ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар 005

2 ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар 005

3 УДК 57.9 ББК.6. В.Д. Гунько, Л.Ю. Суховеева, В.М. Смоленцев. Дифференциальные уравнения. Примеры и типовые задания: Учебное пособие/кубгау. Краснодар, с. Пособие содержит изложение теоретических сведений по основным разделам курса обыкновенных дифференциальных уравнений в относительно небольшом объеме. Изложение материала сопровождается решением типовых примеров. Имеются также задания типовых расчетов для самостоятельного решения, представленные в 0 вариантах. Учебное пособие составлено в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования, утвержденного комитетом РФ по высшему образованию, Москва, 000, и может быть использовано студентами инженерных факультетов университета. Рецензент: А.Ф. Бачурская, к. ф.-м. н., доцент кафедры дифференциальных уравнений КубГУ, В.В. Жучкова, зав. кафедрой математики и информатики КВАУл, к. ф.-м. н., доцент. ISBN В.Д. Гунько, Л.Ю. Суховеева, В.М. Смоленцев Кубанский государственный аграрный университет (КубГАУ), 005

4 Оглавление Предисловие Общие понятия и определения Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными..... Однородные дифференциальные уравнения первого порядка..... Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Я. Бернулли Уравнения в полных дифференциалах Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.. Уравнения вида ( n) = f Уравнения, не содержащие искомой функции Уравнения, не содержащие явно независимой переменной Линейные дифференциальные уравнения порядка n 4.. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами... 8 Литература

5 Предисловие Настоящее учебно-методическое пособие посвящено некоторым основным разделам курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено методам решения различных типов обыкновенных дифференциальных уравнений. Текст пособия сопровождается подробным решением типовых примеров и иллюстративными рисунками, что позволяет более глубоко и наглядно воспринимать излагаемый материал. Цель пособия помочь студентам в выработке стойких практических навыков решения обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюционные процессы в различных областях естествознания. При этом предполагается, что необходимые сведения по дифференциальному и интегральному исчислению читателю известны. Изложение материала ведется на доступном, по возможности строгом языке. Кроме того, должное внимание уделено подбору заданий типовых расчетов для самостоятельного решения предлагаемых в 0 вариантах и содержащих 60 задач. Пособие состоит из трех параграфов, с содержанием которых читатель может ознакомиться по оглавлению. Материал пособия рассчитан на студентов инженерных факультетов, а также может быть полезным для всех других категорий студентов, изучающих в том или ином объеме курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Авторы выражают благодарность рецензентам доценту кафедры дифференциальных уравнений КубГУ Бачурской А. Ф. и заведующей кафедрой математики и информатики КВАУл, доценту Жучковой В. В. за полезные замечания и советы, способствовавшие улучшению настоящего издания. Авторы - 4 -

6 . Общие понятия и определения Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимые переменные, неизвестную функцию этих переменных и ее производные (или дифференциалы). Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же неизвестная функция зависит от нескольких независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала) неизвестной функции, входящей в уравнение. ) ) 4) Примеры. ) + = обыкновенное дифференциальное урав- нение первого порядка, d d 0 d = неизвестная функция; + = d обыкновенное дифференциальное урав- = неизвестная функция; нение второго порядка, 8 = 4 + обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка, ( n) ( ) = неизвестная функция; F,,,..., = 0 общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n го порядка, где F известная функция своих аргументов, заданная в некоторой фикси- = рованной области, независимая переменная,,,,..., произ- неизвестная функция аргумента ; водные неизвестной функции; ( n)

7 z z 5) + = 0 дифференциальное уравнение в частных d d производных первого порядка; z z( ; ) = неизвестная t функция; 6) u = 9 u дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка; u u( t; ) функция. = неизвестная Замечание: В дифференциальное уравнение n го порядка обязательно должна входить производная (или дифференциал) n го порядка неизвестной функции, а независимые переменные, сама неизвестная функция и ее производные (или дифференциалы) порядка, ниже, чем n, могут и не входить. Определение Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество, т. е. равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Решить, или проинтегрировать дифференциальное уравнение значит, найти все его решения. График всякого решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Примеры. )функция = sin есть решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: =

8 Действительно, после подстановки функции = sin в данное уравнение, получаем тождество: sin sin. ) функция = не является решением обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка d 6 d = +. Действительно, после подстановки ее в данное дифференциальное уравнение получим равенство: = + 6, которое не является тождеством, т. к. оно верно не при всех допустимых значениях переменной, а лишь при =. Заметим, что интегрирование дифференциального уравнения в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга постоянными величинами. Легко догадаться, например, что решением дифференциального уравнения первого порядка = cos является функция = sin, а также функции = sin +, = sin, и вообще функции вида = sin + c, где c произвольная постоянная. Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям. Дифференциальное уравнение порядка n в общем случае записывается в виде или ( n ) = (.. ) F ; ; ; ;..., 0, ( ; ; ;..., ) ( n) ( n ) f = (.. ) если его можно разрешить относительно старшей производной

9 Определение 4. Начальной задачей или задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (.. ) порядка n называется задача отыскания решения этого уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям: =, 0 0 =, 0 0 =, ( n ) ( n ) = (.. ) В частности, для дифференциального уравнения первого порядка f ( ; ) = задача Коши состоит в отыскании его решения, которое при = 0 принимает значение 0, т. е. решение, удовлетворяющее начальному условию ( ) =. 0 0 Геометрически это значит, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через данную точку ( ; ) 0 0 координатной плоскости XOY. Определение 5. Общим решением дифференциального уравнения порядка n называется функция = ϕ (, c, c,..., cn ), зависящая от n произвольных постоянных c, c,..., c n, и удовлетворяющая условиям: ) Функция ( c,, c,..., cn ) ϕ как функция аргумента является решением дифференциального уравнения. ) Каковы бы ни были начальные условия (.. ), существуют значения постоянных функция ( c, 0 0 0, c,..., cn ) c = c, c = c,..., cn = cn такие, что ϕ является решением дифференциального уравнения (.. ) и удовлетворяет начальным условиям (.. ).

10 Общее решение дифференциального уравнения порядка n, записанное в виде ( c c c n ) Φ,,,,..., = 0, называется общим интегралом. В частности, общим решением дифференциального уравнения первого порядка f (, ) (, c) = называется функция = ϕ, содержащая одну произвольную постоянную c и удовлетворяющая условиям: ) Функция ϕ (, c) = как функция аргумента является решением дифференциального уравнения; ) Каково бы ни было начальное условие ( ) =, 0 0 существует такое значение постоянной c= c0, что функция ϕ (, c ) 0 = удовлетворяет данному начальному условию. Определение 6. Частным решением дифференциального уравне- = ϕ, c 0 0 0, c,..., cn при ния порядка n называется решение фиксированных значениях постоянных c = c, c = c,..., cn = cn. Частное решение дифференциального уравнения порядка n, записанное в виде Φ,, c, c,..., c n = 0, называется частным интегралом. Теорема Пикара (существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении (.. ) функция f, определяющая правую часть уравнения (.. ) непрерывна в некоторой окрестности начальной точки (,,,..., n ) и имеет непрерывные в этой окрестности частные производные по всем переменным,

11 начиная со второй, то уравнение (.. ) имеет единственное решение =, удовлетворяющее начальным условиям (.. ) Пример. Решить задачу Коши =, =. Решение: Очевидно, что решение данного уравнения представляет собой семейство всех функций, первая производная которых равна, т. е. имеет вид = + c, где c произвольная постоянная. Из начального условия = имеем: c=. Тогда частное решение, имеет вид чр.. = + c, откуда = +. Геометрически, семейство интегральных кривых данного уравнения представляет собой семейство парабол с вершинами в точках вида ( 0; c ), где c произвольная постоянная. А графиком найденного частного решения является парабола с вершинами в точке ( 0; ), т.е. проходящая через точку A ( ; ) (рисунок ). КОРРЕКЦИЯ РИСУНКА - 0 -

12 Наряду с начальной задачей (задачей Коши) рассматриваются так называемые граничные (краевые) задачи, в которых дополнительные условия на искомую функцию задаются не в одной точке, как это имеет место в начальной задаче, а на концах некоторого интервала [ ; ] ab и разыскивается решение, определенное внутри этого интервала. Условия, задаваемые на ab, называются граничными (краевыми) концах интервала [ ; ] условиями, а задача отыскания решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего граничным условиям, называется граничной (краевой) задачей. Необходимо отметить, что постановка граничной задачи имеет смысл только для уравнений порядка, выше первого. Граничная (краевая) задача не всегда имеет решение, а если имеет, то, чаще всего, не единственное. Пример. Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения = 6, удовлетворяющее граничным условиям 0 = 0, =. Решение: Интегрируя последовательно данное дифференциальное уравнение два раза, имеем = + c, c c = + + общее решение, где c и c произвольные постоянные. Используя граничные условия, получим систему двух алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных c и c, входящих в общее решение, а именно: 0= 0+ c 0 + c, = + c + c. - -

13 Из полученной системы уравнений находим, что c = 0, c = 0, и, следовательно, искомое частное решение имеет вид Ответ. =. = частное решение. Контрольные вопросы I. Какие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями? II. Что называется порядком дифференциального уравнения? III. Что называется решением дифференциального уравнения? IV. Что называется интегральной кривой дифференциального уравнения? V. В чем заключается геометрический смысл решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения I порядка? VI. Чем отличаются обыкновенные дифференциальные уравнения от дифференциальных уравнений в частных производных? VII. Какие из приведенных ниже уравнений являются дифференциальными, укажите их порядок: a) + =, б)ln =, в) d = e d, г)sin( + ) = 0, d d д) = 0, е) = 0, ж) + =. dt dt t VIII. Является ли функции = e и = + решениями дифференциального уравнения = 0? IX. Сколько решений в общем случае имеет дифференциальное уравнение? X. Что называется общим решением дифференциального уравнения? XI. Что называется частным решением дифференциального уравнения? XII. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения. - -

14 - -

15 . Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Определение. Дифференциальным уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида: = q d, (.. ) p d в котором левая часть зависит только от одной переменной, а правая только от другой. Решаются дифференциальные уравнения с разделенными переменными интегрированием обеих частей: = p d q d (.. ) Здесь под интегралами понимаются соответствующие первообразные. Пример. Найти решение дифференциального уравнения d d = 0. Решение: Перенесем слагаемое d из левой части в правую, получим дифференциальное уравнение: d d =, которое является уравнением с разделенными переменными. Интегрируя обе части последнего уравнения, будем иметь d d =, откуда ln + c = ln + c, где c, c произвольные постоянные, - -

16 или ln ln c = +, (.. ) где c = c c. В дальнейшем, после интегрирования обеих частей уравнения, будем писать одну постоянную интегрирования c в правой части равенства, которая будет складываться из постоянных интегрирования левой и правой части уравнения. Заметим также, что в полученном равенстве (.. ) произвольную постоянную c удобно взять в логарифмической форме, а именно, c = ln c, с 0, с R, что законно, так как всякое действительное число может быть представлено как логарифм другого действительного числа. Поэтому равенство (.. ) можно записать в виде ln = ln + ln c, где c 0 произвольная постоянная, или ln = ln c, откуда, потенцируя, окончательно получим общее решение Полученное общее решение ( 4 ), где c любое действительное число, геометрически представляет собой семейство полупрямых, исходящих из начала координат, исключая саму точку ( 0; 0 ) (рисунок ). Ответ. = c общее решение, с произвольная постоянная. = c, 0, c (.4. )

17 Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде или в виде f = f g, = g (.5. ) M N( ) d+ M N( ) d = 0 (.6. ) где f ( ), M ( ), M ( ) функции только переменной, а g( ), N ( ), N ( ) функции только переменной. Общая схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными I. Разделить переменные, т. е. свести к уравнению с разделенными переменными. Для этого надо обе части данного уравнения умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входила только одна переменная, а в другую только другая переменная. Замечание. Если в данном дифференциальном уравнении присутствует, то сначала следует заменить на d d, а затем произвести разделение переменных. II. Проинтегрировать обе части полученного уравнения с разделенными переменными. III. На I этапе, при делении обеих частей уравнения на выражения, содержащие переменные, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Поэтому следует рассмотреть вопрос о существовании таких решений данного дифференциального уравнения. IV. Если дополнительно к уравнению задано начальное условие, то с его помощью следует найти частное решение

18 Пример. Решить уравнение Решение. Выразим : = = +. Заменим на d и одновременно в правой части полученного равенства вынесем общий множитель за скобки, d получим d ( ) d = +. Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, т. к. его удалось привести к уравнению вида (.5 ), где можно считать, f = + g =. Решим его. I. Разделим переменные, для чего сначала умножим обе части на d, получим d = + d, d 0 Затем разделим обе части полученного равенства на d ( ) d, 0 = + Получили уравнение с разделенными переменными. II. Проинтегрируем обе части полученного уравнения: d ( ) d = +, или ln = + +, c где c произвольная постоянная, откуда, потенцируя, получаем c = e,

19 или c = e e. c Пусть e = c, где c также произвольная постоянная. Тогда окончательно получаем общее решение + + = c e (.7. ) III. Заметим, что при разделении переменных мы полагали, что 0. Рассмотрим отдельно случай = 0. Легко убедиться, что функция = 0 также является решением данного уравнения. Однако заметим, что оно формально получается из формулы.7 общего решения при c = 0. Ответ: + = c e общее решение, где c произвольная постоянная. Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию: d d = 0, 8 =. Решение. Данное дифференциальное уравнение имеет вид уравнения (.6 ), где M =, N =, M = +, N = +, а потому является уравнением с разделяющимися переменными. I. Разделим переменные, для чего поделим обе части уравнения на или +, полагая + + d + d = 0, + 0: - 7 -

20 + + d = d. Получили уравнение с разделенными переменными. II. Интегрируем обе части, имеем d = d +, + где c произвольная постоянная, или d( + ) d = d, + Откуда получаем общий интеграл данного дифференциального уравнения: или ln + =, + + ln + ñ= 0 где c произвольная постоянная. III. При разделении переменных мы полагали, что + 0, что могло привести к потере решения. Рассмотрим отдельно случай + = 0, откуда следует, что = 0, ( + 0 при всех ). После подстановки = 0 в исходное уравнение получим d d = 0, откуда имеем 0= 0. Следовательно, = 0 также является решением данного дифференциального уравнения. Однако заметим, что оно не может быть получено из общего решения ни при каком частном значении произвольной постоянной c

21 IV. Далее, частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, интеграл = 8, = : Ответ. 8 =, получим, подставляя в общий ln + 0 c =, откуда 7 c =. Следовательно, искомый частный интеграл имеет вид: ln + = = общий интеграл, где c ln c 0 произвольная постоянная; ln + = 0 част- ный интеграл; =

22 Задание. Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:. 4d d = d d... d+ d = 0. 6d 6d = d d = ( ) ( ) 5. + d d = d. + + = ( e ) d e d = 0. + = 0. 6d 6d = d d. = e. 4+ e d e d= = 0.. tg = d + d = 0. e + 8 d e d= d 6. e + =. d 7. 6d d = d d. 8. ln + = ( ) + e = e =.. + ln + =

23 . ( ) + e = e = 0. e + d + e d = d d = d d. = +. e + d + e d= ( + ) = d+ + d = 0. =. sin ln - -

24 .. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями. Определение. Функция ( ; ) Φ называется однородной функцией степени n, если для любого числа k > 0 имеет место тождество: Пример. ( k; k) k n ( ; ) Φ Φ. Рассмотрим многочлен ( ; ) 5 Φ =. Он является однородной функцией степени. Действительно, заменим аргументы и на пропорциональные величины k и k, тогда будем иметь ( k; k) ( k) ( k)( k) 5( k) Φ = = ( 5 ) ( ; ) = k = k Φ. Определение. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение, которое может быть записано в виде а также в виде = f, (.8. ) M( ; ) d+ N( ; ) d = 0, (.9. ) где M ( ; ) и N( ; ) однородные функции одной и той же степени. С помощью подстановки t = или = t, - -

25 где t t = новая неизвестная функция, однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Пример. Решить уравнение = +. Решение. Выразим, получим или + =, = +, (.0. ).0. имеет вид Полученное дифференциальное уравнение уравнения (.8. ), где f = +. Следовательно, данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для того чтобы решить его, сделаем замену = t. (.. ) Найдем первую производную функции по аргументу t t t t t = = + = + (.. ) Подставим в уравнение (.0. ) вместо и через t и согласно равенствам (.. ) и (.. ): их выражения t + t= t+, или t =. Заменим t на dt и одновременно разделим обе части последнего равенства на, получим d уравнение - -

26 dt =, 0, d которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные dt = d. Проинтегрируем обе части dt = d, откуда t = ln + ln c, c 0, c R, где ln c произвольная постоянная, или t = ln c. Возвращаясь к первоначальной переменной, получим решение исходного дифференциального уравнения в виде = ln c, или ln = c. Заметим, что при решении мы делили обе части уравнения на, полагая, что 0. При = 0 из данного уравнения следует 0 0; 0, таким образом, случай = 0 не =, т. е. имеем точку дает решение. Ответ. постоянная. = ln c общее решение, где c произвольная Пример. Показать, что дифференциальное уравнение ( + ) d+ d = 0 является однородным, и решить его. Решение. Рассмотрим функции Найдем M ( ; ) = + и N( ; ) =.

27 M ( k; k) k k k( ) km( ; ) N( k; k) = k= kn( ; ). Следовательно, функции M ( ; ) и ( ; ) = + = + =, N являются однородными первой степени, поэтому данное уравнение однородно. Полагаем t = =, где независимая переменная, первоначальная неизвестная функция, t = t новая неизвестная функция. Тогда или или d d = t + t, dt = + t, d d = dt + td (.. ) Подставляя это выражение в данное уравнение, будем иметь ( + t) d+ ( dt+ td) = 0, dt t d + + = 0. Разделим обе части последнего равенства на, полагая 0, получим дифференциальное уравнение dt + t + d = 0, которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные dt d =. t+ Интегрируя обе части, получаем dt d = t+, d( t+ ) d = t+, отсюда находим

28 ln t+ = ln + ln c, ln t + = ln c, или c t + =, где c произвольная постоянная. Вернемся к первоначальной переменной, тогда общее решение примет вид c = + (.4. ) c где c = произвольная постоянная. Следует также отметить, что в процессе решения возникала необходимость делить на функции и t +. Приравнивая их к нулю, получаем возможные решения: ) = 0, ) t + = 0, или =. Легко убедиться проверкой, что обе функции удовлетворяют данному дифференциальному уравнению; вторая функция = получается из общего решения (.4. ) при c = 0; функция = 0 не может быть получена из общего решения (.4. ) ни при каком значении произвольной постоянной c. c Ответ. = + общее решение, где c произвольная постоянная, = 0. Замечание: Уравнение в примере ( + ) d+ d = 0 можно было также записать в виде - 6 -

29 =. Полученное уравнение имеет вид уравнения f =, и поэтому является однородным..8., где - 7 -

30 Задание. Показать, что данные дифференциальные уравнения являются однородными и решить их.. = = =. 4. = =. 6. = =. 8. = sin + 6 = = =.. + ln = = = + = e. 8. = + 8 = d d + =.. 6. = = = + +. = ( ) d d = = =. 6. d d + d d = 0. + = = tg. + =. 0. e =...

31 - 9 -

32 .. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Я. Бернулли Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое можно записать в виде + p = f, (.5. ) где p( ) и f ( ) заданные непрерывные функции, в частности постоянные ( f ( ) свободный член или правая часть уравнения). Будем полагать, что коэффициент уравнения p( ) и свободный член f ( ) уравнения (.5. ) непрерывны на некотором интервале ( ab, ; ) в котором разыскивается решение уравнения (.5. ). Если правая часть в уравнении (.5. ), функция f ( ), тождественно не равна нулю на ( ab, ; ) то уравнение (.5. ) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Если же правая часть в уравнении (.5. ), функция тождественно равна нулю на ( ab, ; ) то уравнение.5. принимает вид: f, + p = 0 (.6. ) и называется в этом случае линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, соответствующим линейному неоднородному уравнению (.5. ) (линейное однородное дифференциальное уравнение I порядка не следует смешивать с однородными дифференциальными уравнениями первого порядка, содержащими однородную функцию, которые рассматривались выше). Отметим, что линейное однород

33 ное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Иногда уравнение (.6. ) называют линейным уравнением без правой части. Существует несколько методов решения линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрим несколько из них. I. Метод И. Бернулли Решение уравнения (.5. ) разыскивается в виде = u v (.7. ) где u= u, v= v новые неизвестные функции аргумента. Из равенства (.7. ) находят = u v+ u v (.8. ) Подставляя в уравнение (.5. ) вместо и их выражения через u и v, согласно равенствам (.7. ) и (.8. ), получают u v+ u v + p u v= f, Далее, группируя в левой части слагаемые с общим множителем v (или u ), и, вынося общий множитель за скобки, имеют u + p u v+ uv = f (.9. ) В качестве функции u( ) выберем одно из решений дифференциального уравнения u + p u = 0 (.0. ) т. е. функция u( ) подбирается так, чтобы коэффициент при v в уравнении (.9. ), был равен нулю. Тогда функция v( ) находится как общее решение уравнения - 0 -

34 uv = f, (.. ) Подставляя полученные выражения для функций u = u и v= v в формулу (.7. ), находят искомую функцию ( ). Таким образом, с помощью подстановки (.7. ) решение линейного дифференциального уравнения первого порядка относительно неизвестной функции ( ) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, одно относительно новой неизвестной функции u( ), другое относительно другой новой неизвестной функции v( ). Пример. Найти решение уравнения, + = удовлетворяющее начальному условию 0 =. Решение. Данное уравнение является линейным первого по- рядка. Здесь можно считать p =, f =. Решение данного дифференциального уравнения будем искать в виде откуда = u v, (.7. ) = uv + uv (.8. ) Подставляя выражения для и из (.7. ) и (.8. ) в данное уравнение, получаем uv uv + uv + =. Группируя в левой части первое и второе слагаемые и вынося общий множитель за скобки, получим - -

35 u u + v+ uv = (.. ) Подберем функцию u так, чтобы выражение в квадратных скобках было равно нулю, т. е. u u + = 0. Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными и находим функцию u, как его некоторое ненулевое решение: du u =, d или, после разделения переменных, Интегрируя, находим или Выбирая c 0 =, получаем du d =, u 0. u du d = u, ln u = ln + ln c, c 0 u =. u 0 = (.4. ) Тогда, учитывая способ выбора функции u( ) из уравнения (.. ) имеем дифференциальное уравнение для нахождения второй неизвестной функции v( ): или, учитывая (.4. ) uv =, - -

36 v =, которое является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными относительно другой неизвестной функции v( ). Решая его, получаем или dv d =, dv Интегрируя последнее равенство, находим или = d. dv = d, 4 v= + c, (.5. ) 4 где c произвольная постоянная. Перемножая найденные выражения для функций u( ) и v( ), находим искомое решение 4 = uv= c +. 4 Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет вид c = +, 4 где c произвольная постоянная. Используя заданное начальное условие, будем иметь откуда находим 0 = 4 + c, c =

37 Тогда искомое частное решение имеет вид = Ответ. = + частное решение. 4 4 II. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) Этот метод заключается в следующем: ) находят общее решение соответствующего линейного однородного уравнения, которое будет содержать произвольную постоянную с ; ) решение исходного неоднородного дифференциального уравнения следует искать в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, но заменив постоянную с на функцию с( ). Отыскав ее, находят общее решение данного линейного неоднородного уравнения. Пример. Решить линейное дифференциальное уравнение sin + cos = e. Решение. ) Решаем соответствующее однородное уравнение: + cos = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменяя на d и разделяя переменные, получим d d cos d =, или - 4 -

38 d cos d =. После интегрирования имеем d cos d =, откуда находим ln = sin + c, или c 0 Полагая e sin c = e + 0. = c, получаем общее решение соответствующего однородного уравнения в виде где c произвольная постоянная = c e sin, ( ) ) Решение исходного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в том же виде, что и решение ( ) соответствующего однородного дифференциального уравнения, только заменяя постоянную c на функцию c( ): sin = c e (.6. ) Продифференцируем равенство (.6. ) по : sin sin = c e c cos e (.7. ) Подставив в исходное уравнение выражения (.6. ) и (.7. ) вместо и будем иметь cos sin sin cos sin + = sin. c e c e c e e Преобразуя полученное равенство, получаем c =, или dc d =, dc = d,

39 откуда, после интегрирования, находим dc = d, или c = + c0, где c 0 произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение для c( ) в (.6. ), получим общее решение исходного дифференциального уравнения = + c e. sin Ответ: ( c ) e sin = + 0, где 0 0 с произвольная постоянная. Замечание. Некоторые уравнения становятся линейными, если поменять ролями искомую функцию и независимую переменную. Пример. Рассмотрим уравнение ( ) = +, в котором является функцией от. Оно не является линейным относительно. Учитывая, что =, будем иметь уравнение ( ) = +, или =, которое является линейным относительно переменной, т. е. = искомая функция, независимая переменная. здесь Определение. Уравнением Я. Бернулли называется обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно записать в виде - 6 -

40 + p = f n,( n 0,) (.8. ) где = неизвестная функция независимого переменного аргумента, p, f ( ) известные функции, коэффициенты уравнения, функции ( ). n n = n -я степень неизвестной Существует несколько способов решения уравнения Я. Бернулли. Один из них состоит в том, что если записать уравнение (.8. ) в виде n n + p = f, 0, (.8. ) n то с помощью замены z =, где z = z новая неизвестная функция, уравнение (.9. ) приводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка, которое можно решить любым из вышеизложенных способов. Однако, решение уравнения Я. Бернулли (.8. ) удобней искать методом И. Бернулли, т. е. в виде = u v, не приводя его к линейному уравнению. Пример. Решить уравнение + =. e Решение. Данное уравнение является уравнением Я. Бернулли ( n = ). Решим его по методу И. Бернулли, т. е. решение будем искать в виде произведения двух функций: = u v, где u u, v v Найдем = = новые неизвестные функции. = u v+ u v

41 Подставим в исходное уравнение вместо и их выражения через u и v, получим u v u v u v e u v + + =, или, после группировки слагаемых в левой части полученного равенства и вынесения общего множителя за скобки, будем иметь u v+ u [ v + v] = e u v (.0. ) Функцию v( ) найдем как некоторое частное решение уравнения v + v= 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя затем обе части, получим dv v d =, или dv d v =, откуда имеем dv d v =, Полагая c 0 = 0, получим ln v = + c, c v= e + 0. v= e (.. ) При таком выборе функции v( ) из уравнения (.0. ) будем иметь следующее уравнение относительно второй неизвестной функции u( ): =, u e e u e или, после несложных преобразований, получим уравнение =, (.. ) u e u

42 которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные du = e u, d или du = e d. u Проинтегрируем обе части du = e d u, = e + c, u где c произвольная постоянная, или = e c, u откуда находим u = (.. ) e c Заметим, что, кроме полученного общего решения.. удовлетворяет функция u = 0, кото- (.. ) уравнению рая не может быть получена из формулы (.. ) ни при каком произвольном значении постоянной c. Таким образом, решения исходного уравнения таковы:. при u = 0, v= e, = 0.. при Ответ: e = = = e c e c u, v e, e = e c постоянная, = 0. общее решение. общее решение, где c произвольная - 9 -

43 Задание. Найти: а) решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка. б) решение уравнения Бернулли, удовлетворяющее заданному начальному условию.. а) =, () = 0; d б) + = ( + ) e, ( 0) =. d. а) ctg= sin, π = 0 ; б) + = ln, () =.. а) + cos = sin, ( 0) = 0; б) ( + ) =, () =. 4. а) 5. а) + = d d tg cos, б) б) = 4 + e, π = ; 4 0 =. + =, e d ln d d = + + e, d + e, + =, () 6. а) 0 = 0; =. ( 0) = ; 0 =. б) ( + ) = ( + ) d 7. а) = sin, d π = ; б) ( + ) = ln, () =. 8. а) sin 0, + = ( π ) = ; π

44 9. а) б) + cos= cos ( + sin ), 4 б) e ( ) 0 =. d = +, () = ; d + 4 = 4, ( 0) =. 0. а) + =, + + d б) e, d + = ( 0) = ; 0 =. d 5. а) = + 5, = 4; d б) = ( 5 + ), () = ;. а). а) ( + ) d e + =, () = e; d б) + cos= e ( + cos ), 0 =. ln =, () = ; + =, () =. б) 4. а) =, () = 4; d б), d = ( 0 ) =. d 5 5. а) + =, () = ; d 6 4 б) + 5 = ( 4 5 ), () =. 6. а) б) 7. а) d = +, () = ; d + =, = + +, 0 =. () = ; - 4 -

45 d б) + = ln, d () =. 8. а) + =, () = ; d б) cos ( 8 cos ) + = + e, d ( 0) =. 9. а) 0. а) d d = ; + =, () + = + б) e, d 0 =. 0, d + + = () = ; e 0 =. б) + = ( ) e, + =. а) ( ). а), б) 0, 0 = ; d d = + () =. 0, 0 = ; + + = d d б) cos= e ( + cos ), d d, +. а) = + e ( + ) 4. а) 0 =. ( 0) = ; б) ( + ) = ( ) e, d d 0 =. 0 =. + = e sin, б) ( + ) = ln, () =. 5. а) =, () = ; d 4 б) tg sin, d = ( 0 ) =. 6. а) e, 0 =,; + = - 4 -

46 d б) ( ) 4 ( ) arctg, d d 7. а) cos sin, 0 = 0. + = + d + = ( π ) = ; d = + d, () = 0. б) d 8. а) + =, () = ; d e б) = 4, () = а) + = ln +, () = ; 0. а) d 5 4 5, d + = () =. 4 б) ( ), = e () = e ; б) ( + ) =, 0 =

47 .4. Уравнения в полных дифференциалах Определение. Дифференциальное уравнение вида (, ) + N(, ) d = 0 (.4. ) M d называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции F(, ), т. е. df df df d d M d N d d d (, ) + = (, ) + (, ) (.5. ) Справедливо следующее утверждение: Для того чтобы уравнение (.4. ) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (, ) N(, ) M (.6. ) Чтобы решить уравнение (.4. ), необходимо найти такую функцию F(, ), полный дифференциал которой равен левой части уравнения (.4. ), то есть, чтобы выполнялось условие (.5. ). Тогда, что очевидно следует из уравнения (.4. ), будет выполнятся равенство df (, ) = 0, и, следовательно, все решения уравнения (.4. ) будут удовлетворять условию F(, ) где c произвольная постоянная. = c, Для нахождения функции F(, ) воспользуемся равенствами F F = M = (, ), N(, ) (.7. )

48 Интегрируя первое из этих равенств по, считая постоянной величиной по отношению к переменной интегрирования, определим функцию F(, ) с точностью до произвольной ϕ (функция ϕ ( ) играет в дифференцируемой функции ( ) этом случае роль постоянной интегрирования, точнее, постоянной по отношению к переменной интегрирования, т. е. не зависящей от ) F(, ) = M(, ) d=φ (, ) +ϕ ( ), (.8. ) где ϕ ( ) произвольная дифференцируемая функция; Φ (, ) первообразная от M (., ) Далее, дифференцируем (.8. ) по и с учетом второго равенства из (.7. ) получаем уравнение для определения функции ϕ ( ) : Φ(, ) dϕ + = N(, ). Пример. Решить уравнение Решение. В данном случае имеем Находим d + d d = 0. M,, N, 6 = + = +. (, ) M (, ) = ( + ) = + 6, N = ( + 6 ) = + 6. Таким образом, выполнено условие M N =,

49 следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т. е. его левая часть действительно является полным дифференциалом некоторой функции F(, ). Для искомой функции F(, ) имеем F = +, F = (.9. ) Интегрируя первое из равенств (.9. ) по,считая постоянной, получим F(, ) = ( + ) d= + +ϕ ( ). Для определения функции ϕ ( ) дифференцируем последнее равенство по, считая постоянной, и, с учетом второго из равенств (.9. ), имеем отсюда тогда или, интегрируя F ϕ = + 6+ = + 6 ϕ = ϕ =, ϕ =, ϕ ( ) = + c, где c произвольная постоянная. Поэтому F, = + + c. Все решения исходного уравнения запишутся в виде + = c. Ответ: + = c общий интеграл, где c произвольная постоянная.,,

50 Задание 4. Проверить, что данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их. e d + e d = ( ) 4. e d ( e ) d sin d cos d 0 + =. + 4 d+ 8+ e d = 0. + = 0. + d tg d = cos + + d+ + + d= d d = sin cos + d cos + d = ln d = d. + d d 0. 4 = e d + e d = d + + ln d = 0. cos+ d sin d = d + d = e d+ e d = d d = e + d d. =

51 8. ( ) + d= d d 9. + e d 0. = e d+ ( cos + e ) d = 0. + cos d+ + e d = 0. e d + e + tg d = 0 d d. = d d = 0. sin + sin + d+ cos cos + d = 0. + sin d cos d = ln d= d ( + ) cos + d + d = 0. sin cos + cos d cos d = d + + d =

52 Контрольные вопросы I. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделенными и разделяющимися переменными? Приведите примеры. II. Какое уравнение называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка? Как найти его общий интеграл? III. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка? Приведите пример. IV. Назовите основные методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка, в чем они заключаются? V. Какое дифференциальное уравнение называется уравнением Я. Бернулли? Укажите методы его решения. VI. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах? VII. Сформулируйте условие, при котором заданное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. VIII. Определите к какому типу относятся дифференциальные уравнения: d = 0; d. ( ) ( ) + d+ + 6 d = 0;.. d d = 4 ; 4. = tg ; dt 5. t ; d + =

53 6. = + ; + = ; 7. d ln d = ; 8. 9, ( e ) d d = ; e 4 + =

54 . Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.. Уравнения вида ( n ) Рассмотрим уравнение вида = f ( n ) = f, (.. ) где f ( ) непрерывная функция, = неизвестная функция,. ( n ) производная порядка n неизвестной функции Для получения общего решения уравнения (.. ) следует n раз проинтегрировать его обе части, в результате чего общее решение уравнения (.. ) будет иметь вид:... n n = d d f d= F + c + c c + c, (.. ) n где c, c,..., c n произвольные постоянные. Пример. Решить уравнение = sin. Решение. Очевидно, данное уравнение относится к рассматриваемому виду ( n = ). Запишем данное уравнение в виде или или =, ( ) sin ( ) d d sin = sin, d = d, n - 5 -

55 тогда, проинтегрировав обе части последнего равенства, получим d( ) = sin d, или = cos + c, где c произвольная постоянная. Поступая аналогично, получим далее или или = +, ( ) cos c ( ) d d = cos + c, ( cos ) d = + c d, интегрируя последнее равенство, получим или d ( ) = ( cos + c ) d, = sin + c + c, где c произвольная постоянная. Поступая так же, как и ранее, будем иметь или откуда d sin c c d = + +, ( sin ) d = + c + c d, d = ( sin + c c + ) d, тогда общее решение данного уравнения будет иметь вид = cos + c + c + c,

56 или = cos + c + c + c, c где c =, c, c, c произвольные постоянные. Ответ: = cos + c + c + c общее решение, где c, c, c произвольные постоянные. Пример. Найти решение задачи Коши IV = e, 0 = 0, 0 =, 0 =, 0 =. Решение. ) Найдем общее решение данного уравнения четырехкратным интегрированием его обеих частей: далее, ( ) d d = e, d( ) e d =, d = e d, = +, (.. ) e c ( ) d = e + c, d d( ) = e + c d, d( ) = e + c d e c c 4 d( ) = e + c+ c, d 4, = + +, (.4. )

57 d( ) = e + c+ c d, 4 d( ) = e + c+ c d 4, e c c c 8 d e c c c d = , d = e + c + c + c d, 8 = + + +, (.5. ) d = e + c + c + c d 8, откуда общее решение исходного уравнения имеет вид = e + c + c + c + c4, 6 6 или = e + c + c + c + c4, (.6. ) 6 c c где c =, c =, c, c, c, c4 произвольные постоянные. 6 Произвольные постоянные c, c, c, c 4 найдем из системы уравнений: 0 0 = e + c 0 + c 0 + c 0 + c4, = e + c + c 0 + c, 8 0 = e + c 0 + c, 4 0 = e + c, (.7. )

58 которая вытекает из равенств (.. ), (.4. ), (.5. ), (.6. ) и заданных начальных условий. Решая систему (.7. ), будем иметь или, учитывая, что c c4 =, 6 7 c, = 8 c, = 4 c =, c c = =, получим 6, c c =, 4 c =, 8 7 c, = 8 c 4 =. 6 Тогда решение данной задачи Коши имеет вид: 7 = e Ответ: = e + частное решение (решение задачи Коши)

59 Задание 5. Решить задачу Коши:... = + cos, IV = ( 4 + ) 0 = 0, 0 =, 0 = =, = 0, =, =, = = = =, ( ),, 4. cos =, 0,, sin = = = 5. sin 4 π π 4 =, 0, = = sin π 6. 7e 0 0 =, 0 =, 0 = 7. = +, =, ( 0) =, ( 0) = =, ( 0) = 0, ( 0) = = sin cos sin, ( 0) = 0, ( 0) = e 8. cos sin cos.. ln. =, 0 =, 0 = 0, 0 = 7 =, =, = e, =, =, = =, = 0 0 =, 0 = 0 4. ln =, ( e) = 4, ( e) = e 5. π π =,, 0 = = sin cos IV 4 =, + = 0, =, =, = 7 = sin, ( 0) = 0, ( 0) =, ( 0) =

60 8. = , 0 =, 0 = 5 9. = ( ) 5, sin sin =, =, = 6 π π π =, = π, =, = IV sin cos = + = =, e e IV 4. 64sin cos 5. 0 =, 0 = 5, 0 =, 0 = 8, = 0, =, = 4 0 =, 0 =, 0 = +, = 6, 0 =, 0 =, 0 = 5 0 = 9, 0 = 5 =, = tg, =, 6. sin 4 cos = cos, ( ) + = + + cos cos 0 =, 0 =, 0 = 4 π π 4 = 0, = 4 4, =, + 4 =, 4 =, 4 = 0 = 5, 0 = =, + 0 =, 0 =, 0 =

61 .. Уравнения, не содержащие искомой функции I. Дифференциальное уравнение n -го порядка, не содержащие искомой функции, имеет вид ( n ) ( ) =, (.8. ) F,,,..., 0 Порядок его может быть понижен на единицу с помощью замены = p, (.9. ) где p( ) новая искомая функция. Такая замена приводит уравнение (.8. ) к уравнению ( ) ( p n ) = (.0. ) F, p, p, p,..., 0 II. Дифференциальное уравнение которое не содержит ни искомой функции, ни ее производных до порядка ( k ) включительно, т. е. имеет вид ( k ) ( k+ ) ( n) F,,,..., 0 =, (.. ) Его порядок может быть понижен на k единиц в результате подстановки ( k ) = p, (.. ) где p( ) новая искомая функция. Тогда уравнение (.. ) принимает вид ( n k ) ( p ) F, p, p, p,..., = 0. (.. ) После определения функции p( ) искомую функцию ( ) находят из уравнения ( 5 ) k -кратным интегрированием его обеих частей. III. Дифференциальные уравнения, которые содержат только две последовательные производные неизвестной функции, т. е. уравнения вида

62 ( n ) ( n) ( ) F, =. (.4. ) Если это уравнение удается разрешить относительно оно принимает вид ( n) ( n ) и решается с помощью подстановки ( n ), то =Φ (.5. ) ( n ) = p (.6. ) где p( ) новая искомая функция. Такая подстановка (.6. ) приводит уравнение (.5. ) к виду dp ( p) d =Φ. (.7. ) Определив из уравнения (.7. ) функцию p( ) и подставив ее в уравнение (.6. ), находят неизвестную функцию ( ). Пример. Решить уравнение. = 5. Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции, поэтому для его решения проведем замену = p и = p (.8. ) где p( ) новая искомая функция. Тогда данное уравнение примет вид p = 5 p, или dp = 5 p. d Разделив переменные, получим dp d = 5, p

63 откуда, интегрируя, будем иметь dp = 5 p или или d, ln p = 5ln + ln c, 5 p = c, где c произвольная постоянная. Подставляя найденную функцию p( ) в первое уравнение из равенств (.8. ), получим уравнение для определения первоначальной искомой функции ( ): 5 =, c решая которое, будем иметь d 5 c d =, или, разделив переменные, 5 d = c d. После интегрирования получим или или где c, c 5 d = c d, c c 6 6 = +, = c + c, 6 Ответ: 6 c = произвольные постоянные. 6 = c + c общее решение, где c, c произвольные постоянные

64 Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения =. Решение. Данное уравнение не содержит искомой функции и ее первой производной. Сделаем замену = p, (.9. ) где p( ) новая неизвестная функция. Тогда данное уравнение примет вид или =, p p p p = (.0. ) Последнее уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно новой неизвестной функции p( ), которое решим методом И. Бернулли. Неизвестную функцию p( ) будем искать в виде где u u, v v Из (.. ) имеем = = неизвестные функции. p = u v, (.. ) p = u v+ u v, (.. ) Подставим в уравнение (.0. ) вместо p и p их выражения через u и v из (.. ) и (.. ), получим u v+ u v u v=, или, после группировки слагаемых в левой части полученного равенства и вынесения общего множителя за скобки, u v+ u v v = (.. )

65 Функцию v( ) найдем как одно из решений уравнения v v= 0, которое является уравнением с разделяющимися переменными. Итак, имеем dv = v, d или dv = d, v после интегрирования dv d = v, откуда ln v = ln, или v =. (.4. ) Тогда для определения функции u( ) будем иметь уравнение u v=. После подстановки в последнее уравнение выражения для найденной функции v( ) получим или или откуда, интегрируя, u =, du d =, du = d, du = d, u c = +, (.5. )

66 где c произвольная постоянная. Тогда, учитывая равенства (.4. ) и (.5. ), получаем, что неизвестная функция p( ) имеет вид p = + c. (.6. ) Подставляя найденное выражение (.6. ) для функции p( ) в равенство (.9. ), будем иметь следующее дифференциальное уравнение для определения первоначальной неизвестной функции ( ), а именно, уравнение = + c, которое решим двукратным интегрированием обеих частей. Имеем d( ) = + c, d или, после разделения переменных, d = + c d. ( ) Интегрируя, получим, c 4 = + + c. 4 Далее, поступая аналогично, будем иметь d c 4 c d = 4 + +, или c 4 d = + + c d, 4 откуда c 4 d = + + c d 4 или, - 6 -

67 c 5 4 = + + c + c, 0 c или, полагая = c, получим окончательно общее решение исходного уравнения в виде 5 4 = + c + c + c, 0 где c, c, c произвольные постоянные. Ответ: 5 4 = + c + c + c общее решение, где 0 c, c, c произвольные постоянные. Пример. Решить задачу Коши для уравнения =, 0 = 0, 0 =, 0 =. Решение. Данное уравнение содержит только две последовательные производные неизвестной функции и. Понизим его порядок с помощью замены где p( ) новая неизвестная функция. Тогда исходное уравнение примет вид p = p, или dp p d =, Тогда dp d p =, откуда, интегрируя, получим dp d p =, = p, (.7. ) ln p = + c, - 6-0

68 или c p = e + 0, c 0 где c 0 произвольная постоянная, или полагая, e p c e где c произвольная постоянная = c, имеем =, (.8. ) Тогда, подставляя найденное выражение для функции p( ) в равенство (.8. ), получим уравнение для определения искомой функции ( ) =. c e Проинтегрируем последнее равенство последовательно два раза. Получим d( ) = c e, d или d = c e d. Тогда d = c e d, откуда = c e + c, где c произвольная постоянная. Далее, поступая аналогично, будем иметь d c e c d = +, или d = c e + c d, откуда = c e + c + c, 4

69 где c произвольная постоянная. Полагая c = c, окончательно получим общее решение исходного дифференциального уравнения в 4 виде = + +, (.9. ) c e c c где c, c, c произвольные постоянные. Для определения постоянных c, c, c воспользуемся заданными начальными условиями и получим следующую систему уравнений относительно c, c, c : 0 0 = c e + c 0 + c, 4 0 = c e + c, = 0 c e. Из полученной системы определяем: c =, c = 0, c =, c =. Тогда, подставляя найденные значения для произвольных постоянных c, c, c в общее решение (.9. ), получим частное решение или решение задачи Коши, в виде = e. Ответ: = e частное решение (решение задачи Коши)

70 Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения: =, = 0,.. ln =, 7. + =,. + =, 8. tg = +, 4. =, 9. tg5= 5, 5. + = +, 0. + =, tg 0 sin + =,. + + = +, + =,. ( + sin) = cos, 8. ctg + = 0,. + =, 9. + =, 4. =, 0. tg =, = 4, 4 + =, 6. + =, =, = IV, =, + =, 4. + =, = 5, 5. + = 0, 0. ( cos ) = sin

71 .. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимой переменной, имеют следующий общий вид С помощью замены ( n ) =. (.0. ) F,,,..., 0 = p( ) или p( ) d =, (.. ) (где p( ) новая искомая функция, новая независимая переменная), порядок уравнения (.0. ) понижается на единицу. Так как за независимую переменную принимается не, а, то вторая, третья и все последующие производные (,,...) должны быть преобразованы так, чтобы независимой переменной была, а именно, dp dp d = ( ) = p( ) = = = p p, d d d = ( ) = [ p p] = p = p+ p= d p d dp d d p dp dp d d d d d dp p p p p p p = + = + d d ( n) ( n ) = g p, p,..., p,, (.. ) где i ( i ) d p p =, i=,,..., n. i d

72 Подстановки (.. ) и (.. ) в уравнение (.0. ) приводят к дифференциальному уравнению ( n ) -го порядка относительно новой неизвестной функции p( ): ( n ) = (.. ) F, p, p,..., p 0 Если удается найти общий интеграл уравнения (.. ) то соотношение ( p c c cn ) Φ,,,,..., = 0, ( c c cn ) Φ,,,,..., = 0 (.4. ) является дифференциальным уравнением первого порядка, из которого и находят искомую функцию ( ). Общий интеграл уравнения (.4. ), имеющий вид ( c c c n ) Φ,,,,..., = 0, где c, c,..., c n произвольные постоянные, является общим интегралом исходного уравнения (.0. ). Заметим также, что при осуществлении замены (.. ) возможна потеря решения = const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения (.0. ) решений такого вида. Пример. Решить задачу Коши ( ) + = 0, =, =. Решение. Данное уравнение не содержит явно независимой переменной, а потому относится к рассматриваемому типу. Полагаем где p p( ) = p, = новая неизвестная функция, новая независимая переменная

73 Из равенств (.. ) имеем dp = p p = p. d Тогда данное уравнение примет вид или p p p + = 0, dp p + p = 0. d Разделим обе части последнего уравнения на p (следует не забыть дополнительно исследовать решение p = 0): dp p+ = 0. d Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его dp = p, d dp d =, p ln p = ln + lnc, откуда, потенцируя, находим, что или p c =, p =, где c произвольная постоянная. Учитывая замену d p= =, получаем уравнение для опре- d деления функции ( ): c

74 d.5. d которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, имеем d = c d. Интегрируя, получаем общее решение в виде c =, = c + c, (.6. ) где c произвольная постоянная. Из заданных начальных условий находим, что произвольные постоянные c и c удовлетворяют системе уравнений: откуда находим = c + c, = c, c c =, =. Подставляя найденные значения для произвольных постоянных c и c в общее решение (.6. ), получаем частное решение, решение задачи Коши, в виде =, или или =, =


, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Т Н Черняева, И П Медведева Дифференциальные уравнения первого порядка Методическое пособие для самостоятельной

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ Введение Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении 0 Постановка задачи Математическое описание процессов (физических

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде:

В общем виде уравнение с n неизвестными х 1, х 2, х n может быть записано в виде: Уравнения В алгебре рассматривают два вида равенств тождества и уравнения Тождество это равенство которое выполняется при всех допустимых) значениях входящих в него букв Для тождества используют знаки

Подробнее

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Кафедра высшей математики ГВУЗ НГУ matem.org.ua matmorgua Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ» МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Н.В. НИГЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине

ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. по дисциплине ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Часть III для студентов уровня ВО заочной формы обучения специальности 5 0 0 «Сети телекоммуникаций»

Подробнее