Глава 6. Основы теории устойчивости

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 6. Основы теории устойчивости"

Транскрипт

1 Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при [ a, b], если правая часть f (, ) удовлетворяет условиям теорем существования и единственности В этой главе мы исследуем, + зависимость решения задачи Коши от начальных условий, когда [ ) Будем предполагать, что для системы уравнений () выполнены условия теорем α, +, D, где существования и единственности на множестве таких точек (, ), что D открытое множество в пространстве переменного Пусть = ϕ () решение системы уравнений () определенное при Определение Решение = ϕ () системы () называется устойчивым по Ляпунову, если для ε > δε > : : ϕ < δ, решение = ψ : ψ = определено при и ψ () ϕ() < ε l ψ ϕ = = ϕ называется асимптотически Если, кроме того, () то решение устойчивым Исследование устойчивости решения = ϕ() системы уравнений () может быть сведено к исследованию устойчивости тривиального решения, т е некоторого положения равновесия другой нормальной системы В самом деле, введем новую неизвестную функцию y () = () ϕ(), () которая удовлетворяет следующей системе уравнений y = f (, y + ϕ) f (, ϕ) = f (, y), (3) где f (, ) = При этом устойчивость (по Ляпуновy или асимптотическая) решения = ϕ() равносильна устойчивости решения y = системы уравнений (3) В дальнейшем будем считать, что замена () уже сделана Тогда система уравнений () имеет решение f, =, те Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Устойчивость тривиального решения Рассмотрим однородную систему из линейных дифференциальных уравнений = A () где A постоянная действительная матрица Пусть λk = μk + νk, k =,,,, собственные значения матрицы A Лемма Пусть Reλk = μk <, k =,,,, тогда существуют постоянные α >, R > такие, что при всех для решения системы () = ϕ() справедлива оценка ϕ Re α,

2 = R = Доказательство Как было показано ранее, любое решение = ϕ системы уравнений () имеет вид k ϕ () = gk () e λ, () k = где gk () вектор-функция, каждая координата которой есть некоторый многочлен По условию леммы Re λk = μk <, k =,,, Поэтому существует константа α > такая, что Reλk = μk < α <, k =,,, (3) Из () следует, что ( μk+ νk) μk α ϕ g e g e e где норма вектор-функции y y ( y ) () () k k= k= α () () () ( μ + α) k ( μk+ νk) < ( 3) k k () k= k= ( μk + α) < l gk () e k = ( μk + α) R : gk () e R, k = α α ϕ e g e g e = > () ϕ() ϕ e R Re Лемма Пусть Reλk = μk <, k =,,,, тогда для любого решения системы () = ϕ (, ), удовлетворяющего начальному условию ϕ (, ) =, выполнена равномерная на промежутке оценка α ϕ (, ) r e,, где α >, r > - некоторые постоянные Доказательство Пусть = ϕ () решение системы уравнений (), удовлетворяющее начальному условию ϕ () = e = { δ, δ,, δ } единичный координатный вектор Тогда, по теореме единственности,,, ϕ = ϕ =,,, { } k = так как в правой части последнего равенства записано решение системы уравнений (), удовлетворяющее при = тому же начальному условию, что и ϕ (, ) В силу Леммы существуют постоянные α, R > такие, что при всех верно α ϕ () R e, =,,, Положим R { R R } = a,,, тогда α ϕ () Re, =,,, Следовательно, при всех ϕ, ϕ α Re α = Re α = re () k= k= r Установим теперь необходимые и достаточные условия устойчивости положения k

3 равновесия = системы уравнений () Теорема Для того чтобы положение равновесия = системы уравнений() было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы A имели отрицательные действительные части Доказательство ) Достаточность Пусть ε > произвольное положительное число, а = ψ () = ϕ(, ) решение системы уравнений (), удовлетворяющее начальному условию ψ = В силу Леммы справедлива равномерна при оценка ψ ϕ(, ) r e α, где α >, r > - некоторые постоянные ε α Пусть δ = ε / r, тогда если < δ, то ψ () < r e ε при всех, те положение r равновесия устойчиво по Ляпунову Так как l e α l ψ =, следовательно, положение равновесия = + =, то + асимптотически устойчиво Достаточность доказана ) Необходимость Пусть существует k такое, что Reλk = μk, тогда положение равновесия = не может быть устойчивым по Ляпунову В самом деле, положим Reλ` = μ и рассмотрим h - собственный вектор ` матрицы A, те Ah = λ h = Re he λ - решение системы уравнений () Пусть ` Тогда h = h+ h, тогда ( μ+ ν) μ ν ν = Re h + h e = e h cos h s / + ` Этим же свойством, очевидно, обладает любое решение = cre( he λ ), которое при достаточно малом c сколь угодно близко в момент = к положению равновесия =, но при + не стремится к нулю Следовательно, положение равновесия = не будет асимптотически устойчивым Необходимость доказана Замечание Для устойчивости по Ляпунову положения равновесия = системы уравнений () необходимо (но не достаточно!), чтобы все собственные значения матрицы А имели неположительные действительные части 3 Второй метод Ляпунова Лемма Ляпунова Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений = f (, ) () Будем предполагать, что = решение этой системы Такое предположение, как было показано в, не нарушает общности Из него, в частности, следует, что f (, ) = Лемма Ляпунова Пусть правая часть системы уравнений () определена на множестве D : r, Предположим, что выполнены условия теорем существования и единственности и, кроме того, при r определена неотрицательная функция V, V C r, обращающаяся в нуль только при =, причем на множестве D

4 V ( gradv, f ) = f = Тогда решение = системы уравнений () устойчиво по Ляпунову Если, кроме того, на множестве D V ( gradv, f ) = f W = где W некоторая непрерывная функция, обращающаяся в нуль только при =, то решение = асимптотически устойчиво Доказательство Зададим произвольное ε (; r) и обозначим S ε поверхность шара ε Пусть Vε = V () Sε Выберем δ > таким образом, чтобы при δ выполнялось неравенство V V ε (3) Такое δ существует, поскольку функция V( ) непрерывна при ε и V () = Покажем, что всякое решение = ϕ, для которого выполнено ϕ ( ) < δ, определено при всех и удовлетворяет неравенству ϕ() < ε, т е решение = будет устойчивым по Ляпунову В самом деле, пусть непродолжаемое решение = ϕ определено на интервале ( l, ), где <+ Тогда по свойству непродолжаемых решений это возможно лишь, если траектория = ϕ () пересекает поверхность S ε (в противном случае при всех < выполняется неравенство ϕ () < ε и график решения = ϕ не может выйти за пределы замкнутого ограниченного множества ε, < ) Таким образом, траектория = ϕ () пересекает поверхность S ε Обозначим ( > ) - наименьшее значение параметра, при котором траектория впервые достигает поверхности S ε Рассмотрим сложную функцию V( ϕ () ) В силу условий леммы d V V V ( ϕ() ) = ( ϕ) ϕ = ( ϕ) f (, ϕ), = = т е функция V( ϕ () ) не возрастает Но тогда в силу () и (3) Vε > V( ϕ ) V( ϕ( )) Vε что невозможно Следовательно, решение = ϕ определено при всех и его траектория не может достигать поверхности S ε т е при всех верно неравенство ϕ () < ε Первое утверждение леммы доказано Докажем второе утверждение Зададим произвольное ε > Выберем δ > так же, как это делалось выше Тогда для любой траектории = ϕ, для которой ϕ ( ) < δ, имеет место неравенство ϕ () < ε V l V ϕ = В самом деле, Рассмотрим снова функцию ϕ Покажем, что ( ) допустив противное, мы придем к заключению, что у невозрастающей неотрицательной функции V( ϕ () ) существует положительный предел l V ϕ = A> (4) + ( ) +

5 Заметим, что тогда V( ϕ() ) A,, а значит существует постоянная σ > такая, что ϕ() > σ, Действительно, если это не так, найдется последовательность k, для которой ϕ( k) V ( ϕ( k) ) поскольку V () =, что противоречит (4) Таким образом, для всех верно σ ϕ ε По условию леммы W ( σ ε) > Поэтому существует постоянная α > такая, что W σ ε α и V ϕ = ϕ ϕ = ϕ f ϕ W ϕ α (5) d V V = = ( ()) (, ) Интегрируя неравенство (5) в пределах от до, получим V( ϕ() ) V( ϕ ) α l V ( ϕ ) =, + что противоречит V Таким образом, l V( ϕ ) = (6) + Докажем теперь что l ϕ = Предположим противное, тогда существуют + постоянная η > и последовательность +, для которых ввиду V () = верно ϕ ( ) η Функция V ( η ε) >, поэтому найдется постоянная β >, для которой имеет место неравенство V ( σ ε) β >, откуда следует V( ϕ() ) β >, что противоречит (6) l ϕ =, те положение равновесия = асимптотически устойчиво Итак, + Замечание Для облегчения последующих вычислений заметим, что, каково бы ни было решение = () системы уравнений (), имеет место тождество V d ( () ) f (, () ) = V ( () ) Пример Положим = Рассмотрим динамическую систему 4 y, y y 4 = +, те (, ) V(, y) y = = V y для всех (, y ) и обращается в нуль только при = y = Кроме того, V 4 V 4 y y=y y Поэтому, в силу доказанной выше леммы Ляпунова, положение равновесия = y = рассматриваемой системы устойчиво по Ляпунову 4 Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова) Теорема Ляпунова Пусть = - положение равновесия нормальной системы дифференциальных уравнений = f (, ), () правая часть которой удовлетворяет условиям теорем существования и единственности и имеет вид f, = A + F,,

6 где A() = a () - квадратная матрица Пусть также F(, ) l = Линейная однородная система дифференциальных уравнений = A () называется первым приближением или линеаризацией исходной системы уравнений () в окрестности точки = f Заметим, что согласно предположениям F(, ) =, a = (, ) матрица Якоби Рассмотрим частный случай, когда матрица A() = a () постоянна Теорема Ляпунова Пусть имеется нормальная система уравнений = A + F,, F, = где A постоянная матрица, все собственные значения которой имеют отрицательные действительные части Пусть также при всех и достаточно малом + α F(, ) M, α, M > Тогда положение равновесия = системы уравнений () асимптотически устойчиво Доказательство Пусть = () решение системы уравнений () Введем y : = Ry, где R вспомогательную (вообще говоря, комплексную) вектор-функцию невырожденная постоянная матрица Тогда y() = By+ G(, y) (3) B R = AR, G(, y) = R F(, Ry) Из курса линейной алгебры известно, что матрицу R (вообще говоря, комплексную) можно подобрать так, чтобы матрица В имела вид λ b b λ b B = (4) λ λ,, λ собственные значения матрицы A, а элементы b b b,, (,, ) < > < = по модулю меньше заданного числа b> В силу условий теоремы G, y R F, Ry R M Ry R M R y = M y где Здесь M R M R + α = Рассмотрим функцию V = y y = y = y = = y = R, поэтому ( ), ( V > V ) = + α + α + α + α (), (5)

7 Для вычисления V f воспользуемся замечанием, сделанным в конце 3, и тем = обстоятельством, что в силу теоремы существования и единственности через любую точку (, ) можно провести интегральную кривую = системы уравнений () Поэтому V d d d d f = V = y ( y ) = ( y ) y + y ( y ) (6) = = = Используя (3) и (4), получим dy = λy + b y + G, < (7) d( y ) = λ ( y ) + ( b ) ( y ) + ( G ) Подставляя (7) в (6), найдем { } { } { } V f = λ y y + λ y y + b y y + b y y + G y + G y = = = = < = < { } ( λ λ ) y ( y ) b ( b ) y y G y G y (8) = = = < = По условию теоремы Reλ <, =,,,, те найдется число a > такое, что Re λ a, =,,, Пусть b = b b В силу оценки (5) имеем G = G G M y + α, поэтому из равенства (8) вытекает V f a y y { G ( y ) ( G ) y } = = = < = ( ) av b y + α + α M y av b y M y < = α + av b( ) V M V + + = + + = = + + (9) a Подберем матрицу R так, чтобы выполнялось b, а будем считать α a настолько малым, что V Тогда из (9) получим 4M V a a f av + V + V =av = av = W, из последнего неравенства на основании леммы Далее, обозначив Ляпунова делаем заключение об асимптотической устойчивости положения равновесия системы () Пример Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений вида (): y y = y+, y= 3y+ + + При выполнены все условия теоремы Ляпунова, так как матрица A = 3 имеет собственные значения λ, = ± Поэтому положение равновесия = y = асимптотически устойчиво

8 Замечание Имеет место следующее утверждение о неустойчивости Теорема (о неустойчивости) Пусть задана нормалъная система уравнений () с постоянной матрицей A, имеющей хотя бы одно собственное значение с положительной действительной частью Пусть при для достаточно малых значений выполнено неравенство F(, ) M + α, где α, M > Тогда положение равновесия = системы уравнений () неустойчиво Замечание При исследовании устойчивости положения равновесия по первому приближению важно иметь возможность установить тот факт, что все собственные значения действительной матрицы A, т е все корни характеристического многочлена, имеют отрицательные действительные части Известна следующая терема Теорема (Гурвица) Для того чтобы у многочлена P( z) = z + az + + a z+ a с действительными коэффициентами все корни имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные (угловые) миноры матрицы a a3 a a a5 a4 a3 a, ( ak =, a a a3 a4 a k > ) были положительными, т е чтобы a Δ = a >, Δ = a3 a >,, a a3 a a Δ = a5 a4 a3 a =Δ a > a a a a a 3 4 Последнее условие можно заменить условием a >, те для многочлена второй степени P( z) = z + az+ a имеем a >, a >, а для многочлена третьей степени 3 P3( z) = z + az + az+ a3 нужно a >, aa a3 >, a3 > 5 Применение теорем Чаплыгина в некоторых задачах теории устойчивости Пусть задано автономное уравнение d V =, (3) те уравнение, правая часть которого не содержит явно Каждый корень уравнения V( ) = является решением уравнения (3) Не ограничивая общности, будем считать, что уравнение (3) имеет стационарное решение =, те V( ) = Стационарное решение является решением задачи Коши, когда для уравнения (3) задается начальное условие () = (4) Естественным является вопрос об устойчивости этого решения по Ляпунову, те устойчивости относительно малых возмущений начального условия, когда вместо условия (4) для уравнения (3) ставится дополнительное условие

9 () = δ (5) Определение Стационарное решение () = задачи (3), (4) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > δε такое, что при δ < δ для () решение задачи (3), (5), такое, что () < ε Стационарное решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и удовлетворяет дополнительному требованию () при Решение, не являющееся устойчивым, называется неустойчивым Определение неустойчивости решения может быть дано как отрицание приведенного выше определения устойчивости Ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного решения задачи (3), (4) следует из более общей теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению Теорема 5 Пусть V( ) = и функция V( ) непрерывна вместе с производной в некоторой окрестности μ Тогда решение задачи (3), (4) = будет устойчивым, если V <, и неустойчивым, если V > Доказательство Асимптотическая устойчивость Пусть V < Тогда для ε > выберем δ > так, что δ < ( με, ) Определим функции α () и β () с помощью следующих выражений: p p α() = δe, β() = + δe, где p > постоянная Покажем теперь, что при достаточно малых δ и p функции α () и β () являются соответственно нижним и верхним решениями задачи (3), (5), если δ < δ Тогда, в силу Теоремы 4 решение задачи (3), (5) существует и удовлетворяет неравенствам α () < () < β () при <, из которых следует, что для = выполняется определение асимптотической устойчивости Проверим выполнение соответствующего дифференциального неравенства для β () V = : Имеем, учитывая, что dβ ( ()) p ( p ) p V β =δ pe V + δe =δ pe V ( p + δe ) + V V = p p p p =δ pe V ( δe ) V V δ pe V δe V + = + = = (по теореме Лагранжа) p p p p p =δ pe V + θδe δe = δe pv V + θδe + V = ( ) ( ( ) ) p ( ( θδ ) ) p = δe pv V + e V где θ Выберем δ таким малым, чтобы тогда p ( θδ ) V e V η V ( ) + <, dβ p V V( () ) e p β δ Выберем V ( ) < p < Тогда, поскольку V <, получим, что V ( β ) dβ () >, те β ()

10 - верхнее решение dα Аналогично проверяется неравенство f( α ) < (сделайте это самостоятельно), те α () нижнее решение Первая часть теоремы 5 доказана Неустойчивость Пусть V > Покажем, что ε > такое, что для δ >, < такое, что >, при котором решение задачи (3), (5) () отклонится от δ δ δ стационарного решения больше чем на ε : > ε Это будет означать, что стационарное решение задачи (3), (4) является неустойчивым Рассмотрим интервал δ < δ и построим нижнее решение задачи (3), (5) в виде p α() = + ρ( σe ), где < ρ < μ, < σ <, p > постоянные Поскольку α() = + ρ( σ), то выбирая σ достаточно близким к единице, можно получить α () меньше δ : δ < δ При α() + ρ снизу, и, следовательно, ρ при больших некоторого α () > + Следовательно, решение () задачи (3), (5) (если ρ оно существует) в силу Теоремы 3 отклонится от стационарного решения больше чем на ε = : ρ () > α () > Это и означает неустойчивость стационарного решения Остается проверить, что α () удовлетворяет неравенству для нижнего решения Имеем dα p p V ( α() ) ρσ pe = V ( α() ) = ρσ pe V ( α() ) + V V = p p = ρσ pe V ( α () ) V V = ρσ pe V ( α ) V (по теореме Лагранжа) p p p pe V ( ( e )) ( e ) = ρσ + θρ σ ρ σ = =V ρ σe + ρσ pe + V V + θρ σe ρ σe где θ p p p p dα p p p p f( α) ==V ρ( σe ) + ρσ pe + V V + θρ( σe ) ρ σe Выберем ρ столь малым, что p p p p ρσ pe + V V( + θρ ( σ e )) ρ ( σ e ) < V ρ ( σ e ) Тогда получим, что dα f( α ) < Этим завершается доказательство второй части теоремы 5 Пример Рассмотрим уравнение (3) в случае, когда V ( ) = и исследуем устойчивость его стационарных точек Получаем три стационарные точки: =± и = Производная равна V = 3 В стационарных точках V ( ± ) = >, V = < Следовательно, стационарные точки = ± неустойчивые, а стационарная точка = асимптотически устойчивая,

Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина.

Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. (некоторые разделы

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА 77 ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения Конспекты лекций, вопросы и задачи 22 Прядко И.Н., Садовский Б.Н. Литература Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Очерки по ОДУ. hp://www.bsadovskiy.ru Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий. Лекция 4 3 Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий Постановка задачи Простейшим примером параметра, от которого зависит решение задачи Коши = f ( xy, ), yx ( ) = y

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 003. Том 44, 6 УДК 517.96. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Аннотация: Рассматривается некоторый

Подробнее

Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость

Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет конспекты лекций вопросы и задачи Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость пособие для студентов специальности

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Семинар Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 2.2 Устойчивость равновесия и движения системы

Лекция 2.2 Устойчивость равновесия и движения системы Лекция. Устойчивость равновесия и движения системы Без нарушения общности отсчет независимых координат голономной системы можно вести от положения равновесия то есть рассматривать координаты q = как отклонения

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31 ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 3 Следствие. Всякое решение асимптотически устойчивой линейной системы (как однородной, так и неоднородной) асимптотически устойчиво в целом. 3. Устойчивость линейной

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x)

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции». Если функция y f (x) Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(, ) f ( ) ( ) (), где ( ) при

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

( t) Глава 5. Теория устойчивости

( t) Глава 5. Теория устойчивости Глава 5. Теория устойчивости Во многих задачах небесной механики не удается аналитически установить факт интегрируемости исходной канонической системы. Более того, существование динамического хаоса, строго

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

Лекция 11. Оптимальное управление

Лекция 11. Оптимальное управление Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши

Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ. 1. Численные методы решения задачи Коши Глава 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ В этой главе рассматриваются основные численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Подробнее

Спектральный анализ разностных схем

Спектральный анализ разностных схем Спектральный анализ разностных схем 1 Исследование схем на устойчивость по начальным данным методом гармоник Одним из достаточно простых и эффективных способов исследования линейных разностных схем на

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ЧАСТЬ II УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА. Глава 4 Оценка устойчивости критерии устойчивости

ЧАСТЬ II УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА. Глава 4 Оценка устойчивости критерии устойчивости Мелешкин Г.А., Меркурьев Г.В.Устойчивость энергосистем. Книга. Глава 4. Оценка устойчивости критерии устойчивости 8 ЧАСТЬ II УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА Глава 4 Оценка устойчивости критерии устойчивости

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

СЕМИНАР 1 переменные параметры

СЕМИНАР 1 переменные параметры СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано

Подробнее

Квадратичные формы. Закон

Квадратичные формы. Закон Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации. Федеральное агентство по образованию. Пензенский государственный университет Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пензенский государственный университет Руденко АК, Руденко МН, Семерич ЮС СБОРНИК ЗАДАЧ С РЕШЕНИЯМИ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

Подробнее

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ].

g(b) g(a) = f (c) a) y = x 3 + 4x 2 7x 10, [ 1, 2 ] ; b) y = x 2 + 3x 1, [ 3; 0 ] ; ] ; d) y = (x 1)(x 2)(x 3), [ 1, 3 ]. Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора

Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы. оператора Лекция 15: Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание

ДУ 2курс 4 семестр 1 задание . ДУ курс семестр задание. Постановка задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.. Выяснить, при каких начальных условиях существует единственное решение уравнения y y y.. Решить уравнения,

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению.

ТЕМА 7. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственные функции. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению. ТЕМА 7 Задача Штурма-Лиувилля Собственные значения и собственные функции Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Основные определения и теоремы Оператором Штурма-Лиувилля называется дифференциальный

Подробнее