Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Федеральное агентство связи. Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода"

Транскрипт

1 Федеральное агентство связи Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжская государственная академия телекоммуникаций и информатики Кафедра МСИБ Методическое пособие к лабораторной работе Исследование корректирующих свойств циклического кода Составитель: доц Зайкин ВП Редактор дтн проф Карташевский ВГ Самара Типография ПГАТИ 009

2 Цель работы Изучение процесса использования циклических кодов для повышения верности передаваемых сообщений Изучение принципов циклического кодирования, декодирования, обнаружения и исправления ошибок Источники информации Передача дискретных сообщений: Учебник для вузов/шувалов ВП, Захарченко НВ,Шварцман ВО и др; Под ред ВПШувалова - М: Радио и связь, с Шляпоберский ВИ Основы техники передачи дискретных сообщений - М: Связь, с Емельянов ГА, Шварцман ВО Передача дискретной информации - М: Радио и связь, с Шварцман ВО, Емельянов ГА Теория передачи дискретной информации - М: Связь, с Подготовка к работе Изучить классификацию помехоустойчивых кодов, а также математические основы методов построения блочных, систематических кодов на примере циклического кода по рекомендуемой в п литературе Изучить методику кодирования и декодирования кодовой комбинации примитивного кода с использованием циклического кода, а также свойства циклического кода по рекомендуемой в п литературе Ознакомиться с содержанием данного методического пособия, изучить структурную схему системы передачи дискретных сообщений Закодировать кодовую комбинацию примитивного кода Q () циклическим кодом Вид комбинации Q () и образующий полином P () выбрать в соответствии с вариантом (таблица ) Найти синдром циклического кода для заданной одиночной ошибки (таблица )

3 5 Составить образующую матрицу данного кода 6 Найти минимальное кодовое расстояние d 0 7 Определить вид кода, кратность гарантированно обнаруживаемых t и 0 гарантированно исправляемых t и ошибок, рассчитать относительную избыточность Контрольные вопросы В чѐм заключается сущность помехоустойчивого кодирования? Дайте определения основным параметрам помехоустойчивых кодов Какова исправляющая способность первичных (примитивных) кодов и почему? Что понимается под относительной избыточностью кода? 5 Какие методы построения циклических кодов Вы знаете? В чѐм их достоинства и недостатки? 6 Какими основными свойствами обладают систематические коды? 7 Почему исследуемые в работе коды называются циклическими? 8 Укажите основные свойства циклических кодов 9 Какие требования предъявляются к образующему полиному? 0 Приведите алгоритм обнаружения ошибок циклическим кодом Приведите алгоритм исправления одиночной ошибки циклическим кодом Приведите алгоритм исправления ошибок кратности меньше кратности гарантированно исправляемых ошибок Почему не все неприводимые полиномы могут быть использованы в режиме исправления ошибок? Чем определяется корректирующая способность циклических кодов? 5 Что является синдромом циклического кода?

4 Таблица - Варианты выполнения лабораторной работы Варианты (с к в о з н о й н о м е р б р и г а д ы) Комбинация примитивного кода Q () Образующий полином P () Номер искажѐнного разряда 5

5 5 Содержание работы Ознакомиться с принципами кодирования и декодирования при использовании циклических кодов Освоить методы полиномиального и матричного построения циклических кодов Исследовать свойства циклических кодов и образующих полиномов данных кодов 6 Содержание отчѐта Отчѐт должен содержать: Цель работы Структурную схему системы передачи дискретных сообщений Результаты выполнения заданий пп - 7 раздела Подготовка к работе Результаты выполнения работы с помощью ЭВМ в двух режимах - передача без ошибок и передача с исправлением однократной ошибки 5 Необходимые выводы о корректирующих свойствах циклических кодов 7 Методические указания по выполнению работы Получить разрешение на выполнение лабораторной работы и на включение компьютера Запустить файл cyclcodee и зарегистрироваться в компьютере В появившемся после регистрации меню выбрать раздел Введение и ознакомиться с его содержанием Этот раздел содержит правила и указания по работе с программой CYCLCOD Затем выйти из меню раздела Введение, выбрав пункт Выход из данного меню Выбрать раздел Краткая теория в главном меню Ознакомиться с его содержанием 6

6 5 Получить допуск к выполнению работы, для чего выбрать раздел Опросная часть в главном меню и ответить на предложенные компьютером вопросы 6 После успешного прохождения опросной части войти в экспериментальную часть программы Пронаблюдать процесс кодирования и декодирования кодовых комбинаций Пронаблюдать прохождение кодовой комбинации циклического кода по системе ПДС в двух режимах: передача без ошибок и передача с исправлением одиночной ошибки При необходимости повторить эксперименты при разных входных данных Результаты работы записывать по мере еѐ выполнения 7 После окончания работы с экспериментальной частью выйти в главное меню Выйти из программы 8 Оформить отчѐт и сделать необходимые выводы 7 Общие сведения Рисунок - Структурная схема системы передачи дискретных сообщений ИПС - источник / получатель сообщений - преобразует информацию пользователя в сообщение, алфавит которого понятен и источнику, и получателю УС - устройство согласования - преобразует сообщение из формы, удобной пользователю, в форму, удобную системе (двоичную) Кроме этого УС обеспечивает электрическое согласование с остальными блоками системы 7

7 УЗО - устройство защиты от ошибок - обеспечивает реализацию методов повышения верности передачи Существует два принципиально различных способа повышения верности: - верность передачи повышается путѐм введения избыточности на основе априорных сведений о состоянии дискретного канала (т е мы не знаем реального состояния канала в данный момент) - это помехоустойчивое кодирование (наибольшее распространение получили циклический и матричный коды); - повышение верности обеспечивается введением избыточности на основе сведений о реальном (текущем) состоянии дискретного канала - это алгоритмы систем с решающей обратной связью (обратная связь необходима потому, что избыточность вносится на передаче, а состояние канала можно оценить только на приѐме) РОС - ОЖ, РОС - НП, РОС - АП УПС - устройство преобразования сигналов - обеспечивает на передаче такое преобразование двоичной формы сообщения в сигнал, чтобы обеспечить качественную передачу по данному каналу связи Вид преобразований полностью определяется видом канала: для непрерывного канала - модуляция, для физической пары - специальное кодирование (например, манчестерское) КС - канал связи Принципы построения циклического кода: Из всех разновидностей систематических кодов циклические коды получили наибольшее распространение в технике ПДС Циклические коды обладают простотой схем кодирования и декодирования, способностью обнаруживать и исправлять ошибки различной конфигурации, удобством математического аппарата их описания для 8

8 анализа и синтеза, что и обеспечило им широкое распространение на практике Название циклических кодов происходит от их основного свойства: циклический сдвиг элементов разрешѐнной кодовой комбинации также образует разрешѐнную кодовую комбинацию Таким образом, если кодовая комбинация a, a,, a, a, a n - n - 0 является разрешѐнной, то комбинации a, a, a,, a, a 0 n - n - ; a, a, a, 0 n -, a, a и т д, полученные циклической перестановкой элементов исходной кодовой комбинации, также принадлежат к числу разрешѐнных Такая циклическая перестановка при использовании представления в виде полиномов появляется в результате умножения данного исходного полинома на Если V = a + a + + a + a то n - n - n - n - 0, V = V = a n - n + a n - n - ++ a + a 0 Так как в кодовой комбинации, имеющей значность n, степень полинома не может превышать n- (в противном случае значность кодовой комбинации превысит n), то n заменяется единицей, т е Отсюда V = a n a + + a + a n - 0 n - n есть 0 Например, имеем кодовую комбинацию

9 Сдвинем еѐ на один разряд Получим Очевидно, что = Теория построения циклических кодов базируется на разделах высшей алгебры, изучающей свойства многочленов, состоящих из дискретных элементов (двоичных многочленов) / / Особую роль в этой теории играют так называемые неприводимые многочлены, т е полиномы, которые не могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней Такой многочлен делится только на самого себя и на единицу Из высшей алгебры известно, что на неприводимый многочлен делится нацело (т е без остатка) двучлен n + Рассмотрим принцип построения циклических кодов Как и в других блочных кодах, первые k элементов комбинации циклического кода являются информационными, а последующие r - проверочными Таким образом, можно ввести в рассмотрение: многочлен Q степени k-, отображающий k-элементную комбинацию первичного кода, и элементов многочлен R степени r-, отображающий комбинацию проверочных Построение разрешѐнной кодовой комбинации сводится к следующему: Представляем информационную часть кодовой комбинации длиной k разрядов в виде полинома Q Умножаем Q на одночлен r и получаем Q r (В двоичной 0

10 форме записи операция умножения на r эквивалентна приписыванию справа r нулей) Умножение на r необходимо, чтобы сдвинуть информационные элементы на r разрядов влево и тем самым высвободить справа r разрядов для записи проверочных элементов Делим многочлен Q r на образующий полином P, степень которого равна r В результате умножения Q на r степень каждого одночлена, входящего в Q, повышается на r При делении произведения Q r на образующий полином P степени r получается частное C такой же степени, что и Q Результаты этих операций можно представить в виде Q P r = C R P, () где R - остаток от деления Q r на P Поскольку C имеет такую же степень, что и Q, то C представляет собой кодовую комбинацию того же k-разрядного кода Так как максимальная степень остатка всегда, по крайней мере, на единицу меньше степени делителя, то степень образующего многочлена выбирается равной числу проверочных элементов r Наивысшая степень остатка равна r- Следовательно, наибольшее число разрядов остатка не превышает r

11 Умножив обе части () на P, получим r Q = C P R или F = C P = Q r R () Знак вычитания в этом соотношении заменяется знаком сложения по модулю, так как вычитание по модулю полностью совпадает со сложением Очевидно, что F делится на P без остатка Следовательно, полином F представляет собой разрешѐнную кодовую комбинацию циклического кода Согласно формуле () разрешѐнная кодовая комбинация циклического кода может быть получена двумя способами: ) умножением кодовой комбинации простого кода C на образующий полином P ; ) умножением кодовой комбинации Q простого (первичного) кода на одночлен r и добавлением к этому произведению остатка R, получившегося в результате деления произведения Q r на образующий полином P Отметим, что первый способ приводит к образованию неразделимого кода, когда в полученной таким способом разрешенной кодовой комбинации невозможно различить информационные и проверочные разряды Неразделимость значительно усложняет практическую реализацию процесса декодирования

12 При втором способе получается разделимый код: информационные разряды занимают старшие позиции, а остальные n-k разряды являются проверочными Этот способ кодирования широко применяется на практике Поясним рассмотренные выше способы на примере Пусть циклическим кодом кодируются кодовые комбинации пятиэлементного (k = 5) первичного кода, например, кодовая комбинация 0000 = Q = Требуется построить комбинацию циклического кода, исправляющего однократные ошибки (d 0 = ) Определим количество проверочных элементов r Этому условию удовлетворяет r = Возьмѐм в качестве образующего многочлен P = + ) Умножаем Q на r (r = ): Q r = Q = = 8 = ; ) Делим Q r на P : = R + + = C Остаток от деления

13 R = re 8 + = + = 00 Знак re [ ] означает остаток, получающийся от деления, указанного в квадратных скобках числами: ) Получаем многочлен комбинации циклического кода F = Q r R = 8 + Этот полином соответствует кодовой комбинации циклического кода провер эл- ты информ эл-ты Все указанные операции можно производить и над двоичными ) Q = ; ) Q :P, т е = R = C ) F Q èí ô î ðì ýë ò û ï ðî âåð ýë ò û Построим теперь разрешѐнную кодовую комбинацию первым способом, те используя операцию умножения полинома Ñ, отображающего кодовую комбинацию первичного кода, на образующий полином : F = C P Для рассматриваемого примера

14 F = + = 8 5 = Произведѐм умножение, представляя полиномы двоичными числами: ; F = Из структуры кодовой комбинации видно, что полученный код является неразделимым, так как первые k элементов не повторяют комбинацию первичного кода Последнее неудобно с точки зрения выделения информационных элементов в месте приѐма Обнаружение ошибок при циклическом кодировании В результате воздействия помех в канале принятая последовательность кодовых элементов может отличаться от переданной, т е кодовый многочлен F преобразуется в многочлен H : () H = F E, где E - многочлен ошибок, содержащий в составе столько ненулевых разрядов, сколько кодовых элементов в принимаемой кодовой комбинации не совпадает с переданной Обнаружение ошибок при циклическом кодировании сводится к делению принятой кодовой комбинации на тот же образующий полином, который использовался при кодировании 5

15 Принадлежность кодовой комбинации к разрешѐнной или запрещѐнной определяется по наличию или отсутствию остатка от данного деления Если ошибок в принятой кодовой комбинации нет, то в результате деления принятой кодовой комбинации нулевой остаток (остаток R = 0) на образующий полином получим Если при делении получится остаток ( R 0), то это свидетельствует о наличии ошибок в принятой кодовой комбинации синдрома Следовательно, многочлен R в циклических кодах играет роль Пусть, например, передана следующая кодовая комбинация: = F = 8 +, а образующий полином P = + = 00 В информационной части этой комбинации произошла ошибка, и она принята как = H = Сложив по модулю вектора переданной и принятой кодовой комбинации, получим вектор ошибки и соответствующий ему многочлен ошибки E = F = = H = = E = П е р е д а н о П р и н я т о Так как F делится на P без остатка, то, поделив обе части выражения () на P, получим re H P = re E P 6

16 Произведѐм операцию обнаружения ошибки для данного примера получим re 6 + = = 00 или Наличие остатка 00 = свидетельствует об ошибке, т е она обнаружена Исправление ошибок и выбор образующего полинома: В качестве образующих обычно используются неприводимые многочлены, которые не могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней Однако не всякий многочлен, в том числе и неприводимый, может быть использован в качестве образующего для построения циклических кодов В кодах с образующим полиномом степени r остаток представляется в виде полинома, степень которого меньше r Это означает, что количество различных ненулевых остатков может быть равным r - Можно показать, что номер разряда, в котором произошла ошибка, однозначно связан со структурой получающегося при этом ненулевого остатка Это однозначное соответствие позволяет по виду синдрома (остатка) определить место ошибки 7

17 Таким образом, для исправления ошибок необходимо обеспечить условие, при котором количество различных ненулевых остатков будет равно количеству разрядов n кодовой комбинации (при исправлении одной ошибки) или числу комбинаций из n по t и, где t и - количество ошибок, исправляемых кодом Однако не все неприводимые полиномы позволяют формировать r - различных остатков Этим свойством обладают полиномы только определенного класса класса «примитивных» многочленов Полиномы данного класса дают максимальное число различных остатков, равное r - Этим свойством определяется их пригодность для построения циклических кодов Пусть для кода (5, ) с r= имеются два полинома ошибок: E = 0 = и E = 5 В качестве образующего полинома выберем P = + Нетрудно видеть, что для 0 = и для 5 будет одинаковый остаток R = (в двоичном виде R = 000) Если же выбрать P = +, то в первом случае имеем R =, а во втором - R = При использовании в качестве образующего полинома P многочленов E дают различные остатки все 5 Итак, в качестве образующих используют примитивные многочлены 8

18 Признаком полиномов, определяющих их принадлежность к классу примитивных, является наличие остатка, равного единице только при делении 0 и n, где n - количество элементов в кодовой комбинации Между n и r для таких полиномов имеется зависимость r = n - Здесь r - максимальное количество элементов, при котором число различающихся ненулевых остатков равно n - Для определения номеров элементов, в которых произошла ошибка, существует несколько методов, основанных на анализе синдрома R Один из них основан на свойстве, что R, полученный при делении принятого многочлена H на P степени r, равен R, полученному от деления соответствующего многочлена ошибок E на P степени r, если F = H E Это условие справедливо, если код способен исправлять количество ошибок t и, равное или меньшее веса комбинации E Синдром не зависит от переданной кодовой комбинации, но в нѐм сосредоточена вся информация о наличии ошибок Указанное свойство можно использовать для определения номера искаженного кодового символа Пусть ошибка произошла в старшем разряде переданной кодовой комбинации a В этом случае R H на P - есть остаток от деления принятой комбинации 9

19 Такой же остаток R получается, если разделить на P вектор ошибок, те многочлен n - Но такой же остаток получится при ошибке в разряде a, если H умножить на Тоже будет и при ошибке в разряде a, если H умножить на, и т д Это свойство (основанное на свойстве цикличности) определяет метод исправления ошибки, суть которого ясна из следующего примера Пусть кодовая комбинация 0000 принадлежит коду (, 7) Здесь последние четыре разряда проверочные и получены на основе использования производящего многочлена P () = 00 Допустим, ошибка произошла в старшем (a ) разряде Следовательно, принимаемая комбинация H () = Значит, многочлен ошибки E () = или 0 Разделив H () на P (), получим R = 0 () Теперь разделим на P (): 0

20 Таким образом, убеждаемся, что остатки совпадают Теперь предположим, что принимаемая комбинация H (0, ) = = 000 Определим ошибочно принятый элемент (известно, что код исправляет одну ошибку) а) Вычисляем R () 0 как остаток от деления 0 = E = n - на Если нет, P (0, ) = 00 Произведя деление, получим R (0, ) = 0 0 б) Делим принятую комбинацию H (0, ) на P (0, ) и получаем остаток R (0, ) Если R (0, ) = R (0, ), то ошибка в старшем разряде 0 один то дописываем к H (0, ) справа нуль (осуществляем сдвиг влево на R (0, ) разряд) и продолжаем деление Находим остаток R (0, ) Если остаток R (0, ), то дописываем ещѐ один нуль и т д до тех пор, пока 0 ошибочно не окажется R (0, ) = R (0, ), где i - число сдвигов Номер i 0

21 принятого разряда (отсчѐт слева направо) a i + на единицу больше числа приписанных нулей Проведѐм процесс деления, отмечая штрихом получаемые остатки R (0, ), R (0, ), R (0, ), R (0, ) : äîïèñûâàåì íóëè R (0,) = () 0 0 R (0,) = 00 () 0 0 R (0,) = 00 0 () 0 0 ûå R (0, ) = R (0, ) = 0 () 0 переданной В данном примере пришлось дописать четыре нуля (число сдвигов равно четырѐм), i = и искажѐнный разряд a i + = a 5 Следовательно, исправленная кодовая комбинация имеет вид F (0, ) = = 0000 В общем случае разложение двучлена n + на неприводимые многочлены удобно представить в виде n += m m m d 0 - m 0 () Здесь m i - так называемые минимальные многочлены

22 Например, для n = = + m + + m m 5 + m 7 + m 9 В качестве образующего многочлена циклического (n, k)-кода берѐтся произведение минимальных многочленов, число которых зависит от кодового расстояния d 0 Для кодов, исправляющих одиночные ошибки (d = ), 0 образующий многочлен P = m Для исправления двойных ошибок ( d 0 = 5), P = m m, тройных ошибок ( d 0 = 7) P () = = m m m 5 и т д Циклические коды, образующий многочлен которых построен на основе разложения двучлена n + по минимальным многочленам, получили название кодов Боуза-Чоудхури-Хоквингема Циклический код, образованный многочленом P () степени r, гарантированно обнаруживает все пакеты ошибок длиной l r Длина пакета ошибок - количество элементов, расположенных между старшим и младшим искажѐнными разрядами, включая сами эти разряды ошибок Длину пакета ошибок удобно оценивать по комбинации или многочлену Так, если передавалась кодовая комбинация F () = 8 + = , а принята кодовая комбинация

23 H () = = 00000, то комбинация ошибки E () = = 5 = Здесь l = В общем случае разность степеней одночленов старшего и младшего искажѐнных разрядов j - i = l - Вынося в многочлене E () за скобку i, получаем E () = E i Степень многочлена E и, следовательно, E, равна l -, т е меньше степени r делителя,, а значит, и E () не могут делится без остатка на P (), что обеспечивает обнаружение пакетов ошибок длиной l r Декодирование на основе анализа веса: Для нахождения ошибочных элементов в кодах с d 0 > 5 получили распространение методы, основанные на анализе веса остатка При этом осуществляются следующие процедуры: - принятая кодовая комбинация делится на P () степени r; - подсчитывается вес остатка w (количество единиц в остатке); - если w t и ( t и - допустимое количество ошибок, которое исправляется кодом), то исправление сводится к сложению принятой кодовой комбинации с остатком; - если w t и, то производят циклический сдвиг принятой кодовой комбинации влево на один разряд, а затем делят еѐ на P () и определяют вес остатка Если w t и, то делимое суммируют с остатком, а затем производят циклический сдвиг на один элемент вправо Это и будет исправленная кодовая комбинация;

24 - если после первого сдвига остаток даѐт w t и, то повторяют операцию сдвига на один разряд влево, а затем деление и определение веса остатка производят до тех пор, пока не будет удовлетворяться условие w t и Исправленная комбинация получается в результате сдвига вправо суммы последней кодовой комбинации и остатка на столько разрядов, на сколько сдвинута исходная кодовая комбинация влево 0000 Рассмотрим данную методику относительно d = и 0 t = и Передана кодовая комбинация 000 Образующий полином P () = + Ошибка произошла на позиции a, те принята кодовая комбинация Определим номер элемента с ошибкой Находим R (0, ) от деления 0000 на P (0, ) = 0 Итак, R (0, ) = 0 Сдвигаем 0000 влево на один разряд, имеем 0000; а R (0, ) = 0, w= > t и Сдвигаем влево ещѐ на разряд (всего на два), имеем 0000; а R(0, ) =, w = > t и Повторяем сдвиг влево (всего на три разряда), имеем 0000, а R(0, ) = 0, w = > t и 5 Делаем ещѐ сдвиг (всего на четыре разряда), при этом имеем 0000 Тогда R (0, ) = 00, w = = t и 6 Производим сложение сдвинутой кодовой комбинации с остатком В результате имеем = 000 5

25 7 Сдвигаем эту кодовую комбинацию вправо на четыре разряда и получаем исправленную кодовую комбинацию: Матричное представление циклических кодов: Циклические коды относятся к классу систематических кодов, которые могут быть заданы в виде образующих (производящих) матриц Для формирования строк производящей матрицы разделимого циклического кода берут не произвольные комбинации информационного (первичного) кода Q (), а только те из них, которые содержат единицу в одном разряде Q (), i где i =,, k Эти комбинации умножают на r, т е производят сдвиг на r разрядов влево, и находят остаток от деления R () i Q () i r P (), который будет равен Тогда i-ю строку производящей матрицы записывают в виде Q i r R i Матрица, состоящая из этих строк, разбивается также на две подматрицы: G = I, R n, k k r, k, где I k - единичная подматрица, содержащая Q () i информационного кода; комбинаций R r, k - подматрица с числом столбцов r и строк k, образованных остатками от деления R () i 6

26 Для получения матрицы остатков R r, k достаточно разделить на образующий многочлен сдвинутую на r разрядов влево первую строку единичной матрицы I k Промежуточные остатки соответствуют остаткам от деления на образующий многочлен последующих строк матрицы I k Производящая матрица содержит k комбинаций циклического кода Остальные k - k - комбинаций получают суммированием по модулю строк матрицы во всевозможных сочетаниях Последняя комбинация является нулевой Рассмотрим в качестве примера код (7, )-код с исправлением одиночных ошибок Так как для этого кода n = 7, k =, d 0 = и r = n - k =, то выберем в качестве образующего многочлен P () = + ; P (0, ) = 0 Единичная матрица первичного кода I = k Каждая строка соответствует Q () =, а Q () = 6 = Найдѐм остатки от деления:

27 виде Таким образом, матрица циклического (7, )-кода может быть записана в G = 7, После перестановки строк матрица может быть записана так: G = 7, (5) Сложив в (5) первую и третью, а также первую, вторую и четвѐртую строки, получим G * = 7, Перестановка строк и их сложение по модулю допустимы, так как эти операции не изменяют структуру кодовых комбинаций Первая строка матрицы G * 7, представляет собой образующий многочлен P() = + в двоичном изображении Каждая последующая строка является циклическим сдвигом предыдущей Так как циклический сдвиг соответствует умножению на, образующая матрица в общем виде G * = n, k P P P k - P = p p p p r p p p p 0 r r p p p p 0 0 r r - r - 0 p p p p p r r - 0 8

28 Ненулевые элементы G * n, k являются коэффициентами образующего многочлена P () = p + p + + p + p + p r r r - r - 0 9

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Декодирование кода Голея ДЗ от Иванова часть вторая

Декодирование кода Голея ДЗ от Иванова часть вторая Декодирование кода Голея ДЗ от Иванова часть вторая Полиномы, многочлены и биты В теории кодирования принято оперировать многочленами (полиномами). В домашнем задании используется двоичный код Голея, поэтому

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование. Технологии обработки информации, 2015

Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование. Технологии обработки информации, 2015 Лекция 8. Помехоустойчивое кодирование Технологии обработки информации, 2015 ASCII таблица Использоваться таблица ASCII, где ставящей в соответствие каждой букве алфавита определенный шестнадцатеричный

Подробнее

Методические указания к выполнению. Методы и средства защиты компьютерной информации

Методические указания к выполнению. Методы и средства защиты компьютерной информации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра информационной безопасности Баранова Е.К. Методические указания к выполнению ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ Методы и средства защиты компьютерной

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования

1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1. Основные алгебраические системы, используемые в теории кодирования 1.1. Показать, что множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) является группой по операциям: а) обычного сложения

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Способы задания и основные характеристики. сверточных кодов.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 Способы задания и основные характеристики. сверточных кодов. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА Способы задания и основные характеристики сверточных кодов Сверточные коды широко применяются в самых различных областях техники передачи и хранения информации. Наиболее наглядными

Подробнее

6.6. ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ

6.6. ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ 6.6. ПОСТРОЕНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ Общие понятия и определения. Любой групповой код (n,k)может быть записан в виде матрицы, включающей k линейно независимых строк по n символов и, наоборот, любая совокупность

Подробнее

РТС-1302_ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ.

РТС-1302_ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ. РТС-1302_ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА ПЕРСПЕКТИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ. Кужелев Юрий Иванович студент 5 курса, группа - 129-1 Колединцева Марина Алексеевна студентка 2 курса группа - 122-2 Цель работы:

Подробнее

Рис. 1. Двухуровневый каскадный код

Рис. 1. Двухуровневый каскадный код Лекция 9. Каскадные коды. Каскадные коды были введены Форни в качестве линейных блочных помехоустойчивых кодов с возможной большой длиной блока n и весьма высокой корректирующей способностью. Эти цели

Подробнее

Надежностьсистеми устройств

Надежностьсистеми устройств Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра компьютерных систем и программных технологий Надежностьсистеми устройств Моисеев Михаил Юрьевич Информационное резервирование Линейные

Подробнее

Основы теории передачи информации

Основы теории передачи информации Министерство образования и науки Украины Запорожский национальный технический университет Радиоприборостроительный факультет Основы теории передачи информации Методические указания к лабораторным (практическим)

Подробнее

Разбор контрольной работы

Разбор контрольной работы Разбор контрольной работы Общие комментарии по результатам проверки контрольной: 1 В вычислениях присутствует большое количество арифметических ошибок Само по себе возникновение арифметических ошибок неизбежно

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Ульяновский государственный технический университет

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию. Ульяновский государственный технический университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ульяновский государственный технический университет Ульяновск 6 Министерство образования и науки Российской Федерации

Подробнее

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов

Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов Курс: Прикладная алгебра, 3-й поток Алгоритмы кодирования/декодирования для линейных, циклических и БЧХ кодов В тексте все вычисления проводятся в двоичной арифметике. Задача помехоустойчивого кодирования

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им.

Подробнее

Об исследовании реальной корректирующей способности линейных кодов

Об исследовании реальной корректирующей способности линейных кодов Об исследовании реальной корректирующей способности линейных кодов С.В. Каменский, Д.Н. Катасонов Novosibirs State Technical University (NSTU) Аннотация: В статье осуществлены исслдования реальной корректирующей

Подробнее

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x

Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида. . Тогда x http://vk.ucoz.et/ Операции над многочленами k a k Многочленом (полиномом) степени k называется функция вида a, где переменная, a - числовые коэффициенты (=,.k), и. Любое ненулевое число можно рассматривать

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

Федеральное агентство по образованию ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» Системы счисления

Федеральное агентство по образованию ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» Системы счисления Федеральное агентство по образованию ГОУ СПО «Вологодский машиностроительный техникум» Системы счисления Учебное пособие по дисциплинам «Информатика» и «Информационные технологии в профессиональной деятельности»

Подробнее

Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория электрической связи» «Исследование системы передачи дискретных сообщений»

Задание и методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория электрической связи» «Исследование системы передачи дискретных сообщений» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики кафедра ТОРС Задание и методические указания к курсовой

Подробнее

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4

Задание 8. Коды БЧХ. Формулировка задания 3. Оформление задания 4 ВМК МГУ Практикум 317 группы, весна 2015 Задание 8. Коды БЧХ Начало выполнения задания: 7 мая 2015 Срок сдачи: 20 мая 2015 (среда), 23:59. Среда для выполнения задания PYTHON. Содержание Необходимая теория

Подробнее

ТРУДЫ XIII ВСЕРОССИЙСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ СТУДЕНЧЕСКИХ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ИНКУБАТОРОВ. Томск, мая 2016 г.

ТРУДЫ XIII ВСЕРОССИЙСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ СТУДЕНЧЕСКИХ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ИНКУБАТОРОВ. Томск, мая 2016 г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРУДЫ XIII ВСЕРОССИЙСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ СТУДЕНЧЕСКИХ

Подробнее

Раздел 1. Математические основы криптографии

Раздел 1. Математические основы криптографии Раздел 1. Математические основы криптографии 1 Определение поля Конечным полем GF q (или полем Галуа) называют конечное произвольное множество элементов с заданными между ними операциями сложения, умножения

Подробнее

Вопросы для подготовки к защите лабораторных работ по дисциплине ПДС, учебные группы СК -91, 92, 94

Вопросы для подготовки к защите лабораторных работ по дисциплине ПДС, учебные группы СК -91, 92, 94 Вопросы для подготовки к защите лабораторных работ по дисциплине ПДС, учебные группы СК -91, 92, 94 Вопросы к лабораторной работе «Исследование схемы ФАПЧ» значащего момента, значащей позиции, значащего

Подробнее

Математика 8 класс Многочлены

Математика 8 класс Многочлены МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Многочлены Новосибирск Многочлены Рациональными

Подробнее

0.37( .037). 0.38( .038).

0.37( .037). 0.38( .038). 3. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ КОДИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ Прежде, чем формулировать основные задачи кодирования информации, рассмотрим фазы процесса преобразования информации (сообщения) в сигнал (ППИС) на передающей

Подробнее

Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой

Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере» Типы задач: 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей запятой.

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1.

СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1. СБОРНИК ЗАДАЧ (Ч4. Кодирование вероятности) 4.1. Расшифровать криптограмму, зашифрованную кодами Цезаря: ЕИФИРРЛМ ФЕИХОЮМ ЗИРЯ НОСРЛОФВ Н ЕИЫИУЦ РСКСЕЮИ ХЦЫНЛ ФХСВОЛ ЕЮФСНС Е ВФОСП РИДИ НГКГССЯ РИ ТОЮОЛ

Подробнее

Курс «Подготовка к ГИА-9 по информатике» Лекция 4

Курс «Подготовка к ГИА-9 по информатике» Лекция 4 Курс «Подготовка к ГИА-9 по информатике» Лекция 4 1. Как представляются в компьютере целые числа? Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака. Целые числа без знака Обычно занимают

Подробнее

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования ''Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники'' Кафедра сетей и устройств телекоммуникаций ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей:

Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Решение. Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: Пример решения задачи по теме «Линейные коды» Линейный несистематический код C над полем Z 3 задан порождающей матрицей: G =. Найти его проверочную матрицу H. Определить основные метрические параметры

Подробнее

Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр).

Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). Системы счисления Система счисления способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр). В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления, в которых значение цифры

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2 Лекция 5 Основы представления информации в цифровых автоматах Позиционные системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная

Подробнее

Лекция 1: Понятие об архитектуре компьютера. Системы счисления.

Лекция 1: Понятие об архитектуре компьютера. Системы счисления. Лекция : Понятие об архитектуре компьютера. Системы счисления. Цель: сформировать первичные представления о читаемой дисциплине, рассмотреть возможности перевода чисел в различные системы счисления и так

Подробнее

Приложение 1 Практикум к главе 2

Приложение 1 Практикум к главе 2 Приложение 1 Практикум к главе 2 «Представление информации в компьютере» Практическая работа к п. 2.1 Пример 2.1. Представьте в виде разложения по степеням основания числа 2466,675 10, 1011,11 2. Для десятичного

Подробнее

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО УСТРОЙСТВА КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ КОДА ФАЙЕРА. Бурькова Е.В, Зойкина Е.В Оренбургский государственный университет, г.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО УСТРОЙСТВА КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ КОДА ФАЙЕРА. Бурькова Е.В, Зойкина Е.В Оренбургский государственный университет, г. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО УСТРОЙСТВА КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ КОДА ФАЙЕРА Бурькова Е.В, Зойкина Е.В Оренбургский государственный университет, г. Оренбург Одним из важнейших критериев качества передачи информации

Подробнее

Тема 1. Элементы теории погрешностей

Тема 1. Элементы теории погрешностей - 1 - Тема 1 Элементы теории погрешностей 11 Источники и классификация погрешностей Численное решение любой задачи, как правило, осуществляется приближенно, те с некоторой точностью Это может быть обусловлено

Подробнее

КОРРЕКЦИЯ КЛАССИФИЦИРОВАННЫХ ОШИБОК ЦИКЛИЧЕСКИМИ КОДАМИ

КОРРЕКЦИЯ КЛАССИФИЦИРОВАННЫХ ОШИБОК ЦИКЛИЧЕСКИМИ КОДАМИ Д ОКЛАДЫ БГУИР 2007 АПРЕЛЬ ИЮНЬ 2 (18) УДК 621.391.(075.8) КОРРЕКЦИЯ КЛАССИФИЦИРОВАННЫХ ОШИБОК ЦИКЛИЧЕСКИМИ КОДАМИ А.В. ШКИЛЁНОК, В.К. КОНОПЕЛЬКО Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения. Г. И. Никитин П О М Е Х О У С Т О Й Ч И В Ы Е Ц И К Л И Ч Е С К И Е

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения. Г. И. Никитин П О М Е Х О У С Т О Й Ч И В Ы Е Ц И К Л И Ч Е С К И Е МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения Г. И. Никитин П О М Е Х О У С Т О Й Ч И В Ы Е Ц

Подробнее

Понятие системы счисления

Понятие системы счисления Понятие системы счисления Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления (с/с). Алфавит

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Оглавление Краткие теоретические сведения Двоичная система счисления Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления...

Оглавление Краткие теоретические сведения Двоичная система счисления Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления... Оглавление Краткие теоретические сведения... 3 Двоичная система счисления... 5 Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления... 5 Перевод числа из одной позиционной системы счисления в другую... 6

Подробнее

Представление чисел в ЭВМ

Представление чисел в ЭВМ А. А. Вылиток Представление чисел в ЭВМ 1. Информация и данные Информация (от лат. information разъяснение, изложение) содержание (смысл) сообщения или сигнала, сведения, рассматриваемые в процессе их

Подробнее

Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере.

Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере. Практическая работа. Формы представления числовой информации на компьютере. Часть I. Системы счисления. Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита

Подробнее

ПРИМИТИВНЫЕ МАТРИЦЫ И ГЕНЕРАТОРЫ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГАЛУА

ПРИМИТИВНЫЕ МАТРИЦЫ И ГЕНЕРАТОРЫ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГАЛУА УДК 511.512:004:37 Белецкий А.Я., Белецкий Е.А. Национальный авиационный университет, Kиев, Украина ПРИМИТИВНЫЕ МАТРИЦЫ И ГЕНЕРАТОРЫ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ГАЛУА DOI:10.14308/ite000463 В теории

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА

МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА МОДУЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА В некоторых приложениях удобно выполнять арифметические операции над целыми числами, заданными в так называемом модульном представлении Это представление предполагает, что целое число

Подробнее

Методические рекомендации:

Методические рекомендации: Решение задач на тему «Представление чисел в компьютере». Типы задач. 1. Целые числа. Представление чисел в формате с фиксированной запятой. 2. Дробные числа. Представление чисел в формате с плавающей

Подробнее

Дискретная математика

Дискретная математика Дискретная математика Часть 5 В.Е. Алексеев 2014 Глава 9. Кодирование Кодирование преобразование информации, выполняемое с разнообразными целями: экономное представление (сжатие данных), защита от помех

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Тихоокеанский государственный университет УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе С.В.

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Лекция 5. Стандарт AES. Алгоритм Rijndael. Теперь вернемся к описанию алгоритма Rijndael. При описании алгоритма используется поле Галуа GF ( 2

Лекция 5. Стандарт AES. Алгоритм Rijndael. Теперь вернемся к описанию алгоритма Rijndael. При описании алгоритма используется поле Галуа GF ( 2 Лекция 5 Стандарт AES. Алгоритм Rijndael Теперь вернемся к описанию алгоритма Rijndael. При описании алгоритма используется поле Галуа GF ( 8 ), построенное как расширение поля GF () по 8 модулю неприводимого

Подробнее

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Многочлены Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

Лекция 5 Тема: «Кодирование информации. Системы счисления»

Лекция 5 Тема: «Кодирование информации. Системы счисления» Лекция 5 Тема: «Кодирование информации. Системы счисления» Цели: Систематизировать и обобщить ЗУН учащихся, полученные при изучении темы «Арифметические операции в позиционных системах счисления»; Развивать

Подробнее

5. Линейные коды (продолжение)

5. Линейные коды (продолжение) 17 5. Линейные коды (продолжение) Проверочная матрица кода. Другой способ задания линейного подпространства C F n размерности k состоит в указании n k линейных уравнений, которым удовлетворяют координаты

Подробнее

обозначает операцию, определенную на группе.

обозначает операцию, определенную на группе. Лекция 4. СТАНДАРТ AES. АЛГОРИТМ RIJNDAEL. Стандарт AES (Advnced Encrypton Stndrd) представляет собой новый стандарт шифрования с одним ключом, который заменил стандарт DES. Алгоритм Rjndel (рейн-дал)

Подробнее

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ

Приложение 1. ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Приложение 1 ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ Для криптографии алгебра является одним из основных инструментов в теоретических исследованиях и практических построениях криптографических преобразований Поэтому в этом

Подробнее

Системы счисления и компьютерная арифметика

Системы счисления и компьютерная арифметика Системы счисления и компьютерная арифметика Содержание Введение... 3 I. Кодирование числовой информации.... 4 1.1. Представление числовой информации с помощью систем счисления... 4 1.2. Непозиционные системы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. И. ЛОБАЧЕВСКОГО Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Теория кодирования. Практика. Небаев Игорь Алексеевич к.т.н.

Теория кодирования. Практика. Небаев Игорь Алексеевич к.т.н. Теория кодирования /43 Теория кодирования Практика Небаев Игорь Алексеевич к.т.н. inebaev@spbgut.ru Кафедра Сетей связи и передачи данных СПб ГУТ им. проф. М. А. Бонч-Бруевича 204 Теория кодирования 2/43

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,...,

Требуется найти неизвестные величины x 1, x2,..., . Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).. Метод Гаусса Цель: формирование практических навыков нахождения корней система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса (схема

Подробнее

Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода

Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода Лабораторная работа 4 Исследование сверточного кода Цель работы: получение навыков построения сверточного кодера. Содержание: Краткие теоретические сведения... 1 Сверточные кодеры... 1 Основные параметры

Подробнее

1 Системы линейных уравнений

1 Системы линейных уравнений 1 Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2.............................. a k1 x 1 + a k2 x 2 + + a kn x n

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ

ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ Возьмем натуральное целое число m, которое будем называть модулем. Определение. Целые числа a и b называются сравнимыми по модулю m, если разность (a b) делится на m (m a

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Определение 3. Комплексное число. называются равными ( ) тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: и. 1 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплексные числа в алгебраической форме 1Основные понятия Определение 1 Комплексным числом в алгебраической форме называется выражение вида, где и действительные числа, а так называемая

Подробнее

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ КОДИРОВАНИЕ ЧИСЛОВОЙ ИНФОРМАЦИИ В РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ 1 Понятие об основных системах счисления Под системой счисления понимается способ представления любого числа с помощью некоторого алфавита символов,

Подробнее

Материалы для студентов «Информатика и ИКТ» 1 курс

Материалы для студентов «Информатика и ИКТ» 1 курс С о д е р ж а н и е з а н я т и я Лекция 3 Информатика и ИКТ Подходы к понятию информации. Cвойства информации. Информационные объекты различных видов. Универсальность дискретного (цифрового) представления

Подробнее

Надежность систем и устройств

Надежность систем и устройств Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Кафедра компьютерных систем и программных технологий Надежность систем и устройств Моисеев Михаил Юрьевич Коды Рида-Соломона Сверточные коды

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Коды с минимальной избыточностью

Коды с минимальной избыточностью Коды с минимальной избыточностью При выборе схемы кодирования естественно учитывать экономичность, т.е. средние затраты времени на передачу и прием сообщений. Предположим, что задан алфавит A {a,, ar},

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ ПРОЕКТНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ ЦИКЛЫ В РЯДУ ОСТАТКОВ ОТ ДЕЛЕНИЯ ЧИСЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФИБОНАЧЧИ Ученица: Безменова Саша Класс: 8 Руководитель: Сгибнев А. И. Последовательность Фибоначчи это последовательность,

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования»

Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования» Домашнее задание по курсу «Введение в теорию кодирования» http://eo-chaos.arod.ru/ Задача 1 (1.1). Определить: 1) число всех элементов -го слоя куба B ; B 2) B число всех вершин куба B. 1) B = C ; 2) Число

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Тема 7. Представление информации в ЭВМ.

Тема 7. Представление информации в ЭВМ. Тема 7. Представление информации в ЭВМ.. Единицы информации. Бит - (bit-biry digit - двоичный разряд) наименьшая единица информации - количество её, необходимое для различения двух равновероятных событий.

Подробнее

Кодирование числовой информации

Кодирование числовой информации Кодирование числовой информации Для представления чисел используются системы счисления. Система счисления это знаковая система, в котор ой числа записываются по определенным правилам с помощью символов

Подробнее

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 =

Лекция 2. c + d. c d. c + d 2 = Лекция. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.. Числовое поле. Числовое поле множество чисел, в котором корректны арифметические операции: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число. Примеры числовых полей:

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111. Часть II. Коды, исправляющие ошибки

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111. Часть II. Коды, исправляющие ошибки ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 1 / 111 Часть II Коды, исправляющие ошибки ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть II: Коды, исправляющие ошибки 2 / 111 Помехоустойчивое кодирование. Блоковое

Подробнее

ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ

ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ ГЛАВА 6. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ПО ДИСКРЕТНОМУ КАНАЛУ С ПОМЕХАМИ 6.1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ШЕННОНА О КОДИРОВАНИИ ДЛЯ КАНАЛА С ПОМЕХАМИ Теория помехоустойчивого кодирования базируется на результатах

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Государственное бюджетное образовательное учреждение Астраханской области среднего профессионального образования «Астраханский колледж вычислительной техники» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ОЛО-коды на основе двоичных МПП-кодов

ОЛО-коды на основе двоичных МПП-кодов ОЛО-коды на основе двоичных МПП-кодов Жилин И. В. Иванов Ф. И. Рыбин П. С Зяблов В. В. Институт Проблем Передачи Информации {zyablovzhilinfiiprybin}@iitp.ru Аннотация В работе предлагается конструкция

Подробнее

a x j a j Пример: 28=1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0

a x j a j Пример: 28=1*2 4 +1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 Лекция 2 Цифровые методы представления информации. Цифровые коды. Двоичная и шестнадцатиричная системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Двоичная арифметика. Формы представления

Подробнее

= 4

= 4 Коррекционная карточка 6 класс: Действия с рациональными числами (с помощью координатной прямой) 1. Построить координатную прямую, указав начало координат и единичный отрезок. Отметить на координатной

Подробнее

Применение циклических кодов и приема со стиранием для цифровых каналов связи.

Применение циклических кодов и приема со стиранием для цифровых каналов связи. УДК 62.39 Применение циклических кодов и приема со стиранием для цифровых каналов связи. Л. Н. Баранников, А. Б. Ткачёв, А. В. Хромцев Рассмотрено применение циклических кодов и приема со стиранием для

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ Алгебраическая теория блоковых кодов» Глава

Подробнее