Теоретический материал.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Теоретический материал."

Транскрипт

1 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова 3. Алгебраический тренажер, авторы А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский Пояснительная записка для учащихся.. Знать определения логарифма числа. Знать основные свойства логарифма числа и уметь применять эти свойства при преобразовании логарифмических выражений. 3. Знать определение и свойства логарифмической функции. 4. Решать алгебраические, тригонометрические, показательные уравнения и неравенства, методы решения которых изучались ранее в программе 6 0 классов. Теоретический материал.

2 Логарифмическая функция. Пусть а положительное число, не равное. Определение. Функцию, заданную формулой () y =log a, называют логарифмической функцией с основанием а. Перечислим основные свойства логарифмической функции.. Область определения логарифмической функции множество всех положительных чисел R +, т. е. D(log a )=R +.Действительно, как отмечалось в предыдущем пункте, каждое положительное число х имеет логарифм по основанию а.. Область значений логарифмической функции множество всех действительных чисел.в самом деле, по определению логарифма любого действительного у справедливо равенство log a (a y ) = y () т. е. функция y= log a принимает значение у 0 в точке 0 =a у 0 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>) или убывает (при 0<а<). Докажем, например, что при а> функция возрастает (в случае 0<а< проводится аналогичное рассуждение). Пусть и произвольные положительные числа и >. Надо доказать, что log a >log a. Допустим противное, т. е. что log a log a (3) Так как показательная функция у=а х при а> возрастает, из неравенства (3) следует: a log a a log a. (4) Но a log a =, a log a = (по определению логарифма), т. е. неравенство (4) означает, что. Это противоречит допущению >. Для построения графика заметим, что значение 0 логарифмическая функция принимает в точке ; log a =0 при любом а>0, так как а 0 =. Вследствие возрастания функции при а> получаем, что при х> логарифмическая функция принимает положительные значения, а при 0<a< отрицательные. Если 0<а<, то y=log a убывает на R +, поэтому log a >0 при 0<< и log a <0 при х>.

3 Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции y = log a х при а> (рис., а) и0<а< (рис.,6). Справедливо следующее утверждение: Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у = х(рис. ) Логарифмические уравнения. Логарифмическим уравнением называют уравнение, в котором неизвестная входит только в аргументы логарифмических функций при некоторых постоянных основаниях. Пример. а) уравнение log 3 ( + ) + log 5 ( 3 + ) = 7 логарифмическое. б) уравнение log 3 ( + ) + log 5 ( 3 + ) = 7 не является логарифмическим.

4 Так как логарифмическая функция log a монотонна и ее область значений ( ; + ), то простейшее логарифмическое уравнение log a = b имеет единственный корень. Именно к виду log a = b надо приводить более сложные уравнения. Типы и способы решения логарифмических уравнений схожи с показательными уравнениями.. Простейшие уравнения. log 9( )= Решение log 9( ) = Ответ: -;. Пояснения По определению логарифма получаем уравнение = Получаем квадратное уравнение 9 = 3 -=0 = и = Преобразуем его Корнями этого уравнения являются Эти числа, также являются решениями данного логарифмического уравнения.. log 5 log 5 3 log = Используя определение логарифма, получаем: 5 log 3 log = 5 5 log 3 log = 5 log 3 log = Вновь используем определение логарифма. Имеем: log = 3 log = 3 log = Еще раз применяя определение логарифма, находим

5 = =. Ответ:. Особенностью логарифмических уравнений ( в отличии от показательных) является появление посторонних решений. Это связано с расширением ОДЗ уравнения в ходе его преобразований. Поэтому полученные корни необходимо проверять подстановкой или следить за изменением ОДЗ. 3. log 3 ( 4) = log 3 (4 7) ОДЗ данного уравнения задается неравенствами 4 > > 0 Решая эту систему неравенств, получаем: ( ; ) (; ) 7 ;, откуда 4 (; ) Так как в данном уравнении равны логарифмы двух величин, то равны и сами величины. Получим квадратное уравнение: 4 = = 0. Очевидно, что ОДЗ этого уравнения ( ; ) Т.е. произошло расширение ОДЗ по сравнению с первоначальным уравнением. Корни квадратного уравнения: = и = 3 Однако в ОДЗ исходного уравнения попадает только число X=3, Которое и является его решением. (Корень = является посторонним и возник при расширении ОДЗ). Ответ: 3.

6 Во многих случаях при решении логарифмического уравнения его необходимо преобразовать, используя основные свойства логарифмов. 4. log ( ) log = 9 ОДЗ уравнения определяется условиями > > 0 Решая эту систему неравенств имеем (; ) Сведем данное уравнение к простейшему. log 3 ( ) log = ( ) log = 9 ( ) = 3 9 ( ) = = 0 Корни этого квадратного уравнения: = и = 3 В ОДЗ данного уравнения входит только решение X=3. Ответ: log 6 + log 6( ) = ОДЗ уравнения задается условиями > 0 > 0 откуда (; ) Запишем уравнение в виде: log 6( ) + log 6( ) = log 6 ( ) + log 6 ( ) =

7 log 6 ( 3 + ) = По определению логарифма получаем квадратное уравнение: 3 + = = 0 Корни этого уравнения: = 4 и = = не входит в ОДЗ Ответ: 4. Одним из распространенных преобразований является переход к новому основанию в логарифмах. 6. log + log 4 + log 8 = 5, 5 В логарифмах перейдем к новому основанию: log + log log 4 + log log 8 = 5,5 log + log + 3 log = 5,5 Чтобы избавиться от дробных множителей, умножим все члены уравнения на число 6: 6 log + 3 log + log = 33 log = 33 log = 3 = 3 = 8 Ответ: log + log 5 = lg5 Перейдем в логарифмах к основанию 5 и получим: log 5 log 5 + log 5 =log 5 0 log 5 ( + log 5 ) = log 5 0 log 5 log 5 (log log 5 ) = log 5 0 log 5 log 5 log 5 0 = log 5 0 log 5 Так как log 5 0 0, то, разделив обе части уравнения на эту величину, имеем:

8 log 5 = log 5, откуда = Ответ:. Уравнения, решаемые разложением на множители. 8. log (3 5) + = log (3 5) + Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и разложим эту часть на множители. Получаем: log (3 5) + log (3 5) = 0 log (3 5) log (3 5) + = 0 log (3 5) = 0 (log (3 5) ) = 0 Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные множители имеют смысл. log (3 5) = 0 0 log (3 5) = 3 5 = 4 = 3 = 3 = 3(не подходит) = 3 Ответ: 3 ;. = 0 = = =, для этого значения первый множитель определен. Уравнения, решаемые с помощью замены неизвестной. Этот способ широко используется при решении любых типов уравнений. 9. log ( ) + log ( ) = 0 Сделаем замену y = log ( ). Тогда получаем квадратное уравнение

9 y + y = 0 Заметим, что ОДЗ исходного уравнения устанавливать нет необходимости, так как если уравнение y + y = 0 имеет решения ( его корни y =, y = ), то это означает, что log ( ) существует, т.е. > 0. Таким образом, приходим к совокупности уравнений log ( ) = log ( ) = = = = 4 = Отсюда = 5 8 = 3 Ответ: 5 8 ; 3 0. log 0,04 ( ) + + log 0, ( ) + 3 = Установить ОДЗ этого уравнения достаточно трудно, так как пришлось бы решать логарифмические неравенства, поэтому отметим пока, что >. Перейдем в первом логарифме к основанию 0,: log 0,04 ( ) = log 0,( ) log 0, 0,04 = log 0,( )

10 Введем замену y = log 0, ( ) Тогда уравнение имеет вид: y + + y + 3 = Определим ОДЗ этого уравнения из условий y + 0 y y [ ; + ) Решим это уравнение, перенеся один из радикалов в правую часть уравнения y + = y + 3 Возведем обе части уравнения в квадрат y + = y y + 3 Тогда 4y + 3 = y + 6 Еще раз возведя в квадрат, получим 6y + 48 = y + y + 36 y 4y = 0 Корни этого уравнения y =, y = 6 входят в ОДЗ исходного уравнения. Однако проверка показывает, что y = 6 исходному уравнению не удовлетворяет. подставив в уравнение значение y = 6, имеем

11 Ответ: 6. Итак, получаем простейшее логарифмическое уравнение: log 0, ( ) =, Откуда = 0, = 5 = 6 В случае однородных уравнений приходится вводить две новые переменные.. log (0 3) = 3 log (0 3) log (4 ) log (4 ) ОДЗ уравнения задается условиями 0 3 > 0 4 > 0, откуда < 0 3 Введем две новые переменные a = log (0 3) и b = log (4 ) И получим однородное уравнение: a = 3ab b a 3ab + b = 0 Решим это квадратное уравнение относительно a: a 3ab + b = 0 D = ( 3b) 4 (b ) D = b a = b a = b Вернемся к старой переменной. Получаем два уравнения: log (0 3) = log (4 ) log (0 3) = log (4 ) 0-3=4- log (0 3) = log (4 ) X=3 (входит в ОДЗ) 0 3 = (4 ) = 0 = 3 и = (оба корня входят в

12 Ответ: 3;. ОДЗ) Уравнения, решаемые с помощью их специфики. Встречаются задачи, решение которых основано на свойствах входящих в них функций.. log 3 + log 3 = cos 4π Рассмотрим функции y = log 3 + log 3 и y = cos 4π И найдем их области значений. Представим первую функцию в виде y = log 3 + log 3 Предположим, что log 3 > 0, и используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Получим: log 3 + log 3 log 3 = log 3 log 3 +, т.е. log 3 cos 4π cos 4π Поэтому область значений второй функции E(y ) = [ ; ] Поэтому рассмотрим два случая: = 3 = cos 4π = 3 = cos 4π = 3 = cos 4π = 3 cos 4π = cos π = (верно) cos 4 3 π y При этом равенство достигается, если числа равны, т.е. log 3 = log 3 Т.е. log 3 =

13 X=3 Аналогично рассматривается случай log 3 < 0 y и равенство достигается при = 3 Получили, что E(y ) = ( ; ] [; ) Итак, данное уравнение имеет единственное решение =3 Ответ: log = 8 Исследуем монотонность функций, входящих в уравнение. Функция y = log возрастающая, функция y = 8 убывающая. Очевидно, если данное уравнение имеет корень, то он единственный ( по теореме о корне уравнения). Далее этот корень надо подобрать ( угадать). Подбором находим =4. Ответ: 4. В ряде случаев встречаются уравнения, содержащие логарифмы неизвестных, но не являющиеся логарифмическими. Тогда используются специальные приемы, суть которых станет понятна из примеров = log 3 Найдем логарифм по основанию 3 от обеих частей данного уравнения и используем свойства логарифмов. Получаем: log 3 (3) = log 3 log 3, или log log 3 = log 3 log 3, + log 3 = log 3 log 3 + log 3 = log 3. Введем новую переменную y = log 3 и получим квадратное уравнение: + y = y

14 y y = 0 Его корни: y = и y =. Вернемся к старой неизвестной : log 3 = = 3 = 3 Имеем два уравнения: log 3 = = 3 = 3 Ответ: 3; log 5 + log 5 = 64 Используя основное логарифмическое тождество, запишем основание степени в виде = 5 log 5 = log 5 log 5 log 5 Ответ: 65. Тогда данное уравнение имеет вид: 3 log 5 log 5 + log 5 = 64 3 log 5 + log 5 = 64 4 log 5 = 64 log 5 = 6 log 5 = 4 = 5 4 = 65 Уравнения, решаемые графически. При решении уравнений и исследовании их корней часто используется графический подход. 6. log = +

15 определить число корней уравнения и найти меньший из них. Запишем уравнение в виде log = ( ) И построим графики функций y = log (сплошная линия) y y = ( ) (штрихпунктирная линия) y A B - y Видно, что графики этих функций пересекаются в точках A и B. Следовательно, уравнение имеет два решения. Абсцисса точки A меньше абсциссы точки B. Поэтому меньший корень уравнения =. При решении логарифмических уравнений возможно не только появление посторонних корней ( что обусловлено расширением ОДЗ уравнения при его преобразованиях), но и потеря решений ( что связано с сужением ОДЗ). Если в первом случае посторонний корень исключается его

16 проверкой, то во втором случае корень может быть утрачен безвозвратно. 7. log = log ОДЗ уравнения определяется условиями > 0, откуда 0; ; (; ) Перейдем к логарифмам по основанию. Получаем: log = log log log () log = log log + Введем новую переменную y = log. Имеем уравнение: y = y y+, или y + = y( y) ( y)(y + ) y + = y y + y = (равенство неверно). Получили, что уравнение решений не имеет. Вместе с тем подстановка значения = показывает, что это корень исходного уравнения. Потеря корня связана с сужением ОДЗ при преобразовании уравнения. Переход к основанию в логарифмах возможен при. Поэтому значение = надо проверять отдельно (например, подстановкой этого значения в исходное уравнение).

17 Более предпочтительным является переход к основанию, не зависящему от. Например, если перейти к основанию, то получим: Ответ:. log = log log log () log log = + log Введем новую переменную t = log Имеем уравнение: t t = + t t( + t) = t (t )( + t) t + t = t t +, откуда t = 0 t=0. Получаем, что log = 0 X= (потери корня не происходит). Задания для самостоятельной работы Определите графически число корней уравнения:. log Решите уравнения:

18 . 3.log 4.log 5.log 6.log 7.log 8.log 9.log 0.log.log.log log3 3 3log + log ( ) log + 3log = 0,5log ( + 4) 6 4 ( ( 5) ) 6 ( + log ( 3 + ) ) ( ) = ( 3 + ) ( ( + 5) ) 3 log5 log5 log5 7 + log log3 = 500 = = 3 9 = log 4 = 0 3 = 0 ( 3) = log ( 3) log 3 log3 = 5. y 4 y = log log 4 y = 0 6. log 4 + log y = + log y = y + log 7. log 3 + log = + log log 4 = y 8. 6 = 4 3 = = log 4 5 = 0 log = log 4 log3 9 0,5 8 0,5 9 y Логарифмические неравенства При решении логарифмических неравенств необходимо учитывать монотонность логарифмической функции log a : При 0 < а < эта функция убывает, при а > возрастает.. Решим неравенство: log ( 3) 3.

19 Ответ: (3; ]. Решение log ( 3) 3. log ( 3) log > > 0 > 3 Пояснения Т.к. log 8=3, то запишем данное неравенство в виде Т.к. основание логарифмов больше единицы,то логарифмическая функция возрастающая и аргументы связаны неравенством того же знака а ОДЗ неравенства задается условием 3 > 0 Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств Эти числа, также являются решениями данного логарифмического уравнения. Решим эту систему: \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 3. Решим неравенство: log(3 ) < log 7. Решение log(3 ) < log 3 > 0 3 > 7 3 > 0 3 > 7 3 > 7 > 3 7. Пояснения ОДЗ неравенства определяется условием Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств Так как второе неравенство более жесткое, чем первое, то полученная система равносильна второму неравенству Ответ: (3; )

20 Такие же соображения используются и при решении более сложных неравенств Решить неравенство: log + log log Решение log Пояснения 3 + > 0 ОДЗ неравенства определяется условием Учтем, что = log > > > 0 Так как основания логарифмов меньше единицы, то логарифмическая функция убывающая и аргументы связаны неравенством противоположного знака Учитывая эти два условия, получаем систему двух неравенств Решаем эту систему: Решим первое неравенство системы методом интервалов: 3 + < Решим первое неравенство системы методом интервалов:

21 Найдем общие решения этих неравенств: Ответ: 4 ; Решить неравенство: (lg) 3lg+ > 000 Решение (lg) 3lg+ > 000 lg (lg) 3lg+ > lg000 ((lg) 3lg + )lg > 3 (y 3y + )y > 3 y 3 3y + y 3 > 0 (y 3) (y + ) > 0 y 3 > 0 y > 3 lg > 3 Пояснения Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 0: Воспользуемся свойством логарифма log a p = p log a, получим: Введем замену переменной y=lg и приведем к неравенству третьей степени: Разложим его на множители: Т.к. y + > 0 при любых значениях y, то Получаем простейшее логарифмическое неравенство: откуда > 0 3 > 000 Ответ: (000; ) В случае если в основании показательной или логарифмической функции входит неизвестная величина х, то необходимо рассмотреть ситуации, когда это основание принадлежит промежутку (0; ) и когда принадлежит промежутку (; ). 5. Решить неравенство: log +3 ( ) <. ОДЗ неравенства определяется условиями: > > 0 + 3

22 ( ; 0) (; ) ( 3; ), откуда ( 3; ) ( ; 0) (; ) а) При 0 < + 3 <, т.е. ( 3; ), имеем: log +3 ( ) < log +3 ( + 3), откуда > + 3, ( так как при таком основании функция убывающая) Решим это неравенство: 3 > 0 IIIIIIIIIIIIII - IIIIIIIIIIIIIIIIIIII 3 ( ; ) (3; ), учитывая ограничения на ( ( 3; ), имеем: ( 3; ) б) При + 3 >, т.е. ( ; ) с учетом ОДЗ: ( ; 0) (; ), имеем: log +3 ( ) < log +3 ( + 3), откуда < + 3, (так как при основании большем логарифмическая функция возрастающая). Решим это неравенство: 3 > 0 - IIIIIIIIIII 3

23 ( ; 3), С учетом ограничений на ( ( ; 0) (; ),получаем: ( ; 0) (; 3). Объединяя результаты первого и второго случаев, получаем решение неравенства: Решите неравенства:.log <.9 log9 3.log 4.0, 6. log 7.log 8.log 9.log ( 4) 3 log lg 5.5 0, 5 log 3 ( ) < 3 log ( ) > 0 lg 3 ( ) > 0, 4 log lg ( 5) > ( ) + log ( ) ( 3) > 0 3 ( + ) < ( 3; ) ( ; 0) (; 3). Задания для самостоятельного решения. < 0 > 0.log Найдите целые числа х, при которых выполняется неравенство:.log + log > log 0 + log Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству:. log 5 log 5 < 0 ( ) lg3 lg3 < lg3 Найдите наибольшее целое х, Удовлетворяющее неравенству: 4.log3,( 8) log3, 6 < 0

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна

Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна Показательные уравнения. Методы решения. Дубова Мария Игоревна 7 78-57 Показательным называется уравнение, содержащее переменную только в показателе степени. Рассмотрим несколько типов показательных уравнений,

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 2

Иррациональные уравнения и неравенства 2 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление Иррациональные уравнения Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень Задание Задание Задание Замена иррационального уравнения смешанной

Подробнее

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений».

Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений». Тема 14 «Алгебраические уравнения и системы нелинейных уравнений» Многочленом степени n называется многочлен вида P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n, где a 0, a 1,, a n-1, a n заданные числа, a 0,

Подробнее

Тема 1. Действительные числа и действия над ними

Тема 1. Действительные числа и действия над ними Тема 1 Действительные числа и действия над ними 4 часа 11 Развитие понятия о числе 1 Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа, которых достаточно для счета отдельных предметов Множество

Подробнее

Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства

Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства Тема 8. Показательная и логарифмическая функции. 1. Показательная функция, ее график и свойства В практике часто используются функции y=2 x,y=10 x,y=( 1 2x ),y=(0,1) x и т. д., т. е. функция вида y=a x,

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы» 0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Методы решения тригонометрических уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений. Методы решения тригонометрических уравнений. ) Решение простейших тригонометрических уравнений. sin n n По определению арифметического квадратного корня перейдем к равносильной системе уравнений. n, n

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА ПРАВИТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГА КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ГБОУНПО ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЙ ЛИЦЕЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА МЕТОДИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ

Подробнее

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ГС ЛУКЬЯНОВА АИНОВИКОВ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Рязань Министерство

Подробнее

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»

Методическое пособие по математике для студентов 1-2 курсов по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» КОМИТЕТ ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ «ВОЛХОВСКИЙ АЛЮМИНИЕВЫЙ КОЛЛЕДЖ» Методическое

Подробнее

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Уравнения и неравенства с параметрами. Работу выполнила ученица 10 класса ГОУ СОШ 448 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С.

Уравнения и неравенства с параметрами. Работу выполнила ученица 10 класса ГОУ СОШ 448 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С. Уравнения и неравенства с параметрами Работу выполнила ученица класса ГОУ СОШ 8 Бастрыгина Кристина Руководитель: Кноп Л. С. Содержание. Введение. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным...

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007

Тест по алгебре Арифметический квадратный корень I вариант 8В класс, 24 октября 2007 I вариант 8В класс, 4 октября 007 1 Вставьте пропущенные слова: Определение 1 Арифметическим квадратным корнем из число, которого равен a из числа a (a 0) обозначается так: выражением Действие нахождения

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Гущин Д. Д. http://www.mthnet.spb.ru ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Основные факты. Показательными уравнениями (неравенствами) называются уравнения (неравенства), содержащие переменную в показателе

Подробнее

Экзаменационный билет 2

Экзаменационный билет 2 Экзаменационный билет 1 1. Преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот. Действия с дробями. 2. Определение функции. Способы задания, область определения, область значений функции. 2 x 1 x x 1

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ

Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ Применение производной для решения сложных задач вступительных экзаменов в МГУ Г.И. Фалин д.ф.м.н., профессор кафедра теории вероятностей механико-математический факультет МГУ им.м.в.ломоносова А.И. Фалин

Подробнее

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

Тема 3. ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Подробнее

Задание 13. допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений. переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Задание 13. допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений. переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения Вебинар Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 1; 1; 18) Задание 1 Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

г. Классная работа.

г. Классная работа. 5.0. 014 г. Классная работа. Уравнения и системы уравнений с параметрами. Опыт вступительных экзаменов в вузы показывает, что решение уравнений и неравенств, содержащих параметры, вызывает большие затруднения

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ

ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ Программа вступительного испытания по математике, проводимого Академией самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема На вступительном экзамене по математике поступающий

Подробнее

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида:

Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого вида: Ребята, мы продолжаем изучать большую тему логарифмов, сегодня мы с вами посмотрим, как решать различные уравнения, в которых есть логарифмы. Логарифмическим уравнением, называется уравнение вот такого

Подробнее

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:

СПРАВОЧНИК. 1. Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта: СПРАВОЧНИК Некоторые признаки делимости натуральных чисел Натуральные числа это числа, используемые для счёта:,,,,, Натуральные числа образуют множество, называемое множеством натуральных чисел Множество

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С3) Методы решения неравенств с одной переменной Корянов АГ, Прокофьев АА Методы решения неравенств с одной переменной ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ типовые задания С Методы решения неравенств с одной переменной Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике

Подробнее

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

Сборник задач и тестов по математике

Сборник задач и тестов по математике Муниципальное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Краснодарский муниципальный медицинский институт высшего сестринского образования» кафедра естественнонаучных

Подробнее

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости

Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Лекция 13: Классификация квадрик на плоскости Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В предыдущих трех

Подробнее

Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств»

Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств» Инструкция к практическому занятию: «Решение иррациональных неравенств» Преподаватель И. А. Кочеткова Цель работы: 1. Повторить определение арифметического квадратного корня; 2. Закрепить решение линейных

Подробнее

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 14. Логарифмические уравнения.

Дистанционная подготовка Abitu.ru МАТЕМАТИКА. Статья 14. Логарифмические уравнения. Дистанционная подготовка Abituru МАТЕМАТИКА Статья 4 Логарифмические уравнения Теоретический материал Логарифмической функцией y называется функция вида y( ) log, где 0 и Её областью определения является

Подробнее

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром

Первые шаги в решении уравнений и неравенств с параметром КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО Кафедра теории и технологий преподавания математики и информатики Фалилеева М.В. Первые шаги в решении уравнений и

Подробнее

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь-

2 Лекция 2. n-> 2.1 Последовательности Числовая последовательность. Числа x n называются элементами или членами последователь- Последовательности. Числовая последовательность. Виды последовательностей Предел числовой последовательности Предельный переход в неравенствах Предел монотонной ограниченной последовательности. Число e.

Подробнее

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1 B3 (2011) 60 3x =6 Ниже приведено решение уравнения программой UMS online 10.0 (www.umsolver.com) Отметим ОДЗ. 60 3x 0 60 3x =6 Преобразуем неравенство. x 20 60 3x =6 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Подробнее

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом

ЕГЭ. Профильный уровень. Задание 20 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Общие сведения ЕГЭ Профильный уровень Задание 0 Задачи с параметрами Квадратные уравнения и уравнения с квадратным трёхчленом Дихтярь МБ Уравнение f ( a) x + g( a) x + ϕ ( a) = 0, где f ( a) 0, является

Подробнее

Инструкция к практическому занятию: Логарифмические неравенства.

Инструкция к практическому занятию: Логарифмические неравенства. Молодечненский государственный политехнический техникум Инструкция к практическому занятию: Логарифмические неравенства. Разработчик: И. А. Кочеткова Цель работы: ) Отработать некоторые приѐмы решения

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x)

- произвольные рациональные выражения, Ρ ( x ),Q( x) 7 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Комментарий Цель этого раздела предоставить абитуриентам теоретические сведения и практический материал для формирования навыков решения алгебраически уравнений

Подробнее

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ МАТЕМАТИКА Программа «11 класс» 2013-2014 учебный год Часть 1, алгебра и начала анализа Оглавление Глава 1. Содержание курса и контрольных работ...

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

11 класс 6 = По известной формуле сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна

11 класс 6 = По известной формуле сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна 11 класс 111 Даны арифметическая и геометрическая прогрессии В арифметической прогрессии первый член равен 6, разность равна В геометрической прогрессии первый член равен, знаменатель равен Выяснить, что

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства.

Иррациональные уравнения и неравенства. Московский физико-технический институт Иррациональные уравнения и неравенства Методическое пособие по подготовке к олимпиадам Составитель: Паркевич Егор Вадимович Москва 04 Введение В этой работе мы рассмотрим

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Подробнее

Приемы и методы сравнения логарифмов

Приемы и методы сравнения логарифмов Приемы и методы сравнения логарифмов Сравнение значений логарифмов или значения логарифма с некоторым числом встречается в школьной практике решения задач не только как самостоятельная задача. Сравнивать

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале

ϕ, π ϕ и ϕ. В каждом интервале Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи

А. И. Козко В. Г. Чирский. Задачи с параметром и другие сложные задачи А. И. Козко В. Г. Чирский Задачи с параметром и другие сложные задачи Москва Издательство МЦНМО 2007 УДК 512 ББК 22.141 К59 К59 Козко А. И., Чирский В. Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. М.:

Подробнее

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика.

Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика. Методические указания по Отраслевой олимпиаде школьников «Газпром», профиль математика Учебное пособие для подготовки к олимпиаде Под редакцией Санкт-Петербургского горного университета МАТЕМАТИКА Очный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов.

Тема: Пределы. Краткие теоретические сведения. Непосредственное вычисление пределов. Тема: Пределы Краткие теоретические сведения Непосредственное вычисление пределов si Первый замечательный предел: Второй замечательный предел: ( ) 5 5 5 9 si si cos cos si si 5 5 9 6 6 6 8 8 si si 5 5

Подробнее

Последовательность. n n

Последовательность. n n Последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу ( N ) по некоторому закону приведено в соответствие число { }, то этим определена числовая последовательность,,,... (или просто последовательность).

Подробнее

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд

Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд 3. Признаки сходимости знакопеременных рядов Словарь: знакопеременный ряд знакочередующиеся ряды абсолютно сходящийся ряд условно сходящийся ряд Ряд u, не являющийся знакоположительным или знакоотрицательным

Подробнее

Порядок проведения экзамена

Порядок проведения экзамена Порядок проведения экзамена Экзамен по математике проводится в устной форме. Содержание вопросов и уровень требований определяется на основе обязательного минимума федерального государственного образовательного

Подробнее

Инвариантность и задачи с параметрами

Инвариантность и задачи с параметрами Инвариантность и задачи с параметрами Г.И. Фалин, А.И. Фалин МГУ им.м.в.ломоносова http://mech.math.msu.su/ falin 1 Введение В современной математике важную роль играет понятие инвариантности, т.е. неизменности

Подробнее

Программа по математике

Программа по математике Программа по математике На экзамене по математике поступающие должны показать: 1. Четкое знание математических определений и теорем, основных формул алгебры и геометрии, умение доказывать теоремы и выводить

Подробнее

Тема 1-8: Комплексные числа

Тема 1-8: Комплексные числа Тема 1-8: Комплексные числа А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр)

Подробнее

Иррациональные уравнения и системы

Иррациональные уравнения и системы Содержание И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Иррациональные уравнения и системы 1 Учёт ОДЗ 1 Равносильные преобразования 3 Замена переменной 6 4 Умножение на сопряжённое 7 5 Системы уравнений

Подробнее

Тема 3. Алгебраические выражения.

Тема 3. Алгебраические выражения. 13.Модуль. Композиция линейной функции и модуля, квадратичной функции и модуля, дробно-линейной функции и модуля. Линейная функция с двумя модулями. Тема 3. Алгебраические выражения. 1. Алгебраические

Подробнее

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) =

( ( ) ( )) ( ( ) + ( ) ( )) ( ) = В школьном курсе математики иррациональные уравнения решают методом возведения обеих частей в соответствующую степень сведением с помощью замены переменной к системе уравнений или используют монотонность

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Статус документа Пояснительная записка Настоящая рабочая программа по алгебре для 8 класса (углубленный уровень) основной общей общеобразовательной школы составлена на основе федерального компонента государственного

Подробнее

Ускользающая парабола

Ускользающая парабола Югорский физико-математический лицей В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи, сводящиеся к квадратичным Учебно-методическое пособие Ханты-Мансийск 4 В.П. Чуваков Ускользающая парабола или задачи,

Подробнее

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции

Предел функции. 4 1 Понятие предела функции Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

Подробнее

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 5 Итак, уравнение имеет два корня: x=0 и x. Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют данному уравнению. Ответ: УДК 5.(07.07) x=0 и 5 x. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАИБОЛЬШИХ И НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ БЕЗ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Симметрия в задачах с параметрами

Симметрия в задачах с параметрами И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Симметрия в задачах с параметрами Симметрия одно из ключевых понятий математики и физики. Вы знакомы с геометрической симметрией фигур и вообще различных

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат. Содержание тем учебного курса 1. Функции и их графики (14 часов, из них 1 час контрольная работа) Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных

Подробнее

Алгебра. Программа. 9 класс

Алгебра. Программа. 9 класс Алгебра. Программа. 9 класс Пояснительная записка. Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: овладение системой математических знаний и умений,

Подробнее

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекция 2. Свойства биномиальных коэффициентов. Подсчет сумм и метод производящих функций (конечный случай). Полиномиальные коэффициенты. Оценки биномиальных и полиномиальных коэффициентов. Оценки сумм

Подробнее

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы

Область определения данной функции определяется неравенством 5x x 6> 0 являются числа x =, x 3. Так как ветви параболы Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x. Ее свойства и график Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

, то Т.к. S 10 = 1 +

, то Т.к. S 10 = 1 + 96. a) а 0; d ; a 99. Т.к. a a + ( )d, то 99 0 +. Тогда 90; a + a 90 0 + 99 S90 90 90 09 90. б) а 00; d ; a 999. Т.к. a a + ( )d, то 999 00 +. Т.е. 900; a + a 900 00 + 999 S900 900 900 099 0 90. 97. )

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год. Часть A Единый государственный экзамен по математике, 00 год Часть A A. Упростите выражение cos α+ sin α cos α. sin α.. tg α. sin α ctg α. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем: Правильный

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа

Непрерывность функций. Непрерывность функции в точке Односторонние пределы. Определение. Число A называется пределом функции f( x ) справа Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Односторонние пределы Определение Число A называется пределом функции f( x ) слева при стремлении x к a, если для любого числа существует такое число

Подробнее

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 1. Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (1) следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ

ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ 7 г Труды ФОРА ПРИМЕРНЫЕ ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ, СВЯЗАННЫХ С ЕГЭ КС Мамий Адыгейский государственный университет, г Майкоп В работе излагаются примерные образцы решения ряда алгебраически

Подробнее

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным

, (1.2) где π ij некоторые числа, i, j = 1,..., s; здесь значения x i1,..., x in выбраны произвольным 1. КОНЕЧНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА Рассмотрим последовательность случайных величин ξ n, n 0, 1,..., каждая из коорых распределена дискретно и принимает значения из одного и того же множества {x 1,...,

Подробнее

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке.

ТЕСТ Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке. wwwaleeiivanovcom ДЗ Функции ТЕСТ 0 Запишите координаты точек на координатной прямой, показанной на рисунке ) G(-), C(-), K(-), A(4), J(0), M() ) G(-5), C(-6), K(-), A(9), J(0), M(5) ) G(-9), C(-5), K(-4),

Подробнее

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1.

Олимпиада «Паруса надежды» Вариант 1. Олимпиада «Паруса надежды» Вариант.. Сумма делителей чисел,0 и соответственно равна 8,0,. А тогда сумма делителей числа 6 равна. Следовательно Ответ:.. Сделав замену 98 a, 99 a b 99 98 b. Получим систему,

Подробнее

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2

Числовые ряды. Содержание. 1 Числовые ряды. Основные понятия 1. 2 Необходимый признак сходимости ряда 1. 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 Содержание Числовые ряды. Основные понятия 2 Необходимый признак сходимости ряда 3 Простейшие свойства числовых рядов 2 4 Знакоположительные ряды 3 5 Знакочередующиеся ряды 9 6 Знакопеременные ряды 0 7

Подробнее

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень

Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 4 г. Балтийска Рабочая программа учебного предмета «Алгебра и начала анализа» 11 класс, базовый уровень Балтийск

Подробнее