Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Методические указания

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Методические указания"

Транскрипт

1 Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Методические указания Ульяновск

2 Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ Методические указания к выполнению типового расчета для студентов всех специальностей Составители: И В Коноплева А В Скрынников Ульяновск

3 УДК 576 ББК 55я7 В6 Рецензент зав кафедрой 7 «Высшая математика и инженерная графика» УФВВИС доцент С П Никонова Одобрено секцией методических пособий научно методического совета университета В6 Векторный анализ: Методические указания к выполнению типового расчета /Сост: И В Коноплева А В Скрынников Ульяновск: УлГТУ 8 с Составлены в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика» содействуют успешному усвоению темы «Векторный анализ» и совершенствованию математического аппарата будущего инженера Настоящее пособие может быть использовано при выполне нии типового расчета студентами всех специальностей УлГТУ Работа подготовлена на кафедре «Высшая математика» Оформление УлГТУ

4 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Понятие скалярного поля Градиент Производная по направлению Решение типовых примеров ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 6 Понятие векторного поля Векторные линии 6 Решение типовых примеров 7 Поток векторного поля 9 Дивергенция Формула Остроградского Гаусса 5 Решение типовых примеров 6 Линейный интеграл Циркуляция Ротор 7 Формула Стокса 8 Решение типовых примеров БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 8 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящие методические указания являются руководством к выполнению типового расчета «Векторный анализ» Подробно рассмотрены примеры ко всем задачам соответствующего раздела сборника заданий по высшей математике Л А Кузнецова [] В каждом примере указано какой именно задаче из этого сборника он соответствует Приведены необходимые для понимания разбираемых решений теоретические сведения и формулы Перед выполнением расчета следует не только разобрать примеры но и ознакомиться с соответствующим материалом по конспекту лекций или учебнику например [ ] Преподаватель желающий включить в типовой расчет теоретические вопросы и упражнения может найти их в книгах [] или []

5 СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ Понятие скалярного поля Градиент Производная по направлению Если каждой точке M области R поставлено в соответствие число U M то говорят что в области задано скалярное поле U Зафиксируем систему координат Тогда U можно рассматривать как функцию трех переменных координат точки M : U U Градиентом функции U называется вектор проекциями которого на оси координат являются значения частных производных u u u u u u u u u : gd u ; ; i j k Рассмотрим точку M и луч l выходящий из нее Значение производной функции U в точке M по направлению l см[] вычисляется по формуле u u u u cosα cos β cosγ l где cos α cos β cosγ координаты единичного направляющего вектора τ луча l или направляющие косинусы: τ cosαi cos β j cosγ k Решение типовых примеров Пример к задаче Найти производную скалярного поля u ctg в точке M по направлению вектора l 8 i 9 j 8k Решение Вычислим gd u в точке M : u u u gd u ; ; ; ; gd um ; ; 5 5 Найдем вектор τ который совпадает по направлению с l и имеет единичную длину Длина вектора l равна l Тогда l τ ; ; cosα cos β cosγ l Производную по направлению вычисляем по формуле : u M 7 l 5 5 5

6 u M Ответ: l 7 5 Пример к задаче Найти производную поля u ln в точке M по направлению нормали к поверхности : 5 образующей тупой угол с положительным направлением оси O Решение Найдем gd um и единичный вектор τ заданного направ- u u u ления: gd u ; ; ; ; ; gd um ; ; Вектор нормали к поверхности : F в каждой точке M определяется по формуле F M F M F M n M ; ; В данном случае F 5 следовательно n ; ; n M ;; Найдем единичный вектор τ направления нормали: n τ ± ± ± ; ; n Выясним какой знак соответствует вектору образующему тупой угол с положительным направлением оси O Поскольку τ cosα cos β cosγ где γ угол между вектором τ и положительным направлением оси O и этот угол по условию тупой то cos γ < Последнее возможно лишь при выборе знака те τ ; ; Для вычисления производной остается воспользоваться формулой : u M 5 l u M 5 Ответ: l Пример к задаче Найти угол между градиентами скалярных полей u v в точке M

7 Решение u u u gd u ; ; ; ; ; gd u M ; ; ; gd v ; ; ; ;; 5 gd v M Пусть - угол между векторами gd um и gd vm gd u M gd v длины этих векторов Тогда gd u M gd v M cos ; ccos gd u M gd v M Ответ: ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ Понятие векторного поля Векторные линии Если каждой точке M области R сопоставлен вектор M M M M M i M j M k то говорят что в области задано векторное поле M В фиксированной системе координат отображение : R R скалярных аргументов координат точки M : M i j k является векторной функцией скалярных аргументов Векторной линией поля M называется линия в каждой точке M которой направление касательной совпадает с направлением соответствующего вектора поля см рис Система дифференциальных уравнений семейства векторных линий поля имеет вид d d d M М Рис

8 При интегрировании этой системы надо иметь в виду следующее: если одна из координатных функций вектора тождественно равна нулю к примеру то соответствующая координата принимает постоянное значение на каждой векторной линии C const ; иногда целесообразно помимо уравнений системы рассмотреть их комбинации получающиеся формально на основе свойства пропорций; c c c b d b d b d Решение типовых примеров Пример к задаче Найти векторные линии поля i k Решение Т к то система имеет d d d вид В силу замечания полагаем C const Подставляя это значение в систему для дальнейшего определения векторной линии получаем дифференциальное уравнение в котором считаем С Это уравнение с d d С разделяющимися переменными Решаем его: d d d d ln C C C C C ln ln C Ce C Векторные линии определяются из системы уравнений C C C e Каждая из них является линией пересечения плоскости C и цилиндриче- ской поверхности Ce см рис Если же то k ; дифференциальные уравнения семейства d d d векторных линий в плоскости имеют вид так что векторные линии образуют семейство прямых C const

9 С < С С > Рис Пример к задаче Найти векторные линии в векторном поле k j i Решение Запишем систему : d d d Используя свойство пропорций находим ; С const d d d d d d Умножим числитель и знаменатель первой дроби системы на второй на третьей на : d d d Аналогично предыдущему получим ; const С d d d d d d

10 Таким образом векторные линии определяются из системы алгебраических уравнений С и являются линиями пересечения плоскостей С и сфер С С рис Это окружности C C Рис Поток векторного поля Потоком векторного поля а M M i M j M k через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл I го рода по от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности: M n M ds n M где n M проекция вектора M на направление n M M ds Напомним что поверхностный интеграл I го рода сводится к вычислению двойного интеграла следующим образом: если является графиком непрерывно дифференцируемой функции p то o f M ds f ds f dd Аналогичные формулы можно получить и в тех случаях когда поверхность задана уравнением или Из свойств поверхностного интеграла I го рода следует что если состоит из объединения конечного числа частей n без общих внутренних точек ориентированных так же как поверхность то поток поля через равен сумме потоков через n :

11 U U U n n Рассмотрим некоторые способы вычисления потока Пусть в уравнении поверхности переменную можно однозначно выразить через и : то есть любая прямая l параллельная оси O пересекает поверхность не более одного раза см рис Тогда ± dd Здесь po знак берется в случае когда вектор n составляет на острый угол с положительным направлением оси O как на рис знак если этот угол тупой Кроме того вместо переменной в подынтегральном выражении следует подставить Аналогичные формулы имеют место в случае когда уравнение поверхности записано в виде l γ n p o Рис Поток К можно представить в виде суммы поверхностных интегралов I го рода: cosα d cos β d cosγ d где cos α cosβ cosγ направляющие косинусы вектора нормали к Здесь каждый из трех интегралов вычисляется через двойной: если в уравнении поверхности можно однозначно выразить через и : см рис то cosγ d ± dd Выбор знака здесь такой же как и в формуле Аналогично вычисляются и два других интеграла: cosα d ± dd; В cos β d ± dd

12 Здесь и уравнения поверхности Следующий способ вычисления потока основан на формуле Остроградского Гаусса Дивергенция Формула Остроградского Гаусса Пусть поле M M i M j M k задано в пространственной области v ~ и функции непрерывны в v ~ вместе со своими частными производными первого порядка Выберем в v ~ замкнутую кусочно гладкую поверхность ограничивающую некоторую область v v~ Направление нормали на возьмем внешним по отношению см рис 5 n M M MM v Рис 5 Дивергенцией векторного поля называется величина div M M v 5 M Дивергенция является скалярной характеристикой векторного поля характеризующей мощность его источников и стоков см[] Имеет место формула Остроградского Гаусса n d div dv или v nd ddd v 6 которую можно прочитать так: поток векторного поля через замкнутую поверхность ориентированную в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции по объему ограниченному этой поверхностью

13 5 Решение типовых примеров Пример к задачам 5 6 Найти поток векторного поля через часть плоскости P расположенную в первом октанте нормаль образует острый угол с осью O: i j k P : Решение Нужно найти поток через треугольник см рис 6 Его проекция на плоскость O треугольник По формуле dd Поскольку по условию нормаль образует острый угол с осью O перед интегралом выбран знак Далее из уравнения плоскости P находим: Подставляем полученные значения в подынтегральное выражение: dd dd и вычисляем двойной интеграл как повторный см рис7 Рис6 -

14 Рис7 d d d d d d Ответ: Пример к задаче Найти поток векторного поля через часть поверхности вырезаемую плоскостью Р нормаль внешняя к замкнутой поверхности образуемой данными поверхностями : : P k j i Решение Способ Из условий задачи следует что требуется найти поток через полусферу обозначим ее той же буквой что и всю сферу нормаль к ней составляет острый угол с осью О см рис 8 n - n Рис8 Поэтому воспользуемся формулой со знаком Для полусферы : -

15 Тогда dd dd dd dd Поскольку проекция на плоскость O есть круг то последний интеграл удобно вычислить в полярных координатах : d d du du 8 6 Способ Добавив к полусфере круг получим замкнутую поверхность Функции непрерывны внутри вместе со своими частными производными Поэтому поток через можно найти по формуле Остроградского Гаусса: d d µ 6 Здесь µ объем тела ограниченного Теперь найдем поток через на Поскольку в формуле Остроградского Гаусса нормаль к внешняя см рис 8 то единичная нормаль n ;; k n ds ds ds ds d d d [ ] d Интеграл dd можно было не вычислять тк равенство его нулю следует из нечетности по подынтегральной функции и симметричности круга относительно оси O По свойству поверхностного интеграла d d d 6 6 Ответ: 6 n n n

16 Пример к задаче Найти поток векторного поля через часть поверхности вырезаемую плоскостями P P нормаль внешняя к замкнутой поверхности образуемой данными поверхностями i j k : P : P : n n Рис9 Рис Решение Способ Из условий следует что требуется найти поток в направлении внешней нормали через боковую поверхность цилиндра которую также обозначим через в направлении внешней нормали см рис 9 Воспользуемся формулами 5 Заметим что вектор нормали n перпендикулярен оси O поэтому cos γ и cos γ d Поверхность симметрична относительно плоскости O выражение cosα принимает равные значения в симметричных точках поскольку и cos α меняют знак при переходе к симметричной точке Поэтому cos α d cos αd см рис Переходя по формулам 5 от поверхностного интеграла к двойному и учитывая что n составляет острый угол с осью O а уравнение имеет вид получаем см формулу 5 и рис cos αd dd dd d dd 6 d d costdt α β 6 cos tdt 8 cos t dt 8t sin t 8 sin t d

17 Аналогично получаем cos βd cos βd Окончательно cos β cosγ d 8 cos α Рис Способ Вектор внешней нормали к поверхности : в точке равен N i j и направлен по диаметру окружности получаемой в сечении горизонтальной плоскостью Z Единичный вектор N i j i j нормали равен n i j так как R Тогда N R 6 M n M d µ M : M M R M n M d d d d p O 6d d Rh sin t d costdt cost 6 cos t tdt 8

18 8 8 sin 8 cos t t dt t Способ Пусть полная поверхность цилиндра ограниченного и P P соответственно Тогда По формуле Остроградского Гаусса: µ h R d ddd : ;; ;; O dd p d d n k n k n : O dd p d d n Итак: Ответ: Пример к задаче 7 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность нормаль внешняя : k j i e Решение Условия при которых применима формула Остроградского- Гаусса выполнены см стр По формуле 6 находим d d d e d µ Остается найти объем µ тела ограниченного поверхностью Выясним что собой представляет это тело Преобразуем уравнение поверхности выделяя полные квадраты:

19 Таким образом поверхность сфера радиуса R с центром в точке ;; тело шар ограниченный этой сферой Его объем µ Тогда Ответ: Пример к задаче 8 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность нормаль внешняя j k : Решение Так же как в предыдущем примере применим формулу Остроградского Гаусса: nd d d µ d Найдем объем тела ограниченного поверхностью Из рис видно что представляет собой объединение соответствующих частей конуса и параболоида вращения Рис Объем тела ограниченного снизу и сверху соответственно графикам функций f и f можно вычислить по формуле f f µ dd где проекция тела на плоскость O В f круг с центром в начале координат нашем случае f

20 Таким образом µ dd Для вычисления этого интеграла необходимо знать радиус R круга Найдем его решая относительно R систему уравнений Подставляя в правые части уравнений системы R и приравнивая их получим ± 5 R R R R R 6 Так как нас интересует только положительное значение корня то R Вычислим µ в полярных координатах для круга : µ d d d 8 6 Окончательно µ 8 Замечание Объем тела можно вычислить по формуле µ ddd в которой для вычисления тройного интеграла можно перейти к цилиндрическим координатам : sin см рис cos М Рис

21 f f : ; ; ; ; f f M L M f f M M M Тогда 8 d d d d ddd Ответ: 8 6 Пример к задаче 9 Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность нормаль внешняя : k j i Решение Применим формулу Остроградского Гаусса: d d 7 Остается вычислить тройной интеграл 7 Поверхность ограничивающая тело образована частями сферы и конуса см рис Вычислим интеграл 7 перейдя к сферическим координатам Θ : Θ Θ Θ sin sin cos cos cos см рис 5

22 М θ Рис Рис 5 Тело ограничено двумя сферами Θ двумя конусами Θ вертикальных плоскостей и парой В декартовом пространстве O Θ приведенные шесть уравнений представляют уравнения плоскостей ограничивающих параллелепипед П рис 6 θ Рис 6 Таким образом при переходе от декартовых координат к сферическим область O взаимно однозначно отражается на параллелепипед область Π O Θ Тогда d d d cosγ cos Θ sin cos Θ sin Θ cos ΘdΘ

23 cos sin d d cos ΘdΘ d d sin Θdsin Θ sin Θ так как cos sin d sin cos Окончательно Ответ: 8 d 8 6 Линейный интеграл Циркуляция Ротор Линейным интегралом вектора M i M j M k вдоль ориентированной кривой AB называется криволинейный интеграл II го рода по координатам d d d d 8 Пусть кривая AB задана параметрически: AB AB t t t t I R Тогда криволинейный интеграл второго рода сводится к определенному: d d d d AB t t AB t t t t] dt t t t [ t t t t t AB 9 где t и t значение параметра t соответствующие точкам A и B Физический смысл: если силовое поле то линейный интеграл d представляет работу по перемещению материальной точки вдоль кривой от A до B Если же стационарное поле скоростей движущейся несжимаемой жидкости с плотностью ρ то линейный интеграл характеризует количество жидкости протекающей за единицу времени через трубку постоянно-

24 го элементарного сечения вдоль AB отнесенное к площади сечения сечение берется ортогональным к AB: B A Рис7 В случае замкнутой кривой L линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля вдоль замкнутой кривой контура L и обозначается d d d d L L Ротором поля называется вектор k j i ot Для его вычисления можно использовать символический определитель: k j i k l i ot Ротор M ot характеризует степень завихренности векторных линий поля или просто поля в окрестности т M В частности указывает то направление относительно которого завихренность поля в т M максимальная см [ 6] 7 Формула Стокса Пусть векторное поле k j i задано в пространственной области v и функции непрерывны в ней вместе со своими частными производными первого порядка Возьмем в v незамкнутую поверхность ограниченную замкнутым контуром L Направление нормали n к выберем так

25 чтобы из конца вектора n обход контура L был виден совершающимся против часовой стрелки рис 8 n L Рис 8 Имеет место формула d d d cos L α cos β cos d γ которую называют формулой Стокса С учетом 8 и ее можно записать так: d ot M n M d otn M d L и прочитать: циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора поля через поверхность опирающуюся на контур L 8 Решение типовых примеров Пример к задаче Найти работу силы F i j при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса от точки A к точке B b Решение Работа силы F i j k выражается линейным интегралом F d d d d который в данном случае удобно вы- AB AB используя пара- числить по формуле 9 с метрическое представление эллипса: cos t b cost Найдем значения t и t параметра t соответствующие точкам A и B см рис9

26 b B A Рис9 n L - Рис В точке A cos t cos t В точке B cos t cos t Отсюда t t Тогда AB F d cost b sin t b cost] dt b b sin t cost dt AB d b d cos t bt [ cost b sin t sin t sin t b dt b cost sin t bsin t b cos t Ответ: b

27 Пример к задаче Найти линейный интеграл векторного поля i j k вдоль первого витка винтовой линии cos t sin t ht в направлении соответствующем возрастанию параметра t Решение Очевидно первому витку линии отвечает изменение параметра t от до Поскольку линия задана параметрически для вычисления линейного интеграла воспользуемся формулой 9 учитывая что sin t cost h; : d L sin t ht sin t cost ht cost cost sin th dt ht sin t ht cos t h sin t cost h t sin t dt Ответ: h t h cos t dt Пример к задаче Найти модуль циркуляции векторного поля вдоль контура L : i j k L : Решение Модуль циркуляции не зависит от ориентации контура L поэтому ее можно выбрать произвольной Далее L является пересечением цилиндра и плоскости ; это эллипс см рис Найдем циркуляцию двумя способами непосредственно и по формуле Стокса Способ Составим параметрические уравнения контура L Поскольку его проекцией на плоскость O является окружность то можно положить cost sin t t Тогда из уравнения плоскости получаем: cost Таким образом L : Найдем циркуляцию cost sin t cost t по формуле 9 при ; t t : L d [ sin t cost costsin t h

28 ] dt cos cost 6sin t 8cost cos t dt 8 cos t dt 8 cos t sin t costdt cos t dt cos tdt cost 8t sin t 8sin t t sin t cos t 6 Способ Найдем циркуляцию по формуле Стокса d ot n d где внутренность эллипса L те вычислим поток поля формуле L b ot через По b b n d b b b dd ; i j k ot i j k ; b b b ; Тогда b n d dd 6 dd 6µ 6 Модуль циркуляции равен Ответ: 6 6

29 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Сборник заданий по высшей математике/л А Кузнецов М: Высшая шко ла с Дифференциальное и интегральное исчисление Т /Н С Пискунов М: Наука с Краткий курс математического анализа для втузов/аф Бермант И Г Ара манович М: Наука 97 7 с Курс математического анализа ТII/ Л Д Кудрявцев М: Высшая школа с 5 Математический анализ специальные разделы ЧII Применение некоторых методов математического и функционального анализа: Учеб пособие для втузов/а В Ефимов и др М: Высшая школа с 6 Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб пособие для студентов втузов ЧII/П Е Данко и др М: Высшая школа с Учебное издание Векторный анализ Методические указания Составители: Коноплева Ирина Викторовна Скрынников Александр Васильевич Редактор Н А Евдокимова Подписано в печать Формат 6 8/6 Усл печ л 6 Уч изд л 5 Бумага писчая Печать трафаретная Тираж экз Заказ Ульяновский государственный технический университет 7 г Ульяновск ул Северный Венец д Типография УлГТУ 7 г Ульяновск ул Северный Венец д

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ;

Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы. 6.1 Определение, свойства, вычисление и приложения поверхностного. функция f ; ; Практическое занятие 6 Поверхностные интегралы 6 Определение свойства вычисление и приложения поверхностного интеграла -го рода 6 Определение свойства и вычисление поверхностного интеграла -го рода 6 Определение

Подробнее

Вычисление и приложения тройного интеграла

Вычисление и приложения тройного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =.

ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) найти, решив систему дифференциальных уравнений: = =. ТЕОРИЯ ПОЛЯ Криволинейный интеграл по координатам (второго рода) Определение векторного поля Определение векторной линии Задача о работе силового поля Полем называется множество, элементы которого удовлетворяют

Подробнее

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t,

x ydy x y dx, где дуга линии 2 x y dxdy 2 r drd B ; y dx xydy, где дуга эллипса x 2cost y t, x t, t ; y zdxdy xzdydz x ydxdz 2cos t, 2sin t, cos, sin,,, J dd dd d d 5 Вычислить zdd zddz ddz, где внешняя сторона поверхности z, отсекаемая плоскостью z Р е ш е н и е Поверхность представляет собой параболоид, заданный явно уравнением z Поэтому

Подробнее

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k

Решение. Пользуясь уравнением поверхности в векторной форме r = i u + j v + k (u 3 + v 2 ), получим. i j k Площадь поверхности Примеры решения задач 1. Составить уравнение касательной плоскости и вычислить направляющие косинусы нормали к поверхности x = u, y = u, z = u 3 + v 2 в точке М 0 (1, 1, 2). Решение.

Подробнее

Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля»

Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля» МАТИ РГТУ им. К. Э. Циолковского Методическое пособие для проведения практических занятий и курсового проекта по теме «Теория поля» Авторы: Заварзина И.Ф. Кулакова Р.Д. Москва г ВВЕДЕНИЕ. Данные методические

Подробнее

u x y z называется векторная функция

u x y z называется векторная функция x z ) Скалярное поле определено функцией e Построить поверхности уровня для, e, 4. Определение. Градиентом скалярного поля,,. Найти градиент поля в точке ; ; u x z называется векторная функция u u u u

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ

МАТЕМАТИКА ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Методические указания к решению задач для студентов дневного и заочного отделений ФАВТ, ФМА и ФФиТРМ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

1.Дивергенция векторного поля.

1.Дивергенция векторного поля. ЛЕКЦИЯ N Дивергенция векторного поля Циркуляция Ротор отенциальные соленоидальные гармонические поля Операторы Лапласа и Гамильтона Дивергенция векторного поля Соленоидальные поля Циркуляция 4Формула Стокса

Подробнее

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Лекция 2. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Векторные линии Поток векторного поля 4 Дивергенция векторного поля Лекция ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Определение векторного поля Определение Стационарным векторным полем называется пространство

Подробнее

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Кафедра математики и информатики МАТЕМАТИКА ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Вычисление и приложения двойного интеграла

Вычисление и приложения двойного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е

называется функцией n аргументов x1, x2, xn В дальнейшем будем рассматривать функции 2-х или 3-х переменных, т.е Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f ( 1,, n ) переменной от переменных 1,, n называется функцией n аргументов 1,, n В дальнейшем будем рассматривать

Подробнее

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского

Лекция 7. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского С. А. Лавренченко www.lawenceno.u Лекция 7 Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского Формулу Стокса можно рассматривать как трехмерный аналог формулы Грина. Формула Грина сводит двойной интеграл по плоской

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения)

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (задачи и упражнения) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса

Вычисление потока векторного поля через поверхность. Формула Остроградского-Гаусса ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 8-9 Вычисление потока векторного поля через поверхность Формула Остроградского-Гаусса Потоком вектора a через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения

Подробнее

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная

,. Тогда. , где ( ) Q - часть плоскости x + y + z =1, расположенная 3 область (D ) В нашем случае n - вектор нормали к плоскости XOY те n k { } = ϕ, ϕ, Тогда = =,,, а n { } cos γ =, + + ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) ( ϕ) dq = + + dd Замечание Если поверхность ( Q) правильная в направлении

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 3 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Ю.Г. Костына, Г.П. Мартынов ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных,

Подробнее

Билет Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля.

Билет Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля. Билет 1 1. Определение векторной функции одной и многих переменных. 2. Инвариантное определение дивергенции векторного поля. Вычислить поверхностный интеграл 1-го рода: I = (x 2 + y 2 ) ds, где S граница

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА

ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА ПРИЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ 1 ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА Вектором называется направленный прямолинейный отрезок Длину отрезка в установленном масштабе называют модулем вектора Векторы считаются

Подробнее

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей

Кратные и криволинейные интегралы. Методические указания к решению задач для студентов всех форм обучения и специальностей Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные и криволинейные интегралы.

Подробнее

Лекция 13. Формула Стокса. Понятие ротора. Оператор Гамильтона. Основные виды векторных полей. Формула Стокса.

Лекция 13. Формула Стокса. Понятие ротора. Оператор Гамильтона. Основные виды векторных полей. Формула Стокса. Лекция 13 Формула Стокса Понятие ротора Оператор Гамильтона Основные виды векторных полей Формула Стокса Для установления связи между криволинейными интегралами с поверхностными интегралами проведем согласование

Подробнее

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рязанский государственный университет имени СА Есенина» АП Мелехов КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

Подробнее

8 Теорема Остроградского Гаусса

8 Теорема Остроградского Гаусса 36 8 Теорема Остроградского Гаусса Теорема (Остроградского - Гаусса Если векторная функция a = a( P непрерывно дифференцируема в области (V, ограниченной замкнутой поверхностью (Q, то поток векторного

Подробнее

29. Векторный анализ первого порядка (теория поля)

29. Векторный анализ первого порядка (теория поля) 9 Векторный анализ первого порядка (теория поля) Пусть каждой точке какого-либо реального множества E трёхмерного пространства соответствует число U ( ) или вектор F ( ) В этом случае говорят о скалярном

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания»

для студентов дневной формы обучения специальности «Машины и аппараты текстильной, лёгкой промышленности и бытового обслуживания» Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том 3, под ред. Рябушко А.П. для студентов дневной формы

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N49. Векторное поле. Поток векторного поля. Теорема Остроградского- Гаусса.

ЛЕКЦИЯ N49. Векторное поле. Поток векторного поля. Теорема Остроградского- Гаусса. ЛЕКЦИЯ N9 Векторное поле оток векторного поля еорема Остроградского- Гаусса Скалярные и векторные поля роизводная по направлениюградиент оток векторного поля через поверхность Задача о потоке жидкости

Подробнее

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l

Практическое занятие 1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Обозначим max l Практическое занятие Криволинейные интегралы -го и -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла -го рода Определение свойства вычисление и приложения криволинейного интеграла

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ТЕОРИИ ПОЛЯ

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ТЕОРИИ ПОЛЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика СП КОРОЛЕВА»

Подробнее

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k

k g k k (3.2) = = g i i i k ζ ζ ζ ζ r r ζ ζ ζ ζ ζ ζ (3.3) = = = i i k i k k 3. Элементы тензорного анализа 3.1. Ковариантная производная Зададимся вопросом, как определить производные от вектора. Можно ли считать, что для вектора w w g справедливо: w w g? (3.1) Оказывается, что,

Подробнее

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G.

1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции. z = f(x, y), (x, y) G. Площадь поверхности Основные понятия и теоремы 1. Уравнения поверхности. В 4 гл. X была рассмотрена поверхность, являющаяся графиком непрерывной функции z = f(x, y), (x, y) G. (1) Задание поверхности уравнением

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОГЛАВЛЕНИЕ Вычисление двойных и тройных

Подробнее

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида: Лекция 9. Вычисление тройного интеграла. Криволинейные системы координат. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в кратных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам

Подробнее

Интегральное исчисление функций нескольких переменных

Интегральное исчисление функций нескольких переменных МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Интегральное исчисление

Подробнее

Криволинейные интегралы 2-го типа

Криволинейные интегралы 2-го типа Глава 2 Криволинейные интегралы 2-го типа 2. Необходимые сведения из теории Напомним, обсужденный нами на предыдущем занятии криволинейный интеграл -го типа был удобен при отыскании скалярных величин,

Подробнее

Вычисление и приложения криволинейного интеграла

Вычисление и приложения криволинейного интеграла Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

1. Кратные интегралы

1. Кратные интегралы Пособие предназначено для студентов заочников КГТУ второго года обучения. В пособии в краткой и доступной форме рассмотрены темы: Кратные интегралы, Криволинейные интегралы, Ряды, Теория вероятностей.

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Примеры решения задач 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода (x 4/3 + y 4/3 ) dl, где кривая L астроида x 2/3 + y 2/3 = a 2/3. Решение. Запишем параметрические

Подробнее

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа

Приложения поверхностного интеграла 1-го типа Глава 6 Приложения поверхностного интеграла 1-го типа 6.1 Необходимые сведения На прошлых занятиях мы уже освоили методы вычисления поверхностных интегралов 1-го типа, оперируя при этом преимущественно

Подробнее

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные

( ) ( t) ( ) 2. ( x) ( ) ( ) ( ( )) Глава 2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные Глава КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине) Вычисление криволинейных интегралов первого рода Вычисление криволинейного интеграла

Подробнее

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода

Лекция 2. Поверхностные интегралы первого рода С А Лавренченко wwwlawrecekoru Лекция Поверхностные интегралы первого рода Поверхностные интегралы -го рода представляют собой такое же естественное обобщение двойных интегралов, каким криволинейные интеграла

Подробнее

Глава 5. Тройной интеграл.

Глава 5. Тройной интеграл. Глава 5. Тройной интеграл. 5.1. Определение тройного интеграла. После введения в предыдущей главе понятия двойного интеграла естественно было бы провести его дальнейшее обобщение на трехмерное пространство

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода

Лекция 1. Криволинейные интегралы первого рода С. А. Лавренченко www.lwreceko.ru Лекция Криволинейные интегралы первого рода На этой лекции мы познакомимся с интегралом, похожим на определенный интеграл, который мы изучили в модуле «Интегральное исчисление»,

Подробнее

Казанский государственный университет Физический факультет РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Векторный анализ (III семестр)

Казанский государственный университет Физический факультет РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ. Векторный анализ (III семестр) Казанский государственный университет Физический факультет РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ Векторный анализ (III семестр) Казань 7 УДК 57 Печатается по решению редакционно-издательского совета физического

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегральное исчисление функции нескольких переменных Интегральное исчисление функции нескольких переменных интегралов двойного тройного криволинейного по длине дуги (первого рода) поверхностного по площади поверхности (первого рода) Пусть функция f() определена

Подробнее

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1

Тройной интеграл. 1 Понятие тройного интеграла. Волченко Ю.М. Содержание лекции. f (P i ) V i (1) i=1 Тройной интеграл Волченко Ю.М. Содержание лекции Понятие тройного интеграла. Условия его существования. Теорема о среднем. Вычисление тройного интеграла в декартовых и криволинейных координатах. Тройной

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания ТИПОВОЙ РАСЧЕТ "КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ" Методические указания I. В первом задании предлагаетcя изменить порядок интегрирования, нариcовать облаcть интегрирования и вычиcлить двойной интеграл.

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

3. Кратные и криволинейные интегралы

3. Кратные и криволинейные интегралы 3 Кратные и криволинейные интегралы 3 Повторный интеграл По аналогии с нахождением частных производных функции нескольких переменных можно интегрировать по одному аргументу, поступая с остальными как с

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 18 ЛЕКЦИЯ 18

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря Физика Электромагнетизм (часть 1) Лекция 18 ЛЕКЦИЯ 18 1 ЛЕКЦИЯ 18 Скалярное поле. Интегрирование и дифференцирование скалярного поля. Градиент функции. Интегральное определение градиента. Векторное поле. Ротор. Дивергенция. Поток вектора. Теорема Гаусса-Остроградского.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода.

ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. ЛЕКЦИЯ N47. Криволинейные интегралы первого и второго рода. d A(P) T B.Интеграл по длине линии.... τ(p).свойства, вычисление криволинейного интеграла I рода.... P 3.Криволинейный интеграл по координатам....

Подробнее

Часть I. Элементы теории поля

Часть I. Элементы теории поля Часть I Элементы теории поля Лекция Скалярное поле Определение скалярного и векторного полей Определение скалярного поля Предположим что в каждой точке части пространства D задана какая-либо скалярная

Подробнее

z удовлетворяют уравнению F ( x,

z удовлетворяют уравнению F ( x, Аналитическая геометрия в пространстве В главе будут рассмотрены некоторые линии и поверхности в пространстве Будем исходить из наглядного представление о линии и поверхности известного из курса математики

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Приложения теории поля

Приложения теории поля Глава 13 Приложения теории поля 13.1 Необходимые сведения из теории Как известно, векторный анализ широко применяется в самых разнообразных разделах физики, от механики и электродинамики, до статистической

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский

Составители: ст. преп. Н.Е. Трубникова, ст. преп. А.Я. Мисурагина, ст. преп. Т.В. Никонова, ст. преп. Н.С. Статковский Учреждение образования «Витебский государственный технологический университет» Составители: ст преп НЕ Трубникова, ст преп АЯ Мисурагина, ст преп ТВ Никонова, ст преп НС Статковский ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Кратные

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ СЫКТЫВКАРСКИЙ ЛЕСНОЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ Методические указания для подготовки дипломированных специалистов по направлению

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ВИХРЕВЫЕ ТЕОРЕМЫ

ЛЕКЦИЯ 3 ВИХРЕВЫЕ ТЕОРЕМЫ ЛЕКЦИЯ 3 ВИХРЕВЫЕ ТЕОРЕМЫ Вспомним основные свойства и термины, которые будут использованы в вихревых теоремах: 1. Циркуляция векторного поля криволинейный интеграл, взятый по замкнутому контуру. Γ = u

Подробнее

Контрольные работы по математике для студентов 2-го курса, обучающихся по направлению «Строительство»

Контрольные работы по математике для студентов 2-го курса, обучающихся по направлению «Строительство» МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ухтинский государственный технический университет» (УГТУ) Контрольные работы по

Подробнее

Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла

Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла Глава 8 Вычисление объемов тел с помощью поверхностного интеграла 8.1 Необходимые сведения из теории До сих пор мы учились вычислять непосредственно поверхностные интегралы. Во многих приложениях однако

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» СИ, Бородина, МЮ Старовская ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн.

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пензенский государственный педагогический университет имени ВГБелинского ОГНикитина ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие Пенза Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла.

Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. Интегральное исчисление (неопределённый интеграл). 1. Понятие первообразной и неопределённого интеграла. 2. Задача интегрального исчисления. Свойства первообразных. Свойства неопределённого интеграла.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по теме Кратные и криволинейные интегралы

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по теме Кратные и криволинейные интегралы Министерство Образования Российской Федерации ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по теме Кратные и криволинейные интегралы

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

проведем прямую l, параллельную вектору, и выберем на ней точку P (рисунок 8. 1). Практическое занятие 8 Скалярные и векторные поля

проведем прямую l, параллельную вектору, и выберем на ней точку P (рисунок 8. 1). Практическое занятие 8 Скалярные и векторные поля n Практическое занятие 8 Скалярные и векторные поля 8 Скалярные поля и их основные характеристики 8 Векторные поля и их основные характеристики 8 Потенциальное и соленоидальное векторные поля 8 Скалярные

Подробнее

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски

ξ i; i высота. Тогда площадь каждой полоски Тема КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лекция КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА Задачи приводящие к понятию криволинейного интеграла первого рода Определение и свойства криволинейного интеграла первого рода Вычисление

Подробнее

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В.

для студентов дневной формы обучения специальности «Автоматизация технологических процессов и производств» Составитель: доц. Никонова Т.В. Практические занятия по курсу высшей математики (III семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности

Элементарная поверхность. Гладкая поверхность. Кривые на поверхности. Касательная плоскость. поверхности МОДУЛЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ Структурно логическая схема модуля Явное задание Способы задания Элементарная поверхность Квадратичные формы Векторная параметризация Параметризация Регулярная

Подробнее

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl

Факультатив. Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей. W. = мы получили E= ϕ. ϕ r E dl Факультатив Связь силы и потенциальной энергии для любых потенциальных полей W F ' ϕ и E ϕ r E d q' q' = мы получили E= ϕ и из ( ) r Тогда, повторив выкладки, мы из равенства W( r) ( F, d) = r получим

Подробнее

Тригонометрические ряды Фурье

Тригонометрические ряды Фурье Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Основные понятия теории поля

Основные понятия теории поля Глава 9 Основные понятия теории поля 9.1 Необходимые сведения из теории Данное занятие посвящено знакомству с основными понятиями и дифференциальными операциями теории поля. Как известно, математическая

Подробнее

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел.

~ 1 ~ Кратные интегралы. Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. ~ ~ Кратные интегралы Понятие двойного интеграла и его свойства. Задача нахождения объѐма тел. Дано: цилиндрическое тело: верхнее основание поверхность : нижнее основание плоскость Прхоу боковая поверхность

Подробнее

С.Н.Куприянова. Теория поля Методические указания

С.Н.Куприянова. Теория поля Методические указания С.Н.Куприянова Теория поля Методические указания Содержание. Скалярные и векторные поля... 4. Поток векторного поля через поверхность... 7 3. Циркуляция векторного поля вдоль кривой... 4. Дивергенция.

Подробнее

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции.

I. Точки и множества в пространстве. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции. МГУ им МВЛомоносова Физический факультет кафедра математики ЗАДАЧИ К ОБЩЕМУ ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ II СЕМЕСТР I Точки и множества в пространстве Найдите все граничные и все предельные точки

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. В.И. Филиппенко ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. В.И. Филиппенко ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса В.И. Филиппенко ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Электронное учебное пособие для студентов курсов всех

Подробнее

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости

Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА. Понятие о циркуляции скорости Занятие 8.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА Понятие о циркуляции скорости В аэрогидромеханике важную роль играет понятие циркуляции скорости Г. Выделим в движущейся сплошной среде некоторый

Подробнее

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 7. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава 7 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 7 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ Пусть { r = ( uv, ) ( uv, ) } непрерывно дифференцируемая поверхность, а квадрируемая область Рассмотрим разбиение плоскости переменных u и v на квадраты

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Методические

Подробнее

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Подробнее

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейные интегралы первого рода Криволинейные интегралы первого рода Основные понятия и теоремы 1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть кривая L на координатной плоскости Оху задана параметрически уравнениями x =

Подробнее

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г.

Дифференциальная геометрия Листок 1 8 сентября 2014 г. Листок 1 8 сентября 2014 г. Параметризация τ γ(τ) кривой в евклидовом пространстве называется натуральной, если γ = γ 1. Для натуральной параметризации dτ элемент τ длины на кривой и выполняется ( γ, γ)

Подробнее

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Электронное учебное издание. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. А.И. Левина Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» А.И. Левина КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Электронное

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Основные понятия. Если каждой паре независимых друг от друга переменных, из некоторого множества D ставится в соответствие переменная величина, то называется функцией двух

Подробнее