М.П. Харламов Конспект

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "М.П. Харламов Конспект"

Транскрипт

1 М.П. Харламов Конспект Теория вероятностей и математическая статистика Краткий конспект первого раздела (вопросы и ответы) Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов Волгоградский филиал РАНХиГС Направления Управление (бакалавриат) Экономика (бакалавриат) 1

2 Вопросы, включенные в зачет/экзамен по разделу «Теория вероятностей» математических курсов Заочная форма обучения 1. Определения и формулы перестановок, сочетаний, размещений. 2. Случайное событие, классификация событий. 3. Элементарные и составные события, классическое определение вероятности события. 4. Основные свойства вероятности. 5. Понятие суммы и произведения событий. 6. Теорема сложения вероятностей. 7. Понятие полной группы событий. Свойство вероятностей для полной группы. 8. Противоположные события и соотношение между их вероятностями. 9. Условная вероятность события. События зависимые и независимые. 10. Теорема умножения вероятностей. 11. Формула полной вероятности. 12. Формула Байеса. 13. Формула Бернулли. 14. Наивероятнейшее число появления события. 15. Понятие случайной величины, примеры дискретных и непрерывных случайных величин. 16. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. 17. Математическое ожидание для дискретной и непрерывной СВ, основные свойства. 18. Дисперсия для дискретной и непрерывной СВ, основные свойства. 19. Равномерная случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. 20. Нормально распределённая случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. 21. Правило "трёх сигм". 2

3 1. Определения и формулы перестановок, сочетаний, размещений. Необходимое понятие факториал Определение. Для любого неотрицательного целого числа n определена функция, которая называется факториал числа. Она обозначается через n! (читается как «эн факториал») и равна произведению всех целых положительных чисел от 1 до n. В случае n = 0 считается по определению, что 0! = 1. Определение. Перестановкой называется расположение заданного количества различных предметов в определенном порядке. Формула перестановок. Пусть даны n различных предметов. Количество всевозможных их перестановок обозначается через P n и вычисляется по формуле перестановок: P n = n! = n (n 1) (n 2) Определение. Размещением n предметов по k местам (коротко «размещение из n по k») называется слово, составленное из k различных букв алфавита, содержащего n букв, или, что то же самое, вариант последовательного (то есть с учетом порядка) выбора k предметов из n различных предметов. Формула размещений. Количество всевозможных размещений из n по k обозначается через A k n и вычисляется по формуле размещений: A k n = n (n 1)... (n k + 1) = n! (n k)!. Определение. Сочетанием из n по k называется вариант выбора k предметов из n без учета порядка выбора. Формула сочетаний. Количество всевозможных сочетаний из n по k обозначается через C k n и вычисляется по формуле сочетаний: C k n = n (n 1)... (n k + 1) k (k 1)... 1 = n! k!(n k)!. 3

4 2. Случайное событие, классификация событий. Событием в теории вероятностей (случайным событием) называется любой факт, который в результате испытания, эксперимента, опыта может произойти или не произойти. События обозначаются обычно заглавными латинскими буквами A, B, C.... Виды событий Определение. Событие называется невозможным (обозначается символом ), если оно никогда не может произойти. Событие называется достоверным (обозначается символом Ω), если оно происходит при любом исходе эксперимента (происходит всегда). Определение. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. События, которые могут происходить одновременно, называются совместными. Определение. Несколько событий называются единственно возможными, если хотя бы одно из них обязательно произойдет. Определение. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и все попарно несовместны. Иными словами, события образуют полную группу, если в результате испытания заведомо происходит одно и только одно из них. 4

5 3. Элементарные и составные события, классическое определение вероятности события. Предположим, что мы можем явно указать все возможные исходы эксперимента, которые между собой несовместны и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами или элементарными событиями. Если их количество равно n, то теоретическая частота каждого из них, принимаемая за вероятность элементарного события, равна 1 n. Исход, при котором событие A происходит, называется благоприятным исходом (событию A или для события A). Соответственно, исход, при котором событие A не происходит, называется неблагоприятным. Предположим, что количество благоприятных исходов равно m. Определение. Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных этому событию элементарных исходов к общему числу элементарных исходов P (A) = m n. 4. Основные свойства вероятности. 1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей 0 P (A) Вероятность невозможного события равна нулю P ( ) = Вероятность достоверного события равна единице P (Ω) = 1. 5

6 5. Понятие суммы и произведения событий. Противоположное событие. Определение. Суммой двух событий A + B называется событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий A или B. Определение. Произведением двух событий AB называется событие, состоящее в том, что произошли оба события A и B. Определение. Событием, противоположным к A, называется событие A, состоящее в том, что событие A не произошло. 6. Теорема сложения вероятностей. Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P (A + B) = P (A) + P (B). Теорема 2. Вероятность суммы произвольных событий: P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB). Эти утверждения хорошо видны на рисунке (событие соответствует попаданию в овал): 6

7 7. Понятие полной группы событий. Свойство вероятностей для полной группы. Определение. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и все попарно несовместны. Иными словами, события образуют полную группу, если в результате испытания заведомо происходит одно и только одно из них. Пример. Событие A и ему противоположное A образуют полную группу. Свойство полной группы. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: { AB = BC = CA = A + B + C = Ω P (A) + P (B) + P (C) = P (Ω) = Противоположные события и соотношение между их вероятностями. Определение. Событием, противоположным к A, называется событие A, состоящее в том, что событие A не произошло. Свойство 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: P (A) + P (A) = 1. Свойство 2. Вероятность противоположного события вычисляется по формуле: P (A) = 1 P (A). 7

8 9. Условная вероятность события. События зависимые и независимые. Определение. Вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью события B (при условии A) и обозначается через P A (B) или P (A B). Формулы условных вероятностей: если P (A) 0 и P (B) 0, то условные вероятности вычисляются по формулам P (B A) = P (AB) P (A), P (AB) P (A B) = P (B). Определение. Событие B называется независимым от события A, если P (B A) = P (B); событие B называется зависимым от A, если P (B A) P (B). Определение. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого: P (B A) = P (B), P (A B) = P (A). 10. Теорема умножения вероятностей. Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло: P (AB) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B). События A и B независимы тогда и только тогда, когда вероятность их произведения равна произведению их вероятностей P (AB) = P (A)P (B). 8

9 11. Формула полной вероятности. Теорема (формула полной вероятности). Пусть дана полная группа событий H 1, H 2,..., H n и произвольное событие A. Тогда P (A) = n P (A H i )P (H i ). i=1 Пояснение на рисунке: A есть сумма несовместных событий AH 1, AH 2,..., AH n. 12. Формула Байеса. Пусть дана полная группа событий H 1, H 2,..., H n. Такую группу часто называют (особенно в статистике) конкурирующими гипотезами, поскольку такие события описывают все возможные исходы, но что именно происходит неизвестно. Если заранее имеются предположения о вероятностях гипотез, то есть вычислены P (H i ), то произведя некоторое испытание, в результате которого произошло событие A, можно уточнить вероятность гипотезы H i. Теорема (формула Байеса). Пусть дана полная группа событий H 1, H 2,..., H n и известно, что произошло событие A. Тогда P (H i A) = P (A H i)p (H i ). P (A) 9

10 13. Формула Бернулли. Схемой Бернулли называется следующий эксперимент. Имеется некоторое испытание (опыт), в результате которого определяется произошло некоторое событие (успех) или не произошло (неудача). Предполагается, что все испытания независимы и проводятся в совершенно одинаковых условиях. Обозначения: обычно общее количество испытаний обозначают через n, вероятность успеха в одном испытании (всегда одинаковая) обозначается через p. Тогда вероятность неудачи (которая обозначается через q) вычисляется как вероятность противоположного события: p + q = 1 q = 1 p. Теорема (формула Бернулли) Пусть задана схема Бернулли из n испытаний с вероятностью успеха p. Обозначим через P n (k) вероятность того, что в такой серии испытаний произойдет ровно k успехов. Эта вероятность вычисляется по формуле Бернулли P n (k) = Cnp k k q n k, где q = 1 p. 14. Наивероятнейшее число появления события. Рассматривается схема Бернулли из n испытаний с вероятностью успеха p (с вероятностью неудачи q = 1 p). Определение. Наивероятнейшим числом в схеме Бернулли называется число k 0 наступлений успеха в n испытаниях, если P n (k 0 ) P n (k) k = 0, 1,..., n. (вероятность появления k 0 успехов больше либо равна вероятности появления любого другого числа успехов). Теорема. Наивероятнейшее число k 0 определяется из неравенства np q k 0 np + p, причем если np+p нецелое, то существует одно наивероятнейшее число k 0, если же np + p целое, то существует два наивероятнейших числа k 0 = np + p и k 0 = np q. 10

11 15. Понятие случайной величины, примеры дискретных и непрерывных случайных величин. Определение. Случайная величина переменная величина, принимающая в зависимости от обстоятельств различные числовые значения при разных наблюдениях одного и того же опыта. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Определение. Дискретная случайная величина (сокращенно, ДСВ) это такая случайная величина, которая принимает лишь конечное или счетное число различных значений. Примеры ДСВ 1) Сумма очков при бросании двух кубиков. Может принимать ровно 11 разных значений. 2) Количество входящих звонков на данный номер за месяц. Это число целое неотрицательное, но заранее ограничить его каким-то конечным числом нельзя. В этом случае говорят, что число значений счетно. Определение. Непрерывная случайная величина (сокращенно, НСВ) это случайная величина, которая не является дискретной, то есть принимает несчетное множество различных значений, например, все вещественные значения из какого-нибудь промежутка. Примеры НСВ 1) Расстояние точки попадания выстрела от центра мишени. 2) Время безотказной работы какого-нибудь прибора. 11

12 16. Закон распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Определение. Законом распределения заданной случайной величины (или, короче, распределением) называется любое правило, сформулированное в виде таблицы, функции, формулы или графика, которое позволяет вычислять вероятности любого значения случайной величины и любого множества таких значений. Для дискретной случайной величины (ДСВ) все ее значения могут быть перечислены в последовательности x 1, x 2,..., x n,..., а значит, можно явно задать вероятности этих значений в виде формулы p i = P {X = x i }, i = 1, 2,..., n,... или таблицы X x 1... x n... P p 1... p n... Такую таблицу называют рядом распределения ДСВ. Определение. Функцией распределения дискретной или непрерывной случайной величины X называется функция F (x), определенная на множестве всех чисел x и задающая вероятность того, что СВ X примет значение меньшее, чем x: F (x) = P {X < x}, x ( ; + ). Свойства F (x): 1) 0 F (x) 1; 2) F (x) неубывающая функция; 3) lim F (x) = 1, lim x + F (x) = 0; x 4) P {a X < b} = F (b) F (a). 12

13 17. Математическое ожидание для дискретной и непрерывной СВ, основные свойства. Определение. Пусть задана ДСВ X с рядом распределения X x 1... x n... P p 1... p n... Ее математическим ожиданием называется сумма парных произведений всех возможных ее значений на их вероятности: M(X) = i p i x i. Определение. Плотностью распределения f(x) непрерывной случайной величины называется производная от ее функции распределения F (x): f(x) = F (x), F (x) = x f(t)dt. Свойства плотности распределения: + 1) f(x) 0; 2) f(t)dt = 1. Определение. Пусть задана HСВ X с плотностью распределения f(x). Ее математическим ожиданием называется число M(X), вычисляемое по формуле + M(X) = xf(x)dx. Свойства M(X): 1) M(C) = C, C = const; 2) M(C X) = C M(X), C = const; 3) M(X + Y ) = M(X) + M(Y ); 4) если X, Y независимы, то есть независимы все события вида {X x}, {Y y}, то M(X Y ) = M(X) M(Y ). 13

14 18. Дисперсия для дискретной и непрерывной СВ, основные свойства. Определение. Пусть задана ДСВ X с рядом распределения X x 1... x n... P p 1... p n... Ее дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания: D(X) = M([X M(X)] 2 ) = i p i [x i M(X)] 2 = i p i x 2 i ( i p i x i ) 2. Определение. Пусть задана HСВ X с плотностью распределения f(x). Ее дисперсией называется число D(X), вычисляемое по формуле + D(X) = M(X M(X)) 2 = (x M(X)) 2 f(x)dx. Свойства D(X): 1) D(X) 0; 2) D(C) = 0, C = const; 3) D(C X) = C 2 D(X), C = const; 4) D(X + C) = D(X), C = const; 5) если X, Y независимы, то D(X + Y ) = D(X) + D(Y ); 6) D(X) = M(X 2 ) (M(X)) 2. 14

15 19. Равномерная случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Определение. Равномерной (равномерно распределённой) случайной величиной на отрезке [a, b] называется непрерывная СВ X, которая принимает значения на заданном отрезке [a, b] таким образом, что вероятность попасть в любой интервал внутри отрезка пропорциональна длине интервала. Плотность распределения и функция распределения 1, x [a, b] f(x) = b a 0, x / [a, b] ; F (x) = Графики плотности и функции распределения: 0, x < a x a, x [a, b] b a 1, x > b Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой СВ M(X) = a + b 2 (a b)2, D(X) =

16 20. Нормально распределённая случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия. Определение. Нормально распределённой случайной величиной с параметрами µ, σ называется непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x) = 1 (x µ) 2 σ 2π e 2σ 2. Такое распределение называется также законом Гаусса. График плотности распределения: Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой СВ M(X) = µ, D(X) = σ Правило "трёх сигм". Теорема. Пусть дана нормально распределённая случайная величина с параметрами µ, σ. Тогда 1) 99,73% значений нормальной случайной величины попадают в интервал µ±3σ: P ({ X µ > 3σ} < ) 95,45% значений нормальной случайной величины попадают в интервал µ±2σ: P ({ X µ > 2σ} < ) 68,27% значений нормальной случайной величины попадают в интервал µ ± σ: P ({ X µ > σ} <


Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины

Лекция 4 Тема. Содержание темы. Основные категории. Введение в случайные величины Лекция 4 Тема Введение в случайные величины Содержание темы Случайная величина. Понятия дискретной и непрерывной случайной величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения,

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС

Подробнее

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ)

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Непрерывные случайные величины (НСВ) Лекция 5 Тема Непрерывные случайные величины (НСВ) Содержание темы Способы задания: интегральный закон распределения, плотность распределения. Связь между ними. Свойства плотности распределения. Применение

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Подробнее

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна.

Вероятность события, классическое определение вероятности. Графическое представление в виде диаграмм Эйлера Венна. Лекция 2 Тема Основные понятия теории вероятностей Содержание темы Предмет ТВ. Случайное событие. Вероятность события, классическое определение вероятности. Операции с событиями. Графическое представление

Подробнее

Формулы по теории вероятностей

Формулы по теории вероятностей Формулы по теории вероятностей I. Случайные события. Основные формулы комбинаторики а) перестановки P =! = 3...( ). б) размещения A m = ( )...( m + ). A! в) сочетания C = =. P ( )!!. Классическое определение

Подробнее

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике

Краткий конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени

Подробнее

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей

Лекция 3. Тема. Содержание темы. Основные категории. Основные теоремы и формулы теории вероятностей Лекция 3 Тема Основные теоремы и формулы теории вероятностей Содержание темы Алгебра событий. Теоремы сложения вероятностей. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей. Основные категории алгебра

Подробнее

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций

М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций 2009 М. М. Попов Теория вероятности Конспект лекций Выполнил студент группы 712 ФАВТ А. В. Димент СПбГУКиТ Случайное событие всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти, и

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Кафедра математики и информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Подробнее

Экзаменационный билет 3

Экзаменационный билет 3 Экзаменационный билет 1 1. Принцип умножения. 2. Построение функции распределения для дискретной случайной величины. 3. Генеральная и выборочная совокупности, свойство репрезентативности. Экзаменационный

Подробнее

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1

Теория вероятностей. Алгебра событий. , или обоих этих событий; б) Умножение (пересечение) событий. Произведением событий B = A 1 Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания Приведем основные понятия теории вероятностей необходимые для их выполнения Для решения задач 50 50 необходимо знание темы Случайные

Подробнее

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Теория вероятностей» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева Е.Г. Основные определения и

Подробнее

Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей Д.ф.-м.н., профессор Михаил Павлович Харламов Введение в теорию вероятностей УЗ-100 2011-2012 учебный год 2-й семестр 1 Тема: Комбинаторика Это раздел математики, изучающий комбинации и перестановки объектов

Подробнее

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание

3 Операции над матрицами: сложение и вычитание Определение детерминанта матрицы Квадратная матрица состоит из одного элемента A = (a ). Определитель такой матрицы равен A = det(a) = a. ( ) a a Квадратная матрица 2 2 состоит из четырех элементов A =

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций

Теория вероятностей и математическая статистика Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра высшей математики Теория вероятностей и математическая статистика

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Комбинаторика, правила произведения и суммы. Виды соединений ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Комбинаторика, правила произведения и суммы Комбинаторика как наука Комбинаторика это раздел математики, в котором изучаются соединения подмножества элементов, извлекаемые из конечных

Подробнее

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ

Теория вероятностей. Методические указания к выполнению РГР. Для студентов ФТКиТ МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И

Подробнее

Глава 3. Непрерывные случайные величины

Глава 3. Непрерывные случайные величины Глава 3. Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Если множество значений случайной величины X не конечно и не счетно, то такая случайная величина не может характеризоваться вероятностью

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЗАНЯТИЕ 4 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. СПОСОБЫ ИХ ЗАДАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Понятие случайной величины одно из важнейших понятий теории вероятностей. Под случайной величиной понимается величина,

Подробнее

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения.

X и значения k и c, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (a/2, b/2). Построить график функции распределения. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2018 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

4. Теория вероятностей

4. Теория вероятностей 4. Теория вероятностей В контрольную работу по этой теме входят четыре задания. Приведем основные понятия теории вероятностей, необходимые для их выполнения. Для решения задач 50 50 необходимо знание темы

Подробнее

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность).

Химия (направление); Фундаментальная и прикладная химия (специальность). 0000.6-Химия (направление); http://kpfu.ru/pdf/portal/oop/4853.pdf 000.65 - Фундаментальная и прикладная химия (специальность). Дисциплина: «Математика» (бакалавриат, специалитет, курс, очное обучение).

Подробнее

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной

m раз. Тогда m называется частотой, а отношение f = - относительной Лекция Теория вероятностей Основные понятия Эксперимент Частота Вероятность Теория вероятностей раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений Случайные события это события, которые при

Подробнее

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2

Число способов, которыми можно разбить 10 женщин на 5 групп по 3 1 женщине в каждой, равно числу неупорядоченных разбиений 2, 2, 2, 2, 2 ВАРИАНТ.. Группа состоит из 5 мужчин и 0 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на 5 групп по три человека в каждой группе будет мужчина. Решение: Для решения задачи будем использовать

Подробнее

Основные понятия и определения

Основные понятия и определения 1 Основные понятия и определения Вспомним основные понятия и определения, которые употреблялись в курсе теории вероятностей. Вероятностный эксперимент (испытание) эксперимент, результат которого не предсказуем

Подробнее

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики

УДК СОСТАВИТЕЛЬ кандидат технических наук, доцент Л. В. Березина. ОБСУЖДЕНО на заседании кафедры высшей математики УДК 57. Теория вероятностей: программа учебной дисциплины и методические указания к выполнению контрольной работы / Сост. Л.В. Березина; РГАТУ имени П. А. Соловьева. Рыбинск, 0. 4 с. (Заочная форма обучения/

Подробнее

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ВАЖНЕЙШИЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 1 Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений. Случайная величина X называется

Подробнее

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайные величины. Дискретная и непрерывная случайные величины Случайные величины Дискретная и непрерывная случайные величины Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется другое более удобное понятие случайной величины Случайной величиной

Подробнее

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Тема 11. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Тема. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Содержание Предельные теоремы теории вероятности 2 Неравенство Чебышева

Подробнее

Непрерывная случайная величина

Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина Непрерывная случайная величина принимает бесконечное количество значений из определенного интервала числовой прямой. 0 6 месяцев Срок службы лампочки 2 Пример. Рост человека

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2019 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. В вариантах вопросов на экзамене возможны изменения по сравнению с предложенным списком: могут быть изменены численные

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 3. Методы определения вероятностей МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

Подробнее

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия.

Теория вероятностей. Случайные события. Параграф 1: Общие понятия. Параграф : Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение : Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Подробнее

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач

2. Вероятность Определения и формулы для решения задач 2. Вероятность 2.1. Определения и формулы для решения задач Классическое определение вероятности Эксперимент E назовем классическим, если он приводит к множеству событий, удовлетворяющих трем условиям:

Подробнее

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка»,

, - вероятность того, что из n бросков t раз выпадет «пятерка», .6 Бросают три игральных кубика. Найти ряд и функцию распределения числа выпавших «пятерок» Х, а также M(X), D(X) и вероятность того, что Х>. Решение: Пусть Х число выпавших «пятерок». Перечислим все возможные

Подробнее

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна

8. Вероятность попадания в цель для двух стрелков равна соответственно 0.7 и 0.8. Тогда вероятность поражения цели равна Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов «Страница» с методическими материалами http://inter.vags.ru/hmp Волгоградский филиал РАНХиГС (ФГОУ

Подробнее

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ

НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТЕХНОГЕННЫЙ РИСК МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть различными факторами: рассеянием

Подробнее

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г.

Зав. кафедрой математики, физики и медицинской информатики, доцент. /Авачева Т.Г./ «22» сентября 2017г. Перечень Основных контрольных вопросов для зачета (экзамена) по дисциплине Физика, математика, модуль М атематика, для студентов 1 курса медикопрофилактического факультета 1. Понятие функции. Способы задания

Подробнее

Предварительный письменный опрос. Список вопросов.

Предварительный письменный опрос. Список вопросов. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2016 г. Предварительный письменный опрос. Список вопросов. Основы теории множеств, аксиоматические свойства вероятности и следствия из них. 1. Записать свойства ассоциативности

Подробнее

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут. 6 Перестановки 1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Подробнее

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Схема Бернулли.

Лекция 5 Тема. Содержание темы. Основные категории. Схема Бернулли. Лекция 5 Тема Схема Бернулли. Содержание темы Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли. Биномиальная случайная величина. Основные категории бином Ньютона, схема

Подробнее

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу

а) отношение числа случаев, благоприятствующих событию А к общему числу ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Задание. Выберите правильный ответ:. Относительной частотой случайного события А называется величина, равная... а) отношению числа случаев, благоприятствующих

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы 4 по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск 018 018 Кафедра высшей

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения.

Случайные величины и законы их распределения. Случайные величины и законы их распределения. Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Сначала рассмотрим примеры. Число вызовов, поступивших от абонентов в течение

Подробнее

Дисциплина «Математика»

Дисциплина «Математика» Дисциплина «Математика» Основные разделы: теория вероятностей; математическая статистика; дифференциальное исчисление. Рекомендуемая литература: Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:

Подробнее

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение { определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

Подробнее

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ

)? (Вероятность попадания непрерывной СВ Случайные величины. Определение СВ ( Случайной называется величина, которая в результате испытания может принимать то или иное значение, заранее не известное).. Какие бывают СВ? ( Дискретные и непрерывные.

Подробнее

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина).

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

Подробнее

Е. В. Морозова. Теория вероятностей

Е. В. Морозова. Теория вероятностей Е. В. Морозова Теория вероятностей 0 МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Надежность технических систем и техногенный риск ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Надежность технических систем и техногенный риск 2018 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ отказы ТС* ошибки операторов ТС внешние негативные воздействия *Отказ это

Подробнее

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ФИНАНСОВ И БАНКОВСКОГО ДЕЛА Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

Подробнее

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется переменная, которая

Подробнее

Тема: Статистические оценки параметров распределения

Тема: Статистические оценки параметров распределения Раздел: Теория вероятностей и математическая статистика Тема: Статистические оценки параметров распределения Лектор Пахомова Е.Г. 05 г. 5. Точечные статистические оценки параметров распределения Статистическое

Подробнее

Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Консультационный тренинговый центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (95) 509-8-0 Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое

Подробнее

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону

Пример Пусть Х число очков выпавшее на игральной кости при одном броске. Тогда, эта с.в. распределена по закону Случайные величины Случайные величины (с.в.) численное значение, появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Существует два типа случайных величин:

Подробнее

Теория вероятностейсвойства. Основные теоремы теории вероятностей. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

Теория вероятностейсвойства. Основные теоремы теории вероятностей. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Теория вероятностейсвойства вероятностей. Основные теоремы теории вероятностей. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Свойства вероятностей: вероятность достоверного события равна

Подробнее

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей

Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Основные понятия и важнейшие формулы теории вероятностей Случайным событием называется событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти Комплекс условий, которые необходимы для

Подробнее

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей

по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Методические указания к самостоятельной подготовке за четвертый семестр по дисциплине «Математика» для студентов второго курса строительных специальностей Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Минск

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. ЛЕКЦИИ... 8 ВВЕДЕНИЕ... 9 ЛЕКЦИЯ 1... 13 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 13 1. Определение теории вероятностей... 13 2. Некоторые примеры... 14 3. Устойчивость частот в массовых статистических

Подробнее

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК

Учебное пособие. Основы теории вероятностей. Раздел 2. Случайные величины. Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Министерство образования и науки Краснодарского края ГБОУ СПО «АМТ» КК Учебное пособие Основы теории вероятностей Раздел 2. Случайные величины для студентов специальности 2305 «Программирование в компьютерных

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Северный (Арктический) федеральный университет Кафедра математики Теория вероятностей и математическая статистика Методическое пособие по выполнению

Подробнее

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины

Практическая работа 7 Функция, плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Практическая работа 7 Функция плотность распределения и числовые характеристики непрерывной случайной величины Цель работы: Нахождение функции и плотности распределения числовых характеристик непрерывной

Подробнее

А.Ю. Хасанова. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций

А.Ю. Хасанова. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций Министерство образования и науки РФ ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» Институт экономики и финансов Кафедра математики и экономической информатики А.Ю. Хасанова Теория вероятностей

Подробнее

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования

Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Интернет-экзамен в сфере профессионального образования Специальность: 230201.65 Информационные системы и технологии Дисциплина: Математика (ТВ и МС) Время выполнения теста: 20 минут Количество заданий:

Подробнее

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Понятие случайной величины Современная теория вероятностей предпочитает где только возможно оперировать не случайными событиями а случайными величинами

Подробнее

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично).

1.33. Неравенство Чебышева. ε ε. = ε. = 2 ε ( x) P( X ε). (Для дискретной случайной величины доказательство аналогично). Т Неравенство Чебышева.33. Неравенство Чебышева Пусть случайная величина имеет второй начальный момент MХ, тогда: M 0 P( ) неравенство Чебышева () Док ( непрерывная случайная величина) MХ = x f( x) dx

Подробнее

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2

АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 2 ЧАСТЬ АКСИАМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ ТРАКТОВКА ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: познакомить с

Подробнее

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика Доктор физ.-мат. наук профессор Михаил Павлович Харламов Интернет-ресурс с методическими материалами http://www.vlgr.ranepa.ru/pp/hmp Волгоградский филиал

Подробнее

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Лекция 13 ЧАСТЬ 7 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Лекция 3 ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: доказать неравенство Чебышева; сформулировать и доказать закон больших чисел и

Подробнее

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно

9 Событие называется случайным, если в результате испытания оно. 10 Событие называется достоверным, если в результате испытания оно Теория вероятностей и математическая статистика _рус_3кр_зим_ибрагимова С.А._ССМ(2.4.очное) 1. Метаданные теста Автор теста: Ибрагимова С.А. (для студентов преподавателя Елшибаева) Название курса: Теория

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.. Вероятность события...3.. Аксиомы

Подробнее

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей. 1 лекция Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Подробнее

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы

Материалы для подготовки к экзамену Содержание. Описание экзаменационного билета. Теоретические вопросы 70800 «Строительство» семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, семестр. Направление 70800 «Строительство». Дисциплина - «Математика-» Материалы для подготовки к экзамену Содержание Материалы для

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС ДОТ Семестр: 1 1 Из букв слова бизнес наугад выбирается одна буква. Укажите пространство элементарных событий

Подробнее

Решение типовых задач

Решение типовых задач типовых задач Теоремы сложения и умножения вероятностей 1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что: а) шары будут одинакового цвета (шары

Подробнее

Случайные величины и законы их распределения

Случайные величины и законы их распределения Случайные величины и законы их распределения 9. Дискретные и непрерывные случайные величины Случайной называют величину, которая в результате опыта примет одно и только одно из возможных значений, заранее

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ". Составитель: В.П.Белкин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Составитель: В.П.Белкин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ" Составитель: ВПБелкин Занятие Классическая вероятность Пример Монета брошена два раза Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится "герб" Построить пространство

Подробнее

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1.

Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем. 1. Курсовая работа «Исследование надежности систем» Курсовая работа должна содержать следующие разделы. Введение. Основные понятия надежности систем.. Теория вероятности (задачи 7.0 7.80)... Теоремы умножения

Подробнее

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

А.В. Иванов, А.П. Иванова. А.В. Иванов, А.П. Иванова МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ И СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) Кафедра Прикладная математика-1 А.В. Иванов,

Подробнее

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей -

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - { σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Подробнее

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел.

М.В.Дубатовская Теория вероятностей и математическая статистика. Лекция 10. Неравенства Маркова и Чебышева.Закон больших чисел. МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 0 Неравенства Маркова и ЧебышеваЗакон больших чисел Предельные теоремы теории вероятностей В теории вероятностей часто изучаются случайные

Подробнее

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ТЕМА 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Понятие непрерывной случайной величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Подробнее

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь

Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Минестерство образования Республики Беларусь Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема3. «Функция распределения вероятностей случайной величины» Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4.

A первый взятый шар белого цвета; 24. Раздел 1. Случайные события. Литература. [4], гл. I; [5], гл 1 4. Тема 2. Элементы теории вероятностей и математической статистики Раздел. Случайные события Литература. [4], гл. I; [5], гл 4. Основные вопросы.. Испытания и события, виды случайных событий, классическое

Подробнее

Математическое ожидание

Математическое ожидание Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X px ( ) xp( x) dx.

Подробнее

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ТЕМА 8. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Случайные векторы. Закон распределения. Условные распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных векторов. Условные математические

Подробнее

Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Числовые характеристики непрерывных случайных величин 1 Математическое ожидание Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число M X + = px ( ) xp( x)

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на

ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на 1 ЛЕКЦИЯ 3. Задачи надёжности электроснабжения Теория надежности служит научной основой деятельности лабораторий, отделов, бюро и групп надежности на предприятиях, в проектных, научно-исследовательских

Подробнее

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о.

Автор теста: Искакова А.М. Название курса: ТВ и МС. Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к. 4г.о., ИС 1к. 2г.о., 1к. 3г.о. Автор теста: Искакова АМ Название курса: ТВ и МС Предназначено для студентов специальности: ИС, ВТиПО 2к 4го, ИС 1к 2го, 1к 3го Текст вопроса/варианты ответа 1 2 События А и В называются противоположными,

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1. Кафедра. Направление подготовки. Дисциплина (модуль) Математики, физики и информационных

Подробнее

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин 1 Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание Expected Value (i.e. Mean) - характеризует среднее весовое значение случайной величины с учётом вероятности появлений значений

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОДЕРЖАНИЕ. Основные определения и теоремы.... Сведения из комбинаторики..... События, их назначения и обозначения.3. Отношения между событиями 3.4. Вероятность события...3.5. Аксиомы

Подробнее

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Составитель:

Подробнее

Математика Статистика

Математика Статистика Лукьянова Е.А. Математика Статистика «Сестринское дело» Основные понятия статистики Генеральная совокупность и выборка Типы данных и их представление Точечное оценивание Интервальное оценивание 2015

Подробнее

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика

А. А. Ивашко Теория вероятностей и математическая статистика Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. А. Ивашко Теория

Подробнее

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач

9. Двумерная случайная величина. Законы распределения Определения и формулы для решения задач 9 Двумерная случайная величина Законы распределения 9 Определения и формулы для решения задач Определение Двумерной случайной величиной называется упорядоченная пара (, ) одномерных случайных величин и

Подробнее