Глава 6. Основы теории устойчивости

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Глава 6. Основы теории устойчивости"

Транскрипт

1 Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при [ a, b], если правая часть f (, ) удовлетворяет условиям теорем существования и единственности В этой главе мы исследуем, + зависимость решения задачи Коши от начальных условий, когда [ ) Будем предполагать, что для системы уравнений () выполнены условия теорем α, +, D, где существования и единственности на множестве таких точек (, ), что D открытое множество в пространстве переменного Пусть = ϕ () решение системы уравнений () определенное при Определение Решение = ϕ () системы () называется устойчивым по Ляпунову, если для ε > δε > : : ϕ < δ, решение = ψ : ψ = определено при и ψ () ϕ() < ε l ψ ϕ = = ϕ называется асимптотически Если, кроме того, () то решение устойчивым Исследование устойчивости решения = ϕ() системы уравнений () может быть сведено к исследованию устойчивости тривиального решения, т е некоторого положения равновесия другой нормальной системы В самом деле, введем новую неизвестную функцию y () = () ϕ(), () которая удовлетворяет следующей системе уравнений y = f (, y + ϕ) f (, ϕ) = f (, y), (3) где f (, ) = При этом устойчивость (по Ляпуновy или асимптотическая) решения = ϕ() равносильна устойчивости решения y = системы уравнений (3) В дальнейшем будем считать, что замена () уже сделана Тогда система уравнений () имеет решение f, =, те Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Устойчивость тривиального решения Рассмотрим однородную систему из линейных дифференциальных уравнений = A () где A постоянная действительная матрица Пусть λk = μk + νk, k =,,,, собственные значения матрицы A Лемма Пусть Reλk = μk <, k =,,,, тогда существуют постоянные α >, R > такие, что при всех для решения системы () = ϕ() справедлива оценка ϕ Re α,

2 = R = Доказательство Как было показано ранее, любое решение = ϕ системы уравнений () имеет вид k ϕ () = gk () e λ, () k = где gk () вектор-функция, каждая координата которой есть некоторый многочлен По условию леммы Re λk = μk <, k =,,, Поэтому существует константа α > такая, что Reλk = μk < α <, k =,,, (3) Из () следует, что ( μk+ νk) μk α ϕ g e g e e где норма вектор-функции y y ( y ) () () k k= k= α () () () ( μ + α) k ( μk+ νk) < ( 3) k k () k= k= ( μk + α) < l gk () e k = ( μk + α) R : gk () e R, k = α α ϕ e g e g e = > () ϕ() ϕ e R Re Лемма Пусть Reλk = μk <, k =,,,, тогда для любого решения системы () = ϕ (, ), удовлетворяющего начальному условию ϕ (, ) =, выполнена равномерная на промежутке оценка α ϕ (, ) r e,, где α >, r > - некоторые постоянные Доказательство Пусть = ϕ () решение системы уравнений (), удовлетворяющее начальному условию ϕ () = e = { δ, δ,, δ } единичный координатный вектор Тогда, по теореме единственности,,, ϕ = ϕ =,,, { } k = так как в правой части последнего равенства записано решение системы уравнений (), удовлетворяющее при = тому же начальному условию, что и ϕ (, ) В силу Леммы существуют постоянные α, R > такие, что при всех верно α ϕ () R e, =,,, Положим R { R R } = a,,, тогда α ϕ () Re, =,,, Следовательно, при всех ϕ, ϕ α Re α = Re α = re () k= k= r Установим теперь необходимые и достаточные условия устойчивости положения k

3 равновесия = системы уравнений () Теорема Для того чтобы положение равновесия = системы уравнений() было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы A имели отрицательные действительные части Доказательство ) Достаточность Пусть ε > произвольное положительное число, а = ψ () = ϕ(, ) решение системы уравнений (), удовлетворяющее начальному условию ψ = В силу Леммы справедлива равномерна при оценка ψ ϕ(, ) r e α, где α >, r > - некоторые постоянные ε α Пусть δ = ε / r, тогда если < δ, то ψ () < r e ε при всех, те положение r равновесия устойчиво по Ляпунову Так как l e α l ψ =, следовательно, положение равновесия = + =, то + асимптотически устойчиво Достаточность доказана ) Необходимость Пусть существует k такое, что Reλk = μk, тогда положение равновесия = не может быть устойчивым по Ляпунову В самом деле, положим Reλ` = μ и рассмотрим h - собственный вектор ` матрицы A, те Ah = λ h = Re he λ - решение системы уравнений () Пусть ` Тогда h = h+ h, тогда ( μ+ ν) μ ν ν = Re h + h e = e h cos h s / + ` Этим же свойством, очевидно, обладает любое решение = cre( he λ ), которое при достаточно малом c сколь угодно близко в момент = к положению равновесия =, но при + не стремится к нулю Следовательно, положение равновесия = не будет асимптотически устойчивым Необходимость доказана Замечание Для устойчивости по Ляпунову положения равновесия = системы уравнений () необходимо (но не достаточно!), чтобы все собственные значения матрицы А имели неположительные действительные части 3 Второй метод Ляпунова Лемма Ляпунова Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений = f (, ) () Будем предполагать, что = решение этой системы Такое предположение, как было показано в, не нарушает общности Из него, в частности, следует, что f (, ) = Лемма Ляпунова Пусть правая часть системы уравнений () определена на множестве D : r, Предположим, что выполнены условия теорем существования и единственности и, кроме того, при r определена неотрицательная функция V, V C r, обращающаяся в нуль только при =, причем на множестве D

4 V ( gradv, f ) = f = Тогда решение = системы уравнений () устойчиво по Ляпунову Если, кроме того, на множестве D V ( gradv, f ) = f W = где W некоторая непрерывная функция, обращающаяся в нуль только при =, то решение = асимптотически устойчиво Доказательство Зададим произвольное ε (; r) и обозначим S ε поверхность шара ε Пусть Vε = V () Sε Выберем δ > таким образом, чтобы при δ выполнялось неравенство V V ε (3) Такое δ существует, поскольку функция V( ) непрерывна при ε и V () = Покажем, что всякое решение = ϕ, для которого выполнено ϕ ( ) < δ, определено при всех и удовлетворяет неравенству ϕ() < ε, т е решение = будет устойчивым по Ляпунову В самом деле, пусть непродолжаемое решение = ϕ определено на интервале ( l, ), где <+ Тогда по свойству непродолжаемых решений это возможно лишь, если траектория = ϕ () пересекает поверхность S ε (в противном случае при всех < выполняется неравенство ϕ () < ε и график решения = ϕ не может выйти за пределы замкнутого ограниченного множества ε, < ) Таким образом, траектория = ϕ () пересекает поверхность S ε Обозначим ( > ) - наименьшее значение параметра, при котором траектория впервые достигает поверхности S ε Рассмотрим сложную функцию V( ϕ () ) В силу условий леммы d V V V ( ϕ() ) = ( ϕ) ϕ = ( ϕ) f (, ϕ), = = т е функция V( ϕ () ) не возрастает Но тогда в силу () и (3) Vε > V( ϕ ) V( ϕ( )) Vε что невозможно Следовательно, решение = ϕ определено при всех и его траектория не может достигать поверхности S ε т е при всех верно неравенство ϕ () < ε Первое утверждение леммы доказано Докажем второе утверждение Зададим произвольное ε > Выберем δ > так же, как это делалось выше Тогда для любой траектории = ϕ, для которой ϕ ( ) < δ, имеет место неравенство ϕ () < ε V l V ϕ = В самом деле, Рассмотрим снова функцию ϕ Покажем, что ( ) допустив противное, мы придем к заключению, что у невозрастающей неотрицательной функции V( ϕ () ) существует положительный предел l V ϕ = A> (4) + ( ) +

5 Заметим, что тогда V( ϕ() ) A,, а значит существует постоянная σ > такая, что ϕ() > σ, Действительно, если это не так, найдется последовательность k, для которой ϕ( k) V ( ϕ( k) ) поскольку V () =, что противоречит (4) Таким образом, для всех верно σ ϕ ε По условию леммы W ( σ ε) > Поэтому существует постоянная α > такая, что W σ ε α и V ϕ = ϕ ϕ = ϕ f ϕ W ϕ α (5) d V V = = ( ()) (, ) Интегрируя неравенство (5) в пределах от до, получим V( ϕ() ) V( ϕ ) α l V ( ϕ ) =, + что противоречит V Таким образом, l V( ϕ ) = (6) + Докажем теперь что l ϕ = Предположим противное, тогда существуют + постоянная η > и последовательность +, для которых ввиду V () = верно ϕ ( ) η Функция V ( η ε) >, поэтому найдется постоянная β >, для которой имеет место неравенство V ( σ ε) β >, откуда следует V( ϕ() ) β >, что противоречит (6) l ϕ =, те положение равновесия = асимптотически устойчиво Итак, + Замечание Для облегчения последующих вычислений заметим, что, каково бы ни было решение = () системы уравнений (), имеет место тождество V d ( () ) f (, () ) = V ( () ) Пример Положим = Рассмотрим динамическую систему 4 y, y y 4 = +, те (, ) V(, y) y = = V y для всех (, y ) и обращается в нуль только при = y = Кроме того, V 4 V 4 y y=y y Поэтому, в силу доказанной выше леммы Ляпунова, положение равновесия = y = рассматриваемой системы устойчиво по Ляпунову 4 Исследование на устойчивость по первому приближению (первый метод Ляпунова) Теорема Ляпунова Пусть = - положение равновесия нормальной системы дифференциальных уравнений = f (, ), () правая часть которой удовлетворяет условиям теорем существования и единственности и имеет вид f, = A + F,,

6 где A() = a () - квадратная матрица Пусть также F(, ) l = Линейная однородная система дифференциальных уравнений = A () называется первым приближением или линеаризацией исходной системы уравнений () в окрестности точки = f Заметим, что согласно предположениям F(, ) =, a = (, ) матрица Якоби Рассмотрим частный случай, когда матрица A() = a () постоянна Теорема Ляпунова Пусть имеется нормальная система уравнений = A + F,, F, = где A постоянная матрица, все собственные значения которой имеют отрицательные действительные части Пусть также при всех и достаточно малом + α F(, ) M, α, M > Тогда положение равновесия = системы уравнений () асимптотически устойчиво Доказательство Пусть = () решение системы уравнений () Введем y : = Ry, где R вспомогательную (вообще говоря, комплексную) вектор-функцию невырожденная постоянная матрица Тогда y() = By+ G(, y) (3) B R = AR, G(, y) = R F(, Ry) Из курса линейной алгебры известно, что матрицу R (вообще говоря, комплексную) можно подобрать так, чтобы матрица В имела вид λ b b λ b B = (4) λ λ,, λ собственные значения матрицы A, а элементы b b b,, (,, ) < > < = по модулю меньше заданного числа b> В силу условий теоремы G, y R F, Ry R M Ry R M R y = M y где Здесь M R M R + α = Рассмотрим функцию V = y y = y = y = = y = R, поэтому ( ), ( V > V ) = + α + α + α + α (), (5)

7 Для вычисления V f воспользуемся замечанием, сделанным в конце 3, и тем = обстоятельством, что в силу теоремы существования и единственности через любую точку (, ) можно провести интегральную кривую = системы уравнений () Поэтому V d d d d f = V = y ( y ) = ( y ) y + y ( y ) (6) = = = Используя (3) и (4), получим dy = λy + b y + G, < (7) d( y ) = λ ( y ) + ( b ) ( y ) + ( G ) Подставляя (7) в (6), найдем { } { } { } V f = λ y y + λ y y + b y y + b y y + G y + G y = = = = < = < { } ( λ λ ) y ( y ) b ( b ) y y G y G y (8) = = = < = По условию теоремы Reλ <, =,,,, те найдется число a > такое, что Re λ a, =,,, Пусть b = b b В силу оценки (5) имеем G = G G M y + α, поэтому из равенства (8) вытекает V f a y y { G ( y ) ( G ) y } = = = < = ( ) av b y + α + α M y av b y M y < = α + av b( ) V M V + + = + + = = + + (9) a Подберем матрицу R так, чтобы выполнялось b, а будем считать α a настолько малым, что V Тогда из (9) получим 4M V a a f av + V + V =av = av = W, из последнего неравенства на основании леммы Далее, обозначив Ляпунова делаем заключение об асимптотической устойчивости положения равновесия системы () Пример Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений вида (): y y = y+, y= 3y+ + + При выполнены все условия теоремы Ляпунова, так как матрица A = 3 имеет собственные значения λ, = ± Поэтому положение равновесия = y = асимптотически устойчиво

8 Замечание Имеет место следующее утверждение о неустойчивости Теорема (о неустойчивости) Пусть задана нормалъная система уравнений () с постоянной матрицей A, имеющей хотя бы одно собственное значение с положительной действительной частью Пусть при для достаточно малых значений выполнено неравенство F(, ) M + α, где α, M > Тогда положение равновесия = системы уравнений () неустойчиво Замечание При исследовании устойчивости положения равновесия по первому приближению важно иметь возможность установить тот факт, что все собственные значения действительной матрицы A, т е все корни характеристического многочлена, имеют отрицательные действительные части Известна следующая терема Теорема (Гурвица) Для того чтобы у многочлена P( z) = z + az + + a z+ a с действительными коэффициентами все корни имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные (угловые) миноры матрицы a a3 a a a5 a4 a3 a, ( ak =, a a a3 a4 a k > ) были положительными, т е чтобы a Δ = a >, Δ = a3 a >,, a a3 a a Δ = a5 a4 a3 a =Δ a > a a a a a 3 4 Последнее условие можно заменить условием a >, те для многочлена второй степени P( z) = z + az+ a имеем a >, a >, а для многочлена третьей степени 3 P3( z) = z + az + az+ a3 нужно a >, aa a3 >, a3 > 5 Применение теорем Чаплыгина в некоторых задачах теории устойчивости Пусть задано автономное уравнение d V =, (3) те уравнение, правая часть которого не содержит явно Каждый корень уравнения V( ) = является решением уравнения (3) Не ограничивая общности, будем считать, что уравнение (3) имеет стационарное решение =, те V( ) = Стационарное решение является решением задачи Коши, когда для уравнения (3) задается начальное условие () = (4) Естественным является вопрос об устойчивости этого решения по Ляпунову, те устойчивости относительно малых возмущений начального условия, когда вместо условия (4) для уравнения (3) ставится дополнительное условие

9 () = δ (5) Определение Стационарное решение () = задачи (3), (4) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > δε такое, что при δ < δ для () решение задачи (3), (5), такое, что () < ε Стационарное решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и удовлетворяет дополнительному требованию () при Решение, не являющееся устойчивым, называется неустойчивым Определение неустойчивости решения может быть дано как отрицание приведенного выше определения устойчивости Ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного решения задачи (3), (4) следует из более общей теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению Теорема 5 Пусть V( ) = и функция V( ) непрерывна вместе с производной в некоторой окрестности μ Тогда решение задачи (3), (4) = будет устойчивым, если V <, и неустойчивым, если V > Доказательство Асимптотическая устойчивость Пусть V < Тогда для ε > выберем δ > так, что δ < ( με, ) Определим функции α () и β () с помощью следующих выражений: p p α() = δe, β() = + δe, где p > постоянная Покажем теперь, что при достаточно малых δ и p функции α () и β () являются соответственно нижним и верхним решениями задачи (3), (5), если δ < δ Тогда, в силу Теоремы 4 решение задачи (3), (5) существует и удовлетворяет неравенствам α () < () < β () при <, из которых следует, что для = выполняется определение асимптотической устойчивости Проверим выполнение соответствующего дифференциального неравенства для β () V = : Имеем, учитывая, что dβ ( ()) p ( p ) p V β =δ pe V + δe =δ pe V ( p + δe ) + V V = p p p p =δ pe V ( δe ) V V δ pe V δe V + = + = = (по теореме Лагранжа) p p p p p =δ pe V + θδe δe = δe pv V + θδe + V = ( ) ( ( ) ) p ( ( θδ ) ) p = δe pv V + e V где θ Выберем δ таким малым, чтобы тогда p ( θδ ) V e V η V ( ) + <, dβ p V V( () ) e p β δ Выберем V ( ) < p < Тогда, поскольку V <, получим, что V ( β ) dβ () >, те β ()

10 - верхнее решение dα Аналогично проверяется неравенство f( α ) < (сделайте это самостоятельно), те α () нижнее решение Первая часть теоремы 5 доказана Неустойчивость Пусть V > Покажем, что ε > такое, что для δ >, < такое, что >, при котором решение задачи (3), (5) () отклонится от δ δ δ стационарного решения больше чем на ε : > ε Это будет означать, что стационарное решение задачи (3), (4) является неустойчивым Рассмотрим интервал δ < δ и построим нижнее решение задачи (3), (5) в виде p α() = + ρ( σe ), где < ρ < μ, < σ <, p > постоянные Поскольку α() = + ρ( σ), то выбирая σ достаточно близким к единице, можно получить α () меньше δ : δ < δ При α() + ρ снизу, и, следовательно, ρ при больших некоторого α () > + Следовательно, решение () задачи (3), (5) (если ρ оно существует) в силу Теоремы 3 отклонится от стационарного решения больше чем на ε = : ρ () > α () > Это и означает неустойчивость стационарного решения Остается проверить, что α () удовлетворяет неравенству для нижнего решения Имеем dα p p V ( α() ) ρσ pe = V ( α() ) = ρσ pe V ( α() ) + V V = p p = ρσ pe V ( α () ) V V = ρσ pe V ( α ) V (по теореме Лагранжа) p p p pe V ( ( e )) ( e ) = ρσ + θρ σ ρ σ = =V ρ σe + ρσ pe + V V + θρ σe ρ σe где θ p p p p dα p p p p f( α) ==V ρ( σe ) + ρσ pe + V V + θρ( σe ) ρ σe Выберем ρ столь малым, что p p p p ρσ pe + V V( + θρ ( σ e )) ρ ( σ e ) < V ρ ( σ e ) Тогда получим, что dα f( α ) < Этим завершается доказательство второй части теоремы 5 Пример Рассмотрим уравнение (3) в случае, когда V ( ) = и исследуем устойчивость его стационарных точек Получаем три стационарные точки: =± и = Производная равна V = 3 В стационарных точках V ( ± ) = >, V = < Следовательно, стационарные точки = ± неустойчивые, а стационарная точка = асимптотически устойчивая,


Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина.

Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. (некоторые разделы

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( )

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( ) Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

ϕ монотонно возрастают при изменении

ϕ монотонно возрастают при изменении ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 8 степень со знаком +, из полученного следует, что ( ) π возрастает от до π. Итак, слагаемые ϕ i( ) и k ( ) +, т. е. вектор ( i) ϕ монотонно ϕ монотонно возрастают при

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами.

6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Лекция 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА. 1. Знакоопределенные функции ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА 77 ГЛАВА ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения Конспекты лекций, вопросы и задачи 22 Прядко И.Н., Садовский Б.Н. Литература Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Очерки по ОДУ. hp://www.bsadovskiy.ru Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

1 Н.И. Амелькин. Теоремы прямого метода Ляпунова

1 Н.И. Амелькин. Теоремы прямого метода Ляпунова 1 Н.И. Амелькин Теоремы прямого метода Ляпунова Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений f () Здесь вектор фазовых переменных. Для механических систем, описываемых уравнениями Лагранжа,

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий. Лекция 4 3 Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий Постановка задачи Простейшим примером параметра, от которого зависит решение задачи Коши = f ( xy, ), yx ( ) = y

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Б. Г. Гребенщиков

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Б. Г. Гребенщиков Сибирский математический журнал Январь февраль, 2001. Том 42, 1 УДК 517.929 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЛИНЕЙНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Б. Г. Гребенщиков Аннотация: Изложены методы исследования асимптотической

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 003. Том 44, 6 УДК 517.96. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ А. Ю. Александров, А. П. Жабко Аннотация: Рассматривается некоторый

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Семинар Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Подробнее

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА

Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА Лекция 8 РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА В этой лекции мы введём альтернативы Фредгольма и докажем с их помощью существование классических решений задач Дирихле и Неймана в ограниченных и неограниченных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В.

31. Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем. Смирнов Н.В. 31 Непрерывная и дискретная стабилизация управляемых систем Смирнов НВ 1 Постановка задачи Система в отклонениях Задача стабилизации непосредственно вытекает из проблемы устойчивости программных движений

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость

Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет конспекты лекций вопросы и задачи Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость пособие для студентов специальности

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора.

4. Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Лекция 4 Существование собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора Пусть линейный оператор действует в линейном пространстве L Число называется собственным значением оператора,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Определение 1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида . Радиус сходимости Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () где c 0, c, c 2,..., c,... C называются коэффициентами степенного

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

c С.Г. Шагинян ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНО МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

c С.Г. Шагинян ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНО МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ ISSN 031-1975 Механика твердого тела 00 Вып 3 УДК 53136 c 00 СГ Шагинян ЗАДАЧА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ ПРИ ИНТЕГРАЛЬНО МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ Рассматривается задача устойчивости систем

Подробнее

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды

ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды ЛЕКЦИИ 8 9 Теорема Хилле Иосиды S 3. Определение и элементарные свойства максимальных монотонных операторов Всюду на протяжении этих двух лекций символом H обозначено гильбертово пространство со скалярным

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с "малым" λ.

ТЕМА 4. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма 2-рода с малым λ. ТЕМА 4 Принцип сжимающих отображений Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма -рода с "малым" λ Основные определения и теоремы Пусть D оператор вообще говоря нелинейный действующий D:

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой:

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: 2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ УДК 57977 ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Канд физ-мат наук доц КОПЕЙКИНА Т Б ГУСЕЙНОВА А С Белорусский национальный технический

Подробнее

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Б. Г. Гребенщиков, Построение почти периодических решений для одной системы с линейным запаздыванием, Сиб. матем. журн., 216, том 57, номер 5, 112 12 DOI:

Подробнее

Гипергеометрические функции

Гипергеометрические функции Гипергеометрические функции 1 Канонический вид уравнения гипергеометрического типа Уравнение гипергеометрического типа σy + τy + λy =, (1.1) где σ(z) полином не старше второй степени, τ(z) полином не старше

Подробнее

В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В.И. Фомин ПОЧТИ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Москва 3 УДК 57.937 ББК B6.6 Ф76 Рецензенты: Доктор физико-математических наук профессор директор Института физики

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега.

Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА. 1. Схема построения абстрактной меры Лебега. Лекция 2 АБСТРАКТНАЯ МЕРА ЛЕБЕГА На прошлой лекции мы рассмотрели построение меры Лебега плоских множеств. Теперь наша задача обобщить эту процедуру на случай произвольных множеств. При этом существо схемы

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Иррациональные уравнения и неравенства 3

Иррациональные уравнения и неравенства 3 Иррациональные уравнения и неравенства Оглавление 4 Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении умножением на сопряженный множитель Задание 7 4 5 Выделение полного квадрата (квадрата двучлена)

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

( t) Глава 5. Теория устойчивости

( t) Глава 5. Теория устойчивости Глава 5. Теория устойчивости Во многих задачах небесной механики не удается аналитически установить факт интегрируемости исходной канонической системы. Более того, существование динамического хаоса, строго

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 31 ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 3 Следствие. Всякое решение асимптотически устойчивой линейной системы (как однородной, так и неоднородной) асимптотически устойчиво в целом. 3. Устойчивость линейной

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Лекция 13 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ

Лекция 13 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ стр. Лекция 3 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ Если некоторое явление описывается системой ДУ dx dt i = f (t, x, x...x ), i =..nс начальными i n условиями x i (t 0 ) = x i0, i =..n, которые обычно являются

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 6 Различные обобщения и границы применимости

ЛЕКЦИЯ 6 Различные обобщения и границы применимости ЛЕКЦИЯ 6 Различные обобщения и границы применимости S. Непродолжаемое решение интегрального уравнения Вольтерра. Существование и единственность непродолжаемого решения интегрального уравнения. Рассмотрим

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор.

ТЕМА 2. Элементы теории линейных операторов. Обратный оператор. Вполне непрерывный оператор. ТЕМА Элементы теории линейных операторов Обратный оператор Вполне непрерывный оператор Основные определения и теоремы Оператор A, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L, называется

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее