i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс"

Транскрипт

1 МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета 4 Директрисы эллипса Структурно логическая схема модуля Канонические уравнения Э, Г, П Полярные уравнения Э, Г, П Окружность Эллипс Гипербола Равносторонняя Г Парабола Эксцентриситет Геометрический смысл эксцентриситета Вз расположение Г и прямой Зависимость формы Э, Г от эксцентриситета Директрисы Асимптоты Вз расположение П и прямой Зависимость формы П от фокального параметра Ключевые термины и понятия Эллипс, гипербола, парабола, вершины, фокусы, фокальное расстояние, фокальные радиусы точки, большая и малая полуоси эллипса, действительная и мнимая полуоси гиперболы, асимптоты гиперболы, центр, эксцентриситет, директрисы, фокальный параметр параболы, полярная система координат, полярный радиус, полярный угол, полярное уравнение ЭЛЛИПС Основные факты Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F и F, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами Расстояние F F между фокусами называется фокальным расстоянием и обозначается с Если M точка данного эллипса, то отрезки F M и F M называются фокальными радиусами точки M По определению, для любой точки М эллипса F M+F M=соnst Эту величину принято обозначать а Из определения следует также, что > c В прямоугольной системе координат i OF, эллипс имеет уравнение: О i j, где О середина отрезка F F, а 4

2 х у () + =, где а () = c Уравнение () называется каноническим уравнением эллипса Если точки F и F совпадают, то эллипс является окружностью радиуса В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности Таким образом, окружность есть частный случай эллипса При этом с=0, поэтому, как следует из (), = В этом случае уравнение () принимает вид: + = Этим уравнением задается окружность радиуса а с центром в начале координат Геометрические свойства эллипса: Эллипс ограничен на плоскости: все его точ ки принадлежат прямоугольнику M M M M 4, изображенному на рисунке Эллипс, заданный каноническим уравнением, симметричен относительно начала координат и осей координат Эллипс, отличный от окружно сти, других центров и осей симметрии не имеет Центр симметрии называется центром эллипса Рис Рис Прямая, проходящая через фокусы, называется первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось второй осью симметрии Каждая ось симметрии пересекается с эллипсом в двух точках: A (,0), A (,0), B (0,), B (0, ) Эти точки называются вершинами эллипса Отрезки A A =а и B B = называются соответственно большой и малой осями эллипса Числа а и называются соответственно большой и малой полуосями эллипса Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси: () ε= а с Отсюда следует, что 0 ε< При этом ε=0 эллипс является окружностью С увеличением эксцентриситета уменьшается «ширина» эллипса, и он делается более «продолговатым» Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные второй оси и отстоящие от а нее на расстоянии, где а большая (действительная) полуось, а ε эксцентриситет (4) х=± ε а уравнения директрис ε Директрисы эллипса d и d не пересекают эллипс Окружность не имеет директрис, так как для нее ε=0 Рис Теорема Эллипс есть множество всех точек плоскости, для каждой из которых

3 отношение расстояния до фокуса к расстоянию от этой точки до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету Примеры решения типовых задач Задача На эллипсе, правый фокус которого F (,0), взята точка М(4;,4) Найти расстояние от точки М до соответствующей директрисы Решение Так как точка М принадлежит эллипсу, то выполняется равенство: 4,4 + = а Так как фокус имеет координаты (с,0), то с=; тогда по формуле (): =9 Решая полученные уравнения относительно а и совместно, получим: а= и =4 Найдем эксцентриситет по формуле (): ε= =0,6 МF = По теореме о геометрическом смысле эксцентриситета имеем: МF =ε ρ(м,d ) Найдем МF по формуле расстояния между точками: ( 4 ) + (,4 0) =,6 Тогда ρ(м,d )=MF /ε=,6/0,6= Задача Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение осей которого равно Определить эксцентриситет земного меридиана Решение По условию задачи =, откуда = а Применим формулу () для нахождения с: 99 c = = ( а) = 00 (00 99)( ) а = 99 а, с= а с 99 Тогда по формуле () найдем эксцентриситет: ε= = 0,08 а 00 Задача Написать каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат и симметричны относительно начала координат, если расстояние между директрисами равно 9, а расстояние между фокусами равно 4 Решение с Тк фокусы расположены на оси Оу, то >, c = а, ε=, а директрисы име- 6

4 ют уравнения у=± ε По условию с=4, значит, с= Подставляя значение эксцентриситета ε= в формулу расстояния между директрисами ε =9, имеем: =9 Тогда а = c =9 4= х Искомое каноническое уравнение эллипса: + у = 9 Задачи для самостоятельного решения Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что: ) полуоси его соответственно равны 4 и ; ) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна ; ) большая полуось равна 0 и эксцентриситет ε = 0, 8 ; 4) малая полуось равна и эксцентриситет ε = / ; ) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже равно 8 Дано уравнение эллипса: х +69у =4 Вычислить длину осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса Расстояние одного из фокусов эллипса до концов его большой оси соответственно равны 7 и Составить уравнение этого эллипса 4 Дан эллипс своим уравнением: + = Построить его фокусы, не вычисляя их координат 9 4 Сторона ромба равна и высота 4,8 Через две противолежащие его вершины проходит эллипс, фокусы которого совпадают с двумя другими вершинами ромба Составить уравнение эллипса, приняв диагонали ромба оси координат 6 Вершина треугольника, имеющего неподвижное основание, перемещается так, что периметр треугольника сохраняет постоянную величину Найти траекторию вершины при условии, что основание равно 4 см, а периметр равен 0 см 7 Построить эллипс, пользуясь его определением 8 Дан эллипс: + = Написать уравнения его директрис Прямые х=±8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8 Найти уравнение этого эллипса 0 Определить эксцентриситет эллипса, зная, что: ) малая ось его видна из фокуса под прямым углом; ) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей; ) расстояние между директрисами в четыре раза больше расстояния между фокусами На эллипсе + = найти точку, отстоящую на расстоянии пяти единиц 0 4 от его малой оси Эллипс проходит через точки М (+ ;-) и N (- ;+) Составить уравнение 7

5 эллипса, приняв его оси за оси координат Доказать, что для всякой точки Р (х, у ), лежащей внутри эллипса + =, имеет место неравенство + <, а для всякой внешней точки Q (х, у ) неравенство + > 4 Определить положение точек: А (+6,-), В (-;+), С (+;-6), D (+ 0 ;0), Е (- 4; 6 ) и G (+;+ 6 ) относительно эллипса + = 48 6 В эллипс + = найти точку, расстояние которой от правого фокуса в 00 6 четыре раза больше расстояния от ее левого фокуса 6 На эллипсе + = найти точку, для которой произведение фокальных радиус-векторов равно квадрату малой полуоси 7 В эллипс + = вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной большой оси Найти координаты двух других вершин 6 9 треугольника 8 На эллипсе, один из фокусов которого имеет координаты (+;0), взята точка М (+4;+,4) Найти расстояние этой точки до соответствующей директрисы, зная, что центр эллипса совпадает с началом координат 9 Найти точки пересечения эллипса + = с прямой х-у-9=0 6 0 Через фокус F (с;0) эллипса + = проведена хорда, перпендикулярная к большой оси Найти длину этой хорды Дан эллипс + = Найти длину его диаметра, направленного по биссектрисе координатного угла 6 9 В эллипс + = вписан прямоугольник, две противоположные стороны 49 4 которого проходят через фокусы Вычислить площадь этого прямоугольника Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс + = 4Дан эллипс + = Через точку (+;+) провести хорду, делящуюся в 9 4 этой точке пополам 8

6 Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна, а фокусы отстоят от вершин на её длины Доказать, что если для точки M ( 0, 0 ): <, то любая прямая, про- ходящая через М, пересекает эллипс = в двух точках + 7 На прямой l, уравнение которой в репере (O, i, j ) ++4=0, найти точку, сумма расстояний которой до точек А(-,0) и В(,0) равна 0 8 В репере (O, i, j ) заданы прямая d: 4++6=0 и точка F(-,), которые являются директрисой и соответствующим фокусом эллипса Написать уравнение второй директрисы и найти координаты соответствующего ей фокуса, если большая полуось эллипса =6 9 Точки А(,) и С(4,6) (в репере (O, i, j )) являются противоположными вершинами эллипса Определить координаты двух других вершин B и D и фокусов эллипса, если ось BD = 4 0 Найти фигуру Φ, состоящую из всех точек плоскости П, делящих в данном от- λ ) параллельные хорды окружности γ ношении λ ( В репере (O, i, j ) дано уравнение эллипса γ: + = Найти уравнение окружности, касающейся эллипса γ в двух точках, симметричных относительно фокальной оси эллипса, если абсцисса этих точек равна ± 0 Найти фигуру, состоящую из середин всех хорд эллипса γ, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку М 0 + = В репере ( O, i, j) даны уравнение эллипса 9 4 и точка А (-, ) Написать уравнение прямой, содержащей хорду эллипса, проходящую через точку А и делящуюся этой точкой пополам 4 Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между его фокусами есть среднее арифметическое длин осей Написать уравнение множества эллипсов, имеющих одни и те же фокусы F l, F 6 Определить положение точек M (, ), М (6, ), M (, ) относительно эллипса + = 9 7 Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в эллипс, параллельны его осям 8 Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что: ) его полуоси равны и ; ) его большая полуось равна 0, а расстояние между фокусами с=8; ) его малая ось равна 4, а расстояние между фокусами с=0;

7 4) расстояние между его фокусами с=6 и эксцентриситет ε = ; ) его большая ось равна 0, а эксцентриситетε = ; 6) его малая ось равна 0, а эксцентриситет ε = ; 7) расстояние между его директрисами равно и расстояние между фокусами с=4; 8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 6; 9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно ; 0) расстояние между его директрисами равно и ε = 9 Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того: ) его полуоси равны соответственно 7 и ; ) его большая ось равна 0, а расстояние между фокусами с=8; ) расстояние между его фокусами с=4 и эксцентриситет ε = ; 4) его малая ось равна 6, а эксцентриситет ε = ; ) расстояние между его фокусами с=6 и расстояние между директрисами равно 6 ; 6) расстояние между его директрисами равно 0 и эксцентриситет = 4 40 Определить полуоси каждого из следующих эллипсов: = ; ) = ; 6) 9 + = + 4 = ; 8) 6 + = 6 ; 9) + 9 = ; 9 + = 9 + = ) + = ; ) + = ; ) + = ; 4) 7) 0) ; ε ; 4 Дан эллипс Найти: ) его полуоси; ) фокусы; ) эксцентриситет; 4) уравнения директрис 4 Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса + = 0, а две другие совпадают с концами его малой оси 4 Дан эллипс 9 + = 4 Найти: ) его полуоси; ) фокусы; ) эксцентриситет; 4) уравнения директрис 44 Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса 9 + =, две другие совпадают с концами его малой оси 0

8 4 Вычислить расстояние от фокуса F(с;0) эллипса + = до односторонней с этим фокусом директрисы 46 Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса + = (считая, 6 9 что изображены оси координат и задана масштабная единица) 47 На эллипсе + = 4 найти точки, абсцисса которых равна 48 Определить, какие из точек А (-;), А (;-), А (;-4), А 4 (-;), А (-4;-), А 6 (;-), А 7 (;-), А 8 (;), А 9 (0;) и А 0 (0;-6) лежат на эллипсе 8 + = 77, какие внутри и какие вне его 49 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями: ) = + 6 ;) = 9 ;) = 9 ;4) = + 49 ; Изобразить эти линии на чертеже Эксцентриситет эллипса ε =, фокальный радиус точки М эллипса равен 0 Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы Эксцентриситет эллипса ε =, расстояние от точки М эллипса до директрисы равен 0 Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой Дана точка М (; -/) на эллипсе + = ; составить уравнения прямых, 9 на которых лежат фокальные радиусы точки М Убедившись, что точка М (-4;,4) лежит на эллипсе + =, определить 6 фокальные радиусы точки М 4 Эксцентриситет эллипса ε =, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-;0) Вычислить расстояние от точки М эллипса с абсциссой, равной, до директрисы, односторонней с данным фокусом Эксцентриситет эллипса ε =, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением х=6 Вычислить расстояние от точки М эллипса с абсциссой, равной 4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой 6 Определить точки эллипса + =, расстояние которых до правого фокуса равно Определить точки эллипса + =, расстояние которых до левого фокуса 6 7

9 равно, 8 Через фокус эллипса + = проведен перпендикуляр к его большой оси Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов 60 Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны: ) точка М ( ;) эллипса и его малая полуось =; ) точка М (;-) эллипса и его большая полуось а=4; ) точки М ( 4; ) и М ( ;) эллипса; 4) точка М ( ; ) эллипса и расстояние между его фокусами с=8; ) точка М (; -/) эллипса и его эксцентриситет ε = ; 6) точка М (8;) эллипса и расстояние r =0 от нее до левого фокуса; 7) точка М ( ;) эллипса и расстояние между его директрисами равно 0 6 Определить эксцентриситет эллипса: ) его малая ось видна из фокусов под углом в 60 ; ) отрезок между фокусами виден из вершин малой оси под прямым углом; ) расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами; 4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам 6 Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (рис ) Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки AB и OC будут параллельны 6 Составить уравнение эллипса с полуосями, и центром С(х 0, у 0 ), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат 64 Эллипс касается оси абсцисс в точке А(;0) и оси ординат в точке В(0;4) Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям 6 Точка С(-;) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям 66 Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис: ) = 0; ) = 0; ) = 0 Изобразить эти линии на чертеже 67 Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

10 ) = ; 4 ) = 6 ; ) = 6 ; 4) = Составить уравнение эллипса, зная, что: ) его большая ось равна 6 и фокусы суть F (-0;0), F (4;0); ) его малая ось равна и фокусы суть F (-;-), F (;); ) его фокусы суть F (-;/), F (;-/) и эксцентриситет ε = ; 4) его фокусы суть F (;), F (;) и расстояние между директрисами равно 69 Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε =, фокус (;) и уравнение соответствующей директрисы х-=0 70 Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε =, фокус F(-4;) и уравнение соответствующей директрисы у+=0 7 Точка А(-;-) лежит на эллипсе, фокус которого А(-;-4), а соответствующая директриса дана уравнением х-=0 Составить уравнение этого эллипса 7 Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε =, фокус F(;0) и уравнение соответствующей директрисы х+у-=0 7 Точка М (;-) лежит на эллипсе, фокус которого F(;0), а соответствующая директриса дана уравнением х-у-0=0 Составить уравнение этого эллипса 74 Точка М (;-) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+6=0 Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет ε = 7 Найти точки пересечения прямой х+у-7=0 и эллипса х +4у = 76 Найти точки пересечения прямой х+0у-=0 и эллипса + = 4 + = Найти точки пересечения прямой х-4у+40=0 и эллипса 78 Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает ли, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы следующими уравнениями: ) х-у-=0, ) х+у-0=0, )х+у-0=0, + = 6 9 ; + = 9 4 ; + = Определить, при каких значениях m прямая =-+m: + = 0 ) пересекает эллипс ; ) касается его;

11 ) проходит вне этого эллипса 80 Найти уравнение множества точек, для каждой из которых сумма расстояний от двух точек F (4, 0) и F ( 4, 0) равна 0 8 Длина большой полуоси эллипса равна 6, эксцентриситет е = /, а расстояние точки М эллипса до фокуса F равно 7 Вычислить расстояние точки М до фокуса F и координаты точки М Написать каноническое уравнение эллипса 8 В каждом из следующих случаев составить каноническое уравнение эллипса: а) а = 0, = 6; б) а + = 9, с = ; в) а = 6, с 4 Здесь а большая полуось эллипса, а малая, а с= 8 Найти длины полуосей и координаты фокусов следующих эллипсов: а) 4 + 9у 6 = 0; б) + 9 = 9; в) 4х = 0; г) 9 + = 84 Найти точки, принадлежащие эллипсу + =, абсциссы которых равны: 6 4 а) ; б) ; в) На эллипсе = дана точка (, ) Найти координаты точек, симметричных с данной относительно: ) начала координат и ) координатных осей, и убедиться в том, что эти точки принадлежат эллипсу 86 Через фокус F проведена хорда эллипса + =, параллельная канонической оси Оу Определить длину этой хорды 87 Хорда, проведенная через фокус F параллельно оси Оу, пересекает эллипс + = в точках M и М Определить расстояние от точек М и М до фокуса F 88 а) Найти координаты точек М, принадлежащих эллипсу + = и равноудаленных от фокусов, б) Найти координаты точек М, принадлежащих эллипсу + = и удовлетворяющих условию МF = MF 89 Составить каноническое уравнение эллипса, если: а) вершина эллипса имеет координаты A (6,0), A ( 6,0), B (0,), B (0, ); б) фокальное расстояние c = 0, а малая полуось = ; в) эксцентриситет e =, большая полуось а = ; г) эксцентриситет е = а малая полуось = ; д) расстояние между фокусами равно 8, а эксцентриситет е = / 90 Составить уравнение эллипса в канонической системе координат, если: 4

12 а) эллипс проходит через точки М (, ) и М (, 0); б) эллипс проходит через точки М (, ), M (4, ); в) эллипс проходит через точку М (, 7 / 4 ) и расстояние между фокусами с=6; ними г) эллипс проходит через точку M(, ) и имеет эксцентриситет ε= 9 Написать уравнение директрис эллипса + = найти расстояние между Составить уравнение эллипса, если: а) расстояние между директрисами равно, а большая ось равна ; б) расстояние между директрисами равно 7, а между фокусами ; в) расстояние между директрисами равно 4, а эксцентриситет ε= ; 8 г) прямые х = ± служат директрисами эллипса, а малая полуось равна 9 Доказать, что для координат х, у всех точек плоскости, лежащих внутри эллипса, заданного каноническим уравнением + =, имеет место неравенство + <, а для координат всех точек, лежащих вне эллипса, неравенство + > 94 Дан эллипс + = в канонической системе координат Определить, ка- 9 кие из точек М (, ), М (, ),_М (0, ), М 4 (, ), М (, ), М 6 (, ), М 7 (, 4), M 8 4 (, ), М9 (, ), М 0 (, ): а) принадлежат эллипсу; б) лежат внутри эллипса; в) лежат вне эллипса 9 Взяв на плоскости прямоугольную декартову систему координат, изобразить области, определяемые следующими системами неравенств: 9х + у < 0, х + 4у 6 > 0 а) + < 0, б ) + > 0, + > 0; + < 0; 96 Эксцентриситет эллипса равен /, а расстояние от точки М до директрисы равно Вычислить расстояние от точки М до соответствующего фокуса

13 (, 0 97 Дан эллипс + = Найти фокальные радиусы точек М (, ) и M принадлежащих данному эллипсу 98 Пусть ε эксцентриситет эллипса, m расстояние от фокуса до одноименной директрисы Выразить, и с через ε и m 99 Даны точка F, прямая l, не проходящая через эту точку, и число е < Доказать, что существует один и только один эллипс, для которого F и l являются односторонними фокусами и директрисой, e-эксцентриситетом 00 Дан эллипс + = Вычислить расстояния от концов большой оси до одной из директрис 9 6


Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4

ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность. 2.Эллипс. 1.Окружность Эллипс Гипербола Парабола... 4 ЛЕКЦИЯ N15. Кривые второго порядка. 1.Окружность... 1.Эллипс... 1 3.Гипербола.... 4.Парабола.... 4 1.Окружность Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014

Контрольная 1 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень 2014 Вариант 1 Задача 1. Дать геометрическое определение эллипса. Задача 2. Доказать с помощью шаров Данделена, что эллипс возникает как коническое сечение. Задача 3. Доказать, что множество точек P, из которых

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим.

Окружность радиуса R с центром в точке. Пример. Нарисуйте кривую. Решение. Выделив полные квадраты, получим. Кривые второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A

r = (x, y) r 1 = (x 1,,y 1 ) M 1 (x 1,,y 1 ) L M(x, y) L D = Ax 1 By 1 ; M 1 (x 1, y 1 ) L; N=(A,B) L y=0 x=a x=0 y=b a = ; A Уравнения прямой на плоскости в R - - Уравнение прямой проходящей через точку перпендикулярно вектору Общее уравнение прямой k Уравнение прямой с угловым коэффициентом ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ Глава ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ.1. Эллипс, гипербола, парабола Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F 1 и F есть постоянная

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка

Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка Глава 9 Кривые на плоскости. Кривые второго порядка 9. Основные понятия Говорят, что кривая Г в прямоугольной системе координат Оху имеет уравнение F (, )=0, если точка М(х, у) принадлежит кривой в том

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Пахомова Е.Г. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Лекция 11: Гипербола

Лекция 11: Гипербола Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции изучается еще одна кривая второго порядка гипербола.

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса;

ε = <1, ε эксцентриситет эллипса; эллипса КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная,

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 3. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм квадрат.

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Кривые второго порядка.

Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Определение : Линией кривой) второго порядка называется множество {М} точек плоскости, декартовы координаты X, Y) которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:,

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Тест 201. Круг. Свойство

Тест 201. Круг. Свойство Тест 194. Окружность. Понятие Окружность это: 1. множество точек, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние; 2. множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; 3. некоторая

Подробнее

Е. А. Ширяева ( Задачник (ОГЭ 2019) 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ

Е. А. Ширяева (  Задачник (ОГЭ 2019) 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ Задание. Укажите (обведите) номера верных утверждений. I) Начальные геометрические сведения (отрезки, прямые и углы) 1. Точка, лежащая на серединном

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я кривые второго порядка ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 =

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 = 44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Подробнее

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с

= 2a. x + y = r - каноническое уравнение окружности с ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Уравнения кривых второго порядка Окружность Определение Окружность это геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности, на расстоянии r

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

12 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЕТРИЯ ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ. ОПР Плоскостью будем называть поверхность обладающую тем свойством что если две точки прямой принадлежат плоскости то и все точки прямой принадлежат данной

Подробнее

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка»

Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАФЕДРА Математика и финансовые приложения Е.С. Волкова Тексты лекций «Теория кривых второго порядка» Москва 00 Аннотация Курс лекций содержит

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость»,

Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», Введение Методические указания содержат 26 вариантов индивидуальных домашних заданий по темам «Прямая на плоскости и в пространстве», «Плоскость», «Кривые и поверхности второго порядка». Под индивидуальными

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 3 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Дать определение собственного и несобственного пучка плоскостей. Сформулировать и доказать критерий принадлежности плоскости пучку, которому принадлежат две данные плоскости. Задача

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2.

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) 2018-2019 уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. Первый признак равенства треугольников. 3. Второй признак

Подробнее

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL.

Лекция 9 M L G K M C. AL 2 = r 2 + x 2 + y 2. Отложим на прямой AC отрезок AM = AL. Лекция 9 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

Метод ключевых задач

Метод ключевых задач Метод ключевых задач Задачи, в которых фигурируют середины отрезков Задача. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Пример. В четырехугольнике = = 90. Точки и

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6.

Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

4. Составить уравнение прямых, проходящих через точку пересечения. 2. A. Сначало разберемся с параллельностью. Воспользуемся уравнением

4. Составить уравнение прямых, проходящих через точку пересечения. 2. A. Сначало разберемся с параллельностью. Воспользуемся уравнением Содержание 4. Составить уравнение прямых, проходящих через точку пересечения прямых 2x 3y + 1 = 0 и 3x y 2 = 0 паралельно и перпендикулярно прямой y = x + 1. Обозначим искомую параллельную прямую l 1,

Подробнее

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка

Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка 1 Лекция 1.4. Кривые и поверхности второго порядка Аннотация: Из определений выводятся канонические уравнения кривых: эллипса, гиперболы и параболы. Даются параметрические уравнения эллипса и гиперболы.

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Координатная плоскость

Координатная плоскость Координатная плоскость 1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке. 2. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9). 3. Найдите площадь

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Подробнее

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М.

Лекция 10: Эллипс. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики. Б.М. Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В трех предыдущих лекциях изучались прямые и плоскости, т.е.

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Подробнее