Теория устойчивости Ляпунова.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Теория устойчивости Ляпунова."

Транскрипт

1 Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента, и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции, и т. д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение: dx dt = f x (1) В теории дифференциальных уравнений точки x*, в которых правая часть уравнения f(x) обращается в нуль, т.е. f(x*) = 0, называются положениями равновесия, или стационарными (иногда особыми) точками. Положение равновесия может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Понятия устойчивости и неустойчивости имеют большое прикладное значение и являются одними из наиболее важных понятий при анализе различных математических моделей. В частности, характер эволюции некоторой системы из состояния равновесия существенно зависит от того, каким это равновесие является: устойчивым или неустойчивым. В случае неустойчивого равновесия в результате даже очень малых начальных отклонений система может быть отброшена от стационарного состояния, и движение станет либо очень сложным, либо система перейдет в другое стационарное состояние, весьма далекое от исходного. 1

2 Говорят, что система находится в положении устойчивого равновесия x*, если при малых отклонениях от него система останется вблизи x* при любых t. На математическом языке это утверждение формулируется следующим образом. Стационарная точка дифференциального уравнения называется устойчивой, или, точнее, устойчивой по Ляпунову, если для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что для всякого решения x(t) того же уравнения, начальные значения которого удовлетворяют неравенству x t o, x δ ε ρ для всех t t o справедливо x t, x ε ρ (3) Здесь ρ расстояние (по введенной метрике) между точками x и x*. Если же положение равновесия x* не только устойчиво, но, (2) кроме того, удовлетворяет условию x t, x 0 lim t ρ, то стационарная точка x* в этом случае называется асимптотически устойчивой. Предположим, что исследуемая система в некоторый момент времени t* находилась в состоянии x(t*), близком к состоянию равновесия x*: x t =x δ ξ t (4) где δ малый параметр (δ << ξ), ξ(t) функция из того же класса, что и x(t). 2

3 При каких условиях функция x(t) и для t > t* останется близкой к x*? Ответ на этот вопрос дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Суть ее состоит в следующем. Рассмотрим уравнение (1) при условии (4). Тогда, переходя в (1) к переменной δ ξ(t) и разлагая правую часть в ряд, получим: x x δ ξ 2... δ dξ f = f x δ ξ = f x dt x (5) Учитывая f(x*) = 0, а также малость δ ξ(t) и отбрасывая нелинейные слагаемые, получим x δ ξ=λ δ ξ δ dξ dt = f x Теорема Ляпунова утверждает, что если λ < 0, то положение равновесия x* асимптотически устойчиво по линеаризованной схеме, при λ > 0 неустойчиво, и при λ = 0 об устойчивости или неустойчивости данного положения равновесия ничего сказать нельзя. Рассмотрим устойчивость систем дифференциальных уравнений. Пусть дана система автономных ОДУ: (6) С начальными условиям: (7) (8) 3

4 Согласно теореме Ляпунова скорости изменения малого параметра при разложении в ряд в точке равновесия имеют вид: δ dξ 1 dt δ dξ 2 dt = f 1 x δ ξ 1 f 1 y δ ξ 2 = f 2 x δ ξ 1 f 2 y δ ξ 2 (9) Коэффициенты при δ ξ 1 и δ ξ 2 образуют матрицу линеаризации: =[ [ A= a 11 a 21 ] a 12 a 22 f 1 x f 2 x f 1 ] y (10) f 2 y Собственные значения λ i уравнения: этой матрицы находятся из (11) Если все собственные значения λ i матрицы А удовлетворяют неравенству Re(λ i ) < 0, i = 1, 2, то данное положение равновесия асимптотически устойчиво. Если же хотя бы для одного собственного значения вещественная часть больше нуля, то положение неустойчиво. В зависимости от значений λ i особые точки системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть четырех типов: 1. Узел все корни действительные и одного знака (рис.1 а и б). 2. Седло все корни действительные, но разных знаков (рис. 1 в). Положение равновесия неустойчиво. Траектории I и II называются сепаратрисами. 3. Фокус все корни комплексно-сопряженные (но не чисто мнимые) (рис. 1 г и д). 4. Центр все корни чисто мнимые (рис. 1, е). 4

5 Риc. 1. Типы особых точек системы двух дифференциальных уравнение: а устойчивый узел; б неустойчивый узел; в седловая точка; г устойчивый фокус; д неустойчивый фокус; е центр. Бифуркация. Исследуем на устойчивость численного решения уравнение: (12) Используя метод Эйлера, для исходного дифференциального уравнения получим следующее уравнение в конечных разностях: (13) Задаваясь начальным значением Х 0 и величиной шага по времени Δt, по соотношению (13) можно получить таблицу значений в различные моменты времени. 5

6 Рис. 2. Численное решение уравнения (12) при различных значениях произведения r Δt: а r Δt = 0.5; б r Δt = 2; в r Δt = 2.5; г r Δt = 3 На рис. 2 показано численное решение уравнения (12) по схеме (13) в зависимости от величины произведения шага по времени на коэффициент. При малых значениях данного произведения решение (рис. 2, а), полученное численной процедурой метода Эйлера, стремится к положению равновесия (X* = 1) и практически совпадает с аналитическим решением. Рассмотрим поведение малых отклонений Δ n = Х n X* от положения равновесия. Подставляя в (13) и линеаризуя, получим Подставляя значение X* и деля на Δ n найдем Из последнего соотношения можно заключить, что последовательность Δ n+1 /Δ n будет сходящейся, если 0 < r Δt <2, причем при 0 < r Δt < 1 сходимость будет монотонной, при 1 < r Δt < 2 происходят колебания вблизи нуля. При r Δt > 2 численное решение начинает колебаться около положения равновесия (рис. 2, б). При r Δt = 2.5 (рис. 2, в) происходят устойчивые колебания с периодом 4. Дальнейший рост величины 6

7 r Δt приводит к последовательному удвоению периода колебаний при все большем сближении значений r Δt. Наконец, при r Δt = 2.57 процесс вообще перестает быть периодическим (рис. 2, г). Теперь X все время меняется около бесконечного числа значений, так что поведение процесса, несмотря на его полную изначальную детерминированность, практически невозможно прогнозировать на большие периоды времени. Подобное поведение обычно называют хаотическим. Более полное представление о поведении численного решения можно получить с помощью так называемой бифуркационной диаграммы (рис. 3). На диаграмме по горизонтальной оси откладывают значения r Δt, а по вертикальной равновесное значение X*. Для каждого значения r Δt определяют значения ряда Х 0, Х 1, Х 2,... соотношения (13), причем первые 4000 членов Х n на диаграмме не отображаются. Это делается для того, чтобы процесс успел выйти к положению равновесия. Следующие 200 членов ряда нанесены на диаграмму. Как можно видеть на диаграмме, для метода Эйлера (рис. 3, а) при r Δt < 2 все 200 членов ряда отображаются в одну точку, что соответствует процессу сходимости, приведенному на рис. 2, а. При 2 < r Δt < 6 на диаграмме получаем две точки (процесс сходимости представлен на рис. 2, б), затем 4 (рис. 2, в), 8, 16 и т.д. точек вплоть до области хаоса, где точки могут заполнять целые полосы (рис. 2, г). Если использовать метод Рунге-Кутта, имеющий четвертый порядок точности, то получим другой вид бифуркационной диаграммы (рис. 3, б). До значения r Δt = 2.75 решение сходится к 1. Затем точка сходимости начинает изменяться, уменьшаясь по сравнению с 1, и при значениях r Δt > решение начинает осциллировать. 7

8 Рис 3. Бифуркационная диаграмма для: а схемы Эйлера; б схемы Рунге-Кутта Рассмотренный пример показывает, что при выборе численного метода для получения приближенного решения задачи следует очень внимательно относится к выбору шага. Для численного метода можно ввести понятие вычислительной устойчивости или неустойчивости. При этом нельзя отождествлять неустойчивость состояния самого объекта 8

9 моделирования с неустойчивостью вычислительной процедуры. Надлежит таким образом выбирать параметры численной процедуры, чтобы исключить появление вычислительной неустойчивости при исследовании модели. 9

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Семинар Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЕМИНАР 7 Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости)

Подробнее

В общем виде модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений, можно записать как:

В общем виде модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений, можно записать как: Семинар 5 Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерры. В общем виде модели, описываемые системами

Подробнее

5. Автономное ОДУ разрешенное относительно производной уравнение вида

5. Автономное ОДУ разрешенное относительно производной уравнение вида Базовые понятия курса Биоинформатика и математические методы в биологии Составители: А. Нестеренко, Т. Плюснина, А. Дьяконова, П. Фурсова, Г. Ризниченко Кафедра биофизики биологического факультета МГУ

Подробнее

5. Устойчивость аттракторов

5. Устойчивость аттракторов 5. Устойчивость аттракторов 1 5. Устойчивость аттракторов В прошлом разделе мы научились находить неподвижные точки динамических систем. Также мы выяснили, что существует несколько различных типов неподвижных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Качественный анализ динамических систем. Построение фазовых портретов ДС

Качественный анализ динамических систем. Построение фазовых портретов ДС Качественный анализ динамических систем Построение фазовых портретов ДС Динамическая система 2 Динамическая система математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

dx dt dy dt Получим фазовые траектории, разделив второе уравнение на первое

dx dt dy dt Получим фазовые траектории, разделив второе уравнение на первое Рассмотрим систему двух автономных дифференциальных уравнений dx P( x, y), dt 1 P, Q C dy Q( x, y). dt Получим фазовые траектории, разделив второе уравнение на первое dy Q( x, y). dx P( x, y) Решения этого

Подробнее

Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея.

Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея. СЕМИНАР 3 Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея. Модели, основанные на аппарате дифференциальных уравнений, применимы для описания

Подробнее

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА.. Постановка задачи. Рассмотрим автономное уравнение вида = f. () Как известно, это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе

Подробнее

Динамические системы и методы математического моделирования. Элементы теории бифуркаций

Динамические системы и методы математического моделирования. Элементы теории бифуркаций Динамические системы и методы математического моделирования Элементы теории бифуркаций Понятие бифуркации Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая

Подробнее

Модели роста популяций: модель Ферхюльста (логистический рост), модель с наименьшей критической численностью.

Модели роста популяций: модель Ферхюльста (логистический рост), модель с наименьшей критической численностью. СЕМИНАР Модели роста популяций: модель Ферхюльста (логистический рост), модель с наименьшей критической численностью. ЛОГИСТИЧЕСКИЙ РОСТ (УРАВНЕНИЕ ФЕРХЮЛЬСТА) Частым явлением в природе является ограниченность

Подробнее

СЕМИНАРЫ 5 И 6 Фазовой плоскостью фазовой траекторией фазового портрета метод изоклин Изоклина

СЕМИНАРЫ 5 И 6 Фазовой плоскостью фазовой траекторией фазового портрета метод изоклин Изоклина СЕМИНАРЫ 5 И 6 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Изоклины. Построение фазовых портретов. Кинетические кривые. Знакомство с программой TRAX. Фазовой

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

Занятие 9. Предельные циклы

Занятие 9. Предельные циклы 8.04.07 Занятие 9. Предельные циклы На фазовой плоскости периодическим решениям автономной системы f ( ( g( соответствуют замкнутые траектории циклы. Замкнутая изолированная траектория называется предельным

Подробнее

3. Типы аттракторов. x, y, μ =0, f 2 (22) x, y, μ =0.

3. Типы аттракторов. x, y, μ =0, f 2 (22) x, y, μ =0. 3. Типы аттракторов 1 3. Типы аттракторов Очень наглядным образом можно визуализировать расположение аттракторов на фазовой плоскости, во многом благодаря тому, что существует всего несколько их типов,

Подробнее

a.0 1. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые

a.0 1. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые 4.03.07 Занятия 4. Существование и устойчивость положений равновесия линейных динамических (ЛДС) систем на плоскости. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые портреты ЛДС (x, yr, ar):

Подробнее

СЕМИНАР 1 переменные параметры

СЕМИНАР 1 переменные параметры СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Подробнее

9. Устойчивость . (66)

9. Устойчивость . (66) 9. Устойчивость 1 9. Устойчивость В прошлом разделе мы разобрали основные критерии разностных схем для ОДУ, но пока не касались, пожалуй, основного их свойства устойчивости. В качестве примера при рассмотрении

Подробнее

Рис. 1: Кривая равновесий.

Рис. 1: Кривая равновесий. Понятие о бифуркации. Бифуркации положений равновесия. Дифференциальные уравнения динамических систем часто зависят не только от фазовых переменных, но и параметров, т.е. имеют следующую структуру: ẋ =

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Динамические системы и методы математического моделирования. Сценарии перехода к хаосу

Динамические системы и методы математического моделирования. Сценарии перехода к хаосу Динамические системы и методы математического моделирования Сценарии перехода к хаосу Теорема Пуанкаре-Бендиксона (N = 2) Пусть R замкнутое ограниченное подмножество плоскости, a x f(x) - непрерывно дифференцируемое

Подробнее

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ПРОГРАММИРОВАНИЮ СТУДЕНТА 218 ГРУППЫ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ М. В.

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ПРОГРАММИРОВАНИЮ СТУДЕНТА 218 ГРУППЫ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ М. В. КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ПРОГРАММИРОВАНИЮ СТУДЕНТА 218 ГРУППЫ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА ГАМОВА АРТЕМИЯ ЛЬВОВИЧА. ТЕМА: Задача Коши для системы Лоренца.

Подробнее

Параметрический резонанс и параметрическая неустойчивость в линейной

Параметрический резонанс и параметрическая неустойчивость в линейной Лекция 6 Лекция 6 Параметрические колебания нелинейных систем Параметрический резонанс и параметрическая неустойчивость в линейной системе Специфическим видом внешнего воздействия на колебательную систему

Подробнее

ЧАСТЬ II УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА. Глава 4 Оценка устойчивости критерии устойчивости

ЧАСТЬ II УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА. Глава 4 Оценка устойчивости критерии устойчивости Мелешкин Г.А., Меркурьев Г.В.Устойчивость энергосистем. Книга. Глава 4. Оценка устойчивости критерии устойчивости 8 ЧАСТЬ II УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА Глава 4 Оценка устойчивости критерии устойчивости

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

y отличны от нуля, то частным последовательностей

y отличны от нуля, то частным последовательностей Раздел 2 Теория пределов Тема Числовые последовательности Определение числовой последовательности 2 Ограниченные и неограниченные последовательности 3 Монотонные последовательности 4 Бесконечно малые и

Подробнее

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывно меняются со временем t Эти

Подробнее

Лекция 10 Элементы теории нелинейных систем

Лекция 10 Элементы теории нелинейных систем Лекция 0 Элементы теории нелинейных систем Практически все системы управления строго говоря являются нелинейными т.е. описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- Тема 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 4.0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Семинар по теме Вариационные задачи

Семинар по теме Вариационные задачи Семинар по теме Вариационные задачи апреля г. Общая теория Вариационные задачи, возникающие чаще всего в приложениях, сводятся к минимизации функционала (в механике он называется действием ): S [x (t)]

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Лекция 3. Связь амплитуды и периода нелинейных колебаний

Лекция 3. Связь амплитуды и периода нелинейных колебаний Лекция 3 Связь амплитуды и периода нелинейных колебаний 1. Анализ зависимости периода от амплитуды в колебательных решениях уравнения Дюффинга. Рассмотрим уравнение Дюффинга класса А: d x 3 x x 0. (3.1)

Подробнее

Лекция 7. Метод усреднения, адиабатические инварианты. 1. Метод усреднения. 2. Адиабатические инварианты.

Лекция 7. Метод усреднения, адиабатические инварианты. 1. Метод усреднения. 2. Адиабатические инварианты. Лекция 7. Метод усреднения, адиабатические инварианты. 1. Метод усреднения. 2. Адиабатические инварианты. 1. Метод усреднения. 1.1 Принцип усреднения Рассмотрим систему Она является малым возмущением системы

Подробнее

( t) Глава 5. Теория устойчивости

( t) Глава 5. Теория устойчивости Глава 5. Теория устойчивости Во многих задачах небесной механики не удается аналитически установить факт интегрируемости исходной канонической системы. Более того, существование динамического хаоса, строго

Подробнее

В.В. Поддубный, Е.А. Сухарева ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЫНКА ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА СО МНОГИМИ ТОВАРАМИ

В.В. Поддубный, Е.А. Сухарева ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЫНКА ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА СО МНОГИМИ ТОВАРАМИ УДК 59865 ВВ Поддубный ЕА Сухарева ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЫНКА ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА СО МНОГИМИ ТОВАРАМИ Исследуется нелинейная динамическая модель рынка вальрасовского типа со многими конкурирующими

Подробнее

1 Организационно-методический раздел

1 Организационно-методический раздел Программа курса Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры, 2012-2013 учебный год Основной курс для студентов II курса, I потока Составил доцент, к.ф.-м.н. Г. А. Чумаков 1 Организационно-методический

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 0 класс ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Новосибирск Интуитивно

Подробнее

Колебания. 1 Затухающие колебания. 2 Время релаксации, декремент затухания, добротность. 3 Вынужденные колебания. 4 Резонанс.

Колебания. 1 Затухающие колебания. 2 Время релаксации, декремент затухания, добротность. 3 Вынужденные колебания. 4 Резонанс. Колебания 1 Затухающие колебания. Время релаксации, декремент затухания, добротность. 3 Вынужденные колебания. 4 Резонанс. Затухающие колебания Если нельзя пренебрегать сопротивлением среды при записи

Подробнее

НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ

НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ Семинар Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции.

Подробнее

1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости.

1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. Лекция 3. Фазовые потоки на плоскости 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость.

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Неустойчивость Тьюринга

Неустойчивость Тьюринга Неустойчивость Тьюринга. Линейный анализ для системы двух уравнений реакция-диффузия. Сравнение с линейным анализом для системы двух ОДУ. Бифуркационные диаграммы. Рассмотрим распределенную систему в которой

Подробнее

7. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. y), (7.1)

7. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. y), (7.1) 7 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Автономной системой для функций ( t) ( t) называется система дифференциальных уравнений d d P( ) Q( ) (7) dt dt где правые части не зависят

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Это можно сделать в виде дифференциальных уравнений ДУ или системы дифференциальных

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Исследование хаотической динамики в модели Вольтерра Гаузе

Исследование хаотической динамики в модели Вольтерра Гаузе Исследование хаотической динамики в модели Вольтерра Гаузе Д.А.Буров Д.Л.Голицын Аннотация. В статье рассматривается модель два хищника жертва представленная в виде трехмерной автономной системы дифференциальных

Подробнее

Исследование резонансных колебаний математического маятника переменной длины

Исследование резонансных колебаний математического маятника переменной длины Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск www.mai.ru/science/trudy/ УДК: 5.5 Исследование резонансных колебаний математического маятника переменной длины Красильников П.С., Сторожкина Т.А. Исследуются линейные

Подробнее

6.Бифуркации. f 1. f 2

6.Бифуркации. f 1. f 2 6.Бифуркации 1 6.Бифуркации Изучая нелинейную динамику, мы с Вами сталкивались со все более сложными численными методами исследования динамических систем. Теперь еще более усложним нашу задачу. Напомним,

Подробнее

Исследование устойчивости по части переменных в критическом случае m нулевых корней

Исследование устойчивости по части переменных в критическом случае m нулевых корней Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЯВНЫХ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЯВНЫХ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ Математические структуры и моделирование 2007, вып. 17, с. 19 25 УДК 517.91 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЯВНЫХ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ ПРИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

Г.А. Левина ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ЧАСТЬ 2

Г.А. Левина ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ЧАСТЬ 2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет Кафедра «Приборостроение» 534(7) Л363 Г.А. Левина ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ

Подробнее

dx dt y 1 = (1 λ) y + λµx(1 x), T : (1) D : (x r) 2 + (y r) 2 2r 2, (2) N 3,

dx dt y 1 = (1 λ) y + λµx(1 x), T : (1) D : (x r) 2 + (y r) 2 2r 2, (2) N 3, dx dt ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 3, 2002 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 http://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.stu.neva.ru Моделирование динамических систем

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 003. Том 44, 6 УДК 517.96. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Аннотация: Рассматривается некоторый

Подробнее

Построение интегральных кривых и фазового портрета автономного уравнения

Построение интегральных кривых и фазового портрета автономного уравнения Построение интегральных кривых и фазового портрета автономного уравнения Имея график гладкой функции f(u), можно схематично построить интегральные кривые уравнения du dt = f(u). (1) Построение опирается

Подробнее

Лекция Фазовые потоки на прямой. 2. Бифуркации фазовых потоков на прямой.

Лекция Фазовые потоки на прямой. 2. Бифуркации фазовых потоков на прямой. Лекция 2. 1. Фазовые потоки на прямой. 2. Бифуркации фазовых потоков на прямой. 1. Фазовые потоки на прямой. 1.1 Геометрическое представление решений ОДУ В первой лекции мы говорили о системах вида: &...

Подробнее

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов

ПЛАН ЛЕКЦИИ. Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ПЛАН ЛЕКЦИИ Общие определения Понятие степенного ряда Разложение функций в степенной ряд Применение некоторых рядов ЧИСЛОВОЙ РЯД Бесконечная сумма чисел вида: а а а... а... 3 называется числовым

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ ДИФФУЗИЯ

ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИЯ ДИФФУЗИЯ Семинар 9 Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния системы двух уравнений реакция диффузия Неустойчивость Тьюринга Активатор и ингибитор Условия возникновения диссипативных структур

Подробнее

Колебания. 1Физический и математический маятники. 2 Уравнение затухающих колебаний. 3 Уравнение вынужденных колебаний. Резонанс

Колебания. 1Физический и математический маятники. 2 Уравнение затухающих колебаний. 3 Уравнение вынужденных колебаний. Резонанс Колебания 1Физический и математический маятники. Уравнение затухающих колебаний. 3 Уравнение вынужденных колебаний. Резонанс F α в R c Физический маятник Физическим маятником называется твердое тело, которое

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

2. Аттракторы динамических систем

2. Аттракторы динамических систем 2. Аттракторы динамических систем 1 2. Аттракторы динамических систем Посвятим этот раздел анализу поведения динамических систем на больших временах: ẋ i =f i x, t, μ при t. (5) Как мы уже говорили, в

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

1. Введение О КЛАССИФИКАЦИИ АТТРАКТАТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ ОДУ. 126 Треблер А. А. Треблер А. А. МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва

1. Введение О КЛАССИФИКАЦИИ АТТРАКТАТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ ОДУ. 126 Треблер А. А. Треблер А. А. МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва 126 Треблер А. А. Треблер А. А. МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва О КЛАССИФИКАЦИИ АТТРАКТАТОРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ ОДУ В данной статье рассматриваются несколько нелинейных диссипативных систем

Подробнее

Численное решение нелинейных уравнений

Численное решение нелинейных уравнений Постановка задачи Метод половинного деления Метод хорд (метод пропорциональных частей 4 Метод Ньютона (метод касательных 5 Метод итераций (метод последовательных приближений Постановка задачи Пусть дано

Подробнее

МГТУ им. Н. Э. Баумана. Кафедра Прикладная механика

МГТУ им. Н. Э. Баумана. Кафедра Прикладная механика МГТУ им Н Э Баумана Кафедра Прикладная механика Лабораторная работа 2 по курсу Управление в технических системах «Устойчивость системы автоматического регулирования угловой скорости паровой турбины» Студент:

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Замкнутая трехуровневая модель системы с обратной связью Рассмотрим динамику компонентов X 1. системы, которая представлена схемой (рис.

Замкнутая трехуровневая модель системы с обратной связью Рассмотрим динамику компонентов X 1. системы, которая представлена схемой (рис. В.В. Киселев, Р.М. Ткаченко Замкнутая трехуровневая модель системы с обратной связью Рассмотрим динамику компонентов X 1, X 2 и X 3 системы, которая представлена схемой (рис.1): Рис. 1 Структура трехуровневой

Подробнее

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n)

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( x, y, y, y,..., y ( n) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F( ( ) ) - обыкновенное (зависимость только от ) Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой

Подробнее

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА)

Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Олемской И.В. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМУ ПРАКТИКУМУ. (ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА) Постановка задачи. Рассматривается задача о вычислении однократного интеграла J(F ) = F (x) dx. ()

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения Конспекты лекций, вопросы и задачи 22 Прядко И.Н., Садовский Б.Н. Литература Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Очерки по ОДУ. hp://www.bsadovskiy.ru Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

Модели роста популяций: модель Ферхюльста (логистический рост), модель с наименьшей критической численностью.

Модели роста популяций: модель Ферхюльста (логистический рост), модель с наименьшей критической численностью. СЕМИНАР Модели роста популяций: модель Ферхюльста (логистический рост), модель с наименьшей критической численностью. ЛОГИСТИЧЕСКИЙ РОСТ (УРАВНЕНИЕ ФЕРХЮЛЬСТА) Частым явлением в природе является ограниченность

Подробнее

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач.

Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Примеры построения разностных схем для начально-краевых задач. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. Ильяшенко III IV семестры, программа экзамена 2003 2004 г, варианты 2001 2009 г. 1. Программа экзамена 1.1. Первый семестр Введение.

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость.

ТЕОРИЯ ОЦЕНОК. Основные понятия в теории оценок Состоятельность и сходимость. Поиск оценки может быть рассмотрен как измерение параметра (предполагается, что он имеет некоторое фиксированное, но неизвестное значение), основанное на ограниченном числе экспериментальных наблюдений.

Подробнее

Уравнения динамики и статики. Линеаризация

Уравнения динамики и статики. Линеаризация Уравнения динамики и статики. Линеаризация На определенном этапе разработки и исследования системы автоматического управления получают ее математическое описание описание процессов проистекающих в системе

Подробнее

Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.

Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Семинар 8 Понятие автоколебаний. Предельные ы. Рождение предельного а. Бифуркация Андронова Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ Рассмотрим систему уравнений общего вида: dx =

Подробнее

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций

называется обобщенным рядом Фурье по ортогональной системе функций 345 4 Ряды Фурье по ортогональным системам функций Пусть ( ( x - ортогональная система функций в L [ ; ] Выражение c ( x + c1 ( x + 1 c ( x + + ( c ( x = c ( x (41 = называется обобщенным рядом Фурье по

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЭКРАНОПЛАНА: ЛИНЕЙНЫЕ ОЦЕНКИ И НЕЛИНЕЙНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЭКРАНОПЛАНА: ЛИНЕЙНЫЕ ОЦЕНКИ И НЕЛИНЕЙНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДК 629.125.8.039 Аввакумов М.Н. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЭКРАНОПЛАНА: ЛИНЕЙНЫЕ ОЦЕНКИ И НЕЛИНЕЙНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СанктПерербургский государственный университет сервиса и экономики This wrk is dvtd t th prblm

Подробнее

А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией

А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений А. Ф. Заусаев, В. Е. Зотеев Применение разностных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений Лабораторный практикум Самара Самарский государственный технический университет МИНИСТЕРСТВО

Подробнее

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ.

Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Тема курса лекций: ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Лекция 2. Абсолютно сходящиеся ряды, признаки сходимости. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная сходимость. Признаки сходимости Лейбница, Дирихле, Абеля. Далее

Подробнее

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u

(n 1) (t)) y(t) = y 2 (t) m (t)) y m (t) u (t) = u (t)u 2 (t) + sin t, u(0) = 1, u (0) = 1, u (0) = 2. y 1 = u, y 2 = u, y 3 = u Глава 3 Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений!" $# &%' '()* +(, '+ -.' / ' 01!23434 5'6 %7 2098: : 1;= @?BA&C Рассмотрим методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных

Подробнее