1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ"

Транскрипт

1 Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Прямая на плоскости Плоскость Прямая в пространстве Прямая и плоскость Кривые второго порядка 65 Типовые варианты контрольных работ 72 Ответы 75 Список рекомендуемой литературы 77 3

2 1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Основные понятия Если для отрезка АВ указано, что точка А начало, а точка В конец, то получается направленный отрезок, который называют вектором и обозначают AB или a. Вектор, противоположный вектору AB, обозначается BA или a. Длиной (модулем) вектора AB называется длина отрезка AB. Обозначение: AB или a. Если AB, то вектор называется нулевым и обозначается 0. Нулевой вектор не имеет направления, и 0 0. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обозначается 0 a. Векторы a и b, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Обозначение: a b. Коллинеарные векторы направлены либо одинаково, либо противоположно. Два коллинеарных вектора a и b называют равными, если они одинаково направлены и имеют равные длины. Заметим, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному вектору a. Таким образом, можно ввести понятие свободного вектора, который с помощью параллельного переноса можно перемещать в любую точку пространства. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. 4

3 Линейные операции над векторами 1. Суммой двух векторов a и b называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец с концом вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a (правило треугольника). Обозначение: a b. Векторы можно складывать по правилу параллелограмма: если на векторах a и b, приведенных к общему началу, построить параллелограмм, то a b совпадает с диагональю параллелограмма, выходящей из общего начала векторов a и b. 2. Разность векторов a и b определяется так: a b a ( b), где b вектор, противоположный вектору b. Разность a b совпадет со второй диагональю указанного выше параллелограмма, выходящей из конца вектора b. a b a a a b a b a b b b 3. Произведением вектора a на число 0 называется вектор, модуль которого равен a ; его направление совпадает с направлением вектора a, если 0, направление противоположно направлению вектора a, если 0. Обозначение: a. Заметим, что: 1. Для любого вектора a справедливо: 0 a a a. 2. a b a b (признак коллинеарности векторов). 5

4 Замечание. Множество всех векторов с введенными операциями сложения и умножения на число является линейным пространством. В частности, все векторы, лежащие на плоскости, образуют линейное пространство размерности 2, базисом которого является любая пара неколлинеарных векторов. Все векторы, находящиеся в пространстве, образуют линейное пространство размерности 3, а базисом является любая тройка некомпланарных векторов (определения линейного пространства и базиса см. [1]). Координаты вектора Пусть М произвольная точка, l некоторая ось (направленная прямая). Основание М 1 перпендикуляра, опущенного из точки М на ось, называется проекцией точки М на ось l. Пусть AB произвольный вектор, а точки A 1 и B 1 проекции точек A и В на ось l. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное длине вектора AB 1 1, взятой со знаком «+», если направление вектора AB 1 1 совпадает с направлением оси l, и со знаком в противном случае. Обозначение: пр l AB или пр l a. Если угол между вектором a и осью l, то пр cos l a a. Рассмотрим в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Векторы i, j, k орты координатных осей Ox, Oy, Oz. Пусть числа a1, a2, a 3 проекции произвольного вектора a на координатные оси, то есть a пр a, a пр a, a пр a, 1 i 2 j 3 k М А A 1 М 1 В l B 1 l 6

5 тогда для вектора a справедливо представление a a1i a2 j a3k. Эта формула называется разложением вектора a по ортонормированному базису i, j, k (базисы, состоящие из единичных, попарно ортогональных векторов, называют ортонормированными). Разложение вектора a по базису единственно. Числа a1, a2, a 3 называются координатами вектора a. Обозначение a { a1, a2, a3}. Длина вектора a определяется по формуле a a a a. Пусть,, углы, которые вектор a образует с осями Ox, Oy, Oz соответственно, тогда для координат вектора a имеем откуда a a cos, a a cos, a a cos, a1 a2 a3 cos, cos, cos. a a a Числа cos, cos, cos называются направляющими косинусами вектора a и удовлетворяют условию 2 cos cos cos 1. ПРИМЕР 1. Может ли вектор составлять с осями координат следующие углы: 60, 135, 45? Решение. Так как cos cos cos 1 2, то вектор не может составлять указанные углы с осями координат.

6 Замечание. Все изложенное выше можно применить к векторам на плоскости. В этом случае ортонормированный базис состоит из двух векторов i, j, а разложение любого вектора, принадлежащего плоскости, имеет вид a а1i а2j. Действия над векторами, заданными координатами Пусть векторы a и b заданы своими координатами, то есть a { a, a, a }, b { b, b, b }, тогда a b { a b, a b, a b } a { a, a, a } a1 b1, 3. a b a2 b2, a3 b3. а1 a2 a3 4. a b. b b b a a 1 a2 a 3 5. a,, {cos,cos,cos } a a a a (координаты орта 0 a это направляющие косинусы вектора a ). Напомним, что вектор, соединяющий начало координат O(0;0;0) с произвольной точкой М(x,y,z) пространства, называется радиусвектором точки М и обозначается r, причем координаты точки М являются координатами ее радиус-вектора, то есть r OM xi yj zk. Если A( x1, y1, z 1) и B( x2, y2, z 2) произвольные точки пространства, то справедливо: AB { x x, y y, z z }, АВ ( x x ) ( y y ) ( z z ). 8

7 ПРИМЕР 2. Найти координаты конца вектора AB {2; 3;4}, если известны координаты начала A( 1;0;2). Решение. Пусть точка B(x,y,z) конец вектора, тогда AB { x ( 1); y 0; z 2}. Так как по условию AB {2; 3;4}, то приравнивая соответствующие координаты, получаем x 1 2, y 3, z 2 4. Следовательно, x 1, y 3, z 6. Итак, B(1; 3;6). ПРИМЕР 3. Найти проекции вектора 2a 3b на координатные оси, если a{2; 1;0}, b { 1;3;1}. Решение. Так как 2 a{4; 2;0}, 3 b { 3;9;3}, то 2a 3 b {4 ( 3); 2 9;0 3} {7; 11; 3}. Поскольку координаты вектора являются проекциями этого вектора на координатные оси, то имеем пр 2a 3b 7, пр 2a 3b 11, пр 2a 3b 3. i j k ПРИМЕР 4. Даны векторы: a {2;3}, b {1; 3}, c {0;3}. При каком значении векторы p a b, q a 2c коллинеарны? Решение. Найдем р и q : p {2 ;3 3 }, q {2;9}. Поскольку векторы р и q коллинеарны, то их координаты должны быть пропорциональны, то есть Это равенство справедливо при 0,8, то есть векторы р и q коллинеарны при 0,8. 9

8 ПРИМЕР 5. Разложить вектор с по векторам a и b, если a{1;2}, b {2; 3}, с {9;4}. Решение. Так как векторы a и b не коллинеарны, то вектор с может быть единственным образом разложен по векторам a и b, то есть представлен в виде с 1a 2b. Так как с 9i 4 j, a i 2 j, b 2i 3 j, то 9i 4 j ( i 2 j) (2i 3 j) ( 2 ) i (2 3 ) j Векторы равны тогда и только тогда, когда равны соответствующие координаты, то есть 9 1, Решая полученную систему (например, методом Крамера), находим 1 5, 2 2. Итак, с 1a 2b 5a 2b. ПРИМЕР 6. Найти орт и направляющие косинусы вектора a { 1;5;3}. Решение. Так как 2 a ( 1) , то 0 a a ; ; a Поскольку координаты орта являются направляющими косинусами вектора a, то cos, cos, cos Заметим, что cos 0, cos 0, cos 0. Это означает то, что вектор a образует тупой угол с осью Ox и острые углы с осями Oy и Oz. 10

9 ПРИМЕР 7. Найти вектор a, коллинеарный вектору b {1; 2; 4} и составляющий тупой угол с осью Oz, если a 5. Решение. Найдем орт вектора b : 0 b b ; ; b Этот вектор коллинеарен искомому, имеет единичную длину и образует острый угол с осью Oz (третья координата положительна) Вектор b ; ; тоже коллинеарен искомому, имеет единичную длину, но составляет тупой угол с осью Oz. Легко видеть, что всем условиям задачи удовлетворяет вектор a 5 b ; ; Деление отрезка в данном отношении Координаты точки M, которая делит отрезок AВ в отношении AM, где А( x1, y1, z1), B( x2, y2, z 2), находятся по формулам: MB x 1 x М, y y М, z x y z z М В частности, для координат точки С, которая является серединой отрезка АВ ( 1), имеем: x 1 x , y y С С, z x y z z С. 2 ПРИМЕР 8. Даны точки A(2; 1;0) и B(3;1;2). Определить координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В. Решение. Так как точки A(2; 1;0) и M(x,y,z) симметричны относительно точки В, то точка В является серединой отрезка АМ. 11 А В М

10 Тогда для координат точки В имеем 2 x 1 y 0 z 3, 1, 2. 2 Следовательно, x 4, y 3, z 4. Итак, имеем М(4;3;4). Задачи 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(1; 2;3), B(3;2;1), C(6;4;4). Найти четвертую вершину D. 2. При каких, векторы a{2; ; 1}, b {4;3; } коллинеарны? 3. Дано: a 2i j 3 k, b 2 j k, c i j 2k. Найти а) координаты орта 0 a ; б) координаты вектора ab 2с ; в) разложение вектора 3a2b с по базису i, j, k ; г) пр (4 a b). k 4. Найти направляющие косинусы вектора с { 2;5; 1}. 5. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы 135 и 60 соответственно. Какой угол он составляет с осью Ox? 6. Найти вектор с, коллинеарный вектору b {0;3; 2} и образующий тупой угол с осью Oy, если с Точки A(1;2), B(5; 3), C(3;4) являются вершинами треугольника. Найти точку пересечения медиан. 8. Разложить вектор с {3;5} по базису a{2;1}, b { 1;3}. Ответы: 1. D(4;0;6) / 2; cos, cos, cos или с 0; ;. 7. (3;1) с a b. 12

11 Задания для самостоятельной работы 1.1. Доказать, что точки А(1;2; 3), В(2;2;0), С(0;3; 4), D( 2;3; 10) являются вершинами трапеции Даны точки А(1;0;3), В(2; 1;0), С(3; 2; 3). Существует ли треугольник с вершинами в этих точках? 1.3. Заданы векторы a 3 i j, b 2i 3 j k, c 2 j k. Найти а) координаты орта 0 a ; б) координаты вектора d a 2b с ; в) разложение вектора f 2a b 3с по базису i, j, k ; г) пр ( 3 b). j a 1.4. Вектор a составляет с осями Ox и Oy углы 60 и 120 соответственно. Найти его координаты, если a Найти координаты вектора a, составляющего равные углы с осями координат, если a На оси Oy найти точку М, равноудаленную от точек A(1; 4;7) и B(5;6; 5) Найти вектор a, параллельный вектору b {1;3; 5} и противоположного с ним направления, если a Даны вершины треугольника A(3; 1;5), B(4;2; 5), C( 4;0;3). Найти длину медианы, проведенной из вершины A, и координаты точки пересечения медиан треугольника Найти вектор x, направленный по биссектрисе угла между векторами a 7i 4 j 4k и b 2i j 2k, если x Разложить вектор c { 8;6} по векторам a{2; 1}, b {3; 2} Разложить вектор d {9;7; 5} по векторам a {1;2;3}, b { 1;0;2}, с {2;1; 3}. 13

12 2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, которое обозначается ab, или ab и находится следующим образом a, b ab a b cos, где угол между векторами a и b. Так как произведения справедливо пр a a cos и пр b b cos, то для скалярного b a b b пр a a пр b., b a Свойства скалярного произведения a b b a abсaba с a b a b a b 1.,,. 2.,,,. 3.,,,. 2 a a a a a a 4.,,. 5. a b a 0, b 0 a, b 0. a ПРИМЕР 1. Дано: a 2, b 3, угол между векторами a и b равен 2 3. Вычислить a 2 b,3 a b, a b. Решение. Используя свойства и определение скалярного произведения, имеем a 2 b,3a b a 2 b,3a a 2 b, b 3 a, a 2 b b, a 2b

13 3 3 a, a 3 a,2 b b, a b,2b 3 a, a 6 a, b b, a 1 b b a a a b a b b b a a a b b b 2, 3, 6,, 2, 3, 5, 2, a 5 a b cos 2 b Найдем длину вектора a b. Из свойства 4 скалярного произведения следует, что a b a b, a b a, a 2 a, b b, b Скалярное произведение в координатах Если векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k : a { a1, a2, a3}, b { b1, b2, b3}, то a, b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 В частности,. 2 a, a a a a a a ( a, a) a a a С помощью скалярного произведения можно найти угол между векторами a и b : cos ab, a1b 1 a2b2 a3b3 a b a a a b b b , а также проекцию вектора a на направление, заданное вектором b : ab, a b a b a b пр a a, b b b b b b

14 ПРИМЕР 2. Найти 3a 2 b, a b, где a{2;3; 2}, b {1;2;0}. Решение. Первый способ. Найдем координаты векторов 3a 2b и a b: Тогда 3a 2 b {8;13; 6}, a b {1;1; 2}. 3a 2 b, a b ( 6) ( 2) 33. Второй способ. Можно сначала применить свойства скалярного произведения, а затем выражение скалярного произведения через координаты: 3 a 2 b, a b 3 a, a 3 a, b 2 b, a 2 b, b a a a b b b 3,, 2, 3 (4 9 4) (2 6 0) 2(1 4 0) 33. ПРИМЕР 3. Найти угол между диагоналями четырехугольника с вершинами в точках А(1;2; 3), В(2;2;0), С(0;3; 4), D( 2;3; 10). Решение. Угол между диагоналями четырехугольника есть угол между векторами AС { 1;1; 1}, ВD { 4;1; 10}. Найдем косинус этого угла: AC, BD ( 1) ( 4) 11 ( 1) ( 10) 5 cos. AC BD ( 1) 1 ( 1) ( 4) 1 ( 10) 39 Итак, острый угол (так как cos 0) между диагоналями равен 5 arccos. 39 ПРИМЕР 4. Найти пр АВ АС, где А(2; 1;0), В(3;1;2), С( 4;1;3). Решение. Так как AB {1;2;2}, AC { 6;2;3}, AB 3, то пр АВ AC, AB 1 ( 6) 23 4 АС. AB

15 ПРИМЕР 5. Найти вектор b, коллинеарный вектору a i 2j 3k и удовлетворяющий условию 17 ab, 28. Решение. Так как векторы a и b коллинеарны, то b Тогда a b a a a a a.,,, (1 4 9) 14 28, то есть 2. Итак, b 2a 2i 4 j 6k. Задачи 1. Векторы a и b образуют угол 4. Зная, что a 4, b 2, вычислить a 2 b,3a b. 2. Дано: a 2, b 1, ( a, b) 6. Найти 2a 3b. 3. Даны вершины треугольника А(2;3; 1), В(4;1; 2), С(1;0;2). Найти внутренний угол при вершине С и пр СВ. СА 4. При каком векторы a i 5j 3k и b i 2 j k ортогональны? Ответы: arccos ; Задания для самостоятельной работы Теоретические упражнения.4. 2,5. 1. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе. 2. Изменится ли скалярное произведение векторов, если к одному из них добавить вектор, перпендикулярный к другому сомножителю? 3. Следует ли из равенства a, е b, е равенство векторов a и b? 4. Доказать теорему косинусов., где е единичный вектор,

16 Задачи 2.1. Дано: a 5, b 2, ( a, b) 3 и a 2b.. Вычислить a 4 b,2a b 2.2. Дано: a{2; 4;1}, b {1;3; 1}. Найти угол между векторами a b и 2a b Показать, что четырехугольник с вершинами в точках А( 5;3;4), В( 1; 7;5), С(6; 5; 3) и D(2;5; 4) есть квадрат Дан треугольник с вершинами A(1;2; 3), B(2;3;1), C(3;2;1). Найти внешний угол при вершине А и острый угол между медианой BD и стороной АС Найти проекцию вектора a { 2; 3; 5} на ось, составляющую с координатными осями Ox и Oz углы 45 и 60 соответственно, а с осью Oy острый угол Даны векторы a{1;2; 3}, b { 1;0;2}, с {3; 1;0}. Найти пр a. b с 2.7. Какой угол образуют единичные векторы a и b, если векторы m a 2b и n 5a 4b взаимно перпендикулярны? 2.8. Дано: a 3, b 2. При каком значении векторы a b и a b ортогональны? 2.9. Ортогональны ли векторы p 2a 4b и q 3b a, если a{1; 2;3}, b {3;0; 1}? Найти вектор x, зная, что он перпендикулярен оси Oz, и удовлетворяет условиям: x a x b b {1; 2; 3}., 9,, 4, где a {3; 1;5}, Единичные векторы е1, е2, е 3 удовлетворяют условию е1 е2 е3 0. Найти е, е е, е е, е

17 3. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Векторным произведением двух ненулевых векторов a и b называется вектор, который обозначается ab, или a b и удовлетворяет следующим условиям: 1. a, b a b sin ab, b ( угол между векторами a и b ); a 2. a, b a, a, b b ; 3. векторы a, b, a, b образуют правую тройку (если векторы a, b, a, b приведены к общему началу, то вектор ab, должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (вектор a ), а указательный палец по второму (вектор b )). Замечание. Результатом векторного произведения является вектор. Условие 1 из определения векторного произведения задает длину этого вектора, а условия 2 и 3 указывают его направление. Замечание. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b (геометрический смысл векторного произведения). Свойства векторного произведения 1. a, b b, a. 2. ab, с a, b a, с. 3. a, b a, b a, b. 4. a b a 0, b 0 a, b 0. В частности, a, a 0. 19

18 ПРИМЕР 1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах p 2a b и q a 3b, где a 2, b 1, ( a, b) 5 6. Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах p и q, равна модулю векторного произведения векторов p и q. Используя свойства векторного произведения, найдем pq:, p, q 2 a b, a 3b 2 a, a 6 a, b b, a 3 b, b 0 6 a, b a, b 0 7 a, b. Следовательно, 1 S p, q 7 a, b 7 a b sin Векторное произведение в координатах Если векторы a и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k : a { a1, a2, a3}, b { b1, b2, b3}, то i j k a2 a3 a1 a3 a1 a 2 a, b a1 a2 a3 i j k. b2 b3 b1 b3 b1 b2 b b b ПРИМЕР 2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a i 2j 3k и b 2i j 2k. 1 Решение. Найдем векторное произведение ab, : i j k a, b i j k i 8 j 5k Тогда S a, b 1 ( 8) ( 5) 2. 20

19 ПРИМЕР 3. Найти вектор с длины 3, перпендикулярный каждому из векторов a {2; 1;1} и b {1; 3;1} и образующий острый угол с осью Oz. Решение. Найдем ab, и его орт: i j k a, b i j 5 k, a, b ; ; Вектор ab, перпендикулярен векторам a и b, имеет единичную длину и составляет тупой угол с осью Oz. Легко видеть, что вектор с 3 a, b ; ; удовлетворяет всем условиям задачи. ПРИМЕР 4. Даны вершины треугольника A(1; 1;2), B(3;1; 1), C( 1;0;2). Найти длину высоты, опущенной из вершины В на сторону АС. Решение. Найдем площадь треугольника АВС. Для этого рассмотрим векторы АВ {2; 2; 3} и АС { 2;1;0} и найдем их векторное произведение: i j k AB, АС 3 3i 6 j 6k Следовательно, S AB, АС , S 9 С другой стороны, S h 2 В AC, откуда hв. AC 5 21

20 Задачи 1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a 3p 2q и b 2 p q, где p 4, q 3, ( p, q) Даны векторы a{ 1; 2;1}, b {4;3;2}. Найти ab, и площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. 3. Найти единичный вектор е, перпендикулярный вектору a {1; 4;3} и оси абсцисс. 4. Найти площадь треугольника АВС и длину высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС, если A(1; 2;3), B(0; 1;2), C(3;4;5). Ответы: { 7;6;5}, S ; ; S 4 2, h A. 43 Задания для самостоятельной работы Теоретические упражнения 1. Изменится ли векторное произведение, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллинеарный другому сомножителю? 2. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b, чтобы векторы a 3. Дано: b и 2a b были коллинеарны? a, с b, с, с 0. Следует ли отсюда, что a b? 4. Вывести формулу для вычисления векторного произведения векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе. ab, с, d, a, с b, d. Доказать коллинеарность 5. Дано: векторов a d и b с. 22

21 6. Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади этого параллелограмма. Задачи 3.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a 3b и 2a b, если a 2, b 1, ( a, b) Найти a b,2a b, если a {1;2; 3}, b { 1;0;2} Найти площадь треугольника, построенного на векторах a {1; 4; 2} и b { 1;3;2} Даны вершины треугольника A( 1;0;1), B(2;1; 1), C(3; 1;0). Найти площадь треугольника АВС и длину высоты, опущенной из вершины С на строну АВ Найти вектор x, перпендикулярный вектору a {1; 3; 4} и оси ординат, если он образует острый угол с осью Ox и x Найти координаты вектора x, перпендикулярного векторам a{2; 3;1}, b {1; 2;3}, и удовлетворяющего условию x, с 10, где с i 2j 7k Найти прс a, b, где a {0;2; 1}, b {2; 3;1}, с {1;2; 2} Найти a, b, с, где a, b, с векторы из задачи С помощью векторного произведения найти синус угла между векторами a{1; 1;4}, b {2;0;1}. 23

22 4. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Смешанным произведением трех векторов abс,, называется число, которое обозначается abс,, или следующим образом: abс,, abс a, b, с. Свойства смешанного произведения 1. abс,, b, с, a с, a, b, 24 abс и находится то есть смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов. ab с a b с 2.,,,,. 3. abс,, b, a, с с, b, a a, с, b, то есть смешанное произведение меняет знак на противоположный при перестановке любых двух векторов. 4. abс,, 0 a, b, с компланарны. Замечание. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (геометрический смысл смешанного произведения). Смешанное произведение в координатах Пусть векторы abс,, заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k : a { a1, a2, a3}, b { b1, b2, b3}, с { с, с, с }, тогда а а а abс,, b b b c c c 1 2 3

23 Применение смешанного произведения 1. Установление компланарности векторов: если abс,, 0, то векторы abс,, компланарны. 2. Определение взаимной ориентации векторов abс,, : если abс,, 0, то векторы abс,, образуют правую тройку; если abс,, 0, то векторы abс,, образуют левую тройку. 3. Определение объемов параллелепипеда и тетраэдра, построенных на векторах abс,, : 1 Vпар. a, b, с, Vтетр. a, b, с. 6 ПРИМЕР 1. Принадлежат ли одной плоскости точки А(1;2;3), В(0; 1;1), С(2;0;1), D( 1;3;0)? Решение. Рассмотрим векторы с общим началом AB { 1; 3; 2}, AC {1; 2; 2}, AD { 2;1; 3}. Если эти векторы окажутся компланарными, то это будет означать, что точки A, B, C, D лежат в одной плоскости. Найдем смешанное произведение векторов AB, AC, AD: AB, AC, AD Так как смешанное произведение не равно нулю, то векторы AB, AC, AD не являются компланарными, следовательно, точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Замечание. В последнем примере AB, AC, AD 0. Это означает, что векторы AB, AC, AD образуют левую тройку. 25

24 ПРИМЕР 2. При каком значении параметра a{2; 1; }, b {3, 1,1}, с {1;2; 3} компланарны? векторы Решение. Найдем смешанное произведение векторов abс,, : 2 1 abс,, ( 1) ( 10) Векторы компланарны, если abс,, 0, то есть Следовательно, векторы abс,, компланарны при 87. ПРИМЕР 3. Дан тетраэдр с вершинами А(1;1;0), В(2;3; 1), С(2;0;1), D( 1;2;3). Найти длину высоты, опущенной из точки D на грань АВС. Решение. Так как для объема тетраэдра справедлива формула 1 V S h, то для нахождения высоты необходимо вычислить. 3 осн объем тетраэдра и площадь основания, то есть площадь треугольника АВС. Найдем смешанное произведение векторов AB, AC, AD и объем тетраэдра ABCD: AB, AC, AD V тетр Вычислим площадь основания: i j k AB, AC 14 AB, AC i 2j 3k Sосн Следовательно, 3V h. S осн. 26

25 Задачи 1. Компланарны ли векторы a{1; 3;4}, b {3; 2;1}, с {2;4; 3}? 2. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках А(5;1; 4), В(1;2; 1), С(3;3; 4), D(2;2;2). Найти длину высоты тетраэдра, опущенную из вершины D на грань АВС. 3. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы a i 4 j, b 6i 3 j 2 k, с i 2 j 2k? Ответы: 1. нет. 2. 4; h правая. 3 Задания для самостоятельной работы 4.1. Вектор с перпендикулярен векторам a и b, a 6, b 2, с 3, ( a, b) 6. Найти abс,, Векторы a, b и с взаимно перпендикулярны, образуют левую тройку. Найти abс,,, если a 2, b 3, с Дан тетраэдр с вершинами в точках А(1;2;3), В( 2;4;1), С(7;6;3), S(4; 3; 1). Найти его объем и длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС Объем пирамиды равен 5, три его вершины находятся в точках А(2;1; 1), В(3;0;1), С(2; 1;3). Найти координаты четвертой вершины, если известно, что она лежит на оси ординат При каком векторы a{1; 3;0}, b {3; ;1}, с {2; 4;3} компланарны? 4.6. Показать, что точки А(5;7; 2), В(3;1; 1), С(9;4; 4), D(1;5;0) лежат в одной плоскости Вычислить произведение a b, b с, с a. 27

26 5. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oxy задается следующими уравнениями: 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом y kx b, k tg, где ( 2) угол наклона прямой к оси Ox, b ордината точки пересечения прямой с осью Oy. O Частные случаи: b 0 y kx прямая проходит через начало координат; 0 y b прямая параллельна оси Ox; 2 x a прямая параллельна оси Oy, а абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox. Если известна точка М0( x0, y 0), принадлежащая прямой, то уравнение этой прямой удобно записывать в виде y y k( x x ) Общее уравнение прямой на плоскости Ax By C 0. Частные случаи: С 0 Ax By 0 прямая проходит через точку О; A 0 y C B прямая параллельна оси Ox; В 0 x C A прямая параллельна оси Oy. 3. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0( x0, y 0) параллельно вектору q l, m M x x0 y y0 М. 0 q l m y b x 28

27 Это уравнение представляет собой условие коллинеарности векторов q и MM, 0 где М(x,y) произвольная точка прямой. Любой ненулевой вектор q, параллельный прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. 4. Уравнение прямой, проходящей через точку М0( x0, y 0) перпендикулярно вектору n A, B А( x x ) B( y y ) , имеет вид Это уравнение является условием ортогональности векторов n и MM, 0 где М(x,y) произвольная точка прямой. Любой ненулевой вектор n, перпендикулярный прямой, будем называть нормальным вектором этой прямой. Если в последнем уравнении раскрыть скобки, то получится общее уравнение Ax By C 0, то есть коэффициенты А и В из общего уравнения прямой являются координатами ее нормального вектора. 5. Уравнение прямой в отрезках x y 1. a b Числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат. 6. Нормальное уравнение прямой xcos y cos p 0, где p 0 длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, и углы, который этот перпендикуляр образует с осями Ox и Oy соответственно. М 0 y b O y p O n М a x x

28 Замечание. Общее уравнение прямой Ax By C 0 можно преобразовать в нормальное, умножив его на нормирующий множитель 1 " ", если C 0; A B " ", если C 0. ПРИМЕР 1. Даны точки P(1; 2) и Q(4;0). Составить все возможные уравнения прямой PQ. Решение. Так как вектор PQ {3; 2} является направляющим вектором прямой (он лежит на прямой), а точка Р принадлежит прямой (можно взять точку Q), то каноническое уравнение прямой PQ имеет вид: x1 y Получим общее уравнение этой прямой: 2 ( x 1) 3 ( y 2) 2x 3y 8 0. Уравнение в отрезках: 2x 3y x y 2x 3y / 3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом может быть получено, если из общего уравнения выразить y: 2 8 y x. 3 3 И, наконец, преобразуем общее уравнение в нормальное. Из 1 1 общего уравнения находим: A 2, B 3,. A B 13 Так как С 8 0, то берется со знаком «+». Следовательно, нормальное уравнение прямой имеет вид x y

29 ПРИМЕР 2. Составить каноническое и общее уравнения оси Ox. Решение. Для того чтобы написать каноническое уравнение любой прямой, достаточно иметь какую-нибудь точку, лежащую на этой прямой, и какой-нибудь направляющий вектор. Точка М 0 (0;0) принадлежит оси Ox, а в качестве направляющего вектора можно взять вектор i {1;0}. Тогда каноническое уравнение оси Ox имеет вид x y. 1 0 А общее уравнение оси Ox: y 0. ПРИМЕР 3. Составить уравнение прямой L 2, проходящей через точку P(4; 2) параллельно прямой L 1 : x 4y 7 0. Решение. Так как прямые L 1 и L 2 параллельны, то нормальный вектор n1 1; 4 прямой L 1 является нормальным вектором прямой L 2, то есть n2 n1. Тогда для L 2 имеем 1 ( x 4) ( 4) ( y ( 2)) 0 x 4y n 1 P L 1 L 2 ПРИМЕР 4. Составить уравнение прямой L 2, проходящей через точку N(4; 2) перпендикулярно прямой L 1 : 4x 3y 5 0. Решение. Так как прямые L 1 и L 2 перпендикулярны, то нормальный вектор n1 4; 3 прямой L 1 является направляющим для L 2, то есть q2 n1. Тогда для L 2 имеем L 2 N n 1 L 1 x4 y2 3x 4y

30 ПРИМЕР 5. Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку PQ, где P(2;5), Q( 4;3). Решение. Точка K( 1;4), которая является серединой отрезка PQ, принадлежит прямой, а в качестве нормального вектора можно взять вектор PQ { 6; 2} или коллинеарный ему вектор n {3;1}. Тогда уравнение прямой имеет вид 3 ( x 1) 1 ( y 4) 0 3x y 1 0. ПРИМЕР 6. Найти проекцию точки Р(2;3) на прямую L : 2x y 1 0. Решение. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку Р 1 перпендикулярно прямой L. Нормальный вектор n {2; 1} прямой L является направляющим вектором прямой L 1, следовательно, для прямой L 1 имеем x2 y3 x 2y Проекцией точки Р на прямую L является точка Р, точка пересечения прямых L и L 1. Чтобы найти ее, нужно решить систему уравнений 2x y 1, x 2y 8. Решение этой системы: 6 17 Р ; 5 5. P 6 17 x, y. Окончательно, имеем 5 5 Р L 1 Р K n Q L 32

31 Взаимное расположение прямых на плоскости Пусть на плоскости даны две прямые: L : A x B y C 0, n A, B ; L : A x B y C 0, n A, B. Уравнения прямых можно рассматривать как уравнения системы линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными: A1 x B1 y C1, A2 x B2 y C2. Пусть А матрица этой системы, А расширенная матрица системы, тогда возможны три случая: A A B система имеет B единственное решение n1 n2 rang A rang A 2 rang Arang A2 и L 1 2 пересекаются A1 B1 С1 система несовместна L1 и L2 A B С и решений не имеет параллельны A1 B1 С1 A B С у системы бесконечно много решений n1 n2 rang A rang A 1 L L и L 1 2 совпадают Угол между прямыми L 1 и L 2 это угол между их нормальными векторами, то есть cos n, n А А В В n n А В А В (чтобы найти острый угол между прямыми, нужно правую часть равенства взять по модулю). 33

32 Условие перпендикулярности прямых имеет вид L1 L2 A1 A2 B1 B2 0. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами L : y k x b, L : y k x b, то для острого угла между этими прямыми справедлива формула k2 k1 tg. 1 kk 1 2 В частности, L L k k, L L k k ПРИМЕР 7. Найти острый угол между прямыми: x y 2 0 и 2x 3y Решение. Так как n1 {1; 1}, n2 {2;3}, то 1 2 n1, n cos arccos. n n ПРИМЕР 8. Написать уравнение прямой L 2, проходящей через точку Р(0;2) под углом 4 к прямой L 1 : x 2y 3 0. Решение. Угловой коэффициент прямой L 1 равен k1 0,5. k2 k1 Подставляя известные величины в формулу tg, имеем 1 kk k2 0,5 1 tg 1 k2 3 или k ,5 k 3 2 Для каждого случая напишем уравнение прямой, проходящей через точку Р: y 2 3( x 0) 3x y 2 0, 1 y 2 ( x 0) x 3y

33 Расстояние от точки до прямой Пусть xcos y cos p 0 нормальное уравнение некоторой прямой, а М ( x, y ) произвольная точка. Величина x cos y cos p называется отклонением точки М от прямой, причем, если 0, то данная точка М и начало координат лежат по разные стороны от прямой, если 0, то точка М и начало координат лежат по одну сторону от прямой. Для точек, лежащих на прямой, 0. Расстояние от точки М до прямой L можно найти с помощью любой из формул: d x cos y cos p ; d d Аx By C n A 0 B пр M M. ; где М 0 произвольная точка, принадлежащая прямой, а n нормальный вектор этой прямой. ПРИМЕР 9. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми: L 1 : x 2y 1 0 и L 2 : 2x 4y 3 0. Решение. Возьмем на прямой L 1 произвольную точку, например, М(1;0), и найдем расстояние от этой точки до прямой L 2. Очевидно, мы получим искомое расстояние. Итак, d n M 0 М d 35

34 ПРИМЕР 10. Доказать, что прямая 2x y 3 0 пересекает отрезок AB, если А(1; 2), В( 4;0). Решение. Нормальное уравнение данной прямой имеет вид x y Найдем отклонения точек А и В от прямой: A 1 ( 2), B ( 4) Так как A 0, то точка А и начало координат лежат по одну сторону от прямой, так как В 0, то точка В и начало координат лежат по разные стороны от прямой. Таким образом, точки А и В лежат по разные стороны от прямой, то есть прямая пересекает отрезок АВ. Задачи 1. Дан треугольник с вершинами P(2;2), Q( 2;0), R(1; 1). Составить а). уравнение стороны PQ; б). уравнение прямой проходящей через точку Р, параллельно стороне QR; в). уравнение медианы, проведенной из вершины R; г). уравнение высоты, опущенной из вершины Q на сторону PR. 2. Найти точку Q, симметричную точке P(1;1) относительно прямой 2x y Выяснить взаимное расположение прямых. Если они параллельны, найти расстояние между ними. Если прямые пересекаются, найти угол между ними. а). 3x 4y 13 0, 2x y 7 0; б). 2x y 1 0, 4x 2y

35 4. Точка А(2; 5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x 2y 7 0. Найти площадь этого квадрата. 5. Написать уравнение прямой L 2, проходящей через точку Р( 4;5) под углом 4 к прямой L 1 : 7x y 8 0. Ответы: 1. а) x 2y 2 0; б). x 3y8 0; в). 2x y1 0; 2 1 г). x 3y ( 0,6;1,8). 3. а). arccos ; б). d x 3y 1 0; 3x 4y Задания для самостоятельной работы 5.1. Дан треугольник с вершинами К(2;0), М( 2;6), N(4; 2). Написать а). уравнение стороны КN; б). уравнение средней линии, пересекающей стороны КМ и КN; в). уравнение медианы, проведенной из вершины К; г). уравнение высоты, опущенной из вершины К на строну МN Уравнение 4x 3y 5 0 привести к нормальному виду Найти точку симметричную точке Р( 1;0) относительно прямой 3x 5y Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки А( 1;2) на прямую 3x 5y Составить уравнение прямой, если известно, что точка М(4;2) является серединой ее отрезка, заключенного между осями координат Выяснить взаимное расположение прямых. Если они параллельны, найти расстояние между ними. Если прямые пересекаются, найти угол между ними. а). 2x 3y 4 0, 4x y 12 0 ; б). x 3y 14 0, 2x 6y

36 5.7. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух параллельных прямых x 2y 3 0, 2x 4y Две стороны квадрата лежат на прямых 5x12y 65 0 и 5x12y Найти площадь квадрата Найти геометрическое место точек, расстояние от которых до прямой 5x12y13 0 равно Составить уравнение прямой, симметричной прямой x 2y 6 0 относительно точки А(4;2) Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника, зная уравнения двух его высот: 7x 2y1 0, 2x 7y 6 0 и вершину А(3; 4) Точка Р(1; 1) является центром квадрата, одна сторона которого лежит на прямой x 2y12 0. Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника КМN из задачи Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x 2y 3 0, 2x 3y 1 0 параллельно (перпендикулярно) прямой 4x 5y Доказать, что прямая x 3y 4 0 не пересекает отрезок AB, где А(1;4), В( 2;3) Даны координаты середин сторон треугольника: N(1;2), M(7;4), L(3; 4). Найти уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника. 38

37 6. ПЛОСКОСТЬ Рассмотрим различные уравнения плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz. 1. Уравнение плоскости, проходящей через точку М ( x0, y0, z 0) перпендикулярно вектору n { A, B, C} A( x x ) B( y y ) C( z z ) Это уравнение представляет собой условие ортогональности векторов n и ММ, 0 где М(x,y,z) произвольная точка плоскости. Любой ненулевой вектор n, перпендикулярный плоскости, будем называть нормальным вектором этой плоскости. 2. Общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0. Из общего уравнения плоскости можно найти координаты ее нормального вектора: n { A, B, C}. Частные случаи: D 0 M0 плоскость (П) проходит через начало координат; А 0 n {0, B, C} n Ox П Ox; В 0 n { А,0, C} n Oy П Oy ; C 0 n { A, B,0} n Oz П Oz ; А 0, B 0 n {0,0, C} n Oxy П Oxy ; B 0, C 0 n { A,0,0} n Oyz П Oyz ; А 0, C 0 n {0, B,0} n Oxz П Oxz. n M 39

38 3. Уравнение плоскости в отрезках x y z 1. a b c Числа а, b и с указывают, какие отрезки отсекает плоскость на осях координат. 4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М1( x1, y1, z 1), М 2( x2, y2, z 2), М3( x3, y3, z 3), x x y y z z x x y y z z x x y y z z Это уравнение является условием компланарности векторов М1М, М1М 2, М1М 3, где М(x,y,z) произвольная точка плоскости. После разложения определителя по первой строке и простейших преобразований получается общее уравнение плоскости. 5. Нормальное уравнение плоскости xcos y cos z cos p 0, где p 0 длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость,, и углы, который этот перпендикуляр образует с осями Ox, Oy и Oz соответственно. Замечание. Общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0 можно преобразовать в нормальное, умножив его на нормирующий множитель 1 " ", если D 0; 2 A B C " ", если D 0. a x М 1 c O z М 2 М b М 3 y 40

39 ПРИМЕР 1. Составить уравнение плоскости П 2, проходящей через точку М(1;2;3) параллельно плоскости П 1 :3x y 4z 2 0. Решение. Так как плоскости П 1 и П 2 параллельны, то нормальный вектор n1 {3; 1; 4} плоскости П 1 можно взять в качестве нормального вектора плоскости П 2, то есть n2 {3; 1;4}. М n 1 П 1 П 2 Таким образом, уравнение плоскости П 2 имеет вид 3 ( x 1) ( 1) ( y 2) 4 ( z 3) 0. Раскрывая скобки, получаем общее уравнение плоскости 3x y 4z ПРИМЕР 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3; 1;4) перпендикулярно оси Oy. Решение. Искомая плоскость перпендикулярна оси Oy, следовательно, перпендикулярна вектору j {0;1;0}, который можно взять в качестве ее нормального вектора. Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид 0 ( x 3) 1 ( y ( 1)) 0 ( z 4) 0 y 1 0. ПРИМЕР 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку N(1; 2;2) перпендикулярно ее радиус-вектору. Решение. Радиус-вектор точки N является нормальным вектором плоскости, то есть n ON {1; 2; 2}. Следовательно, уравнение плоскости имеет вид 1 ( x 1) 2 ( y ( 2)) 2 ( z 2) 0 x 2y 2z

40 ПРИМЕР 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1;0; 2) параллельно векторам a { 2;1; 1} и b {0;3;1}. Решение. Первый способ. Так как векторы a и b параллельны плоскости (можно считать, что они лежат в плоскости), то в качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор ab,, то есть i j k n a, b i 2 j 6k Запишем уравнение плоскости: 4 ( x 1) 2 ( y 0) 6 ( z 2) 0 2x y 3z 8 0. Второй способ. Пусть М(x,y,z) произвольная точка плоскости, тогда вектор М М x y z 0 1; ; 2 лежит в этой плоскости. Векторы a, b и ММ 0 компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю, то есть x 1 y z Разложив определитель по первой строке и упростив полученное выражение, получим 2x y 3z 8 0. ПРИМЕР 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки N(1;2;0), L( 1;1;1), K( 2;3;1). Решение. Векторы NL { 2; 1;1}, NK { 3;1;1} лежат в искомой плоскости, тогда вектор NL, NK ей перпендикулярен и, следовательно, является нормальным вектором, то есть b a М 0 42

41 i j k n NL, NK i j 5k Уравнение плоскости имеет вид 2 ( x 1) ( y 2) 5 ( z 0) 0 2x y 5z 4 0. Это же уравнение можно получить, если приравнять нулю смешанное произведение компланарных векторов NL, NK, NМ, где М(x,y,z) произвольная точка плоскости. ПРИМЕР 6. Составить уравнение плоскости П 2, проходящей через точки P(1; 1;2), Q( 3;0;1) перпендикулярно плоскости П 1 :3x 4y z 5 0. Решение. Так как плоскости П 1 и П 2 перпендикулярны, то нормальный вектор n1 3; 4;1 плоскости П 1 параллелен плоскости П 2, а вектор PQ { 4;1; 1} лежит в плоскости П 2. Тогда вектор n 1, PQ перпендикулярен плоскости П и является ее нормальным вектором, то есть 2 П 1 P n 1 Q П 2 i j k n2 n1, PQ i j 13 k Уравнение плоскости П 2: 3 ( x 1) ( y 1) 13 ( z 2) 0 3x y 13z

42 Взаимное расположение плоскостей Пусть даны две плоскости: П : A x B y C z D 0, n { A, B, C }; П : A x B y C z D 0, n { A, B, C }. 2 Тогда возможны три случая: A B C D плоскости П 1 и П 2 параллельны. A B C D A B C D плоскости П 1 и П 2 совпадают. A B C D n 1 и n 2 не коллинеарны плоскости П 1 и П 2 пересекаются. Угол между плоскостями П 1 и П 2 это угол между их нормальными векторами, то есть cos n, n A A B B C C n n A B C A B C (для определения острого угла между плоскостями нужно правую часть равенства взять по модулю). Условие перпендикулярности плоскостей имеет вид П1 П2 A1 A2 B1 B2 С1С 2 0. ПРИМЕР 7. Найти острый угол x 2y 5z 12 0 и 3x y z 7 0. между плоскостями Решение. Так как n1 {1; 2; 5} и n2 {3; 1;1}, то 1 2 n1, n ( 1) 51 4 cos. n n Следовательно, arccos

43 Расстояние от точки до плоскости Пусть дано нормальное уравнение некоторой плоскости xcos y cos z cos p 0 и точка М ( x, y, z ), тогда величина x cos y cos z cos p называется отклонением точки М от плоскости, причем, если 0, то данная точка М и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, если 0, то точка М и начало координат лежат по одну сторону от плоскости. Для точек, лежащих на плоскости, 0. Расстояние от точки М до плоскости можно найти, используя любую из формул: d x cos y cos z cos p ; d Аx By Cz D 2 A B C ; d пр M M n 0, где М 0 произвольная точка, принадлежащая плоскости, а n нормальный вектор этой плоскости. ПРИМЕР 8. Найти высоту тетраэдра АBCD, опущенную из вершины D на грань АВС, если А(2;1;3), В( 1;0;2), С(1;1;0), D(4;1; 3). Решение. Искомая высота h равна расстоянию от точки D до плоскости, проходящей через точки А, В, С. Составим уравнение этой плоскости. Так как i j k n AB, AC i 8j k,

44 то уравнение плоскости имеет вид 3 ( x 2) 8 ( y 1) ( z 3) 0 3x 8y z 5 0. Найдем расстояние d от точки D до плоскости: ( 3) d h Задачи 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку P(2;1;0) параллельно плоскости x 3z Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно вектору MN, если М(3; 1;1), N(1;2; 4). 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(1;4;7) параллельно векторам a {3; 1;2} и b { 2;1;4}. 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(2;0;5), N( 1;2;0), K(3; 1;4). 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М( 2;3;0) перпендикулярно плоскостям 2x3z 2 0 и x 2y z Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;1; 4) параллельно вектору a {0;1; 2} и оси Оz. 7. Найти острый угол между плоскостями 2x y z 0 и 3x 2y 5z Найти расстояние между параллельными плоскостями x 2y z 2 0 и 2x 4y 2z 7 0. Ответы: 1. x 3z x 3y 5z x 16y z x 8y z x y 4z x arccos

45 Задания для самостоятельной работы 6.1. Составить уравнение плоскости проходящей через точку К(1;0;3) перпендикулярно вектору с { 2;5;4} Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости 4x 6y 3z Составить уравнение плоскости, проходящей через точку К(0;2; 3) параллельно плоскости Оху Составить уравнение плоскости проходящей через точку К(1;2;0) параллельно вектору a { 3;1;6} и оси Oy Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М(0;3;4) и N( 2;1;3) параллельно вектору b { 2;1;4} Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M( 2;1;2), N(2;4; 1), K(0;1;3) Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку N( 2;1;3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку N(2;0;1) перпендикулярно плоскостям x 2y 3z 2 0 и 2xz Найти расстояние от точки M(5;4; 1) до плоскости, проходящей через точки K(0;4;0), L(0;4; 3), N(3;0;3) Найти острый угол между плоскостями 2x 4y 3z 7 0 и x2y При каком значении плоскости 3x y z 1 0 и x y 2z 0 перпендикулярны? 6.12 Две грани куба лежат на плоскостях 2x y 3z 4 0 и 2x y 3z 1 0. Найти объем этого куба На оси Оу найти точку, находящуюся на расстоянии d 4 от плоскости x 2y 2z Доказать, что три плоскости x 2y z 1 0, 2x y z 0 и x 3y 2z 2 0 имеют одну общую точку. 47

46 7. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Рассмотрим различные способы задания прямой в пространстве в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz. 1. Общие уравнения прямой A1 x B1 y C1z D1 0, A2 x B2 y C2z D2 0 задают прямую в пространстве как линию пересечения двух плоскостей (векторы n1 { A1, B1, C1} и n2 { A2, B2, C2} должны быть не коллинеарны). 2. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку М0( x0, y0, z 0) параллельно данному вектору q { l, m, n}, имеют вид x x0 y y0 z z0. l m n Эти уравнения представляют собой условие коллинеарности векторов q и ММ, 0 где М(x,y,z) произвольная точка прямой. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой. От канонических уравнений можно перейти к общим уравнениям, например, следующим образом: x x y y l m y y z z m n ,. M 0 Если одна или две координаты вектора q равны нулю, то это означает, что числители соответствующих дробей тоже равны нулю. M q 48

47 3. Параметрические уравнения прямой x x0 lt, y y0 mt, t, z z0 nt, x x0 y y0 z z0 можно получить, если ввести параметр: t. l m n Любому значению параметра t ( t ) соответствует единственная точка на прямой, и, наоборот, любой точке на прямой соответствует единственное значение параметра t. ПРИМЕР 1. Составить канонические, общие и параметрические уравнения оси Oy. Решение. Для того чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно иметь какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и какой-нибудь направляющий вектор. Точка О(0;0;0) лежит на оси Oy, а вектор j {0;1;0} можно взять в качестве направляющего. Тогда канонические уравнения оси Oy: x y z Поскольку знаменатели первой и третьей дробей равны нулю, то и числители этих дробей также равны нулю. Таким образом, общие уравнения оси Oy имеют вид x 0, z 0. Получим параметрические уравнения оси Oy: x 0, x y z t y t, z 0. 49

48 ПРИМЕР 2. Составить канонические, общие и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки Р(1;2; 5) и Q( 2;2;0). Решение. Вектор PQ { 3;0;5} является направляющим вектором прямой, точка Р (можно взять точку Q) принадлежит этой прямой, тогда канонические уравнения прямой имеют вид x 1 y 2 z Общие уравнения прямой можно записать, например, так x1 z5, 5x3z10 0, 3 5 y 2. y 2 И, наконец, выпишем параметрические уравнения x 3t 1, x 1 y 2 z 5 t y 2, z 5t 5. ПРИМЕР 3. Привести к каноническому виду прямую, заданную 2x y 3z 1 0, общими уравнениями x 4z 2 0. Решение. Первый способ. Так как n 2 прямая лежит одновременно в обеих q плоскостях, то любой ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам n1 {2; 1;3} и n2 {1;0;4} обеих плоскостей, тогда вектор 1 2 i j k q n, n i 5 j k можно взять в качестве направляющего. Найдем какую-нибудь точку, принадлежащую прямой. Координаты этой точки являются частным решением системы уравнений 50 n 1

49 2x y 3z 1 0, x 4z 2 0, состоящей из двух уравнений с тремя неизвестными. Одна из переменных является свободной. Пусть, например, z 0, тогда 2x y 1, x 2, x 2 y 5. Точка М0 ( 2; 5;0) принадлежит прямой, следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид x 2 y 5 z Второй способ. Канонические уравнения прямой можно получить, имея любые две точки, принадлежащие этой прямой. Точка М 0 найдена выше, найдем вторую точку М 1. Пусть z 1, тогда 2x y 2 0, x 6, М1( 6; 10;1). x 6 0 y 10. В качестве направляющего возьмем вектор ММ 0 1 { 4; 5;1}, тогда имеем x 2 y 5 z ПРИМЕР 4. Составить канонические уравнения прямой, x 1 y z проходящей через точку Р(2;4;0) параллельно прямой Решение. Поскольку прямые параллельны, то вектор q {2;1; 3} является направляющим вектором обеих прямых. Тогда канонические уравнения искомой прямой: x 2 y 4 z

50 Взаимное расположение прямых в пространстве Пусть даны две прямые в пространстве: x x y y z z L :, q { l, m, n }, M ( x, y, z ); l1 m1 n1 x x y y z z L :, q { l, m, n }, M ( x, y, z ) l2 m2 n2 Здесь прямые заданы каноническими уравнениями, но они могут быть заданы общими или параметрическими уравнениями, при этом всегда можно найти направляющие векторы прямых и точки, принадлежащие этим прямым. 1. Прямые L 1 и L 2 параллельны тогда и только тогда, когда q1 q 2. В частности, прямые могут совпадать. Чтобы проверить, совпадают прямые или нет, достаточно координаты точки, принадлежащей одной прямой, подставить в уравнения другой прямой. Если получатся истинные равенства, то прямые совпадают. ПРИМЕР 5. Определить взаимное расположение прямых в x 1 y 1 z x y 1 z 3 пространстве, если L1: ; L2: Решение. Так как q1 {2;1; 1} и q2 { 2; 1;1} коллинеарны, то прямые параллельны. Точка М 1 (1; 1;0) принадлежит прямой L 1. Подставив ее координаты в канонические уравнения прямой L 2, имеем Следовательно, точка М 1 не принадлежит второй прямой, то есть прямые не совпадают. 52

51 2. Прямые L 1 и L 2 пересекаются, если они лежат в одной плоскости и не параллельны. Прямые L 1 и L 2 пересекаются тогда и только тогда, когда векторы q1, q 2 и M M { x x, y y, z z } компланарны, то есть x x y y z z М М, q, q l m n 0, l m n 2 причем векторы q 1 и q 2 должны быть не коллинеарны. 3. Прямые L 1 и L 2 скрещиваются, то есть принадлежат разным плоскостям, если М1М 2, q1, q2 0. ПРИМЕР 6. Определить взаимное расположение прямых L x y z 1 0, x 1 y z 3 : L :. x 2y z 0, Решение. Найдем направляющий вектор прямой L 1: i j k q i 3k Удобно взять в качестве направляющего вектор q1 {1;0;1}, который коллинеарен найденному. Так как векторы q1 {1;0;1} и q2 {0;1;2} не коллинеарны, то прямые не параллельны. Точка M 2 ( 1;0;3) принадлежит прямой L 2. Найдем точку M 1, принадлежащую прямой L 1. Пусть z 0, тогда x y 1, 2, x y M1 ; ;0 x 2y q 1 M 2 M q

52 Так как М М / 3 1/ 3 3, q, q , то прямые L 1 и L 2 скрещиваются. Угол между прямыми Угол между прямыми это угол между направляющими векторами этих прямых, то есть cos q, q l l m m n n q q l m n l m n (для определения острого угла между прямыми нужно правую часть равенства взять по модулю). В частности, условие перпендикулярности прямых имеет вид Тогда l1 l2 m1 m2 n1 n2 0. ПРИМЕР 7. Найти острый угол между прямыми x3 t, 2x y 3z 10 0, L1: L2: y 2 t,. x 3y z 0, z 1 Решение. Найдем направляющие векторы прямых L 1 и L 2: i j k q n, n i j 5 k, q {1; 2;0}, q1, q ( 5) 0 cos arccos. q q

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения.

ЛЕКЦИЯ 12. Поверхности в пространстве и их уравнения. ЛЕКЦИЯ Поверхности в пространстве и их уравнения Поверхность Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат, есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий)

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ (варианты курсовых заданий) Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ Российский государственный технологический

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Плоскость. Прямая в пространстве 1

Плоскость. Прямая в пространстве 1 Объект изучения геометрические элементы: точки, прямые, линии, плоскости, поверхности; Метод изучения метод координат; Основные задачи 1. Задано ГМТ, т.е. совокупность точек, обладающих характерным свойством.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим

уравнением первой степени и при любом другом выборе декартовой прямоугольной системы. Расположим оси Ox и Oy в плоскости π, а ось Oz направим Уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ Е. И. Галахов, О. А. Салиева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Москва 2009 1 Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Пензенский государственный педагогический университет им В Г Белинского О П Сурина М В Сорокина АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Учебное пособие Пенза 9 Печатается по решению редакционно-издательского

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,

Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет, Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

R может быть задана с помощью

R может быть задана с помощью 5... Уравнения плоскости. Плоскость в пространстве 5.. ПЛОСКОСТЬ. R может быть задана с помощью n, B, C, вектора перпендикулярного плоскости, и точки M,, этой плоскости. Вектор n, B, C,, лежащей на E перпендикулярный

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление

Содержание Введение 1. Линейная алгебра 2. Аналитическая геометрия и векторная алгебра 3. Введение в анализ 4. Дифференциальное исчисление Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Подробнее

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Шаталина А.В., Кучер Н.А., Борисова Л.В. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали.

Лекция 5. Прямая на плоскости. 1. Уравнение прямой, задаваемой точкой и вектором нормали. Лекция 5 на плоскости. Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее