Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Лекция 9. Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция. Лектор Сенько Олег Валентинович"

Транскрипт

1 Лекция 9 Структура ошибки выпуклых комбинаций, комитетные методы, логическая коррекция Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 1 / 24

2 Содержание лекции 1 Впуклые комбинации алгоритмов 2 Комитетные методы 3 Наивный байесовский корректор 4 Логическая коррекция 5 Алгебраическая коррекция Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 2 / 24

3 Ансамбли алгоритмов Использование различных методов прогнозирования (распознавания), а также различных обучающих выборок или подмножеств признаков позволяет получить набор прогнозирующих (распознающих) алгоритмов: A 1,..., A r Можно попытаться увеличить обобщающую способность за счёт выбора алгоритма с минимальной оценкой ошибки прогнозирования. Однако нередко более эффективной процедурой является вычисление прогноза с использованием всех алгоритмов из A 1,..., A r. Использование коллектива (ансамбля) алгоритмов, которые строятся с помощью различных методов позволяет использовать при прогнозировании различные принципы экстраполяции, лежащих в основе этих методов. Статистическое обоснование использованию ансамбля алгоритмов даёт анализ ошибки выпуклой комбинации прогнозов, вычисляемых членами ансамбля. Предположим, что алгоритмы ансамбля A 1,..., A r вычисляют прогноз переменной Y. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 3 / 24

4 Выпуклые комбинации Пусть f i - прогноз, вычисляемый алгоритмом A i. Тогда i = E Ω (Y f i ) 2 вляется математическим ожиданием квадрата ошибки прогнозировани для A i,. Введём обозначение ρ i i для математического ожидания квадрата отклонения друг от друга прогнозов, вычисляемых алгоритмами A i и A i. То есть ρ i i = E Ω(f i f i ) 2. Пусть c 1,..., c r -положительные коэффициенты такие, что r i=1 c i = 1 Обозначим через ˆf выпуклую комбинацию прогнозов, вычисляемых алгоритмами ансамбля A 1,..., A r. То есть ˆf = r c i f i. i=1 Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 4 / 24

5 Для ошибки выпуклой комбинации справедливо выражение ˆ = E Ω (Y ˆf) 2 = r c i i 1 2 i=1 r r i =1 i =1 c i c i ρ i i (1) Принимая во внимание, что все квадратичные отклонения ρ i i всегда неотрицательны, а коэффициенты c 1,..., c r положительны получаем неравенство r ˆ c i i. i=1 Иными словами математическое ожидание квадрата ошибки выпуклой комбинации всегда не превышает аналогичную выпуклую комбинацию математических ожиданий квадратов ошибок отдельных алгоритмов ансамбля. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 5 / 24

6 Рассмотрим, случай, когда все алгоритмы участвуют в построении коллективного решения равноправно. В этом случае c i = 1 r, i = 1,..., r. Выпуклая комбинация становится просто средним значением ˆf = 1 r f i. m Математическое ожидание квадрата ошибки усреднённого по ансамблю прогноза вычисляется по формуле ˆ = E Ω (Y ˆf) 2 = 1 m i=1 r i 1 2 i=1 1 r r m 2 i =1 i =1 c i c i ρ i i (2) Таким образом математическое ожидание квадрата ошибки усреднённого по ансамблю прогноза представляет собой разницу между средней по ансамблю величиной математического ожидания квадрата ошибки и средней величиной квадратичного отклонения между прогнозами вычисляемыми различными алгоритмами. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 6 / 24

7 Комитетные методы Рассмотрим сначала несколько простейших эвристических методов принятия коллективных решений. Предположим, что у нас есть ансамбль алгоритмов распознавания A 1,..., A r, которые были использованы для классификации некоторого объекта s. Голосование по большинству. Простейшим комитетным методом является является метод голосования по большинству, относящий объект к тому классу, к которому он был присвоен относительным большинством алгоритмов. Использование вещественных оценок за классы.напомним, что произвольный рспознающий алгоритм является комбинацией распознающего оператора, вычисляющего оценки за классы и решающего правила, производящего классификацию по оценкам, вычисленным распознающим оператором. Предположим, что Γ i l ( ) - оценка за класс, вычисляемая алгоритмом A i. Коллективное решение может строится путём вычисления коллективных оценок за классы через оценки Γ i l ( ), соответствующие отдельным алгоритмам. При этом могут использоваться различные варианты вычисления коллективных Сенько Олег Валентинович оценок () МОТП, лекция 9 7 / 24

8 Комитетные методы 1) Коллективная оценка за класс K l вычисляется как среднеарифметическое оценок, вычисляемых алгоритмами из ансамбля {A 1,..., A r }: Γ av l (s ) = r Γ j l (s ). 2) Коллективная оценка за класс K l вычисляется как вычисляется как минимум всех оценок за данный класс полученных алгоритмами из ансамбля {A 1,..., A r }: j=1 Γ min l (s ) = min j {1,...,r} Γj l (s ). Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 8 / 24

9 Комитетные методы 3) Коллективная оценка за класс K l вычисляется как вычисляется как максимум всех оценок за данный класс полученных алгоритмами из ансамбля {A 1,..., A r }: Γ min l (s ) = max j {1,...,r} Γj l (s ). 4) Еще одним употребительным способом построения комитетного решения является использование произведений оценок, вычисляемых алгоритмами из ансамбля {A 1,..., A r }: Γ av l (s ) = r Γ j l (s ). К достоинствам комитетных методов относится их простота, высокая быстродействие. Для применения этих методов не требуется никакой дополнительной процедуры обучения, что позволяет сразу переходить к распознаванию объектов комитетом обученных алгоритмов. j=1 Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 9 / 24

10 Наивный байесовский корректор Подобными же достоинствами обладает другой известный метод построения коллективных решений «Наивный байесовский классификатор», который является статистическим методом, основанном на оценках вероятностей принадлежности объекта классам в зависимости от результатов классификации отдельными алгоритмами. Предположим, что алгоритмы {A 1,..., A r } отнесли объект s в классы K J(1),..., K J(r) соответственно. Факт отнесения объекта s в класс K i алгоритмом A j далее будем обозначать A j (s) = P i (s), где Pt i (s) является предикатом, обозначающим отнесение s в класс K i. Наибольшую точность распознавания обеспечивает байесовский классификатор, относящий объект в класс K i, для которого максимальной является условная вероятность P [s K i A 1 (s ) = Pt J(1) (s ),..., A r (s ) = Pt J(r) (s )] (3) Условная вероятность (1) для класса K i может быть вычислена по формуле Байеса Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 10 / 24

11 Наивный байесовский корректор P [s K i A 1 (s ) = Pt J(1) (s ),..., A r (s ) = Pt J(r) (s )] = = P (K i)p [A 1 (s ) = Pt J(1) (s ),..., A r (s ) = Pt J(r) (s ) s K i ] P [A 1 (s ) = Pt J(1) (s ),..., A r (s ) = Pt J(1) (s. )] Условная вероятность P [A 1 (s ) = Pt J(1) (s ),..., A r (s ) = Pt J(1) (s ) s K i ] может быть оценена исходя из гипотезы о независимости входящих в ансамбль классификаторов. То есть P [A 1 (s ) = Pt J(1) (s ),..., A r (s ) = Pt J(r) (s ) s K i ] = = r P [A 1 (s ) = Pt J(j) (s ) s K i ]. j=1 Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 11 / 24

12 Наивный байесовский корректор В качестве оценок вероятностей при P (K 1 ),..., P (K l ) P [A 1 (s ) = Pt J(j) (s ) s K i ], j = 1,..., r, i = 1,..., r могут быть использованы соответствующие доли объектов обучающей выборки. Отметим, что вероятность P [A 1 (s ) = Pt J(1) (s ),..., A r (s ) = Pt J(r) (s )] является одинаковым для всех классов множителей, который может не учитываться при вычислении окончательного решения. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 12 / 24

13 Логическая коррекция Комитетные методы и наивный байесовский классификатор являются простейшими методами коллективной коррекции, не учитывающих взаимодействие алгоритмов ансамбля или их относительную эффективность. Требование повышения обобщающей способности ансамбля за счёт более полного учёта его структуры и использования возможностей лежащих в его основе эвристик. привело к созданию средств алгебраической и логической коррекции. Методы логической коррекции учитывают только окончательные результаты классификации. Пусть у нас имеется некоторая выборка S c = {s 1,..., s q } объектов, принадлежащих классам K 1,..., K L, по которой мы собираемся произвести коррекцию. Данной выборке может быть сопоставлена информационная матрица α li L q,, где α li = 1 при s i K l и α ij = 0 в противном случае.. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 13 / 24

14 Логическая коррекция Выборке S c может быть также сопоставлен набор матриц { β j li L q j = 1,..., r}. Элемент β j li = 1, если A j(s i ) = Pt l (s i ), и β j li = 0 в противном случае. Поиск оптимального логического корректора сводится к поиску для каждого класса такой логической функции F l (z 1,..., z r ) от булевых переменных z 1,..., z r, чтобы равенство F l [β g(1) li,..., β g(r) li ] = α li выполнялось для возможно большего числа объектов выборки S c. Функция g(i) устанавливает связь между переменными z 1,..., z r и алгоритмами A 1,..., A r. Использование g позволяет учитывать информативность алгоритмов для оценки принадлежности распознаваемых объектов классу K l, через их место в логической функции. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 14 / 24

15 Логическая коррекция Предположим, что отсутствуют противоречия типа существования в выборке S c объектов s i и s i с неодинаковыми α li и α li, которые однако одинаково классифицируются алгоритмами ансамбля. То есть β j li = β j li при j = 1,..., r. В случае, если задана какая-либо функция g, а множество векторов {(βli 1,..., βr li ) i = 1,..., r} включает всё множество вершин единичного куба E r, логическая функция F l оказывается полностью определённой. В противном случае задача построения логического корректора включает в себя задачу доопределения логической функции естественным путём заданной на выборке S c на весь единичный куб E r. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 15 / 24

16 Логическая коррекция Одним из способов логической корреции является построение монотонных корректоров, которое сводится к поиску такой функции g, что логическая функция F l, правильно вычислющая элнменты информационной матрицы, является монотонной. То есть ищется функция g(i), которая а) удовлетворяет равенству F l [β g(1) li,..., β g(r) li ] = α li при i = 1,..., q; б) для любых векторов (z 1,..., z r) и (z 1,..., z r ), удовлетворяющих условию (z 1,..., z r) (z 1,..., z r ) выполняется неравенство. F l (z 1,..., z r) F l (z 1,..., z r ) Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 16 / 24

17 Логическая коррекция Построение монотонных корректоров сводится к следующей схеме. В исходном наборе A 1,..., A r для каждого класса K l выбирается поднабор A f(1),..., A f(k). Объект s относится монотонным логическим корректором в класс K l в том и только в том случае, если он отнесён в K l всеми алгоритмами из A f(1),..., A f(k) и ещё одним алгоритмом из набора A 1,..., A r, который не принадлежит A f(1),..., A f(k). Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 17 / 24

18 Алгебраическая коррекция Универсальным способом построения оптимального распознающего алгоритма по набору исходных алгоритмов A 1,..., A r является использование алгебраических методов коррекции. В отличие от логических методов коррекции алгебраические методы используют не только окончательные результаты классификации, содержащиеся в матрицах β j li L q, но также матрицы оценок γ j li L q, вычисляемые операторами R 1,..., R k, входящими в алгоритмы A 1,..., A r. Элемент γ j li является оценкой объекта s i за класс K l, вычисляемая оператором R j, i = 1,..., q,l = 1,..., L, j = 1,..., r. Основы теории алгебраической коррекции были разработаны Ю.И.Журавлёвым в годах. Задача распознавания в алгебраической теории рассматривается как задача построения по начальной информации I о классах K 1,..., K L для предъявленной для распознавания выборки S c = {s 1,..., s q } правильной информационной матрицы α j li L q.. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 18 / 24

19 Алгебраическая коррекция Последнюю задачу мы будем называть задачей Z(I, S c, Pt 1,..., Pt L ) или просто задачей Z. Примером начальной информации о классах является таблица признаковых описаний эталонных объектов классов и их информационная матрица. Предположим, что у нас имеется множество алгоритмов {A}, переводящих пару (I, S c ) в матрицы β j li L q, составленные из элементов {0, 1, }, где значения 1 и 0 как и раньше соотвествуют истинности или ложности предикатов, вычисленными алгоритмами из множества {A}, значение соответствует отказу от вычисления значения предиката. Определение 1. Алгоритм A называется корректным для задачи Z, если выполнено равенство A(I, S c, Pt 1,..., Pt L ) = α li L q. Алгоритм, не являющийся корректным для задачи Z, называется некорректным. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 19 / 24

20 Алгебраическая коррекция Совокупность {A} состоит из вообще говоря некорректных алгоритмов. Алгебраический подход к решению задач распознавания включает в себя введение алгебраических операций над алгоритмами из {A}, позволяющих строить корректные алгоритмы по наборам алгоритмов из {A}. Поскольку каждый распознающий алгоритм может быть представлен как последовательное выполнение распознающего оператора и решающего правила, множеству {A} соответствуют множества операторов {R} и множество решающих правил {C}. Каждый из операторов из множества {R} вычисляет для задачи Z матрицу оценок за классы R (I, S c ) = γ li L q На множестве операторов {R} вводятся операции сложения, умножения и умножения на скаляр. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 20 / 24

21 Алгебраическая коррекция Предположим, что R и R являются операторами из {R}. При этом R (I, S c ) = γ li L q и R (I, S c ) = γ li L q. Пусть b является некоторой скалярной величиной. Операция умножения на скаляр преобразует оператор R в оператор (b R ), задаваемый формулой (b R )(I, S c ) = bγ li L q, (4) Сумма операторов (R + R ) задаётся формулой (R + R )(I, S c ) = γ li + γ li L q, (5) Произведение операторов (R R ) задаётся формулой (R + R )(I, S c ) = γ li γ li L q, (6) Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 21 / 24

22 Алгебраическая коррекция Использование операций (4)-(6) позволяет строить новые распознающие операторы, являющиеся полиномами от операторов из исходного множества вида N p a i [R t(1,i)... R t(k(i),i) ] i=1 Функция t(j, i) указывает на оператор, находящийся в позиции j слагаемом с номером i, k i -число сомножителей в слагаемом с номером i. Очевидно, что замыкание L{R} множества операторов {R} относительно операций (4) и (5) является линейным векторным пространством. Обозначим через U{R} алгебраическое замыкание множества {R} относительно операций (4)-(6). Рассмотрим условия, существования корректного алгоритма для некоторой задачи Z(I, S c, Pt 1,..., Pt L ). Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 22 / 24

23 Алгебраическая коррекция. Определение 2. Если множество матриц {R(I, S c )}, где операторы пробегают множество {R}, содержит базис в пространстве числовых матриц размерности L q, то задача Z(I, S c, Pt 1,..., Pt L ) называется полной относительно {R}. Определение 3. Решающее правило C называется корректным, если для всякой выборки длины q существует хотя бы одна числовая матрица γ li L q такая, что C( γ li L q ) = α li L q Пусть {A} является множество алгоритмов вида A = R C, где R {R}, C - некоторое корректное решающее правило. Определение 4. Множества алгоритмов вида A = R C, будут обозначаться L{A} и U{A}, если R L{R} и R U{R} соответственно. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 23 / 24

24 Алгебраическая коррекция Пусть C - некоторое корректное решающее правило. Теорема 1. Если множество {Z} состоит лишь из задач, полных относительно {R}, то линейное замыкание L{A = R C }, является корректным относительно {Z}. Доказательство. Пусть M является матрицей, которая может быть переведена решающим правилом C в информационную матрицу α li L q. Существование матрицы M следует из корректности решающего правила C. При фиксированном q базис в пространстве числовых матриц размерности L q состоит из Lq матриц M 1,..., M Lq.Тогда существуют такие числа c 1,..., c Lq, что M = Lq i=1 c im i. Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 24 / 24

25 Алгебраическая коррекция В том случае, если матрицы M 1,..., M Lq построены из {I, S c } с помощью операторов R 1,..., R Lq из {R}, корректный алгоритм A corr можетбыть представлен в виде Теорема доказана. Lq A corr = c i R i C i=1 Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 9 25 / 24

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 4 Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й

Подробнее

Лекция 5. Прицип частичной прецедентности, тестовый алгоритм, модель АВО. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 5. Прицип частичной прецедентности, тестовый алгоритм, модель АВО. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 5 Прицип частичной прецедентности, тестовый алгоритм, модель АВО Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович

Подробнее

Лекция 2. Задачи прогнозирования, Линейная машина, Теоретические методы оценки обобщающей способности, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 2. Задачи прогнозирования, Линейная машина, Теоретические методы оценки обобщающей способности, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 2 Задачи прогнозирования, Линейная машина, Теоретические методы оценки обобщающей способности, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция I Задачи диагностики и прогнозирования некоторой величины по доступным значениям переменных X,, 1 Xn часто возникают

Подробнее

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 3. Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 3 Линейная регрессия, Оценки регрессионых параметров, Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 2 Методы прогнозирования (распознавания) Множество (модель) алгоритмов M { A: X Y} внутри которого производится поиск

Подробнее

Лекция 1. Задачи прогнозирования, обобщающая способность, байесовский классификатор, скользящий контроль. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 1. Задачи прогнозирования, обобщающая способность, байесовский классификатор, скользящий контроль. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 1 Задачи прогнозирования, обобщающая способность, байесовский классификатор, скользящий контроль Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III

Подробнее

Лекция 11. Методы кластерного анализа проектирование данных на плоскость, метод главных компонент. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 11. Методы кластерного анализа проектирование данных на плоскость, метод главных компонент. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 11 Методы кластерного анализа проектирование данных на плоскость, метод главных компонент Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток

Подробнее

Лекция 8. Решающие деревья. Лектор Сенько Олег Валентинович. Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток

Лекция 8. Решающие деревья. Лектор Сенько Олег Валентинович. Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Лекция 8 Решающие деревья Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 2 1 / 15 Содержание лекции 1 Решающие

Подробнее

Лекция 12. Байесовские сети Методы анализа выживаемости. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 12. Байесовские сети Методы анализа выживаемости. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 12 Байесовские сети Методы анализа выживаемости Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й курс, III поток Сенько Олег Валентинович () МОТП, лекция 12

Подробнее

Построение обобщённых полиномов минимальной степени над алгоритмами вычисления оценок

Построение обобщённых полиномов минимальной степени над алгоритмами вычисления оценок На правах рукописи Романов Михаил Юрьевич Построение обобщённых полиномов минимальной степени над алгоритмами вычисления оценок Специальность 05.13.17 теоретические основы информатики Автореферат диссертации

Подробнее

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления

Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления УДК 6-5 Спектральные характеристики линейных функционалов и их приложения к анализу и синтезу стохастических систем управления К.А. Рыбаков В статье вводится понятие спектральных характеристик линейных

Подробнее

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. А. Докукин, Индуктивный метод синтеза корректного алгоритма в алгебрах над моделью вычисления оценок для задач распознавания, Ж. вычисл. матем. и матем.

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ЛЕКЦИЯ 1 НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В пособии не излагается теория чисел а дан минимальный инструментарий из этой теории который в дальнейшем потребуется для изучения криптографических систем используемых

Подробнее

u ik λ k v kj + c ij, (1) u 2 ik =

u ik λ k v kj + c ij, (1) u 2 ik = В. В. Стрижов. «Информационное моделирование». Конспект лекций. Сингулярное разложение Сингулярное разложение (Singular Values Decomposition, SVD) является удобным методом при работе с матрицами. Cингулярное

Подробнее

Лекция 14: Линейный оператор

Лекция 14: Линейный оператор Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к рассмотрению функций из векторного

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Поле. Расширения полей

Поле. Расширения полей Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Поле. Расширения полей Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп.

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА

ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

Подробнее

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я

Б а й е с о в с к а я к л а с с и ф и к а ц и я МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z =

Предполагается, что для этих двух операций выполнены аксиомы линейного пространства: 1) x + y = y + x коммутативность операции сложения; 2) (x+y)+z = 2. Общие линейные и евклидовы пространства Говорят, что множество X является линейным пространством над полем вещественных чисел, или просто вещественным линейным пространством, если для любых элементов

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

15. Гильбертовы пространства

15. Гильбертовы пространства 5 Гильбертовы пространства Гильбертово пространство линейное нормированное пространство, со скалярным произведением из или, полное относительно нормы, порожденным скалярным произведением Рассмотрим случай

Подробнее

Линейное сглаживание экспериментальных данных

Линейное сглаживание экспериментальных данных Линейное сглаживание экспериментальных данных В. И. Полищук С.-Петербургский Государственный Политехнический Университет (polischook@ list.ru) 25 сентября 2005 г. Аннотация Вариант изложения указанной

Подробнее

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны.

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер. Поскольку точки лежат на одной прямой, то компланарны. Лекция 3 Тема: Уравнение прямой на проективной плоскости Принцип двойственности Теорема Дезарга Проективные отображения и проективные преобразования План лекции 1 Уравнение прямой на проективной плоскости

Подробнее

ВЫБОР МИНИМАЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

ВЫБОР МИНИМАЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ Вычислительные технологии Том 6, 1, 2001 ВЫБОР МИНИМАЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ Н.А. Игнатьев Национальный университет Узбекистана, Ташкент e-mail: tin000@tashsu.silk.org A method for the selection

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

Матричные вычисления и нормальное распределение

Матричные вычисления и нормальное распределение Курс: Байесовские методы машинного обучения, Дата: 9 октября Матричные вычисления и нормальное распределение Дивергенция Кульбака-Лейблера 5 p(x) (x) 5 p(x) (x) 5 5 5 5 5 5-5 5 KL( p) min -5 5 KL(p ) min

Подробнее

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ

ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ .. Скалярные гиперслучайные величины 4 ЧАСТЬ І ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГЛАВА ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ Введены понятия гиперслучайного события и гиперслучайной величины. Предложен ряд характеристик и параметров

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений

Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Лекция 13: Пространство решений однородной системы линейных уравнений Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

2.5 Алгебраические структуры

2.5 Алгебраические структуры 5 Алгебраические структуры 6 Определение Бинарная операция на множестве S есть отображение S S в S То есть, является правилом, которое каждой упорядоченной паре элементов из S ставит в соответствие некоторый

Подробнее

Глава 3 Линейные блочные шифры. F на F. Нас будет интересовать возможность построения совершенных линейных шифров. F совершенных. c 1, c 2 F и любых

Глава 3 Линейные блочные шифры. F на F. Нас будет интересовать возможность построения совершенных линейных шифров. F совершенных. c 1, c 2 F и любых Глава 3 Линейные блочные шифры В этой главе множества X и Y рассматриваются как подмножества векторных пространств над конечным полем. r Пусть F конечное поле и F пространство векторов-строк длины r Ν

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

УТОЧНЕНИЕ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕРЯЕМЫХ ДАННЫХ 1

УТОЧНЕНИЕ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕРЯЕМЫХ ДАННЫХ 1 «Заводская лаборатория. Диагностика материалов» 7. 006. Том 7 59 УДК 59.584 УТОЧНЕНИЕ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК С ПОМОЩЬЮ ИЗМЕРЯЕМЫХ ДАННЫХ В. В. Стрижов Статья поступила 0 августа 005 г. Описан способ построения

Подробнее

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение

Л Е К Ц И Я 2. СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Л Е К Ц И Я 2 СОСТОЯНИЯ МИКРОСИСТЕМ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Продолжение Согласно принципу, если система может находиться в состояниях ψ 1 и ψ 2, то она может находиться и в состоянии ψ, описываемом

Подробнее

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ

Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ Глава 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ NP -ПОЛНОТЫ Определим класс задач распознавания свойств как множество проблем, решением которых является ответ «Да» или «Нет». Приведем пример. Простой цикл, содержащий

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б.

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Block linear programming problem. Decomposition method Dantsinga-Wolf Orlov

Подробнее

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012

Многочлены. Ю. Б. Мельников. Раздел электронного учебника для сопровождения лекции. Екатеринбург 2012 Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Многочлены Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и доп. e-mail: melnikov@k66.ru,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы линейной алгебры: определение, базис, алгебра подпространств Раздел электронного учебника

Подробнее

УДК a b a i >b i, i = 1, 2,..., m, x y.

УДК a b a i >b i, i = 1, 2,..., m, x y. УДК 519.8 ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ РАСПРОСТРАНЕННЫХ МЕТОДОВ СКАЛЯРИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА Ногин В.Д. Санкт-Петербургский государственный университет 1. Введение. Наиболее простой

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 0. План лекции 1. Определитель второго порядка. 1.1 Система двух уравнений. 1.2. Метод исключения переменных. 1.3. Матрица 2 2. 1.4.

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2

n q 1 a 1 a a q n A = n n q n m s 2 Лекция 5 Основы представления информации в цифровых автоматах Позиционные системы счисления Системой счисления называется совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками. Любая предназначенная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать

базисы в то эти базисы называются гомотетичными. Отношение гомотетичности базисов будем обозначать Лекция 2 Тема: Понятие проективного репера и проективных координат точки Построение точки по ее координатам на модели проективной прямой и плоскости Преобразование проективных координат План лекции 1 Понятие

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения 1

Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения 1 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР ОН Климова Сужение множества Парето на основе наборов взаимно зависимой информации о нечетком отношении предпочтения Аннотация Рассматривается задача многокритериального выбора

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Вспомним основные результаты, полученные на предыдущей лекции 1 Норма вектора = u Были введены следующие нормы вектора: =1 1 Октаэдрическая норма: 1 = max u, где p = 2 Кубическая

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО. ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф. Информационных Систем В.Д.КОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, каф Информационных Систем ВДКОЛЕСНИК УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ «КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ СООБЩЕНИЙ (Алгебраическая теория блоковых кодов)»

Подробнее

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама

Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама Тема 2-16: Матрица Грама и определитель Грама А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КРЕДИТОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КРЕДИТОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КРЕДИТОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ХАРЛАШКИНА Е. К. АКТУАЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КРЕДИТОВАНИЯ ПРЕДПРИЯТИЙ

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Метод опорных векторов Лекция 7 курса «Алгоритмы для Интернета»

Метод опорных векторов Лекция 7 курса «Алгоритмы для Интернета» Метод опорных векторов Лекция 7 курса «Алгоритмы для Интернета» Юрий Лифшиц 9 ноября 2006 г. Содержание 1. Постановка задачи классификации 1 2. Оптимальная разделяющая гиперплоскость 2 2.1. Разделение

Подробнее

ПОИСК ИНФОРМАТИВНЫХ ФРАГМЕНТОВ ОПИСАНИЙ ОБЪЕКТОВ В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ

ПОИСК ИНФОРМАТИВНЫХ ФРАГМЕНТОВ ОПИСАНИЙ ОБЪЕКТОВ В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ Российская Академия Наук Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» На правах рукописи Песков Николай Владимирович ПОИСК ИНФОРМАТИВНЫХ ФРАГМЕНТОВ ОПИСАНИЙ ОБЪЕКТОВ В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ 05.13.17

Подробнее

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр

Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр Лекции по линейной алгебре и геометрии. 1 семестр М.Ф. Насрутдинов 19 ноября 2010 г. Оглавление 1 Линейные векторные пространства 5 1.1 Векторные пространства. Определение и примеры........... 5 1.1.1

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов Сибирский математический журнал Май июнь, 2009. Том 50, 3 УДК 517.944+519.46 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СИММЕТРИЧНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, НЕЛИНЕЙНЫХ ПО ФУНКЦИИ Ю. А. Чиркунов

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Лекция 12.Байесовский подход

Лекция 12.Байесовский подход Лекция 12.Байесовский подход Буре В.М., Грауэр Л.В. ШАД Санкт-Петербург, 2013 Буре В.М., Грауэр Л.В. (ШАД) Байесовский подход Санкт-Петербург, 2013 1 / 36 Cодержание Содержание 1 Байесовский подход к статистическому

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11

ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 11 ЧАСТЬ 6 ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие функции случайной величины и провести классификацию возникающих

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность Лекция 4: SDP релаксации и алгоритм Гёманса Вильямсона

Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность Лекция 4: SDP релаксации и алгоритм Гёманса Вильямсона Приближенное решение задач комбинаторной оптимизации: алгоритмы и трудность Лекция 4: SDP релаксации и алгоритм Гёманса Вильямсона М. Вялый Вычислительный центр им. А.А.Дородницына ФИЦ ИУ РАН Санкт-Петербург,

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Обзор алгоритмов машинного обучения. Воронов Александр Video Group CS MSU Graphics & Media Lab

Обзор алгоритмов машинного обучения. Воронов Александр Video Group CS MSU Graphics & Media Lab Обзор алгоритмов машинного обучения Воронов Александр Vdeo Group CS MSU Graphcs & Meda Lab On for Maxus Содержание Введение Дерево решений Статистические алгоритмы Метрические алгоритмы SVM AdaBoost CS

Подробнее

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции

1. Многочлен Лагранжа. Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции 1 Многочлен Лагранжа Пусть из эксперимента получены значения неизвестной функции ( x i = 01 x [ a b] i i i Возникает задача приближенного восстановления неизвестной функции ( x в произвольной точке x Для

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов

Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Верхняя оценка сложности параллельного мультиплексора в классе схем из функциональных элементов Основные определения и обозначения Рассматриваются схемы из функциональных элементов в некотором полном базисе.

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

- полный перечень активов рынка, то портфель можно задать, указав набор (вектор): 1 n

- полный перечень активов рынка, то портфель можно задать, указав набор (вектор): 1 n Лекция 6 Характеристики портфелей В предыдущих лекциях неоднократно употреблялся термин «портфель» Для математической постановки задачи о выборе оптимального портфеля необходимо строгое определение этого

Подробнее