) будем считать векторами соответственно n -мерного и т -мерного евклидовых пространств. Таким образом, из определения седловой точки следует, что в ней по одной группе переменных функция достигает максимума, а по другой группе - минимума. Существование седловых точек связано с достижимостью наружных граней в (.7) и (.8), т.е. существованием решений u и u максиминной и минимаксной задач, и выполнением равенства ν = _ ν. Если выполняется и то, и другое, то пара (u ; u ) образует седловую точку и любая седловая точка состоит из решений задач (.7) и (.8); естественно, их может быть несколько. Если хотя бы один из указанных моментов отсутствует, то у функции g(u,u ) седловых точек нет. Теорема. (необходимые и достаточные условия существования седловой точки). Для того чтобы функция g(u,u ) имела седловую точку на U U, необходимо и достаточно выполнения равенства max inf gu (, u) = min sup gu (, u). (.) u U u U u U u U

4 Доказательство. Необходимость. Пусть существует точка, удовлетворяющая (.), тогда sup inf gu (, u) sup gu (, u) = gu (, u) = inf gu (, u), откуда u U u U u U u U sup inf gu (, u) = max inf gu (, u) = inf gu (, u) = gu (, u). u U u U u U u U u U Аналогично inf sup gu (, u) inf gu (, u) = gu (, u) = sup gu (, u), откуда u U u U u U u U inf sup gu (, u) = min sup gu (, u) = sup gu (, u) = gu (, u). u U u U u U u U u U Таким образом, доказано равенство (.), причем u и u - решения задач (.7), (.8). Достаточность. Так как равенство (.) подразумевает достижимость наружных верхней и нижней граней, то существуют u и u такие, что inf gu (, u) = max inf gu (, u), u U u U u U sup gu (, u ) = min sup gu (, u ), u U u U u U причем inf gu (, u) = sup gu (, u). u U u U По определению верхней и нижней граней inf gu (, u) gu (, u) sup gu (, u) = inf gu (, u), u U справедливо равенство (.) и (u ; u ) - седловая точка. Приведенные выше примеры показывают, что седловая точка может существовать и не существовать. В примере.5 существует седловая точка, в примере.4 - отсутствует. Следствие.. Если в игре Г a функция g(u,u ) имеет на U U седловую u U u U точку (u ; u ), то игра Г a имеет цену и является несущественной, u и u являются оптимальными гарантирующими стратегиями соответственно игроков и, а исход (u ; u ) оптимален по Парето и дает игроку выигрыш, равный цене игры. Следствие.. Если игра Г a имеет цену, то она несущественна. Если существуют оптимальные гарантирующие стратегии игроков и игра несущественна, то она имеет цену. Эти следствия легко вытекают из проведенных определений и теоремы.. Они показывают, что существование цены игры является важнейшим свойством, при

5 наличии которого принцип гарантированного результата является по существу единственно возможным принципом оптимального поведения. Если цена игры не существует, то существенным становится вопрос об информированности игроков о выборе противника и, вообще говоря, выигрыш игрока может быть любым из диапазона [νν, _ ]. Поэтому интересным является вопрос об условиях существования цены игры. Введем некоторые подклассы антагонистических игр. Определение.5. Антагонистическая игра Г a называется непрерывной, если U u U являются компактами, a g(u,u ) - непрерывная функция на U U. В непрерывной игре оптимальные гарантирующие стратегии обязательно существуют (все грани в (.7) и (.8) достигаются), но, как показывает пример (.4), цена может не существовать. Для существования цены на U,U, g(u,u ) необходимо наложить некоторые условия выпуклости. Определение.6. Непрерывная антагонистическая игра Г a называется вогнуто-выпуклой, если множества U и U являются выпуклыми, функция g(u,u ) вогнута по u на U при любом фиксированном u и выпукла по u на U при любом фиксированном u. Теорема.. Вогнуто-выпуклая антагонистическая игра Г a имеет цену, т.е. вогнуто-выпуклая непрерывная функция g(u,u ) имеет седловую точку на произведении выпуклых компактов U U. Доказательство см. в [4]. Условия теоремы. можно ослабить, однако какие-то аналоги выпуклости нужны. В общем случае наличие седловой точки у функции является не очень распространенным свойством. Таким образом, многие антагонистические игры не имеют цены на исходных множествах стратегий. Специальное расширение множеств стратегий позволит сделать разрешимыми (в новом смысле) все непрерывные, а также конечные антагонистические игры (см. гл. 3). Конечной антагонистической (или матричной) игрой называется тройка (.6), где множества стратегий U и U состоят из конечного числа точек, а g(u,u ) - функция дискретного аргумента. Если множество U, содержит п точек, то выбор каждой стратегии игроком можно представить в виде выбора натурального числа i (i=, n ). Аналогично, если множество U содержит т точек, то выбор каждой стратегии игроком можно

6 представить в виде выбора натурального числа j (j =, m). Обозначим через a значение ij функции g в ситуации, соответствующей выбору i-й чистой стратегии игрока и j-й чистой стратегии игрока. Тогда конечную игру можно задавать матрицей А = a ij размера n т (отсюда и название - матричная игра). Теперь стратегией игрока является выбор строки i матрицы A, стратегией игрока - выбор столбца j матрицы А, выигрыш игрока в ситуации (i,j) равен а ij, а игрока соответственно - а ij. Нижняя и верхняя цены матричной игры ν = max min a, i n j m ij ν _ = min maxa. j m i n ij Равенство ν = _ ν имеет место тогда и только тогда, когда матрица А содержит седловую точку (i,j ), т.е. a a a i, j. В этом случае общее значение нижней ij ij ij и верхней цены игры называется ценой игры, a i и j - оптимальными стратегиями игроков. Пример.6. В игре с матрицей А = пара стратегий (,) составляет седловую точку, цена игры равна. Выбором первой строки игрок гарантирует выигрыш не меньше, выбором первого столбца игрок гарантирует себе проигрыш не больше. Значит, при разумных игроках выигрыш игрока равен (игрок получает-). Если ν < _ ν, то выигрыши игроков однозначно не определены ( можно указать только разумный диапазон). Пример.7. В игре с матрицей А = нижняя и верхняя цены соответственно ν =, _ ν =, т.е. игрок может гарантировать себе выигрыш не меньше, а игрок проигрыш не более. У каждого игрока обе стратегии являются оптимальными гарантирующими, но без дополнительных предположений исход игры и выигрыш неоднозначны. Упражнения и задачи

7 .. Поражаемая мишень состоит из четырех отдельных частей. Для поражения объекта необходимо поразить не менее двух частей, в том числе обязательно первую и третью. Пусть для i =,,3,4 W i =, еслиi я астьпор ажена,, еслиi я астьнепор ажена; W еслиобъектпо ажен =, р,, еслиобъектнепор ажен. Записать критерий W как функцию критериев W, W, W 3,W 4, используя только операции взятия максимума и минимума Пусть x M = {, 3,}, y N = {, 3,},( W ( x, y)) 3 3= 8 4 8, 3 4 ( W ( x, y)) 3 3 = , ( W ( x, y)) = Записать обобщенный критерий W, если: а) все частные критерии равноправны, а оперирующая сторона стремится к увеличению значения хотя бы одного частного критерия; б) все частные критерии равноправны, а оперирующая сторона стремится к одновременному увеличению значений всех частных критериев..3. Частный критерий W i принимает значение, если выполнена i-я частная цель, и значение - в противном случае, i =,...,s. Записать обобщенный критерий W, используя только операции взятия максимума и минимума, если цель оперирующей стороны состоит в следующем: а) достигнуть хотя бы одной пары целей с соседними номерами; б) для любой пары целей с соседними номерами достигнуть хотя бы одной цели из пары..4. Пусть игрок имеет две, игрок - три фишки. Независимо и тайно друг от друга игроки откладывают произвольное количество фишек. Если при этом количество

8 отложенных фишек оказывается четным, то их выигрывает игрок. В противном случае фишки выигрывает игрок. Запишите нормальную форму игры..5. Докажите, что доминируемая чистая стратегия не может быть оптимальной..6. Пусть даны две игры А = a ij и А = k a ij, k>, a ν( A ) и ν( A ) - их значения. Покажите, что эти игры имеют одинаковые оптимальные стратегии и ν( A ) = k ν( A )..7. Пусть игра A = a ij имеет седловую точку в смешанных стратегиях. а) Пусть существует такой индекс k: a ik < для всех i. Докажите, что в этом случае ν( A ) <. б) Пусть существует такой индекс l: a lj > для всех j. Докажите, что в этом случае ν( A ) >. a ij.8. Конечная игра называется симметричной, если ее матрица квадратная и = a для всех i, j. Докажите, что значение симметричной игры равно. Кроме того, ji если х есть оптимальная стратегия игрока, то х есть также оптимальная стратегия для игрока..9. Диагональной называется игра, матрица которой имеет вид a... a A... = a n, где a,..., a n >. Докажите, что значение v(a) положительно... Покажите, что множество оптимальных стратегий всегда замкнуто, выпукло и ограничено и, следовательно, является выпуклой оболочкой своих крайних точек... Покажите, что в m m-игре, каждая строка и каждый столбец которой содержит все целые числа от до m, v = m +... Покажите, что игра с матрицей a b, где a, b, c>, имеет c единственное решение. А в случае a>b>c, c<?


И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20

И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Бесконечные антагонистические игры / 20 Домашнее задание 2 Оптимальные стратегии (x, y ) называются вполне смешанными, если x i > 0, y j > 0 для всех i, j Игра, у которой любые оптимальные стратегии игроков вполне смешанные, называется вполне

Подробнее

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д.

Матричные игры. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова. Кичмаренко О.Д. цена. Матричные. Решение конфликта в условиях антагонизма: кто кого победит? Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова цена. Определение. Матричная игра - это бескоалиционная

Подробнее

Игрой в нормальной форме называется совокупность

Игрой в нормальной форме называется совокупность Глава 2. ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ При изолированном поведении игроков, действующих самостоятельно, не обмениваясь информацией, центральное место занимают игры в нормальной форме. Здесь рассматриваются принципы

Подробнее

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР

Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЧНЫХ ИГР В теории игр исследуется процесс принятия решений в конфликтных ситуациях, т. е. в случаях, когда существует несколько сторон с разными интересами. Различают игры

Подробнее

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.

Лекция 17 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. Лекция 7 БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ.. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЙ АНТАГОНИСТИЧЕСКОЙ ИГРЫ Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

5. Элементы теории матричных игр

5. Элементы теории матричных игр 5 Элементы теории матричных игр a m В теории игр исследуются модели и методы принятия решений в конфликтных ситуациях В рамках теории игр рассматриваются парные игры (с двумя сторонами) или игры многих

Подробнее

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу

Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Бесконечные антагонистические игры Равновесие по Нэшу Илья Кацев 1 1 Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН 2015 Конечное число стратегий Конечное число стратегий оптимальные стратегии

Подробнее

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31

Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 31 Теорема об ожидаемой полезности и антагонистические игры ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2013 1 / 31 Пример Рассмотрим игру, похожую на покер В данный момент есть две возможности

Подробнее

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр

Антагонистические игры. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение бескоалиционных игр ы. е. ах Антагонистические ы. Решение конфликта: кто кого победит? Смешанное расширение Кичмаренко О.Д. Одесcкий национальный университет имени И.И. Мечникова ы. Определение ы. е. ах Игра Γ =< I, {X i

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Некоторые специальные экстремальные задачи Дискретная транспортная задача (задача Монжа-Канторовича)

Подробнее

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13

Полезность. И.В.Кацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры / 13 Полезность ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность Полезность - мера удовлетворенности агента ИВКацев (СПб ЭМИ) Полезность и антагонистические игры 2012 1 / 13 Полезность

Подробнее

ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛЫЕ ГРАФЫ И НЕКОТОРЫЕ МАРШРУТНО-ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ. 1. Линейно-выпуклые множества Е. Г. БЕЛОВ

ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛЫЕ ГРАФЫ И НЕКОТОРЫЕ МАРШРУТНО-ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ. 1. Линейно-выпуклые множества Е. Г. БЕЛОВ Е. Г. БЕЛОВ ЛИНЕЙНО-ВЫПУКЛЫЕ ГРАФЫ И НЕКОТОРЫЕ МАРШРУТНО-ИГРОВЫЕ ЗАДАЧИ В работе рассматривается обобщение с помощью линейной нормы понятия выпуклого множества, которое затем переносится на конечные графы.

Подробнее

Γ обозначение игры, N = { 1,

Γ обозначение игры, N = { 1, Равновесие по Нэшу. Существование равновесия для конечных игр в нормальной форме.. Понятие игры в нормальной форме... Игры в нормальной форме. Введем понятие игры в нормальной (стратегической) форме. Как

Подробнее

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г.

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. В. Н. Малозёмов. 14 апреля 2016 г. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 14 апреля 2016 г. Аннотация. В докладе матричные игры анализируются с точки зрения линейного программирования. Приведены два

Подробнее

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности

ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР. Задачи выбора в условиях неопределенности ТЕОРИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР Задачи выбора в условиях неопределенности Имеется набор возможных исходов y Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но с какой именно в момент выбора неизвестно,

Подробнее

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения

Г.Л. Нохрина. ТЕОРИЯ ИГР Контрольные материалы для специальности по всем формам обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

Равновесие Нэша - определения

Равновесие Нэша - определения Равновесие Нэша Самый популярный принцип рационального поведения в теории некооперативных игр рекомендует в качестве рациональных исходов использовать ситуации равновесия Нэша. Они характеризуются тем,

Подробнее

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования

Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задача математического программирования Глава 3. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 3.. Задача математического программирования В предыдущей главе мы познакомились с линейным программированием. Приведенные примеры показывают что многие практические

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации

ТЕОРИЯ ИГР ТЕОРИЯ ИГР И.В. ПИВОВАРОВА. Пивоварова Ирина Викторовна. Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса Учебное издание Пивоварова Ирина Викторовна ТЕОРИЯ ИГР Практикум ИВ ПИВОВАРОВА ТЕОРИЯ

Подробнее

Введение в матричные игры

Введение в матричные игры Введение в матричные игры Предметом исследований в теории игр являются модели и методы принятия решений в ситуациях, где участвуют несколько сторон (игроков). Цели игроков различны, часто противоположны.

Подробнее

Лекция 2. Антагонистические игры.

Лекция 2. Антагонистические игры. Лекция 2. Антагонистические игры. 11.09.2014 1 2.1 Определение антагонистической игры 2.2 Понятие матричной игры 2.3 Выбор оптимальной стратегии в матричной игре 2.4 Ситуация равновесия в матричной игре

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры.

Глава 3. Информационные аспекты и равновесие Позиционные игры. Глава 3. Информационные аспекты и равновесие. 3.. Позиционные игры. В главе 2 рассматривалась игра в нормальной форме. К такой форме в принципе может быть сведен динамический (т. е. протекающий в течение

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко

Л.И. Сантылова, А.Б. Зинченко Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» ЛИ Сантылова, АБ Зинченко ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ (методические указания для студентов

Подробнее

4.7 Сопряженный конус

4.7 Сопряженный конус 4.7 Сопряженный конус 4.7.1 Определение сопряженного конуса Для наглядности представления будем рассматривать пространство R n. Определение. K конус в R n. Сопряженным конусом называется множество K :=

Подробнее

Тема 11. Матричные игры

Тема 11. Матричные игры Тема 11. Матричные игры Цель: познакомить читателя с основными понятиями теории матричных игр: принципом максимина и минимакса, ситуациями равновесия, смешанным расширением игры, выяснить взаимосвязь между

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР

МАТЕМАТИКА ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента»,

Подробнее

ОБ АЛЬТЕРНАНСАХ. 20 декабря 2012 г.

ОБ АЛЬТЕРНАНСАХ. 20 декабря 2012 г. ОБ АЛЬТЕРНАНСАХ В. Ф. Демьянов vfd@ad9503.spb.edu В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 0 декабря 01 г. В докладе анализируется альтернансная форма условий оптимальности для минимаксных задач с ограничениями-неравенствами.

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1).

Доказательство теоремы Канторовича (теорема 9.1). Тема 11 Доказательство теоремы Канторовича теорема 9.1). Мы разобьем доказательство теоремы 9.1 на несколько шагов. Напомним, что мы уже доказали неравенство см. лемму 9.3. sup Jφ, ψ) inf Kπ), Φ c C b

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕОРИЯ ИГР ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Двойственность в задаче Канторовича.

Двойственность в задаче Канторовича. Тема 3 Двойственность в задаче Канторовича. Запишем задачу Канторовича в виде задачи линейного программирования из правой части формулы в теореме 2.1. Будем рассматривать ρ и π как векторы: ρ t = (ρ 12,...,

Подробнее

1 Скорости сходимости

1 Скорости сходимости Методы оптимизации в машинном обучении, ВМК+Физтех, осень 2017 Семинар 1: Скорости сходимости. Матрично-векторные скалярные произведения и нормы 1 Скорости сходимости Ключевой характеристикой сходящейся

Подробнее

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ О СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ А. В. Лазарев lazarev_av@sampo.ru 17 мая 2008 г. 1. Рассмотрим в R n задачу математического программирования f(x) inf, g i (x) 0, i 1:s ;

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание

Контрольная работа Теория игр. Оглавление. Задание Задание Задание Задание Задание Контрольная работа Теория игр Оглавление Задание Задание 9 Задание 3 4 Задание 4 9 Задание 5 3 Задание Сельскохозяйственное предприятие планирует посеять на площади 000 га одну или две (в равной пропорции)

Подробнее

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода.

1.1. Определение цепи Маркова. Свойства матриц перехода. 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Транспортные задачи. Случай конечных пространств.

Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Тема 1 Транспортные задачи. Случай конечных пространств. Мы будем изучать задачи оптимальной транспортировки некоторым образом распределенной массы из заданного начального состояния в заданное конечное

Подробнее

Решенная контрольная работа по МОР

Решенная контрольная работа по МОР Решенная контрольная работа по МОР. Построить симплексную таблицу ЗЛП Q = x 3x x 3 max при ограничениях: 3x + x x3 3 x 3x + x3 = x + x + 3x3 x 0; x 0; x 0. Решение Приводим задачу к каноническому виду.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы

Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы 1 Функции непрерывные на отрезке (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Функционалы непрерывные на компакте. 1.1 Теорема о промежуточных значениях Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ (a, b), что f(γ) = C. Доказательство. Пусть, например, f(a) = A < B = f(b) и A < C < B. Функция g(x) = f(x) C, очевидно, непрерывна на [a, b]. Кроме того, g(a) < 0, g(b) > 0. Для доказательства теоремы достаточно показать, что существует такая точка γ (a, b), что g(γ) = 0. Разделим отрезок [a, b] точкой x 0 на два равных по длине отрезка, тогда либо g(x 0 ) = 0 и, значит, искомая точка γ = x 0 найдена, либо g(x 0 ) 0 и тогда на концах одного из полученных промежутков функция g принимает значения разных знаков, точнее, на левом конце значение меньше нуля, на правом - больше. Обозначим этот отрезок [a 1, b 1 ] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. В результате, либо через конечное число шагов придем к искомой точке γ, в которой g(γ) = 0, либо получим последовательность вложенных отрезков [a n, b n ] по длине стремящихся к нулю и таких, что g(a n ) < 0 < g(b n ) (1) Пусть γ - общая точка всех отрезков [a n, b n ], n = 1, 2,... Тогда γ = lim a n = lim b n. Поэтому, в силу непрерывности функции g Из (1) находим, что g(γ) = lim g(a n ) = lim g(b n ) (2) Из (2) и (3) следует, что g(γ) = 0. lim g(a n ) 0 lim g(b n ) (3) Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. 1.2 Первая и вторая теоремы Вейерштрасса Будем говорить, что функция f, определенная на множестве E достигает на нем своей верхней (нижней) границы β = sup E f (α = inf E f), если существует такая точка x 0 E, что f(x 0 ) = β (f(x 0 ) = α). 1

Подробнее

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр

5, 4 1, 1 0, 0 4, 5. Лекция 14. Матричные игры -1- стратегии второго игрока (жена) футбол. стратегии первого игрока (мужа) театр Введение в матричные игры «Семейный спор» Муж и жена решают куда пойти в субботу вечером на футбол или в театр. Им небезразлично куда пойдет другой но всё-таки каждому больше хотелось бы пойти на что-то

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости

Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости Тема 8 Теоремы Хана Банаха о продолжении и отделимости Нам понадобится несколько технических результатов из геометрии линейных пространств общего вида. 8.1 Теоремы Хана Банаха о продолжении Есть несколько

Подробнее

ϕ монотонно возрастают при изменении

ϕ монотонно возрастают при изменении ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 8 степень со знаком +, из полученного следует, что ( ) π возрастает от до π. Итак, слагаемые ϕ i( ) и k ( ) +, т. е. вектор ( i) ϕ монотонно ϕ монотонно возрастают при

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе:

4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества. Введем некоторые понятия, которые используются в выпуклом анализе: 4 Выпуклые задачи Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа)

Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа) 1 Инновационный курс «Теория некооперативных игр в экономике» (64 часа) Аннотация Обязательный курс для магистров 2-го года, обучающихся по программе "Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Линейные функционалы.

Подробнее

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ДРОБЕЙ ПРИ УЗЛАХ, ОТДЕЛЕННЫХ ОТ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ А. Г. Липчинский

УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ДРОБЕЙ ПРИ УЗЛАХ, ОТДЕЛЕННЫХ ОТ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ А. Г. Липчинский Сибирский математический журнал Июль август, 2005. Том 46, 4 УДК 517.53 УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ДРОБЕЙ ПРИ УЗЛАХ, ОТДЕЛЕННЫХ ОТ ОСОБЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ А. Г. Липчинский Аннотация: Рассматривается

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение

Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА. 1. Введение Лекция 1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ БАНАХА В этой лекции мы рассмотрим такие фундаментальные понятия современного нелинейного функционального анализа, как сильная, слабая и слабая

Подробнее

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения

Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА. 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Лекция 9 СЛАБЫЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА 1. Слабый принцип максимума в случае ограниченного решения Рассмотрим эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами следующего вида: Lu(x) def a ij (x)u xi x j

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство).

Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 1 4 Выпуклый анализ Пусть в этом пункте X линейное нормированное пространство (для простоты понимания можно считать, что X = R n конечномерное пространство). 4.1 Элементы выпуклого анализа 4.1.1 Выпуклые

Подробнее

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения

Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ. 1. Открытые отображения Лекция 8 БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ПРОДОЛЖЕНИЕ 1. Открытые отображения Пусть (B 1, 1 ) и (B 2, 2 ) банаховы пространства. Определение 1. Отображение T : B 1 B 2 называется открытым, если образ всякого открытого

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Билинейные и полуторалинейные функции

Билинейные и полуторалинейные функции Глава 13 Билинейные и полуторалинейные функции 13.1. Вещественные билинейные функции 1. Какие из следующих функций являются билинейными функциями в указанном линейном пространстве, какие из них являются

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

ДВА ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АЛЬТЕРНАНСА

ДВА ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АЛЬТЕРНАНСА ДВА ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АЛЬТЕРНАНСА В. Ф. Демьянов vfd@ad9503.spb.edu В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 24 января 2013 г. Пусть G R n ограниченное замкнутое множество и C его выпуклая оболочка. В задачах

Подробнее

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Тема: Предел и непрерывность функции. Лекция 7. Предел функции ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Тема: Предел и непрерывность функции Лекция 7 Предел функции СОДЕРЖАНИЕ: Предел функции в точке Предел функции на бесконечности Основные теоремы о пределах функций Бесконечно

Подробнее

7{8. Построение действительных чисел (продолжение)

7{8. Построение действительных чисел (продолжение) 7{8. Построение действительных чисел (продолжение) Теперь мы в состоянии определить деление действительных чисел. Для этого достаточно определить обратное к ненулевому числу. Всякое ненулевое действительное

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

Концепции решения игры Г2. ) непрерывна по x 1 при любом x 2. ~

Концепции решения игры Г2. ) непрерывна по x 1 при любом x 2. ~ Целевые функции игроков: w = f( x, x), w = f ( x, x ). x, x. X X Концепции решения игры Г. Будем считать, что f ( x, x ) непрерывна по x при любом x. sup f ( x ( x ), x > L, x X ) x X компактные множества

Подробнее

Задачи оптимального управления: 1. Доказательство принципа максимума для линейной задачи быстродействия. 2. Достаточность принципа максимума

Задачи оптимального управления: 1. Доказательство принципа максимума для линейной задачи быстродействия. 2. Достаточность принципа максимума Лекция 14 Задачи оптимального управления: 1. Доказательство принципа максимума для линейной задачи быстродействия 2. Достаточность принципа максимума Принцип максимума для линейной задачи быстродействия:

Подробнее

Теория принятия решений

Теория принятия решений Теория принятия решений Литература О.И. Ларичев «Теория и методы принятия решений» А.И. Орлов «Теория принятия решений» А.Т. Зуб «Принятие управленческих решений» А.Г. Мадера «Моделирование и принятие

Подробнее

Кривые в метрических пространствах, внутренняя метрика, теорема Хопфа Ринова.

Кривые в метрических пространствах, внутренняя метрика, теорема Хопфа Ринова. Лекция 3 Кривые в метрических пространствах, внутренняя метрика, теорема Хопфа Ринова. 3.1 Спрямляемые кривые Пусть X метрическое пространство. Конечную последовательность L = (A 0,..., A n ) точек пространства

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Лекция 2. Последовательности

Лекция 2. Последовательности Лекция 2 Последовательности Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x, то множество занумерованных чисел x, x2,..., x,...

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2012-2013 гг. Мы заканчиваем обсуждать круг вопросов, связанных с класической задачей вариационного исчисления

Подробнее

2.2. Смешанные стратегии

2.2. Смешанные стратегии 1 2.2. Смешанные стратегии Если в игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что игрок 1 не должен надеяться на выигрыш больший,

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 2 Лагранжева теория двойственности 1. Определения 2. Теорема о седловой точке 3. Линейное программирование 4. Теория двойственности линейного программирования -1- Лагранжева теория двойственности

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 26 26.1. Двойственность. Слабые топологии Мы уже немного знакомы с теорией двойственности для банаховых пространств (см. лекцию 13). Напомним, что теория двойственности

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины

ТЕОРИЯ ИГР. Вопросы для самостоятельного изучения дисциплины Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Институт экономики и управления Кафедра Информационных технологий и моделирования

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры Пермский национальный исследовательский политехнический университет Кафедра математического моделирования систем и процессов Матричные игры к.ф.-м.н., доц. Павел Сергеевич Волегов Матричные игры Рассмотрим

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее