КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Преподаватель Студент Группа

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ. Преподаватель Студент Группа"

Транскрипт

1 КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Преподаватель Студент Группа 1

2 ПРЕДМЕТ И МЕТОД НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Начертательная геометрия это один из разделов геометрии, изучающий методы изображения пространственных объектов на плоскости и способы решения пространственных задач по выполненным плоским изображениям. Основным методом построения изображений на плоскости является метод проекций. Проекция это изображение фигуры на плоскости, полученное методом проецирования. Проецирование это операция проведения проецирующих лучей через все точки объекта до пересечения с выбранной плоскостью, которая называется плоскостью проекций. В зависимости от способа проведения проецирующих лучей можно выделить два вида проецирования: центральное и параллельное. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ все проецирующие лучи выходят из одной точки центра проекций (см. рис. 1). Полученное изображение очень наглядно, но по нему трудно определить истинные размеры и положение оригинала в пространстве. Рис.1 2

3 ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ все проецирующие лучи проходят параллельно друг другу (см. рис. 2). Рис.2 Рис.3 Для осуществления параллельного проецирования необходимо наличие направления проецирования и плоскости проекций, не параллельной заданному направлению. Если лучи перпендикулярны плоскости проекций, то проецирование называется прямоугольным (ортогональным), если нет косоугольным. Положение любой точки в пространстве можно определить, если известны ее проекции по крайней мере на две плоскости проекций (см. рис. 3). В качестве плоскостей проекций удобно взять 2 (или 3) взаимно перпендикулярные плоскости. Метод ортогонального проецирования на 2 взаимно перпендикулярные плоскости был впервые систематизирован и изложен французским геометром Гаспаром Монжем ( г.г.) и получил название метода Монжа. 3

4 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ Наиболее ясное представление о предмете получается по трем его изображениям (проекциям) на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций (см. рис. 4): Рис.4 П 1 фронтальная плоскость проекций; П 2 горизонтальная плоскость проекций; П 3 профильная плоскость проекций. Плоскости проекций делят пространство на 8 пространственных углов октантов. Линии пересечения плоскостей проекций оси проекций являются координатными осями OX, OY, OZ (ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат соответственно) прямоугольной декартовой системы координат. Точка пересечения осей начало координат 0. Рассмотрим некоторую точку А(x А,y А,z А ) в пространстве первого октанта и построим ее проекции (см. рис.5): А 1 (x А,z А ) фронтальная проекция точки А; А 2 (x А,y А ) горизонтальная проекция точки А; А 3 (y А,z А ) профильная проекция точки А. Проецирующие лучи также отображаются на плоскостях проекций, образуя так называемые линии связи. 4

5 Рис.5 Для получения плоского чертежа из объемного плоскости П 2 и П 3 совмещаются с плоскостью П 1, вращаясь соответственно вокруг осей OX и OZ. Плоскость П 1 при этом остается неподвижной, а ось OY условно раздваивается. Плоский чертеж, полученный таким образом, называется Эпюром. Для чертежа любой точки, полученного таким образом, справедлив ряд положений, составляющих содержание Основной теоремы начертательной геометрии: 1) Фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на вертикальной линии связи, перпендикулярной к оси OX. 2) Фронтальная и профильная проекции точки располагаются на горизонтальной линии связи, перпендикулярной к оси OZ. 5

6 3) Горизонтальная и профильная проекции точки располагаются на сложной линии связи, причем расстояние от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от профильной проекции точки до оси OZ, т.е. равно ординате точки. ЧАСТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК НА ЧЕРТЕЖЕ Рассмотрим несколько частных положений точек в пространстве первого октанта (см. рис. 6): 1) Если точка располагается в плоскости проекций, то одноименная с этой плоскостью проекция точки совпадает с самой точкой, а две другие располагаются на осях проекций; 2) Если точка располагается на оси проекций, то две проекции точки, одноименные с плоскостями, образующими эту ось, совпадут с самой точкой, а третья будет располагаться в начале координат. Рис.6 6

7 Пространственная модель координатных плоскостей проекций

8 6-гранная правильная призма в пространственной модели координатных плоскостей проекций с указанием направлений проецирования на каждую плоскость проекций

9 Формирование проекций (эпюра) 6-гранной призмы, совмещая горизонтальную (П2) и профильную (П3) плоскости с фронтальной плоскостью(п1) по заданным координатам положения призмы (точка С) Эпюр плоскостная модель координатных плоскостей проекций.

10 Параметры формы призмы на проекциях

11 Дано: точка А на верхнем основании правильной 6-гранной призмы. Требуется: построить эпюр точки А

12 Построить фронтальную проекцию точки А.

13 Дано: точка В на нижнем основании правильной 6-гранной призмы. Требуется: построить эпюр точки В.

14 Построить проекции точки В.

15

16 Построить опорные точки А и В на поверхности прямого кругового конуса

17 Точки А и В на поверхности прямого кругового конуса

18

19

20 ДЕЙСТВИЕ ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ТОЧЕК НА ЧЕРТЕЖЕ ДЕТАЛИ 20

21 ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЯМЫХ Положение прямой в пространстве определяется положением двух ее точек. Для построения проекций прямой достаточно построить проекции двух ее точек и одноименные проекции соединить (рис. 7). Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (см. рис. 7). Проекции отрезка прямой общего положения располагаются на чертеже наклонно к осям проекций, причем ни одна из них не равна по величине самому отрезку. АВ прямая общего положения. Рис.7 21

22 Построить прямую общего положения

23 Построить прямую общего положения

24 Точки на прямой

25 Точки на прямой

26 Наряду с прямой общего положения рассмотрим следующие частные положения прямой: 1) Прямые уровня 2) Проецирующие прямые Прямая уровня это прямая, параллельная одной из плоскостей проекций и наклонно расположенная по отношению к двум другим. Следует различать следующие виды прямых уровня: а) Фронтальная прямая уровня фронталь П 1 (прямая EF П 1 на рис. 8а); б) Горизонтальная прямая уровня горизонталь П 2 (прямая CD П 2 на рис. 8б); в) Профильная прямая уровня П 3 (прямая KL П 3 на рис. 8в). 26

27 КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЯМЫХ: ПРЯМЫЕ УРОВНЯ а) б) в) Рис.8 27

28 Прямые уровня

29 Прямые уровня

30 Прямые уровня

31 Прямые уровня

32 Прямые уровня

33 Прямые уровня. Точка на горизонтальной прямой уровня.

34 Прямые уровня

35 Прямые уровня

36 Проецирующая прямая это прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций и параллельная к двум другим. Следует различать следующие виды проецирующих прямых: а) Фронтально проецирующая прямая П 1 (прямая EF П 1 на рис. 9а); б) Горизонтально проецирующая прямая П 2 (прямая CD П 2 на рис. 9б); в) Профильно проецирующая прямая П 3 (прямая KL П 3 на рис. 9в). 36

37 КЛАССИФИКАЦИЯ ПРЯМЫХ: ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ а) б) в) Рис.9 37

38 Проецирующие прямые

39 Проецирующие прямые

40 Проецирующие прямые

41 Проецирующие прямые

42 Проецирующие прямые

43 Проецирующие прямые Y =Y

44 Проецирующие прямые

45 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Две прямые могут быть параллельны друг другу, пересекаться и скрещиваться. а) Параллельные прямые. Если две прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на любую плоскость проекций также параллельны (см. рис. 10). AВ CD, следовательно А 1 В 1 C 1 D 1, А 2 В 2 C 2 D 2. Рис.10 13

46 Параллельные горизонтально-проецирующие прямые

47 Параллельные горизонтальные прямые уровня

48 Параллельные прямые общего положения

49 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ б) Пересекающиеся прямые. Если две прямые в пространстве пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точках, расположенных на общих линиях связи (см. рис. 11). Рис.11 14

50 Пересекающиеся прямые

51 Пересекающиеся прямые

52 Пересекающиеся прямые

53 Пересекающиеся прямые

54 Пересекающиеся прямые

55 Пересекающиеся прямые

56 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ в) Скрещивающиеся прямые. Проекции скрещивающихся прямых на чертеже также могут пересекаться, но точки их пересечения не являются проекциями одной точки, следовательно, не располагаются на общих линиях связи (см. рис. 12). Рис.12 15

57 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ в) Скрещивающиеся прямые. Проекции скрещивающихся прямых на чертеже также могут пересекаться, но точки их пересечения не являются проекциями одной точки, следовательно, не располагаются на общих линиях связи (см. рис. 12). Точки 1 и 2 называются конкурирующими, определяют видимость объекта на плоскости П 2. Из двух точек, расположенных на перпендикуляре к плоскости, та считается видимой (точка 1), которая расположена ближе к наблюдателю. Рис.12 15

58 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ в) Скрещивающиеся прямые. Проекции скрещивающихся прямых на чертеже также могут пересекаться, но точки их пересечения не являются проекциями одной точки, следовательно, не располагаются на общих линиях связи (см. рис. 12). Точки 1 и 2 называются конкурирующими, определяют видимость объекта на плоскости П 2. Из двух точек, расположенных на перпендикуляре к плоскости, та считается видимой (точка 1), которая расположена ближе к наблюдателю. Точки 3 и 4 также конкурирующие, определяют видимость объекта на плоскости П 1. Из двух точек, расположенных на перпендикуляре к плоскости, та считается видимой (точка 4), которая расположена ближе к наблюдателю Рис.12 15

59 Скрещивающиеся прямые

60 Скрещивающиеся прямые

61

62 ОСОБЕННОСТИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ ПРЯМОГО УГЛА Если две прямые, пересекающиеся под прямым углом, являются прямыми общего положения, то прямой угол между ними проецируется на плоскости проекций с искажением. Однако если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (см. рис. 13). АВ ВС и АВ П 2, следовательно А 2 В 2 В 2 С 2. Рис.13 16

63 Через точку А провести прямую, перпендикулярную прямой ВС. а 1 С В 1 A 1 x 12 B 2 С A 2 а 2 17

64 ОСОБЕННОСТИ ПРОЕЦИРОВАНИЯ ПРЯМОГО УГЛА Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения: 1. горизонтальная прямая уровня (h) параллельна горизонтальной плоскости проекций, 2. прямой угол, следовательно, проецируется в истинную величину на горизонтальной плоскости проекций (П2).

65 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ. СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКОСТЕЙ Плоскость есть геометрическое место всех прямых, проходящих через некоторую неподвижную точку и пересекающих вне её неподвижную прямую линию Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Следовательно, плоскость на чертеже можно задать одним из следующих способов (см. рис. 14): Тремя точками Прямой и точкой вне её Двумя пересекающимися прямыми Двумя параллельными прямыми Плоской фигурой Рис.14 18

66 ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ. СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ Плоскость, наклоненная ко всем трем плоскостям проекций под произвольными углами (не равными 90 ), называется плоскостью общего положения. Плоскость общего положения пересекает все три плоскости проекций по прямым, которые называются следами плоскости (см. рис. 15): а) фронтальный след плоскости ; б) 2 горизонтальный след плоскости ; в) 3 профильный след плоскости. Точки, в которых плоскость пересекает координатные оси, называются точками схода следов x, y, z Фронтальный след Профильный след Горизонтальный след Рис.15 19

67

68

69 КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКОСТЕЙ. ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ Проецирующая плоскость это плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Следует различать следующие виды проецирующих плоскостей: а) Фронтально проецирующая плоскость П 1 (плоск. T П 1 на рис. 16а). б) Горизонтально проецирующая плоскость П 2 (плоск. П 2 на рис. 16б). в) Профильно проецирующая плоскость П 3 (плоск. П 3 на рис. 16в). Характерным для всех проецирующих плоскостей является то, что любая точка, прямая, плоская фигура, расположенные в плоскости, будут проецироваться на след проекции. фронтально проецирующая плоскость П 1 (плоск. T П 1 ). Рис.16 а 20

70 Проецирующая плоскость

71 КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКОСТЕЙ. ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ горизонтально проецирующая плоскость П 2 (плоск. П 2 ) Рис.16 б профильно проецирующая плоскость П 3 (плоск. П 3 ) Рис.16 в 21

72 Проецирующая плоскость

73 КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКОСТЕЙ. ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ Плоскость уровня это плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций и перпендикулярная двум другим. Следует различать следующие виды плоскостей уровня: а) Фронтальная плоскость уровня П 1 (плоск. П 1 на рис. 17а). б) Горизонтальная плоскость уровня П 2 (плоск. П 2 на рис. 17б). в) Профильная плоскость уровня П 3 (плоск. П 3 на рис. 17в). Характерным для всех плоскостей уровня является то, что любая точка, прямая, плоская фигура, расположенные в плоскости, будут проецироваться на след проекции. фронтальная плоскость уровня П 1 (плоск. П 1 ) Рис.17 а 22

74 Плоскость уровня

75 КЛАССИФИКАЦИЯ ПЛОСКОСТЕЙ. ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ горизонтальная плоскость уровня П 2 (плоск. П 2 ) Рис.17 б профильная плоскость уровня П 3 (плоск. П 3 ) Рис.17 в 23

76

77 ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ Прямая линия принадлежит плоскости, если: а) две точки этой прямой принадлежат этой плоскости; б) эта прямая проходит через какую-то точку плоскости параллельно другой прямой, лежащей в этой плоскости. Точка принадлежит плоскости, если она лежит на какой-то линии этой плоскости. Задача. Построить горизонтальную проекцию точки К с условием, что точка К принадлежит плоскости АВС (см. рис. 18). Рис.18 24

78 ПРЯМЫЕ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ К прямым особого положения в плоскости относятся прямые уровня (фронтали, горизонтали и профильные прямые) и линии наибольшего ската. Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали всегда параллельна оси OX, а ее фронтальная проекция параллельна фронтальному следу плоскости (см. рис. 19). Горизонталью плоскости называется прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали всегда параллельна оси OX, а ее фронтальная проекция параллельна фронтальному следу плоскости (см. рис. 19). 25

79 ПРЯМЫЕ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ Задача. В плоскости, заданной АВС, построить проекции фронтали и горизонтали плоскости (см. рис. 19). Рис.19 26

80 ПРЯМЫЕ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ Задача. В плоскости, заданной АВС, построить проекции фронтали и горизонтали плоскости (см. рис. 19). Рис.19 26

81 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Задача. Через точку D провести прямую, параллельную плоскости АВС (см. рис. 20). Рис.20 27

82 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ Две плоскости пересекаются по прямой, которую можно построить по двум точкам, одновременно принадлежащим этим плоскостям, либо по одной общей точке, если известно направление пересечения. В отдельных случаях задача по построению линии пересечения плоскостей решается довольно просто. Например, когда плоскости заданы следами и следы в пределах чертежа пересекаются. 29

83 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ Данная задача также решается довольно несложно, если одна из пересекающихся плоскостей занимает частное положение (рис. 21). Задача. Построить линию пересечения плоскостей и АВС (см. рис. 21). Рис.21 30

84 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Точка пересечения прямой с плоскостью в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости посредника. Рассмотрим алгоритм решения задачи на примере построения точки пересечения отрезка АВ с плоскостью (см. рис. 22): Рис.22 31

85 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Точка пересечения прямой с плоскостью в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости посредника. Рассмотрим алгоритм решения задачи на примере построения точки пересечения отрезка АВ с плоскостью (см. рис. 22): 1) через отрезок АВ проводим плоскость посредник ; 2) строим линию пересечения посредника с исходной плоскостью прямую а; Рис.22 31

86 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ Точка пересечения прямой с плоскостью в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости посредника. Рассмотрим алгоритм решения задачи на примере построения точки пересечения отрезка АВ с плоскостью (см. рис. 22): 1) через отрезок АВ проводим плоскость посредник ; 2) строим линию пересечения посредника с исходной плоскостью прямую а; Рис.22 3) находим точку пересечения полученной линии (прямая а) с исходной прямой (отрезок АВ) точку К. В качестве посредников обычно используют проецирующие плоскости, т.к. их легко провести через прямую. 31

87 ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ ТРЕУГОЛЬНИКА Задача. Построить точку пересечения прямой а с заданной плоскостью ( АВС). Определить видимость прямой, если считать плоскость непрозрачной (см. рис. 23). Рис.23 32

88 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА Все способы преобразования чертежа направлены на то, чтобы упростить решение задачи, осуществив переход от общего положения геометрического объекта относительно плоскостей проекций к частному. Рассмотрим способ замены плоскостей проекций. 33

89 ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ При замене плоскостей проекций геометрический объект остается неподвижным, происходит лишь переход от одной системы плоскостей проекций к другой. Новые плоскости проекций выбираются таким образом, чтобы объект занял частное положение по отношению к ним, что облегчает решение поставленной задачи. Правило замены: при замене плоскости проекций расстояние от «новой» оси проекций до «новой» проекции точки равно расстоянию от «старой» оси до «старой» проекции точки 1) Замена фронтальной плоскости проекций (рис. 24): Рис.24 34

90 ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ При замене плоскостей проекций геометрический объект остается неподвижным, происходит лишь переход от одной системы плоскостей проекций к другой. Новые плоскости проекций выбираются таким образом, чтобы объект занял частное положение по отношению к ним, что облегчает решение поставленной задачи. Правило замены: при замене плоскости проекций расстояние от «новой» оси проекций до «новой» проекции точки равно расстоянию от «старой» оси до «старой» проекции точки 1) Замена фронтальной плоскости проекций (рис. 24): Рис.24 34

91 ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ При замене плоскостей проекций следует неизменно сохранять их взаимную перпендикулярность. 1) Замена горизонтальной плоскости проекций (рис. 25): Рис.25 35

92 ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ При замене плоскостей проекций следует неизменно сохранять их взаимную перпендикулярность. 1) Замена горизонтальной плоскости проекций (рис. 25): Рис.25 35

93 Задача. Определить истинную величину отрезка АВ и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций способом замены плоскостей проекций (см. рис. 26). Рис.26 36

94 Задача. Определить истинную величину отрезка АВ и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций способом замены плоскостей проекций (см. рис. 26). Рис cтроится новая ось x 24 A 2 B 2 2. из проекции А 2 строится проекционная линия x строится новая проекция А 4 при известной z A 36

95 Задача. Определить истинную величину отрезка АВ и угол его наклона к горизонтальной плоскости проекций способом замены плоскостей проекций (см. рис. 26). Рис cтроится новая ось x 24 A 2 B 2 2. из проекции А 2 строится проекционная линия x строится новая проекция А 4 при известной z A 4. аналогично строится проекция и получается ист. величина отрезка АВ (А 2 B 2 ) 36

96 Задача. Определить угол наклона АВС к горизонтальной плоскости проекций способом замены плоскостей проекций (см. рис. 27). Рис в плоскости ABC строится горизонталь h (h 1 x, h 2 по проекционной связи) 37

97 Задача. Определить угол наклона АВС к горизонтальной плоскости проекций способом замены плоскостей проекций (см. рис. 27). Рис в плоскости ABC строится горизонталь h (h 1 x, h 2 по проекционной связи) 2. строится новая ось x 24 h 2 3. по правилу замены строится точка А 4 37

98 Задача. Определить угол наклона АВС к горизонтальной плоскости проекций способом замены плоскостей проекций (см. рис. 27). Рис в плоскости ABC строится горизонталь h (h 1 x, h 2 по проекционной связи) 2. строится новая ось x 24 h 2 3. по правилу замены строится точка А 4 4. аналогично строится точка В 4 37

99 Задача. Определить угол наклона АВС к горизонтальной плоскости проекций способом замены плоскостей проекций (см. рис. 27). Α = АВС^П2 Рис в плоскости ABC строится горизонталь h (h 1 x, h 2 по проекционной связи) 2. строится новая ось x 24 h 2 3. по правилу замены строится точка А 4 4. аналогично строится точка В 4 5. аналогично строится точка С 4, в новой системе пл. пр. плоскость ABC П 4 37

100 ЗАМЕНА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Для решения некоторых задач (определение истинных размеров плоской фигуры, нахождение угла между двумя плоскостями общего положения и др.) не достаточно выполнить замену только одной из плоскостей проекций. В этом случае для решения задачи необходимо последовательно заменить обе плоскости проекций (см. рис. 28). Рис.28 38

101 ЗАМЕНА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Для решения некоторых задач (определение истинных размеров плоской фигуры, нахождение угла между двумя плоскостями общего положения и др.) не достаточно выполнить замену только одной из плоскостей проекций. В этом случае для решения задачи необходимо последовательно заменить обе плоскости проекций (см. рис. 28). Рис.28 38

102 ЗАМЕНА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Для решения некоторых задач (определение истинных размеров плоской фигуры, нахождение угла между двумя плоскостями общего положения и др.) не достаточно выполнить замену только одной из плоскостей проекций. В этом случае для решения задачи необходимо последовательно заменить обе плоскости проекций (см. рис. 28). Рис.28 38

103 Задача. Определить расстояние между отрезками двух параллельных прямых АВ и CD способом замены плоскостей проекций (см. рис. 29). Рис.29 39

104 Задача. Определить расстояние между отрезками двух параллельных прямых АВ и CD способом замены плоскостей проекций (см. рис. 29). 1. строится новая ось x 14 А 1 В 1 (C 1 D 1 ) 2. из точек A 1, B 1, C 1, D 1 проводятся проекционные связи x 14 Рис.29 39

105 Задача. Определить расстояние между отрезками двух параллельных прямых АВ и CD способом замены плоскостей проекций (см. рис. 29). 1. строится новая ось x 14 А 1 В 1 (C 1 D 1 ) 2. из точек A 1, B 1, C 1, D 1 проводятся проекционные связи x по правилу замены строятся проекции A 4, B 4, C 4, D 4 Рис.29 39

106 Задача. Определить расстояние между отрезками двух параллельных прямых АВ и CD способом замены плоскостей проекций (см. рис. 29). 1. строится новая ось x 14 А 1 В 1 (C 1 D 1 ) 2. из точек A 1, B 1, C 1, D 1 проводятся проекционные связи x по правилу замены строятся проекции A 4, B 4, C 4, D 4 4. строится новая ось x 45 А 4 В 4 (C 4 D 4 ) Рис.29 39

107 Задача. Определить расстояние между отрезками двух параллельных прямых АВ и CD способом замены плоскостей проекций (см. рис. 29). 1. строится новая ось x 14 А 1 В 1 (C 1 D 1 ) 2. из точек A 1, B 1, C 1, D 1 проводятся проекционные связи x по правилу замены строятся проекции A 4, B 4, C 4, D 4 4. строится новая ось x 45 А 4 В 4 (C 4 D 4 ) 5. по правилу замены строятся проекции A 5, B 5, C 5, D 5 Рис.29 39

108 ПОВЕРХНОСТИ Геометрическим телом называется часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностями. Поверхностью называется непрерывная совокупность последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии. Эта движущаяся линия называется образующей, а неподвижные линии, по которым перемещаются в пространстве точки образующей, называются направляющими (Рис. 30 а,б). Рис. 30 (а) 40

109 ПОВЕРХНОСТИ Одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами, при этом образующие и направляющие могут меняться местами. Исходя из кинематического способа образования поверхностей их можно разделить на две большие группы: 1) Линейчатые образующей является прямая линия; 2) Нелинейчатые образующей является плоская или пространственная кривая. Рис.30 (б) 41

110 Линейчатые поверхности можно разделить на развертывающиеся и неразвертывающиеся. Развертывающейся поверхностью называется поверхность, которую можно наложить на плоскость без разрывов и складок. Из нелинейчатых поверхностей рассмотрим поверхность вращения. Поверхность вращения это поверхность, полученная путем вращения некоторой линии (прямой или кривой) вокруг неподвижной оси (рис. 31). ПОВЕРХНОСТИ Параллель это окружность, полученная сечением поверхности вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения. Параллель с наибольшим диаметром называется экватором, с наименьшим горловиной. Рис.31 Меридиан это линия, полученная сечением поверхности плоскостью, проходящей через ось. 42

111 КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ Другим способом задания поверхности на чертеже является задание поверхности множеством точек или линий, принадлежащих этой поверхности, которые называются каркасом поверхности. Линейным каркасом поверхности называется множество линий, имеющих единый закон образования. В качестве линий, образующих каркас, обычно берут семейство плоских линий, полученных в результате сечения поверхности несколькими параллельными плоскостями. Примеры линий каркасов некоторых поверхностей приведены на рис. 32; 33а,б. 43

112 КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА Рис.32 44

113 КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА Рис.33 а 45

114 КАРКАС ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА Рис.33 б 46

115 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Точка принадлежит поверхности, если она располагается на какой-либо линии этой поверхности (образующей или линии каркаса). Линия принадлежит поверхности, если все ее точки располагаются на образующих этой поверхности. Задача. Построить недостающие проекции точки А с условием, что она принадлежит поверхности цилиндра (см. рис. 34). Рис.34 47

116 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Точка принадлежит поверхности, если она располагается на какой-либо линии этой поверхности (образующей или линии каркаса). Линия принадлежит поверхности, если все ее точки располагаются на образующих этой поверхности. Задача. Построить недостающие проекции точки А с условием, что она принадлежит поверхности цилиндра (см. рис. 34). Рис.34 47

117 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Задача. Построить недостающие проекции точки А с условием, что она принадлежит поверхности конуса (см. рис. 35). Рис.35 48

118 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Задача. Построить недостающие проекции точки А с условием, что она принадлежит поверхности конуса (см. рис. 35). Рис.35 48

119 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Задача. Построить недостающие проекции точки А с условием, что она принадлежит поверхности конуса (см. рис. 35). Рис.35 48

120 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Задача. Построить недостающие проекции точки А с условием, что она принадлежит поверхности сферы (см. рис. 36). Рис.36 49

121 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ И ЛИНИИ ПОВЕРХНОСТИ Задача. Построить недостающие проекции точки А с условием, что она принадлежит поверхности сферы (см. рис. 36). Рис.36 49

122 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ 1) Пересечение плоскости с многогранником. В пересечении в данном случае получается замкнутая ломаная линия. Задача сводится либо к задаче на построение линии пересечения прямой с плоскостью (способ ребер), либо к задаче на построение линии пересечения двух плоскостей (способ граней). 2) Пересечение плоскости с поверхностью вращения. В сечении в общем случае получается плоская кривая, проецирующаяся на одну из плоскостей в прямую, совпадающую со следом плоскости. При построении линии пересечения в первую очередь необходимо найти опорные точки: - точки, не требующие вспомогательных построений; - точки изменения видимости; - крайние высшие, низшие, правые, левые точки. Промежуточные точки находятся с использованием вспомогательных линий каркаса. Полученные точки соединяем плавной линией с учетом ее видимости. 50

123 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью (см. рис. 37). Рис.37 51

124 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью (см. рис. 37). Доделать ист. Вел.!!! Рис.37 51

125 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

126 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

127 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

128 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

129 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

130 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

131 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

132 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

133 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

134 Задача. Построить линию пересечения поверхности заданной плоскостью и определить истинный вид сечения (рис. 38). Рис.38 52

135 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Задача на пересечение прямой с поверхностью решается аналогично задаче на построение точки пересечения прямой с плоскостью. Алгоритм решения заключается в следующем (см. рис. 39): Рис.39 53

136 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Задача на пересечение прямой с поверхностью решается аналогично задаче на построение точки пересечения прямой с плоскостью. Алгоритм решения заключается в следующем (см. рис. 39): 1) через прямую проводится вспомогательная плоскость посредник (плоскость ); 2) строится линия пересечения плоскости - посредника с поверхностью (линия l); 3) находятся точки пересечения полученной линии с исходной прямой (М и N). В качестве посредников используют проецирующие плоскости, т.к. их легко провести через прямую. l Рис.39 53

137 ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Задача. Определить точки пересечения прямой с поверхностью пирамиды (рис. 40). Рис.40 54

138 ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Задача. Определить точки пересечения прямой с поверхностью пирамиды (рис. 40). Рис.40 54

139 ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Задача. Определить точки пересечения прямой с поверхностью пирамиды (рис. 40). Рис.40 54

140 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для построения линии пересечения поверхностей обычно используется способ вспомогательных секущих поверхностей. Рассмотрим алгоритм решения задачи на примере пересечения двух произвольных поверхностей и (см. рис. 41): 1) пересекаем данные поверхности и некоторой вспомогательной поверхностью ; 2) строим линии пересечения поверхности с исходными поверхностями и (линии n и m соответственно); 3) находим точки пересечения полученных линий n и m (точки 1 и 2) общие точки двух исходных поверхностей. Рис.41 4) повторяем построения несколько раз для нахождения необходимого количества общих точек исходных поверхностей. Найденные точки соединяем между собой плавной кривой. Полученная кривая и есть линия пересечения поверхностей. 55

141 Задача. Построить линию пересечения поверхностей (Рис. 42). ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рис.42 56

142 Задача. Построить линию пересечения поверхностей (Рис. 42). ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рис.42 56

143 Задача. Построить линию пересечения поверхностей (Рис. 42). ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рис.42 56

144 Задача. Построить линию пересечения поверхностей (Рис. 42). ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рис.42 56

145 Задача. Построить линию пересечения поверхностей (рис. 42). ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Рис.42 56

146 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА В основу этого способа положена теорема о пересечении соосных поверхностей вращения, согласно которой две или несколько поверхностей вращения, имеющих общую ось, пересекаются по окружностям (рис. 43). Условия применения метода: 1) метод используется только для построения линий пересечения поверхностей вращения; 2) оси пересекающихся поверхностей вращения должны пересекаться между собой; 3) пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Рис.43 57

147 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА При использовании данного метода роль поверхностей посредников играют концентрические сферы сферы, имеющие один центр и разные радиусы. Центр всех концентрических сфер должен совпадать с точкой пересечения осей пересекающихся поверхностей. В этом случае сферы будут рассекать обе поверхности по окружностям, которые, пересекаясь, определят точки, принадлежащие линии пересечения данных поверхностей. Построение линии пересечения данным методом начинается с построения сферы минимального радиуса сферы, касательной к одной из поверхностей и пересекающей другую. С помощью минимальной сферы устанавливается характер пересечения: минимальная сфера касается той поверхности, которая пронизывается насквозь другой. Далее, увеличивая радиусы секущих сфер, можно получить достаточное количество точек линии пересечения. Точки пересечения очерков поверхностей также будут являться общими точками поверхностей. Их проекции определяются без вспомогательных построений. 58

148 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Задача. Построить линию пересечения поверхностей методом концентрических сфер (см. рис. 44). Рис.44 59

149 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Задача. Построить линию пересечения поверхностей методом концентрических сфер (см. рис. 44). Рис.44 59

150 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Задача. Построить линию пересечения поверхностей методом концентрических сфер (см. рис. 44). Рис.44 59

151 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Задача. Построить линию пересечения поверхностей методом концентрических сфер (см. рис. 44). Рис.44 59

152 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Задача. Построить линию пересечения поверхностей методом концентрических сфер (см. рис. 44). Рис.44 59

153 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Задача. Построить линию пересечения поверхностей методом концентрических сфер (см. рис. 44). Рис.44 59

154 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Задача. Построить линию пересечения поверхностей методом концентрических сфер (см. рис. 44). Рис.44 59

155 МЕТОД КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР. ТЕОРЕМА МОНЖА Теорема Монжа: Если две поверхности вращения 2-го порядка описаны около третьей, то линии их пересечения распадаются на две плоские кривые 2-го порядка, точки пересечения которых совпадают с точками касания поверхностей (Рис. 45). Рис.45 60

156 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ В пересечении многогранников получается одна или две замкнутые ломаные линии. Построение линии пересечения многогранников можно производить двумя нижеследующими способами (либо их комбинацией): 1) Способ ребер. В этом случае определяются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого (задача на пересечение прямой и плоскости). 2) Способ граней. В этом случае определяются линии пересечения граней одного многогранника с гранями другого (задача на пересечение плоскостей). 61

157 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Задача. Построить линию пересечения многогранников (рис. 46). Рис.46 62

158 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Задача. Построить линию пересечения многогранников (рис. 46). Рис.46 62

159 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Задача. Построить линию пересечения многогранников (рис. 46). Рис.46 62

160 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Задача. Построить линию пересечения многогранников (рис. 46). Рис.46 62

161 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Задача. Построить линию пересечения многогранников (рис. 46). Рис.46 62

162 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Задача. Построить линию пересечения многогранников (рис. 46). Рис.46 62

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра начертательной геометрии и инженерной графики ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

Подробнее

1. Метод проекций. Проекции точки.

1. Метод проекций. Проекции точки. Теоретические разделы начертательной геометрии (краткое изложение). Метод проекций. Проекции точки. Метод проекций Пространство Способ отображения пространства Геометрические образы: Требования к чертежу

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 9 9. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на несколько частей. Надо иметь в виду,

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Л.В. Пивкина НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК ЗАДАЧ

Подробнее

Контрольные вопросы по курсу «Начертательная геометрия»

Контрольные вопросы по курсу «Начертательная геометрия» Контрольные вопросы по курсу «Начертательная геометрия» Тема: «Комплексный чертёж. Позиционные задачи» 1. Какие методы проецирования Вы знаете? 2. Сформулируйте основные свойства прямоугольного (ортогонального)

Подробнее

Руководство для решения задач по начертательной геометрии

Руководство для решения задач по начертательной геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» (ПГУ) Е. М. Кирин, М. Н. Краснов Руководство

Подробнее

Рис. 3. Плоскости проекций

Рис. 3. Плоскости проекций Чертеж точки Чертеж в системе прямоугольных проекций образуется при проецировании геометрического образа на две либо три взаимно перпендикулярных плоскости: горизонтальную плоскость H, фронтальную V и

Подробнее

12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения

12. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения . ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ.. Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения.. Плоскости касательные к поверхности.. Пересечение плоскости с поверхностью частного и общего положения

Подробнее

Кафедра «Начертательная геометрия и инженерная графика» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Кафедра «Начертательная геометрия и инженерная графика» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Центральные вопросы темы: сущность методов центрального, параллельного и прямоугольного проецирований и их свойства; обратимость чертежа.

Центральные вопросы темы: сущность методов центрального, параллельного и прямоугольного проецирований и их свойства; обратимость чертежа. Вопросы к блоку 1 спец. 230101 Введение. Предмет начертательной геометрии. Метод проецирования. Комплексный чертеж Монжа. Центральное (коническое) проецирование. Параллельное (Цилиндрическое) проецирование.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Начертательная геометрия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Начертательная геометрия ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Проектирование и управление в технических системах» МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

VIII III VII. x V А 1. 6-шы сурет. A z. A x C 1 П 2 П 3 А 3. C x В х. C y. В z. В у В 2

VIII III VII. x V А 1. 6-шы сурет. A z. A x C 1 П 2 П 3 А 3. C x В х. C y. В z. В у В 2 Лекция 1 Методы проекций. Комплексный чертеж точки, прямой, плоскости. 1.1 Центральное и параллельное (прямоугольное) проецирование. Основные свойства прямоугольного проецирования. 1.2 Чертеж точки. 1.3

Подробнее

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕРТЕЖА

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕРТЕЖА КУРС ЛЕКЦИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ЛЕКЦИЯ 1 ВВЕДЕНИЕ Начертательная геометрия относится к числу базовых общетехнических дисциплин. Она изучает законы построения плоских изображений (чертежей) пространственных

Подробнее

Занятие 1 Точка. Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Принадлежность точки прямой.

Занятие 1 Точка. Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Принадлежность точки прямой. Занятие 1 Точка. Прямая. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Принадлежность точки прямой. 1.1 Свойства параллельного проецирования Рис. 1.1 Свойства параллельного

Подробнее

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 1. МЕТОДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ 1. Назовите основные методы проецирования геометрических форм. Приведите схему аппарата проецирования. 2. Какие виды параллельных проекций Вы знаете? Приведите схему аппарата проецирования.

Подробнее

Раздел «Начертательная геометрия»

Раздел «Начертательная геометрия» Дисциплина: «Инженерная и компьютерная графика» Направление подготовки: «Биотехнические системы и технологии» Факультет: «Медико-биологический» Раздел «Начертательная геометрия» 1. Косоугольная проекция

Подробнее

Взаимное пересечение поверхностей Все задачи по построению линии пересечения поверхностей подразделяются на три типа: пересечение многогранников;

Взаимное пересечение поверхностей Все задачи по построению линии пересечения поверхностей подразделяются на три типа: пересечение многогранников; Взаимное пересечение поверхностей Все задачи по построению линии пересечения поверхностей подразделяются на три типа: пересечение многогранников; пересечение многогранника с поверхностью вращения; пересечение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

ЛЕКЦИЯ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ЛЕКЦИЯ 3. 3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ Позиционными называют задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических фигур. Обычно в этих задачах определяется взаимная принадлежность фигур или

Подробнее

Свойства ортогонального проецирования кривой

Свойства ортогонального проецирования кривой 6. КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ. 6.1. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ КРИВОЙ ЛИНИИ Кривая линия представляет собой геометрическое место последовательных положений непрерывно перемещающейся в пространстве точки. Если

Подробнее

СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ Министерство путей сообщения РФ Департамент кадров и учебных заведений Самарская государственная академия путей сообщения Кафедра «Инженерная графика» СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

Подробнее

Б 1. Предмет начертательной геометрии (Н.Г.) Б 2. Центральное проецирование. Б 3. Параллельное проецирование.

Б 1. Предмет начертательной геометрии (Н.Г.) Б 2. Центральное проецирование. Б 3. Параллельное проецирование. Б 1. Предмет начертательной геометрии (Н.Г.) Н.Г. математическая наука. Это тот раздел геометрии, который изучает теоретические основы построения плоских изображений пространственных фигур и способы графического

Подробнее

Методические указания.

Методические указания. Методические указания. Рабочая тетрадь предназначена для подготовки к практическим занятиям по курсу «Начертательной геометрии», а также для проработки материала в аудитории. При подготовке к практическому

Подробнее

Взаимное пересечение поверхностей вращения Методические указания к выполнению заданий по курсу Начертательная геометрия

Взаимное пересечение поверхностей вращения Методические указания к выполнению заданий по курсу Начертательная геометрия МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ижевский государственный технический университет имени М.Т Калашникова (ФГБОУ ВПО

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ для студентов заочной формы

Подробнее

3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. ПЛОСКОСТЬ Взаимное положение прямых

3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. ПЛОСКОСТЬ Взаимное положение прямых 3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫ. ПЛОСКОСТЬ 3.. Взаимное положение прямых 3.2. Проекции плоских углов 3.3. Изображение плоскости на чертеже 3.4. Прямая и точка в плоскости 3.5. Главные линии плоскости 3.6.

Подробнее

Глава 1: Теоретические основы проецирования геометрических фигур на плоскость

Глава 1: Теоретические основы проецирования геометрических фигур на плоскость Глава 1: Теоретические основы проецирования геометрических фигур на плоскость 1.1 Обозначения и символы 1. Точки заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, E, ; линии строчными буквами латинского

Подробнее

Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Камчатский государственный технический университет КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Е.А. Степанова, Н.И. Надольская ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ Методическое пособие для студентов (курсантов) первого курса

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Проектирование и эксплуатация автомобилей» Ж. А. Пьянкова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ

Подробнее

Методические указания по выполнению контрольно-графического задания

Методические указания по выполнению контрольно-графического задания Методические указания по выполнению контрольно-графического задания Студенты в первом семестре, кроме решения задач в рабочей тетради, должны выполнить контрольно-графическое задание, состоящее из семи

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для самостоятельных работ по дисциплине «Инженерная графика». РАЗДЕЛ «Начертательная геометрия» для групп СПО

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для самостоятельных работ по дисциплине «Инженерная графика». РАЗДЕЛ «Начертательная геометрия» для групп СПО Департамент внутренней и кадровой политики Белгородской области Областное государственное автономное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Белгородский политехнический колледж»

Подробнее

Начертательная геометрия Методические указания к практическим занятиям для студентов заочного обучения

Начертательная геометрия Методические указания к практическим занятиям для студентов заочного обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Начертательная геометрия Методические указания к практическим

Подробнее

Начертательная геометрия

Начертательная геометрия МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЙ Кафедра графики Л.В. Туркина Начертательная геометрия Примеры решения задач Часть 2 Екатеринбург

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Способ вспомогательных секущих плоскостей

ЛЕКЦИЯ 14. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Способ вспомогательных секущих плоскостей ЛЕКЦИЯ 4. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 4.. Способ вспомогательных секущих плоскостей Линия пересечения двух поверхностей есть линия, принадлежащая обеим поверхностям. Следовательно, для построения

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу «Начертательная геометрия»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу «Начертательная геометрия» Федеральное агентство по образованию Тольяттинский государственный университет Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу «Начертательная геометрия» МОДУЛЬ 4 Тольятти 007 Содержание

Подробнее

Составители: Ж.С. Калинина, С.И. Иванова, Ю.В. Скрипкина. Рецензент

Составители: Ж.С. Калинина, С.И. Иванова, Ю.В. Скрипкина. Рецензент УДК 621.882.(083.131) Составители: Ж.С. Калинина, С.И. Иванова, Ю.В. Скрипкина Рецензент Кандидат технических наук, доцент В.В. Кривошеев ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ: методические указания

Подробнее

Рис. 43. Пересечение пирамиды плоскостью

Рис. 43. Пересечение пирамиды плоскостью Пересечение поверхности плоскостью При пересечении любой поверхности плоскостью получается некоторая плоская фигура, которая называется сечением. Плоскости, с помощью которых получается сечение, называются

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ лекции, домашние задания (данные, образцы) Электронные ресурсы в Интернете: vm.msun.ru в Интранете: vm

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ лекции, домашние задания (данные, образцы) Электронные ресурсы в Интернете: vm.msun.ru в Интранете: vm НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ лекции, домашние задания (данные, образцы) Электронные ресурсы в Интернете: vm.msun.ru в Интранете: vm 1 Болотов В.П. Начертательная геометрия: Краткий конспект лекций, домашние

Подробнее

Кафедра "Инженерная графика и технология рекламы"

Кафедра Инженерная графика и технология рекламы МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова" Кафедра

Подробнее

Б 33. Комплексный чертеж цилиндра вращения. Его определитель

Б 33. Комплексный чертеж цилиндра вращения. Его определитель Б 33. Комплексный чертеж цилиндра вращения. Его определитель Поверхность, образованная прямолинейной образующей l, движущейся параллельно заданному направлению s и пересекающей направляющую m, называется

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА САМАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ В.А. Антипов НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Курс лекций для студентов

Подробнее

Настоящее пособие поможет студентам факультета технологии и предпринимательства, изучающим большой объём общетехнических дисциплин, овладеть

Настоящее пособие поможет студентам факультета технологии и предпринимательства, изучающим большой объём общетехнических дисциплин, овладеть СОДЕРЖАНИЕ Введение... 2 1. Методы проецирования. Координатная система... 4 1.1. Центральное проецирование... 4 1.2. Параллельное проецирование... 5 1.3. Ортогональное проецирование точки в системе двух

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

ЛЕКЦИЯ 5 5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА ЛЕКЦИЯ 5 5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы фигуры занимают частное положение. Переход

Подробнее

ОПОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОПОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ к курсу «Инженерная графика» Часть 1. Начертательная геометрия 1. Методы проецирования. Центральное проецирование. Параллельное проецирование. Ортогональное проецирование точки.

Подробнее

Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ

Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ Лекция 7 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ И С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ В предыдущих лекциях рассматривались чертежи простейших геометрических фигур (точек, прямых, плоскостей) и произвольных кривых линий и поверхностей,

Подробнее

УДК 515.0(075.8)000 Д 82 2 Думицкая, Н.Г. Рабочая тетрадь по начертательной геометрии [Текст]: метод. указания / Н.Г. Думицкая. - Ухта: УГТУ,

УДК 515.0(075.8)000 Д 82 2 Думицкая, Н.Г. Рабочая тетрадь по начертательной геометрии [Текст]: метод. указания / Н.Г. Думицкая. - Ухта: УГТУ, Федеральное агентство по образованию УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРИТЕТ Рабочая тетрадь по начертательной геометрии Методические указания Ухта, 2006 г. УДК 515.0(075.8)000 Д 82 2 Думицкая,

Подробнее

Развертки поверхностей

Развертки поверхностей Развертки поверхностей Разверткой поверхности называется плоская фигура, полученная в результате совмещения всех точек поверхности с одной плоскостью. Между поверхностью и ее разверткой устанавливается

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет О. Н. ЛЕОНОВА, Е. А. СОЛОДУХИН НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Подробнее

Начертательная геометрия: конспект лекций. Юлия Щербакова

Начертательная геометрия: конспект лекций. Юлия Щербакова Начертательная геометрия: конспект лекций Юлия Щербакова 2 3 И. С. Козлова, Ю. В. Щербакова Начертательная геометрия. Конспект лекций 4 Лекция 1. Сведения о проекциях 5 1. Понятие проекций Начертательной

Подробнее

R min1 < R min < R min2

R min1 < R min < R min2 ЛЕКЦИИ 11-12 Решение II ГПЗ (3 случай) методом секущих плоскостей. Решение II ГПЗ (3 случай) методом концентрических сфер. Частные случаи пересечения поверхностей. Теорема Монжа. РЕШЕНИЕ II ГПЗ (3 случай)

Подробнее

Инженерная графика. Лекция 5

Инженерная графика. Лекция 5 Инженерная графика Кривальцевич Татьяна Владимировна Лекция 5 «Пересечение геометрических тел плоскостями. Построение разверток» Омск-2010 Пересечение поверхностей плоскостью Инженерная графика Кривальцевич

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ 0 Л.Д. Письменко РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ ПО ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКЕ Ульяновск 2007 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 1 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ

Подробнее

4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. ДВЕ ПЛОСКОСТИ

4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. ДВЕ ПЛОСКОСТИ 4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. ДВЕ ПЛОСКОСТИ 4.. Прямая линия, параллельная плоскости 4.. Прямая линия, пересекающаяся с плоскостью частного положения 4.3. Пересечение плоскости частного положения с плоскостью

Подробнее

Контрольные вопросы к главе КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ Комплексный чертёж кривой линии Комплексный чертёж

Контрольные вопросы к главе КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ Комплексный чертёж кривой линии Комплексный чертёж 3 СОДЕРЖАНИЕ Введение... 5 Условные обозначения и символы... 6 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОСТРОЕНИЯ ЧЕРТЕЖА... 6 1.1. Метод проекций... 7 1.. Основные свойства ортогонального проецирования... 7 Контрольные вопросы

Подробнее

Основным методом построения изображений метод проекций. Проекция

Основным методом построения изображений метод проекций. Проекция ПРЕДМЕТ И МЕТОД Начертательная геометрия и инженерная графика 1 Основным методом построения изображений на плоскости является метод проекций. Проекция Проецирование ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ

Подробнее

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 1 ТОЧКА. ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 1 ТОЧКА. ПРЯМАЯ. ПЛОСКОСТЬ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ курс лекций

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ курс лекций Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Красноярский государственный аграрный университет НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ курс лекций Для студентов факультета пищевой и перерабатывающей промышленности

Подробнее

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0Z - это

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0Z - это НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 4 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Ось проекций 0Z - это 1 линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 2 линия пересечения плоскостей

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Уральский ргосударственный университет путей сообщения Тюменский филиал Кафедра графики Фадеев В.П. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Екатеринбург 2006 ФЕДЕРАЛЬНОЕ

Подробнее

Кафедра: «Инженерная графика и САПР» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРАКТИКУМ. Часть 1. ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Кафедра: «Инженерная графика и САПР» НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ПРАКТИКУМ. Часть 1. ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО-НАУЧНО- ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС" ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

Вологодский государственный технический университет ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. Методические указания и задания для самостоятельной работы студентов

Вологодский государственный технический университет ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА. Методические указания и задания для самостоятельной работы студентов Министерство образования и науки Российской Федерации Вологодский государственный технический университет Кафедра начертательной геометрии и графики ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА Методические указания и задания для

Подробнее

Лекция 8. Определение натуральных величин 1. Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций 2. Определение натуральной величины

Лекция 8. Определение натуральных величин 1. Вращение точки около оси, перпендикулярной плоскости проекций 2. Определение натуральной величины Annotation Данное учебное пособие представляет собой курс лекций и предназначено для студентов, сдающих экзамен по специальности «Начертательная геометрия». Подготовлено с учетом требований Министерства

Подробнее

2. Установить соответствие А(0, 28, 55) В(30, 0, 0) С(0, 0, 85) D(0, 45, 0) E(20, 0, 0) F(10, 0, 75) M(70, 25, 85) N(44, 27, 0)

2. Установить соответствие А(0, 28, 55) В(30, 0, 0) С(0, 0, 85) D(0, 45, 0) E(20, 0, 0) F(10, 0, 75) M(70, 25, 85) N(44, 27, 0) НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 5 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Плоскость проекций П 1 называется 1 горизонтальная плоскость проекций 2 фронтальная плоскость

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство сельского хозяйства Российской Федерации ФГБОУ ВО «Красноярский государственный аграрный университет» Н.Г. Полюшкин НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к практическим занятиям Электронное

Подробнее

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 2 МНОГОГРАННИКИ. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Конспект лекций по дисциплине «Начертательная геометрия» Часть 2 МНОГОГРАННИКИ. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0У это

1. Указать правильный ответ Ось проекций 0У это НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 7 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1.Точка 1. Указать правильный ответ Ось проекций 0У это 1 линия пересечения плоскостей П 1 и П 2 2 линия пересечения плоскостей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 8. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ЛЕКЦИЯ 8 8. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 8 8. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ 8.1. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ Поверхности вращения образуются вращением линии l вокруг прямой i оси вращения. Они могут быть линейчатыми и нелинейчатыми (криволинейными). Определитель

Подробнее

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е. М. Кирин МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В КУРСЕ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ

Подробнее

7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 7. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА 7.1. Метод замены плоскостей проекций 7.2. Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций 7.1. Метод замены плоскостей проекций При решении

Подробнее

2. Установить соответствие А(0, 80, 0) В(55, 45, 20) С(0, 0, 50) D(45, 0, 65) E(0, 35, 20) F(45, 45, 0) M(0, 15, 0) N(55, 0, 0)

2. Установить соответствие А(0, 80, 0) В(55, 45, 20) С(0, 0, 50) D(45, 0, 65) E(0, 35, 20) F(45, 45, 0) M(0, 15, 0) N(55, 0, 0) НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 2 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Плоскость проекций П 2 называется 1 горизонтальная плоскость проекций 2 фронтальная плоскость

Подробнее

Начертательная геометрия (НГ) раздел геометрии, в котором изучаются различные методы изображения пространственных форм (геометрических образов) на пло

Начертательная геометрия (НГ) раздел геометрии, в котором изучаются различные методы изображения пространственных форм (геометрических образов) на пло ЛЕКЦИЯ 2 Условные обозначения, сокращения и знаки. Предмет изучения начертательной геометрии. Геометрические образы. Метод проецирования. Виды проецирования. Образование комплексного чертежа. Комплексные

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА И.Ю. Скобелева,

Подробнее

1. Указать правильный ответ Точка А(70, 20, 15) удалена дальше от

1. Указать правильный ответ Точка А(70, 20, 15) удалена дальше от НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Тестовые задания 10 вариант Хабаровск 2014 0 Тема 1. Точка 1. Указать правильный ответ Точка А(70, 20, 15) удалена дальше от 1 плоскости плоскостей П 1 2 плоскости плоскостей П

Подробнее

B' 2 C' 2 2' 2 3' 2 1' 2 C' 1 2' 1

B' 2 C' 2 2' 2 3' 2 1' 2 C' 1 2' 1 7. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ 7. Построение развертки наклонных призматических, цилиндрических и конических поверхностей способом нормального сечения. 7.. Построение развертки наклонных

Подробнее

Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по начертательной

Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по начертательной Методические указания по выполнению расчетно-графических работ по начертательной геометрии 1. В первом семестре выполняется пять расчетно-графических работ (РГР), которые сдаются по мере изучения тем курса

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Г.П. Сараева Г Р А Ф И К А Учебное пособие Часть 1 Томск 2004 ББК 38.28 я 73 С 20 Печатается по решению

Подробнее

Метод проекций. Эпюр Монжа. 1. Метод ортогонального проецирования 2. Точка 3. Прямая линия 4. Вопросы и задания

Метод проекций. Эпюр Монжа. 1. Метод ортогонального проецирования 2. Точка 3. Прямая линия 4. Вопросы и задания Метод проекций. Эпюр Монжа 1. Метод ортогонального проецирования 2. Точка 3. Прямая линия 4. Вопросы и задания Метод ортогонального проецирования Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Е.М. КИРИН, М.Н. КРАСНОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Подробнее

ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС по начертательной геометрии

ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС по начертательной геометрии ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» Деветериков Ю.Л ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС по начертательной геометрии Тольятти 2006 УДК

Подробнее

Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА Коническая поверхность направляющей линии прямым кру- говым конусом Построение конуса в прямоуголь- ной изометрии

Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА Коническая поверхность направляющей линии прямым кру- говым конусом Построение конуса в прямоуголь- ной изометрии Лекция 16. ПРОЕКЦИИ КОНУСА Конус тело вращения. Прямой круговой конус относится к одному из видов тел вращения. Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку

Подробнее

Лекция 8 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ)

Лекция 8 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ) Лекция 8 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ) Две поверхности пересекаются по линии, которая одновременно принадлежит каждой из них. В зависимости от вида и взаимного

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Сибирская Государственная Геодезическая Академия Институт Оптики и Оптических технологий Кафедра основ приборостроения НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Конспект лекций Л.В. Пивкина Новосибирск 2006 г. Рекомендуемая

Подробнее

Рабочая тетрадь для решения задач по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» (для студентов заочной формы обучения)

Рабочая тетрадь для решения задач по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика» (для студентов заочной формы обучения) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» Рабочая тетрадь для решения задач

Подробнее

Начертательная геометрия Конспект лекций и рабочая тетрадь

Начертательная геометрия Конспект лекций и рабочая тетрадь НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТ Кафедра теоретической и прикладной механики Начертательная геометрия Конспект лекций и рабочая тетрадь Новосибирск 2010 Составители:

Подробнее

Авторы: Супрун Л.И. Супрун Е.Г. Лошакова Н.Ю. Начертательная геометрия и компьютерная графика. Учебное пособие по циклу практических занятий

Авторы: Супрун Л.И. Супрун Е.Г. Лошакова Н.Ю. Начертательная геометрия и компьютерная графика. Учебное пособие по циклу практических занятий ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» Авторы: Супрун Л.И. Супрун Е.Г. Лошакова

Подробнее

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ. по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по начертательной геометрии для студентов специальностей механического профиля Иваново 29 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение

Подробнее

Начертательная геометрия и инженерная графика

Начертательная геометрия и инженерная графика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования "Витебский государственный технологический университет" Начертательная геометрия и инженерная графика Краткий конспект лекций для студентов

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ - УЧЕБНО- НАУЧНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ КОМПЛЕКС" ФАКУЛЬТЕТ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 15. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ЛЕКЦИЯ 15. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЛЕКЦИЯ 15. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 15.1. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка 15.2. Способ сфер 15.1. Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка При взаимном пересечении

Подробнее

Начертательная геометрия Точка, прямая, плоскость Учебное пособие

Начертательная геометрия Точка, прямая, плоскость Учебное пособие Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Калмыцкий государственный университет Начертательная геометрия Точка, прямая, плоскость

Подробнее

Г.Ф. Винокурова, Б.Л. Степанов НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Г.Ф. Винокурова, Б.Л. Степанов НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Г.Ф. Винокурова, Б.Л. Степанов НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу «Начертательная геометрия»

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу «Начертательная геометрия» Федеральное агентство по образованию Тольяттинский государственный университет Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по курсу «Начертательная геометрия» МОДУЛЬ 3 Тольятти 2007 УДК

Подробнее

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ 3 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ Хабаровск 2005 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования 4 «Тихоокеанский государственный

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению эпюра 2

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению эпюра 2 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Тольяттинский государственный университет Кафедра «Начертательная геометрия и черчение» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению эпюра 2 Тольятти 2004 Методические указания

Подробнее

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Способ перемены плоскостей проекции

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Способ перемены плоскостей проекции 1 СОДЕРЖАНИЕ 1. Общие сведения 2. Примеры решения задач 3. Контрольные вопросы 4. Приложения 4.1. Задания на эпюр 4.2. Данные к заданию 4.3. Образец оформления на листе 2 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Основными способами

Подробнее

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Федеральное агентство по образованию Южно-Уральский государственный университет 515(07) Д817 В.С. Дукмасова, В.А. Краснов МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Издание шестое

Подробнее

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет городского хозяйства имени А. Н. Бекетова Е. Е. МАНДРИЧЕНКО ИНЖЕНЕРНАЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ (для студентов

Подробнее